36:
1560:
1903:
1408:
1679:
2356:
3076:
2931:
2740:
2223:
1674:
2554:
2041:
1383:
1555:{\displaystyle {\mathcal {M}}_{f}(x)=\sum _{p^{\alpha }\leq x}f(p^{\alpha })\left(\left\lfloor {\frac {x}{p^{\alpha }}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {x}{p^{\alpha +1}}}\right\rfloor \right).}
1684:
2444:
1898:{\displaystyle {\begin{aligned}E(x)&=\sum _{p^{\alpha }\leq x}f(p^{\alpha })p^{-\alpha }(1-p^{-1})\\D^{2}(x)&=\sum _{p^{\alpha }\leq x}|f(p^{\alpha })|^{2}p^{-\alpha }.\end{aligned}}}
2230:
2935:
1079:
2470:
2606:
2774:
206:
2805:
287:
1133:
1264:
1213:
359:
2076:
2643:
2105:
2800:
1932:
974:
2635:
1162:
937:
2378:
1582:
1403:
1312:
1284:
1014:
994:
2110:
2475:
1937:
3120:
Erdös, P., and M. Kac. On the
Gaussian Law of Errors in the Theory of Additive Functions. Proc Natl Acad Sci USA. 1939 April; 25(4): 206–207.
1587:
742:
667:
592:
429:
1317:
1019:
2383:
146:
79:
57:
50:
3176:
2449:
3181:
2561:
2751:
2351:{\displaystyle \nu (x;z):={\frac {1}{x}}\#\!\left\{n\leq x:{\frac {f(n)-A(x)}{B(x)}}\leq z\right\}\!.}
230:
1084:
1218:
1167:
339:
44:
3096:
941:
3071:{\displaystyle \#\{p\leq x:\omega (p+1)-\log \log x\leq z(\log \log x)^{1/2}\}\sim \pi (x)G(z).}
2048:
585:, counting multiple factors multiple times, sometimes called the "Big Omega function" (sequence
306:
61:
2084:
2779:
3091:
2745:
1910:
947:
653:
578:
2611:
1138:
913:
8:
3101:
2638:
101:
3121:
2926:{\displaystyle \#\{n\leq x:\omega (n)-\log \log x\leq z(\log \log x)^{1/2}\}\sim xG(z),}
2363:
1567:
1388:
1297:
1269:
999:
979:
644:
Examples of arithmetic functions which are additive but not completely additive are:
2748:
and the numbers of prime divisors of shifted primes include the following for fixed
3086:
20:
2735:{\displaystyle G(z)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{z}e^{-t^{2}/2}dt.}
3143:
2079:
3170:
1215:
is completely multiplicative. More generally, we could consider the function
93:
368:
24:
2218:{\displaystyle \sum _{n\leq x}|f(n)-E(x)|^{2}\leq C_{f}\cdot xD^{2}(x).}
333:
1669:{\displaystyle {\mathcal {M}}_{f}(x)=xE(x)+O({\sqrt {x}}\cdot D(x))}
328:
Examples of arithmetic functions which are completely additive are:
320:
Every completely additive function is additive, but not vice versa.
2549:{\displaystyle B(x)=\sum _{p\leq x}f^{2}(p)/p\rightarrow \infty .}
2036:{\displaystyle {\mathcal {M}}_{f^{2}}(x)=xE^{2}(x)+O(xD^{2}(x)).}
387:
128:
112:
638:Ω(20,802,650,704,327,415) = Ω(5 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 1993 ⋅ 1236661) = 7.
737:
662:
635:Ω(54,032,858,972,302) = Ω(2 ⋅ 7 ⋅ 149 ⋅ 2081 ⋅ 1778171) = 6
587:
424:
632:Ω(54,032,858,972,279) = Ω(11 ⋅ 1993 ⋅ 1236661) = 4 ;
16:
Function that can be written as a sum over prime factors
1378:{\textstyle {\mathcal {M}}_{f}(x):=\sum _{n\leq x}f(n)}
1320:
2938:
2808:
2782:
2754:
2646:
2614:
2564:
2478:
2452:
2386:
2366:
2233:
2113:
2087:
2051:
1940:
1913:
1682:
1590:
1570:
1411:
1391:
1300:
1272:
1221:
1170:
1141:
1087:
1022:
1002:
982:
950:
916:
342:
233:
149:
976:
which is a function with the property that whenever
135:
is the sum of the values of the function applied to
3070:
2925:
2794:
2768:
2734:
2629:
2600:
2548:
2464:
2438:
2372:
2350:
2217:
2099:
2070:
2035:
1926:
1897:
1668:
1576:
1554:
1397:
1377:
1306:
1278:
1258:
1207:
1156:
1127:
1073:
1008:
988:
968:
931:
353:
281:
200:
2344:
2268:
3168:
2439:{\displaystyle -1\leq f(p^{\alpha })=f(p)\leq 1}
410:counting multiplicity, sometimes called sopfr(
3035:
2942:
2899:
2812:
727:) – the sum of the distinct primes dividing
692:ω(2000) = ω(2 · 5) = ω(2) + ω(5) = 1 + 1 = 2
620:Ω(2000) = Ω(2 · 5) = Ω(2) + Ω(5) = 4 + 3 = 7
1314:, let its summatory function be defined by
905:
689:ω(144) = ω(2 · 3) = ω(2) + ω(3) = 1 + 1 = 2
652:), defined as the total number of distinct
617:Ω(144) = Ω(2 · 3) = Ω(2) + Ω(3) = 4 + 2 = 6
305:is also used in this sense by analogy with
2762:
344:
80:Learn how and when to remove this message
3114:
1934:is also expressed by these functions as
43:This article includes a list of general
2744:Examples of this result related to the
313:is a completely additive function then
3169:
1289:
1074:{\displaystyle g(ab)=g(a)\times g(b).}
602:Ω(1) = 0, since 1 has no prime factors
210:
131:, the function applied to the product
2045:There is always an absolute constant
2465:{\displaystyle x\rightarrow \infty }
29:
939:it is possible to create a related
301:, even when they are not coprime.
13:
3130:
2939:
2809:
2685:
2601:{\displaystyle \nu (x;z)\sim G(z)}
2540:
2459:
2265:
1944:
1594:
1415:
1324:
899:(20,802,650,704,327,415) = 1238677
577:), defined as the total number of
566:(20,802,650,704,327,415) = 1240681
49:it lacks sufficient corresponding
14:
3193:
2769:{\displaystyle z\in \mathbb {R} }
201:{\displaystyle f(ab)=f(a)+f(b).}
34:
406:) – the sum of primes dividing
379:, that is the largest exponent
282:{\displaystyle f(ab)=f(a)+f(b)}
3062:
3056:
3050:
3044:
3018:
2999:
2972:
2960:
2917:
2911:
2882:
2863:
2836:
2830:
2656:
2650:
2639:Gaussian distribution function
2624:
2618:
2595:
2589:
2580:
2568:
2537:
2526:
2520:
2488:
2482:
2456:
2427:
2421:
2412:
2399:
2327:
2321:
2313:
2307:
2298:
2292:
2249:
2237:
2209:
2203:
2164:
2159:
2153:
2144:
2138:
2131:
2027:
2024:
2018:
2002:
1993:
1987:
1968:
1962:
1865:
1860:
1847:
1840:
1806:
1800:
1783:
1761:
1745:
1732:
1696:
1690:
1663:
1660:
1654:
1638:
1629:
1623:
1611:
1605:
1477:
1464:
1432:
1426:
1372:
1366:
1341:
1335:
1251:
1245:
1231:
1225:
1200:
1194:
1180:
1174:
1151:
1145:
1128:{\displaystyle g(n)=2^{f(n)}.}
1117:
1111:
1097:
1091:
1065:
1059:
1050:
1044:
1035:
1026:
960:
954:
926:
920:
890:(54,032,858,972,302) = 1780410
881:(54,032,858,972,279) = 1238665
557:(54,032,858,972,302) = 1780417
548:(54,032,858,972,279) = 1240658
276:
270:
261:
255:
246:
237:
192:
186:
177:
171:
162:
153:
1:
3107:
2776:where the relations hold for
2380:is an additive function with
1564:The summatory functions over
1259:{\displaystyle g(n)=c^{f(n)}}
1208:{\displaystyle g(n)=2^{f(n)}}
1164:is completely additive, then
710:ω(20,802,650,704,327,415) = 5
354:{\displaystyle \mathbb {N} .}
3139:Kolobar aritmetičnih funkcij
1907:The average of the function
1286:is a nonzero real constant.
418:or the integer logarithm of
7:
3152:(2002) 4, pp. 97–108)
3080:
1294:Given an additive function
910:From any additive function
323:
10:
3198:
2071:{\displaystyle C_{f}>0}
18:
3146:of arithmetical functions
707:ω(54,032,858,972,302) = 5
704:ω(54,032,858,972,279) = 3
906:Multiplicative functions
731:, sometimes called sopf(
3148:), (Obzornik mat, fiz.
3097:Multiplicative function
2100:{\displaystyle x\geq 1}
942:multiplicative function
461:(2 · 5) = 2 + 2 + 5 = 9
332:The restriction of the
64:more precise citations.
3160:Analytic number theory
3158:Iwaniec and Kowalski,
3072:
2927:
2796:
2795:{\displaystyle x\gg 1}
2770:
2736:
2631:
2602:
2550:
2466:
2440:
2374:
2352:
2219:
2101:
2072:
2037:
1928:
1899:
1670:
1578:
1556:
1399:
1379:
1308:
1280:
1260:
1209:
1158:
1129:
1075:
1010:
990:
970:
933:
608:Ω(16) = Ω(2·2·2·2) = 4
355:
307:totally multiplicative
283:
202:
3073:
2928:
2797:
2771:
2737:
2632:
2603:
2551:
2467:
2441:
2375:
2353:
2220:
2102:
2073:
2038:
1929:
1927:{\displaystyle f^{2}}
1900:
1671:
1579:
1557:
1400:
1380:
1309:
1281:
1261:
1210:
1159:
1130:
1076:
1011:
991:
971:
969:{\displaystyle g(n),}
934:
356:
284:
215:An additive function
203:
3177:Arithmetic functions
3092:Prime omega function
2936:
2806:
2780:
2752:
2746:prime omega function
2644:
2630:{\displaystyle G(z)}
2612:
2562:
2476:
2450:
2384:
2364:
2231:
2111:
2085:
2049:
1938:
1911:
1680:
1588:
1568:
1409:
1405:is given exactly as
1389:
1318:
1298:
1270:
1219:
1168:
1157:{\displaystyle f(n)}
1139:
1085:
1081:One such example is
1020:
1000:
980:
948:
932:{\displaystyle f(n)}
914:
683:ω(20) = ω(2 · 5) = 2
614:Ω(27) = Ω(3·3·3) = 3
611:Ω(20) = Ω(2·2·5) = 3
470:(27) = 3 + 3 + 3 = 9
340:
334:logarithmic function
231:
147:
3154:(MSC (2000) 11A25)
3102:Arithmetic function
2694:
1584:can be expanded as
1290:Summatory functions
225:completely additive
211:Completely additive
119:such that whenever
102:arithmetic function
3182:Additive functions
3068:
2923:
2792:
2766:
2732:
2677:
2627:
2598:
2546:
2509:
2462:
2436:
2370:
2348:
2215:
2129:
2097:
2078:such that for all
2068:
2033:
1924:
1895:
1893:
1838:
1728:
1666:
1574:
1552:
1460:
1395:
1375:
1362:
1304:
1276:
1256:
1205:
1154:
1125:
1071:
1016:are coprime then:
1006:
986:
966:
929:
414:), the potency of
351:
293:positive integers
279:
198:
111:) of the positive
2675:
2674:
2494:
2373:{\displaystyle f}
2331:
2263:
2114:
1816:
1706:
1646:
1577:{\displaystyle f}
1538:
1504:
1438:
1398:{\displaystyle f}
1385:. The average of
1347:
1307:{\displaystyle f}
1279:{\displaystyle c}
1009:{\displaystyle b}
989:{\displaystyle a}
530:(5) = 8 + 15 = 23
98:additive function
90:
89:
82:
3189:
3155:
3124:
3118:
3087:Sigma additivity
3077:
3075:
3074:
3069:
3034:
3033:
3029:
2932:
2930:
2929:
2924:
2898:
2897:
2893:
2801:
2799:
2798:
2793:
2775:
2773:
2772:
2767:
2765:
2741:
2739:
2738:
2733:
2722:
2721:
2717:
2712:
2711:
2693:
2688:
2676:
2667:
2663:
2636:
2634:
2633:
2628:
2607:
2605:
2604:
2599:
2555:
2553:
2552:
2547:
2533:
2519:
2518:
2508:
2471:
2469:
2468:
2463:
2445:
2443:
2442:
2437:
2411:
2410:
2379:
2377:
2376:
2371:
2357:
2355:
2354:
2349:
2343:
2339:
2332:
2330:
2316:
2287:
2264:
2256:
2224:
2222:
2221:
2216:
2202:
2201:
2186:
2185:
2173:
2172:
2167:
2134:
2128:
2106:
2104:
2103:
2098:
2077:
2075:
2074:
2069:
2061:
2060:
2042:
2040:
2039:
2034:
2017:
2016:
1986:
1985:
1961:
1960:
1959:
1958:
1948:
1947:
1933:
1931:
1930:
1925:
1923:
1922:
1904:
1902:
1901:
1896:
1894:
1887:
1886:
1874:
1873:
1868:
1859:
1858:
1843:
1837:
1830:
1829:
1799:
1798:
1782:
1781:
1760:
1759:
1744:
1743:
1727:
1720:
1719:
1675:
1673:
1672:
1667:
1647:
1642:
1604:
1603:
1598:
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