31:
2174:
1751:
2452:
2169:{\displaystyle {\begin{aligned}\int d^{d}x({\mathcal {L}}+J(x)\phi (x))&=\int d^{d}x({\mathcal {L}}+J(x)B(x))\\&+\int d^{d}x\left({\frac {\delta {\mathcal {L}}}{\delta \phi (x)}}+J(x)\right)\eta (x)\\&+{\frac {1}{2}}\int d^{d}xd^{d}y{\frac {\delta ^{2}{\mathcal {L}}}{\delta \phi (x)\delta \phi (y)}}\eta (x)\eta (y)+\cdots \end{aligned}}}
2678:
2185:
1405:
2463:
1731:
1644:
2447:{\displaystyle Z=e^{i\int d^{d}x({\mathcal {L}}+J(x)B(x))}\int {\mathcal {D}}\eta e^{{\frac {i}{2}}\int d^{d}xd^{d}y{\frac {\delta ^{2}{\mathcal {L}}}{\delta \phi (x)\delta \phi (y)}}\eta (x)\eta (y)+\cdots }.}
2179:
The second term in this expansion is zero by the equations of motion. The first term does not depend on any fluctuating fields, so that it can be brought out of the path integral. The result is
1756:
1268:
1567:
1240:
1449:
1486:
2785:
2673:{\displaystyle Z=Ce^{i\int d^{d}x({\mathcal {L}}+J(x)B(x))}\left(\det {\frac {\delta ^{2}{\mathcal {L}}}{\delta \phi (x)\delta \phi (y)}}\right)^{-1/2}+\cdots }
2698:
The above derivation gives the
Gaussian approximation to the functional integral. Corrections to this can be computed, producing a diagrammatic expansion.
280:
1667:
1586:
1147:
2717:
200:
240:
1246:
After this is done, the Green's functions are evaluated as a function of the background. This approach has the advantage that the
2457:
The path integral which now remains is (neglecting the corrections in the dots) of
Gaussian form and can be integrated exactly:
1400:{\displaystyle Z=\int {\mathcal {D}}\phi \exp \left(\mathrm {i} \int \mathrm {d} ^{d}x({\mathcal {L}}+J(x)\phi (x))\right)}
1005:
1140:
2800:
2762:
2743:
770:
43:
1509:
2827:
1133:
318:
157:
117:
1186:
875:
800:
147:
313:
250:
1421:
152:
985:
1491:
In the background field method, one starts by splitting this field into a classical background field
303:
245:
805:
430:
323:
260:
220:
795:
1085:
545:
353:
348:
2684:
955:
935:
425:
358:
255:
215:
1462:
840:
695:
391:
328:
235:
97:
1173:
1090:
865:
396:
230:
22:
142:
8:
1161:
1100:
420:
1653:
is the action, i.e. the space integral of the
Lagrangian density. Switching on a source
810:
535:
2777:
Path
Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets
2732:
1452:
1110:
1035:
965:
845:
830:
760:
720:
710:
670:
585:
475:
435:
205:
167:
122:
110:
87:
82:
2758:
2739:
1065:
995:
880:
870:
715:
650:
620:
590:
450:
445:
275:
195:
185:
77:
780:
2712:
2692:
1247:
1169:
1105:
1020:
1000:
970:
920:
740:
730:
725:
610:
595:
525:
210:
137:
127:
62:
1050:
1045:
1015:
1010:
980:
940:
910:
890:
790:
680:
675:
640:
625:
600:
580:
560:
490:
480:
401:
363:
265:
225:
57:
35:
30:
2772:
1075:
1025:
945:
930:
915:
895:
860:
855:
850:
835:
820:
785:
775:
700:
635:
605:
540:
505:
495:
470:
341:
298:
162:
825:
2821:
1080:
1070:
1060:
1055:
975:
960:
755:
750:
575:
570:
530:
500:
465:
455:
386:
381:
1726:{\displaystyle \left.{\frac {\delta S}{\delta \phi }}\right|_{\phi =B}+J=0}
1251:
1115:
1040:
925:
900:
885:
815:
735:
690:
685:
565:
555:
550:
515:
510:
485:
440:
308:
270:
92:
72:
2691:
is a constant. The power of minus one half will naturally be plus one for
1639:{\displaystyle \left.{\frac {\delta S}{\delta \phi }}\right|_{\phi =B}=0}
1095:
1030:
990:
950:
905:
765:
665:
660:
645:
630:
615:
745:
655:
520:
460:
132:
67:
2707:
1176:
by expanding a quantum field around a classical "background" value
705:
1673:
1592:
1580:) will be a solution of the classical equations of motion
2755:
Gauge
Theories of the Strong and Electroweak Interaction
1250:
is manifestly preserved if the approach is applied to
2466:
2188:
1754:
1670:
1589:
1512:
1465:
1424:
1271:
1189:
2753:Böhm, Manfred; Denner, Ansgar; Joos, Hans (2001).
2731:
2672:
2446:
2168:
1737:Then the action is expanded around the background
1725:
1638:
1561:
1480:
1443:
1399:
1234:
2819:
2575:
1262:We typically want to calculate expressions like
2729:
2752:
1503:) containing additional quantum fluctuations:
2786:"Introduction to the Background Field Method"
1141:
2730:Peskin, Michael; Schroeder, Daniel (1994).
1148:
1134:
29:
1562:{\displaystyle \phi (x)=B(x)+\eta (x)\,.}
1555:
2771:
1168:is a useful procedure to calculate the
2820:
2783:
1235:{\displaystyle \phi (x)=B(x)+\eta (x)}
2734:Introduction to Quantum Field Theory
13:
2593:
2514:
2360:
2293:
2233:
2083:
1953:
1861:
1780:
1427:
1339:
1321:
1312:
1292:
14:
2839:
1661:) will change the equations into
1444:{\displaystyle {\mathcal {L}}(x)}
16:Technique in quantum field theory
1459:is the number of dimensions and
2779:(5 ed.). World Scientific.
2639:
2633:
2627:
2621:
2612:
2606:
2564:
2561:
2555:
2549:
2543:
2534:
2531:
2525:
2519:
2509:
2476:
2470:
2430:
2424:
2418:
2412:
2406:
2400:
2394:
2388:
2379:
2373:
2283:
2280:
2274:
2268:
2262:
2253:
2250:
2244:
2238:
2228:
2198:
2192:
2153:
2147:
2141:
2135:
2129:
2123:
2117:
2111:
2102:
2096:
2016:
2010:
1999:
1993:
1984:
1978:
1972:
1966:
1911:
1908:
1902:
1896:
1890:
1881:
1878:
1872:
1866:
1856:
1830:
1827:
1821:
1815:
1809:
1800:
1797:
1791:
1785:
1775:
1552:
1546:
1537:
1531:
1522:
1516:
1475:
1469:
1438:
1432:
1389:
1386:
1380:
1374:
1368:
1359:
1356:
1350:
1344:
1334:
1281:
1275:
1229:
1223:
1214:
1208:
1199:
1193:
329:Renormalization group equation
1:
2723:
158:Spontaneous symmetry breaking
118:Symmetry in quantum mechanics
7:
2701:
10:
2844:
153:Explicit symmetry breaking
1257:
319:BargmannâWigner equations
246:Path Integral Formulation
2683:where "det" signifies a
1481:{\displaystyle \phi (x)}
324:Schwinger-Dyson equation
2757:(3 ed.). Teubner.
1166:background field method
354:Electroweak interaction
349:Quantum electrodynamics
314:WheelerâDeWitt equation
191:Background field method
2784:Abbott, L. F. (1982).
2738:. Perseus Publishing.
2685:functional determinant
2674:
2448:
2170:
1727:
1640:
1563:
1482:
1445:
1401:
1236:
359:Quantum chromodynamics
216:Effective field theory
2675:
2449:
2171:
1728:
1641:
1564:
1483:
1446:
1402:
1237:
304:KleinâGordon equation
236:LSZ reduction formula
2828:Quantum field theory
2799:: 33. Archived from
2464:
2186:
1752:
1668:
1587:
1510:
1463:
1422:
1269:
1187:
1174:quantum field theory
397:Theory of everything
231:Lattice field theory
201:Correlation function
23:Quantum field theory
1162:theoretical physics
376:Incomplete theories
2670:
2444:
2166:
2164:
1723:
1636:
1559:
1478:
1453:Lagrangian density
1441:
1397:
1232:
241:Partition function
168:Topological charge
88:General relativity
83:Special relativity
2793:Acta Phys. Pol. B
2631:
2398:
2314:
2121:
2037:
1976:
1693:
1612:
1158:
1157:
221:Expectation value
196:BRST quantization
143:Poincaré symmetry
98:YangâMills theory
78:Quantum mechanics
2835:
2814:
2812:
2811:
2805:
2790:
2780:
2768:
2749:
2737:
2713:Effective action
2693:Grassmann fields
2679:
2677:
2676:
2671:
2663:
2662:
2658:
2646:
2642:
2632:
2630:
2598:
2597:
2596:
2590:
2589:
2579:
2568:
2567:
2518:
2517:
2505:
2504:
2453:
2451:
2450:
2445:
2440:
2439:
2399:
2397:
2365:
2364:
2363:
2357:
2356:
2346:
2341:
2340:
2328:
2327:
2315:
2307:
2297:
2296:
2287:
2286:
2237:
2236:
2224:
2223:
2175:
2173:
2172:
2167:
2165:
2122:
2120:
2088:
2087:
2086:
2080:
2079:
2069:
2064:
2063:
2051:
2050:
2038:
2030:
2022:
2006:
2002:
1977:
1975:
1958:
1957:
1956:
1946:
1936:
1935:
1917:
1865:
1864:
1852:
1851:
1784:
1783:
1771:
1770:
1732:
1730:
1729:
1724:
1710:
1709:
1698:
1694:
1692:
1684:
1676:
1645:
1643:
1642:
1637:
1629:
1628:
1617:
1613:
1611:
1603:
1595:
1568:
1566:
1565:
1560:
1499:) and a field η(
1487:
1485:
1484:
1479:
1450:
1448:
1447:
1442:
1431:
1430:
1406:
1404:
1403:
1398:
1396:
1392:
1343:
1342:
1330:
1329:
1324:
1315:
1296:
1295:
1248:gauge invariance
1241:
1239:
1238:
1233:
1170:effective action
1150:
1143:
1136:
211:Effective action
138:Lorentz symmetry
63:Electromagnetism
33:
19:
18:
2843:
2842:
2838:
2837:
2836:
2834:
2833:
2832:
2818:
2817:
2809:
2807:
2803:
2788:
2773:Kleinert, Hagen
2765:
2746:
2726:
2704:
2654:
2647:
2599:
2592:
2591:
2585:
2581:
2580:
2578:
2574:
2570:
2569:
2513:
2512:
2500:
2496:
2489:
2485:
2465:
2462:
2461:
2366:
2359:
2358:
2352:
2348:
2347:
2345:
2336:
2332:
2323:
2319:
2306:
2305:
2301:
2292:
2291:
2232:
2231:
2219:
2215:
2208:
2204:
2187:
2184:
2183:
2163:
2162:
2089:
2082:
2081:
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2071:
2070:
2068:
2059:
2055:
2046:
2042:
2029:
2020:
2019:
1959:
1952:
1951:
1947:
1945:
1944:
1940:
1931:
1927:
1915:
1914:
1860:
1859:
1847:
1843:
1833:
1779:
1778:
1766:
1762:
1755:
1753:
1750:
1749:
1699:
1685:
1677:
1675:
1672:
1671:
1669:
1666:
1665:
1618:
1604:
1596:
1594:
1591:
1590:
1588:
1585:
1584:
1511:
1508:
1507:
1464:
1461:
1460:
1455:of the system,
1426:
1425:
1423:
1420:
1419:
1418:) is a source,
1338:
1337:
1325:
1320:
1319:
1311:
1310:
1306:
1291:
1290:
1270:
1267:
1266:
1260:
1188:
1185:
1184:
1154:
1125:
1124:
1123:
1121:
415:
407:
406:
402:Quantum gravity
377:
369:
368:
364:Higgs mechanism
344:
334:
333:
309:Proca equations
294:
286:
285:
281:Wightman Axioms
266:Renormalization
226:Feynman diagram
181:
173:
172:
113:
103:
102:
53:
38:
36:Feynman diagram
17:
12:
11:
5:
2841:
2831:
2830:
2816:
2815:
2781:
2769:
2763:
2750:
2744:
2725:
2722:
2721:
2720:
2715:
2710:
2703:
2700:
2681:
2680:
2669:
2666:
2661:
2657:
2653:
2650:
2645:
2641:
2638:
2635:
2629:
2626:
2623:
2620:
2617:
2614:
2611:
2608:
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