2507:
2139:
2180:
1853:
2502:{\displaystyle \bigcup {\Bigl \{}\mathbb {N} ,{\mathcal {P}}(\mathbb {N} ),{\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\mathbb {N} )),{\mathcal {P}}({\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\mathbb {N} ))),\dots ,{A_{\omega }},{\mathcal {P}}({A_{\omega }}),{\mathcal {P}}({\mathcal {P}}({A_{\omega }})),\dots ,{A_{2\omega }},{\mathcal {P}}({A_{2\omega }}),{\mathcal {P}}({\mathcal {P}}({A_{2\omega }})),\dots ,}
2134:{\displaystyle \bigcup {\Bigl \{}\mathbb {N} ,{\mathcal {P}}(\mathbb {N} ),{\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\mathbb {N} )),{\mathcal {P}}({\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\mathbb {N} ))),\dots ,{A_{\omega }},{\mathcal {P}}({A_{\omega }}),{\mathcal {P}}({\mathcal {P}}({A_{\omega }})),{\mathcal {P}}({\mathcal {P}}({\mathcal {P}}({A_{\omega }}))),\dots {\Bigr \}}}
1816:
1330:
3078:
2632:
2776:
1674:
1088:
1205:
5145:
1636:
1548:
421:
5479:
2893:
5065:
865:
2948:
2975:
1194:
112:
5215:
5591:
2511:
348:
2667:
1811:{\displaystyle \bigcup {\Bigl \{}\mathbb {N} ,{\mathcal {P}}(\mathbb {N} ),{\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\mathbb {N} )),{\mathcal {P}}({\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\mathbb {N} ))),\dots {\Bigr \}}}
3440:
5330:
3564:
3167:
693:
189:
4990:
4559:
4329:
4091:
4013:
3393:
736:
4902:
976:
589:
3513:
2818:
291:
511:
2175:
963:
3250:
5660:
4397:
1848:
4847:
4812:
4777:
4620:
4591:
3975:
3937:
3277:
1669:
4423:
3128:
1384:
5665:
This also holds in
Zermelo–Fraenkel set theory with ur-elements (with or without the axiom of choice), provided that the ur-elements form a set which is equinumerous with a
3740:
4742:
4720:
4698:
4666:
4644:
4528:
4506:
4291:
4269:
4237:
4215:
4191:
4169:
4141:
4119:
4057:
4035:
3898:
3871:
3711:
3684:
2662:
540:
3624:
3347:
3320:
1325:{\displaystyle \mathbb {N} ,{\mathcal {P}}(\mathbb {N} ),{\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\mathbb {N} )),{\mathcal {P}}({\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\mathbb {N} ))),\dots }
1115:
892:
794:
767:
643:
4454:
4364:
3830:
3655:
1419:
1360:
3098:
2968:
1473:
1449:
464:
5634:
5510:
5373:
5353:
5282:
5242:
5071:
4942:
4922:
3584:
3460:
1559:
1481:
924:
612:
444:
354:
213:
5614:
5393:
3211:
3187:
233:
132:
5530:
5262:
5401:
2823:
4996:
804:
3073:{\displaystyle |\bigcup {\Bigl \{}A_{\alpha }:\alpha <\lambda {\Bigr \}}|=\sup {\Bigl \{}\beth _{\alpha }:\alpha <\lambda {\Bigr \}}}
4671:
the power set of the set of all functions from the set of natural numbers to itself, or the number of sets of sequences of natural numbers
2900:
1127:
45:
5161:
5538:
2627:{\displaystyle {A_{3\omega }},{\mathcal {P}}({A_{3\omega }}),{\mathcal {P}}({\mathcal {P}}({A_{3\omega }})),\dots ,\dots {\Bigr \}}}
5878:
3519:
2771:{\displaystyle |\bigcup \mathbb {S} |\leq {\Bigl (}|\mathbb {S} |\times \sup {\Bigl \{}|s|:s\in \mathbb {S} {\Bigr \}}{\Bigr )}}
297:
5969:
5726:
2664:, the union set of all its members can be no larger than the supremum of its member cardinalities times its own cardinality,
3405:
5290:
3529:
3133:
4675:
5942:
5673:
contains no ur-elements). If the axiom of choice holds, then any set of ur-elements is equinumerous with a pure set.
648:
148:
5961:
3190:
192:
4950:
3295:; no two cardinalities can fail to be comparable. Thus, since by definition no infinite cardinalities are between
1083:{\displaystyle \beth _{\alpha +1}=2^{\beth _{\alpha }}=\left|2^{A_{\alpha }}\right|=|{\mathcal {P}}(A_{\alpha })|}
5221:
4533:
4303:
4065:
3987:
3355:
701:
4871:
549:
1428:, each set in the preceding sequence has cardinality strictly greater than the one preceding it. For infinite
3475:
2783:
253:
476:
3800:
1387:
2146:
934:
3222:
5639:
4373:
1823:
4825:
4788:
4753:
4596:
4567:
3951:
3913:
3255:
2820:, if at least one of them is an infinite cardinality, then the product will be the larger of the two,
1647:
5990:
4404:
3106:
1365:
3721:
3903:
5670:
4725:
4703:
4681:
4649:
4627:
4511:
4489:
4274:
4252:
4220:
4198:
4174:
4152:
4124:
4102:
4040:
4018:
3881:
3854:
3694:
3667:
2645:
523:
5915:
3602:
3325:
3298:
1093:
966:
870:
772:
745:
621:
5140:{\displaystyle \beth _{\lambda }(\kappa )=\sup\{\beth _{\alpha }(\kappa ):\alpha <\lambda \}}
4432:
4342:
3808:
3633:
3189:
is a successor ordinal (in that case, the existence is undecidable in ZFC and controlled by the
1631:{\displaystyle \beth _{\lambda }=|\bigcup {\Bigl \{}A_{\alpha }:\alpha <\lambda {\Bigr \}}|.}
1543:{\displaystyle \beth _{\lambda }=\sup {\Bigl \{}\beth _{\alpha }:\alpha <\lambda {\Bigr \}}.}
1397:
1338:
416:{\displaystyle \beth _{\lambda }=\sup {\Bigl \{}\beth _{\alpha }:\alpha <\lambda {\Bigr \}},}
4483:
4096:
3837:
3103:
Note that this behavior is different from that of successor ordinals. Cardinalities less than
3083:
2953:
1458:
1434:
449:
5619:
5495:
5358:
5338:
5267:
5227:
4927:
4907:
4857:
3569:
3445:
3399:
897:
597:
429:
244:
198:
5599:
5474:{\displaystyle \beth _{\beta }(\beth _{\alpha }(\kappa ))=\beth _{\alpha +\beta }(\kappa ).}
5378:
3196:
3172:
218:
117:
3466:
3217:
5515:
5247:
8:
4146:
1425:
5934:
5804:
5761:
5693:
514:
39:
5995:
5965:
5938:
5722:
5681:
4246:
3843:
3745:
517:
5857:
5847:
5814:
5771:
3767:
3716:
5836:"The second generalization of the Hausdorff dimension theorem for random fractals"
5698:
5489:
3908:
3783:
3763:
3689:
3288:
135:
35:
5793:"A generalization of the Hausdorff dimension theorem for deterministic fractals"
5953:
5926:
5907:
3946:
3876:
3749:
3662:
615:
543:
3522:
says the sequence of beth numbers thus defined is the same as the sequence of
5984:
2888:{\displaystyle \kappa _{a}\times \kappa _{b}=\max\{\kappa _{a},\kappa _{b}\}}
1429:
467:
3523:
142:
138:
32:
5060:{\displaystyle \beth _{\alpha +1}(\kappa )=2^{\beth _{\alpha }(\kappa )},}
4300:
the set of all functions from the natural numbers to the natural numbers (
860:{\displaystyle 2^{A_{\alpha }}\subset {\mathcal {P}}(A_{\alpha }\times 2)}
5852:
5835:
5776:
5749:
4854:
4465:
4294:
3849:
3292:
1391:
20:
5819:
5792:
5862:
5485:
3755:
3627:
24:
2950:
will be smaller than most or all of its subsets for any limit ordinal
4473:
4461:
3942:
739:
5809:
5766:
5666:
3981:
3773:
2943:{\displaystyle {\Bigl \{}A_{\alpha }:\alpha <\lambda {\Bigr \}}}
1452:
1189:{\displaystyle \beth _{0},\beth _{1},\beth _{2},\beth _{3},\dots }
107:{\displaystyle \beth _{0},\beth _{1},\beth _{2},\beth _{3},\dots }
4782:
4747:
3787:
3777:
3759:
3213:
is a limit ordinal, even under the second definition presented.
5210:{\displaystyle \beth _{\alpha }=\beth _{\alpha }(\aleph _{0}).}
4469:
5912:
Set Theory with a
Universal Set: Exploring an Untyped Universe
5733:
Millennium ed, rev. and expanded. Corrected 4th printing 2006.
5586:{\displaystyle \beth _{\beta }(\kappa )=\beth _{\beta }(\mu )}
5684:
is implied by the existence of all beths of countable index.
4479:
the power set of the power set of the set of natural numbers
1455:
of the beth numbers for all ordinals strictly smaller than
343:{\displaystyle \beth _{\alpha +1}=2^{\beth _{\alpha }},}
5750:"A classification of elements of function space F(R,R)"
3435:{\displaystyle \beth _{\alpha }\geq \aleph _{\alpha }}
1421:
is the cardinality of the power set of the continuum.
5642:
5622:
5602:
5541:
5518:
5498:
5404:
5381:
5361:
5341:
5293:
5270:
5250:
5230:
5164:
5074:
4999:
4953:
4930:
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4874:
4828:
4791:
4756:
4728:
4706:
4684:
4652:
4630:
4599:
4570:
4536:
4514:
4492:
4435:
4407:
4376:
4345:
4306:
4277:
4255:
4223:
4201:
4177:
4155:
4127:
4105:
4068:
4043:
4021:
3990:
3954:
3916:
3884:
3857:
3811:
3724:
3697:
3670:
3636:
3605:
3572:
3532:
3478:
3448:
3408:
3358:
3328:
3301:
3258:
3225:
3199:
3175:
3136:
3109:
3086:
2978:
2956:
2903:
2826:
2786:
2670:
2648:
2514:
2183:
2149:
1856:
1826:
1677:
1650:
1562:
1484:
1461:
1451:, the corresponding beth number is defined to be the
1437:
1400:
1368:
1341:
1208:
1130:
1096:
979:
937:
900:
873:
807:
775:
748:
704:
651:
624:
600:
552:
526:
479:
452:
432:
357:
300:
256:
221:
201:
151:
120:
48:
5925:
5325:{\displaystyle \kappa \leq \beth _{\alpha }(\mu ).}
1553:One can show that this definition is equivalent to
5654:
5628:
5608:
5585:
5524:
5504:
5473:
5387:
5367:
5347:
5324:
5276:
5256:
5236:
5209:
5139:
5059:
4984:
4936:
4916:
4896:
4841:
4806:
4771:
4736:
4714:
4692:
4660:
4638:
4614:
4585:
4553:
4522:
4500:
4448:
4417:
4391:
4358:
4323:
4285:
4263:
4231:
4209:
4185:
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4135:
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4085:
4051:
4029:
4007:
3969:
3931:
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3865:
3824:
3734:
3705:
3678:
3649:
3618:
3578:
3559:{\displaystyle \beth _{\alpha }=\aleph _{\alpha }}
3558:
3507:
3454:
3434:
3387:
3341:
3314:
3271:
3244:
3205:
3181:
3162:{\displaystyle \beth _{\alpha }:\alpha <\beta }
3161:
3122:
3092:
3072:
2962:
2942:
2887:
2812:
2770:
2656:
2626:
2501:
2169:
2133:
1842:
1810:
1663:
1630:
1542:
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1443:
1413:
1378:
1354:
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1188:
1109:
1082:
957:
918:
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859:
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761:
730:
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637:
606:
583:
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505:
458:
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285:
227:
207:
183:
126:
106:
3065:
3036:
3018:
2989:
2935:
2906:
2763:
2756:
2722:
2694:
2619:
2189:
2126:
1862:
1803:
1683:
1615:
1586:
1532:
1503:
405:
376:
5982:
5879:"Borel Determinacy Does Not Require Replacement"
5097:
3282:
3031:
2853:
2717:
1498:
371:
5636:such that the equality holds for every ordinal
3977:(the set of all subsets of the natural numbers)
2638:This equivalence can be shown by seeing that:
688:{\displaystyle \beth _{\alpha }=|A_{\alpha }|}
184:{\displaystyle \aleph _{0},\aleph _{1},\dots }
5134:
5100:
4985:{\displaystyle \beth _{0}(\kappa )=\kappa ,}
2882:
2856:
913:
901:
4554:{\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }}
4324:{\displaystyle \mathbb {N} ^{\mathbb {N} }}
4086:{\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}
4008:{\displaystyle \mathbb {Z} ^{\mathbb {N} }}
3388:{\displaystyle \beth _{1}\geq \aleph _{1}.}
731:{\displaystyle {\mathcal {P}}(A_{\alpha })}
5833:
5790:
5747:
5596:holds for all sufficiently large ordinals
4944:, is occasionally used. It is defined by:
5949:See pages 6 and 204–205 for beth numbers.
5931:Models and Ultraproducts: An Introduction
5861:
5851:
5818:
5808:
5775:
5765:
4897:{\displaystyle \beth _{\alpha }(\kappa )}
4794:
4759:
4730:
4708:
4686:
4654:
4632:
4602:
4573:
4545:
4539:
4516:
4494:
4315:
4309:
4279:
4257:
4242:the set of finite subsets of real numbers
4225:
4203:
4179:
4157:
4129:
4107:
4077:
4071:
4045:
4023:
3999:
3993:
3961:
3919:
3886:
3859:
3699:
3672:
2750:
2705:
2680:
2650:
2288:
2244:
2213:
2195:
1961:
1917:
1886:
1868:
1782:
1738:
1707:
1689:
1303:
1259:
1228:
1210:
584:{\displaystyle \beth _{0}=|\mathbb {N} |}
572:
528:
5876:
5952:
4476:, or the number of sets of real numbers
4239:with at most countable discontinuities
3508:{\displaystyle \beth _{1}=\aleph _{1}.}
2813:{\displaystyle \kappa _{a},\kappa _{b}}
1090:is the cardinality of the power set of
286:{\displaystyle \beth _{0}=\aleph _{0},}
5983:
5721:(3rd ed.). Springer. p. 55.
4668:with uncountably many discontinuities
4062:the set of sequences of real numbers,
1199:are respectively the cardinalities of
867:denotes the set of all functions from
506:{\displaystyle \beth _{0}=\aleph _{0}}
195:is true, there are numbers indexed by
141:. The beth numbers are related to the
3589:
5743:
5741:
5716:
5676:
4015:, which includes all functions from
2170:{\displaystyle \beth _{\omega ^{2}}}
958:{\displaystyle 2^{\beth _{\alpha }}}
5885:. The University of Texas at Austin
4410:
4383:
3245:{\displaystyle V_{\omega +\alpha }}
2780:for any two non-zero cardinalities
1390:(the cardinality of the set of the
1371:
13:
5655:{\displaystyle \beta \geq \alpha }
5192:
3727:
3607:
3547:
3493:
3423:
3373:
3330:
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5958:Introduction to Modern Set Theory
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4863:
4392:{\displaystyle 2^{\mathfrak {c}}}
1843:{\displaystyle \beth _{2\omega }}
769:(i.e., the set of all subsets of
5962:Virginia Commonwealth University
4842:{\displaystyle \beth _{\omega }}
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3970:{\displaystyle 2^{\mathbb {N} }}
3932:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
3520:generalized continuum hypothesis
3272:{\displaystyle \beth _{\alpha }}
3191:Generalized Continuum Hypothesis
1664:{\displaystyle \beth _{\omega }}
193:generalized continuum hypothesis
5900:
5616:. That is, there is an ordinal
4418:{\displaystyle {\mathfrak {c}}}
3123:{\displaystyle \beth _{\beta }}
1379:{\displaystyle {\mathfrak {c}}}
1335:so that the second beth number
5976:See page 109 for beth numbers.
5877:Leinster, Tom (23 July 2021).
5870:
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3398:Repeating this argument (see
3024:
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3291:, infinite cardinalities are
3283:Relation to the aleph numbers
1394:), and the third beth number
238:
5933:(reprint of 1974 ed.).
5929:; Slomson, Alan B. (2006) .
5335:And in ZF, for any cardinal
4737:{\displaystyle \mathbb {N} }
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4676:Stone–Čech compactifications
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3599:Since this is defined to be
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1388:cardinality of the continuum
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243:Beth numbers are defined by
7:
5834:Soltanifar, Mohsen (2022).
5791:Soltanifar, Mohsen (2021).
5748:Soltanifar, Mohsen (2023).
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5222:Zermelo–Fraenkel set theory
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3315:{\displaystyle \aleph _{0}}
3216:One can also show that the
1110:{\displaystyle A_{\alpha }}
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645:be a set with cardinality
513:is the cardinality of any
42:), conventionally written
31:are a certain sequence of
4746:the set of deterministic
4468:, so it is the number of
4370:) is also referred to as
3904:uncomputable real numbers
3193:); but cannot exist when
5224:(ZF), for any cardinals
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3630:, sets with cardinality
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2963:{\displaystyle \lambda }
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1444:{\displaystyle \lambda }
459:{\displaystyle \lambda }
215:that are not indexed by
16:Infinite Cardinal number
5916:Oxford University Press
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1121:Given this definition,
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5922:is defined on page 5.
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5991:Cardinal numbers
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