954:
1745:
1604:
1987:
1256:
2496:
1487:
792:
3087:
1067:
1134:
3267:
2613:
502:
2428:
1347:
2718:
1187:
826:
2233:
2049:
1021:
3009:
2866:
2300:
2815:
1911:
181:
1823:
613:
2536:
2126:
1664:
1310:
571:
1863:
355:
2335:
864:
212:
3150:
645:
2918:
1672:
120:
3178:
2363:
734:
708:
434:
297:
238:
2896:
1425:
680:
269:
1640:
1373:
2938:
2759:
2738:
2663:
2643:
2151:
2087:
1775:
1521:
1513:
1397:
853:
405:
377:
144:
91:
1922:
1198:
1434:
741:
34:. In a weak formulation, equations or conditions are no longer required to hold absolutely (and this is not even well defined) and has instead
1034:
2437:
2541:
441:
3378:
2370:
2672:
3383:
3373:
3189:
1996:
3277:
2820:
3019:
1074:
1273:
514:
3327:
3282:
1317:
1140:
799:
304:
2238:
2165:
962:
2947:
2244:
3012:
31:
2773:
1869:
656:
245:
1787:
583:
3311:
2512:
2096:
1646:
2159:
149:
1832:
46:, the solution space is constructed such that these equations or conditions are already fulfilled.
1492:
1754:
2941:
618:
3181:
2903:
2309:
1750:
1613:
1266:
186:
3157:
3097:
2342:
713:
687:
413:
276:
217:
3337:
2874:
1609:
1403:
1026:
3345:
8:
1619:
1376:
1352:
100:
3358:
2923:
2744:
2723:
2648:
2628:
2136:
2072:
1760:
1498:
1382:
838:
390:
362:
129:
76:
2665:. Since this implies in particular that no eigenvalue is zero, the system is solvable.
3323:
949:{\displaystyle \langle Au,e_{i}\rangle =\langle f,e_{i}\rangle ,\quad i=1,\ldots ,n.}
3341:
3315:
3307:
2505:
Here, application of the Lax–Milgram theorem is a stronger result than is needed.
3333:
1826:
1740:{\displaystyle \int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla v\,dx=\int _{\Omega }fv\,dx.}
3299:
2618:
648:
58:
27:
3319:
3367:
2129:
2090:
2063:
1782:
829:
507:
62:
39:
35:
856:
94:
1599:{\displaystyle -\int _{\Omega }(\nabla ^{2}u)v\,dx=\int _{\Omega }fv\,dx.}
61:
who proved it in 1954, provides weak formulations for certain systems on
2622:
1778:
123:
3295:
54:
23:
1982:{\displaystyle a(u,v)=\int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla v\,dx}
1251:{\displaystyle a(u,v)=\mathbf {v} ^{T}\mathbf {A} \mathbf {u} .}
410:
To bring this into the generic form of a weak formulation, find
3304:
Contributions to the theory of partial differential equations
1781:. The appropriate space to satisfy these requirements is the
1608:
The left side of this equation can be made more symmetric by
1777:
must be zero on the boundary, and have square-integrable
1482:{\displaystyle \langle u,v\rangle =\int _{\Omega }uv\,dx}
1193:
The bilinear form associated to this weak formulation is
787:{\displaystyle \langle Au,v\rangle =\langle f,v\rangle ,}
2062:
which relies on properties of the symmetric part of the
575:
3082:{\displaystyle |a(u,v)|\leq \|\nabla u\|\,\|\nabla v\|}
1749:
This is what is usually called the weak formulation of
1062:{\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {u} =\mathbf {f} ,}
3192:
3160:
3100:
3022:
2950:
2926:
2906:
2877:
2823:
2776:
2747:
2726:
2675:
2651:
2631:
2544:
2515:
2491:{\displaystyle \|u\|\leq {\frac {1}{c}}\|f\|_{V'}\,.}
2440:
2373:
2345:
2312:
2247:
2168:
2139:
2099:
2075:
1999:
1925:
1872:
1835:
1790:
1763:
1675:
1649:
1622:
1524:
1501:
1437:
1406:
1385:
1355:
1320:
1276:
1201:
1143:
1077:
1037:
965:
867:
841:
802:
744:
716:
690:
659:
621:
586:
517:
444:
416:
393:
365:
307:
279:
248:
220:
189:
152:
132:
103:
79:
22:
are important tools for the analysis of mathematical
1491:to derive the weak formulation. Then, testing with
1129:{\displaystyle a_{ij}=\langle Ae_{j},e_{i}\rangle }
855:is a linear mapping, it is sufficient to test with
3261:
3172:
3144:
3081:
3003:
2932:
2912:
2890:
2860:
2809:
2753:
2732:
2712:
2657:
2637:
2607:
2530:
2490:
2422:
2357:
2329:
2294:
2227:
2145:
2120:
2081:
2043:
1981:
1905:
1857:
1817:
1769:
1739:
1658:
1634:
1598:
1507:
1481:
1419:
1391:
1367:
1341:
1304:
1250:
1181:
1128:
1061:
1015:
948:
847:
820:
786:
728:
702:
674:
639:
607:
565:
496:
428:
399:
371:
349:
291:
263:
232:
206:
175:
138:
114:
85:
3365:
2608:{\displaystyle |a(u,v)|\leq \|A\|\,\|u\|\,\|v\|}
1260:
497:{\displaystyle a(u,v)=f(v)\quad \forall v\in V,}
38:only with respect to certain "test vectors" or "
3306:, Annals of Mathematics Studies, vol. 33,
2423:{\displaystyle a(u,v)=f(v)\quad \forall v\in V}
1342:{\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{d}}
2713:{\displaystyle \|u\|\leq {\frac {1}{c}}\|f\|,}
2740:is the minimal real part of an eigenvalue of
1182:{\displaystyle f_{i}=\langle f,e_{i}\rangle }
821:{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }
651:. Then, the weak formulation of the equation
3215:
3208:
3202:
3193:
3076:
3067:
3063:
3054:
2992:
2982:
2852:
2843:
2831:
2824:
2704:
2698:
2682:
2676:
2602:
2596:
2592:
2586:
2582:
2576:
2470:
2463:
2447:
2441:
2279:
2272:
2218:
2212:
2209:
2203:
1450:
1438:
1176:
1157:
1123:
1094:
915:
896:
890:
868:
815:
803:
778:
766:
760:
745:
3262:{\displaystyle \|\nabla u\|\leq \|f\|_{'}.}
2765:
2500:
2228:{\displaystyle |a(u,v)|\leq C\|u\|\|v\|\,;}
2044:{\displaystyle f(v)=\int _{\Omega }fv\,dx.}
1016:{\displaystyle u=\sum _{j=1}^{n}u_{j}e_{j}}
3294:
2053:
1917:The generic form is obtained by assigning
30:to solve problems in other fields such as
3066:
3004:{\displaystyle |a(u,u)|=\|\nabla u\|^{2}}
2617:Coercivity: this actually means that the
2595:
2585:
2518:
2484:
2288:
2221:
2031:
1972:
1727:
1701:
1586:
1560:
1472:
1329:
595:
2861:{\displaystyle \|v\|_{V}:=\|\nabla v\|,}
2295:{\displaystyle a(u,u)\geq c\|u\|^{2}\,.}
26:that permit the transfer of concepts of
2669:Additionally, this yields the estimate
3366:
1865:and with zero boundary conditions, so
3359:MathWorld page on Lax–Milgram theorem
576:Example 1: linear system of equations
2810:{\displaystyle V=H_{0}^{1}(\Omega )}
2538:are bounded. In particular, we have
1906:{\displaystyle V=H_{0}^{1}(\Omega )}
1379:, and to specify the solution space
2870:where the norm on the right is the
2509:Boundedness: all bilinear forms on
2066:. It is not the most general form.
13:
3240:
3196:
3128:
3070:
3057:
2985:
2907:
2846:
2801:
2408:
2020:
1966:
1957:
1952:
1897:
1849:
1818:{\displaystyle H_{0}^{1}(\Omega )}
1809:
1716:
1695:
1686:
1681:
1653:
1650:
1575:
1542:
1533:
1461:
1321:
1281:
608:{\displaystyle V=\mathbb {R} ^{n}}
479:
68:
14:
3395:
3352:
3379:Numerical differential equations
2531:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
2121:{\displaystyle a(\cdot ,\cdot )}
1659:{\displaystyle \partial \Omega }
1305:{\displaystyle -\nabla ^{2}u=f,}
1241:
1236:
1225:
1052:
1044:
1039:
566:{\displaystyle a(u,v):=(Au)(v).}
3384:Theorems in functional analysis
3302:(1954), "Parabolic equations",
2407:
921:
478:
176:{\displaystyle A\colon V\to V'}
3374:Partial differential equations
3247:
3243:
3237:
3219:
3135:
3131:
3125:
3107:
3047:
3043:
3031:
3024:
2975:
2971:
2959:
2952:
2920:(this provides a true norm on
2804:
2798:
2569:
2565:
2553:
2546:
2404:
2398:
2389:
2377:
2263:
2251:
2193:
2189:
2177:
2170:
2115:
2103:
2009:
2003:
1941:
1929:
1900:
1894:
1858:{\displaystyle L^{2}(\Omega )}
1852:
1846:
1812:
1806:
1554:
1538:
1217:
1205:
736:the following equation holds:
631:
557:
551:
548:
539:
533:
521:
475:
469:
460:
448:
341:
335:
326:
320:
317:
308:
240:is a solution of the equation
162:
32:partial differential equations
1:
3288:
2058:This is a formulation of the
1261:Example 2: Poisson's equation
350:{\displaystyle (Au)(v)=f(v).}
7:
3278:Babuška–Lax–Milgram theorem
3271:
3154:there is a unique solution
2339:there is a unique solution
10:
3400:
3312:Princeton University Press
3320:10.1515/9781400882182-010
3283:Lions–Lax–Milgram theorem
3184:and we have the estimate
3013:Cauchy–Schwarz inequality
2766:Application to example 2
2501:Application to example 1
1493:differentiable functions
640:{\displaystyle A:V\to V}
2913:{\displaystyle \Omega }
2330:{\displaystyle f\in V'}
2054:The Lax–Milgram theorem
1399:later, one can use the
359:A particular choice of
273:if and only if for all
207:{\displaystyle f\in V'}
3263:
3174:
3173:{\displaystyle u\in V}
3146:
3145:{\displaystyle f\in '}
3083:
3005:
2934:
2914:
2892:
2862:
2811:
2755:
2734:
2714:
2659:
2639:
2609:
2532:
2492:
2424:
2359:
2358:{\displaystyle u\in V}
2331:
2305:Then, for any bounded
2296:
2229:
2147:
2122:
2083:
2045:
1983:
1907:
1859:
1819:
1771:
1757:in the solution space
1741:
1660:
1636:
1600:
1509:
1483:
1421:
1393:
1369:
1343:
1306:
1252:
1183:
1130:
1063:
1017:
992:
950:
849:
822:
788:
730:
729:{\displaystyle v\in V}
704:
703:{\displaystyle u\in V}
676:
641:
609:
567:
498:
430:
429:{\displaystyle u\in V}
407:is a function space).
401:
373:
351:
293:
292:{\displaystyle v\in V}
265:
234:
233:{\displaystyle u\in V}
208:
177:
140:
116:
87:
3264:
3175:
3147:
3084:
3006:
2935:
2915:
2893:
2891:{\displaystyle L^{2}}
2863:
2812:
2756:
2735:
2715:
2660:
2645:are not smaller than
2640:
2610:
2533:
2493:
2425:
2360:
2332:
2297:
2230:
2148:
2123:
2084:
2046:
1984:
1908:
1860:
1820:
1772:
1742:
1661:
1637:
1601:
1510:
1484:
1422:
1420:{\displaystyle L^{2}}
1394:
1370:
1344:
1307:
1253:
1184:
1131:
1064:
1029:form of the equation
1018:
972:
951:
850:
823:
789:
731:
705:
677:
642:
610:
568:
499:
431:
402:
374:
352:
294:
266:
235:
209:
178:
141:
117:
88:
3314:, pp. 167–190,
3190:
3158:
3098:
3020:
2948:
2944:). But, we see that
2924:
2904:
2875:
2821:
2774:
2745:
2724:
2673:
2649:
2629:
2542:
2513:
2438:
2371:
2343:
2310:
2245:
2166:
2137:
2097:
2073:
1997:
1923:
1870:
1833:
1788:
1761:
1673:
1647:
1620:
1610:integration by parts
1522:
1499:
1435:
1404:
1383:
1353:
1318:
1274:
1199:
1141:
1075:
1035:
963:
958:Actually, expanding
865:
839:
800:
742:
714:
688:
675:{\displaystyle Au=f}
657:
619:
584:
515:
442:
414:
391:
363:
305:
277:
264:{\displaystyle Au=f}
246:
218:
187:
150:
130:
101:
77:
3236:
3124:
3093:Therefore, for any
2942:Poincaré inequality
2797:
2060:Lax–Milgram theorem
1893:
1805:
1635:{\displaystyle v=0}
1368:{\displaystyle u=0}
51:Lax–Milgram theorem
3300:Milgram, Arthur N.
3259:
3222:
3182:Poisson's equation
3170:
3142:
3110:
3079:
3001:
2930:
2910:
2888:
2858:
2807:
2783:
2751:
2730:
2710:
2655:
2635:
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