6874:
4496:
6860:
6898:
972:
6886:
732:
740:
541:
1384:
2942:
than conventional moments, and existence of higher L-moments only requires that the random variable have finite mean. One disadvantage of L-moment ratios for estimation is their typically smaller sensitivity. For instance, the
Laplace distribution has a kurtosis of 6 and weak exponential tails, but a
2950:
of this data set is taken it will be highly influenced by this one point: however, if the L-scale is taken it will be far less sensitive to this data value. Consequently, L-moments are far more meaningful when dealing with outliers in data than conventional moments. However, there are also other
549:
264:
967:{\displaystyle \lambda _{4}={\frac {\ 1\ }{4}}{\Bigl (}\ \operatorname {\mathbb {E} } \,\!\{\ X_{4:4}\ \}-3\operatorname {\mathbb {E} } \,\!\{\ X_{3:4}\ \}+3\operatorname {\mathbb {E} } \,\!\{\ X_{2:4}\ \}-\operatorname {\mathbb {E} } \,\!\{\ X_{1:4}\ \}\ {\Bigr )}~.}
3716:
are generalizations of L-moments that give zero weight to extreme observations. They are therefore more robust to the presence of outliers, and unlike L-moments they may be well-defined for distributions for which the mean does not exist, such as the
2355:
2006:
1727:
2890:
L-moments are statistical quantities that are derived from probability weighted moments (PWM) which were defined earlier (1979). PWM are used to efficiently estimate the parameters of distributions expressable in inverse form such as the
2804:
401:
2978:
Some appearances of L-moments in the statistical literature include the book by David & Nagaraja (2003, Section 9.9) and a number of papers. A number of favourable comparisons of L-moments with ordinary moments have been reported.
2966:
Another advantage L-moments have over conventional moments is that their existence only requires the random variable to have finite mean, so the L-moments exist even if the higher conventional moments do not exist (for example, for
1179:
1518:
73:. Just as for conventional moments, a theoretical distribution has a set of population L-moments. Sample L-moments can be defined for a sample from the population, and can be used as estimators of the population L-moments.
1167:
2426:
2539:
727:{\displaystyle \lambda _{3}={\frac {\ 1\ }{3}}{\Bigl (}\ \operatorname {\mathbb {E} } \,\!\{\ X_{3:3}\ \}-2\operatorname {\mathbb {E} } \,\!\{\ X_{2:3}\ \}+\operatorname {\mathbb {E} } \,\!\{\ X_{1:3}\ \}\ {\Bigr )}}
393:
95:
2991:
with constant L-moment ratios. More complex expressions have been derived for some further distributions for which the L-moment ratios vary with one or more of the distributional parameters, including the
2868:
1069:
1034:
329:
4446:
2618:
2578:
2433:
3999:
Landwehr, J.M.; Matalas, N.C.; Wallis, J.R. (1979). "Probability weighted moments compared with some traditional techniques in estimating Gumbel parameters and quantiles".
2666:
2012:
1733:
1524:
4186:
Delicado, P.; Goria, M. N. (2008). "A small sample comparison of maximum likelihood, moments and L-moments methods for the asymmetric exponential power distribution".
536:{\displaystyle \lambda _{2}={\frac {\ 1\ }{2}}{\Bigl (}\ \operatorname {\mathbb {E} } \,\!\{\ X_{2:2}\ \}-\operatorname {\mathbb {E} } \,\!\{\ X_{1:2}\ \}\ {\Bigr )}}
2951:
better suited methods to achieve an even higher robustness than just replacing moments by L-moments. One example of this is using L-moments as summary statistics in
2701:
1379:{\displaystyle \lambda _{r}={\frac {1}{\ r\cdot {\tbinom {n}{r}}\ }}\ \sum _{x_{1}<\cdots <x_{j}<\cdots <x_{r}}\ (-1)^{r-j}{\binom {r-1}{j}}\ x_{j}~.}
3948:
1411:
3879:
4439:
1094:
2384:
5995:
4412:
4034:
2458:
6500:
344:
4561:
4432:
3685:
The notation for the parameters of each distribution is the same as that used in the linked article. In the expression for the mean of the
259:{\displaystyle \lambda _{r}={\frac {\ 1\ }{r}}\sum _{k=0}^{r-1}(-1)^{k}{\binom {r-1}{k}}\operatorname {\mathbb {E} } \{\ X_{r-k:r}\ \}\ ,}
6650:
2987:
The table below gives expressions for the first two L moments and numerical values of the first two L-moment ratios of some common
6274:
4915:
6048:
2943:
larger 4th L-moment ratio than e.g. the student-t distribution with d.f.=3, which has an infinite kurtosis and much heavier tails.
1401: element subset, and yields formulas of the form below. Direct estimators for the first four L-moments in a finite sample of
6487:
3005:
4213:
Alkasasbeh, M. R.; Raqab, M. Z. (2009). "Estimation of the generalized logistic distribution parameters: comparative study".
4133:
3765:
Hosking, J.R.M. (1990). "L-moments: analysis and estimation of distributions using linear combinations of order statistics".
4910:
4610:
2870:
which is called the "coefficient of L-variation", or "L-CV". For a non-negative random variable, this lies in the interval
2975:). A finite variance is required in addition in order for the standard errors of estimates of the L-moments to be finite.
2816:
5514:
4662:
4421:
lightweight Python includes functions for fast calculation of L-moments, trimmed L-moments, and multivariate L-comoments.
2988:
3949:"Probability weighted moments: Definition and relation to parameters of several distributions expressed in inverse form"
4101:
6297:
6189:
3862:
3009:
6902:
6475:
6349:
4479:
4296:
6533:
6194:
5939:
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4900:
4566:
3979:
3446:
3368:
3072:
3001:
2972:
4405:
4026:
6584:
5796:
5603:
5492:
5450:
4267:
Jones, M. C. (2009). "Kumaraswamy's distribution: A beta-type distribution with some tractability advantages".
2927:
5524:
6924:
6827:
5786:
4689:
4061:"Key structural features of Boreal forests may be detected directly using L-moments from airborne lidar data"
3698:
3630:
6378:
6327:
6312:
6302:
6171:
6043:
6010:
5836:
5791:
5621:
4473:
3792:
Hosking, J.R.M. (1992). "Moments or L moments? An example comparing two measures of distributional shape".
2911:
There are two common ways that L-moments are used, in both cases analogously to the conventional moments:
61:, termed the L-scale, L-skewness and L-kurtosis respectively (the L-mean is identical to the conventional
6929:
6890:
6722:
6523:
6447:
5748:
5502:
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4635:
3439:
3361:
2968:
6607:
6579:
6574:
6322:
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5987:
5967:
5875:
5586:
5404:
4887:
4759:
4555:
2934:
In addition to doing these with standard moments, the latter (estimation) is more commonly done using
2350:{\displaystyle \ell _{4}={\frac {1}{\ 4\cdot {\tbinom {n}{4}}\ }}\sum _{i=1}^{n}\ {\Bigl }\ x_{(i)}\ }
2001:{\displaystyle \ell _{3}={\frac {1}{\ 3\cdot {\tbinom {n}{3}}\ }}\sum _{i=1}^{n}\ {\Bigl }\ x_{(i)}\ }
1722:{\displaystyle \ell _{2}={\frac {1}{\ 2\cdot {\tbinom {n}{2}}\ }}\sum _{i=1}^{n}\ {\Bigl }\ x_{(i)}\ }
1041:
1006:
306:
6339:
6107:
5828:
5753:
5682:
5611:
5531:
5519:
5389:
5377:
5370:
5078:
4799:
4467:
2946:
As an example consider a dataset with a few data points and one outlying data value. If the ordinary
2923:
2896:
2587:
2547:
6822:
6589:
6452:
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6102:
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5293:
5202:
5161:
5073:
4764:
4603:
4456:
4163:
3512:
2955: (EVT). This application shows the limited robustness of L-moments, i.e. L-statistics are not
2938:
methods; however using L-moments provides a number of advantages. Specifically, L-moments are more
2810:
2638:
1076:
289:
30:
3855:
Distributional analysis with L-moment statistics using the R environment for statistical computing
6731:
6344:
6284:
6221:
5859:
5843:
5581:
5443:
5433:
5283:
5197:
2993:
2960:
4149:
Serfling, R.; Xiao, P. (2007). "A contribution to multivariate L-moments: L-comoment matrices".
6769:
6699:
6492:
6429:
6184:
6071:
5068:
4965:
4872:
4751:
4650:
4331:
Ulrych, T. J.; Velis, D. R.; Woodbury, A. D.; Sacchi, M. D. (2000). "L-moments and C-moments".
4158:
335:
6794:
6736:
6679:
6505:
6398:
6307:
6033:
5917:
5776:
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5465:
5361:
5339:
5298:
5263:
5230:
5176:
5151:
5106:
5045:
5005:
4807:
4630:
4396:
4240:
Jones, M. C. (2004). "On some expressions for variance, covariance, skewness and L-moments".
3154:
2799:{\displaystyle \ {\tfrac {\ 1\ }{4}}\left(\ 5\ \tau _{3}^{2}-1\ \right)\leq \tau _{4}<1~.}
2635:
Tighter bounds can be found for some specific L-moment ratios; in particular, the L-kurtosis
1087:
The sample L-moments can be computed as the population L-moments of the sample, summing over
6717:
6292:
6241:
6217:
6179:
6097:
6076:
6028:
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3287:
2952:
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46:
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5098:
4784:
4779:
4527:
4348:
3971:
3896:
3827:
Hosking, J.R.M. (2006). "On the characterization of distributions by their L-moments".
3809:
3774:
2997:
2947:
2935:
2916:
986:
292:
50:
34:
4424:
4379:
2959:, as a single extreme value can throw them off, but because they are only linear (not
6873:
6784:
6754:
6746:
6566:
6557:
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4097:
3975:
3858:
2939:
1513:{\displaystyle \ell _{1}={\frac {1}{\ {\tbinom {n}{1}}\ }}\sum _{i=1}^{n}\ x_{(i)}\ }
994:
6809:
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6528:
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5426:
5128:
4955:
4719:
4714:
1389:
Grouping these by order statistic counts the number of ways an element of an
1162:{\displaystyle \left\{x_{1}<\cdots <x_{j}<\cdots <x_{r}\right\},}
4012:
3967:
3892:
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4495:
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4309:
4344:
4317:
2421:{\displaystyle \ {\tbinom {\boldsymbol {\cdot }}{\boldsymbol {\cdot }}}\ }
6817:
6779:
6462:
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6038:
6005:
5497:
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5409:
5053:
5010:
4990:
4970:
4960:
4729:
4294:
Royston, P. (1992). "Which measures of skewness and kurtosis are best?".
3730:
3261:
2534:{\displaystyle \tau _{r}=\lambda _{r}/\lambda _{2},\qquad r=3,4,\dots ~.}
42:
5663:
5143:
4843:
4774:
4724:
4699:
4619:
4507:
3900:
3813:
3778:
2963:), they are less affected by extreme values than conventional moments.
388:{\displaystyle \lambda _{1}=\operatorname {\mathbb {E} } \,\!\{\ X\ \}}
22:
4366:
Elamir, Elsayed A. H.; Seheult, Allan H. (2003). "Trimmed L-moments".
3930:
5816:
5668:
5288:
5083:
4995:
4980:
4975:
4940:
4577:
3947:
Greenwood, J.A.; Landwehr, J.M.; Matalas, N.C.; Wallis, J.R. (1979).
2437:
3805:
5332:
4950:
4827:
4817:
4572:
4537:
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54:
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4058:
6759:
5740:
5714:
5694:
4945:
4736:
4059:
Valbuena, R.; Maltamo, M.; Mehtätalo, L.; Packalen, P. (2017).
3946:
2432:. Sample L-moments can also be defined indirectly in terms of
29:
are a sequence of statistics used to summarize the shape of a
4588:
16:
Statistical sequence characterizing probability distributions
3917:
Wang, Q.J. (1996). "Direct sample estimators of L-moments".
4679:
4093:
Regional
Frequency Analysis: An Approach Based on L-moments
62:
4060:
1000:
The first two of these L-moments have conventional names:
4330:
338:. In particular, the first four population L-moments are
4454:
4365:
3877:
Jones, M.C. (2002). "Student's simplest distribution".
2982:
49:, and can be used to calculate quantities analogous to
2709:
2392:
2284:
2249:
2217:
2179:
2147:
2109:
2045:
1935:
1900:
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1766:
1656:
1621:
1557:
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1212:
4333:
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2704:
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2590:
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2015:
1736:
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1097:
1044:
1009:
743:
552:
404:
347:
309:
98:
6501:
Autoregressive conditional heteroskedasticity (ARCH)
2863:{\displaystyle \ \tau =\lambda _{2}/\lambda _{1}\ ,}
5963:
3880:Journal of the Royal Statistical Society, Series D
3857:, Create Space Independent Publishing Platform, ,
3767:Journal of the Royal Statistical Society, Series B
2930:to the L-moments rather than conventional moments.
2862:
2798:
2660:
2612:
2572:
2533:
2420:
2349:
2000:
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1378:
1161:
1063:
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966:
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1612:
1351:
1330:
953:
919:
879:
836:
793:
777:
719:
685:
645:
602:
586:
528:
494:
454:
438:
369:
200:
179:
6916:
6049:Multivariate adaptive regression splines (MARS)
4212:
3669:
3658:
3587:
3565:
3488:
3331:
3253:
3181:
2813:, but based on L-moments, can also be defined:
4413:National Institute of Standards and Technology
4035:National Institute of Standards and Technology
3415:
4604:
4440:
4411:reference manual, vol. 1, auxiliary chapter.
4242:Journal of Statistical Planning and Inference
4185:
4123:
4089:
3829:Journal of Statistical Planning and Inference
2408:
2395:
2308:
2287:
2273:
2252:
2241:
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1903:
1892:
1871:
1854:
1833:
1782:
1769:
1680:
1659:
1645:
1624:
1573:
1560:
1454:
1441:
1228:
1215:
4368:Computational Statistics & Data Analysis
4188:Computational Statistics & Data Analysis
4148:
945:
920:
905:
880:
862:
837:
819:
794:
711:
686:
671:
646:
628:
603:
520:
495:
480:
455:
382:
370:
247:
216:
2922:To derive estimators for the parameters of
4649:
4611:
4597:
4447:
4433:
3942:
3940:
3872:
3870:
5262:
4162:
4096:. Cambridge University Press. p. 3.
4054:
4052:
3994:
3992:
3912:
3910:
1036:is the "mean", "L-mean", or "L-location",
918:
913:
878:
873:
835:
830:
792:
787:
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3752:
3750:
3748:
3746:
2627:L-moment ratios lie within the interval
4293:
3937:
3867:
3826:
3791:
3764:
76:
6917:
6575:KaplanâMeier estimator (product limit)
4124:David, H. A.; Nagaraja, H. N. (2003).
4049:
3989:
3907:
6648:
6215:
5962:
5261:
5031:
4648:
4592:
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4239:
3876:
3820:
3785:
3743:
2885:
2452:, or scaled L-moments, is defined by
65:). Standardised L-moments are called
6885:
6585:Accelerated failure time (AFT) model
3916:
2989:continuous probability distributions
2983:Values for some common distributions
6897:
6180:Analysis of variance (ANOVA, anova)
5032:
1169:hence averaging by dividing by the
1082:
997:(finite analog to the derivative).
981:th L-moment are the same as in the
13:
6275:CochranâMantelâHaenszel statistics
4901:Pearson product-moment correlation
2443:
2436:, which leads to a more efficient
2399:
2291:
2256:
2224:
2186:
2154:
2116:
2052:
1942:
1907:
1875:
1837:
1773:
1663:
1628:
1564:
1445:
1334:
1219:
977:Note that the coefficients of the
183:
14:
6941:
4390:
4090:Hosking, JRM; Wallis, JR (2005).
1075:The L-scale is equal to half the
6896:
6884:
6872:
6859:
6858:
6649:
4494:
4480:cumulative distribution function
4151:Journal of Multivariate Analysis
2403:
2400:
1393: element sample can be the
1064:{\displaystyle \ \lambda _{2}\ }
1029:{\displaystyle \ \lambda _{1}\ }
324:{\displaystyle \ \mathbb {E} \ }
6534:Least-squares spectral analysis
4567:probability-generating function
4359:
4324:
4287:
4260:
4233:
4206:
4179:
4142:
4117:
4083:
2503:
1091:-element subsets of the sample
5515:Mean-unbiased minimum-variance
4618:
4019:
3847:
2613:{\displaystyle \ \tau _{4}\ ,}
2573:{\displaystyle \ \tau _{3}\ ,}
2339:
2333:
1990:
1984:
1711:
1705:
1502:
1496:
1312:
1302:
167:
157:
1:
6828:Geographic information system
6044:Simultaneous equations models
4380:10.1016/S0167-9473(02)00250-5
4065:Remote Sensing of Environment
3736:
3708:
2661:{\displaystyle \ \tau _{4}\ }
2544:The most useful of these are
6011:Coefficient of determination
5622:Uniformly most powerful test
4474:probability density function
4415:, 2006. Accessed 2010-05-25.
4281:10.1016/j.stamet.2008.04.001
4227:10.1016/j.stamet.2008.10.001
2809:A quantity analogous to the
2434:probability weighted moments
45:) analogous to conventional
7:
6580:Proportional hazards models
6524:Spectral density estimation
6506:Vector autoregression (VAR)
5940:Maximum posterior estimator
5172:Randomized controlled trial
3724:
3668:
3657:
3586:
3564:
3487:
3484:
3414:
3411:
3330:
3327:
3252:
3249:
3180:
3177:
3146:
3141:
10:
6946:
6340:Multivariate distributions
4760:Average absolute deviation
4556:moment-generating function
4254:10.1016/j.jspi.2003.09.001
4200:10.1016/j.csda.2007.05.021
4173:10.1016/j.jmva.2007.01.008
3841:10.1016/j.jspi.2004.06.004
89:th population L-moment is
6854:
6808:
6745:
6698:
6661:
6657:
6644:
6616:
6598:
6565:
6556:
6514:
6461:
6422:
6371:
6362:
6328:Structural equation model
6283:
6240:
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5982:
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5807:
5726:
5690:
5681:
5664:Score/Lagrange multiplier
5649:
5602:
5547:
5473:
5464:
5274:
5270:
5257:
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5142:
5097:
5079:Sample size determination
5044:
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4670:
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4657:
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4626:
4551:
4503:
4492:
4468:probability mass function
4463:
4457:probability distributions
4077:10.1016/j.rse.2016.10.024
3794:The American Statistician
3699:EulerâMascheroni constant
3006:generalized extreme value
2924:probability distributions
299:from the distribution of
288:th smallest value) in an
6823:Environmental statistics
6345:Elliptical distributions
6138:Generalized linear model
6067:Simple linear regression
5837:HodgesâLehmann estimator
5294:Probability distribution
5203:Stochastic approximation
4765:Coefficient of variation
4001:Water Resources Research
3956:Water Resources Research
3919:Water Resources Research
2969:Student's t distribution
2906:
2878:and is identical to the
2811:coefficient of variation
1405: observations are:
1077:Mean absolute difference
31:probability distribution
6483:Cross-correlation (XCF)
6091:Non-standard predictors
5525:LehmannâScheffĂŠ theorem
5198:Adaptive clinical trial
4562:characteristic function
4399:Jonathan R.M. Hosking,
4269:Statistical Methodology
4215:Statistical Methodology
4128:(3rd ed.). Wiley.
4013:10.1029/WR015i005p01055
3968:10.1029/WR015i005p01049
3893:10.1111/1467-9884.00297
2961:higher-order statistics
2440:for their computation.
6879:Mathematics portal
6700:Engineering statistics
6608:NelsonâAalen estimator
6185:Analysis of covariance
6072:Ordinary least squares
5996:Pearson product-moment
5400:Statistical functional
5311:Empirical distribution
5144:Controlled experiments
4873:Frequency distribution
4651:Descriptive statistics
4310:10.1002/sim.4780110306
4297:Statistics in Medicine
2864:
2800:
2662:
2614:
2574:
2535:
2422:
2351:
2094:
2002:
1815:
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1514:
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1163:
1065:
1030:
968:
728:
537:
389:
325:
260:
156:
81:For a random variable
6795:Population statistics
6737:System identification
6471:Autocorrelation (ACF)
6399:Exponential smoothing
6313:Discriminant analysis
6308:Canonical correlation
6172:Partition of variance
6034:Regression validation
5878:(JonckheereâTerpstra)
5777:Likelihood-ratio test
5466:Frequentist inference
5378:Locationâscale family
5299:Sampling distribution
5264:Statistical inference
5231:Cross-sectional study
5218:Observational studies
5177:Randomized experiment
5006:Stem-and-leaf display
4808:Central limit theorem
4345:10.1007/s004770050004
3853:Asquith, W.H. (2011)
2865:
2801:
2663:
2615:
2575:
2536:
2423:
2352:
2074:
2003:
1795:
1724:
1586:
1515:
1467:
1381:
1164:
1066:
1031:
969:
729:
538:
390:
326:
261:
130:
69:and are analogous to
6925:Moment (mathematics)
6718:Probabilistic design
6303:Principal components
6146:Exponential families
6098:Nonlinear regression
6077:General linear model
6039:Mixed effects models
6029:Errors and residuals
6006:Confounding variable
5908:Bayesian probability
5886:Van der Waerden test
5876:Ordered alternative
5641:Multiple comparisons
5520:RaoâBlackwellization
5483:Estimating equations
5439:Statistical distance
5157:Factorial experiment
4690:Arithmetic-Geometric
3702:0.5772 1566 4901 ...
3010:generalized logistic
2957:resistant statistics
2953:extreme value theory
2817:
2702:
2639:
2588:
2548:
2459:
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2385:
2013:
1734:
1525:
1412:
1180:
1171:binomial coefficient
1095:
1042:
1007:
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550:
402:
345:
307:
96:
77:Population L-moments
71:standardized moments
6790:Official statistics
6713:Methods engineering
6394:Seasonal adjustment
6162:Poisson regressions
6082:Bayesian regression
6021:Regression analysis
6001:Partial correlation
5973:Regression analysis
5572:Prediction interval
5567:Likelihood interval
5557:Confidence interval
5549:Interval estimation
5510:Unbiased estimators
5328:Model specification
5208:Up-and-down designs
4896:Partial correlation
4852:Index of dispersion
4770:Interquartile range
3719:Cauchy distribution
3687:Gumbel distribution
2756:
35:linear combinations
6930:Summary statistics
6810:Spatial statistics
6690:Medical statistics
6590:First hitting time
6544:Whittle likelihood
6195:Degrees of freedom
6190:Multivariate ANOVA
6123:Heteroscedasticity
5935:Bayesian estimator
5900:Bayesian inference
5749:KolmogorovâSmirnov
5634:Randomization test
5604:Testing hypotheses
5577:Tolerance interval
5488:Maximum likelihood
5383:Exponential family
5316:Density estimation
5276:Statistical theory
5236:Natural experiment
5182:Scientific control
5099:Survey methodology
4785:Standard deviation
4528:standard deviation
4397:The L-moments page
3664:(3) - 3 = 0.1699
3002:generalized Pareto
2973:degrees of freedom
2948:standard deviation
2936:maximum likelihood
2917:summary statistics
2886:Related quantities
2860:
2796:
2742:
2726:
2658:
2610:
2570:
2531:
2418:
2413:
2347:
2313:
2278:
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2208:
2176:
2138:
2066:
1998:
1964:
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1897:
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1650:
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1510:
1459:
1376:
1298:
1233:
1159:
1061:
1026:
987:binomial transform
964:
724:
533:
385:
321:
256:
51:standard deviation
6912:
6911:
6850:
6849:
6846:
6845:
6785:National accounts
6755:Actuarial science
6747:Social statistics
6640:
6639:
6636:
6635:
6632:
6631:
6567:Survival function
6552:
6551:
6414:Granger causality
6255:Contingency table
6230:Survival analysis
6207:
6206:
6203:
6202:
6059:Linear regression
5954:
5953:
5950:
5949:
5925:Credible interval
5894:
5893:
5677:
5676:
5493:Method of moments
5362:Parametric family
5323:Statistical model
5253:
5252:
5249:
5248:
5167:Random assignment
5089:Statistical power
5023:
5022:
5019:
5018:
4868:Contingency table
4838:
4837:
4705:Generalized/power
4586:
4585:
4486:quantile function
4135:978-0-471-38926-2
4033:(documentation).
4029:. NIST Dataplot.
3931:10.1029/96WR02675
3925:(12): 3617â3619.
3714:Trimmed L-moments
3681:
3680:
2928:method of moments
2856:
2822:
2792:
2765:
2741:
2735:
2725:
2720:
2714:
2707:
2657:
2644:
2606:
2593:
2566:
2553:
2527:
2417:
2406:
2390:
2346:
2327:
2317:
2306:
2271:
2239:
2201:
2169:
2131:
2107:
2097:
2072:
2070:
2059:
2037:
1997:
1978:
1968:
1957:
1922:
1890:
1852:
1828:
1818:
1793:
1791:
1780:
1758:
1718:
1699:
1689:
1678:
1643:
1619:
1609:
1584:
1582:
1571:
1549:
1509:
1490:
1465:
1463:
1452:
1436:
1397:th element of an
1372:
1359:
1349:
1301:
1244:
1243:
1239:
1237:
1226:
1204:
1071:is the "L-scale".
1060:
1047:
1025:
1012:
995:finite difference
989:, as used in the
960:
950:
944:
925:
904:
885:
861:
842:
818:
799:
784:
773:
768:
762:
716:
710:
691:
670:
651:
627:
608:
593:
582:
577:
571:
525:
519:
500:
479:
460:
445:
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429:
423:
381:
375:
320:
312:
252:
246:
221:
198:
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123:
117:
6937:
6900:
6899:
6888:
6887:
6877:
6876:
6862:
6861:
6765:Crime statistics
6659:
6658:
6646:
6645:
6563:
6562:
6529:Fourier analysis
6516:Frequency domain
6496:
6443:
6409:Structural break
6369:
6368:
6318:Cluster analysis
6265:Log-linear model
6238:
6237:
6213:
6212:
6154:
6128:Homoscedasticity
5984:
5983:
5960:
5959:
5879:
5871:
5863:
5862:(KruskalâWallis)
5847:
5832:
5787:Cross validation
5772:
5754:AndersonâDarling
5701:
5688:
5687:
5659:Likelihood-ratio
5651:Parametric tests
5629:Permutation test
5612:1- & 2-tails
5503:Minimum distance
5475:Point estimation
5471:
5470:
5422:Optimal decision
5373:
5272:
5271:
5259:
5258:
5241:Quasi-experiment
5191:Adaptive designs
5042:
5041:
5029:
5028:
4906:Rank correlation
4668:
4667:
4659:
4658:
4646:
4645:
4613:
4606:
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