43:
119:
134:
35:
27:
1511:
537:
1070:
313:
122:
The envelope of a ladder (coloured lines in the top-right quadrant) sliding down a vertical wall, and its reflections (other quadrants) is an astroid. The midpoints trace out a circle while other points trace out ellipses similar to the previous figure.
1506:{\displaystyle {\begin{aligned}x^{6/3}+3x^{4/3}y^{2/3}+3x^{2/3}y^{4/3}+y^{6/3}&=a^{6/3}\\x^{2}+3x^{2/3}y^{2/3}\left(x^{2/3}+y^{2/3}\right)+y^{2}&=a^{2}\\x^{2}+y^{2}-a^{2}&=-3x^{2/3}y^{2/3}\left(x^{2/3}+y^{2/3}\right)\end{aligned}}}
1668:
851:
532:{\displaystyle {\begin{aligned}x=a\cos ^{3}t&={\frac {a}{4}}\left(3\cos \left(t\right)+\cos \left(3t\right)\right),\\y=a\sin ^{3}t&={\frac {a}{4}}\left(3\sin \left(t\right)-\sin \left(3t\right)\right).\end{aligned}}}
2062:
973:
1950:
1075:
2245:
The astroid has four cusp singularities in the real plane, the points on the star. It has two more complex cusp singularities at infinity, and four complex double points, for a total of ten singularities.
318:
1839:
736:
661:
2187:
1748:
2235:
1063:
298:
2112:
1518:
2321:
602:
747:
2139:
173:. By double generation, it is also the locus of a point on a circle as it rolls inside a fixed circle with 4/3 times the radius. It can also be defined as the
1955:
866:
1846:
2436:
1755:
670:
613:
1675:
988:
223:
2634:
548:
2648:
2581:
2562:
177:
of a line segment of fixed length that moves while keeping an end point on each of the axes. It is therefore the
2152:
2200:
2617:
2077:
2361:
2612:
2260:
2669:
2624:
193:
124:
2639:
2484:
42:
2422:
741:
1663:{\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}-a^{2}\right)^{3}=-27x^{2}y^{2}\left(x^{2/3}+y^{2/3}\right)^{3}}
2664:
178:
174:
118:
61:
2629:
2554:
2397:
2607:
182:
2546:
2330:
The astroid has only one tangent line in each oriented direction, making it an example of a
2532:
8:
2331:
307:
162:
2416:
2121:
846:{\displaystyle r={\frac {a}{\left(\cos ^{2/3}\theta +\sin ^{2/3}\theta \right)^{3/2}}}.}
2430:
158:
985:
The polynomial equation may be derived from
Leibniz's equation by elementary algebra:
664:
16:
Curve generated by rolling a circle inside another circle with 4x or (4/3)x the radius
2644:
2577:
2558:
2547:
2460:
2518:
607:
2528:
2254:
860:
856:
2523:
2506:
542:
150:
2418:
Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und
Geschichte
133:
2658:
2463:
2355:
301:
154:
142:
2367:
2250:
2057:{\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}-a^{2}\right)^{3}+27x^{2}y^{2}a^{2}=0.}
968:{\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}-a^{2}\right)^{3}+27a^{2}x^{2}y^{2}=0.}
2468:
1945:{\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}-a^{2}\right)^{3}=-27x^{2}y^{2}a^{2}}
2349:
2343:
20:
2143:
Volume of the surface of revolution of the enclose area about the
34:
2485:
http://xahlee.info/SpecialPlaneCurves_dir/Astroid_dir/astroid.pdf
2324:
977:
The astroid is, therefore, a real algebraic curve of degree six.
166:
65:
208:. It is nearly identical in form to the evolute of an ellipse.
170:
2630:"Astroid" at The Encyclopedia of Remarkable Mathematical Forms
192:". It was proposed, originally in the form of "Astrois", by
189:
2574:
The
Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry
26:
2625:"Astroid" at The MacTutor History of Mathematics archive
980:
1834:{\displaystyle \left(x^{2/3}+y^{2/3}\right)^{3}=a^{2}.}
2263:
2203:
2155:
2124:
2080:
1958:
1849:
1758:
1678:
1521:
1073:
991:
869:
750:
673:
616:
551:
316:
226:
196:
in 1838. The curve had a variety of names, including
2640:Visual Dictionary Of Special Plane Curves, Xah Lee
2544:
2483:A derivation of this equation is given on p. 3 of
2315:
2229:
2181:
2133:
2106:
2056:
1944:
1833:
1742:
1662:
1505:
1057:
967:
845:
730:
655:
596:
531:
292:
731:{\displaystyle R^{2}+4s^{2}={\frac {9a^{2}}{4}}.}
2656:
2458:
2395:
2504:
188:Its modern name comes from the Greek word for "
2595:. Ann Arbor, MI: J. W. Edwards. pp. 1 ff.
656:{\displaystyle s={3a \over 4}\cos 2\varphi ,}
2327:of an astroid is an astroid twice as large.
38:The hypocycloid construction of the astroid.
2576:. New York: Penguin Books. pp. 10–11.
2414:
2590:
2435:: CS1 maint: location missing publisher (
2182:{\displaystyle {\frac {32}{105}}\pi a^{3}}
169:inside a fixed circle with four times the
2593:A Handbook on Curves and Their Properties
2522:
1743:{\displaystyle x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}\,}
1739:
2402:Kurze Anleitung zur gesammten Mathematik
2230:{\displaystyle {\frac {12}{5}}\pi a^{2}}
2191:Area of surface of revolution about the
1058:{\displaystyle x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}.}
293:{\displaystyle x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}.}
132:
117:
41:
33:
25:
2571:
2505:Nishimura, Takashi; Sakemi, Yu (2011).
2107:{\displaystyle {\frac {3}{8}}\pi a^{2}}
300:This implies that an astroid is also a
2657:
2459:
981:Derivation of the polynomial equation
216:If the radius of the fixed circle is
2316:{\textstyle x^{2}y^{2}=x^{2}+y^{2}.}
2066:
129:hover over a ladder to highlight it.
597:{\displaystyle r^{2}=a^{2}-3p^{2},}
13:
2649:The Wolfram Demonstrations Project
2364:– a use of this curve in magnetics
14:
2681:
2600:
2549:A catalog of special plane curves
855:The astroid is a real locus of a
2358:– a hypocycloid with three cusps
137:Astroid as an evolute of ellipse
2553:. Dover Publications. pp.
545:with respect to the origin is
2591:R.C. Yates (1952). "Astroid".
2498:
2489:
2477:
2452:
2443:
2408:
2389:
2380:
2352:– an epicycloid with two cusps
220:then the equation is given by
1:
2511:Hokkaido Mathematical Journal
2373:
2346:– an epicycloid with one cusp
2240:
165:of a point on a circle as it
211:
7:
2613:Encyclopedia of Mathematics
2545:J. Dennis Lawrence (1972).
2337:
10:
2686:
863:zero. It has the equation
161:. Specifically, it is the
18:
2524:10.14492/hokmj/1319595861
2396:J. J. v. Littrow (1838).
194:Joseph Johann von Littrow
181:of the moving bar in the
2362:Stoner–Wohlfarth astroid
149:is a particular type of
19:Not to be confused with
2635:Article on 2dcurves.com
1515:Cube both sides again:
2317:
2253:to the astroid is the
2231:
2183:
2135:
2108:
2058:
1946:
1835:
1744:
1664:
1507:
1059:
969:
847:
732:
657:
598:
533:
294:
138:
130:
115:
39:
31:
2318:
2232:
2184:
2136:
2109:
2059:
1947:
1836:
1745:
1665:
1508:
1060:
970:
857:plane algebraic curve
848:
733:
658:
599:
534:
295:
183:Trammel of Archimedes
136:
121:
45:
37:
29:
2557:–5, 34–35, 173–174.
2421:. Leipzig. pp.
2415:Loria, Gino (1902).
2404:. Wien. p. 299.
2261:
2201:
2153:
2122:
2078:
1956:
1847:
1756:
1676:
1519:
1071:
989:
867:
748:
671:
614:
549:
314:
308:Parametric equations
224:
2645:Bars of an Astroid
2507:"View from inside"
2495:Yates, for section
2461:Weisstein, Eric W.
2449:Yates, for section
2398:"§99. Die Astrois"
2313:
2227:
2179:
2134:{\displaystyle 6a}
2131:
2104:
2054:
1942:
1831:
1740:
1660:
1503:
1501:
1055:
965:
843:
728:
653:
594:
529:
527:
290:
139:
131:
116:
40:
32:
2670:Roulettes (curve)
2647:by Sándor Kabai,
2212:
2164:
2089:
2067:Metric properties
1067:Cube both sides:
838:
723:
636:
465:
361:
2677:
2621:
2596:
2587:
2572:Wells D (1991).
2568:
2552:
2537:
2536:
2526:
2502:
2496:
2493:
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2456:
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2447:
2441:
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2405:
2393:
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2314:
2309:
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2296:
2295:
2283:
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2273:
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2236:
2234:
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2226:
2225:
2213:
2205:
2188:
2186:
2185:
2180:
2178:
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2165:
2157:
2140:
2138:
2137:
2132:
2113:
2111:
2110:
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2103:
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2090:
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1896:
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1877:
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1840:
1838:
1837:
1832:
1827:
1826:
1814:
1813:
1808:
1804:
1803:
1802:
1798:
1782:
1781:
1777:
1752:It follows that
1749:
1747:
1746:
1741:
1738:
1737:
1733:
1717:
1716:
1712:
1696:
1695:
1691:
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1666:
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1659:
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1653:
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1647:
1643:
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1626:
1622:
1603:
1602:
1593:
1592:
1574:
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1568:
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1509:
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1498:
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1493:
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1399:
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1330:
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1320:
1304:
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1299:
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1025:
1009:
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1004:
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971:
966:
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662:
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659:
654:
637:
632:
624:
608:Whewell equation
603:
601:
600:
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573:
561:
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2258:
2255:cruciform curve
2243:
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2119:
2116:Length of curve
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1953:
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1851:
1850:
1848:
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1844:
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