36:
5653:
5283:
5648:{\displaystyle f^{-1}(n)=\sum _{k=1}^{\Omega (n)}\left\{\sum _{{\lambda _{1}+2\lambda _{2}+\cdots +k\lambda _{k}=n} \atop {\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{k}|n}}{\frac {(\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{k})!}{1!2!\cdots k!}}(-1)^{k}f(\lambda _{1})f(\lambda _{2})^{2}\cdots f(\lambda _{k})^{k}\right\}.}
605:
1156:
is again multiplicative, and every not constantly zero multiplicative function has a
Dirichlet inverse which is also multiplicative. In other words, multiplicative functions form a subgroup of the group of invertible elements of the Dirichlet ring. Beware however that the sum of two multiplicative
3262:
6337:
or infinitary divisors defines similar commutative operations which share many features with the
Dirichlet convolution (existence of a Möbius inversion, persistence of multiplicativity, definitions of totients, Euler-type product formulas over associated primes, etc.).
358:
4627:
407:
5789:
5251:
4347:
3130:
6196:
2632:
6757:
1503:
4087:
3854:
1240:), so the subset of multiplicative functions is not a subring of the Dirichlet ring. The article on multiplicative functions lists several convolution relations among important multiplicative functions.
2822:
3596:
3114:
3058:
3015:
4734:
2253:
168:
6011:
4458:
4886:
2094:
2523:
204:
6300:
6073:
4496:
1238:
5845:
2932:
2691:
2571:
2305:
1908:
2740:
2412:
5138:
4811:
4171:
3938:
2141:
1685:
1119:
5041:
2480:
2446:
2373:
1947:
5883:
5172:
1453:
2855:
1822:
1383:
988:
804:
5942:
1853:
875:
956:
600:{\displaystyle \left(\sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)}{n^{s}}}\right)\left(\sum _{n\geq 1}{\frac {g(n)}{n^{s}}}\right)\ =\ \left(\sum _{n\geq 1}{\frac {(f*g)(n)}{n^{s}}}\right).}
2338:
1418:
5000:
3650:
1781:
4921:
2961:
1731:
1047:
2187:
5086:
3391:
2875:
2041:
3318:
923:
6309:
for which both series of the left hand side converge, one of them at least converging absolutely (note that simple convergence of both series of the left hand side
4941:
4488:
3705:
3475:
1757:
1624:
1560:
1077:
2009:
1657:
6764:
3449:
3420:
3294:
5667:
4201:
3968:
3735:
3504:
5907:
3670:
3355:
1967:
1600:
1580:
1525:
1318:
1298:
1147:
1012:
6209:
for which the series converges (if there are any). The multiplication of
Dirichlet series is compatible with Dirichlet convolution in the following sense:
3320:
is the distinct prime factor counting function from above. This expansion follows from the identity for the sums over
Dirichlet convolutions given on the
6404:
6809:
5178:
5266:
6423:
This identity is a little special something I call "croutons". It follows from several chapters worth of exercises in
Apostol's classic book.
3257:{\displaystyle \pi (x)=\sum _{n\leq x}(\omega \ast \mu )(n)=\sum _{d=1}^{x}\omega (d)M\left(\left\lfloor {\frac {x}{d}}\right\rfloor \right)}
4209:
1974:
6532:
Cohen, Eckford (1959). "A class of residue systems (mod r) and related arithmetical functions. I. A generalization of Möbius inversion".
6111:
2578:
6700:
1458:
3976:
3743:
6750:
6510:
1385:. The convolution of two completely multiplicative functions is multiplicative, but not necessarily completely multiplicative.
6522:
6496:
6462:
2750:
3512:
3063:
6799:
3022:
2979:
1278:
5658:
The following formula provides a compact way of expressing the
Dirichlet inverse of an invertible arithmetic function
4665:
2210:
131:
2376:
353:{\displaystyle (f*g)(n)\ =\ \sum _{d\,\mid \,n}f(d)\,g\!\left({\frac {n}{d}}\right)\ =\ \sum _{ab\,=\,n}\!f(a)\,g(b)}
79:
57:
17:
6083:
positive integers must include a 1, so the series on the right hand side converges for every fixed positive integer
5947:
4354:
50:
4827:
4622:{\displaystyle g(n)\ =\ {\frac {-1}{f(1)}}\mathop {\sum _{d\,\mid \,n}} _{d<n}f\left({\frac {n}{d}}\right)g(d).}
2051:
2486:
6506:
6215:
6016:
1160:
6773:
5796:
2885:
2638:
117:
2537:
2276:
1862:
6845:
6735:
6582:
2697:
2383:
6725:
5092:
4750:
4094:
3861:
2743:
2112:
1662:
1082:
5006:
6730:
5066:
2451:
2419:
2344:
1920:
6517:. Cambridge tracts in advanced mathematics. Vol. 97. Cambridge: Cambridge Univ. Press. p. 38.
6375:
5850:
2044:
6353:
5150:
1423:
4662:
The
Dirichlet inverse of a Dirichlet convolution is the convolution of the inverses of each function:
2828:
1790:
1603:
1323:
961:
744:
6551:
5912:
4821:
4744:
1829:
818:
6549:
Cohen, Eckford (1960). "Arithmetical functions associated with the unitary divisors of an integer".
935:
44:
2311:
1403:
6356:
computes the summation of a convolution in terms of its functions and their summation functions.
5047:
4978:
4656:
3603:
3121:
2530:
1764:
1153:
4891:
2937:
1694:
1017:
6850:
6784:
6370:
3321:
2160:
61:
5071:
3360:
2860:
2014:
6346:
3303:
2878:
1627:
1394:
890:
398:
6678:
Sandor, Jozsef; Berge, Antal (2003). "The Möbius function: generalizations and extensions".
5784:{\displaystyle f^{-1}=\sum _{k=0}^{+\infty }{\frac {(f(1)\varepsilon -f)^{*k}}{f(1)^{k+1}}}}
4926:
4467:
3675:
3454:
1736:
1609:
1530:
1052:
6707:
6691:
6626:
6591:
6572:
6541:
6472:
2964:
1982:
1635:
6480:
3425:
3396:
3270:
401:. It describes the multiplication of two Dirichlet series in terms of their coefficients:
8:
6789:
6365:
6314:
6102:
5259:
4180:
3947:
3714:
3483:
171:
109:
6824:
6334:
5892:
3655:
3340:
1952:
1688:
1585:
1565:
1510:
1303:
1283:
1132:
997:
717:
628:
6617:
6600:
4966:
1970:
6819:
6794:
6662:
6518:
6492:
6458:
6342:
6318:
6804:
6647:
6612:
6560:
6476:
6099:
5270:
3297:
2097:
616:
394:
105:
6341:
Dirichlet convolution is a special case of the convolution multiplication for the
6742:
6687:
6622:
6587:
6568:
6537:
6468:
6330:
5145:
6450:
6202:
809:
179:
6652:
6635:
6839:
881:
735:
674:
113:
6457:, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag,
5246:{\displaystyle \sum _{d|n}d^{\alpha }\mu (d)\mu \left({\frac {n}{d}}\right)}
185:
93:
6636:"Arithmetic functions associated with infinitary divisors of an integer"
6432:
Again see
Apostol Chapter 2 and the exercises at the end of the chapter.
1243:
Another operation on arithmetic functions is pointwise multiplication:
6580:
Cohen, Eckford (1960). "The number of unitary divisors of an integer".
6564:
6349:, in this case the poset of positive integers ordered by divisibility.
4342:{\displaystyle (f*g)(4)=f(1)g(4)+f(2)g(2)+f(4)g(1)=\varepsilon (4)=0}
6491:. Monographs in Number Theory. World Scientific Publishing Company.
6505:
6191:{\displaystyle DG(f;s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}}
2627:{\displaystyle {\text{Id}}_{k}*({\text{Id}}_{k}\mu )=\varepsilon }
6663:"Expressions for the Dirichlet inverse of arithmetical functions"
6405:
Completely multiplicative function#Proof of distributive property
5258:
An exact, non-recursive formula for the
Dirichlet inverse of any
364:
175:
6313:
imply convergence of the right hand side!). This is akin to the
720:(invertible elements) of this ring are the arithmetic functions
673:, and Dirichlet convolution. The multiplicative identity is the
1498:{\displaystyle \varepsilon (n)=\lfloor {\tfrac {1}{n}}\rfloor }
4082:{\displaystyle (f*g)(3)=f(1)g(3)+f(3)g(1)=\varepsilon (3)=0}
3849:{\displaystyle (f*g)(2)=f(1)g(2)+f(2)g(1)=\varepsilon (2)=0}
4637:
The following properties of the
Dirichlet inverse hold:
6329:
The restriction of the divisors in the convolution to
1949:, the Dirichlet inverse of the constant function
1481:
6218:
6114:
6019:
5950:
5915:
5895:
5853:
5799:
5670:
5286:
5181:
5153:
5095:
5074:
5009:
4981:
4929:
4894:
4830:
4753:
4668:
4499:
4470:
4357:
4212:
4183:
4097:
3979:
3950:
3864:
3746:
3717:
3678:
3658:
3606:
3515:
3486:
3457:
3428:
3399:
3363:
3343:
3306:
3273:
3133:
3066:
3025:
2982:
2940:
2888:
2863:
2831:
2753:
2700:
2641:
2581:
2573: where Sq = {1, 4, 9, ...} is the set of squares
2540:
2489:
2454:
2422:
2386:
2347:
2314:
2279:
2213:
2163:
2115:
2054:
2017:
1985:
1955:
1923:
1865:
1832:
1793:
1767:
1739:
1697:
1665:
1638:
1612:
1588:
1568:
1533:
1513:
1461:
1426:
1406:
1326:
1306:
1286:
1163:
1135:
1085:
1055:
1020:
1000:
964:
938:
893:
821:
747:
410:
207:
134:
2817:{\displaystyle ({\text{Id}}_{s}J_{r})*J_{s}=J_{s+r}}
3591:{\displaystyle (f*g)(1)=f(1)g(1)=\varepsilon (1)=1}
6772:
6294:
6190:
6067:
6005:
5936:
5901:
5877:
5839:
5783:
5647:
5245:
5166:
5132:
5080:
5035:
4994:
4935:
4915:
4880:
4805:
4728:
4621:
4482:
4452:
4341:
4195:
4165:
4081:
3962:
3932:
3848:
3729:
3699:
3664:
3644:
3590:
3498:
3469:
3443:
3414:
3385:
3349:
3312:
3288:
3256:
3109:{\displaystyle 1_{\mathbb {P} }(n)\mapsto \{0,1\}}
3108:
3052:
3017:, the characteristic function of the prime powers.
3009:
2955:
2926:
2869:
2849:
2816:
2734:
2685:
2626:
2565:
2517:
2474:
2440:
2406:
2367:
2332:
2299:
2247:
2181:
2135:
2088:
2035:
2003:
1961:
1941:
1902:
1847:
1816:
1775:
1751:
1725:
1679:
1651:
1618:
1594:
1574:
1554:
1519:
1497:
1447:
1412:
1377:
1312:
1292:
1232:
1141:
1113:
1071:
1041:
1006:
982:
950:
917:
869:
798:
599:
352:
162:
5889:times. Notice that, for a fixed positive integer
3053:{\displaystyle \omega \ast \mu =1_{\mathbb {P} }}
3010:{\displaystyle \Omega \ast \mu =1_{\mathcal {P}}}
324:
275:
6837:
6515:Multiplicative number theory I. Classical theory
6419:Apostol's Introduction to Analytic Number Theory
4729:{\displaystyle (f\ast g)^{-1}=f^{-1}\ast g^{-1}}
2255:, by Möbius inversion of the formulas for
2248:{\displaystyle {\text{Id}}_{k}=\sigma _{k}*\mu }
163:{\displaystyle f,g:\mathbb {N} \to \mathbb {C} }
27:Mathematical operation on arithmetical functions
6667:Notes on Number Theory and Discrete Mathematics
6486:
1626:because the associated Dirichlet series is the
6810:Dirichlet's theorem on arithmetic progressions
6586:. Vol. 67, no. 9. pp. 879–880.
6006:{\displaystyle (f(1)\varepsilon -f)^{*k}(n)=0}
4943:denotes pointwise multiplication of functions.
4453:{\displaystyle g(4)=-(f(4)g(1)+f(2)g(2))/f(1)}
393:This product occurs naturally in the study of
6758:
4881:{\displaystyle (f\cdot g)^{-1}=f\cdot g^{-1}}
3116:is the characteristic function of the primes.
2089:{\displaystyle \sigma _{k}={\text{Id}}_{k}*1}
3393:may be calculated recursively: the value of
3103:
3091:
2518:{\displaystyle \lambda *|\mu |=\varepsilon }
1492:
1477:
6677:
6536:. Vol. 9, no. 1. pp. 13–23.
2448: , from convolving 1 on both sides of
6765:
6751:
6295:{\displaystyle DG(f;s)DG(g;s)=DG(f*g;s)\,}
6068:{\displaystyle f(1)\varepsilon (1)-f(1)=0}
1388:
1233:{\displaystyle (f+g)(1)=f(1)+g(1)=2\neq 1}
374:, or equivalently over all distinct pairs
6660:
6651:
6616:
6489:Analytic Number Theory for Undergraduates
6291:
5840:{\displaystyle (f(1)\varepsilon -f)^{*k}}
5117:
5022:
4561:
4557:
3073:
3044:
2927:{\displaystyle |\mu |\ast 1=2^{\omega },}
2686:{\displaystyle \tau ^{3}*1=(\tau *1)^{2}}
1673:
337:
318:
314:
271:
253:
249:
198:is a new arithmetic function defined by:
156:
148:
80:Learn how and when to remove this message
5273:expression for the Dirichlet inverse of
5055:Absolute value of Möbius function |
3324:page (a standard trick for these sums).
2566:{\displaystyle \lambda *1=1_{\text{Sq}}}
2300:{\displaystyle {\text{Id}}=\sigma *\mu }
1903:{\displaystyle {\text{Id}}_{k}(n)=n^{k}}
1527:is the constant function with value 1:
1393:In these formulas, we use the following
1320:distributes over Dirichlet convolution:
615:The set of arithmetic functions forms a
363:where the sum extends over all positive
43:This article includes a list of general
6449:
6317:if one thinks of Dirichlet series as a
4645:has a Dirichlet inverse if and only if
2735:{\displaystyle J_{k}*1={\text{Id}}_{k}}
1157:functions is not multiplicative (since
734:Specifically, Dirichlet convolution is
14:
6838:
6680:Adv. Stud. Contemp. Math. (Kyungshang)
6455:Introduction to analytic number theory
2407:{\displaystyle \phi ={\text{Id}}*\mu }
1049:, there exists an arithmetic function
386:of positive integers whose product is
6746:
6698:
6633:
6601:"On an integers' infinitary divisors"
6598:
6579:
6548:
6531:
5133:{\displaystyle \sum _{d|n}d\,\mu (d)}
4806:{\displaystyle f^{-1}(n)=\mu (n)f(n)}
4166:{\displaystyle g(3)=-(f(3)g(1))/f(1)}
3933:{\displaystyle g(2)=-(f(2)g(1))/f(1)}
3672:does not have a Dirichlet inverse if
2136:{\displaystyle \sigma ={\text{Id}}*1}
1680:{\displaystyle C\subset \mathbb {N} }
1114:{\displaystyle f*f^{-1}=\varepsilon }
5146:generalized sum-of-divisors function
5036:{\displaystyle \mu (n)\,n^{\alpha }}
3327:
3124:is given by the summatory function
1783:is the identity function with value
29:
6416:
6324:
6089:
5847:stands for the arithmetic function
2475:{\displaystyle \phi *1={\text{Id}}}
2441:{\displaystyle \sigma =\phi *\tau }
2368:{\displaystyle \phi *1={\text{Id}}}
1942:{\displaystyle 1*\mu =\varepsilon }
1602:is not the identity. (Some authors
24:
6800:Dirichlet-multinomial distribution
6155:
5922:
5878:{\displaystyle f(1)\varepsilon -f}
5706:
5352:
5328:
3120:This last identity shows that the
3001:
2983:
2864:
2832:
2189:, the number-of-divisors function
2098:kth-power-of-divisors sum function
1279:completely multiplicative function
49:it lacks sufficient corresponding
25:
6862:
6718:
6618:10.1090/S0025-5718-1990-0993927-5
5167:{\displaystyle \sigma _{\alpha }}
4947:
1448:{\displaystyle \varepsilon (1)=1}
1152:The Dirichlet convolution of two
2850:{\displaystyle \Lambda *1=\log }
1817:{\displaystyle {\text{Id}}(n)=n}
1420:is the multiplicative identity:
1378:{\displaystyle (f*g)h=(fh)*(gh)}
983:{\displaystyle \varepsilon *f=f}
799:{\displaystyle (f*g)*h=f*(g*h),}
34:
6098:is an arithmetic function, the
5937:{\displaystyle k>\Omega (n)}
4632:
2143:, the sum-of-divisors function
1848:{\displaystyle {\text{Id}}_{k}}
870:{\displaystyle f*(g+h)=f*g+f*h}
6774:Peter Gustav Lejeune Dirichlet
6435:
6426:
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220:
208:
152:
118:Peter Gustav Lejeune Dirichlet
13:
1:
6583:American Mathematical Monthly
6381:
3337:Given an arithmetic function
929:and has an identity element,
610:
123:
6701:"Unitarism and Infinitarism"
6075:and every way of expressing
2333:{\displaystyle 1=\tau *\mu }
1413:{\displaystyle \varepsilon }
7:
6731:Encyclopedia of Mathematics
6359:
4995:{\displaystyle n^{\alpha }}
4951:
4655:The Dirichlet inverse of a
3645:{\displaystyle g(1)=1/f(1)}
3332:
1776:{\displaystyle {\text{Id}}}
10:
6867:
6661:Haukkanen, Pentti (2000).
6403:A proof is in the article
6354:Dirichlet hyperbola method
4916:{\displaystyle g(1)\neq 0}
4739:A multiplicative function
2956:{\displaystyle \omega (n)}
1726:{\displaystyle 1_{C}(n)=1}
1042:{\displaystyle f(1)\neq 0}
6780:
6653:10.1155/S0161171293000456
6634:Cohen, Graeme L. (1993).
6599:Cohen, Graeme L. (1990).
6552:Mathematische Zeitschrift
6394:Proofs are in Chan, ch. 2
4822:completely multiplicative
4745:completely multiplicative
2744:Jordan's totient function
2182:{\displaystyle \tau =1*1}
6487:Chan, Heng Huat (2009).
6376:Möbius inversion formula
5081:{\displaystyle \varphi }
5067:Euler's totient function
4659:is again multiplicative.
3386:{\displaystyle g=f^{-1}}
2870:{\displaystyle \Lambda }
2377:Euler's totient function
2045:Möbius inversion formula
2036:{\displaystyle f=g*\mu }
1154:multiplicative functions
6726:"Dirichlet convolution"
6640:Int. J. Math. Math. Sci
5885:convoluted with itself
4657:multiplicative function
3313:{\displaystyle \omega }
3122:prime-counting function
2879:von Mangoldt's function
1389:Properties and Examples
918:{\displaystyle f*g=g*f}
64:more precise citations.
6785:Dirichlet distribution
6699:Finch, Steven (2004).
6441:See Apostol Chapter 2.
6371:Divisor sum identities
6296:
6192:
6159:
6069:
6007:
5938:
5903:
5879:
5841:
5785:
5710:
5649:
5341:
5267:Divisor sum identities
5247:
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5134:
5082:
5037:
4996:
4937:
4936:{\displaystyle \cdot }
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3470:{\displaystyle m<n}
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3387:
3357:its Dirichlet inverse
3351:
3322:divisor sum identities
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1395:arithmetical functions
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994:Furthermore, for each
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602:
399:Riemann zeta function
355:
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112:; it is important in
98:Dirichlet convolution
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3652:. This implies that
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2965:prime omega function
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2531:Liouville's function
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1582:. Keep in mind that
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205:
172:arithmetic functions
132:
110:arithmetic functions
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6366:Arithmetic function
6315:convolution theorem
6103:generating function
5271:partition theoretic
5260:arithmetic function
4958:Dirichlet inverse:
4955:Arithmetic function
4464:and in general for
4196:{\displaystyle n=4}
3963:{\displaystyle n=3}
3730:{\displaystyle n=2}
3499:{\displaystyle n=1}
102:divisor convolution
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6507:Hugh L. Montgomery
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6065:
6013:, this is because
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1689:indicator function
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867:
796:
629:pointwise addition
597:
548:
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431:
350:
323:
258:
174:from the positive
160:
6833:
6832:
6820:Dirichlet problem
6795:Dirichlet process
6524:978-0-521-84903-6
6511:Robert C. Vaughan
6498:978-981-4271-36-3
6464:978-0-387-90163-3
6343:incidence algebra
6319:Fourier transform
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5779:
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18:Dirichlet product
16:(Redirected from
6858:
6805:Dirichlet series
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