4060:
2785:
1455:
5123:
2002:
3587:
3933:
3421:
3226:
3027:
2586:
3121:
2897:
5308:
396:
726:
3892:
2091:
5459:. (By self-adjointness the diagonal entries will be real.) Freudenthal's diagonalization theorem immediately implies the Jordan condition, since Jordan products by real diagonal matrices commute on
4429:
2624:
by construction are skew-symmetric and orthogonal. In fact
Eckmann constructed operators of this type in a slightly different but equivalent way. It is in fact the method originally followed in
2634:
4167:
4961:
1258:
4986:
1825:
4301:
4799:
3480:
4055:{\displaystyle \operatorname {Tr} _{\mathbf {R} }XY=\operatorname {Tr} _{\mathbf {R} }YX,\qquad \operatorname {Tr} _{\mathbf {R} }(XY)Z=\operatorname {Tr} _{\mathbf {R} }X(YZ).}
5183:
6024:
3311:
3132:
6263:
2935:
2480:
98:. Hurwitz's theorem implies that multiplicative formulas for sums of squares can only occur in 1, 2, 4 and 8 dimensions, a result originally
3697:
1-dimensional complex representations. The total number of irreducible complex representations is the number of conjugacy classes. So since
3038:
2815:
5194:
1161:
are examples of associative
Euclidean Hurwitz algebras with their standard norms and involutions. There are moreover natural inclusions
5805:
5513:
preserves the sums of all the squares, this is equivalent to maximizing the sums of the squares of the norms of the diagonal terms of
3725:
is even, there are two and their dimension must divide the order of the group, so is a power of two, so they must both have dimension
282:
626:
401:
Evidently the involution has period two and preserves the inner product and norm. These operators have the following properties:
3820:
115:
2013:
6608:
6550:
6445:
6419:
6385:
6311:
6237:
4327:
6036:
3701:
is even, there are two further irreducible complex representations. Since the sum of the squares of the dimensions equals
135:
6520:
6130:
6074:
2780:{\displaystyle \displaystyle {(x_{1}^{2}+\cdots +x_{N}^{2})(y_{1}^{2}+\cdots +y_{N}^{2})=z_{1}^{2}+\cdots +z_{N}^{2},}}
6193:
Jordan, P.; von
Neumann, J.; Wigner, E. (1934), "On an algebraic generalization of the quantum mechanical formalism",
6631:
6586:
6646:
4091:
1450:{\displaystyle \displaystyle {C=B\oplus Bj,\,\,\,(a+bj)^{*}=a^{*}-bj,\,\,\,(a+bj)(c+dj)=(ac-d^{*}b)+(bc^{*}+da)j.}}
2269:
The only
Euclidean Hurwitz algebras are the real numbers, the complex numbers, the quaternions and the octonions.
6229:
1247:
1179:
5118:{\displaystyle \operatorname {Tr} (T(X(X^{2}))-T(X^{2}(X)))=\operatorname {Tr} T(aI)=\operatorname {Tr} (T)a=0,}
4915:
151:
94:
The theory of composition algebras has subsequently been generalized to arbitrary quadratic forms and arbitrary
6641:
4698:
because of the properties of the real trace. The main axiom to check is the Jordan condition for the operators
1997:{\displaystyle \displaystyle {(\|a\|^{2}+\|b\|^{2})(\|c\|^{2}+\|d\|^{2})=\|ac-d^{*}b\|^{2}+\|bc^{*}+da\|^{2},}}
6656:
6626:
5795:
3582:{\displaystyle \displaystyle {v_{i}^{2}=\varepsilon ,\quad v_{i}v_{j}=\varepsilon v_{j}v_{i}\,\,(i\neq j),}}
4649:
satisfies the axioms for a
Euclidean Jordan algebra, the real trace defines a symmetric bilinear form with
6153:
6140:
5992:
4251:
6651:
4737:
6377:
2428:
2393:
5134:
2592:
6188:, American Mathematical Society Colloquium Publications, vol. 39, American Mathematical Society
5993:"Gruppentheoretischer Beweis des Satzes von Hurwitz–Radon über die Komposition quadratischer Formen"
4191:. Polarizing it follows that the associator is antisymmetric in its three entries. Furthermore, if
2162:
with the product and inner product above gives a noncommutative nonassociative algebra generated by
6636:
5800:
4574:
2431:, known to be equivalent to the representation theory of real Clifford algebras. Indeed, taking an
273:
40:
6578:
53:
49:
6542:
6530:
6291:
4627:
3613:
3597:
2446:
2420:
1183:
63:
into the positive real numbers on the non-zero part of the algebra, then the algebra must be
6247:
5363:
follows by this and the associativity property of the inner product in the identity above.
2903:
2389:
2358:
6573:(1990) "Composition Algebras. Hurwitz's Theorem — Vector-Product Algebras", chapter 10 of
6560:
6455:
6429:
6395:
6321:
6255:
6062:
8:
4181:
3601:
2602:
585:
242:
95:
88:
6500:
6482:
6411:
6404:
6361:
6283:
6210:
6173:
6109:
6012:
5971:
4603:
4451:
3416:{\displaystyle \displaystyle {V_{i}^{2}=-I,\quad V_{i}V_{j}=-V_{j}V_{i}\,\,(i\neq j).}}
131:
99:
6604:
6582:
6546:
6516:
6441:
6415:
6381:
6365:
6307:
6287:
6233:
6177:
6126:
6113:
6070:
6016:
3438:
2432:
147:
6125:, Carus Mathematical Monographs, vol. 15, Mathematical Association of America,
1246:. It is unital and is again a Euclidean Hurwitz algebra. It satisfies the following
1194:
a proper unital subalgebra, so a
Euclidean Hurwitz algebra in its own right. Pick a
6570:
6556:
6492:
6451:
6425:
6391:
6353:
6317:
6275:
6251:
6202:
6165:
6101:
6004:
5963:
5404:
2606:
2366:
2286:
484:
406:
127:
6504:
6496:
6600:
6538:
6299:
6243:
5539:
5456:
3656:
143:
103:
36:
6045:
592:
These properties are proved starting from the polarized version of the identity
6592:
6333:
4622:
139:
72:
56:
43:
6264:"Sur le théorème de Hurwitz-Radon pour la composition des formes quadratiques"
2365:
contains no unit vectors orthogonal to 1). The real
Clifford algebra and its
6620:
6221:
6141:"Über die Composition der quadratischen Formen von beliebig vielen Variabeln"
5498:
minimizing the sums of the squares of the norms of the off-diagonal terms of
5414:
3221:{\displaystyle \displaystyle {T_{i}T_{j}^{t}+T_{j}T_{i}^{t}=2\delta _{ij}I.}}
2174:
83:, and that there are no other possibilities. Such algebras, sometimes called
32:
110:. Subsequent proofs of the restrictions on the dimension have been given by
6470:
6092:
5379:
3449:
2424:
60:
6440:, De Gruyter Expositions in Mathematics, vol. 33, Walter de Gruyter,
3294:
are skew-adjoint, orthogonal satisfying exactly the same relations as the
6566:
5421:
3022:{\displaystyle \displaystyle {T(x)T(x)^{t}=x_{1}^{2}+\cdots +x_{N}^{2}.}}
1195:
68:
46:
20:
6357:
6279:
6214:
6169:
6105:
6008:
5975:
4081:
2581:{\displaystyle U_{i}^{2}=-I,\quad U_{i}U_{j}=-U_{j}U_{i}\,\,(i\neq j).}
2401:
76:
64:
6513:
On quaternions and octonions: their geometry, arithmetic, and symmetry
4581:
is associative (the real numbers, complex numbers or quaternions) and
6487:
5782:
has no local maximum (only a global minimum), a contradiction. Hence
5417:
4670:. So it is an inner product. It satisfies the associativity property
6341:
6206:
5967:
3814:. It is a unital nonassociative algebra with an involution given by
6346:
5954:
Albert, A. A. (1934), "On a certain algebra of quantum mechanics",
3744:. It breaks up into some of complex irreducible representations of
3116:{\displaystyle \displaystyle {T(x)=T_{1}x_{1}+\cdots +T_{N}x_{N},}}
2892:{\displaystyle \displaystyle {z_{i}=\sum _{j=1}^{N}a_{ij}(x)y_{j}}}
2170:
80:
6376:, London Mathematical Society Lecture Note Series, vol. 171,
5303:{\displaystyle (D(X),Y\circ Z)+(D(Y),Z\circ X)+(D(Z),X\circ Y)=0.}
4876:
a special argument is required, one of the shortest being due to
4446:
is a sum of two associators involving only off diagonal terms of
28:
5402:
leaving invariant the inner product. It is a closed subgroup of
391:{\displaystyle a^{*}=-a+2(a,1)1,\quad L(a)b=ab,\quad R(a)b=ba.}
483:, so that the involution on the algebra corresponds to taking
16:
Non-associative algebras with positive-definite quadratic form
6330:
Lie groups and Lie algebras. Lectures in geometry. Semester V
4065:
These are immediate consequences of the known identities for
6535:
Hypercomplex numbers. An elementary introduction to algebras
721:{\displaystyle \displaystyle {2(a,b)(c,d)=(ac,bd)+(ad,bc).}}
175:
is a finite-dimensional not necessarily associative algebra
6069:, Oxford Mathematical Monographs, Oxford University Press,
3740:'s act can be complexified. It will have complex dimension
5743:
preserves the real-valued trace. Since it can only change
3887:{\displaystyle \displaystyle {(x_{ij})^{*}=(x_{ji}^{*}).}}
179:
with identity endowed with a nondegenerate quadratic form
59:. The theorem states that if the quadratic form defines a
6087:, Mathematisch Instituut der Rijksuniversiteit te Utrecht
6046:"Topology, algebra, analysis—relations and missing links"
35:(1859–1919), published posthumously in 1923, solving the
2086:{\displaystyle \displaystyle {(ac,d^{*}b)=(bc^{*},da).}}
6192:
5870:
4424:{\displaystyle \displaystyle {y_{ij}=\sum _{k,\ell }.}}
2628:. Assume that there is a composition law for two forms
1522:. The formula for the involution follows. To show that
210:. If the underlying coefficient field is the reals and
6591:
6531:"Normed algebras with an identity. Hurwitz's theorem."
5984:
The algebraic theory of spinors and
Clifford algebras
5197:
5137:
4989:
4919:
4918:
4741:
4740:
4331:
4330:
4255:
4254:
4095:
4094:
3936:
3824:
3823:
3484:
3483:
3315:
3314:
3136:
3135:
3042:
3041:
2939:
2938:
2819:
2818:
2638:
2637:
2483:
2017:
2016:
1829:
1828:
1262:
1261:
630:
629:
285:
5534:, it can be assumed that the maximum is attained at
5659:. The diagonal entries are real. The derivative of
4824:is an associative algebra so a Jordan algebra with
3620:is even the center has order 4 with extra elements
6528:
6403:
5302:
5177:
5117:
4955:
4793:
4423:
4295:
4161:
4054:
3905:is defined as the sum of the diagonal elements of
3886:
3777:
3770:, the dimension is 4, which does not divide 6. So
3581:
3415:
3220:
3115:
3021:
2891:
2779:
2580:
2392:, so the Clifford algebra has exactly two complex
2085:
1996:
1449:
720:
390:
6597:Octonions, Jordan Algebras and Exceptional Groups
6025:"Hurwitz–Radon matrices and periodicity modulo 8"
6618:
6186:Structure and representations of Jordan algebras
2613:is assumed to be greater than 1.) The operators
102:by Hurwitz in 1898. It is a special case of the
6232:, vol. 67, American Mathematical Society,
6154:"Über die Komposition der quadratischen Formen"
5761:, it preserves their sum. However, on the line
5552:, acting by permuting the coordinates, lies in
4227:has certain commutation properties. In fact if
276:and right and left multiplication operators by
5633:. Then only the first two diagonal entries in
6085:Oktaven, Ausnahmegruppen und Oktavengeometrie
6060:
5931:
5893:
5881:
4162:{\displaystyle \displaystyle {=a(bc)-(ab)c.}}
2427:, or the projective representation theory of
1795:Imposing the multiplicativity of the norm on
1143:It is routine to check that the real numbers
157:
4450:. Since the associators are invariant under
4172:It is trilinear and vanishes identically if
2297:must be 1, 2, 4 or 8. In fact the operators
2193:, the argument above shows that it contains
2169:. This recovers the usual definition of the
1980:
1954:
1942:
1916:
1901:
1894:
1882:
1875:
1860:
1853:
1841:
1834:
6510:
6406:An introduction to non-associative algebras
6226:Introduction to Quadratic Forms over Fields
6091:
6082:
5482:To prove the diagonalization theorem, take
5425:
4877:
3717:, the two irreducibles must have dimension
2217:. But there the process must stop, because
4956:{\displaystyle \displaystyle {D(X)=TX-XT}}
3463:be the finite group generated by elements
2124:This analysis applies to the inclusion of
6529:Kantor, I.L.; Solodovnikov, A.S. (1989),
6511:Conway, John H.; Smith, Derek A. (2003),
6486:
6327:
5981:
5937:
5560:is not diagonal, it can be supposed that
5324:is skew-adjoint. The derivation property
4477:be the space of self-adjoint elements in
3558:
3557:
3392:
3391:
2559:
2558:
2282:
2211:. If it is larger still, it must contain
1340:
1339:
1338:
1287:
1286:
1285:
1178:Analysing such an inclusion leads to the
123:
6298:
6183:
6120:
5914:
5374:as in the statement of the theorem, let
2929:. The relations above are equivalent to
2331:and so form a real Clifford algebra. If
2181:is a Euclidean algebra, it must contain
152:classification of simple Jordan algebras
130:. Hurwitz's theorem has been applied in
6435:
6401:
6371:
6342:"Lineare scharen orthogonaler matrizen"
6151:
6138:
6043:
6022:
5990:
5908:
5857:
5852:
5836:
5831:
4245:with real entries on the diagonal then
3786:be a Euclidean Hurwitz algebra and let
2625:
2416:
111:
6619:
6537:, Trans. A. Shenitzer (2nd ed.),
5953:
5424:consists of skew-adjoint derivations.
4592:is nonassociative (the octonions) and
4438:are real, the off-diagonal entries of
2408:. It is easy to see that this implies
116:representation theory of finite groups
6339:
5871:Jordan, von Neumann & Wigner 1934
4966:defines a skew-adjoint derivation of
107:
6468:
4296:{\displaystyle \displaystyle {=aI,}}
6261:
6220:
5826:
4794:{\displaystyle \displaystyle {=0.}}
3927:. The real-valued trace satisfies:
2278:
1190:be a Euclidean Hurwitz algebra and
264:is a Euclidean Hurwitz algebra and
119:
13:
6462:
3752:. In particular this dimension is
1249:Cayley–Dickson multiplication laws
14:
6668:
5719:. This derivative is non-zero if
1138:
5582:be the skew-adjoint matrix with
5475:for any non-associative algebra
4025:
3992:
3967:
3943:
2377:-dimensional complex space. If
2187:. If it is strictly larger than
6438:Compositions of quadratic forms
6230:Graduate Studies in Mathematics
5732:. On the other hand, the group
5178:{\displaystyle (D(X),X^{2})=0.}
4442:vanish. Each diagonal entry of
3985:
3778:Applications to Jordan algebras
3763:is less than or equal to 8. If
3612:is odd this coincides with the
3510:
3344:
2511:
2369:act on the complexification of
2272:
1532:is closed under multiplication
360:
332:
5922:
5899:
5887:
5875:
5864:
5843:
5817:
5291:
5276:
5270:
5264:
5258:
5243:
5237:
5231:
5225:
5210:
5204:
5198:
5166:
5150:
5144:
5138:
5100:
5094:
5082:
5073:
5058:
5055:
5052:
5046:
5033:
5024:
5021:
5008:
5002:
4996:
4930:
4924:
4780:
4777:
4764:
4755:
4749:
4743:
4434:Since the diagonal entries of
4413:
4365:
4276:
4257:
4148:
4139:
4133:
4124:
4115:
4097:
4046:
4037:
4010:
4001:
3876:
3855:
3843:
3826:
3571:
3559:
3405:
3393:
3053:
3047:
2963:
2956:
2950:
2944:
2874:
2868:
2727:
2685:
2682:
2640:
2572:
2560:
2075:
2050:
2044:
2019:
1910:
1872:
1869:
1831:
1436:
1411:
1405:
1380:
1374:
1359:
1356:
1341:
1304:
1288:
710:
692:
686:
668:
662:
650:
647:
635:
370:
364:
342:
336:
323:
311:
214:is positive-definite, so that
1:
6497:10.1090/S0273-0979-01-00934-X
6402:Schafer, Richard D. (1995) ,
5947:
5796:Multiplicative quadratic form
3909:and the real-valued trace by
2449:of 1 gives rise to operators
1059:Substituting the formula for
162:
52:endowed with a nondegenerate
2346:is skew-adjoint with square
2223:is not associative. In fact
7:
6436:Shapiro, Daniel B. (2000),
6067:Analysis on symmetric cones
5986:, Columbia University Press
5789:
4804:This is easy to check when
2429:elementary abelian 2-groups
2394:irreducible representations
2289:to show that the dimension
1238:be subalgebra generated by
1180:Cayley–Dickson construction
10:
6673:
6378:Cambridge University Press
6083:Freudenthal, Hans (1951),
4454:, the diagonal entries of
3774:can only be 1, 2, 4 or 8.
3709:and the dimensions divide
2412:can only be 1, 2, 4 or 8.
1056:gives the other identity.
1030:. Applied to 1 this gives
967:By the polarized identity
158:Euclidean Hurwitz algebras
6595:; F. D. Veldkamp (2000),
6306:, Van Nostrand Reinhold,
6117:(reprint of 1951 article)
5932:Faraut & Koranyi 1994
5894:Faraut & Koranyi 1994
5882:Faraut & Koranyi 1994
5436:there is an automorphism
4213:. These facts imply that
3729:. The space on which the
3655:is not in the center its
2593:projective representation
251:Euclidean Hurwitz algebra
6632:Non-associative algebras
6121:Herstein, I. N. (1968),
6050:Notices Amer. Math. Soc.
5811:
5602:and 0 elsewhere and let
4575:Euclidean Jordan algebra
3604:is just formed of 1 and
253:or (finite-dimensional)
136:vector fields on spheres
50:non-associative algebras
6647:Theorems about algebras
6579:Heinz-Dieter Ebbinghaus
6372:Rajwade, A. R. (1993),
6035:: 77–91, archived from
3748:, all having dimension
2595:of a direct product of
2335:is a unit vector, then
2229:is not commutative and
2199:. If it is larger than
1135:is proved analogously.
255:normed division algebra
6475:Bull. Amer. Math. Soc.
6469:Baez, John C. (2002),
6328:Postnikov, M. (1986),
6044:Eckmann, Beno (1999),
6023:Eckmann, Beno (1989),
5991:Eckmann, Beno (1943),
5982:Chevalley, C. (1954),
5304:
5179:
5119:
4957:
4808:is associative, since
4795:
4425:
4297:
4176:is associative. Since
4163:
4056:
3888:
3673:conjugacy classes for
3583:
3417:
3222:
3117:
3023:
2893:
2854:
2781:
2582:
2087:
1998:
1698:taking adjoints above.
1499:, since by orthogonal
1469:are orthogonal, since
1451:
1149:, the complex numbers
722:
392:
6642:Representation theory
6184:Jacobson, N. (1968),
5684:coordinate of , i.e.
5655:differ from those of
5606:be the derivation ad
5305:
5180:
5120:
4958:
4796:
4426:
4298:
4164:
4057:
3889:
3584:
3418:
3223:
3126:the relations become
3118:
3024:
2894:
2834:
2782:
2583:
2447:orthogonal complement
2421:representation theory
2088:
1999:
1452:
723:
405:the involution is an
393:
6657:Hypercomplex numbers
6627:Composition algebras
6304:Topological Geometry
6268:Comment. Math. Helv.
6152:Hurwitz, A. (1923),
6139:Hurwitz, A. (1898),
6123:Noncommutative rings
5997:Comment. Math. Helv.
5801:Radon–Hurwitz number
5195:
5135:
4987:
4916:
4738:
4328:
4252:
4092:
3934:
3821:
3481:
3312:
3133:
3039:
2936:
2816:
2635:
2481:
2361:or 1 (in which case
2014:
1826:
1548:is orthogonal to 1,
1259:
1155:and the quaternions
627:
283:
89:composition algebras
6262:Lee, H. C. (1948),
5188:Polarizing yields:
4452:cyclic permutations
4182:alternative algebra
3875:
3602:commutator subgroup
3500:
3331:
3190:
3162:
3013:
2989:
2771:
2747:
2726:
2702:
2681:
2657:
2498:
2119:must be associative
586:alternative algebra
173:composition algebra
6652:1923 introductions
6581:et al., Springer,
6412:Dover Publications
6358:10.1007/bf02940576
6340:Radon, J. (1922),
6280:10.1007/bf02568038
6170:10.1007/bf01448439
6106:10.1007/bf00233101
6009:10.1007/bf02565652
5917:, pp. 141–144
5786:must be diagonal.
5578:are non-zero. Let
5428:showed that given
5426:Freudenthal (1951)
5300:
5175:
5115:
4953:
4952:
4878:Freudenthal (1951)
4791:
4790:
4528:and inner product
4421:
4420:
4364:
4293:
4292:
4159:
4158:
4052:
3884:
3883:
3858:
3802:be the algebra of
3579:
3578:
3486:
3413:
3412:
3317:
3218:
3217:
3176:
3148:
3113:
3112:
3019:
3018:
2999:
2975:
2889:
2888:
2777:
2776:
2757:
2733:
2712:
2688:
2667:
2643:
2578:
2484:
2083:
2082:
1994:
1993:
1731:= 0, so that, for
1447:
1446:
1217:, it follows that
718:
717:
388:
132:algebraic topology
87:, are examples of
41:finite-dimensional
6610:978-3-540-66337-9
6552:978-0-387-96980-0
6447:978-3-11-012629-7
6421:978-0-486-68813-8
6387:978-0-521-42668-8
6313:978-0-442-06606-2
6239:978-0-8218-1095-8
5806:Frobenius Theorem
5494:can be chosen in
5490:. By compactness
4349:
3921: ) = Re Tr(
3669:. Thus there are
3439:orthogonal matrix
2433:orthonormal basis
2287:Clifford algebras
1473:is orthogonal to
148:quantum mechanics
128:Clifford algebras
106:, solved also in
54:positive-definite
25:Hurwitz's theorem
6664:
6613:
6571:Reinhold Remmert
6563:
6525:
6507:
6490:
6458:
6432:
6409:
6398:
6368:
6336:
6324:
6295:
6290:, archived from
6258:
6217:
6189:
6180:
6148:
6135:
6116:
6088:
6079:
6057:
6040:
6019:
5987:
5978:
5942:
5934:, pp. 88–91
5926:
5920:
5903:
5897:
5896:, pp. 81–86
5891:
5885:
5879:
5873:
5868:
5862:
5847:
5841:
5821:
5785:
5781:
5771:
5760:
5751:
5742:
5731:
5718:
5683:
5679:
5672:
5658:
5654:
5632:
5628:
5613:
5609:
5605:
5601:
5593:
5589:
5585:
5581:
5577:
5569:and its adjoint
5568:
5559:
5555:
5551:
5537:
5533:
5527:
5523:
5512:
5508:
5497:
5493:
5489:
5485:
5478:
5474:
5454:
5443:
5439:
5435:
5431:
5412:
5401:
5378:be the group of
5377:
5373:
5369:
5362:
5323:
5319:
5309:
5307:
5306:
5301:
5184:
5182:
5181:
5176:
5165:
5164:
5124:
5122:
5121:
5116:
5045:
5044:
5020:
5019:
4979:
4962:
4960:
4959:
4954:
4951:
4908:
4900:
4886:
4875:
4868:
4858:
4848:
4846:
4845:
4842:
4839:
4823:
4807:
4800:
4798:
4797:
4792:
4789:
4776:
4775:
4730:
4708:
4697:
4669:
4648:
4619:
4598:
4591:
4587:
4580:
4572:
4556:
4549:
4527:
4517:
4515:
4514:
4511:
4508:
4492:
4476:
4457:
4449:
4445:
4441:
4437:
4430:
4428:
4427:
4422:
4419:
4412:
4411:
4396:
4395:
4380:
4379:
4363:
4345:
4344:
4320:
4313:
4309:
4302:
4300:
4299:
4294:
4291:
4275:
4274:
4244:
4230:
4226:
4212:
4208:
4202:
4198:
4194:
4190:
4186:
4179:
4175:
4168:
4166:
4165:
4160:
4157:
4078:
4071:
4061:
4059:
4058:
4053:
4030:
4029:
4028:
3997:
3996:
3995:
3972:
3971:
3970:
3948:
3947:
3946:
3926:
3908:
3904:
3893:
3891:
3890:
3885:
3882:
3874:
3869:
3851:
3850:
3841:
3840:
3813:
3809:
3805:
3801:
3785:
3769:
3762:
3758:
3751:
3747:
3743:
3739:
3728:
3724:
3720:
3716:
3708:
3700:
3696:
3694:
3688:
3684:
3680:
3676:
3672:
3668:
3662:
3654:
3650:
3646:
3639:
3619:
3611:
3607:
3600:of order 2. The
3595:
3588:
3586:
3585:
3580:
3577:
3556:
3555:
3546:
3545:
3530:
3529:
3520:
3519:
3499:
3494:
3473:
3462:
3455:
3447:
3436:
3422:
3420:
3419:
3414:
3411:
3390:
3389:
3380:
3379:
3364:
3363:
3354:
3353:
3330:
3325:
3304:
3293:
3274:
3259:
3227:
3225:
3224:
3219:
3216:
3209:
3208:
3189:
3184:
3175:
3174:
3161:
3156:
3147:
3146:
3122:
3120:
3119:
3114:
3111:
3107:
3106:
3097:
3096:
3078:
3077:
3068:
3067:
3028:
3026:
3025:
3020:
3017:
3012:
3007:
2988:
2983:
2971:
2970:
2928:
2924:
2898:
2896:
2895:
2890:
2887:
2886:
2885:
2867:
2866:
2853:
2848:
2830:
2829:
2808:
2804:
2800:
2786:
2784:
2783:
2778:
2775:
2770:
2765:
2746:
2741:
2725:
2720:
2701:
2696:
2680:
2675:
2656:
2651:
2623:
2612:
2601:
2587:
2585:
2584:
2579:
2557:
2556:
2547:
2546:
2531:
2530:
2521:
2520:
2497:
2492:
2473:
2444:
2411:
2407:
2399:
2387:
2380:
2376:
2372:
2367:complexification
2364:
2356:
2352:
2345:
2334:
2330:
2315:
2307:
2296:
2292:
2283:Chevalley (1954)
2267:
2260:
2254:
2228:
2222:
2216:
2210:
2204:
2198:
2192:
2186:
2180:
2168:
2161:
2147:
2141:
2135:
2129:
2117:
2113:
2092:
2090:
2089:
2084:
2081:
2065:
2064:
2040:
2039:
2003:
2001:
2000:
1995:
1992:
1988:
1987:
1969:
1968:
1950:
1949:
1937:
1936:
1909:
1908:
1890:
1889:
1868:
1867:
1849:
1848:
1818:
1808:
1798:
1790:
1738:
1734:
1730:
1718:
1697:
1675:
1599:
1595:
1591:
1579:
1558:
1547:
1541:
1531:
1521:
1498:
1484:
1480:
1476:
1472:
1468:
1462:
1456:
1454:
1453:
1448:
1445:
1426:
1425:
1401:
1400:
1325:
1324:
1312:
1311:
1245:
1241:
1237:
1233:
1226:
1216:
1208:
1204:
1200:
1193:
1189:
1182:, formalized by
1174:
1160:
1154:
1148:
1134:
1115:
1096:
1065:
1055:
1048:
1044:
1029:
1002:
963:
947:
880:
813:
782:
763:
744:
737:
727:
725:
724:
719:
716:
619:
583:
579:
560:
540:
519:
499:
482:
463:
443:
424:
407:antiautomorphism
397:
395:
394:
389:
295:
294:
271:
267:
263:
248:
240:
239:
237:
236:
233:
230:
213:
209:
182:
178:
144:classical groups
124:Chevalley (1954)
85:Hurwitz algebras
6672:
6671:
6667:
6666:
6665:
6663:
6662:
6661:
6637:Quadratic forms
6617:
6616:
6611:
6601:Springer-Verlag
6593:Springer, T. A.
6553:
6539:Springer-Verlag
6523:
6471:"The octonions"
6465:
6463:Further reading
6448:
6422:
6388:
6314:
6240:
6207:10.2307/1968117
6133:
6077:
5968:10.2307/1968118
5950:
5945:
5927:
5923:
5904:
5900:
5892:
5888:
5880:
5876:
5869:
5865:
5848:
5844:
5822:
5818:
5814:
5792:
5783:
5773:
5762:
5759:
5753:
5750:
5744:
5741:
5733:
5730:
5720:
5712:
5702:
5695:
5685:
5681:
5674:
5666:
5660:
5656:
5650:
5634:
5630:
5623:
5615:
5611:
5607:
5603:
5595:
5591:
5587:
5583:
5579:
5576:
5570:
5567:
5561:
5557:
5553:
5550:
5542:
5540:symmetric group
5535:
5529:
5525:
5514:
5510:
5499:
5495:
5491:
5487:
5483:
5476:
5468:
5460:
5457:diagonal matrix
5445:
5441:
5437:
5433:
5429:
5403:
5395:
5383:
5375:
5371:
5367:
5325:
5321:
5314:
5196:
5193:
5192:
5160:
5156:
5136:
5133:
5132:
5040:
5036:
5015:
5011:
4988:
4985:
4984:
4973:
4967:
4920:
4917:
4914:
4913:
4902:
4894:
4888:
4884:
4870:
4860:
4843:
4840:
4837:
4836:
4834:
4825:
4817:
4809:
4805:
4771:
4767:
4742:
4739:
4736:
4735:
4710:
4699:
4671:
4667:
4650:
4642:
4634:
4613:
4607:
4606:Jordan algebra
4593:
4589:
4582:
4578:
4566:
4558:
4554:
4543:
4529:
4512:
4509:
4506:
4505:
4503:
4494:
4486:
4478:
4470:
4462:
4458:are all equal.
4455:
4447:
4443:
4439:
4435:
4404:
4400:
4388:
4384:
4372:
4368:
4353:
4337:
4333:
4332:
4329:
4326:
4325:
4315:
4311:
4307:
4270:
4266:
4256:
4253:
4250:
4249:
4238:
4232:
4231:is a matrix in
4228:
4220:
4214:
4210:
4204:
4200:
4196:
4192:
4188:
4184:
4177:
4173:
4096:
4093:
4090:
4089:
4076:
4066:
4024:
4023:
4019:
3991:
3990:
3986:
3966:
3965:
3961:
3942:
3941:
3937:
3935:
3932:
3931:
3916:
3910:
3906:
3898:
3870:
3862:
3846:
3842:
3833:
3829:
3825:
3822:
3819:
3818:
3811:
3807:
3803:
3795:
3787:
3783:
3780:
3764:
3760:
3753:
3749:
3745:
3741:
3738:
3730:
3726:
3722:
3718:
3710:
3702:
3698:
3692:
3690:
3686:
3682:
3678:
3674:
3670:
3664:
3660:
3657:conjugacy class
3652:
3648:
3641:
3638:
3628:
3621:
3617:
3609:
3605:
3593:
3551:
3547:
3541:
3537:
3525:
3521:
3515:
3511:
3495:
3490:
3485:
3482:
3479:
3478:
3472:
3464:
3460:
3453:
3442:
3435:
3427:
3385:
3381:
3375:
3371:
3359:
3355:
3349:
3345:
3326:
3321:
3316:
3313:
3310:
3309:
3303:
3295:
3292:
3282:
3276:
3269:
3261:
3258:
3249:
3240:
3232:
3201:
3197:
3185:
3180:
3170:
3166:
3157:
3152:
3142:
3138:
3137:
3134:
3131:
3130:
3102:
3098:
3092:
3088:
3073:
3069:
3063:
3059:
3043:
3040:
3037:
3036:
3008:
3003:
2984:
2979:
2966:
2962:
2940:
2937:
2934:
2933:
2926:
2922:
2906:
2881:
2877:
2859:
2855:
2849:
2838:
2825:
2821:
2820:
2817:
2814:
2813:
2806:
2802:
2801:is bilinear in
2799:
2791:
2766:
2761:
2742:
2737:
2721:
2716:
2697:
2692:
2676:
2671:
2652:
2647:
2639:
2636:
2633:
2632:
2622:
2614:
2610:
2596:
2552:
2548:
2542:
2538:
2526:
2522:
2516:
2512:
2493:
2488:
2482:
2479:
2478:
2471:
2458:
2450:
2443:
2435:
2409:
2405:
2397:
2382:
2378:
2374:
2370:
2362:
2357:must be either
2354:
2347:
2336:
2332:
2317:
2309:
2298:
2294:
2290:
2275:
2265:
2256:
2230:
2224:
2218:
2212:
2206:
2200:
2194:
2188:
2182:
2178:
2163:
2149:
2143:
2137:
2131:
2125:
2115:
2097:
2060:
2056:
2035:
2031:
2018:
2015:
2012:
2011:
2007:which leads to
1983:
1979:
1964:
1960:
1945:
1941:
1932:
1928:
1904:
1900:
1885:
1881:
1863:
1859:
1844:
1840:
1830:
1827:
1824:
1823:
1810:
1800:
1796:
1740:
1736:
1732:
1720:
1701:
1679:
1601:
1597:
1593:
1581:
1563:
1549:
1543:
1533:
1523:
1500:
1486:
1482:
1478:
1474:
1470:
1464:
1460:
1421:
1417:
1396:
1392:
1320:
1316:
1307:
1303:
1263:
1260:
1257:
1256:
1243:
1239:
1235:
1228:
1218:
1210:
1206:
1202:
1198:
1191:
1187:
1162:
1156:
1150:
1144:
1141:
1117:
1098:
1067:
1060:
1050:
1046:
1031:
1004:
968:
949:
885:
818:
787:
765:
746:
739:
732:
631:
628:
625:
624:
593:
581:
562:
543:
522:
501:
489:
465:
446:
427:
410:
290:
286:
284:
281:
280:
269:
265:
261:
246:
234:
231:
228:
227:
225:
215:
211:
184:
180:
176:
169:Hurwitz algebra
165:
160:
140:homotopy groups
134:to problems on
104:Hurwitz problem
73:complex numbers
37:Hurwitz problem
17:
12:
11:
5:
6670:
6660:
6659:
6654:
6649:
6644:
6639:
6634:
6629:
6615:
6614:
6609:
6589:
6564:
6551:
6526:
6522:978-1568811345
6521:
6515:, A K Peters,
6508:
6481:(2): 145–205,
6464:
6461:
6460:
6459:
6446:
6433:
6420:
6399:
6386:
6369:
6337:
6325:
6312:
6300:Porteous, I.R.
6296:
6259:
6238:
6222:Lam, Tsit-Yuen
6218:
6190:
6181:
6149:
6136:
6132:978-0883850152
6131:
6118:
6094:Geom. Dedicata
6089:
6080:
6076:978-0198534778
6075:
6058:
6041:
6029:Enseign. Math.
6020:
5988:
5979:
5949:
5946:
5944:
5943:
5941:
5940:
5938:Postnikov 1986
5935:
5921:
5919:
5918:
5912:
5898:
5886:
5874:
5863:
5861:
5860:
5855:
5842:
5840:
5839:
5834:
5829:
5815:
5813:
5810:
5809:
5808:
5803:
5798:
5791:
5788:
5757:
5748:
5737:
5728:
5710:
5700:
5693:
5664:
5646:
5619:
5574:
5565:
5546:
5464:
5391:
5311:
5310:
5299:
5296:
5293:
5290:
5287:
5284:
5281:
5278:
5275:
5272:
5269:
5266:
5263:
5260:
5257:
5254:
5251:
5248:
5245:
5242:
5239:
5236:
5233:
5230:
5227:
5224:
5221:
5218:
5215:
5212:
5209:
5206:
5203:
5200:
5186:
5185:
5174:
5171:
5168:
5163:
5159:
5155:
5152:
5149:
5146:
5143:
5140:
5126:
5125:
5114:
5111:
5108:
5105:
5102:
5099:
5096:
5093:
5090:
5087:
5084:
5081:
5078:
5075:
5072:
5069:
5066:
5063:
5060:
5057:
5054:
5051:
5048:
5043:
5039:
5035:
5032:
5029:
5026:
5023:
5018:
5014:
5010:
5007:
5004:
5001:
4998:
4995:
4992:
4971:
4964:
4963:
4950:
4947:
4944:
4941:
4938:
4935:
4932:
4929:
4926:
4923:
4892:
4813:
4802:
4801:
4788:
4785:
4782:
4779:
4774:
4770:
4766:
4763:
4760:
4757:
4754:
4751:
4748:
4745:
4663:
4638:
4633:To check that
4623:Albert algebra
4620:is called the
4611:
4562:
4539:
4482:
4466:
4432:
4431:
4418:
4415:
4410:
4407:
4403:
4399:
4394:
4391:
4387:
4383:
4378:
4375:
4371:
4367:
4362:
4359:
4356:
4352:
4348:
4343:
4340:
4336:
4304:
4303:
4290:
4287:
4284:
4281:
4278:
4273:
4269:
4265:
4262:
4259:
4236:
4218:
4170:
4169:
4156:
4153:
4150:
4147:
4144:
4141:
4138:
4135:
4132:
4129:
4126:
4123:
4120:
4117:
4114:
4111:
4108:
4105:
4102:
4099:
4063:
4062:
4051:
4048:
4045:
4042:
4039:
4036:
4033:
4027:
4022:
4018:
4015:
4012:
4009:
4006:
4003:
4000:
3994:
3989:
3984:
3981:
3978:
3975:
3969:
3964:
3960:
3957:
3954:
3951:
3945:
3940:
3912:
3895:
3894:
3881:
3878:
3873:
3868:
3865:
3861:
3857:
3854:
3849:
3845:
3839:
3836:
3832:
3828:
3810:matrices over
3791:
3779:
3776:
3734:
3695:/ | = 2
3633:
3626:
3590:
3589:
3576:
3573:
3570:
3567:
3564:
3561:
3554:
3550:
3544:
3540:
3536:
3533:
3528:
3524:
3518:
3514:
3509:
3506:
3503:
3498:
3493:
3489:
3468:
3431:
3424:
3423:
3410:
3407:
3404:
3401:
3398:
3395:
3388:
3384:
3378:
3374:
3370:
3367:
3362:
3358:
3352:
3348:
3343:
3340:
3337:
3334:
3329:
3324:
3320:
3299:
3287:
3280:
3265:
3254:
3245:
3236:
3229:
3228:
3215:
3212:
3207:
3204:
3200:
3196:
3193:
3188:
3183:
3179:
3173:
3169:
3165:
3160:
3155:
3151:
3145:
3141:
3124:
3123:
3110:
3105:
3101:
3095:
3091:
3087:
3084:
3081:
3076:
3072:
3066:
3062:
3058:
3055:
3052:
3049:
3046:
3030:
3029:
3016:
3011:
3006:
3002:
2998:
2995:
2992:
2987:
2982:
2978:
2974:
2969:
2965:
2961:
2958:
2955:
2952:
2949:
2946:
2943:
2918:
2900:
2899:
2884:
2880:
2876:
2873:
2870:
2865:
2862:
2858:
2852:
2847:
2844:
2841:
2837:
2833:
2828:
2824:
2795:
2788:
2787:
2774:
2769:
2764:
2760:
2756:
2753:
2750:
2745:
2740:
2736:
2732:
2729:
2724:
2719:
2715:
2711:
2708:
2705:
2700:
2695:
2691:
2687:
2684:
2679:
2674:
2670:
2666:
2663:
2660:
2655:
2650:
2646:
2642:
2626:Hurwitz (1923)
2618:
2589:
2588:
2577:
2574:
2571:
2568:
2565:
2562:
2555:
2551:
2545:
2541:
2537:
2534:
2529:
2525:
2519:
2515:
2510:
2507:
2504:
2501:
2496:
2491:
2487:
2467:
2454:
2439:
2417:Eckmann (1943)
2277:The proofs of
2274:
2271:
2205:, it contains
2175:Cayley numbers
2094:
2093:
2080:
2077:
2074:
2071:
2068:
2063:
2059:
2055:
2052:
2049:
2046:
2043:
2038:
2034:
2030:
2027:
2024:
2021:
2005:
2004:
1991:
1986:
1982:
1978:
1975:
1972:
1967:
1963:
1959:
1956:
1953:
1948:
1944:
1940:
1935:
1931:
1927:
1924:
1921:
1918:
1915:
1912:
1907:
1903:
1899:
1896:
1893:
1888:
1884:
1880:
1877:
1874:
1871:
1866:
1862:
1858:
1855:
1852:
1847:
1843:
1839:
1836:
1833:
1793:
1792:
1699:
1677:
1458:
1457:
1444:
1441:
1438:
1435:
1432:
1429:
1424:
1420:
1416:
1413:
1410:
1407:
1404:
1399:
1395:
1391:
1388:
1385:
1382:
1379:
1376:
1373:
1370:
1367:
1364:
1361:
1358:
1355:
1352:
1349:
1346:
1343:
1337:
1334:
1331:
1328:
1323:
1319:
1315:
1310:
1306:
1302:
1299:
1296:
1293:
1290:
1284:
1281:
1278:
1275:
1272:
1269:
1266:
1205:orthogonal to
1140:
1139:Classification
1137:
1116:. The formula
729:
728:
715:
712:
709:
706:
703:
700:
697:
694:
691:
688:
685:
682:
679:
676:
673:
670:
667:
664:
661:
658:
655:
652:
649:
646:
643:
640:
637:
634:
590:
589:
541:
520:
487:
444:
425:
399:
398:
387:
384:
381:
378:
375:
372:
369:
366:
363:
359:
356:
353:
350:
347:
344:
341:
338:
335:
331:
328:
325:
322:
319:
316:
313:
310:
307:
304:
301:
298:
293:
289:
164:
161:
159:
156:
112:Eckmann (1943)
57:quadratic form
15:
9:
6:
4:
3:
2:
6669:
6658:
6655:
6653:
6650:
6648:
6645:
6643:
6640:
6638:
6635:
6633:
6630:
6628:
6625:
6624:
6622:
6612:
6606:
6602:
6598:
6594:
6590:
6588:
6587:0-387-97202-1
6584:
6580:
6576:
6572:
6568:
6565:
6562:
6558:
6554:
6548:
6544:
6540:
6536:
6532:
6527:
6524:
6518:
6514:
6509:
6506:
6502:
6498:
6494:
6489:
6484:
6480:
6476:
6472:
6467:
6466:
6457:
6453:
6449:
6443:
6439:
6434:
6431:
6427:
6423:
6417:
6413:
6408:
6407:
6400:
6397:
6393:
6389:
6383:
6379:
6375:
6370:
6367:
6363:
6359:
6355:
6351:
6347:
6343:
6338:
6335:
6331:
6326:
6323:
6319:
6315:
6309:
6305:
6301:
6297:
6294:on 2014-05-03
6293:
6289:
6285:
6281:
6277:
6273:
6269:
6265:
6260:
6257:
6253:
6249:
6245:
6241:
6235:
6231:
6227:
6223:
6219:
6216:
6212:
6208:
6204:
6200:
6196:
6195:Ann. of Math.
6191:
6187:
6182:
6179:
6175:
6171:
6167:
6164:(1–2): 1–25,
6163:
6159:
6155:
6150:
6146:
6145:Goett. Nachr.
6142:
6137:
6134:
6128:
6124:
6119:
6115:
6111:
6107:
6103:
6099:
6095:
6090:
6086:
6081:
6078:
6072:
6068:
6064:
6059:
6055:
6051:
6047:
6042:
6039:on 2013-06-16
6038:
6034:
6030:
6026:
6021:
6018:
6014:
6010:
6006:
6002:
5998:
5994:
5989:
5985:
5980:
5977:
5973:
5969:
5965:
5961:
5957:
5956:Ann. of Math.
5952:
5951:
5939:
5936:
5933:
5930:
5929:
5925:
5916:
5915:Herstein 1968
5913:
5910:
5907:
5906:
5902:
5895:
5890:
5883:
5878:
5872:
5867:
5859:
5856:
5854:
5851:
5850:
5846:
5838:
5835:
5833:
5830:
5828:
5825:
5824:
5820:
5816:
5807:
5804:
5802:
5799:
5797:
5794:
5793:
5787:
5780:
5776:
5769:
5765:
5756:
5747:
5740:
5736:
5727:
5723:
5716:
5709:
5705:
5699:
5692:
5688:
5677:
5670:
5663:
5653:
5649:
5645:
5641:
5637:
5627:
5622:
5618:
5599:
5573:
5564:
5549:
5545:
5541:
5532:
5521:
5517:
5506:
5502:
5480:
5472:
5467:
5463:
5458:
5452:
5448:
5427:
5423:
5419:
5416:
5410:
5406:
5399:
5394:
5390:
5386:
5381:
5380:automorphisms
5364:
5360:
5356:
5352:
5348:
5344:
5340:
5336:
5332:
5328:
5317:
5297:
5294:
5288:
5285:
5282:
5279:
5273:
5267:
5261:
5255:
5252:
5249:
5246:
5240:
5234:
5228:
5222:
5219:
5216:
5213:
5207:
5201:
5191:
5190:
5189:
5172:
5169:
5161:
5157:
5153:
5147:
5141:
5131:
5130:
5129:
5112:
5109:
5106:
5103:
5097:
5091:
5088:
5085:
5079:
5076:
5070:
5067:
5064:
5061:
5049:
5041:
5037:
5030:
5027:
5016:
5012:
5005:
4999:
4993:
4990:
4983:
4982:
4981:
4977:
4970:
4948:
4945:
4942:
4939:
4936:
4933:
4927:
4921:
4912:
4911:
4910:
4906:
4898:
4891:
4881:
4879:
4873:
4867:
4863:
4856:
4852:
4832:
4828:
4821:
4816:
4812:
4786:
4783:
4772:
4768:
4761:
4758:
4752:
4746:
4734:
4733:
4732:
4729:
4725:
4721:
4717:
4713:
4706:
4702:
4695:
4691:
4687:
4683:
4679:
4675:
4666:
4662:
4659:) = Σ ‖
4658:
4654:
4646:
4641:
4637:
4631:
4629:
4625:
4624:
4617:
4610:
4605:
4600:
4596:
4585:
4576:
4570:
4565:
4561:
4557:
4551:
4547:
4542:
4538: ) = Tr
4537:
4533:
4525:
4521:
4501:
4497:
4493:with product
4490:
4485:
4481:
4474:
4469:
4465:
4459:
4453:
4416:
4408:
4405:
4401:
4397:
4392:
4389:
4385:
4381:
4376:
4373:
4369:
4360:
4357:
4354:
4350:
4346:
4341:
4338:
4334:
4324:
4323:
4322:
4318:
4314:. In fact if
4288:
4285:
4282:
4279:
4271:
4267:
4263:
4260:
4248:
4247:
4246:
4242:
4235:
4224:
4217:
4207:
4183:
4154:
4151:
4145:
4142:
4136:
4130:
4127:
4121:
4118:
4112:
4109:
4106:
4103:
4100:
4088:
4087:
4086:
4084:
4083:
4073:
4069:
4049:
4043:
4040:
4034:
4031:
4020:
4016:
4013:
4007:
4004:
3998:
3987:
3982:
3979:
3976:
3973:
3962:
3958:
3955:
3952:
3949:
3938:
3930:
3929:
3928:
3924:
3920:
3915:
3902:
3879:
3871:
3866:
3863:
3859:
3852:
3847:
3837:
3834:
3830:
3817:
3816:
3815:
3799:
3794:
3790:
3775:
3773:
3767:
3757:
3737:
3733:
3714:
3706:
3667:
3658:
3644:
3636:
3632:
3625:
3615:
3603:
3599:
3574:
3568:
3565:
3562:
3552:
3548:
3542:
3538:
3534:
3531:
3526:
3522:
3516:
3512:
3507:
3504:
3501:
3496:
3491:
3487:
3477:
3476:
3475:
3471:
3467:
3457:
3451:
3446:
3440:
3434:
3430:
3408:
3402:
3399:
3396:
3386:
3382:
3376:
3372:
3368:
3365:
3360:
3356:
3350:
3346:
3341:
3338:
3335:
3332:
3327:
3322:
3318:
3308:
3307:
3306:
3302:
3298:
3290:
3286:
3279:
3273:
3268:
3264:
3257:
3253:
3248:
3244:
3239:
3235:
3213:
3210:
3205:
3202:
3198:
3194:
3191:
3186:
3181:
3177:
3171:
3167:
3163:
3158:
3153:
3149:
3143:
3139:
3129:
3128:
3127:
3108:
3103:
3099:
3093:
3089:
3085:
3082:
3079:
3074:
3070:
3064:
3060:
3056:
3050:
3044:
3035:
3034:
3033:
3014:
3009:
3004:
3000:
2996:
2993:
2990:
2985:
2980:
2976:
2972:
2967:
2959:
2953:
2947:
2941:
2932:
2931:
2930:
2925:is linear in
2921:
2917:
2913:
2909:
2905:
2882:
2878:
2871:
2863:
2860:
2856:
2850:
2845:
2842:
2839:
2835:
2831:
2826:
2822:
2812:
2811:
2810:
2798:
2794:
2772:
2767:
2762:
2758:
2754:
2751:
2748:
2743:
2738:
2734:
2730:
2722:
2717:
2713:
2709:
2706:
2703:
2698:
2693:
2689:
2677:
2672:
2668:
2664:
2661:
2658:
2653:
2648:
2644:
2631:
2630:
2629:
2627:
2621:
2617:
2608:
2604:
2599:
2594:
2575:
2569:
2566:
2563:
2553:
2549:
2543:
2539:
2535:
2532:
2527:
2523:
2517:
2513:
2508:
2505:
2502:
2499:
2494:
2489:
2485:
2477:
2476:
2475:
2470:
2466:
2462:
2457:
2453:
2448:
2442:
2438:
2434:
2430:
2426:
2425:finite groups
2422:
2418:
2415:The proof of
2413:
2403:
2396:of dimension
2395:
2391:
2385:
2368:
2360:
2351:
2343:
2339:
2328:
2324:
2320:
2313:
2305:
2301:
2288:
2284:
2280:
2270:
2268:
2262:
2259:
2253:
2249:
2245:
2241:
2237:
2233:
2227:
2221:
2215:
2209:
2203:
2197:
2191:
2185:
2176:
2172:
2166:
2160:
2156:
2152:
2146:
2140:
2134:
2128:
2122:
2120:
2112:
2108:
2104:
2100:
2078:
2072:
2069:
2066:
2061:
2057:
2053:
2047:
2041:
2036:
2032:
2028:
2025:
2022:
2010:
2009:
2008:
1989:
1984:
1976:
1973:
1970:
1965:
1961:
1957:
1951:
1946:
1938:
1933:
1929:
1925:
1922:
1919:
1913:
1905:
1897:
1891:
1886:
1878:
1864:
1856:
1850:
1845:
1837:
1822:
1821:
1820:
1817:
1813:
1807:
1803:
1788:
1784:
1780:
1776:
1772:
1768:
1764:
1760:
1756:
1752:
1748:
1744:
1728:
1724:
1717:
1713:
1709:
1705:
1700:
1695:
1691:
1687:
1683:
1678:
1673:
1669:
1665:
1661:
1657:
1653:
1649:
1645:
1641:
1637:
1633:
1629:
1625:
1621:
1617:
1613:
1609:
1605:
1592:so that, for
1589:
1585:
1578:
1574:
1570:
1566:
1562:
1561:
1560:
1557:
1553:
1546:
1540:
1536:
1530:
1526:
1520:
1516:
1512:
1508:
1504:
1497:
1493:
1489:
1467:
1442:
1439:
1433:
1430:
1427:
1422:
1418:
1414:
1408:
1402:
1397:
1393:
1389:
1386:
1383:
1377:
1371:
1368:
1365:
1362:
1353:
1350:
1347:
1344:
1335:
1332:
1329:
1326:
1321:
1317:
1313:
1308:
1300:
1297:
1294:
1291:
1282:
1279:
1276:
1273:
1270:
1267:
1264:
1255:
1254:
1253:
1251:
1250:
1231:
1225:
1221:
1214:
1197:
1185:
1181:
1176:
1173:
1169:
1165:
1159:
1153:
1147:
1136:
1132:
1128:
1124:
1120:
1113:
1109:
1105:
1101:
1094:
1090:
1086:
1082:
1078:
1074:
1070:
1063:
1057:
1053:
1042:
1038:
1034:
1027:
1023:
1019:
1015:
1011:
1007:
1000:
996:
992:
988:
984:
980:
976:
972:
965:
961:
957:
953:
945:
941:
937:
933:
929:
925:
921:
917:
913:
909:
905:
901:
897:
893:
889:
882:
878:
874:
870:
866:
862:
858:
854:
850:
846:
842:
838:
834:
830:
826:
822:
815:
811:
807:
803:
799:
795:
791:
784:
780:
776:
772:
768:
761:
757:
753:
749:
742:
735:
713:
707:
704:
701:
698:
695:
689:
683:
680:
677:
674:
671:
665:
659:
656:
653:
644:
641:
638:
632:
623:
622:
621:
617:
613:
609:
605:
601:
597:
587:
577:
573:
569:
565:
558:
554:
550:
546:
542:
538:
534:
530:
526:
521:
517:
513:
509:
505:
497:
493:
488:
486:
480:
476:
472:
468:
461:
457:
453:
449:
445:
442:
438:
434:
430:
426:
422:
418:
414:
408:
404:
403:
402:
385:
382:
379:
376:
373:
367:
361:
357:
354:
351:
348:
345:
339:
333:
329:
326:
320:
317:
314:
308:
305:
302:
299:
296:
291:
287:
279:
278:
277:
275:
272:, define the
258:
256:
252:
244:
243:inner product
223:
219:
207:
203:
199:
195:
191:
187:
174:
170:
155:
153:
149:
145:
141:
137:
133:
129:
125:
121:
117:
113:
109:
105:
101:
97:
92:
90:
86:
82:
78:
74:
70:
66:
62:
58:
55:
51:
48:
45:
42:
38:
34:
33:Adolf Hurwitz
30:
26:
22:
6596:
6574:
6534:
6512:
6488:math/0105155
6478:
6474:
6437:
6405:
6373:
6349:
6345:
6329:
6303:
6292:the original
6271:
6267:
6225:
6201:(1): 29–64,
6198:
6194:
6185:
6161:
6157:
6144:
6122:
6097:
6093:
6084:
6066:
6061:Faraut, J.;
6053:
6049:
6037:the original
6032:
6028:
6000:
5996:
5983:
5962:(1): 65–73,
5959:
5955:
5924:
5911:, p. 11
5909:Hurwitz 1923
5901:
5889:
5884:, p. 82
5877:
5866:
5858:Eckmann 1999
5853:Eckmann 1989
5845:
5837:Shapiro 2000
5832:Rajwade 1993
5819:
5778:
5774:
5767:
5763:
5754:
5745:
5738:
5734:
5725:
5721:
5714:
5707:
5703:
5697:
5690:
5686:
5675:
5668:
5661:
5651:
5647:
5643:
5639:
5635:
5625:
5620:
5616:
5597:
5571:
5562:
5547:
5543:
5538:. Since the
5530:
5524:. Replacing
5519:
5515:
5504:
5500:
5481:
5470:
5465:
5461:
5450:
5446:
5408:
5397:
5392:
5388:
5384:
5365:
5358:
5354:
5350:
5346:
5342:
5338:
5334:
5330:
5326:
5315:
5312:
5187:
5127:
4975:
4968:
4965:
4904:
4896:
4889:
4882:
4871:
4865:
4861:
4854:
4850:
4830:
4826:
4819:
4814:
4810:
4803:
4727:
4723:
4719:
4715:
4711:
4704:
4700:
4693:
4689:
4685:
4684: ) = (
4681:
4677:
4673:
4664:
4660:
4656:
4652:
4644:
4639:
4635:
4632:
4621:
4615:
4608:
4601:
4594:
4583:
4568:
4563:
4559:
4553:
4552:
4545:
4540:
4535:
4531:
4523:
4519:
4499:
4495:
4488:
4483:
4479:
4472:
4467:
4463:
4460:
4433:
4316:
4305:
4240:
4233:
4222:
4215:
4205:
4171:
4080:
4074:
4067:
4064:
3922:
3918:
3913:
3900:
3896:
3797:
3792:
3788:
3781:
3771:
3765:
3755:
3735:
3731:
3712:
3704:
3665:
3642:
3634:
3630:
3623:
3591:
3469:
3465:
3458:
3450:vector space
3444:
3441:with square
3432:
3428:
3425:
3300:
3296:
3288:
3284:
3277:
3271:
3266:
3262:
3255:
3251:
3246:
3242:
3237:
3233:
3230:
3125:
3031:
2919:
2915:
2911:
2907:
2901:
2796:
2792:
2789:
2619:
2615:
2597:
2590:
2468:
2464:
2460:
2455:
2451:
2440:
2436:
2414:
2404:must divide
2383:
2349:
2341:
2337:
2326:
2322:
2318:
2311:
2303:
2299:
2276:
2273:Other proofs
2264:
2263:
2257:
2251:
2247:
2243:
2239:
2235:
2231:
2225:
2219:
2213:
2207:
2201:
2195:
2189:
2183:
2164:
2158:
2154:
2150:
2144:
2138:
2132:
2126:
2123:
2118:
2110:
2106:
2102:
2098:
2095:
2006:
1815:
1811:
1805:
1801:
1794:
1786:
1782:
1778:
1774:
1770:
1766:
1762:
1758:
1754:
1750:
1746:
1742:
1726:
1722:
1715:
1711:
1707:
1703:
1693:
1689:
1685:
1681:
1671:
1667:
1663:
1659:
1655:
1651:
1647:
1643:
1639:
1635:
1631:
1627:
1623:
1619:
1615:
1611:
1607:
1603:
1587:
1583:
1576:
1572:
1568:
1564:
1555:
1551:
1544:
1538:
1534:
1528:
1524:
1518:
1514:
1510:
1506:
1502:
1495:
1491:
1487:
1465:
1459:
1248:
1229:
1223:
1219:
1212:
1177:
1171:
1167:
1163:
1157:
1151:
1145:
1142:
1130:
1126:
1122:
1118:
1111:
1107:
1103:
1099:
1092:
1088:
1084:
1080:
1076:
1072:
1068:
1061:
1058:
1051:
1045:. Replacing
1040:
1036:
1032:
1025:
1021:
1017:
1013:
1009:
1005:
998:
994:
990:
986:
982:
978:
974:
970:
966:
959:
955:
951:
943:
939:
935:
931:
927:
923:
919:
915:
911:
907:
903:
899:
895:
891:
887:
883:
876:
872:
868:
864:
860:
856:
852:
848:
844:
840:
836:
832:
828:
824:
820:
816:
809:
805:
801:
797:
793:
789:
785:
778:
774:
770:
766:
759:
755:
751:
747:
740:
733:
730:
615:
611:
607:
603:
599:
595:
591:
575:
571:
567:
563:
556:
552:
548:
544:
536:
532:
528:
524:
515:
511:
507:
503:
495:
491:
478:
474:
470:
466:
459:
455:
451:
447:
440:
436:
432:
428:
420:
416:
412:
400:
259:
254:
250:
249:is called a
221:
217:
205:
201:
197:
193:
189:
185:
172:
168:
166:
108:Radon (1922)
93:
84:
69:real numbers
61:homomorphism
24:
18:
6567:Max Koecher
6274:: 261–269,
6063:Koranyi, A.
6003:: 358–366,
5422:Lie algebra
5320:shows that
4883:In fact if
4709:defined by
4628:A.A. Albert
4604:exceptional
4079:define the
3659:is exactly
2474:satisfying
1196:unit vector
1184:A.A. Albert
922:*)) = (1, (
871:),1)1 = Re
808:, 1)1 = Re(
77:quaternions
21:mathematics
6621:Categories
6561:0669.17001
6541:, p.
6456:0954.11011
6430:0145.25601
6396:0785.11022
6322:0186.06304
6256:1068.11023
6158:Math. Ann.
5948:References
5772:constant,
5444:such that
4980:. Indeed,
4082:associator
3897:The trace
3474:such that
3448:on a real
2902:where the
2591:This is a
2402:power of 2
2400:. So this
2279:Lee (1948)
2114:, so that
1646:, (
1227:and hence
948:, so that
890:)*, c) = (
817:Similarly
580:, so that
274:involution
183:such that
163:Definition
120:Lee (1948)
114:using the
65:isomorphic
6366:120583389
6288:121079375
6178:122147399
6147:: 309–316
6114:121496094
6056:: 520–527
6017:123322808
5418:Lie group
5286:∘
5253:∘
5220:∘
5092:
5068:
5028:−
4994:
4943:−
4406:ℓ
4393:ℓ
4361:ℓ
4351:∑
4137:−
4032:
3999:
3974:
3950:
3872:∗
3848:∗
3637:− 1
3616:while if
3566:≠
3535:ε
3505:ε
3456:is even.
3400:≠
3369:−
3336:−
3199:δ
3083:⋯
2994:⋯
2836:∑
2752:⋯
2707:⋯
2662:⋯
2567:≠
2536:−
2503:−
2419:uses the
2381:is even,
2171:octonions
2148:. Taking
2062:∗
2037:∗
1981:‖
1966:∗
1955:‖
1943:‖
1934:∗
1926:−
1917:‖
1902:‖
1895:‖
1883:‖
1876:‖
1861:‖
1854:‖
1842:‖
1835:‖
1650:)*) = −((
1423:∗
1398:∗
1390:−
1327:−
1322:∗
1309:∗
1274:⊕
910:*) = (1,
796:, 1)1 = (
300:−
292:∗
81:octonions
79:, or the
6352:: 1–14,
6302:(1969),
6224:(2005),
6100:: 7–63,
6065:(1994),
5827:Lam 2005
5790:See also
5522: )
5509:. Since
5507: )
5333: ∘
5313:Setting
5128:so that
4829: ∘
4726: ∘
4696: )
4555:Theorem.
4548: )
4498: ∘
3925: )
3903: )
3691:|
3677:odd and
3283:, ... ,
3275:and the
3231:Now set
3032:Writing
2316:satisfy
2314:, 1) = 0
2266:Theorem.
2250:)
2242:)
2167:= (0, 1)
1773:)
1680:(
1666:)
1654:)
1634:(
1618:(
1575:)
1542:. Since
1215:, 1) = 0
1209:. Since
835:,1)1 = (
731:Setting
514:*)/2 = (
494:) = Re (
485:adjoints
138:and the
118:and by
6575:Numbers
6374:Squares
6248:2104929
6215:1968117
5976:1968118
5680:is the
5415:compact
4909:, then
4859:. When
4847:
4835:
4516:
4504:
4321:, then
4203:lie in
3721:. When
3598:central
3260:. Thus
2809:. Thus
2445:of the
1819:gives:
1753:) = −((
1662:*) = ((
1642:*) = −(
1630:)) = −(
1485:, then
863:*)1 = (
855:*)1 = (
843:*)1 = (
804:*)1 = (
745:yields
409:, i.e.
245:, then
238:
226:
150:to the
146:and in
142:of the
67:to the
29:theorem
6607:
6585:
6569:&
6559:
6549:
6519:
6505:586512
6503:
6454:
6444:
6428:
6418:
6394:
6384:
6364:
6320:
6310:
6286:
6254:
6246:
6236:
6213:
6176:
6129:
6112:
6073:
6015:
5974:
5682:(1, 1)
5624:= exp
5614:. Let
5594:entry
5592:(1, 2)
5586:entry
5584:(2, 1)
5420:. Its
4887:is in
4626:after
4588:or if
4180:is an
3685:even.
3614:center
3592:where
3437:is an
3426:Since
2904:matrix
2790:where
2603:groups
2325:) = −‖
2096:Hence
1777:) = −(
1719:since
1580:since
1554:)* = −
1501:0 = 2(
1481:is in
1234:. Let
1186:. Let
1097:gives
934:*) = (
898:*) = (
884:Hence
786:Hence
584:is an
435:‖ 1 =
268:is in
241:is an
126:using
100:proved
96:fields
75:, the
71:, the
44:unital
6501:S2CID
6483:arXiv
6362:S2CID
6284:S2CID
6211:JSTOR
6174:S2CID
6110:S2CID
6013:S2CID
5972:JSTOR
5928:See:
5905:See:
5849:See:
5823:See:
5812:Notes
5556:, if
5455:is a
5413:so a
5366:With
4901:with
4573:is a
4306:with
4209:then
3759:, so
3679:2 + 2
3671:2 + 1
3647:. If
3608:. If
2914:) = (
2607:order
2373:, an
2353:. So
2308:with
2238:) = (
2177:. If
2105:) = (
1765:) = (
1710:) = −
1614:) = (
1590:) = 0
1571:) = (
1509:*) =
1477:. If
1222:* = −
989:) = (
981:) = (
954:)* =
792:) = (
773:*) =
754:*) =
602:) = (
531:= Re
518:, 1)1
473:*) =
454:*) =
431:* = ‖
415:)* =
27:is a
6605:ISBN
6583:ISBN
6547:ISBN
6517:ISBN
6442:ISBN
6416:ISBN
6382:ISBN
6308:ISBN
6234:ISBN
6127:ISBN
6071:ISBN
5752:and
5706:= 2(
5642:) =
5370:and
5337:) =
4869:and
4602:The
4461:Let
4187:and
3806:-by-
3782:Let
3689:has
3681:for
3663:and
3640:and
3622:γ =
3459:Let
3305:'s:
2805:and
2609:2. (
2359:even
2285:use
2281:and
2136:and
1809:and
1799:for
1769:*, (
1463:and
1242:and
1232:= −1
1125:) =
1106:) =
1083:) =
1020:) =
827:= ((
819:Re (
764:and
570:) =
551:) =
523:Re (
490:Re (
224:) =
192:) =
122:and
47:real
39:for
6577:by
6557:Zbl
6543:121
6493:doi
6452:Zbl
6426:Zbl
6392:Zbl
6354:doi
6334:Mir
6318:Zbl
6276:doi
6252:Zbl
6203:doi
6166:doi
6102:doi
6005:doi
5964:doi
5678:= 0
5673:at
5629:in
5610:of
5531:k X
5528:by
5486:in
5440:in
5432:in
5382:of
5318:= 1
4907:= 0
4903:Tr
4874:= 3
4855:Y X
4851:X Y
4597:= 3
4586:≥ 3
4577:if
4546:X Y
4524:Y X
4520:X Y
4310:in
4211:= 0
4199:or
4189:= 0
4185:= 0
4085:by
4075:In
4070:= 1
3899:Tr(
3768:= 6
3651:in
3629:...
3596:is
3291:− 1
3241:= (
2605:of
2600:− 1
2423:of
2390:odd
2388:is
2386:− 1
2293:of
2255:in
2246:≠ (
2173:or
2142:in
2130:in
1761:*,
1749:),
1735:in
1638:),
1622:),
1610:),
1596:in
1529:B j
1488:j a
1201:in
1075:*)
1066:in
1049:by
1043:‖ 1
1039:= ‖
1012:*)
1003:so
997:),
993:* (
973:‖ (
942:*,
788:Re(
743:= 1
738:or
736:= 1
506:= (
502:Re
500:if
260:If
190:a b
171:or
31:of
19:In
6623::
6603:,
6599:,
6555:,
6545:,
6533:,
6499:,
6491:,
6479:39
6477:,
6473:,
6450:,
6424:,
6414:,
6410:,
6390:,
6380:,
6360:,
6348:,
6344:,
6332:,
6316:,
6282:,
6272:21
6270:,
6266:,
6250:,
6244:MR
6242:,
6228:,
6209:,
6199:35
6197:,
6172:,
6162:88
6160:,
6156:,
6143:,
6108:,
6098:19
6096:,
6054:46
6052:,
6048:,
6033:35
6031:,
6027:,
6011:,
6001:15
5999:,
5995:,
5970:,
5960:35
5958:,
5777:+
5766:+
5758:22
5749:11
5729:21
5724:=
5713:,
5711:21
5701:12
5696:+
5694:21
5689:*
5665:11
5626:tD
5590:,
5575:21
5566:12
5479:.
5387:=
5349:+
5345:)∘
5298:0.
5173:0.
5089:Tr
5065:Tr
4991:Tr
4880:.
4864:=
4853:+
4833:=
4787:0.
4731::
4722:=
4688:,
4680:,
4665:ij
4655:,
4630:.
4599:.
4550:.
4534:,
4522:+
4502:=
4319:=
4195:,
4072:.
4021:Tr
3988:Tr
3963:Tr
3939:Tr
3911:Tr
3754:≤
3666:εg
3452:,
3270:=
3250:)
2920:ij
2459:=
2261:.
2248:ab
2240:ba
2236:bj
2157:⊕
2153:=
2121:.
2107:da
2103:ac
1816:dj
1814:+
1806:bj
1804:+
1785:,
1771:cj
1767:bx
1763:bj
1755:cj
1747:cj
1745:)(
1743:bj
1741:((
1739:,
1727:cj
1725:,
1708:cj
1706:)(
1704:bj
1694:bc
1688:=
1682:jc
1670:,
1664:cb
1658:,
1652:cb
1648:jx
1644:cb
1636:jx
1628:cj
1620:jx
1608:cj
1600:,
1586:,
1573:cb
1569:cj
1559:.
1556:bj
1552:bj
1545:Bj
1539:jB
1537:=
1535:Bj
1527:⊕
1513:−
1511:ja
1505:,
1494:*
1490:=
1466:Bj
1252::
1175:.
1170:⊂
1166:⊂
1028:‖)
1024:(‖
995:ac
987:ad
985:,
983:ac
977:,
964:.
952:ab
930:*)
914:*(
902:,
894:,
892:ab
888:ab
886:((
881:.
877:bc
869:bc
857:bc
851:*
847:,
839:,
837:ab
829:ab
821:ab
814:.
810:ba
806:ba
800:,
794:ab
790:ab
783:.
781:)*
762:)*
620::
614:,
610:)(
606:,
600:ab
598:,
596:ab
561:,
537:bc
525:ab
510:+
496:ba
492:ab
481:)*
464:,
462:)*
429:aa
413:ab
257:.
220:,
200:)
167:A
154:.
91:.
23:,
6495::
6485::
6356::
6350:1
6278::
6205::
6168::
6104::
6007::
5966::
5784:X
5779:y
5775:x
5770:=
5768:y
5764:x
5755:x
5746:x
5739:t
5735:k
5726:x
5722:a
5717:)
5715:a
5708:x
5704:a
5698:x
5691:x
5687:a
5676:t
5671:)
5669:t
5667:(
5662:x
5657:X
5652:X
5648:t
5644:k
5640:t
5638:(
5636:X
5631:K
5621:t
5617:k
5612:E
5608:T
5604:D
5600:*
5598:a
5596:−
5588:a
5580:T
5572:x
5563:x
5558:X
5554:K
5548:n
5544:S
5536:X
5526:X
5520:X
5518:(
5516:k
5511:K
5505:X
5503:(
5501:k
5496:K
5492:k
5488:E
5484:X
5477:A
5473:)
5471:A
5469:(
5466:n
5462:M
5453:)
5451:X
5449:(
5447:k
5442:K
5438:k
5434:E
5430:X
5411:)
5409:E
5407:(
5405:O
5400:)
5398:A
5396:(
5393:n
5389:H
5385:E
5376:K
5372:n
5368:A
5361:)
5359:Y
5357:(
5355:D
5353:∘
5351:X
5347:Y
5343:X
5341:(
5339:D
5335:Y
5331:X
5329:(
5327:D
5322:D
5316:Z
5295:=
5292:)
5289:Y
5283:X
5280:,
5277:)
5274:Z
5271:(
5268:D
5265:(
5262:+
5259:)
5256:X
5250:Z
5247:,
5244:)
5241:Y
5238:(
5235:D
5232:(
5229:+
5226:)
5223:Z
5217:Y
5214:,
5211:)
5208:X
5205:(
5202:D
5199:(
5170:=
5167:)
5162:2
5158:X
5154:,
5151:)
5148:X
5145:(
5142:D
5139:(
5113:,
5110:0
5107:=
5104:a
5101:)
5098:T
5095:(
5086:=
5083:)
5080:I
5077:a
5074:(
5071:T
5062:=
5059:)
5056:)
5053:)
5050:X
5047:(
5042:2
5038:X
5034:(
5031:T
5025:)
5022:)
5017:2
5013:X
5009:(
5006:X
5003:(
5000:T
4997:(
4978:)
4976:O
4974:(
4972:3
4969:H
4949:T
4946:X
4940:X
4937:T
4934:=
4931:)
4928:X
4925:(
4922:D
4905:T
4899:)
4897:O
4895:(
4893:3
4890:H
4885:T
4872:n
4866:O
4862:A
4857:)
4849:(
4844:2
4841:/
4838:1
4831:Y
4827:X
4822:)
4820:A
4818:(
4815:n
4811:M
4806:A
4784:=
4781:]
4778:)
4773:2
4769:X
4765:(
4762:L
4759:,
4756:)
4753:X
4750:(
4747:L
4744:[
4728:Y
4724:X
4720:Y
4718:)
4716:X
4714:(
4712:L
4707:)
4705:X
4703:(
4701:L
4694:Y
4692:∘
4690:Z
4686:X
4682:Y
4678:X
4676:∘
4674:Z
4672:(
4668:‖
4661:x
4657:X
4653:X
4651:(
4647:)
4645:A
4643:(
4640:n
4636:H
4618:)
4616:O
4614:(
4612:3
4609:H
4595:n
4590:A
4584:n
4579:A
4571:)
4569:A
4567:(
4564:n
4560:H
4544:(
4541:R
4536:Y
4532:X
4530:(
4526:)
4518:(
4513:2
4510:/
4507:1
4500:Y
4496:X
4491:)
4489:A
4487:(
4484:n
4480:M
4475:)
4473:A
4471:(
4468:n
4464:H
4456:Y
4448:X
4444:Y
4440:Y
4436:X
4417:.
4414:]
4409:j
4402:x
4398:,
4390:k
4386:x
4382:,
4377:k
4374:i
4370:x
4366:[
4358:,
4355:k
4347:=
4342:j
4339:i
4335:y
4317:Y
4312:A
4308:a
4289:,
4286:I
4283:a
4280:=
4277:]
4272:2
4268:X
4264:,
4261:X
4258:[
4243:)
4241:A
4239:(
4237:3
4234:M
4229:X
4225:)
4223:A
4221:(
4219:3
4216:M
4206:R
4201:c
4197:b
4193:a
4178:A
4174:A
4155:.
4152:c
4149:)
4146:b
4143:a
4140:(
4134:)
4131:c
4128:b
4125:(
4122:a
4119:=
4116:]
4113:c
4110:,
4107:b
4104:,
4101:a
4098:[
4077:A
4068:n
4050:.
4047:)
4044:Z
4041:Y
4038:(
4035:X
4026:R
4017:=
4014:Z
4011:)
4008:Y
4005:X
4002:(
3993:R
3983:,
3980:X
3977:Y
3968:R
3959:=
3956:Y
3953:X
3944:R
3923:X
3919:X
3917:(
3914:R
3907:X
3901:X
3880:.
3877:)
3867:i
3864:j
3860:x
3856:(
3853:=
3844:)
3838:j
3835:i
3831:x
3827:(
3812:A
3808:n
3804:n
3800:)
3798:A
3796:(
3793:n
3789:M
3784:A
3772:N
3766:N
3761:N
3756:N
3750:2
3746:G
3742:N
3736:i
3732:V
3727:2
3723:N
3719:2
3715:|
3713:G
3711:|
3707:|
3705:G
3703:|
3699:N
3693:G
3687:G
3683:N
3675:N
3661:g
3653:G
3649:g
3645:γ
3643:ε
3635:N
3631:v
3627:1
3624:v
3618:N
3610:N
3606:ε
3594:ε
3575:,
3572:)
3569:j
3563:i
3560:(
3553:i
3549:v
3543:j
3539:v
3532:=
3527:j
3523:v
3517:i
3513:v
3508:,
3502:=
3497:2
3492:i
3488:v
3470:i
3466:v
3461:G
3454:N
3445:I
3443:−
3433:i
3429:V
3409:.
3406:)
3403:j
3397:i
3394:(
3387:i
3383:V
3377:j
3373:V
3366:=
3361:j
3357:V
3351:i
3347:V
3342:,
3339:I
3333:=
3328:2
3323:i
3319:V
3301:i
3297:U
3289:N
3285:V
3281:1
3278:V
3272:I
3267:N
3263:V
3256:i
3252:T
3247:N
3243:T
3238:i
3234:V
3214:.
3211:I
3206:j
3203:i
3195:2
3192:=
3187:t
3182:i
3178:T
3172:j
3168:T
3164:+
3159:t
3154:j
3150:T
3144:i
3140:T
3109:,
3104:N
3100:x
3094:N
3090:T
3086:+
3080:+
3075:1
3071:x
3065:1
3061:T
3057:=
3054:)
3051:x
3048:(
3045:T
3015:.
3010:2
3005:N
3001:x
2997:+
2991:+
2986:2
2981:1
2977:x
2973:=
2968:t
2964:)
2960:x
2957:(
2954:T
2951:)
2948:x
2945:(
2942:T
2927:x
2923:)
2916:a
2912:x
2910:(
2908:T
2883:j
2879:y
2875:)
2872:x
2869:(
2864:j
2861:i
2857:a
2851:N
2846:1
2843:=
2840:j
2832:=
2827:i
2823:z
2807:y
2803:x
2797:i
2793:z
2773:,
2768:2
2763:N
2759:z
2755:+
2749:+
2744:2
2739:1
2735:z
2731:=
2728:)
2723:2
2718:N
2714:y
2710:+
2704:+
2699:2
2694:1
2690:y
2686:(
2683:)
2678:2
2673:N
2669:x
2665:+
2659:+
2654:2
2649:1
2645:x
2641:(
2620:i
2616:U
2611:N
2598:N
2576:.
2573:)
2570:j
2564:i
2561:(
2554:i
2550:U
2544:j
2540:U
2533:=
2528:j
2524:U
2518:i
2514:U
2509:,
2506:I
2500:=
2495:2
2490:i
2486:U
2472:)
2469:i
2465:e
2463:(
2461:L
2456:i
2452:U
2441:i
2437:e
2410:N
2406:N
2398:2
2384:N
2379:N
2375:N
2371:A
2363:A
2355:N
2350:I
2348:−
2344:)
2342:a
2340:(
2338:L
2333:a
2329:‖
2327:a
2323:a
2321:(
2319:L
2312:a
2310:(
2306:)
2304:a
2302:(
2300:L
2295:A
2291:N
2258:O
2252:j
2244:j
2234:(
2232:a
2226:H
2220:O
2214:O
2208:H
2202:C
2196:C
2190:R
2184:R
2179:A
2165:J
2159:H
2155:H
2151:O
2145:H
2139:C
2133:C
2127:R
2116:B
2111:c
2109:)
2101:(
2099:d
2079:.
2076:)
2073:a
2070:d
2067:,
2058:c
2054:b
2051:(
2048:=
2045:)
2042:b
2033:d
2029:,
2026:c
2023:a
2020:(
1990:,
1985:2
1977:a
1974:d
1971:+
1962:c
1958:b
1952:+
1947:2
1939:b
1930:d
1923:c
1920:a
1914:=
1911:)
1906:2
1898:d
1892:+
1887:2
1879:c
1873:(
1870:)
1865:2
1857:b
1851:+
1846:2
1838:a
1832:(
1812:c
1802:a
1797:C
1791:.
1789:)
1787:x
1783:b
1781:*
1779:c
1775:j
1759:x
1757:)
1751:x
1737:A
1733:x
1729:)
1723:b
1721:(
1716:b
1714:*
1712:c
1702:(
1696:)
1692:(
1690:j
1686:b
1684:)
1676:.
1674:)
1672:x
1668:j
1660:x
1656:j
1640:c
1632:b
1626:(
1624:j
1616:b
1612:x
1606:(
1604:b
1602:(
1598:A
1594:x
1588:j
1584:b
1582:(
1577:j
1567:(
1565:b
1550:(
1525:B
1519:j
1517:*
1515:a
1507:a
1503:j
1496:j
1492:a
1483:B
1479:a
1475:B
1471:j
1461:B
1443:.
1440:j
1437:)
1434:a
1431:d
1428:+
1419:c
1415:b
1412:(
1409:+
1406:)
1403:b
1394:d
1387:c
1384:a
1381:(
1378:=
1375:)
1372:j
1369:d
1366:+
1363:c
1360:(
1357:)
1354:j
1351:b
1348:+
1345:a
1342:(
1336:,
1333:j
1330:b
1318:a
1314:=
1305:)
1301:j
1298:b
1295:+
1292:a
1289:(
1283:,
1280:j
1277:B
1271:B
1268:=
1265:C
1244:j
1240:B
1236:C
1230:j
1224:j
1220:j
1213:j
1211:(
1207:B
1203:A
1199:j
1192:B
1188:A
1172:H
1168:C
1164:R
1158:H
1152:C
1146:R
1133:)
1131:a
1129:(
1127:R
1123:a
1121:(
1119:R
1114:)
1112:a
1110:(
1108:L
1104:a
1102:(
1100:L
1095:)
1093:a
1091:*
1089:a
1087:(
1085:L
1081:a
1079:(
1077:L
1073:a
1071:(
1069:L
1064:*
1062:a
1054:*
1052:a
1047:a
1041:a
1037:a
1035:*
1033:a
1026:a
1022:L
1018:a
1016:(
1014:L
1010:a
1008:(
1006:L
1001:)
999:d
991:a
979:d
975:c
971:a
969:‖
962:*
960:a
958:*
956:b
950:(
946:)
944:c
940:a
938:*
936:b
932:c
928:a
926:*
924:b
920:c
918:*
916:a
912:b
908:c
906:*
904:a
900:b
896:c
879:)
875:(
873:a
867:(
865:a
861:a
859:,
853:c
849:a
845:b
841:c
833:c
831:)
825:c
823:)
812:)
802:b
798:a
779:c
777:(
775:R
771:c
769:(
767:R
760:a
758:(
756:L
752:a
750:(
748:L
741:d
734:b
714:.
711:)
708:c
705:b
702:,
699:d
696:a
693:(
690:+
687:)
684:d
681:b
678:,
675:c
672:a
669:(
666:=
663:)
660:d
657:,
654:c
651:(
648:)
645:b
642:,
639:a
636:(
633:2
618:)
616:b
612:b
608:a
604:a
594:(
588:.
582:A
578:)
576:a
574:(
572:R
568:a
566:(
564:R
559:)
557:a
555:(
553:L
549:a
547:(
545:L
539:)
535:(
533:a
529:c
527:)
516:x
512:x
508:x
504:x
498:)
479:a
477:(
475:R
471:a
469:(
467:R
460:a
458:(
456:L
452:a
450:(
448:L
441:a
439:*
437:a
433:a
423:*
421:a
419:*
417:b
411:(
386:.
383:a
380:b
377:=
374:b
371:)
368:a
365:(
362:R
358:,
355:b
352:a
349:=
346:b
343:)
340:a
337:(
334:L
330:,
327:1
324:)
321:1
318:,
315:a
312:(
309:2
306:+
303:a
297:=
288:a
270:A
266:a
262:A
247:A
235:2
232:/
229:1
222:b
218:a
216:(
212:q
208:)
206:b
204:(
202:q
198:a
196:(
194:q
188:(
186:q
181:q
177:A
Text is available under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License. Additional terms may apply.