7135:
10119:
6299:
6681:
8632:
5991:
7130:{\displaystyle {\begin{aligned}\langle J(x_{1},x_{2}),(y_{1},y_{2})\rangle _{H\oplus H}&=\langle (-x_{2},x_{1}),(y_{1},y_{2})\rangle _{H\oplus H}=\langle -x_{2},y_{1}\rangle _{H}+\langle x_{1},y_{2}\rangle _{H}\\&=\langle x_{1},y_{2}\rangle _{H}+\langle x_{2},-y_{1}\rangle _{H}=\langle (x_{1},x_{2}),-J(y_{1},y_{2})\rangle _{H\oplus H}.\end{aligned}}}
8448:
7888:
4516:
6294:{\displaystyle {\begin{aligned}v\in D(A^{*})^{\perp }&\Longleftrightarrow (v,0)\in G(A^{*})^{\perp }\Longleftrightarrow (v,0)\in (JG(A))^{\text{cl}}=JG^{\text{cl}}(A)\\&\Longleftrightarrow (0,-v)=J^{-1}(v,0)\in G^{\text{cl}}(A)\\&\Longleftrightarrow (0,v)\in G^{\text{cl}}(A).\end{aligned}}}
5112:
5238:
1721:
8627:{\displaystyle \langle \varphi ,A^{*}\psi \rangle =\langle A\varphi ,\psi \rangle =\langle \langle f,\varphi \rangle \varphi _{0},\psi \rangle =\langle f,\varphi \rangle \cdot \langle \varphi _{0},\psi \rangle =\langle \varphi ,\langle \varphi _{0},\psi \rangle f\rangle .}
2495:
9327:
564:
7692:
2795:
4350:
3474:
1041:
The above definition in the
Hilbert space setting is really just an application of the Banach space case when one identifies a Hilbert space with its dual. Then it is only natural that we can also obtain the adjoint of an operator
8201:
9169:
5980:
5399:
8342:
6632:
4913:
4837:
1363:
4139:
3105:
9405:
3255:
5123:
7684:
3727:
3175:
1551:
8117:
8696:
4041:
167:
2926:
8753:
8834:
8060:
7606:
3775:
613:
3822:
8899:
6686:
5996:
5637:
2373:
2033:
2253:
1271:
2368:
921:
4646:
9234:
3863:
3314:
2657:
796:
202:
5776:
4709:
2568:
2184:
991:
7519:
6503:
439:
7417:
4204:
7949:
2337:
1809:
7883:{\displaystyle G\left(\left(A^{\text{cl}}\right)^{*}\right)=\left(JG^{\text{cl}}(A)\right)^{\perp }=\left(\left(JG(A)\right)^{\text{cl}}\right)^{\perp }=(JG(A))^{\perp }=G(A^{*}).}
7205:
6439:
849:
431:
8441:
7246:
7285:
6673:
4342:
1036:
8396:
6393:
5702:
3658:
1158:
374:
2707:
8789:
8005:
7170:
3935:
6337:
4600:
1766:
1443:
7343:
4558:
1201:
1408:
5494:
3973:
2606:
2086:
1856:
8965:
6544:
3569:
5530:
4240:
1912:
1072:
711:
9082:
9018:
7455:
5880:
4906:
8926:
8257:
5831:
5557:
4867:
4302:
4275:
3890:
2133:
1543:
644:
98:
8230:
5802:
5666:
5465:
4168:
3506:
1941:
1496:
4511:{\displaystyle {\bigl \langle }(a,b),(c,d){\bigr \rangle }_{H_{1}\oplus H_{2}}{\stackrel {\text{def}}{=}}\langle a,c\rangle _{H_{1}}+\langle b,d\rangle _{H_{2}},}
737:
7549:
318:
8985:
8361:
7969:
6357:
5851:
5722:
5585:
5432:
3530:
2360:
2293:
2273:
2106:
2057:
1876:
1516:
1463:
1112:
1092:
668:
285:
59:
3397:
8125:
5107:{\displaystyle G(A^{*})=(JG(A))^{\perp }=\{(x,y)\in H\oplus H:{\bigl \langle }(x,y),(-A\xi ,\xi ){\bigr \rangle }_{H\oplus H}=0\;\;\forall \xi \in D(A)\}.}
9093:
5887:
5249:
8262:
6549:
9206:
the definition of adjoint needs to be adjusted in order to compensate for the complex conjugation. An adjoint operator of the conjugate-linear operator
4717:
10008:
1284:
9844:
5233:{\displaystyle {\bigl \langle }(x,y),(-A\xi ,\xi ){\bigr \rangle }=0\quad \Leftrightarrow \quad \langle A\xi ,x\rangle =\langle \xi ,y\rangle ,}
4046:
3031:
9343:
3186:
9671:
7611:
3663:
1716:{\displaystyle D\left(A^{*}\right):=\left\{g\in F^{*}:~\exists c\geq 0:~{\mbox{ for all }}u\in D(A):~|g(Au)|\leq c\cdot \|u\|_{E}\right\}.}
3260:
One says that a norm that satisfies this condition behaves like a "largest value", extrapolating from the case of self-adjoint operators.
3116:
9834:
8068:
8640:
3977:
106:
10262:
9961:
9816:
10155:
9792:
8701:
2855:
9632:
9585:
9624:
8794:
8010:
7553:
3732:
572:
3782:
8839:
5594:
2490:{\displaystyle {\begin{aligned}A^{*}:F^{*}\supset D(A^{*})&\to E^{*}\\g&\mapsto A^{*}g={\hat {f}}.\end{aligned}}}
1946:
2189:
1209:
9684:
9322:{\displaystyle \langle Ax,y\rangle ={\overline {\left\langle x,A^{*}y\right\rangle }}\quad {\text{for all }}x,y\in H.}
10279:
9773:
9664:
9604:
857:
4607:
559:{\displaystyle \left\langle Ah_{1},h_{2}\right\rangle _{H_{2}}=\left\langle h_{1},A^{*}h_{2}\right\rangle _{H_{1}},}
10043:
3827:
3287:
2630:
749:
380:. Without taking care of any details, the adjoint operator is the (in most cases uniquely defined) linear operator
175:
17:
5727:
4655:
2506:
2138:
929:
9688:
7460:
6444:
6395:
if this graph represents a function. As above, the word "function" may be replaced with "operator". Furthermore,
5704:
is a (closed) linear subspace, the word "function" may be replaced with "linear operator". For the same reason,
2997:
7348:
4176:
2660:
7901:
2298:
10227:
9839:
674:
1771:
10294:
10232:
10122:
9895:
9829:
9657:
7175:
6398:
3509:
2801:
801:
383:
10148:
9859:
8401:
7209:
2790:{\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\left\langle x,A^{*}y\right\rangle \quad {\mbox{for all }}x,y\in H.}
10335:
10248:
10104:
10058:
9982:
9864:
7251:
6637:
4307:
996:
616:
8366:
6362:
5671:
3621:
1117:
333:
10099:
9915:
9623:. International Series in Pure and Applied Mathematics. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY:
2811:
matrix of a square matrix which has a similar property involving the standard complex inner product.
678:
10289:
8758:
7974:
7143:
3895:
10379:
10355:
10284:
9951:
9849:
9752:
6315:
4563:
3321:
2827:
1729:
1466:
1413:
289:
246:
7290:
4524:
1163:
10048:
9824:
2036:
1372:
5470:
3940:
2573:
2062:
1814:
10253:
10222:
10141:
10079:
10023:
9987:
9440:
8931:
6510:
3535:
5499:
4209:
1881:
1045:
684:
10304:
10258:
10201:
9786:
9191:
9054:
9045:
8990:
7422:
5856:
4870:
9782:
4876:
650:
in the second coordinate. Note the special case where both
Hilbert spaces are identical and
10187:
10062:
8904:
8235:
5809:
5535:
4845:
4280:
4253:
3868:
3574:
2111:
1521:
622:
250:
238:
76:
9649:
8206:
5781:
5642:
5441:
4144:
3482:
1917:
1472:
8:
10183:
10028:
9966:
9680:
9445:
3469:{\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,z\rangle \quad {\mbox{for all }}x\in D(A).}
716:
254:
62:
7531:
3274:
300:
10053:
9920:
9520:
9455:
9435:
9430:
8970:
8346:
7954:
6342:
5836:
5707:
5570:
5417:
3515:
2345:
2278:
2258:
2091:
2042:
1861:
1501:
1448:
1097:
1077:
744:
653:
270:
44:
8196:{\displaystyle D(A)=\{\varphi \in L^{2}\mid \langle f,\varphi \rangle \neq \infty \}.}
798:. Here (again not considering any technicalities), its adjoint operator is defined as
10309:
10206:
10033:
9638:
9628:
9618:
9600:
9581:
9187:
4649:
3865:
to be identically zero. Since the functional is obviously bounded, the definition of
2980:
242:
9164:{\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay\rangle {\mbox{ for all }}x,y\in H.}
5975:{\displaystyle v\in D(A^{*})^{\perp }\ \Leftrightarrow \ (0,v)\in G^{\text{cl}}(A),}
5394:{\displaystyle {\Bigl }\quad \Leftrightarrow \quad x\in D(A^{*})\ \&\ y=A^{*}x.}
10319:
10196:
10038:
9956:
9925:
9905:
9890:
9885:
9880:
9028:
8337:{\displaystyle \mathbf {1} _{}\cdot \varphi \ {\stackrel {L^{2}}{\to }}\ \varphi ,}
7971:
is the linear measure. Select a measurable, bounded, non-identically zero function
6627:{\displaystyle \langle Jx,y\rangle _{H\oplus H}=-\langle x,Jy\rangle _{H\oplus H},}
2820:
2680:
647:
294:
261:
9717:
4832:{\displaystyle G(A^{*})=\{(x,y)\mid x\in D(A^{*}),\ y=A^{*}x\}\subseteq H\oplus H}
3267:
together with the adjoint operation and the operator norm form the prototype of a
10299:
9900:
9854:
9802:
9797:
9768:
9415:
9411:
3343:
2663:
224:
39:
35:
9727:
2039:, or alternatively through extension by continuity, this yields an extension of
10089:
9941:
9742:
9203:
2984:
2930:
10373:
10192:
10164:
10094:
10018:
9747:
9732:
9722:
9460:
3018:
2625:
2621:
740:
377:
265:
205:
9642:
10084:
9737:
9707:
9614:
9179:
1366:
1358:{\displaystyle \left(E,\|\cdot \|_{E}\right),\left(F,\|\cdot \|_{F}\right)}
1276:
209:
7893:
4134:{\displaystyle A^{*}y\in D(A)^{\perp }={\overline {D(A)}}^{\perp }=\{0\},}
2611:
10314:
10013:
10003:
9910:
9712:
9175:
3100:{\displaystyle \|A\|_{\text{op}}:=\sup \left\{\|Ax\|:\|x\|\leq 1\right\}}
31:
9400:{\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\left\langle x,A^{*}y\right\rangle }
5985:
which, in turn, is proven through the following chain of equivalencies:
3250:{\displaystyle \left\|A^{*}A\right\|_{\text{op}}=\|A\|_{\text{op}}^{2}.}
9946:
9778:
9183:
3268:
328:
9578:
Functional
Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations
7679:{\displaystyle G(A^{*})=G\left(\left(A^{\text{cl}}\right)^{*}\right).}
3722:{\displaystyle x\mapsto \langle Ax,y\rangle =\langle x,A^{*}y\rangle }
5559:
is the orthogonal complement of a subspace, and therefore is closed.
3275:
Adjoint of densely defined unbounded operators between
Hilbert spaces
3578:
3170:{\displaystyle \left\|A^{*}\right\|_{\text{op}}=\|A\|_{\text{op}}.}
10133:
8112:{\displaystyle A\varphi =\langle f,\varphi \rangle \varphi _{0}.}
287:. The definition has been further extended to include unbounded
234:
260:
The above definition of an adjoint operator extends verbatim to
9178:(being equal to their own "complex conjugate") and form a real
8691:{\displaystyle A^{*}\psi =\langle \varphi _{0},\psi \rangle f.}
4036:{\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,A^{*}y\rangle =0}
3263:
The set of bounded linear operators on a complex
Hilbert space
162:{\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,A^{*}y\rangle ,}
2921:{\textstyle \left(A^{*}\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{*}}
9679:
9410:
is formally similar to the defining properties of pairs of
8748:{\displaystyle \mathop {\text{Im}} A^{*}\subseteq H=L^{2}.}
2800:
Existence and uniqueness of this operator follows from the
2679:(for linear operators, continuity is equivalent to being a
9418:, and this is where adjoint functors got their name from.
9197:
27:
Conjugate transpose of an operator in infinite dimensions
5853:
is closable. This follows from the fact that, for every
5562:
1277:
Definition for unbounded operators between Banach spaces
7894:
Counterexample where the adjoint is not densely defined
2612:
Definition for bounded operators between
Hilbert spaces
9137:
3439:
2858:
2763:
1625:
9346:
9237:
9096:
9057:
8993:
8973:
8934:
8907:
8842:
8829:{\displaystyle \langle \varphi _{0},\psi \rangle =0.}
8797:
8761:
8704:
8643:
8451:
8404:
8369:
8349:
8265:
8238:
8209:
8128:
8071:
8055:{\displaystyle \varphi _{0}\in L^{2}\setminus \{0\}.}
8013:
7977:
7957:
7904:
7695:
7614:
7601:{\displaystyle A^{*}=\left(A^{\text{cl}}\right)^{*},}
7556:
7534:
7463:
7425:
7351:
7293:
7254:
7212:
7178:
7146:
6684:
6640:
6552:
6513:
6447:
6401:
6365:
6345:
6318:
5994:
5890:
5859:
5839:
5812:
5784:
5730:
5710:
5674:
5645:
5597:
5573:
5538:
5502:
5473:
5444:
5420:
5252:
5126:
4916:
4879:
4848:
4720:
4658:
4610:
4566:
4527:
4353:
4310:
4283:
4256:
4212:
4179:
4147:
4049:
3980:
3943:
3898:
3871:
3830:
3785:
3770:{\displaystyle y\in (\operatorname {im} A)^{\perp }.}
3735:
3666:
3624:
3573:
Properties 1.â5. hold with appropriate clauses about
3538:
3518:
3485:
3400:
3290:
3189:
3119:
3034:
2819:
The following properties of the
Hermitian adjoint of
2710:
2633:
2576:
2509:
2371:
2348:
2301:
2281:
2261:
2192:
2141:
2114:
2094:
2065:
2045:
1949:
1920:
1884:
1864:
1817:
1774:
1732:
1554:
1524:
1504:
1475:
1451:
1416:
1375:
1287:
1212:
1166:
1120:
1100:
1080:
1048:
999:
932:
860:
804:
752:
719:
687:
656:
625:
608:{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{H_{i}}}
575:
442:
386:
336:
303:
273:
178:
109:
79:
47:
9174:
In some sense, these operators play the role of the
3817:{\displaystyle y\in (\operatorname {im} A)^{\perp }}
2295:
but the extension only worked for specific elements
8894:{\displaystyle D(A^{*})=\{\varphi _{0}\}^{\perp }.}
5632:{\displaystyle G^{\text{cl}}(A)\subseteq H\oplus H}
2028:{\displaystyle |f(u)|=|g(Au)|\leq c\cdot \|u\|_{E}}
1465:is a (possibly unbounded) linear operator which is
10009:Spectral theory of ordinary differential equations
9399:
9321:
9163:
9076:
9012:
8979:
8959:
8928:is not densely defined and is identically zero on
8920:
8893:
8828:
8783:
8747:
8690:
8626:
8435:
8390:
8355:
8336:
8251:
8224:
8195:
8111:
8054:
7999:
7963:
7943:
7882:
7678:
7600:
7543:
7513:
7449:
7411:
7337:
7279:
7240:
7199:
7164:
7129:
6667:
6626:
6538:
6497:
6433:
6387:
6351:
6331:
6293:
5974:
5874:
5845:
5825:
5796:
5770:
5716:
5696:
5660:
5631:
5579:
5551:
5524:
5488:
5459:
5426:
5393:
5232:
5106:
4900:
4861:
4831:
4703:
4640:
4594:
4552:
4510:
4336:
4296:
4269:
4234:
4198:
4162:
4133:
4035:
3967:
3929:
3884:
3857:
3816:
3769:
3721:
3652:
3581:. For instance, the last property now states that
3563:
3524:
3500:
3468:
3308:
3249:
3169:
3099:
2920:
2789:
2651:
2600:
2562:
2489:
2354:
2331:
2287:
2267:
2248:{\displaystyle D\left(A^{*}\right)\to (D(A))^{*}.}
2247:
2178:
2127:
2100:
2080:
2051:
2027:
1935:
1906:
1870:
1850:
1803:
1760:
1715:
1537:
1510:
1490:
1457:
1437:
1402:
1357:
1266:{\displaystyle \langle h_{f},h\rangle _{H}=f(Ah).}
1265:
1195:
1152:
1106:
1086:
1066:
1030:
985:
915:
843:
790:
731:
705:
662:
638:
607:
558:
425:
368:
312:
279:
196:
161:
92:
53:
8698:The definition of adjoint operator requires that
5325:
5255:
2108:. This technicality is necessary to later obtain
10371:
9486:. Cambridge University Press. pp. 262, 280.
3054:
1114:is a Banach space. The dual is then defined as
916:{\displaystyle A^{*}f=f\circ A:u\mapsto f(Au),}
9484:Quantum Mechanics for Scientists and Engineers
4641:{\displaystyle J\colon H\oplus H\to H\oplus H}
677:, one can define the adjoint, also called the
646:, which is linear in the first coordinate and
10149:
9665:
5175:
5129:
5052:
5005:
4397:
4356:
4206:is a topologically closed subspace even when
3858:{\displaystyle x\mapsto \langle Ax,y\rangle }
3309:{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }
2652:{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }
791:{\displaystyle \|\cdot \|_{E},\|\cdot \|_{F}}
197:{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }
9362:
9347:
9253:
9238:
9133:
9118:
9112:
9097:
8879:
8865:
8817:
8798:
8679:
8660:
8618:
8612:
8593:
8584:
8578:
8559:
8553:
8541:
8535:
8516:
8504:
8501:
8495:
8480:
8474:
8452:
8187:
8178:
8166:
8144:
8093:
8081:
8046:
8040:
7105:
7034:
7022:
6992:
6980:
6953:
6934:
6907:
6895:
6865:
6847:
6779:
6757:
6689:
6606:
6590:
6569:
6553:
5771:{\displaystyle (0,v)\notin G^{\text{cl}}(A)}
5320:
5308:
5302:
5287:
5224:
5212:
5206:
5191:
5117:The assertion follows from the equivalences
5098:
4970:
4814:
4743:
4704:{\displaystyle J(\xi ,\eta )=(-\eta ,\xi ).}
4489:
4476:
4457:
4444:
4125:
4119:
4024:
4002:
3996:
3981:
3852:
3837:
3716:
3694:
3688:
3673:
3434:
3422:
3416:
3401:
3331:to itself is a linear operator whose domain
3303:
3291:
3230:
3223:
3155:
3148:
3083:
3077:
3071:
3062:
3042:
3035:
2807:This can be seen as a generalization of the
2726:
2711:
2646:
2634:
2563:{\displaystyle g(Au)=\left(A^{*}g\right)(u)}
2179:{\displaystyle D\left(A^{*}\right)\to E^{*}}
2016:
2009:
1696:
1689:
1341:
1334:
1306:
1299:
1233:
1213:
986:{\displaystyle \left(A^{*}f\right)(u)=f(Au)}
779:
772:
760:
753:
589:
576:
191:
179:
153:
131:
125:
110:
7514:{\displaystyle G^{\text{cl}}(A)=G(A^{**}).}
6498:{\displaystyle G(A^{**})=G^{\text{cl}}(A).}
4245:
237:, especially when used in conjunction with
10156:
10142:
9672:
9658:
8987:is not closable and has no second adjoint
5076:
5075:
4344:is a Hilbert space with the inner product
2500:The fundamental defining identity is thus
673:When one trades the inner product for the
9594:
9560:
9532:
9503:
9182:. They serve as the model of real-valued
7925:
7412:{\displaystyle ]^{\perp }=V^{\text{cl}}.}
4199:{\displaystyle \operatorname {ker} A^{*}}
3532:is uniquely defined, and, by definition,
2255:Remark also that this does not mean that
1797:
293:operators, whose domain is topologically
257:(also known as the Hermitian transpose).
9962:Group algebra of a locally compact group
7944:{\displaystyle H=L^{2}(\mathbb {R} ,l),}
2332:{\displaystyle g\in D\left(A^{*}\right)}
253:, the Hermitian adjoint is given by the
9499:
9497:
9495:
9493:
14:
10372:
9575:
9481:
9198:Adjoints of conjugate-linear operators
9022:
8259:functions with compact support. Since
1804:{\displaystyle f:D(A)\to \mathbb {R} }
670:is an operator on that Hilbert space.
322:
249:where operators can be represented by
10137:
9653:
9613:
9564:
9548:
9536:
9507:
7200:{\displaystyle V\subseteq H\oplus H,}
6434:{\displaystyle A^{**}=A^{\text{cl}},}
1545:is defined as follows. The domain is
9625:McGraw-Hill Science/Engineering/Math
9595:Reed, Michael; Simon, Barry (2003),
9490:
5563:A is densely defined â A is closable
844:{\displaystyle A^{*}:F^{*}\to E^{*}}
426:{\displaystyle A^{*}:H_{2}\to H_{1}}
100:on that space according to the rule
215:The adjoint may also be called the
24:
10163:
8436:{\displaystyle \psi \in D(A^{*}),}
8184:
7241:{\displaystyle y\in (JV)^{\perp }}
5833:is densely defined if and only if
5668:is the graph of a function. Since
5363:
5260:
5077:
2687:is the continuous linear operator
2342:Now, we can define the adjoint of
1606:
297:in, but not necessarily equal to,
25:
10391:
10280:Compact operator on Hilbert space
9332:
8037:
7280:{\displaystyle Jy\in V^{\perp }.}
6668:{\displaystyle x,y\in H\oplus H.}
4337:{\displaystyle H_{1}\oplus H_{2}}
3613:
1914:, f is (uniformly) continuous on
1031:{\displaystyle f\in F^{*},u\in E}
10118:
10117:
10044:Topological quantum field theory
9214:is an conjugate-linear operator
8391:{\displaystyle \varphi \in D(A)}
8268:
6388:{\displaystyle G^{\text{cl}}(A)}
5697:{\displaystyle G^{\text{cl}}(A)}
3779:Conversely, the assumption that
3653:{\displaystyle y\in \ker A^{*},}
1153:{\displaystyle A^{*}:E^{*}\to H}
369:{\displaystyle A:H_{1}\to H_{2}}
9295:
6359:is the operator whose graph is
5409:
5334:
5330:
5190:
5186:
3729:is identically zero, and hence
3610:are densely defined operators.
3437:
2761:
9554:
9542:
9526:
9513:
9475:
8951:
8938:
8859:
8846:
8784:{\displaystyle f\notin L^{2},}
8427:
8414:
8385:
8379:
8363:is densely defined. For every
8306:
8288:
8273:
8219:
8213:
8138:
8132:
8000:{\displaystyle f\notin L^{2},}
7935:
7921:
7874:
7861:
7846:
7842:
7836:
7827:
7800:
7794:
7760:
7754:
7631:
7618:
7523:
7505:
7489:
7480:
7474:
7441:
7435:
7384:
7380:
7371:
7361:
7358:
7352:
7319:
7310:
7300:
7297:
7229:
7219:
7165:{\displaystyle y\in H\oplus H}
7101:
7075:
7063:
7037:
6843:
6817:
6811:
6782:
6753:
6727:
6721:
6695:
6489:
6483:
6467:
6451:
6382:
6376:
6281:
6275:
6259:
6247:
6244:
6234:
6228:
6212:
6200:
6181:
6166:
6163:
6153:
6147:
6122:
6118:
6112:
6103:
6097:
6085:
6082:
6073:
6059:
6050:
6038:
6035:
6022:
6008:
5966:
5960:
5944:
5932:
5926:
5914:
5900:
5765:
5759:
5743:
5731:
5691:
5685:
5655:
5649:
5614:
5608:
5519:
5506:
5454:
5448:
5404:
5357:
5344:
5331:
5278:
5272:
5187:
5170:
5152:
5146:
5134:
5095:
5089:
5046:
5028:
5022:
5010:
4985:
4973:
4958:
4954:
4948:
4939:
4933:
4920:
4892:
4886:
4786:
4773:
4758:
4746:
4737:
4724:
4695:
4680:
4674:
4662:
4626:
4391:
4379:
4373:
4361:
4229:
4216:
4157:
4151:
4101:
4095:
4076:
4069:
3959:
3953:
3930:{\displaystyle y\in D(A^{*}).}
3921:
3908:
3834:
3805:
3792:
3755:
3742:
3670:
3495:
3489:
3460:
3454:
3210:
3192:
3135:
3122:
2592:
2586:
2557:
2551:
2522:
2513:
2474:
2449:
2425:
2418:
2405:
2233:
2229:
2223:
2217:
2214:
2163:
2072:
1996:
1992:
1983:
1976:
1968:
1964:
1958:
1951:
1930:
1924:
1901:
1888:
1845:
1836:
1827:
1821:
1793:
1790:
1784:
1755:
1742:
1676:
1672:
1663:
1656:
1646:
1640:
1485:
1479:
1426:
1420:
1394:
1391:
1385:
1257:
1248:
1144:
1058:
980:
971:
962:
956:
907:
898:
892:
828:
697:
410:
353:
13:
1:
9840:Uniform boundedness principle
9468:
6332:{\displaystyle A^{\text{cl}}}
4595:{\displaystyle b,d\in H_{2}.}
3327:from a complex Hilbert space
3279:
2814:
1761:{\displaystyle g\in D(A^{*})}
1518:). Then its adjoint operator
1438:{\displaystyle D(A)\subset E}
9580:(first ed.), Springer,
9482:Miller, David A. B. (2008).
9290:
7338:{\displaystyle J=V^{\perp }}
6507:To prove this, observe that
6304:
4553:{\displaystyle a,c\in H_{1}}
4105:
3510:Riesz representation theorem
3354:. By definition, the domain
2802:Riesz representation theorem
1726:Now for arbitrary but fixed
1196:{\displaystyle A^{*}f=h_{f}}
7:
9421:
9210:on a complex Hilbert space
5724:is closable if and only if
5591:if the topological closure
5467:is topologically closed in
1403:{\displaystyle A:D(A)\to F}
10:
10396:
10249:Hilbert projection theorem
9983:Invariant subspace problem
5489:{\displaystyle H\oplus H.}
3968:{\displaystyle x\in D(A),}
2846:is invertible, then so is
2601:{\displaystyle u\in D(A).}
2275:can be extended on all of
2081:{\displaystyle {\hat {f}}}
1851:{\displaystyle f(u)=g(Au)}
227:. It is often denoted by
10328:
10272:
10241:
10228:CauchyâSchwarz inequality
10215:
10171:
10113:
10072:
9996:
9975:
9934:
9873:
9815:
9761:
9703:
9696:
9204:conjugate-linear operator
8960:{\displaystyle D(A^{*}).}
8791:this is only possible if
7140:In particular, for every
6539:{\displaystyle J^{*}=-J,}
4304:are Hilbert spaces, then
4173:This property shows that
3937:The fact that, for every
3564:{\displaystyle A^{*}y=z.}
9952:Spectrum of a C*-algebra
9441:Transpose of linear maps
7528:For a closable operator
5532:of the adjoint operator
5525:{\displaystyle G(A^{*})}
4246:Geometric interpretation
4235:{\displaystyle D(A^{*})}
3479:Owing to the density of
3350:and whose values lie in
3322:densely defined operator
1907:{\displaystyle D(A^{*})}
1067:{\displaystyle A:H\to E}
706:{\displaystyle A:E\to F}
262:bounded linear operators
10049:Noncommutative geometry
9087:which is equivalent to
9077:{\displaystyle A=A^{*}}
9044:is called Hermitian or
9013:{\displaystyle A^{**}.}
7450:{\displaystyle V=G(A),}
5875:{\displaystyle v\in H,}
2683:). Then the adjoint of
1094:is a Hilbert space and
10105:TomitaâTakesaki theory
10080:Approximation property
10024:Calculus of variations
9452:Physical applications
9427:Mathematical concepts
9401:
9323:
9194:for a full treatment.
9192:self-adjoint operators
9165:
9078:
9014:
8981:
8961:
8922:
8895:
8830:
8785:
8749:
8692:
8628:
8437:
8392:
8357:
8338:
8253:
8226:
8197:
8113:
8056:
8001:
7965:
7945:
7884:
7680:
7602:
7545:
7515:
7451:
7413:
7339:
7281:
7242:
7201:
7166:
7131:
6669:
6628:
6540:
6499:
6435:
6389:
6353:
6333:
6295:
5976:
5876:
5847:
5827:
5798:
5772:
5718:
5698:
5662:
5633:
5581:
5553:
5526:
5490:
5461:
5428:
5395:
5234:
5108:
4902:
4901:{\displaystyle JG(A):}
4863:
4833:
4705:
4642:
4596:
4554:
4512:
4338:
4298:
4271:
4236:
4200:
4164:
4135:
4037:
3969:
3931:
3886:
3859:
3824:causes the functional
3818:
3771:
3723:
3660:the linear functional
3654:
3565:
3526:
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