2435:
209:
992:
726:
1217:
997:
2032:
987:{\displaystyle \mathbf {n_{A}} ={\begin{pmatrix}\cos \delta _{A}\cos \alpha _{A}\\\cos \delta _{A}\sin \alpha _{A}\\\sin \delta _{A}\end{pmatrix}}\mathrm {\qquad and\qquad } \mathbf {n_{B}} ={\begin{pmatrix}\cos \delta _{B}\cos \alpha _{B}\\\cos \delta _{B}\sin \alpha _{B}\\\sin \delta _{B}\end{pmatrix}}.}
2293:
1852:
1381:
The above expression is valid for any position of A and B on the sphere. In astronomy, it often happens that the considered objects are really close in the sky: stars in a telescope field of view, binary stars, the satellites of the giant planets of the solar system, etc. In the case where
1688:
1863:
1212:{\displaystyle \mathbf {n_{A}} \cdot \mathbf {n_{B}} =\cos \delta _{A}\cos \alpha _{A}\cos \delta _{B}\cos \alpha _{B}+\cos \delta _{A}\sin \alpha _{A}\cos \delta _{B}\sin \alpha _{B}+\sin \delta _{A}\sin \delta _{B}\equiv \cos \theta }
2133:
1699:
2424:
1510:
680:
2653:
2579:
618:
2702:
479:
392:
2128:
2082:
1498:
1452:
2865:
1371:
2778:
236:
To derive the equation that describes the angular separation of two points located on the surface of a sphere as seen from the center of the sphere, we use the example of two
557:
532:
1406:
2027:{\displaystyle 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}\approx 1-{\frac {(\delta _{A}-\delta _{B})^{2}}{2}}-\cos \delta _{A}\cos \delta _{B}{\frac {(\alpha _{A}-\alpha _{B})^{2}}{2}}}
2818:
2520:
2480:
721:
230:
2798:
2745:
2725:
2500:
2460:
2288:{\displaystyle \cos \delta _{A}\cos \delta _{B}{\frac {(\alpha _{A}-\alpha _{B})^{2}}{2}}\approx \cos ^{2}\delta _{A}{\frac {(\alpha _{A}-\alpha _{B})^{2}}{2}}}
499:
317:
297:
277:
257:
1847:{\displaystyle 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}\approx \cos(\delta _{A}-\delta _{B})-\cos \delta _{A}\cos \delta _{B}{\frac {(\alpha _{A}-\alpha _{B})^{2}}{2}}}
2301:
1683:{\displaystyle \cos \theta \approx 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}\approx \sin \delta _{A}\sin \delta _{B}+\cos \delta _{A}\cos \delta _{B}\left}
629:
2587:
2528:
565:
196:
or optical instruments specially designed to point in well-defined directions and record the corresponding angles (such as
17:
2658:
2916:
401:
330:
2087:
2041:
1457:
1411:
1225:
180:
Since the angular distance (or separation) is conceptually identical to an angle, it is measured in the same
2823:
320:
2750:
1501:
2442:
If we consider a detector imaging a small sky field (dimension much less than one radian) with the
537:
512:
1385:
58:
42:
2977:
2911:
2803:
2505:
2465:
688:
215:
2906:
237:
181:
125:
8:
2972:
117:
2783:
2730:
2710:
2485:
2445:
484:
302:
282:
262:
242:
2943:
2940:
2928:
2896:
133:
54:
2901:
502:
129:
121:
324:
101:
2419:{\displaystyle \theta \approx {\sqrt {\left^{2}+(\delta _{A}-\delta _{B})^{2}}}}
2967:
185:
50:
2434:
2961:
2891:
74:
62:
46:
501:
indicate the observer on Earth, assumed to be located at the center of the
97:
27:
Angle between the two sightlines or two objects as viewed from an observer
2876:
506:
395:
89:
2886:
208:
193:
113:
105:
2948:
197:
109:
675:{\displaystyle \mathbf {n_{A}} \cdot \mathbf {n_{B}} =\cos \theta }
161:
93:
2648:{\displaystyle \delta x=(\alpha _{A}-\alpha _{B})\cos \delta _{A}}
2574:{\displaystyle \theta \approx {\sqrt {\delta x^{2}+\delta y^{2}}}}
613:{\displaystyle \mathbf {OA} \cdot \mathbf {OB} =R^{2}\cos \theta }
2881:
2462:-axis pointing up, parallel to the meridian of right ascension
2429:
189:
137:
70:
66:
1500:, we can develop the above expression and simplify it. In the
169:
38:
77:
from an observer to two points in space, it is known as the
165:
2938:
2917:
Cosine similarity § Angular distance and similarity
1376:
882:
750:
2826:
2806:
2786:
2753:
2733:
2713:
2661:
2590:
2531:
2508:
2488:
2468:
2448:
2304:
2136:
2090:
2044:
1866:
1702:
1513:
1460:
1414:
1388:
1228:
1000:
729:
691:
632:
568:
540:
515:
487:
404:
333:
305:
285:
265:
245:
218:
723:
frame, the two unitary vectors are decomposed into:
2859:
2812:
2792:
2772:
2739:
2719:
2696:
2647:
2573:
2514:
2494:
2474:
2454:
2418:
2287:
2122:
2076:
2026:
1846:
1682:
1492:
1446:
1400:
1365:
1211:
986:
715:
674:
612:
551:
526:
493:
473:
386:
311:
291:
271:
251:
224:
1504:, at second order, the above expression becomes:
2959:
2697:{\displaystyle \delta y=\delta _{A}-\delta _{B}}
2933:The Spherical Trigonometry vs. Vector Analysis"
2727:-axis is equal to the declination, whereas the
2438:Planar approximation of angular distance on sky
2130:, at a second-order development it turns that
474:{\displaystyle (\delta _{A},\delta _{B})\in }
387:{\displaystyle (\alpha _{A},\alpha _{B})\in }
2522:, the angular separation can be written as:
2430:Small angular distance: planar approximation
2123:{\displaystyle \alpha _{A}-\alpha _{B}\ll 1}
2077:{\displaystyle \delta _{A}-\delta _{B}\ll 1}
1493:{\displaystyle \delta _{A}-\delta _{B}\ll 1}
1447:{\displaystyle \alpha _{A}-\alpha _{B}\ll 1}
164:between objects (for instance, a couple of
160:itself, but is meant to suggest the linear
2780:because the section of a sphere of radius
2747:-axis is the right ascension modulated by
120:of rotating objects, it appears alongside
2502:-axis along the parallel of declination
2433:
207:
1366:{\displaystyle \theta =\cos ^{-1}\left}
14:
2960:
2939:
279:observed from the Earth. The objects
232:between points A and B as seen from O
2860:{\displaystyle R'=R\cos \delta _{A}}
1377:Small angular distance approximation
24:
857:
854:
851:
25:
2989:
156:) is technically synonymous with
2929:CASTOR, author Michael A. Earl.
2773:{\displaystyle \cos \delta _{A}}
1022:
1018:
1007:
1003:
868:
864:
736:
732:
654:
650:
639:
635:
584:
581:
573:
570:
545:
542:
520:
517:
860:
850:
2626:
2600:
2405:
2378:
2345:
2319:
2270:
2243:
2199:
2172:
2009:
1982:
1929:
1902:
1829:
1802:
1761:
1735:
1660:
1633:
1355:
1329:
710:
692:
468:
437:
431:
405:
381:
366:
360:
334:
203:
175:
13:
1:
2922:
552:{\displaystyle \mathbf {OB} }
527:{\displaystyle \mathbf {OA} }
1401:{\displaystyle \theta \ll 1}
192:, using instruments such as
88:Angular distance appears in
7:
2870:
10:
2994:
2800:at declination (latitude)
1502:small-angle approximation
623:which is equivalent to:
69:through two points on a
2813:{\displaystyle \delta }
2515:{\displaystyle \delta }
2475:{\displaystyle \alpha }
716:{\displaystyle (x,y,z)}
225:{\displaystyle \theta }
59:three-dimensional space
2861:
2814:
2794:
2774:
2741:
2721:
2698:
2649:
2575:
2516:
2496:
2476:
2456:
2439:
2420:
2289:
2124:
2078:
2028:
1848:
1684:
1494:
1448:
1402:
1367:
1213:
988:
717:
676:
614:
553:
528:
495:
475:
388:
313:
293:
273:
253:
233:
226:
143:
37:is the measure of the
2912:Great-circle distance
2862:
2815:
2795:
2775:
2742:
2722:
2699:
2650:
2576:
2517:
2497:
2477:
2457:
2437:
2421:
2290:
2125:
2079:
2029:
1849:
1685:
1495:
1449:
1403:
1368:
1214:
989:
718:
677:
615:
554:
529:
496:
476:
389:
325:right ascensions (RA)
321:celestial coordinates
319:are defined by their
314:
294:
274:
254:
227:
211:
2907:Angular displacement
2824:
2804:
2784:
2751:
2731:
2711:
2659:
2588:
2529:
2506:
2486:
2466:
2446:
2302:
2134:
2088:
2042:
1864:
1700:
1511:
1458:
1412:
1386:
1226:
998:
727:
689:
630:
566:
538:
513:
485:
402:
331:
303:
283:
263:
243:
238:astronomical objects
216:
126:angular acceleration
73:. When the rays are
212:Angular separation
118:classical mechanics
83:apparent separation
18:Apparent separation
2944:"Angular Distance"
2941:Weisstein, Eric W.
2857:
2810:
2790:
2770:
2737:
2717:
2694:
2645:
2571:
2512:
2492:
2472:
2452:
2440:
2416:
2285:
2120:
2074:
2024:
1844:
1680:
1490:
1444:
1398:
1363:
1209:
984:
975:
843:
713:
672:
610:
549:
524:
491:
471:
396:declinations (dec)
384:
309:
289:
269:
249:
234:
222:
35:angular separation
2897:Angle of rotation
2793:{\displaystyle R}
2740:{\displaystyle x}
2720:{\displaystyle y}
2569:
2495:{\displaystyle x}
2455:{\displaystyle y}
2414:
2283:
2212:
2022:
1942:
1888:
1842:
1724:
1673:
1547:
1408:radian, implying
494:{\displaystyle O}
312:{\displaystyle B}
292:{\displaystyle A}
272:{\displaystyle B}
252:{\displaystyle A}
134:moment of inertia
79:apparent distance
65:subtended by the
16:(Redirected from
2985:
2954:
2953:
2902:Angular diameter
2866:
2864:
2863:
2858:
2856:
2855:
2834:
2819:
2817:
2816:
2811:
2799:
2797:
2796:
2791:
2779:
2777:
2776:
2771:
2769:
2768:
2746:
2744:
2743:
2738:
2726:
2724:
2723:
2718:
2703:
2701:
2700:
2695:
2693:
2692:
2680:
2679:
2654:
2652:
2651:
2646:
2644:
2643:
2625:
2624:
2612:
2611:
2580:
2578:
2577:
2572:
2570:
2568:
2567:
2552:
2551:
2539:
2521:
2519:
2518:
2513:
2501:
2499:
2498:
2493:
2481:
2479:
2478:
2473:
2461:
2459:
2458:
2453:
2425:
2423:
2422:
2417:
2415:
2413:
2412:
2403:
2402:
2390:
2389:
2374:
2373:
2368:
2364:
2363:
2362:
2344:
2343:
2331:
2330:
2312:
2294:
2292:
2291:
2286:
2284:
2279:
2278:
2277:
2268:
2267:
2255:
2254:
2241:
2239:
2238:
2226:
2225:
2213:
2208:
2207:
2206:
2197:
2196:
2184:
2183:
2170:
2168:
2167:
2152:
2151:
2129:
2127:
2126:
2121:
2113:
2112:
2100:
2099:
2083:
2081:
2080:
2075:
2067:
2066:
2054:
2053:
2033:
2031:
2030:
2025:
2023:
2018:
2017:
2016:
2007:
2006:
1994:
1993:
1980:
1978:
1977:
1962:
1961:
1943:
1938:
1937:
1936:
1927:
1926:
1914:
1913:
1900:
1889:
1884:
1883:
1874:
1853:
1851:
1850:
1845:
1843:
1838:
1837:
1836:
1827:
1826:
1814:
1813:
1800:
1798:
1797:
1782:
1781:
1760:
1759:
1747:
1746:
1725:
1720:
1719:
1710:
1689:
1687:
1686:
1681:
1679:
1675:
1674:
1669:
1668:
1667:
1658:
1657:
1645:
1644:
1631:
1618:
1617:
1602:
1601:
1583:
1582:
1567:
1566:
1548:
1543:
1542:
1533:
1499:
1497:
1496:
1491:
1483:
1482:
1470:
1469:
1453:
1451:
1450:
1445:
1437:
1436:
1424:
1423:
1407:
1405:
1404:
1399:
1372:
1370:
1369:
1364:
1362:
1358:
1354:
1353:
1341:
1340:
1322:
1321:
1306:
1305:
1287:
1286:
1271:
1270:
1247:
1246:
1218:
1216:
1215:
1210:
1196:
1195:
1180:
1179:
1161:
1160:
1145:
1144:
1129:
1128:
1113:
1112:
1094:
1093:
1078:
1077:
1062:
1061:
1046:
1045:
1027:
1026:
1025:
1012:
1011:
1010:
993:
991:
990:
985:
980:
979:
972:
971:
952:
951:
936:
935:
916:
915:
900:
899:
873:
872:
871:
861:
848:
847:
840:
839:
820:
819:
804:
803:
784:
783:
768:
767:
741:
740:
739:
722:
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