7697:
752:
295:
4242:
7628:
7235:
3880:
747:{\displaystyle {\begin{cases}r_{1}+r_{2}+\dots +r_{n-1}+r_{n}=-{\dfrac {a_{n-1}}{a_{n}}}\\(r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+\cdots +r_{1}r_{n})+(r_{2}r_{3}+r_{2}r_{4}+\cdots +r_{2}r_{n})+\cdots +r_{n-1}r_{n}={\dfrac {a_{n-2}}{a_{n}}}\\{}\quad \vdots \\r_{1}r_{2}\cdots r_{n}=(-1)^{n}{\dfrac {a_{0}}{a_{n}}}.\end{cases}}}
7301:
6941:
42:
2324:
946:
5075:
3281:
7684:... the first person who understood the general doctrine of the formation of the coefficients of the powers from the sum of the roots and their products. He was the first who discovered the rules for summing the powers of the roots of any equation.
2529:
4874:
4695:
5307:
4237:{\displaystyle {P(x)}={a_{n}}{x^{n}}+{{a_{n-1}}{x^{n-1}}}+{\cdots }+{{a_{1}}{x}}+{{a}_{0}}={{a_{n}}{x^{n}}}-{a_{n}}{({r_{1}}+{r_{2}}+{\cdots }+{r_{n}}){x^{n-1}}}+{\cdots }+{{(-1)^{n}}{(a_{n})}{({r_{1}}{r_{2}}{\cdots }{r_{n}})}}}
2124:
773:
1975:
4523:
7623:{\displaystyle {a_{n}}{x^{n}}+{{a_{n-1}}{x^{n-1}}}+{\cdots }+{{a_{1}}{x}}+{{a}_{0}}={{a_{n}}{x^{n}}}-{a_{n}}{({r_{1}}+{r_{2}}+{\cdots }+{r_{n}}){x^{n-1}}}+{\cdots }+{{(-1)^{n}}{({r_{1}}{r_{2}}{\cdots }{r_{n}})}}}
205:
2804:
7230:{\displaystyle {\begin{aligned}{P(x)}={{a_{n+1}}{x^{n+1}}}-{a_{n+1}}{({r_{1}}+{r_{2}}+{\cdots }+{r_{n}}+{r_{n+1}}){x^{n}}}+{\cdots }+{{(-1)^{n+1}}{({r_{1}}{r_{2}}{\cdots }{r_{n}}{r_{n+1}})}}\\\end{aligned}}}
4879:
1322:
6936:
6946:
6028:
3058:
2702:
3781:
6482:
6214:
2345:
4704:
7292:
5446:
3415:
3840:
3552:
2588:
3481:
2119:
5660:
4532:
3617:
1505:
5166:
2043:
1879:
4392:
4321:
5358:
3875:
5135:
1377:
3343:
1819:
1054:
1628:
1581:
5693:
1760:
1727:
1694:
1661:
1443:
1410:
6048:
3694:
3051:
7655:
4348:
3013:
2986:
2955:
2920:
2889:
2858:
2831:
1193:
1128:
1093:
5722:
5387:
1534:
1226:
7261:
5161:
5101:
4272:
3643:
1884:
2611:
3714:
3303:
4397:
2988:
terms – geometrically, these can be understood as the vertices of a hypercube. Grouping these terms by degree yields the elementary symmetric polynomials in
88:
7676:, as quoted by Funkhouser, the general principle (not restricted to positive real roots) was first understood by the 17th-century French mathematician
2319:{\displaystyle r_{1}+r_{2}+r_{3}=-{\frac {b}{a}},\quad r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+r_{2}r_{3}={\frac {c}{a}},\quad r_{1}r_{2}r_{3}=-{\frac {d}{a}}.}
941:{\displaystyle \sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n}\left(\prod _{j=1}^{k}r_{i_{j}}\right)=(-1)^{k}{\frac {a_{n-k}}{a_{n}}}}
6487:
2590:
are all the roots of this polynomial), multiplying the factors on the right-hand side, and identifying the coefficients of each power of
5727:
2707:
6219:
6053:
5451:
1231:
304:
2618:
3719:
7874:
7856:
5070:{\displaystyle {a_{2}x^{2}}+{a_{1}x}+a_{0}={{a_{2}}{x^{2}}-{{a_{2}}({r_{1}}+{r_{2}}){x}}+{a_{2}}{({r_{1}}{r_{2}})}}}
1161:
Vieta's formulas are then useful because they provide relations between the roots without having to compute them.
7744:
979:
17:
7730:
7266:
5392:
3348:
259:
7867:
The IMO compendium: a collection of problems suggested for the
International Mathematical Olympiads, 1959–2004
3786:
3486:
2534:
7805:
3420:
2048:
3557:
3276:{\displaystyle f(x)=a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=a_{2}(x-r_{1})(x-r_{2})=a_{2}(x^{2}-x(r_{1}+r_{2})+r_{1}r_{2}).}
1986:
7897:
7800:
7715:
1448:
1995:
1131:
2524:{\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}=a_{n}(x-r_{1})(x-r_{2})\cdots (x-r_{n})}
1824:
4353:
4282:
4869:{\displaystyle {a_{2}x^{2}}+{a_{1}x}+a_{0}={a_{2}}{({x^{2}}-{({r_{1}}+{r_{2}}){x}}+{r_{1}}{r_{2}})}}
7795:
5316:
3845:
5114:
1334:
7725:
3308:
1784:
1017:
7665:
As reflected in the name, the formulas were discovered by the 16th-century French mathematician
1586:
1539:
7720:
4690:{\displaystyle {a_{2}x^{2}}+{a_{1}x}+a_{0}={a_{2}}{({x^{2}}-{r_{1}x}-{r_{2}x}+{r_{1}}{r_{2}})}}
3654:
80:
262:. Vieta's formulas relate the polynomial coefficients to signed sums of products of the roots
7735:
5665:
4526:
1732:
1699:
1666:
1633:
1415:
1382:
6033:
3668:
3026:
35:
7892:
7813:
7740:
7633:
5302:{\displaystyle {P(x)}={a_{n+1}}{x^{n+1}}+{{a_{n}}{x^{n}}}+{\cdots }+{{a_{1}}{x}}+{{a}_{0}}}
4326:
2991:
2964:
2933:
2898:
2867:
2836:
2809:
1771:
1329:
1171:
1106:
1071:
996:
6216:
Using the inductive hypothesis, the polynomial in the square brackets can be rewritten as:
5698:
5363:
1510:
1202:
8:
7666:
7240:
5140:
5080:
4251:
3622:
1147:
68:
45:
5389:
leaving a 0 remainder. Note that the roots of the polynomial in the square brackets are
2593:
7833:
7816:(1930), "A short account of the history of symmetric functions of roots of equations",
7702:
3699:
3288:
2339:
1325:
1139:
1096:
1057:
992:
64:
7870:
7852:
7710:
7696:
6030:
For simplicity sake, allow the coefficients and constant of polynomial be denoted as
7765:
7825:
1775:
1165:
71:(more commonly referred to by the Latinised form of his name, "Franciscus Vieta").
1151:
1008:
7844:
7673:
5310:
1155:
1007:
Vieta's formulas are frequently used with polynomials with coefficients in any
212:
7886:
7677:
1979:
The first of these equations can be used to find the minimum (or maximum) of
1970:{\displaystyle r_{1}+r_{2}=-{\frac {b}{a}},\quad r_{1}r_{2}={\frac {c}{a}}.}
1196:
208:
56:
7837:
4698:
4518:{\displaystyle {a_{2}x^{2}}+{a_{1}x}+a_{0}={a_{2}}{(x-r_{1})(x-r_{2})}}
1379:
has four roots: 1, 3, 5, and 7. Vieta's formulas are not true if, say,
60:
1168:
that is not an integral domain, Vieta's formulas are only valid when
7829:
2891:
that are included, so the total number of factors in the product is
200:{\displaystyle P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}}
41:
2799:{\displaystyle (-1)^{n-k}r_{1}^{b_{1}}\cdots r_{n}^{b_{n}}x^{k},}
1143:
740:
7672:
In the opinion of the 18th-century
British mathematician
969:
are sorted in increasing order to ensure each product of
1154:
and the algebraically closed field is the field of the
5077:
The inductive hypothesis has now been proven true for
1317:{\displaystyle a_{n}(x-r_{1})(x-r_{2})\dots (x-r_{n})}
7636:
7304:
7269:
7243:
6944:
6931:{\displaystyle P(x)={(a_{n+1})}{({x}{}{-r_{n+1}}{})}}
6490:
6222:
6056:
6036:
5730:
5701:
5668:
5454:
5395:
5366:
5319:
5169:
5143:
5117:
5111:
Assuming the inductive hypothesis holds true for all
5083:
4882:
4707:
4535:
4400:
4356:
4329:
4285:
4254:
3883:
3848:
3789:
3722:
3702:
3671:
3625:
3560:
3489:
3423:
3351:
3311:
3291:
3061:
3029:
2994:
2967:
2936:
2901:
2870:
2839:
2812:
2710:
2621:
2596:
2537:
2348:
2127:
2051:
1998:
1887:
1827:
1787:
1735:
1702:
1669:
1636:
1589:
1542:
1513:
1451:
1418:
1385:
1337:
1234:
1205:
1174:
1109:
1074:
1020:
776:
709:
608:
375:
298:
91:
7692:
7824:(7), Mathematical Association of America: 357–365,
6023:{\displaystyle {P(x)}={(a_{n+{1}})}{(x-r_{n+1})}{}}
2697:{\displaystyle (x-r_{1})(x-r_{2})\cdots (x-r_{n}),}
7851:, American Mathematical Society, Providence, R.I,
7649:
7622:
7286:
7255:
7229:
6930:
6476:
6208:
6042:
6022:
5716:
5687:
5654:
5440:
5381:
5352:
5301:
5155:
5129:
5095:
5069:
4868:
4689:
4517:
4386:
4342:
4315:
4266:
4236:
3869:
3834:
3775:
3708:
3688:
3648:
3637:
3611:
3546:
3475:
3409:
3337:
3297:
3275:
3045:
3007:
2980:
2949:
2914:
2883:
2852:
2825:
2798:
2696:
2605:
2582:
2523:
2318:
2113:
2037:
1969:
1873:
1813:
1754:
1721:
1688:
1655:
1622:
1575:
1528:
1499:
1437:
1404:
1371:
1316:
1220:
1187:
1122:
1087:
1048:
995:through an explicit simple iterative formula, the
940:
746:
199:
770:Vieta's formulas can equivalently be written as
7884:
3776:{\displaystyle {r_{1}},{r_{2}},{\dots },{r_{n}}}
978:The left-hand sides of Vieta's formulas are the
6477:{\displaystyle P(x)={(a_{n+1})}{(x-r_{n+1})}{}}
6209:{\displaystyle P(x)={(a_{n+1})}{(x-r_{n+1})}{}}
27:Relating coefficients and roots of a polynomial
5724:, from the polynomial in the square brackets:
1630:, and Vieta's formulas hold if we set either
1324:. For example, in the ring of the integers
7812:
7783:
6938:After expanding and collecting like terms:
1987:Quadratic equation § Vieta's formulas
1002:
7763:
7287:{\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} }
7280:
5441:{\displaystyle r_{1},r_{2},\cdots ,r_{n}}
3483:, with which we can for example identify
3410:{\displaystyle a_{1}=-a_{2}(r_{1}+r_{2})}
2833:is either 0 or 1, accordingly as whether
233:(not necessarily distinct) complex roots
7237:The inductive hypothesis holds true for
3835:{\displaystyle a_{0},a_{1},\dots ,a_{n}}
3547:{\displaystyle r_{1}+r_{2}=-a_{1}/a_{2}}
2583:{\displaystyle r_{1},r_{2},\dots ,r_{n}}
40:
7843:
7657:, it proves the Vieta's formulas true.
3877:. Then the inductive hypothesis is that
3653:Vieta's formulas can also be proven by
3476:{\displaystyle a_{0}=a_{2}(r_{1}r_{2})}
2860:is included in the product or not, and
2114:{\displaystyle P(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d}
14:
7885:
7864:
5655:{\displaystyle {P(x)}={(x-r_{n+1})}{}}
3612:{\displaystyle r_{1}r_{2}=a_{0}/a_{2}}
3055:As an example, consider the quadratic
4350:be the constant term. Similarly, let
4323:be coefficients of the quadratic and
289:
7865:Djukić, Dušan; et al. (2006),
1500:{\displaystyle P(x)\neq (x-1)(x-3)}
24:
7669:, for the case of positive roots.
7270:
4876:Apply distributive property again:
3619:, which are Vieta's formula's for
25:
7909:
7770:MathWorld--A Wolfram Web Resource
7764:Weisstein, Eric W. (2024-06-22).
2038:{\displaystyle r_{1},r_{2},r_{3}}
74:
7695:
1874:{\displaystyle P(x)=ax^{2}+bx+c}
1146:, the field of fractions is the
980:elementary symmetric polynomials
7745:elementary symmetric polynomial
4387:{\displaystyle {r_{1}},{r_{2}}}
4316:{\displaystyle {a_{2}},{a_{1}}}
3649:Proof by mathematical induction
2333:
2266:
2183:
1930:
645:
7776:
7757:
7731:Properties of polynomial roots
7615:
7571:
7560:
7550:
7515:
7462:
7218:
7156:
7139:
7129:
7100:
7026:
6959:
6953:
6924:
6920:
6915:
6871:
6860:
6850:
6815:
6762:
6743:
6717:
6712:
6668:
6657:
6647:
6612:
6559:
6540:
6531:
6526:
6507:
6500:
6494:
6470:
6465:
6421:
6410:
6400:
6365:
6312:
6293:
6288:
6263:
6258:
6239:
6232:
6226:
6202:
6127:
6122:
6097:
6092:
6073:
6066:
6060:
6016:
5983:
5962:
5934:
5913:
5882:
5861:
5805:
5800:
5775:
5770:
5749:
5741:
5735:
5711:
5705:
5648:
5503:
5498:
5473:
5465:
5459:
5376:
5370:
5346:
5321:
5180:
5174:
5062:
5035:
5010:
4980:
4862:
4826:
4796:
4777:
4683:
4605:
4511:
4492:
4489:
4470:
4394:be the roots of the quadratic:
4229:
4185:
4180:
4167:
4156:
4146:
4111:
4058:
3894:
3888:
3682:
3676:
3470:
3447:
3404:
3378:
3285:Comparing identical powers of
3267:
3241:
3215:
3196:
3180:
3161:
3158:
3139:
3071:
3065:
2721:
2711:
2688:
2669:
2663:
2644:
2641:
2622:
2518:
2499:
2493:
2474:
2471:
2452:
2061:
2055:
1837:
1831:
1617:
1605:
1602:
1590:
1570:
1558:
1555:
1543:
1523:
1517:
1494:
1482:
1479:
1467:
1461:
1455:
1347:
1341:
1311:
1292:
1286:
1267:
1264:
1245:
1215:
1209:
899:
889:
699:
689:
566:
491:
485:
410:
260:fundamental theorem of algebra
101:
95:
13:
1:
7818:American Mathematical Monthly
7750:
5353:{\displaystyle {(x-r_{n+1})}}
3870:{\displaystyle {a_{n}}\neq 0}
975:roots is used exactly once).
207:(with the coefficients being
7263:, therefore it must be true
6484:Using distributive property:
5130:{\displaystyle n\geqslant 2}
4525:Expand the right side using
1821:of the quadratic polynomial
1770:Vieta's formulas applied to
1372:{\displaystyle P(x)=x^{2}-1}
63:to sums and products of its
7:
7801:Encyclopedia of Mathematics
7688:
3338:{\displaystyle a_{2}=a_{2}}
1814:{\displaystyle r_{1},r_{2}}
1049:{\displaystyle a_{i}/a_{n}}
987:
760:
30:For a method for computing
10:
7914:
7869:, Springer, New York, NY,
7660:
7630:By dividing both sides by
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