1598:
320:
1593:{\displaystyle {\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} }={\begin{bmatrix}a_{11}b_{11}&a_{11}b_{12}&\cdots &a_{11}b_{1q}&\cdots &\cdots &a_{1n}b_{11}&a_{1n}b_{12}&\cdots &a_{1n}b_{1q}\\a_{11}b_{21}&a_{11}b_{22}&\cdots &a_{11}b_{2q}&\cdots &\cdots &a_{1n}b_{21}&a_{1n}b_{22}&\cdots &a_{1n}b_{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &&&\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{11}b_{p1}&a_{11}b_{p2}&\cdots &a_{11}b_{pq}&\cdots &\cdots &a_{1n}b_{p1}&a_{1n}b_{p2}&\cdots &a_{1n}b_{pq}\\\vdots &\vdots &&\vdots &\ddots &&\vdots &\vdots &&\vdots \\\vdots &\vdots &&\vdots &&\ddots &\vdots &\vdots &&\vdots \\a_{m1}b_{11}&a_{m1}b_{12}&\cdots &a_{m1}b_{1q}&\cdots &\cdots &a_{mn}b_{11}&a_{mn}b_{12}&\cdots &a_{mn}b_{1q}\\a_{m1}b_{21}&a_{m1}b_{22}&\cdots &a_{m1}b_{2q}&\cdots &\cdots &a_{mn}b_{21}&a_{mn}b_{22}&\cdots &a_{mn}b_{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &&&\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}b_{p1}&a_{m1}b_{p2}&\cdots &a_{m1}b_{pq}&\cdots &\cdots &a_{mn}b_{p1}&a_{mn}b_{p2}&\cdots &a_{mn}b_{pq}\end{bmatrix}}.}
4094:
3739:
4089:{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} \otimes (\mathbf {B} +\mathbf {C} )&=\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} +\mathbf {A} \otimes \mathbf {C} ,\\(\mathbf {B} +\mathbf {C} )\otimes \mathbf {A} &=\mathbf {B} \otimes \mathbf {A} +\mathbf {C} \otimes \mathbf {A} ,\\(k\mathbf {A} )\otimes \mathbf {B} &=\mathbf {A} \otimes (k\mathbf {B} )=k(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} ),\\(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )\otimes \mathbf {C} &=\mathbf {A} \otimes (\mathbf {B} \otimes \mathbf {C} ),\\\mathbf {A} \otimes \mathbf {0} &=\mathbf {0} \otimes \mathbf {A} =\mathbf {0} ,\end{aligned}}}
14167:
9221:
2836:
12826:
8992:
14431:
2261:
12450:
12642:
12648:
9216:{\displaystyle \mathbf {v} =\operatorname {vec} \left((\mathbf {AXB} )^{\textsf {T}}\right)=\operatorname {vec} \left(\mathbf {B} ^{\textsf {T}}\mathbf {X} ^{\textsf {T}}\mathbf {A} ^{\textsf {T}}\right)=\left(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)\operatorname {vec} \left(\mathbf {X^{\textsf {T}}} \right)=\left(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)\mathbf {u} .}
7833:
12019:
2831:{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}0&5\\6&7\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1{\begin{bmatrix}0&5\\6&7\\\end{bmatrix}}&2{\begin{bmatrix}0&5\\6&7\\\end{bmatrix}}\\3{\begin{bmatrix}0&5\\6&7\\\end{bmatrix}}&4{\begin{bmatrix}0&5\\6&7\\\end{bmatrix}}\\\end{bmatrix}}=\left=\left.}
11564:
309:
5241:
3693:
12292:
12821:{\displaystyle (\mathbf {A} \bullet \mathbf {L} )(\mathbf {B} \otimes \mathbf {M} )\cdots (\mathbf {C} \otimes \mathbf {S} )(\mathbf {P} \mathbf {c} \otimes \mathbf {Q} \mathbf {d} )=(\mathbf {A} \mathbf {B} \cdots \mathbf {C} \mathbf {P} \mathbf {c} )\circ (\mathbf {L} \mathbf {M} \cdots \mathbf {S} \mathbf {Q} \mathbf {d} ),}
12488:
8842:
9608:
12225:
7693:
5414:
11888:
5610:
4548:
11435:
7280:
4813:
158:
11424:
5075:
11802:
8264:
11652:
2847:
6950:
12445:{\displaystyle (\mathbf {A} \bullet \mathbf {L} )(\mathbf {B} \otimes \mathbf {M} )\cdots (\mathbf {C} \otimes \mathbf {S} )(\mathbf {K} \ast \mathbf {T} )=(\mathbf {A} \mathbf {B} \cdot \mathbf {C} \mathbf {K} )\circ (\mathbf {L} \mathbf {M} \cdots \mathbf {S} \mathbf {T} ),}
8183:
11298:
7117:
6057:
4943:
6430:
6261:
11185:
3038:
12637:{\displaystyle (\mathbf {A} \bullet \mathbf {L} )(\mathbf {B} \otimes \mathbf {M} )\cdots (\mathbf {C} \otimes \mathbf {S} )(c\otimes d)=(\mathbf {A} \mathbf {B} \cdots \mathbf {C} \mathbf {c} )\circ (\mathbf {L} \mathbf {M} \cdots \mathbf {S} \mathbf {d} ),}
4248:
8731:
9463:
8981:
7828:{\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )=\operatorname {tr} \mathbf {A} \,\operatorname {tr} \mathbf {B} \quad {\text{and}}\quad \det(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )=(\det \mathbf {A} )^{m}(\det \mathbf {B} )^{n}.}
6549:
2158:
10740:
5731:
12025:
12014:{\displaystyle (\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} )(\mathbf {M} \mathbf {N} \mathbf {c} \otimes \mathbf {Q} \mathbf {P} \mathbf {d} )=(\mathbf {A} \mathbf {M} \mathbf {N} \mathbf {c} )\circ (\mathbf {B} \mathbf {Q} \mathbf {P} \mathbf {d} ),}
6133:
5817:
5323:
5510:
11559:{\displaystyle (\mathbf {A} \bullet \mathbf {L} )(\mathbf {B} \otimes \mathbf {M} )\cdots (\mathbf {C} \otimes \mathbf {S} )=(\mathbf {A} \mathbf {B} \cdots \mathbf {C} )\bullet (\mathbf {L} \mathbf {M} \cdots \mathbf {S} ),}
6831:
4367:
304:{\displaystyle \mathbf {A} \otimes \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}a_{11}\mathbf {B} &\cdots &a_{1n}\mathbf {B} \\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}\mathbf {B} &\cdots &a_{mn}\mathbf {B} \end{bmatrix}},}
8026:
7944:
7128:
5236:{\displaystyle \mathbf {A} \otimes \mathbf {B} =(\mathbf {I} _{m_{1}}\otimes \mathbf {B} )(\mathbf {A} \otimes \mathbf {I} _{n_{2}})=(\mathbf {A} \otimes \mathbf {I} _{m_{2}})(\mathbf {I} _{n_{1}}\otimes \mathbf {B} ).}
4695:
7674:
11333:
10086:
11711:
9262:. To split a matrix into the Kronecker product of more than two matrices, in an optimal fashion, is a difficult problem and the subject of ongoing research; some authors cast it as a tensor decomposition problem.
8198:
3688:{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&-4&7\\-2&3&3\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}8&-9&-6&5\\1&-3&-4&7\\2&8&-8&-3\\1&2&-5&-1\end{bmatrix}}=\left}
1876:
11572:
6781:
5067:
5010:
4687:
4630:
6839:
6624:
5289:
1998:
8064:
9250:
Another example is when a matrix can be factored as a
Kronecker product, then matrix multiplication can be performed faster by using the above formula. This can be applied recursively, as done in the
7484:
11226:
1752:
7013:
5983:
10102:
4856:
3744:
5450:
6356:
6180:
10097:
8837:{\displaystyle \left(\mathbf {B} ^{\textsf {T}}\otimes \mathbf {A} \right)\,\operatorname {vec} (\mathbf {X} )=\operatorname {vec} (\mathbf {AXB} )=\operatorname {vec} (\mathbf {C} ).}
4186:
7360:
7325:
7005:
6979:
9603:{\displaystyle \mathbf {A} \circ \mathbf {B} =\left(\mathbf {A} _{ij}\circ \mathbf {B} \right)_{ij}=\left(\left(\mathbf {A} _{ij}\otimes \mathbf {B} _{kl}\right)_{kl}\right)_{ij}}
12276:
92:, who in 1858 described this matrix operation, but Kronecker product is currently the most widely used term. The misattribution to Kronecker rather than Zehfuss was due to
12873:
12851:
12220:{\displaystyle {\mathcal {F}}(C^{(1)}x\star C^{(2)}y)=({\mathcal {F}}C^{(1)}\bullet {\mathcal {F}}C^{(2)})(x\otimes y)={\mathcal {F}}C^{(1)}x\circ {\mathcal {F}}C^{(2)}y,}
11849:
11827:
11699:
11677:
8921:
5476:
9258:. Splitting a known matrix into the Kronecker product of two smaller matrices is known as the "nearest Kronecker product" problem, and can be solved exactly by using the
6470:
2004:
5651:
5409:{\displaystyle \left(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} \right)\operatorname {vec} \left(\mathbf {V} \right)=\operatorname {vec} (\mathbf {B} \mathbf {V} \mathbf {A} ^{T})}
6727:
6681:
11321:
6062:
5746:
12248:
11873:
9700:
9649:
7430:
12473:
5605:{\displaystyle (\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )\circ (\mathbf {C} \otimes \mathbf {D} )=(\mathbf {A} \circ \mathbf {C} )\otimes (\mathbf {B} \circ \mathbf {D} ).}
4359:
1629:
13371:
King Keung Wu; Yam, Yeung; Meng, Helen; Mesbahi, Mehran (2016). "Kronecker product approximation with multiple factor matrices via the tensor product algorithm".
6729:
matrix. When the order of the
Kronecker product and vectorization is interchanged, the two operations can be linked linearly through a function that involves the
1649:
7400:
7380:
6701:
6655:
13133:
Liu, Shuangzhe; Trenkler, Götz; Kollo, Tõnu; von Rosen, Dietrich; Baksalary, Oskar Maria (2023). "Professor Heinz
Neudecker and matrix differential calculus".
82:
10245:
13463:
4543:{\displaystyle \mathbf {S} _{p,q}={\begin{bmatrix}\mathbf {I} _{r}(1:q:r,:)\\\mathbf {I} _{r}(2:q:r,:)\\\vdots \\\mathbf {I} _{r}(q:q:r,:)\end{bmatrix}}}
2730:
2531:
6786:
7275:{\displaystyle G=(K_{qm}\otimes I_{p})(I_{m}\otimes \operatorname {vec} B){\text{ and }}H=(I_{n}\otimes K_{qm})(\operatorname {vec} A\otimes I_{q}).}
5873:
4808:{\displaystyle \mathbf {B} \otimes \mathbf {A} =\mathbf {S} _{m_{1},m_{2}}(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )\mathbf {S} _{n_{1},n_{2}}^{\textsf {T}}}
13091:
7959:
7877:
11419:{\displaystyle (\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} )(\mathbf {C} \otimes \mathbf {D} )=(\mathbf {A} \mathbf {C} )\bullet (\mathbf {B} \mathbf {D} ),}
11797:{\displaystyle (\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} )(\mathbf {c} \otimes \mathbf {d} )=(\mathbf {A} \mathbf {c} )\circ (\mathbf {B} \mathbf {d} ),}
7589:
5959:; matrices' elements represent these mappings with respect to the chosen bases; and likewise the Kronecker product is the representation of the
9775:
8259:{\displaystyle \operatorname {rank} (\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )=\operatorname {rank} \mathbf {A} \,\operatorname {rank} \mathbf {B} .}
73:(1823–1891), even though there is little evidence that he was the first to define and use it. The Kronecker product has also been called the
11647:{\displaystyle \mathbf {c} ^{\textsf {T}}\bullet \mathbf {d} ^{\textsf {T}}=\mathbf {c} ^{\textsf {T}}\otimes \mathbf {d} ^{\textsf {T}},}
13593:
10017:
9867:
6945:{\displaystyle \operatorname {vec} (A\otimes B)=(I_{n}\otimes K_{qm}\otimes I_{p})(\operatorname {vec} A\otimes \operatorname {vec} B).}
1758:
6736:
5015:
4958:
4635:
4578:
13321:
9251:
8178:{\displaystyle \sigma _{\mathbf {A} ,i}\sigma _{\mathbf {B} ,j},\qquad i=1,\ldots ,r_{\mathbf {A} },\,j=1,\ldots ,r_{\mathbf {B} }.}
14025:
8699:
The
Kronecker product can be used to get a convenient representation for some matrix equations. Consider for instance the equation
6576:
5256:
1887:
14358:
8278:
The
Kronecker product of matrices corresponds to the abstract tensor product of linear maps. Specifically, if the vector spaces
14416:
12476:
11293:{\displaystyle \mathbf {A} \otimes (\mathbf {B} \bullet \mathbf {C} )=(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )\bullet \mathbf {C} ,}
13876:
13855:
13836:
13807:
13438:
13388:
13303:
13025:
7435:
7112:{\displaystyle \operatorname {vec} (A\otimes B)=(I_{n}\otimes G)\operatorname {vec} A=(H\otimes I_{p})\operatorname {vec} B,}
6052:{\displaystyle (\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )^{\textsf {T}}=\mathbf {A} ^{\textsf {T}}\otimes \mathbf {B} ^{\textsf {T}}}
4938:{\displaystyle (\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )(\mathbf {C} \otimes \mathbf {D} )=(\mathbf {AC} )\otimes (\mathbf {BD} ).}
1665:
6425:{\displaystyle \mathbf {A} \oplus \mathbf {B} =\mathbf {A} \otimes \mathbf {I} _{m}+\mathbf {I} _{n}\otimes \mathbf {B} .}
13267:
9754:. Essentially the Tracy–Singh product is the pairwise Kronecker product for each pair of partitions in the two matrices.
6256:{\displaystyle \left|\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} \right|=\left|\mathbf {A} \right|^{m}\left|\mathbf {B} \right|^{n}.}
11180:{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} \circ \mathbf {B} ={}&\left\\={}&\left\\={}&\left.\end{aligned}}}
5421:
10130:
9942:
9792:
11324:
9255:
14406:
12876:
11852:
11702:
9270:
9240:
5947:, and identity arrows are the identity maps of the spaces. The equivalence of categories amounts to simultaneously
14368:
14304:
13486:
13341:
13202:
13015:
5737:
5826:, the mixed-product property of the Kronecker product (and more general tensor product) shows that the category
4243:{\displaystyle \mathbf {B} \otimes \mathbf {A} =\mathbf {P} \,(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )\,\mathbf {Q} .}
13866:
13818:
13797:
13757:. SIGKDD international conference on Knowledge discovery and data mining. Association for Computing Machinery.
12888:
7499:
13916:
14146:
14018:
13717:. Direct and Inverse Problems of Electromagnetic and Acoustic Wave Theory (DIPED-97), Lviv. pp. 73–74.
9259:
8682:
8670:
7855:
7840:
7330:
7295:
6984:
6958:
14251:
14101:
13911:
13200:
Macedo, Hugo Daniel; Oliveira, José Nuno (2013). "Typing linear algebra: A biproduct-oriented approach".
12893:
11876:
8852:
8686:
6631:
5482:
5453:
1652:
13503:
Tracy, D.S.; Singh, R.P. (1972). "A new matrix product and its applications in matrix differentiation".
14156:
14050:
13970:
9236:
7566:
5906:
14396:
14045:
8976:{\displaystyle \mathbf {v} =\left(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)\mathbf {u} .}
5910:
13906:
13886:
Liu, Shuangzhe; Trenkler, Götz (2008), "Hadamard, Khatri-Rao, Kronecker and other matrix products",
13763:
13649:
13565:
Liu, Shuangzhe; Trenkler, Götz (2008). "Hadamard, Khatri-Rao, Kronecker and other matrix products".
13234:
12257:
6544:{\displaystyle \exp({\mathbf {N} \oplus \mathbf {M} })=\exp(\mathbf {N} )\otimes \exp(\mathbf {M} )}
2153:{\displaystyle (A\otimes B)_{i,j}=a_{\lceil i/p\rceil ,\lceil j/q\rceil }b_{(i-1)\%p+1,(j-1)\%q+1}.}
14388:
14271:
13042:
8674:
8626:
5726:{\displaystyle (\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )^{-1}=\mathbf {A} ^{-1}\otimes \mathbf {B} ^{-1}.}
12856:
12834:
11832:
11810:
11682:
11660:
5459:
14434:
14363:
14141:
14011:
35:
13464:"Simultaneous robot-world and hand-eye calibration using dual-quaternions and Kronecker product"
6128:{\displaystyle (\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )^{*}=\mathbf {A} ^{*}\otimes \mathbf {B} ^{*}.}
5812:{\displaystyle (\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )^{+}=\mathbf {A} ^{+}\otimes \mathbf {B} ^{+}.}
14455:
14198:
14131:
14121:
13758:
13505:
13229:
12943:
11215:
11196:
9287:
6706:
6660:
2172:
55:
13966:
The entry on the
Kronecker, Zehfuss, or Direct Product of matrices has historical information.
11306:
14213:
14208:
14203:
14136:
14081:
13793:
13636:
13417:
12898:
4123:
59:
20:
13728:
Ahle, Thomas
Dybdahl; Knudsen, Jakob Bæk Tejs (2019-09-03). "Almost optimal tensor sketch".
13414:"Learning Fast Dictionaries for Sparse Representations Using Low-Rank Tensor Decompositions"
12233:
11858:
9685:
9634:
7405:
6440:
14223:
14188:
14175:
14066:
13950:
13824:
13221:
13172:
13100:
12458:
62:, which is an entirely different operation. The Kronecker product is also sometimes called
50:(which is denoted by the same symbol) from vectors to matrices and gives the matrix of the
39:
4335:
1606:
8:
14401:
14281:
14256:
14106:
13325:
5974:
5836:
13828:
13265:
Brewer, J.W. (1969). "A note on
Kronecker matrix products and matrix equation systems".
13225:
13176:
13104:
1634:
14111:
13729:
13690:
13518:
13478:
13444:
13394:
13324:(zeroth printing, revision 2 ed.). answer to Exercise 96. Archived from
13247:
13211:
7385:
7365:
6730:
6686:
6640:
6461:
6290:
4170:
13550:
13533:
13113:
13086:
12918:
14309:
14193:
14086:
13938:
13872:
13851:
13832:
13803:
13694:
13616:
13434:
13384:
13299:
13021:
12996:
9232:
5886:
5843:
5631:
5303:
3726:
70:
13624:
13448:
13398:
14314:
14218:
14071:
13768:
13682:
13620:
13545:
13514:
13482:
13426:
13376:
13276:
13251:
13239:
13180:
13138:
13108:
13065:
13057:
12986:
12978:
9244:
8666:
8189:
87:
6826:{\displaystyle \operatorname {Kron} (\operatorname {vec} A,\operatorname {vec} B)}
14373:
14166:
14126:
14116:
13430:
6559:
6343:
5948:
5823:
13243:
1659:, respectively, and numbering the matrix elements starting from 0, one obtains
14378:
14299:
14034:
13413:
13142:
13043:"The vec-permutation matrix, the vec operator and Kronecker products: A review"
8272:
7680:
6454:
5960:
5634:
5307:
4840:
4282:
3722:
2207:
51:
47:
13185:
13160:
13061:
12982:
8870:
It now follows from the properties of the
Kronecker product that the equation
14449:
14411:
14334:
14294:
14261:
14241:
13380:
13156:
13000:
9266:
8864:
8660:
8021:{\displaystyle \sigma _{\mathbf {B} ,i},\qquad i=1,\ldots ,r_{\mathbf {B} }.}
7939:{\displaystyle \sigma _{\mathbf {A} ,i},\qquad i=1,\ldots ,r_{\mathbf {A} }.}
7287:
3730:
3715:
13772:
13675:
Cybernetics and
Systems Analysis C/C of Kibernetika I Sistemnyi Analiz. 1999
12966:
14344:
14233:
14183:
14076:
13984:
13628:
13585:
12283:
9292:
43:
13924:
9231:
For an example of the application of this formula, see the article on the
7669:{\displaystyle \lambda _{i}\mu _{j},\qquad i=1,\ldots ,n,\,j=1,\ldots ,m.}
4952:, because it mixes the ordinary matrix product and the Kronecker product.
14324:
14289:
14246:
14091:
13975:
13750:
13373:
2016 IEEE International Conference on Systems, Man, and Cybernetics (SMC)
12251:
8594:
7684:
7570:
6446:
6140:
3711:
93:
27:
13848:
Matrix Calculus and Kronecker Product with Applications and C++ Programs
13709:
13425:. Lecture Notes in Computer Science. Vol. 10891. pp. 456–466.
10081:{\displaystyle \mathbf {A} =\left=\left,\quad \mathbf {B} =\left=\left,}
14353:
14096:
13929:
13789:
13686:
12965:
Henderson, Harold V.; Pukelsheim, Friedrich; Searle, Shayle R. (1983).
12279:
8725:
is the unknown. We can use the "vec trick" to rewrite this equation as
7538:
5488:
The mixed-product property also works for the element-wise product. If
13070:
12991:
19:
For the Kronecker product of representations of symmetric groups, see
14151:
6955:
Furthermore, the above relation can be rearranged in terms of either
5967:
1656:
13280:
6445:
of two matrices. This operation is related to the tensor product on
14319:
13961:
13868:
Problems and Solutions in Introductory and Advanced Matrix Calculus
13734:
9269:, the Kronecker product can be used as an accurate solution to the
13667:
13216:
1871:{\displaystyle (A\otimes B)_{i,j}=a_{i/\!/p,j/\!/q}b_{i\%p,j\%q}.}
14003:
6555:
6776:{\displaystyle \operatorname {vec} (\operatorname {Kron} (A,B))}
5062:{\displaystyle \mathbf {B} \in \mathbb {R} ^{m_{2}\times n_{2}}}
5005:{\displaystyle \mathbf {A} \in \mathbb {R} ^{m_{1}\times n_{1}}}
4682:{\displaystyle \mathbf {B} \in \mathbb {R} ^{m_{2}\times n_{2}}}
4625:{\displaystyle \mathbf {A} \in \mathbb {R} ^{m_{1}\times n_{1}}}
14329:
13298:(2 ed.). New York: John Wiley and Sons. pp. 401–402.
4553:
13755:
Fast and scalable polynomial kernels via explicit feature maps
6570:
th such system. Then the total Hamiltonian of the ensemble is
69:
The Kronecker product is named after the German mathematician
58:. The Kronecker product is to be distinguished from the usual
13711:
New operations of matrices product for applications of radars
13412:
Dantas, Cássio F.; Cohen, Jérémy E.; Gribonval, Rémi (2018).
6619:{\displaystyle H_{\operatorname {Tot} }=\bigoplus _{k}H^{k}.}
5317:
The mixed Kronecker matrix-vector product can be written as:
5284:{\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {Q} \otimes \mathbf {U} }
1993:{\displaystyle (A\otimes B)_{p(r-1)+v,q(s-1)+w}=a_{rs}b_{vw}}
13885:
7432:. The Kronecker product is related to the outer product by:
5895:, and the tensor product is given by the Kronecker product.
13534:"Matrix Results on the Khatri–Rao and Tracy–Singh Products"
13370:
13322:"Pre-Fascicle 0a: Introduction to Combinatorial Algorithms"
8192:
equals the number of nonzero singular values, we find that
13668:"A Family of Face Products of Matrices and its Properties"
5925:, whose objects are such finite dimensional vector spaces
13888:
International Journal of Information and Systems Sciences
13567:
International Journal of Information and Systems Sciences
13132:
12964:
8408:, respectively in the appropriate bases, then the matrix
4556:
colon notation is used here to indicate submatrices, and
4310:
are perfect shuffle matrices. The perfect shuffle matrix
13161:"The Kronecker product and stochastic automata networks"
9235:. This formula also comes in handy in showing that the
7479:{\displaystyle y\otimes x=\operatorname {vec} (xy^{T})}
3703:
7854:
are rectangular matrices, then one can consider their
7362:
are arbitrary vectors, then the outer product between
5645:
are invertible, in which case the inverse is given by
4397:
2911:
2856:
2484:
2443:
2400:
2359:
2348:
2309:
2270:
347:
183:
13979:(generic C++ and Fortran 90 source code). 2015-06-27.
12859:
12837:
12651:
12491:
12461:
12295:
12260:
12236:
12028:
11891:
11861:
11835:
11813:
11714:
11685:
11663:
11575:
11438:
11336:
11309:
11229:
10100:
9778:
9688:
9637:
9466:
8995:
8924:
8734:
8678:
8201:
8067:
7962:
7880:
7696:
7592:
7438:
7408:
7388:
7368:
7333:
7298:
7131:
7016:
6987:
6961:
6842:
6789:
6739:
6709:
6689:
6663:
6643:
6579:
6473:
6359:
6183:
6065:
5986:
5749:
5654:
5513:
5462:
5424:
5326:
5259:
5078:
5018:
4961:
4859:
4698:
4638:
4581:
4370:
4338:
4189:
4169:
are permutation equivalent, meaning that there exist
3742:
2850:
2264:
2007:
1890:
1881:
For the usual numbering starting from 1, one obtains
1761:
1747:{\displaystyle (A\otimes B)_{pr+v,qs+w}=a_{rs}b_{vw}}
1668:
1637:
1609:
323:
161:
13411:
12867:
12845:
12820:
12636:
12467:
12444:
12270:
12242:
12219:
12013:
11867:
11843:
11821:
11796:
11693:
11671:
11646:
11558:
11418:
11315:
11292:
11179:
10080:
9694:
9643:
9602:
9243:. This formula is also useful for representing 2D
9215:
8975:
8836:
8258:
8177:
8020:
7938:
7827:
7668:
7478:
7424:
7394:
7374:
7354:
7319:
7274:
7111:
6999:
6973:
6944:
6825:
6775:
6721:
6695:
6675:
6649:
6618:
6543:
6424:
6255:
6127:
6051:
5811:
5725:
5604:
5470:
5445:{\displaystyle \operatorname {vec} (\mathbf {V} )}
5444:
5408:
5283:
5235:
5061:
5004:
4937:
4807:
4681:
4624:
4542:
4353:
4242:
4088:
3687:
2830:
2152:
1992:
1870:
1746:
1643:
1623:
1592:
303:
13355:
8637:represents the induced Lie algebra homomorphisms
7949:Similarly, denote the nonzero singular values of
6464:, which is useful in some numerical evaluations.
5872:, composition is given by matrix multiplication,
1826:
1806:
1615:
14447:
13586:"End products in matrices in radar applications"
13165:Journal of Computational and Applied Mathematics
13155:
13092:Journal of Computational and Applied Mathematics
7804:
7783:
7755:
6346:then we can define what is sometimes called the
4839:are matrices of such size that one can form the
54:linear map with respect to a standard choice of
14000:Software source in more than 40 languages.
13040:
8418:represents the tensor product of the two maps,
3721:The Kronecker product is a special case of the
13471:International Journal of the Physical Sciences
13419:Latent Variable Analysis and Signal Separation
13199:
6558:when considering ensembles of non-interacting
5736:The invertible product property holds for the
14019:
13017:Inference and Learning from Data: Foundations
8915:, 2.8 Block Matrices and Kronecker Products)
5977:are distributive over the Kronecker product:
13721:
13294:Dummit, David S.; Foote, Richard M. (1999).
9276:
2078:
2064:
2058:
2044:
13971:calculate Kronecker product of two matrices
13788:
13727:
13661:
13659:
13594:Radioelectronics and Communications Systems
13564:
13293:
8889:
4955:As an immediate consequence (again, taking
4323:can be constructed by taking slices of the
14026:
14012:
13610:
13608:
13502:
13462:Li, Algo; et al. (4 September 2010).
13762:
13733:
13549:
13233:
13215:
13184:
13112:
13069:
12990:
12967:"On the history of the kronecker product"
11635:
11618:
11601:
11584:
11209:
9194:
9159:
9131:
9096:
9082:
9068:
9035:
8954:
8767:
8748:
8241:
8141:
7736:
7641:
7342:
7307:
6453:) in the point "Relation to the abstract
6043:
6026:
6009:
5951:in every finite-dimensional vector space
5921:of finite dimensional vector spaces over
5250:property from below, this means that if
5029:
4972:
4799:
4649:
4592:
4231:
4211:
13820:Fundamentals of Digital Image Processing
13748:
13656:
13084:
8903:are row-ordered into the column vectors
6450:
13707:
13665:
13614:
13605:
13583:
13577:
13360:. Ithaca, NY: Cornell University Press.
13349:
13312:
12941:
14448:
14417:Comparison of linear algebra libraries
13264:
13128:
13126:
13124:
13041:Henderson, H.V.; Searle, S.R. (1980).
9448:
9281:Two related matrix operations are the
8880:has a unique solution, if and only if
7491:
6460:We have the following formula for the
34:, sometimes denoted by ⊗, is an
14007:
13864:
13845:
13701:
13358:Approximation with Kronecker Products
13159:; Stewart, William J. (1 June 2004).
13013:
12948:Zeitschrift für Mathematik und Physik
12916:
11190:
8380:represent the linear transformations
7355:{\displaystyle y\in \mathbb {R} ^{m}}
7320:{\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}
7000:{\displaystyle \operatorname {vec} B}
6974:{\displaystyle \operatorname {vec} A}
5314:is also orthogonal (resp., unitary).
13816:
13742:
13356:Van Loan, C.; Pitsianis, N. (1992).
8912:
8859:, formed by stacking the columns of
7687:of a Kronecker product are given by
5504:are matrices of the same size, then
3704:Relations to other matrix operations
13538:Linear Algebra and Its Applications
13531:
13268:SIAM Journal on Applied Mathematics
13121:
8694:
8518:and the similarly defined basis of
6554:Kronecker sums appear naturally in
5617:The inverse of a Kronecker product:
132:matrix, then the Kronecker product
13:
14033:
13519:10.1111/j.1467-9574.1972.tb00199.x
13461:
13087:"The ubiquitous Kronecker product"
12263:
12190:
12161:
12117:
12091:
12031:
9247:operations in matrix-vector form.
8721:are given matrices and the matrix
8583:are integers in the proper range.
8372:respectively, and if the matrices
2210:of the two maps is represented by
2133:
2103:
1857:
1845:
1638:
16:Mathematical operation on matrices
14:
14467:
13899:
13338:
13319:
12944:"Ueber eine gewisse Determinante"
8681:of the adjacency matrices of two
6833:have the following relationship:
5478:(formed by reshaping the matrix).
4149:are different matrices. However,
42:of arbitrary size resulting in a
14430:
14429:
14407:Basic Linear Algebra Subprograms
14165:
13951:"New Kronecker product problems"
13666:Slyusar, V.I. (March 13, 1998).
12861:
12839:
12808:
12803:
12798:
12790:
12785:
12771:
12766:
12761:
12753:
12748:
12734:
12729:
12721:
12716:
12705:
12697:
12683:
12675:
12664:
12656:
12624:
12619:
12611:
12606:
12592:
12587:
12579:
12574:
12545:
12537:
12523:
12515:
12504:
12496:
12432:
12427:
12419:
12414:
12400:
12395:
12387:
12382:
12368:
12360:
12349:
12341:
12327:
12319:
12308:
12300:
12001:
11996:
11991:
11986:
11972:
11967:
11962:
11957:
11943:
11938:
11933:
11925:
11920:
11915:
11904:
11896:
11837:
11815:
11784:
11779:
11765:
11760:
11746:
11738:
11727:
11719:
11687:
11665:
11629:
11612:
11595:
11578:
11546:
11538:
11533:
11519:
11511:
11506:
11492:
11484:
11470:
11462:
11451:
11443:
11406:
11401:
11387:
11382:
11368:
11360:
11349:
11341:
11283:
11272:
11264:
11250:
11242:
11231:
10706:
10691:
10677:
10662:
10648:
10633:
10619:
10604:
10588:
10573:
10559:
10544:
10530:
10515:
10501:
10486:
10470:
10455:
10441:
10426:
10412:
10397:
10383:
10368:
10352:
10337:
10323:
10308:
10294:
10279:
10265:
10250:
10217:
10203:
10195:
10181:
10171:
10157:
10149:
10135:
10114:
10106:
9991:
9977:
9961:
9947:
9930:
9841:
9827:
9811:
9797:
9780:
9560:
9542:
9508:
9491:
9476:
9468:
9241:multivariate normal distribution
9206:
9188:
9179:
9154:
9125:
9116:
9090:
9076:
9062:
9025:
9022:
9019:
8997:
8966:
8948:
8939:
8926:
8824:
8804:
8801:
8798:
8778:
8758:
8742:
8249:
8237:
8220:
8212:
8166:
8132:
8092:
8074:
8058:nonzero singular values, namely
8009:
7969:
7927:
7887:
7871:nonzero singular values, namely
7808:
7787:
7770:
7762:
7744:
7732:
7715:
7707:
6534:
6514:
6493:
6485:
6415:
6401:
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6377:
6369:
6361:
6236:
6216:
6198:
6190:
6112:
6097:
6078:
6070:
6037:
6020:
5999:
5991:
5796:
5781:
5762:
5754:
5707:
5689:
5667:
5659:
5592:
5584:
5570:
5562:
5548:
5540:
5526:
5518:
5464:
5435:
5393:
5387:
5382:
5361:
5341:
5333:
5277:
5269:
5261:
5223:
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197:
171:
163:
46:. It is a specialization of the
14305:Seven-dimensional cross product
13871:. World Scientific Publishing.
13850:. World Scientific Publishing.
13617:"New matrix operations for DSP"
13558:
13525:
13496:
13455:
13405:
13364:
13342:The Art of Computer Programming
13287:
13258:
13203:Science of Computer Programming
12282:(this result is an evolving of
9928:
9226:
8685:is the adjacency matrix of the
8673:is the adjacency matrix of the
8107:
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7902:
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7748:
7616:
5846:, with objects natural numbers
5496:are matrices of the same size,
13802:. Cambridge University Press.
13193:
13149:
13078:
13050:Linear and Multilinear Algebra
13034:
13020:. Cambridge University Press.
13007:
12971:Linear and Multilinear Algebra
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5485:(element-wise multiplication):
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13551:10.1016/S0024-3795(98)10209-4
13114:10.1016/s0377-0427(00)00393-9
13085:Van Loan, Charles F. (2000).
9256:Fast Walsh–Hadamard transform
8665:The Kronecker product of the
3698:
99:
14147:Eigenvalues and eigenvectors
13708:Slyusar, V.I. (1997-09-15).
13431:10.1007/978-3-319-93764-9_42
13014:Sayed, Ali H. (2022-12-22).
12868:{\displaystyle \mathbf {d} }
12846:{\displaystyle \mathbf {c} }
11844:{\displaystyle \mathbf {d} }
11822:{\displaystyle \mathbf {c} }
11694:{\displaystyle \mathbf {d} }
11672:{\displaystyle \mathbf {c} }
9271:hand–eye calibration problem
7513:are square matrices of size
5471:{\displaystyle \mathbf {V} }
7:
13912:Encyclopedia of Mathematics
13244:10.1016/j.scico.2012.07.012
12894:Hadamard product (matrices)
12882:
9769:partitioned matrices e.g.:
8031:Then the Kronecker product
5738:Moore–Penrose pseudoinverse
4820:The mixed-product property:
4285:, meaning that we can take
2253:
1653:truncating integer division
10:
14472:
13865:Steeb, Willi-Hans (2006).
13846:Steeb, Willi-Hans (1997).
13619:(self-published lecture).
13375:. pp. 004277–004282.
13143:10.1007/s00362-023-01499-w
11220:Mixed-products properties
11213:
11194:
9277:Related matrix operations
9237:matrix normal distribution
8444:with respect to the basis
6566:be the Hamiltonian of the
6275:and the exponent in |
4261:are square matrices, then
18:
14425:
14387:
14343:
14280:
14232:
14174:
14163:
14059:
14041:
13799:Topics in Matrix Analysis
13186:10.1016/j.cam.2003.10.010
13062:10.1080/03081088108817379
12983:10.1080/03081088308817548
9710:)-th subblock equals the
9239:is a special case of the
8627:Lie algebra homomorphisms
8271:Relation to the abstract
6722:{\displaystyle p\times q}
6676:{\displaystyle m\times n}
5868:matrices with entries in
5246:In particular, using the
2206:, respectively, then the
13381:10.1109/SMC.2016.7844903
12904:
12280:Fourier transform matrix
11316:{\displaystyle \bullet }
9309:be partitioned into the
9265:In conjunction with the
13773:10.1145/2487575.2487591
13615:Slyusar, Vadym (1999).
13584:Slyusar, V.I. (1998) .
13532:Liu, Shuangzhe (1999).
11202:Block Kronecker product
8890:Horn & Johnson 1991
8687:Cartesian product graph
8629:, the Kronecker sum of
8528:with the property that
6634:of a Kronecker product:
6281:| is the order of
6271:| is the order of
5975:conjugate transposition
4332:identity matrix, where
2220:, which is the same as
14132:Row and column vectors
13817:Jain, Anil K. (1989).
13644:Cite journal requires
13506:Statistica Neerlandica
12869:
12847:
12822:
12638:
12469:
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11294:
11210:Face-splitting product
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9695:{\displaystyle \circ }
9645:
9644:{\displaystyle \circ }
9613:which means that the (
9604:
9217:
8977:
8911:, respectively, then (
8838:
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6723:
6697:
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6545:
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6265:The exponent in |
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4950:mixed-product property
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4114:is a zero matrix, and
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305:
14137:Row and column spaces
14082:Scalar multiplication
13337:to appear as part of
12923:mathworld.wolfram.com
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9646:
9617:)-th subblock of the
9605:
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8180:
8023:
7941:
7830:
7671:
7565:(listed according to
7481:
7427:
7397:
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6621:
6546:
6449:, as detailed below (
6427:
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1595:
306:
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60:matrix multiplication
21:Kronecker coefficient
14272:Gram–Schmidt process
14224:Gaussian elimination
12942:Zehfuss, G. (1858).
12857:
12835:
12649:
12489:
12459:
12293:
12258:
12234:
12026:
11889:
11859:
11833:
11811:
11712:
11683:
11661:
11573:
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9776:
9686:
9635:
9464:
9293:partitioned matrices
9267:least squares method
8993:
8922:
8732:
8675:tensor product graph
8199:
8065:
7960:
7878:
7694:
7679:It follows that the
7590:
7436:
7406:
7386:
7366:
7331:
7296:
7129:
7014:
6985:
6959:
6840:
6787:
6737:
6707:
6687:
6661:
6641:
6577:
6471:
6451:#Abstract properties
6357:
6181:
6063:
5984:
5963:in the chosen bases.
5747:
5652:
5511:
5460:
5456:operator applied on
5422:
5324:
5257:
5076:
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4171:permutation matrices
3740:
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2005:
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1759:
1666:
1635:
1624:{\displaystyle /\!/}
1607:
321:
159:
83:Johann Georg Zehfuss
14402:Numerical stability
14282:Multilinear algebra
14257:Inner product space
14107:Linear independence
13985:"Kronecker product"
13939:"Kronecker product"
13925:"Kronecker product"
13829:1989fdip.book.....J
13794:Johnson, Charles R.
13492:on 9 February 2020.
13226:2013arXiv1312.4818M
13177:2004JCoAM.167..429L
13105:2000JCoAM.123...85L
12919:"Kronecker product"
12917:Weisstein, Eric W.
9455:Tracy–Singh product
9449:Tracy–Singh product
9291:, which operate on
9288:Khatri–Rao products
8986:The reason is that
7492:Abstract properties
5911:equivalent category
5835:of matrices over a
5822:In the language of
4948:This is called the
4804:
14112:Linear combination
13991:. 31 December 2020
13687:10.1007/BF02733426
13135:Statistical Papers
12865:
12843:
12818:
12634:
12465:
12442:
12268:
12240:
12217:
12011:
11865:
11841:
11819:
11794:
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11669:
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11416:
11313:
11290:
11216:Khatri–Rao product
11197:Khatri–Rao product
11191:Khatri–Rao product
11177:
11175:
11164:
10718:
10223:
10078:
10069:
10003:
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9853:
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9213:
8973:
8834:
8667:adjacency matrices
8661:products of graphs
8256:
8175:
8018:
7936:
7825:
7666:
7521:respectively. Let
7476:
7422:
7392:
7372:
7352:
7317:
7272:
7109:
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6971:
6942:
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6773:
6731:commutation matrix
6719:
6693:
6673:
6647:
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