13216:
25964:
11366:
10830:
16735:
12046:
12855:
4606:
22:
3072:
17131:
11067:
12864:
15742:
5563:
10579:
13972:
2723:
16519:
8711:
4408:
10563:
11713:
12551:
2792:
4354:
6137:
2332:
15429:
13755:
15369:
5329:
3288:
10073:
13211:{\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{9}(n)&={\frac {1}{11}}\left\{10(3n-2)\sigma _{7}(n)+\sigma _{1}(n)+480\sum _{0<k<n}\sigma _{1}(k)\sigma _{7}(n-k)\right\}\\&={\frac {1}{11}}\left\{21\sigma _{5}(n)-10\sigma _{3}(n)+5040\sum _{0<k<n}\sigma _{3}(k)\sigma _{5}(n-k)\right\}.\end{aligned}}}
16921:
9113:
13395:
13766:
2501:
11361:{\displaystyle \sigma _{k}^{*}(n)=(-1)^{n}\sum _{d\mid n}(-1)^{d}d^{k}={\begin{cases}\sum _{d\mid n}d^{k}=\sigma _{k}(n)&{\text{if }}n{\text{ is odd }}\\\sum _{\stackrel {d\mid n}{2\,\mid \,d}}d^{k}-\sum _{\stackrel {d\mid n}{2\,\nmid \,d}}d^{k}&{\text{if }}n{\text{ is even}}.\end{cases}}}
5795:
11692:
15078:
12542:
8893:
12342:
8071:
15964:
10825:{\displaystyle r_{4}(n)=8\sum _{\stackrel {d\mid n}{4\,\nmid \,d}}d=8(2+(-1)^{n})\sum _{\stackrel {d\mid n}{2\,\nmid \,d}}d={\begin{cases}8\sigma (n)&{\text{if }}n{\text{ is odd }}\\24\sigma \left({\frac {n}{2^{\nu }}}\right)&{\text{if }}n{\text{ is even }}\end{cases}},}
17709:
17563:
16730:{\displaystyle \lambda (n)=\phi (n){\text{ if and only if }}n={\begin{cases}1,2,4;\\3,5,7,9,11,\ldots {\text{ (that is, }}p^{k}{\text{, where }}p{\text{ is an odd prime)}};\\6,10,14,18,\ldots {\text{ (that is, }}2p^{k}{\text{, where }}p{\text{ is an odd prime)}}.\end{cases}}}
8549:
4180:
5919:
2074:
10402:
4901:
12041:{\displaystyle \left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}x^{n}\right)=\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }a_{i}b_{j}x^{i+j}=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}\right)x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}.}
4153:
13628:
15085:
12850:{\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{7}(n)&={\frac {1}{20}}\left\{21(2n-1)\sigma _{5}(n)-\sigma _{1}(n)+504\sum _{0<k<n}\sigma _{1}(k)\sigma _{5}(n-k)\right\}\\&=\sigma _{3}(n)+120\sum _{0<k<n}\sigma _{3}(k)\sigma _{3}(n-k).\end{aligned}}}
6667:
17834:
4601:{\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)={\begin{cases}\;\;\,0&{\text{if }}a\equiv 0{\pmod {p}},\\+1&{\text{if }}a\not \equiv 0{\pmod {p}}{\text{ and for some integer }}x,\;a\equiv x^{2}{\pmod {p}}\\-1&{\text{if there is no such }}x.\end{cases}}}
7106:
3107:
943:
9235:
6400:
10986:
9506:
9687:
7431:
3067:{\displaystyle J_{k}(n)=n^{k}\prod _{p\mid n}\left(1-{\frac {1}{p^{k}}}\right)=n^{k}\left({\frac {p_{1}^{k}-1}{p_{1}^{k}}}\right)\left({\frac {p_{2}^{k}-1}{p_{2}^{k}}}\right)\cdots \left({\frac {p_{\omega (n)}^{k}-1}{p_{\omega (n)}^{k}}}\right).}
17425:
16231:
9970:
10228:
9321:
17126:{\displaystyle {\begin{aligned}c_{q}(n)&={\frac {\mu \left({\frac {q}{\gcd(q,n)}}\right)}{\phi \left({\frac {q}{\gcd(q,n)}}\right)}}\phi (q)\\&=\sum _{\delta \mid \gcd(q,n)}\mu \left({\frac {q}{\delta }}\right)\delta .\end{aligned}}}
9868:
5598:
3655:
9977:
15737:{\displaystyle \sum _{\stackrel {1\leq k\leq m}{\gcd(k,m)=1}}\gcd(k^{2}-1,m_{1})\gcd(k^{2}-1,m_{2})=\varphi (n)\sum _{\stackrel {d_{1}\mid m_{1}}{d_{2}\mid m_{2}}}\varphi (\gcd(d_{1},d_{2}))2^{\omega (\operatorname {lcm} (d_{1},d_{2}))},}
14860:
17206:
16117:
8211:
14849:
7830:
5558:{\displaystyle \Lambda (n)={\begin{cases}\log p&{\text{if }}n=2,3,4,5,7,8,9,11,13,16,\ldots =p^{k}{\text{ is a prime power}}\\0&{\text{if }}n=1,6,10,12,14,15,18,20,21,\dots \;\;\;\;{\text{ is not a prime power}}.\end{cases}}}
7897:
8972:
13225:
7280:
16912:
15787:
11534:
12351:
3426:
14179:
14094:
8780:
2466:
13545:
8503:
12166:
13967:{\displaystyle {\begin{aligned}h(D)&={\frac {1}{D}}\sum _{r=1}^{|D|}r\left({\frac {D}{r}}\right)\\&={\frac {1}{2-\left({\tfrac {D}{2}}\right)}}\sum _{r=1}^{|D|/2}\left({\frac {D}{r}}\right).\end{aligned}}}
10387:
2718:{\displaystyle \varphi (n)=n\prod _{p\mid n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)=n\left({\frac {p_{1}-1}{p_{1}}}\right)\left({\frac {p_{2}-1}{p_{2}}}\right)\cdots \left({\frac {p_{\omega (n)}-1}{p_{\omega (n)}}}\right).}
14565:
7677:
9403:
3872:
9587:
16355:
6946:
Since such functions are often represented by series and integrals, to achieve pointwise convergence it is usual to define the value at the discontinuities as the average of the values to the left and right:
4029:
1173:
1590:
17572:
10139:
6501:
9768:
17445:
8706:{\displaystyle \sum _{\delta \mid n}\mu (\delta )=\sum _{\delta \mid n}\lambda \left({\frac {n}{\delta }}\right)|\mu (\delta )|={\begin{cases}1&{\text{if }}n=1\\0&{\text{if }}n\neq 1\end{cases}}}
16825:
7527:
6950:
5124:
16448:
8773:
14268:
733:
10558:{\displaystyle \left({\frac {-4}{n}}\right)={\begin{cases}+1&{\text{if }}n\equiv 1{\pmod {4}}\\-1&{\text{if }}n\equiv 3{\pmod {4}}\\\;\;\;0&{\text{if }}n{\text{ is even}}.\\\end{cases}}}
11044:
6150:
14344:
10855:
14483:
5213:
527:
16926:
13771:
12869:
12556:
5279:
1700:
611:
14711:
7110:
Individual values of arithmetic functions may fluctuate wildly – as in most of the above examples. Summation functions "smooth out" these fluctuations. In some cases it may be possible to find
5876:
4787:
14628:
12126:
8531:
There are a great many formulas connecting arithmetical functions with each other and with the functions of analysis, especially powers, roots, and the exponential and log functions. The page
14419:
7284:
1351:
11504:
8965:
4649:
3963:
17718:
7186:
16132:
10296:
5052:
A related function counts prime powers with weight 1 for primes, 1/2 for their squares, 1/3 for cubes, ... It is the summation function of the arithmetic function which takes the value 1/
4349:{\displaystyle \left({\frac {a}{n}}\right)=\left({\frac {a}{p_{1}}}\right)^{a_{1}}\left({\frac {a}{p_{2}}}\right)^{a_{2}}\cdots \left({\frac {a}{p_{\omega (n)}}}\right)^{a_{\omega (n)}}.}
1858:
3767:
8291:
6903:
6132:{\displaystyle \lambda (n)={\begin{cases}\;\;\phi (n)&{\text{if }}n=2,3,4,5,7,9,11,13,17,19,23,25,27,\dots \\{\tfrac {1}{2}}\phi (n)&{\text{if }}n=8,16,32,64,\dots \end{cases}}}
16510:
8413:
3533:
2327:{\displaystyle \sigma _{k}(n)=\prod _{i=1}^{\omega (n)}{\frac {p_{i}^{(a_{i}+1)k}-1}{p_{i}^{k}-1}}=\prod _{i=1}^{\omega (n)}\left(1+p_{i}^{k}+p_{i}^{2k}+\cdots +p_{i}^{a_{i}k}\right).}
1469:
5048:
1410:
9122:
717:
17319:
16009:
13750:{\displaystyle \left({\frac {a}{2}}\right)={\begin{cases}\;\;\,0&{\text{ if }}a{\text{ is even}}\\(-1)^{\frac {a^{2}-1}{8}}&{\text{ if }}a{\text{ is odd. }}\end{cases}}}
8086:
664:
17264:
15364:{\displaystyle \sum _{\stackrel {1\leq k_{1},k_{2},\dots ,k_{s}\leq n}{\gcd(k_{1},k_{2},\dots ,k_{s},n)=1}}\gcd(k_{1}-a_{1},k_{2}-a_{2},\dots ,k_{s}-a_{s},n)^{s}=J_{s}(n)d(n),}
14729:
7733:
6808:
4391:
1265:
1035:
9410:
1220:
990:
9594:
3283:{\displaystyle \mu (n)={\begin{cases}(-1)^{\omega (n)}=(-1)^{\Omega (n)}&{\text{if }}\;\omega (n)=\Omega (n)\\0&{\text{if }}\;\omega (n)\neq \Omega (n).\end{cases}}}
17327:
9877:
10146:
10068:{\displaystyle \sum _{\delta \mid n}\lambda (\delta )={\begin{cases}&1{\text{ if }}n{\text{ is a square }}\\&0{\text{ if }}n{\text{ is not square.}}\end{cases}}}
9242:
7190:
433:
394:
9775:
6734:
4972:
These important functions (which are not arithmetic functions) are defined for non-negative real arguments, and are used in the various statements and proofs of the
4930:
3322:
13998:
8335:
17136:
15984:
7441:
is some simpler or better-understood function which has the same summation function asymptotically, and hence takes the same values "on average". We say that
2343:
9108:{\displaystyle J_{k}(n)=\sum _{\delta \mid n}\mu \left({\frac {n}{\delta }}\right)\delta ^{k}=n^{k}\sum _{\delta \mid n}{\frac {\mu (\delta )}{\delta ^{k}}}.}
8424:
13390:{\displaystyle \tau (n)={\frac {65}{756}}\sigma _{11}(n)+{\frac {691}{756}}\sigma _{5}(n)-{\frac {691}{3}}\sum _{0<k<n}\sigma _{5}(k)\sigma _{5}(n-k),}
24066:
22967:
Hardy & Wright, § 17.6, show how the theory of generating functions can be constructed in a purely formal manner with no attention paid to convergence.
7591:
5790:{\displaystyle p(n)=\left|\left\{(a_{1},a_{2},\dots a_{k}):0<a_{1}\leq a_{2}\leq \cdots \leq a_{k}\;\land \;n=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{k}\right\}\right|.}
3795:
11687:{\displaystyle r_{24}(n)={\frac {16}{691}}\sigma _{11}^{*}(n)+{\frac {128}{691}}\left\{(-1)^{n-1}259\tau (n)-512\tau \left({\frac {n}{2}}\right)\right\}}
16834:
15073:{\displaystyle \sum _{\stackrel {1\leq k_{1},k_{2},\dots ,k_{s}\leq n}{\gcd(k_{1},n)=1}}\gcd(k_{1}-1,k_{2},\dots ,k_{s},n)=\varphi (n)\sigma _{s-1}(n).}
12537:{\displaystyle \sigma _{5}(n)={\frac {1}{21}}\left\{10(3n-1)\sigma _{3}(n)+\sigma _{1}(n)+240\sum _{0<k<n}\sigma _{1}(k)\sigma _{3}(n-k)\right\}.}
1055:
23961:
Arithmetical
Functions. An introduction to elementary and analytic properties of arithmetic functions and to some of their almost-periodic properties
8888:{\displaystyle \varphi (n)=\sum _{\delta \mid n}\mu \left({\frac {n}{\delta }}\right)\delta =n\sum _{\delta \mid n}{\frac {\mu (\delta )}{\delta }}.}
1482:
14106:
7456:
12337:{\displaystyle \sigma _{3}(n)={\frac {1}{5}}\left\{6n\sigma _{1}(n)-\sigma _{1}(n)+12\sum _{0<k<n}\sigma _{1}(k)\sigma _{1}(n-k)\right\}.}
8066:{\displaystyle F_{a}(s)F_{b}(s)=\left(\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {a(m)}{m^{s}}}\right)\left(\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {b(n)}{n^{s}}}\right).}
5061:
1735:
It is often convenient to write this as an infinite product over all the primes, where all but a finite number have a zero exponent. Define the
13453:
10308:
24014:
14490:
14289:
6496:
squares, where representations that differ only in the order of the summands or in the signs of the square roots are counted as different.
15959:{\displaystyle \sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,n)=1}}f(\gcd(k-1,n))=\varphi (n)\sum _{d\mid n}{\frac {(\mu *f)(d)}{\varphi (d)}},}
9328:
5158:
442:
9515:
5595:
as a sum of positive integers, where two representations with the same summands in a different order are not counted as being different:
5217:
532:
24029:
16254:
4976:. They are summation functions (see the main section just below) of arithmetic functions which are neither multiplicative nor additive.
109:. Hardy & Wright include in their definition the requirement that an arithmetical function "expresses some arithmetical property of
17704:{\displaystyle \sigma _{k}(u)\sigma _{k}(v)=\sum _{\delta \mid \gcd(u,v)}\delta ^{k}\sigma _{k}\left({\frac {uv}{\delta ^{2}}}\right).}
3454:
function) it is included among the arithmetical functions because it is multiplicative and it occurs in identities involving certain σ
17558:{\displaystyle d(uv)=\sum _{\delta \mid \gcd(u,v)}\mu (\delta )d\left({\frac {u}{\delta }}\right)d\left({\frac {v}{\delta }}\right).}
16741:
5891:
1278:
10084:
3905:
24059:
9696:
7140:
1801:
16754:
7437:
23321:
8216:
6845:
16362:
8724:
8355:
14195:
5002:
23935:
23913:
23850:
23680:
23600:
10991:
4896:{\displaystyle \operatorname {ld} (n)={\frac {D(n)}{n}}=\sum _{\stackrel {p\mid n}{p{\text{ prime}}}}{\frac {v_{p}(n)}{p}}}
14425:
24866:
24052:
4148:{\displaystyle \chi _{0}(a)={\begin{cases}1&{\text{if }}\gcd(a,n)=1,\\0&{\text{if }}\gcd(a,n)\neq 1.\end{cases}}}
1635:
14635:
5823:
24861:
23542:
14572:
12054:
11703:
Here "convolution" does not mean "Dirichlet convolution" but instead refers to the formula for the coefficients of the
6662:{\displaystyle r_{k}(n)=\left|\left\{(a_{1},a_{2},\dots ,a_{k}):n=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{k}^{2}\right\}\right|}
5580:
200:
17829:{\displaystyle \tau (u)\tau (v)=\sum _{\delta \mid \gcd(u,v)}\delta ^{11}\tau \left({\frac {uv}{\delta ^{2}}}\right),}
14360:
24876:
23972:
23875:
23829:
23791:
23758:
23740:
23705:
23650:
23625:
23575:
23550:
22952:
10299:
6932:
1625:
24856:
11440:
8902:
7101:{\displaystyle A_{0}(m):={\frac {1}{2}}\left(\sum _{n<m}a(n)+\sum _{n\leq m}a(n)\right)=A(m)-{\frac {1}{2}}a(m).}
4613:
25569:
25149:
10244:
25993:
3689:
938:{\displaystyle \sum _{p^{k}}f(p^{k})=\sum _{p}\sum _{k>0}f(p^{k})=f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(7)+f(8)+f(9)+\cdots .}
3451:
24871:
23634:
16468:
13564:
9230:{\displaystyle \sum _{\delta \mid n}\delta ^{s}J_{r}(\delta )J_{s}\left({\frac {n}{\delta }}\right)=J_{r+s}(n)}
6395:{\displaystyle \lambda (p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}}\dots p_{\omega (n)}^{a_{\omega (n)}})=\operatorname {lcm} .}
1913:
To avoid repetition, whenever possible formulas for the functions listed in this article are given in terms of
10981:{\displaystyle r_{6}(n)=16\sum _{d\mid n}\chi \left({\frac {n}{d}}\right)d^{2}-4\sum _{d\mid n}\chi (d)d^{2},}
1415:
25988:
25655:
24006:
23609:
14347:
1356:
25321:
24971:
24640:
24433:
22995:
160:
113:". There is a larger class of number-theoretic functions that do not fit this definition, for example, the
25497:
25356:
25187:
25001:
24991:
24645:
24625:
24001:
23996:
9501:{\displaystyle |\mu (n)|=\sum _{\delta \mid n}\mu \left({\frac {n}{\delta }}\right)2^{\omega (\delta )}.}
25326:
17270:
9682:{\displaystyle 2^{\omega (n)}=\sum _{\delta \mid n}\mu \left({\frac {n}{\delta }}\right)d(\delta ^{2}).}
7426:{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {d(1)+d(2)+\cdots +d(n)}{\log(1)+\log(2)+\cdots +\log(n)}}=1.}
669:
25446:
25069:
24911:
24826:
24635:
24617:
24511:
24501:
24491:
24327:
23964:
23927:
22944:
17215:
11704:
7122:
6745:
6684:
4361:
616:
25351:
1225:
995:
25574:
25119:
24740:
24526:
24521:
24516:
24506:
24483:
17420:{\displaystyle \sum _{\delta \mid n}d^{3}(\delta )=\left(\sum _{\delta \mid n}d(\delta )\right)^{2}.}
16226:{\displaystyle {\frac {D(n)}{n}}=\sum _{\stackrel {p\mid n}{p{\text{ prime}}}}{\frac {v_{p}(n)}{p}}.}
9965:{\displaystyle \sum _{\delta \mid n}d\left({\frac {n}{\delta }}\right)2^{\omega (\delta )}=d^{2}(n).}
6439:. The notation is ambiguous, as there are in general many extensions with the same discriminant. See
5151:, the Chebyshev functions, are defined as sums of the natural logarithms of the primes not exceeding
1180:
950:
25331:
16566:
15424:
13658:
11170:
10729:
10437:
10223:{\displaystyle \Lambda (n)=\sum _{\delta \mid n}\mu \left({\frac {n}{\delta }}\right)\log(\delta ).}
10017:
9316:{\displaystyle \sum _{\delta \mid n}\varphi (\delta )d\left({\frac {n}{\delta }}\right)=\sigma (n).}
8651:
5943:
5353:
4438:
4060:
3131:
24996:
24906:
24559:
9863:{\displaystyle d(n^{2})=\sum _{\delta \mid n}\mu \left({\frac {n}{\delta }}\right)d^{2}(\delta ).}
8535:
contains many more generalized and related examples of identities involving arithmetic functions.
3650:{\displaystyle c_{q}(n)=\sum _{\stackrel {1\leq a\leq q}{\gcd(a,q)=1}}e^{2\pi i{\tfrac {a}{q}}n}.}
25685:
25650:
25436:
25346:
25220:
25195:
25104:
25094:
24816:
24706:
24688:
24608:
23805:
16745:
6472:
4980:
2743:
312:
253:
114:
23474:
p. 133. A footnote says that Hardy told
Ramanujan it also appears in an 1857 paper by Liouville.
399:
25945:
25215:
25089:
24720:
24496:
24276:
24203:
23299:
14351:
13572:
13435:
8532:
3305:
2480:
360:
87:
5056:
on integers which are the k-th power of some prime number, and the value 0 on other integers.
25909:
25549:
25200:
25054:
24981:
24136:
16234:
16003:
8300:
7724:
6688:
5887:
5304:
3785:
43:
24039:
24026:
6704:
25842:
25736:
25700:
25441:
25164:
25144:
24961:
24630:
24418:
24020:
23867:
23715:
17201:{\displaystyle \phi (q)=\sum _{\delta \mid q}\mu \left({\frac {q}{\delta }}\right)\delta .}
16112:{\displaystyle \left({\frac {m}{n}}\right)\left({\frac {n}{m}}\right)=(-1)^{(m-1)(n-1)/4}.}
13434:) are integers, the above formulas can be used to prove congruences for the functions. See
8206:{\displaystyle c(n):=\sum _{ij=n}a(i)b(j)=\sum _{i\mid n}a(i)b\left({\frac {n}{i}}\right),}
4973:
4716:
4682:
1863:
24921:
24390:
23982:
23945:
23723:
14844:{\displaystyle \sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,n)=1}}\gcd(k-1,n)=\varphi (n)d(n).}
7825:{\displaystyle \zeta (s)\,\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}=1,\;\;\Re s>1.}
5912:; for powers of 2 greater than 4 it is equal to one half of the Euler totient function of
4906:
8:
25564:
25428:
25391:
25154:
25129:
25124:
25099:
25029:
24956:
24846:
24678:
24474:
24443:
8314:
7692:
7111:
5809:
3981:
3314:
8418:
3095:
25967:
25721:
25716:
25630:
25604:
25502:
25481:
25253:
25134:
25084:
25006:
24976:
24916:
24683:
24663:
24594:
24307:
23779:
23564:
23535:
15969:
14275:
10076:
5129:
4996:
3891:
3502:
140:
24851:
3086:
25963:
25861:
25806:
25660:
25635:
25609:
25064:
25059:
24986:
24966:
24951:
24673:
24655:
24574:
24564:
24549:
24312:
23968:
23931:
23909:
23893:
23871:
23846:
23825:
23809:
23787:
23754:
23736:
23701:
23676:
23646:
23621:
23596:
23571:
23546:
22948:
13621:
Extend the Jacobi symbol to accept even numbers in the "denominator" by defining the
12157:
7585:
6429:
6417:
3659:
Even though it is defined as a sum of complex numbers (irrational for most values of
272:
25386:
7730:
The generating function of the Möbius function is the inverse of the zeta function:
7275:{\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {\log d(n)\log \log n}{\log n}}=\log 2}
25897:
25690:
25276:
25248:
25238:
25230:
25114:
25079:
25074:
25041:
24735:
24698:
24589:
24584:
24579:
24569:
24541:
24428:
24375:
24332:
24271:
23978:
23941:
23719:
23668:
23592:
13622:
10393:
7581:
6444:
4736:
3789:
1971:
1736:
121:
24380:
24040:
Menon's
Identity and arithmetical sums representing functions of several variables
16907:{\displaystyle {\frac {6}{\pi ^{2}}}<{\frac {\phi (n)\sigma (n)}{n^{2}}}<1.}
2488:, the Euler totient function, is the number of positive integers not greater than
25873:
25762:
25695:
25621:
25544:
25518:
25336:
25049:
24841:
24811:
24801:
24796:
24462:
24370:
24317:
24161:
24101:
24033:
23711:
23642:
23617:
23584:
14186:
6440:
4394:
25878:
25746:
25731:
25595:
25559:
25534:
25410:
25381:
25366:
25243:
25139:
25109:
24836:
24791:
24668:
24266:
24261:
24256:
24228:
24213:
24126:
24111:
24089:
24076:
23559:
23530:
14723:
12133:
3527:
106:
98:
25982:
25801:
25785:
25726:
25680:
25376:
25361:
25271:
24554:
24423:
24385:
24342:
24223:
24208:
24198:
24156:
24146:
24121:
24044:
24021:
Elementary
Evaluation of Certain Convolution Sums Involving Divisor Functions
23889:
23859:
23838:
23767:
8352:, corresponding to multiplying the generating function by the zeta function:
6917:
4166:
3421:{\displaystyle \sum _{n\geq 1}\tau (n)q^{n}=q\prod _{n\geq 1}(1-q^{n})^{24}.}
71:
16002:
be distinct, odd, and positive. Then the Jacobi symbol satisfies the law of
14174:{\displaystyle H_{n}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}}
14089:{\displaystyle r_{3}(|D|)=12\left(1-\left({\frac {D}{2}}\right)\right)h(D).}
25837:
25826:
25741:
25579:
25554:
25471:
25371:
25341:
25316:
25300:
25205:
25172:
24895:
24806:
24745:
24322:
24218:
24151:
24131:
24106:
23693:
13587:
6908:
can be regarded as a function of a real variable. Given a positive integer
6811:
6433:
6143:
it is the least common multiple of λ of each of the prime power factors of
4703:
3478:
436:
257:
47:
2461:{\displaystyle \tau (n)=d(n)=(1+a_{1})(1+a_{2})\cdots (1+a_{\omega (n)}).}
25796:
25671:
25476:
24940:
24831:
24786:
24781:
24531:
24438:
24337:
24166:
24141:
24116:
23689:
23660:
14282:
The
Riemann hypothesis is also equivalent to the statement that, for all
13540:{\displaystyle p(n)={\frac {1}{n}}\sum _{1\leq k\leq n}\sigma (k)p(n-k).}
12129:
3447:
720:
8498:{\displaystyle f(n)=\sum _{d\mid n}\mu \left({\frac {n}{d}}\right)g(d).}
8340:
A particularly important case is convolution with the constant function
25933:
25914:
25210:
24821:
13599:
3993:
are completely multiplicative. Two characters have special notations:
23926:, London Mathematical Society Student Texts, vol. 76, Cambridge:
23672:
14853:
This has been generalized by a number of mathematicians. For example,
10382:{\displaystyle r_{2}(n)=4\sum _{d\mid n}\left({\frac {-4}{d}}\right),}
25539:
25466:
25458:
25263:
25177:
24295:
23665:
Ramanujan: Twelve
Lectures on Subjects Suggested by his Life and work
23566:
Modular
Functions and Dirichlet Series in Number Theory (2nd Edition)
14560:{\displaystyle \Pi (x)=\sum _{n\leq x}{\frac {\Lambda (n)}{\log n}}.}
7672:{\displaystyle F_{a}(s):=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a(n)}{n^{s}}}.}
5820:, the Carmichael function, is the smallest positive number such that
5291:) is the summation function of the von Mangoldt function just below.
4991:, the prime-counting function, is the number of primes not exceeding
3477:) functions (because these are also coefficients in the expansion of
36:
9398:{\displaystyle \sum _{\delta \mid n}|\mu (\delta )|=2^{\omega (n)}.}
8523:
is multiplicative, but may or may not be completely multiplicative.
7703:). The simplest such series, corresponding to the constant function
4940:
3867:{\displaystyle \psi (n)=n\prod _{p|n}\left(1+{\frac {1}{p}}\right).}
25640:
9582:{\displaystyle \sum _{\delta \mid n}2^{\omega (\delta )}=d(n^{2}).}
3430:
Although it is hard to say exactly what "arithmetical property of
32:
23963:, London Mathematical Society Lecture Note Series, vol. 184,
16350:{\displaystyle |\lambda (n)|\mu (n)=\lambda (n)|\mu (n)|=\mu (n),}
136:
25645:
25304:
25298:
23813:
249:
23897:
17848:
16129:) be the arithmetic derivative. Then the logarithmic derivative
5591:, the partition function, is the number of ways of representing
1594:
1168:{\displaystyle \prod _{d\mid 12}f(d)=f(1)f(2)f(3)f(4)f(6)f(12).}
1585:{\displaystyle \prod _{p^{k}\mid 24}f(p^{k})=f(2)f(3)f(4)f(8).}
1471:
mean that the sum or product is over all prime powers dividing
102:
24360:
23090:
23088:
10134:{\displaystyle \sum _{\delta \mid n}\Lambda (\delta )=\log n.}
1632:
can be represented uniquely as a product of powers of primes:
1037:
mean that the sum or product is over all positive divisors of
9763:{\displaystyle \sum _{\delta \mid n}d(\delta ^{2})=d^{2}(n).}
13547: This recurrence can be used to compute
117:. This article provides links to functions of both classes.
23280:
see
Edwards, § 9.5 exercises for more complicated formulas.
23085:
23006:
Holden et al. in external links The formula is
Gegenbauer's
22943:. Cambridge studies in advanced mathematics. Vol. 46.
16820:{\displaystyle 2^{\omega (n)}\leq d(n)\leq 2^{\Omega (n)}.}
16723:
13743:
11354:
10815:
10551:
10061:
8699:
7522:{\displaystyle \sum _{n\leq x}f(n)\sim \sum _{n\leq x}g(n)}
6125:
5551:
4722:
4594:
4141:
3276:
1267:
mean that the sum or product is over all prime divisors of
8417:
Multiplying by the inverse of the zeta function gives the
5119:{\displaystyle \Pi (x)=\sum _{p^{k}\leq x}{\frac {1}{k}}.}
4677:, defined above as the number of distinct primes dividing
1732:
are positive integers. (1 is given by the empty product.)
16443:{\displaystyle \lambda (n)\mu (n)=|\mu (n)|=\mu ^{2}(n).}
8768:{\displaystyle \sum _{\delta \mid n}\varphi (\delta )=n.}
4715:
counted with multiplicities, is completely additive (see
24027:
The Euler
Totient, the Möbius, and the Divisor Functions
22941:
Introduction to Analytic and Probabilistic Number Theory
14263:{\displaystyle \sigma (n)\leq H_{n}+e^{H_{n}}\log H_{n}}
4769:, defined above as the exponent of the largest power of
3292:
This implies that μ(1) = 1. (Because Ω(1) = ω(1) = 0.)
146:
135:
Arithmetic functions are often extremely irregular (see
23170:
23168:
13441:
Extend the domain of the partition function by setting
7121:
A classical example of this phenomenon is given by the
4610:
Following the normal convention for the empty product,
2761:-tuples of positive integers all less than or equal to
139:), but some of them have series expansions in terms of
24015:
Yet another Generalization of Euler's Totient Function
23864:
An introduction to the theory of numbers (3rd Edition)
23400:
Tóth states that Menon proved this for multiplicative
13882:
11039:{\displaystyle \chi (n)=\left({\frac {-4}{n}}\right).}
6059:
5312:, the von Mangoldt function, is 0 unless the argument
4935:
4369:
3876:
3628:
1418:
1359:
1228:
1183:
998:
953:
672:
619:
402:
363:
25024:
17721:
17575:
17448:
17330:
17273:
17218:
17139:
16924:
16837:
16757:
16522:
16471:
16365:
16257:
16135:
16012:
15972:
15790:
15432:
15088:
14863:
14732:
14638:
14575:
14493:
14428:
14363:
14339:{\displaystyle \sigma (n)<e^{\gamma }n\log \log n}
14292:
14198:
14109:
14001:
13769:
13631:
13456:
13228:
12867:
12554:
12354:
12169:
12057:
11716:
11537:
11443:
11070:
10994:
10858:
10582:
10405:
10311:
10247:
10149:
10087:
9980:
9880:
9778:
9699:
9597:
9518:
9413:
9331:
9245:
9125:
8975:
8905:
8783:
8727:
8552:
8427:
8358:
8317:
8219:
8089:
7900:
7736:
7594:
7459:
7287:
7193:
7143:
6953:
6848:
6748:
6707:
6504:
6153:
5922:
5826:
5601:
5332:
5220:
5161:
5064:
5005:
4909:
4790:
4616:
4411:
4364:
4183:
4032:
3908:
3798:
3692:
3536:
3325:
3110:
2795:
2504:
2346:
2077:
1804:
1755:
to be the exponent of the highest power of the prime
1638:
1485:
1281:
1058:
736:
535:
445:
25409:
23165:
23150:
23148:
14478:{\displaystyle \psi (x)=\sum _{n\leq x}\Lambda (n).}
5208:{\displaystyle \vartheta (x)=\sum _{p\leq x}\log p,}
522:{\displaystyle \sum _{p}f(p)=f(2)+f(3)+f(5)+\cdots }
23884:Pettofrezzo, Anthony J.; Byrkit, Donald R. (1970),
13590:of a quadratic number field. This is equivalent to
5322:, in which case it is the natural log of the prime
5274:{\displaystyle \psi (x)=\sum _{p^{k}\leq x}\log p.}
3094:, the Möbius function, is important because of the
1943:
1695:{\displaystyle n=p_{1}^{a_{1}}\cdots p_{k}^{a_{k}}}
606:{\displaystyle \prod _{p}f(p)=f(2)f(3)f(5)\cdots .}
23778:
23563:
23534:
23253:Landau, p. 168, credits Gauss as well as Dirichlet
17828:
17703:
17557:
17419:
17313:
17258:
17200:
17125:
16906:
16819:
16729:
16504:
16442:
16349:
16225:
16111:
15978:
15958:
15736:
15363:
15072:
14843:
14706:{\displaystyle e^{\psi (x)}=\operatorname {lcm} .}
14705:
14622:
14559:
14477:
14413:
14338:
14262:
14173:
14088:
13966:
13749:
13539:
13389:
13210:
12849:
12536:
12336:
12120:
12040:
11686:
11498:
11360:
11038:
10980:
10824:
10557:
10381:
10290:
10222:
10133:
10067:
9964:
9862:
9762:
9681:
9581:
9500:
9397:
9315:
9229:
9107:
8959:
8887:
8767:
8705:
8497:
8407:
8329:
8285:
8205:
8065:
7824:
7671:
7521:
7425:
7274:
7180:
7100:
6897:
6802:
6728:
6661:
6394:
6131:
5871:{\displaystyle a^{\lambda (n)}\equiv 1{\pmod {n}}}
5870:
5789:
5557:
5273:
5207:
5118:
5042:
4924:
4895:
4711:, defined above as the number of prime factors of
4643:
4600:
4385:
4348:
4147:
3957:
3866:
3761:
3649:
3420:
3282:
3066:
2727:
2717:
2460:
2326:
2042:is therefore the number of (positive) divisors of
2030:Since a positive number to the zero power is one,
1852:
1694:
1584:
1463:
1404:
1345:
1259:
1214:
1167:
1029:
984:
937:
711:
658:
605:
521:
427:
388:
24408:
23883:
23819:
23751:Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms
23614:A Course in Computational Algebraic Number Theory
23145:
23142:Williams, ch. 13; Huard, et al. (external links).
22855:
14623:{\displaystyle e^{\theta (x)}=\prod _{p\leq x}p.}
13567:discovered formulas that relate the class number
12121:{\displaystyle c_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}}
8075:It is a straightforward exercise to show that if
7535:tends to infinity. The example above shows that
6428:, the class number function, is the order of the
4658:
25980:
24013:Matthew Holden, Michael Orrison, Michael Varble
22938:
17760:
17628:
17478:
17072:
17011:
16971:
15851:
15799:
15645:
15525:
15487:
15441:
15221:
15097:
14964:
14872:
14787:
14741:
14414:{\displaystyle \sum _{p}\nu _{p}(n)=\Omega (n).}
8526:
7289:
7195:
7145:
6432:of an algebraic extension of the rationals with
4688:
4114:
4073:
3567:
3313:, the Ramanujan tau function, is defined by its
3295:
2757:, the Jordan totient function, is the number of
2470:
24294:
12156:These formulas may be proved analytically (see
7580:, be the function defined by the corresponding
6671:
5294:
3772:
1346:{\displaystyle \sum _{p\mid 18}f(p)=f(2)+f(3),}
24088:
24074:
23958:
23858:
23583:
23529:
23485:Some Formulæ in the Analytic Theory of Numbers
23468:Some Formulæ in the Analytic Theory of Numbers
11499:{\displaystyle r_{8}(n)=16\sigma _{3}^{*}(n).}
8960:{\displaystyle \sum _{d\mid n}J_{k}(d)=n^{k}.}
4644:{\displaystyle \left({\frac {a}{1}}\right)=1.}
3958:{\displaystyle \lambda (n)=(-1)^{\Omega (n)}.}
2773:. It is a generalization of Euler's totient,
67:Function whose domain is the positive integers
24060:
17849:First 100 values of some arithmetic functions
7181:{\displaystyle \liminf _{n\to \infty }d(n)=2}
5799:
25896:
24246:
17133: Note that
14694:
14688:
10291:{\displaystyle k\geq 4,\;\;\;r_{k}(n)>0.}
5908:) is equal to the Euler totient function of
5567:
3881:
1853:{\displaystyle n=\prod _{p}p^{\nu _{p}(n)}.}
120:An example of an arithmetic function is the
23959:Schwarz, Wolfgang; Spilker, Jürgen (1994),
23843:Introduction to number theory (2nd Edition)
23688:
11698:
6450:
3762:{\displaystyle c_{q}(n)c_{r}(n)=c_{qr}(n).}
1938:
24361:Possessing a specific set of other numbers
24184:
24067:
24053:
23353:Menon's Identity and Arithmetical Sums ...
23238:Asymptotic Formulæ in Combinatory Analysis
13662:
13661:
10526:
10525:
10524:
10262:
10261:
10260:
8286:{\displaystyle F_{c}(s)=F_{a}(s)F_{b}(s).}
7842:and their respective generating functions
7809:
7808:
6898:{\displaystyle A(x):=\sum _{n\leq x}a(n).}
6296:
5947:
5946:
5900:For powers of odd primes and for 2 and 4,
5726:
5722:
5539:
5538:
5537:
5536:
4535:
4442:
4441:
3663:), it is an integer. For a fixed value of
3484:
3242:
3200:
3099:
25824:
24771:
23903:
23700:(5th ed.). Oxford: Clarendon Press.
17844:) is Ramanujan's function.
16742:Multiplicative group of integers modulo n
16505:{\displaystyle \lambda (n)\mid \phi (n).}
13663:
11303:
11299:
11255:
11251:
10698:
10694:
10623:
10619:
10573:
8541:
8408:{\displaystyle g(n)=\sum _{d\mid n}f(d).}
7749:
4780:
4443:
3902:, the Liouville function, is defined by
3076:
1464:{\textstyle \prod _{p^{k}\mid n}f(p^{k})}
719:mean that the sum or product is over all
435:mean that the sum or product is over all
23924:Number theory in the spirit of Liouville
23921:
23802:Elementary Introduction to Number Theory
23698:An Introduction to the Theory of Numbers
23404:in 1965 and V. Sita Ramaiah for general
14270: is true for every natural number
13405:) is Ramanujan's function.
7550:
5892:multiplicative group of integers modulo
5043:{\displaystyle \pi (x)=\sum _{p\leq x}1}
4693:
2015:, the sum of the (positive) divisors of
1405:{\textstyle \sum _{p^{k}\mid n}f(p^{k})}
23748:
23730:
23633:
23589:Analytic number theory, an introduction
23558:
17427: Compare this with
13559:
7438:average order of an arithmetic function
25981:
25932:
23837:
23766:
23537:Introduction to Analytic Number Theory
14098:
13763:< −4 is a fundamental discriminant
11510:Adopt the convention that Ramanujan's
10230: Möbius inversion
9870: Möbius inversion
9689: Möbius inversion
9508: Möbius inversion
9115: Möbius inversion
8895: Möbius inversion
6818:
6404:
4995:. It is the summation function of the
1989:th powers of the positive divisors of
128:is equal to the number of divisors of
25931:
25895:
25859:
25823:
25783:
25408:
25297:
25023:
24938:
24893:
24770:
24460:
24407:
24359:
24293:
24245:
24183:
24087:
24048:
23659:
23608:
22894:Hardy & Wright, intro. to Ch. XVI
7114:for the summation function for large
5890:of the orders of the elements of the
4653:
3518:, Ramanujan's sum, is the sum of the
147:Multiplicative and additive functions
24461:
23799:
22843:
3967:
723:with strictly positive exponent (so
15:
25860:
24019:Huard, Ou, Spearman, and Williams.
14717:
11422:th powers of the even divisors of
10512:
10505:
10470:
10463:
8519:is completely multiplicative, then
5860:
4936:Neither multiplicative nor additive
4560:
4553:
4516:
4509:
4471:
4464:
3877:Completely multiplicative functions
712:{\textstyle \prod _{p^{k}}f(p^{k})}
13:
25784:
23952:
23822:Introduction to Mathematical Logic
23543:Undergraduate Texts in Mathematics
23448:Hardy & Wright, Thms. 271, 272
17314:{\displaystyle c_{q}(q)=\phi (q).}
16800:
15986:stands for Dirichlet convolution.
14528:
14494:
14460:
14396:
12010:
11919:
11859:
11838:
11789:
11738:
11430:th powers of the odd divisors of
10236:
10150:
10104:
8022:
7963:
7834:Consider two arithmetic functions
7810:
7766:
7633:
7299:
7205:
7155:
5333:
5065:
3938:
3258:
3216:
3179:
659:{\textstyle \sum _{p^{k}}f(p^{k})}
340:) for all coprime natural numbers
300:) for all coprime natural numbers
124:whose value at a positive integer
14:
26005:
23989:
23156:On Certain Arithmetical Functions
23024:Dineva in external links, prop. 4
17259:{\displaystyle c_{q}(1)=\mu (q).}
16462:) be Carmichael's function. Then
13976:There is also a formula relating
6803:{\displaystyle D(mn)=mD(n)+D(m)n}
6492:can be represented as the sum of
4386:{\displaystyle ({\tfrac {a}{p}})}
1628:states that any positive integer
1626:fundamental theorem of arithmetic
1260:{\textstyle \prod _{p\mid n}f(p)}
1030:{\textstyle \prod _{d\mid n}f(d)}
25962:
25570:Perfect digit-to-digit invariant
24939:
23908:, Providence RI: AMS / Chelsea,
23862:; Zuckerman, Herbert S. (1972),
23667:, Providence RI: AMS / Chelsea,
23015:Hardy & Wright, Thm. 288–290
22929:Hardy & Wright, §§ 18.1–18.2
16248:) be Liouville's function. Then
15989:
4526: and for some integer
2340:= 0 in the second product gives
1215:{\textstyle \sum _{p\mid n}f(p)}
985:{\textstyle \sum _{d\mid n}f(d)}
20:
23507:
23494:
23477:
23460:
23451:
23442:
23433:
23424:
23411:
23394:
23385:
23376:
23367:
23358:
23345:
23336:
23327:
23314:
23305:
23292:
23283:
23274:
23265:
23256:
23247:
23230:
23217:
23204:
23195:
23186:
23177:
23136:
23123:
23110:
23097:
23076:
23063:
23054:
23045:
23036:
23027:
23018:
23009:
23000:
22988:
22979:
22970:
22961:
22932:
13991:be a fundamental discriminant,
5853:
1177:The notations can be combined:
23786:, Courier Dover Publications,
23735:, Cambridge University Press,
23457:Hardy & Wright, eq. 16.3.1
23342:Hardy & Wright, eq. 22.1.3
23333:Hardy & Wright, eq. 22.1.1
23311:Hardy & Wright, eq. 22.1.2
22923:
22910:
22897:
22888:
22879:
22870:
22861:
22856:Pettofrezzo & Byrkit (1970
22849:
22837:
17775:
17763:
17743:
17737:
17731:
17725:
17643:
17631:
17611:
17605:
17592:
17586:
17507:
17501:
17493:
17481:
17461:
17452:
17400:
17394:
17363:
17357:
17305:
17299:
17290:
17284:
17250:
17244:
17235:
17229:
17149:
17143:
17087:
17075:
17048:
17042:
17026:
17014:
16986:
16974:
16945:
16939:
16882:
16876:
16870:
16864:
16809:
16803:
16789:
16783:
16772:
16766:
16547:
16541:
16532:
16526:
16496:
16490:
16481:
16475:
16434:
16428:
16411:
16407:
16401:
16394:
16387:
16381:
16375:
16369:
16341:
16335:
16325:
16321:
16315:
16308:
16304:
16298:
16289:
16283:
16276:
16272:
16266:
16259:
16211:
16205:
16148:
16142:
16093:
16081:
16078:
16066:
16062:
16052:
15947:
15941:
15933:
15927:
15924:
15912:
15890:
15884:
15875:
15872:
15854:
15848:
15814:
15802:
15726:
15723:
15697:
15688:
15677:
15674:
15648:
15642:
15575:
15569:
15560:
15528:
15522:
15490:
15456:
15444:
15355:
15349:
15343:
15337:
15315:
15224:
15151:
15100:
15064:
15058:
15039:
15033:
15024:
14967:
14894:
14875:
14835:
14829:
14823:
14817:
14808:
14790:
14756:
14744:
14697:
14667:
14653:
14647:
14590:
14584:
14537:
14531:
14503:
14497:
14469:
14463:
14438:
14432:
14405:
14399:
14390:
14384:
14302:
14296:
14208:
14202:
14080:
14074:
14028:
14024:
14016:
14012:
13925:
13917:
13828:
13820:
13783:
13777:
13696:
13686:
13565:Peter Gustav Lejeune Dirichlet
13531:
13519:
13513:
13507:
13466:
13460:
13381:
13369:
13356:
13350:
13302:
13296:
13270:
13264:
13238:
13232:
13193:
13181:
13168:
13162:
13121:
13115:
13096:
13090:
13044:
13032:
13019:
13013:
12972:
12966:
12950:
12944:
12931:
12916:
12888:
12882:
12837:
12825:
12812:
12806:
12765:
12759:
12731:
12719:
12706:
12700:
12659:
12653:
12637:
12631:
12618:
12603:
12575:
12569:
12523:
12511:
12498:
12492:
12451:
12445:
12429:
12423:
12410:
12395:
12371:
12365:
12323:
12311:
12298:
12292:
12251:
12245:
12229:
12223:
12186:
12180:
11649:
11643:
11622:
11612:
11591:
11585:
11554:
11548:
11490:
11484:
11460:
11454:
11218:
11212:
11143:
11133:
11108:
11098:
11092:
11086:
11004:
10998:
10962:
10956:
10875:
10869:
10744:
10738:
10680:
10671:
10661:
10652:
10599:
10593:
10516:
10506:
10474:
10464:
10328:
10322:
10300:Lagrange's four-square theorem
10279:
10273:
10214:
10208:
10159:
10153:
10113:
10107:
10075: where λ is the
10006:
10000:
9956:
9950:
9932:
9926:
9854:
9848:
9795:
9782:
9754:
9748:
9732:
9719:
9673:
9660:
9612:
9606:
9573:
9560:
9549:
9543:
9490:
9484:
9432:
9428:
9422:
9415:
9387:
9381:
9366:
9362:
9356:
9349:
9307:
9301:
9271:
9265:
9224:
9218:
9168:
9162:
9086:
9080:
8992:
8986:
8938:
8932:
8873:
8867:
8793:
8787:
8753:
8747:
8639:
8635:
8629:
8622:
8578:
8572:
8511:is multiplicative, then so is
8489:
8483:
8437:
8431:
8399:
8393:
8368:
8362:
8277:
8271:
8258:
8252:
8236:
8230:
8176:
8170:
8145:
8139:
8133:
8127:
8099:
8093:
8039:
8033:
7980:
7974:
7936:
7930:
7917:
7911:
7894:) can be computed as follows:
7783:
7777:
7746:
7740:
7650:
7644:
7611:
7605:
7516:
7510:
7485:
7479:
7411:
7405:
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7369:
7363:
7352:
7346:
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7310:
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7228:
7222:
7202:
7169:
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7047:
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7010:
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6964:
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5171:
5165:
5074:
5068:
5015:
5009:
4932:is the arithmetic derivative.
4919:
4913:
4884:
4878:
4821:
4815:
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4365:
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4117:
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4043:
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3941:
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3747:
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3709:
3703:
3582:
3570:
3553:
3547:
3446:th Fourier coefficient in the
3406:
3386:
3351:
3345:
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2119:
2094:
2088:
1842:
1836:
1798:, otherwise it is zero. Then
1576:
1570:
1564:
1558:
1552:
1546:
1540:
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1445:
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1307:
1301:
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878:
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770:
757:
706:
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594:
588:
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576:
570:
564:
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549:
510:
504:
495:
489:
480:
474:
465:
459:
422:
416:
383:
377:
256:is 1, that is, if there is no
35:format but may read better as
1:
24409:Expressible via specific sums
23922:Williams, Kenneth S. (2011),
23904:Ramanujan, Srinivasa (2000),
23784:Fundamentals of Number Theory
23587:; Diamond, Harold G. (2004),
23523:
15784:is any arithmetical function
11418:is even it is the sum of the
11394:th powers of the divisors of
8527:Relations among the functions
7555:Given an arithmetic function
7133:), the number of divisors of
6823:Given an arithmetic function
4689:Completely additive functions
1620:) – prime power decomposition
23439:Hardy & Wright, Thm. 329
23060:Hardy & Wright, Thm. 386
23051:Hardy & Wright, Thm. 278
23042:Hardy & Wright, Thm. 296
23033:Hardy & Wright, Thm. 264
22976:Hardy & Wright, Thm. 263
12160:) or by elementary methods.
7543:) has the average order log(
7125:, the summation function of
4968:) – prime-counting functions
4173:(it is not defined for even
3792:, is defined by the formula
263:Then an arithmetic function
7:
25498:Multiplicative digital root
24002:Encyclopedia of Mathematics
23804:(2nd ed.), Lexington:
23430:Hardy & Wright, § 22.13
23236:G.H. Hardy, S. Ramannujan,
23094:Hardy & Wright, § 20.13
22985:Hardy & Wright, Thm. 63
22885:Bateman & Diamond, 2.1.
22867:Niven & Zuckerman, 4.2.
11705:product of two power series
6698:) is a function such that
4666:) – distinct prime divisors
4397:, defined for all integers
3522:th powers of the primitive
2738:) – Jordan totient function
2046:; it is usually denoted by
428:{\textstyle \prod _{p}f(p)}
352:
260:that divides both of them.
10:
26010:
24894:
23965:Cambridge University Press
23928:Cambridge University Press
23820:Elliott Mendelson (1987),
23731:Jameson, G. J. O. (2003),
22945:Cambridge University Press
22920:, § 1.15, Ch. 4, and ch. 6
16552: if and only if
8717:is the Liouville function.
7123:divisor summatory function
6935:at each integer for which
5886:. Equivalently, it is the
5542: is not a prime power
4777:, is completely additive.
3300:) – Ramanujan tau function
2475:) – Euler totient function
1862:In terms of the above the
389:{\textstyle \sum _{p}f(p)}
228:) for all natural numbers
188:) for all natural numbers
25958:
25941:
25927:
25905:
25891:
25869:
25855:
25833:
25819:
25792:
25779:
25755:
25709:
25669:
25620:
25594:
25575:Perfect digital invariant
25527:
25511:
25490:
25457:
25422:
25418:
25404:
25312:
25293:
25262:
25229:
25186:
25163:
25150:Superior highly composite
25040:
25036:
25019:
24947:
24934:
24902:
24889:
24777:
24766:
24728:
24719:
24697:
24654:
24616:
24607:
24540:
24482:
24473:
24469:
24456:
24414:
24403:
24366:
24355:
24303:
24289:
24252:
24241:
24194:
24179:
24097:
24083:
23886:Elements of Number Theory
22996:Jordan's totient function
22939:Gérald Tenenbaum (1995).
14348:Euler–Mascheroni constant
8538:Here are a few examples:
6679:) – Arithmetic derivative
5299:) – von Mangoldt function
4582:if there is no such
4159:quadratic character (mod
3998:principal character (mod
3780:) - Dedekind psi function
2769:+ 1)-tuple together with
201:completely multiplicative
84:number-theoretic function
25188:Euler's totient function
24972:Euler–Jacobi pseudoprime
24247:Other polynomial numbers
23800:Long, Calvin T. (1972),
23772:Elementary Number Theory
23733:The Prime Number Theorem
23322:prime-counting functions
23240:, § 1.3; in Ramannujan,
22831:
13584:fundamental discriminant
11699:Divisor sum convolutions
10568:There is a formula for r
6687:for the derivative, the
6447:for classical examples.
3788:, used in the theory of
3667:it is multiplicative in
2019:, is usually denoted by
1939:Multiplicative functions
115:prime-counting functions
25002:Somer–Lucas pseudoprime
24992:Lucas–Carmichael number
24827:Lazy caterer's sequence
23806:D. C. Heath and Company
16746:Primitive root modulo n
16512: Further,
13614:/4 is squarefree, and
13573:quadratic number fields
10034: is a square
5804:) – Carmichael function
5283:The Chebyshev function
4997:characteristic function
1866:ω and Ω are defined by
254:greatest common divisor
151:An arithmetic function
44:converting this article
25994:Functions and mappings
24877:Wedderburn–Etherington
24277:Lucky numbers of Euler
23753:, New York: Springer,
23749:Koblitz, Neal (1984),
23570:, New York: Springer,
17830:
17705:
17559:
17421:
17315:
17260:
17202:
17127:
16908:
16821:
16731:
16714: is an odd prime)
16649: is an odd prime)
16506:
16444:
16351:
16227:
16113:
15980:
15960:
15738:
15365:
15074:
14845:
14707:
14624:
14561:
14479:
14415:
14340:
14278:is true.
14264:
14175:
14090:
13968:
13938:
13833:
13751:
13575:to the Jacobi symbol.
13541:
13436:Ramanujan tau function
13422:) (for natural number
13391:
13212:
12851:
12538:
12338:
12122:
12091:
12042:
12014:
11949:
11923:
11863:
11842:
11793:
11742:
11688:
11500:
11362:
11040:
10982:
10826:
10559:
10383:
10292:
10224:
10135:
10069:
9966:
9864:
9764:
9683:
9583:
9502:
9399:
9317:
9231:
9109:
8961:
8889:
8769:
8707:
8542:Dirichlet convolutions
8533:divisor sum identities
8499:
8409:
8331:
8287:
8207:
8067:
8026:
7967:
7826:
7770:
7673:
7637:
7523:
7427:
7276:
7182:
7102:
6899:
6804:
6730:
6729:{\displaystyle D(n)=1}
6663:
6488:is the number of ways
6396:
6133:
5872:
5791:
5575:) – partition function
5559:
5456: is a prime power
5275:
5209:
5120:
5044:
4999:of the prime numbers.
4926:
4897:
4781:Logarithmic derivative
4645:
4602:
4387:
4350:
4149:
3959:
3886:) – Liouville function
3868:
3763:
3651:
3422:
3284:
3068:
2719:
2462:
2328:
2234:
2129:
1917:and the corresponding
1854:
1696:
1586:
1465:
1406:
1347:
1261:
1216:
1169:
1031:
986:
939:
713:
660:
607:
523:
429:
390:
97:) whose domain is the
25165:Prime omega functions
24982:Frobenius pseudoprime
24772:Combinatorial numbers
24641:Centered dodecahedral
24434:Primary pseudoperfect
23997:"Arithmetic function"
23868:John Wiley & Sons
23639:Fermat's Last Theorem
23515:Modular Functions ...
23502:Modular Functions ...
23212:Modular Functions ...
22918:Modular Functions ...
17831:
17706:
17560:
17433:= (1 + 2 + 3 + ... +
17422:
17316:
17261:
17203:
17128:
16909:
16822:
16732:
16688: (that is,
16626: (that is,
16507:
16445:
16352:
16235:Arithmetic derivative
16228:
16114:
16004:quadratic reciprocity
15981:
15961:
15739:
15366:
15075:
14846:
14708:
14625:
14562:
14480:
14416:
14341:
14265:
14176:
14091:
13969:
13900:
13803:
13752:
13618:/4 ≡ 2 or 3 (mod 4).
13542:
13392:
13213:
12852:
12539:
12339:
12123:
12071:
12043:
11994:
11929:
11903:
11843:
11822:
11773:
11722:
11689:
11501:
11426:minus the sum of the
11363:
11041:
10983:
10827:
10560:
10384:
10293:
10225:
10141:
10136:
10070:
10055: is not square.
9967:
9865:
9770:
9765:
9684:
9589:
9584:
9503:
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9400:
9318:
9232:
9110:
8967:
8962:
8890:
8775:
8770:
8708:
8500:
8410:
8332:
8301:Dirichlet convolution
8288:
8208:
8068:
8006:
7947:
7827:
7750:
7725:Riemann zeta function
7674:
7617:
7551:Dirichlet convolution
7524:
7428:
7277:
7183:
7103:
6900:
6805:
6731:
6689:arithmetic derivative
6664:
6397:
6134:
5888:least common multiple
5873:
5792:
5560:
5276:
5210:
5121:
5045:
4927:
4898:
4646:
4603:
4388:
4351:
4150:
4026:)). It is defined as
3960:
3869:
3786:Dedekind psi function
3764:
3652:
3423:
3285:
3100:Dirichlet convolution
3069:
2765:that form a coprime (
2720:
2463:
2329:
2205:
2100:
2001:is a complex number.
1864:prime omega functions
1855:
1697:
1587:
1466:
1407:
1348:
1262:
1217:
1170:
1032:
987:
940:
714:
661:
608:
524:
430:
391:
101:and whose range is a
25989:Arithmetic functions
25624:-composition related
25424:Arithmetic functions
25026:Arithmetic functions
24962:Elliptic pseudoprime
24646:Centered icosahedral
24626:Centered tetrahedral
23888:, Englewood Cliffs:
23225:Modular Functions...
23201:Koblitz, ex. III.2.4
23192:Koblitz, ex. III.2.2
23183:Koblitz, ex. III.2.3
23174:Koblitz, ex. III.2.8
23082:Koblitz, Ex. III.5.2
17836: where
17719:
17573:
17446:
17328:
17271:
17216:
17137:
16922:
16835:
16755:
16520:
16469:
16363:
16255:
16133:
16010:
15970:
15788:
15430:
15086:
14861:
14730:
14636:
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