972:
2930:
6041:
2449:
20:
6350:
2925:{\displaystyle {\begin{aligned}a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}&=\prod _{k=0}^{n-1}(a_{1}+kd)\\&=\prod _{k=0}^{n-1}d\left({\frac {a_{1}}{d}}+k\right)=d\left({\frac {a_{1}}{d}}\right)d\left({\frac {a_{1}}{d}}+1\right)d\left({\frac {a_{1}}{d}}+2\right)\cdots d\left({\frac {a_{1}}{d}}+(n-1)\right)\\&=d^{n}\prod _{k=0}^{n-1}\left({\frac {a_{1}}{d}}+k\right)=d^{n}{\left({\frac {a_{1}}{d}}\right)}^{\overline {n}}\end{aligned}}}
2099:
3858:
5129:
4834:
1650:
961:
4356:
3633:
46:
such that the difference from any succeeding term to its preceding term remains constant throughout the sequence. The constant difference is called common difference of that arithmetic progression. For instance, the sequence 5, 7, 9, 11, 13, 15, . . . is an arithmetic progression with a common
1798:
4111:
3645:
511:
Computation of the sum 2 + 5 + 8 + 11 + 14. When the sequence is reversed and added to itself term by term, the resulting sequence has a single repeated value in it, equal to the sum of the first and last numbers (2 + 14 = 16). Thus 16 × 5 = 80 is twice the sum.
4843:
4659:
330:, by grouping the numbers from both ends of the sequence into pairs summing to 101 and multiplying by the number of pairs. Regardless of the truth of this story, Gauss was not the first to discover this formula. Similar rules were known in antiquity to
5455:
1477:
817:
2335:
4207:
3486:
752:
3391:
4510:. If each pair of progressions in a family of doubly infinite arithmetic progressions have a non-empty intersection, then there exists a number common to all of them; that is, infinite arithmetic progressions form a
3284:
2094:{\displaystyle a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}=a_{1}(a_{1}+d)(a_{1}+2d)...(a_{1}+(n-1)d)=\prod _{k=0}^{n-1}(a_{1}+kd)=d^{n}{\frac {\Gamma \left({\frac {a_{1}}{d}}+n\right)}{\Gamma \left({\frac {a_{1}}{d}}\right)}}}
1384:
1231:
3161:
4445:
1083:
1756:
3989:
3853:{\displaystyle a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}=d^{n}\prod _{k=0}^{n-1}\left({\frac {a_{1}}{d}}+k\right)=d^{n}{\frac {\Gamma \left({\frac {a_{1}}{d}}+n\right)}{\Gamma \left({\frac {a_{1}}{d}}\right)}}}
4848:
2454:
1482:
5124:{\displaystyle {\begin{aligned}a(n,k)&={\frac {1}{2(k-1)}}\left(n^{2}-(k-1)n+(k-2)+\phi (n+1,k-1)\right)\\&={\frac {1}{2(k-1)}}\left((n-1)(n-(k-2))+\phi (n+1,k-1)\right)\end{aligned}}}
2202:
4829:{\displaystyle \phi (\eta ,\kappa )={\begin{cases}0&{\text{if }}\kappa \mid \eta \\\left(\left-2\right)\left(\kappa -\left\right)&{\text{if }}\kappa \not \mid \eta \\\end{cases}}}
645:
4199:
3025:
3927:
5521:
2436:
1466:
4652:
282:
209:
2965:
5564:
4617:
3981:
577:
5227:
3478:
1645:{\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}&={\frac {n}{2}}.\\&={\frac {n}{2}}(a+a_{n}).\\&={\frac {n}{2}}({\text{initial term}}+{\text{last term}}).\end{aligned}}}
5181:
2161:
2122:
1688:
4559:
3054:
5222:
809:
782:
328:
142:
75:
956:{\displaystyle \left(-{\frac {3}{2}}\right)+\left(-{\frac {1}{2}}\right)+{\frac {1}{2}}={\frac {3\left(-{\frac {3}{2}}+{\frac {1}{2}}\right)}{2}}=-{\frac {3}{2}}.}
2228:
4579:
4488:
4468:
3434:
3414:
2381:
2361:
302:
115:
95:
6232:
4351:{\displaystyle 1\cdot 3\cdot 5\cdots 19=\prod _{k=0}^{9}(1+2k)=2^{10}\cdot {\frac {\Gamma \left({\frac {1}{2}}+10\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)}}}
3628:{\displaystyle \prod _{k=0}^{n-1}\left({\frac {a_{1}}{d}}+k\right)={\frac {\Gamma \left({\frac {a_{1}}{d}}+n\right)}{\Gamma \left({\frac {a_{1}}{d}}\right)}}}
2236:
4514:. However, the intersection of infinitely many infinite arithmetic progressions might be a single number rather than itself being an infinite progression.
5741:
Stern, M. (1990). 74.23 A Mediaeval
Derivation of the Sum of an Arithmetic Progression. The Mathematical Gazette, 74(468), 157-159. doi:10.2307/3619368
656:
3296:
5875:
6222:
586:
of terms being added (here 5), multiplying by the sum of the first and last number in the progression (here 2 + 14 = 16), and dividing by 2:
6315:
5506:
5485:
3170:
5750:
Høyrup, J. The "Unknown
Heritage": trace of a forgotten locus of mathematical sophistication. Arch. Hist. Exact Sci. 62, 613–654 (2008).
1242:
1089:
5511:
971:
3062:
6156:
4506:
of any two doubly infinite arithmetic progressions is either empty or another arithmetic progression, which can be found using the
4373:
985:
1696:
4106:{\displaystyle P_{50}=5^{50}\cdot {\frac {\Gamma \left(3/5+50\right)}{\Gamma \left(3/5\right)}}\approx 3.78438\times 10^{98}.}
6166:
5628:
5599:
4490:
is the common difference between terms. The formula is essentially the same as the formula for the standard deviation of a
6330:
6161:
5921:
5868:
5500:
5470:
6310:
5726:
5697:
2169:
6320:
5490:
6212:
6202:
592:
4124:
5480:
2977:
6379:
6325:
6227:
5861:
5808:
4491:
3876:
1762:
6353:
2389:
1395:
5503:, a set of integers constructed as an arithmetic progression is, but allowing several possible differences
4622:
241:
6335:
5803:
150:
6374:
6217:
5798:
5495:
5450:{\textstyle \{1,2,3\},\{2,3,4\},\{3,4,5\},\{4,5,6\},\{5,6,7\},\{1,3,5\},\{3,5,7\},\{2,4,6\},\{1,4,7\}.}
2938:
6207:
6197:
6187:
4584:
4507:
4503:
5542:
4689:
3932:
532:
3442:
6302:
6124:
5964:
5689:
5781:
979:
To derive the above formula, begin by expressing the arithmetic series in two different ways:
6171:
5916:
5465:
5136:
2131:
2107:
1774:
1658:
5714:
5681:
5616:
5587:
4529:
3033:
6282:
6119:
5888:
5820:
5776:
5663:
Ross, H.E. & Knott, B.I. (2019) Dicuil (9th century) on triangular and square numbers,
787:
760:
307:
235:
120:
53:
5186:
1389:
Adding the corresponding terms of both sides of the two equations and halving both sides:
8:
6262:
6129:
23:
5764:
2210:
6192:
6103:
6088:
6060:
6040:
5979:
5547:
4564:
4473:
4453:
3419:
3399:
2366:
2346:
2330:{\displaystyle m\times (m+1)\times (m+2)\times \cdots \times (n-2)\times (n-1)\times n}
287:
100:
80:
5839:
6292:
6093:
6065:
6019:
6009:
5989:
5974:
5836:
5817:
5722:
5693:
5682:
5624:
5595:
5475:
2968:
6277:
6098:
6024:
6014:
5994:
5896:
5556:
6055:
5984:
5772:
5715:
5617:
5588:
4494:, interpreting the arithmetic progression as a set of equally probable outcomes.
1765:, interpreting the arithmetic progression as a set of equally probable outcomes.
757:
This formula works for any arithmetic progression of real numbers beginning with
5668:
5224:
arithmetic subsets and, counting directly, one sees that there are 9; these are
4517:
6287:
6272:
6267:
5946:
5931:
3028:
2341:
2125:
975:
Animated proof for the formula giving the sum of the first integers 1+2+...+n.
6368:
6252:
5926:
343:
5751:
747:{\displaystyle 2+5+8+11+14={\frac {5(2+14)}{2}}={\frac {5\times 16}{2}}=40.}
6257:
5999:
5941:
4511:
383:
3386:{\displaystyle {\frac {\Gamma (z+m)}{\Gamma (z)}}=\prod _{k=0}^{m-1}(z+k)}
2166:
This is a generalization of the facts that the product of the progression
1777:
of the members of a finite arithmetic progression with an initial element
6004:
5951:
355:
351:
26:
of the arithmetic progression formulas using a rotated copy of the blocks
19:
5560:
5853:
5643:
371:
339:
331:
5936:
5844:
5825:
5516:
2205:
1761:
The formula is essentially the same as the formula for the mean of a
519:
367:
347:
335:
234:
According to an anecdote of uncertain reliability, in primary school
219:
3279:{\displaystyle \Gamma (z+3)=(z+2)\Gamma (z+2)=(z+2)(z+1)z\Gamma (z)}
5884:
39:
3929:, the product of the terms of the arithmetic progression given by
1379:{\displaystyle S_{n}=(a+(n-1)d)+(a+(n-2)d)+\dots +(a+2d)+(a+d)+a.}
1226:{\displaystyle S_{n}=a+(a+d)+(a+2d)+\dots +(a+(n-2)d)+(a+(n-1)d).}
5717:
Sourcebook in the
Mathematics of Medieval Europe and North Africa
5522:
Polynomials calculating sums of powers of arithmetic progressions
1655:
Furthermore, the mean value of the series can be calculated via:
379:
5815:
3156:{\displaystyle \Gamma (z+2)=(z+1)\Gamma (z+1)=(z+1)z\Gamma (z)}
522:
of the members of a finite arithmetic progression is called an
375:
363:
359:
43:
5679:
4822:
4440:{\displaystyle \sigma =|d|{\sqrt {\frac {(n-1)(n+1)}{12}}}}
5834:
1078:{\displaystyle S_{n}=a+a_{2}+a_{3}+\dots +a_{(n-1)}+a_{n}}
214:
A finite portion of an arithmetic progression is called a
1751:{\displaystyle {\overline {a}}={\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}.}
218:
and sometimes just called an arithmetic progression. The
5763:
Duchet, Pierre (1995), "Hypergraphs", in Graham, R. L.;
4367:
The standard deviation of any arithmetic progression is
5712:
5507:
Heronian triangles with sides in arithmetic progression
1792:
elements in total is determined in a closed expression
382:. Some find it likely that its origin goes back to the
5230:
5189:
5139:
246:
6233:
1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + ⋯ (inverses of primes)
6223:
1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯ (alternating factorials)
4846:
4662:
4625:
4587:
4567:
4532:
4476:
4456:
4376:
4210:
4127:
3992:
3935:
3879:
3648:
3489:
3445:
3422:
3402:
3299:
3173:
3065:
3036:
2980:
2941:
2452:
2392:
2369:
2349:
2239:
2213:
2172:
2134:
2110:
1801:
1699:
1661:
1480:
1398:
1245:
1092:
988:
820:
790:
763:
659:
595:
535:
310:
290:
244:
153:
123:
103:
83:
56:
50:
If the initial term of an arithmetic progression is
5780:. See in particular Section 2.5, "Helly Property",
582:This sum can be found quickly by taking the number
77:and the common difference of successive members is
5449:
5216:
5175:
5123:
4828:
4646:
4611:
4573:
4553:
4482:
4462:
4439:
4350:
4193:
4105:
3975:
3921:
3852:
3627:
3472:
3428:
3408:
3385:
3278:
3155:
3048:
3019:
2959:
2924:
2430:
2375:
2355:
2329:
2222:
2196:
2155:
2116:
2093:
1750:
1682:
1644:
1460:
1378:
1225:
1077:
955:
803:
776:
746:
639:
571:
322:
296:
276:
203:
136:
109:
89:
69:
5614:
5585:
6366:
5721:. Princeton University Press. pp. 91, 257.
222:of a finite arithmetic progression is called an
2197:{\displaystyle 1\times 2\times \cdots \times n}
5665:British Journal for the History of Mathematics
4470:is the number of terms in the progression and
5869:
5669:https://doi.org/10.1080/26375451.2019.1598687
5534:
6316:Hypergeometric function of a matrix argument
5486:Inequality of arithmetic and geometric means
5441:
5423:
5417:
5399:
5393:
5375:
5369:
5351:
5345:
5327:
5321:
5303:
5297:
5279:
5273:
5255:
5249:
5231:
4606:
4588:
650:In the case above, this gives the equation:
6172:1 + 1/2 + 1/3 + ... (Riemann zeta function)
640:{\displaystyle {\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}}
5876:
5862:
5512:Problems involving arithmetic progressions
4778:
4728:
4194:{\displaystyle (1,3,5,7,9,11,13,15,17,19)}
6228:1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ⋯ (harmonic series)
5771:, Amsterdam: Elsevier, pp. 381–432,
5752:https://doi.org/10.1007/s00407-008-0025-y
5883:
4121:The product of the first 10 odd numbers
3020:{\displaystyle \Gamma (z+1)=z\Gamma (z)}
970:
284:for summing the integers from 1 through
18:
5623:. Walter de Gruyter. pp. 344–354.
4561:denote the number of subsets of length
4518:Amount of arithmetic subsets of length
3922:{\displaystyle 3,8,13,18,23,28,\ldots }
6367:
5762:
1236:Rewriting the terms in reverse order:
5857:
5835:
5816:
5680:Sigler, Laurence E. (trans.) (2002).
5540:
4362:
2431:{\displaystyle {\frac {n!}{(m-1)!}}.}
1461:{\displaystyle S_{n}={\frac {n}{2}}.}
5769:Handbook of combinatorics, Vol. 1, 2
5646:, John Hadley and David Singmaster,
5594:. Walter de Gruyter. pp. 3–15.
5567:from the original on 12 January 2012
4647:{\displaystyle \phi (\eta ,\kappa )}
277:{\displaystyle {\tfrac {n(n+1)}{2}}}
6193:1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ (Grandi's series)
1471:This formula can be simplified as:
204:{\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d.}
13:
5501:Generalized arithmetic progression
4324:
4293:
4054:
4022:
3819:
3781:
3594:
3556:
3323:
3303:
3264:
3210:
3174:
3141:
3102:
3066:
3005:
2981:
2111:
2060:
2022:
16:Sequence of equally spaced numbers
14:
6391:
6311:Generalized hypergeometric series
5791:
5654:, #475 (March 1992), pp. 102–126.
2960:{\displaystyle x^{\overline {n}}}
526:. For example, consider the sum:
6349:
6348:
6321:Lauricella hypergeometric series
6039:
5713:Katz, Victor J. (edit.) (2016).
5637:
5491:Primes in arithmetic progression
4497:
2128:. The formula is not valid when
374:, and anonymous commentators of
6331:Riemann's differential equation
5756:
5590:Analysis, analytische Geometrie
4612:{\displaystyle \{1,\cdots ,n\}}
2441:
5744:
5735:
5706:
5673:
5657:
5608:
5579:
5481:Arithmetico-geometric sequence
5205:
5193:
5170:
5158:
5152:
5140:
5109:
5085:
5076:
5073:
5061:
5052:
5049:
5037:
5026:
5014:
4987:
4963:
4954:
4942:
4933:
4921:
4897:
4885:
4866:
4854:
4790:
4779:
4740:
4729:
4678:
4666:
4641:
4629:
4548:
4536:
4427:
4415:
4412:
4400:
4392:
4384:
4271:
4256:
4188:
4128:
3976:{\displaystyle a_{n}=3+5(n-1)}
3970:
3958:
3380:
3368:
3332:
3326:
3318:
3306:
3273:
3267:
3258:
3246:
3243:
3231:
3225:
3213:
3207:
3195:
3189:
3177:
3150:
3144:
3135:
3123:
3117:
3105:
3099:
3087:
3081:
3069:
3014:
3008:
2996:
2984:
2778:
2766:
2556:
2534:
2416:
2404:
2318:
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6326:Modular hypergeometric series
6167:1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯
5644:Problems to Sharpen the Young
5527:
4492:discrete uniform distribution
1763:discrete uniform distribution
966:
216:finite arithmetic progression
5688:. Springer-Verlag. pp.
3473:{\displaystyle a_{1}/d>0}
2951:
2912:
1705:
358:; and in medieval Europe to
7:
6336:Theta hypergeometric series
5804:Encyclopedia of Mathematics
5459:
3863:
3436:a positive complex number.
10:
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6218:Infinite arithmetic series
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6157:1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯
5615:Tropfke, Johannes (1979).
5586:Tropfke, Johannes (1924).
5543:"Gauss's Day of Reckoning"
5496:Linear difference equation
4581:one can make from the set
2974:By the recurrence formula
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468:
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117:-th term of the sequence (
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4508:Chinese remainder theorem
5821:"Arithmetic progression"
5648:The Mathematical Gazette
5176:{\textstyle (n,k)=(7,3)}
6049:Properties of sequences
5684:Fibonacci's Liber Abaci
3983:up to the 50th term is
3416:a positive integer and
2156:{\displaystyle a_{1}/d}
2117:{\displaystyle \Gamma }
1683:{\displaystyle S_{n}/n}
386:in the 5th century BC.
238:reinvented the formula
5912:Arithmetic progression
5619:Arithmetik und Algebra
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