1430:
1367:
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1208:
1197:
1334:
722:
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3842:
290:
1319:
1286:
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3898:
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3849:
648:
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589:
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1452:
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785:
1463:
796:
27:
774:
1404:
1393:
358:
The rectified polyhedron turns out to be expressible as the intersection of the original platonic solid with an appropriately scaled concentric version of its dual. For this reason, its name is a combination of the names of the original and the dual:
825:
by placing a vertex at each edge midpoint of the original graph, and connecting two of these new vertices by an edge whenever they belong to consecutive edges along a common face. The resulting medial graph remains polyhedral, so by
886:
A regular 4-polytope {p,q,r} has cells {p,q}. Its rectification will have two cell types, a rectified {p,q} polyhedron left from the original cells and {q,r} polyhedron as new cells formed by each truncated vertex.
3169:
2740:
3229:
3034:
2977:
2797:
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2920:
217:
2419:
2258:
1916:
163:
51:
285:
Rectification is the final point of a truncation process. For example, on a cube this sequence shows four steps of a continuum of truncations between the regular and rectified form:
813:
If a polyhedron is not regular, the edge midpoints surrounding a vertex may not be coplanar. However, a form of rectification is still possible in this case: every polyhedron has a
1972:
1795:
1967:
1857:
1790:
3564:
3554:
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3689:
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3641:
3612:
3583:
3573:
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3284:
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1834:
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1621:
1160:
1097:
1034:
971:
540:
501:
462:
1862:
3776:
3767:
3757:
3699:
3670:
3660:
3631:
3622:
3602:
3593:
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3254:
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3059:
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2855:
2845:
2825:
2815:
2660:
2650:
2640:
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2581:
2571:
2561:
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2118:
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2079:
2069:
1962:
1944:
1934:
1844:
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1777:
1767:
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1130:
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1087:
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535:
525:
506:
496:
477:
467:
447:
437:
304:. A rectification truncates edges to points. A birectification truncates faces to points. A trirectification truncates cells to points, and so on.
3479:
249:
1555:
There are different equivalent notations for each degree of rectification. These tables show the names by dimension and the two type of
3104:
2675:
300:
Higher degree rectification can be performed on higher-dimensional regular polytopes. The highest degree of rectification creates the
333:
The dual of a polygon is the same as its rectified form. New vertices are placed at the center of the edges of the original polygon.
1445:
3444:
3179:
2984:
2927:
2747:
2321:
2163:
3429:
2870:
1532:
Higher degree rectifications can be constructed for higher dimensional polytopes. In general an n-rectification truncates
176:
2381:
2220:
1878:
125:
3472:
3390:
1456:
3405:
3396:
1434:
3465:
895:
316:
as the final sequence from a cube to the dual where the original faces are truncated down to a single point:
46:
cube is an octahedron – faces are reduced to points and new faces are centered on the original vertices.
4212:
3334:
834:
222:
3324:
1408:
1397:
876:
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704:
55:
4080:
3876:
3381:
890:
A rectified {p,q,r} is not the same as a rectified {r,q,p}, however. A further truncation, called
3964:
3848:
3319:
1700:
1467:
891:
860:
342:
4109:
4051:
3993:
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3855:
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2514:
2022:
1720:
1584:
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789:
3452:
1366:
3495:
3329:
827:
800:
3935:
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3521:
2494:
1440:
850:
715:
1307:
1296:
355:
have the same rectified polyhedron. (This is not true of polytopes in higher dimensions.)
8:
2500:
2008:
1706:
1570:
1556:
1540:
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1696:
1360:
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2029:
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1727:
1597:
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3425:
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689:
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402:
87:
3358:
1481:
1212:
1201:
814:
667:
567:
16:
This article is about an operation on polyhedra. For rectification of curves, see
4167:
4138:
4022:
3897:
3890:
3862:
3515:
1526:
1507:
1419:
1386:
352:
83:
248:
polyhedron or tiling will result in another regular polyhedron or tiling with a
3528:
348:
1333:
4201:
3314:
1544:
1318:
1285:
1270:
763:
752:
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1414:
1381:
652:
578:
556:
394:
364:
253:
1451:
2490:
1522:
1480:
A first rectification truncates edges down to points. If a polytope is
818:
758:
747:
736:
710:
684:
673:
662:
615:
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17:
3363:
2002:
1238:
245:
699:
1462:
1371:
1338:
784:
79:
58:– edges reduced to vertices, and vertices expanded into new cells.
3377:
1564:
1323:
1290:
1275:
1263:
34:– edges reduced to vertices, and vertices expanded into new faces
3164:{\displaystyle {\begin{Bmatrix}r,q,p\\s\ \ \ \ \ \end{Bmatrix}}}
2735:{\displaystyle {\begin{Bmatrix}p\ \ \ \ \ \\q,r,s\end{Bmatrix}}}
870:
795:
26:
1223:
1190:
773:
2488:
1996:
97:
A rectification operator is sometimes denoted by the letter
593:
383:
115:
94:
facets and the rectified facets of the original polytope.
90:
at those points. The resulting polytope will be bounded by
308:
Example of birectification as a final truncation to a face
281:
Example of rectification as a final truncation to an edge
3224:{\displaystyle {\begin{Bmatrix}r,q\\s\ \ \end{Bmatrix}}}
3029:{\displaystyle {\begin{Bmatrix}q\ \ \\r,s\end{Bmatrix}}}
2972:{\displaystyle {\begin{Bmatrix}q,p\\r\ \ \end{Bmatrix}}}
2792:{\displaystyle {\begin{Bmatrix}p\ \ \\q,r\end{Bmatrix}}}
2366:{\displaystyle {\begin{Bmatrix}q,p\\r\ \ \end{Bmatrix}}}
2208:{\displaystyle {\begin{Bmatrix}p\ \ \\q,r\end{Bmatrix}}}
3353:
3188:
3113:
2993:
2936:
2915:{\displaystyle {\begin{Bmatrix}q,p\\r,s\end{Bmatrix}}}
2879:
2756:
2684:
2390:
2330:
2229:
2172:
1887:
894:, is symmetric between a 4-polytope and its dual. See
386:
are each other's dual, and their rectification is the
188:
134:
3182:
3107:
2987:
2930:
2873:
2750:
2678:
2384:
2324:
2223:
2166:
1881:
179:
128:
1543:are reduced to points and the polytope becomes its
212:{\displaystyle r{\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}}
3223:
3163:
3028:
2971:
2914:
2791:
2734:
2414:{\displaystyle {\begin{Bmatrix}q\\r\end{Bmatrix}}}
2413:
2365:
2253:{\displaystyle {\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}}
2252:
2207:
1911:{\displaystyle {\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}}
1910:
211:
158:{\displaystyle {\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}}
157:
3412:, Ph.D. Dissertation, University of Toronto, 1966
336:
4199:
1694:
867:generated from regular polyhedral and tilings.
295:
3410:The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs
367:is its own dual, and its rectification is the
3473:
871:In 4-polytopes and 3D honeycomb tessellations
1510:down to points. If regular it has notation
1475:
849:, (rectifying a rectification) is Conway's
3480:
3466:
1484:, this form is represented by an extended
808:
401:are duals, and their rectification is the
1539:If an n-polytope is (n-1)-rectified, its
3420:, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss,
3393:(pp. 145–154 Chapter 8: Truncation)
896:Uniform 4-polytope#Geometric derivations
49:
37:
25:
1550:
830:it can be represented as a polyhedron.
821:, and from that graph one may form the
4200:
3385:, (3rd edition, 1973), Dover edition,
2503:are regular or rectified 4-polytopes.
3442:
3354:
273:will turn into another square tiling
2011:are regular or rectified polyhedra.
82:by marking the midpoints of all its
1562:
13:
14:
4224:
3436:
859:, which is the same as Johnson's
277:under a rectification operation.
244:The rectification of any regular
78:, is the process of truncating a
3896:
3889:
3882:
3875:
3868:
3861:
3854:
3847:
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3789:
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3779:
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430:
320:
288:
165:. And a rectified cuboctahedron
837:equivalent to rectification is
23:Operation in Euclidean geometry
3347:
1573:are edges, represented as {}.
1525:, a birectification creates a
1446:Rectified order-4 dodecahedral
337:In polyhedra and plane tilings
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1:
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296:Higher degree rectifications
7:
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10:
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3335:Conway polyhedron notation
879:has a rectified form as a
835:Conway polyhedron notation
340:
223:Conway polyhedron notation
173:, and also represented as
122:, and also represented as
15:
3533:
3325:List of regular polytopes
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1409:Rectified cubic honeycomb
1398:Rectified cubic honeycomb
877:Convex regular 4-polytope
779:Order-4 pentagonal tiling
727:Order-7 triangular tiling
705:Order-3 heptagonal tiling
237:this operation creates a
56:rectified cubic honeycomb
3422:The Symmetries of Things
1476:Degrees of rectification
3449:Glossary for Hyperspace
3320:Quasiregular polyhedron
1457:Rectified order-5 cubic
809:In nonregular polyhedra
343:quasiregular polyhedron
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371:, better known as the
312:This sequence shows a
252:of 4, for example the
213:
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3461:Polyhedron operators
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2255:
2210:
1913:
918:(Dual rectification)
801:Order-5 square tiling
341:Further information:
266:As a special case, a
233:as this operator. In
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3402:, Manuscript (1991)
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2164:
1879:
1551:Notations and facets
1435:Order-4 dodecahedral
716:Triheptagonal tiling
177:
126:
3487:
3455:on 4 February 2007.
3443:Olshevsky, George.
2809:(Birectified dual)
1999:Uniform 4-polytopes
1250:rectified tesseract
679:Trihexagonal tiling
171:rhombicuboctahedron
76:complete-truncation
72:critical truncation
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828:Steinitz's theorem
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3400:Uniform Polytopes
3382:Regular Polytopes
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1260:Rectified 16-cell
845:. Applying twice
841:, represented by
806:
805:
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403:icosidodecahedron
114:is the rectified
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