7177:
6282:
6287:
5416:
7172:{\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{00}&a_{01}&a_{02}&a_{03}\\a_{10}&a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{20}&a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{30}&a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\-3&3&-2&-1\\2&-2&1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}f(0,0)&f(0,1)&f_{y}(0,0)&f_{y}(0,1)\\f(1,0)&f(1,1)&f_{y}(1,0)&f_{y}(1,1)\\f_{x}(0,0)&f_{x}(0,1)&f_{xy}(0,0)&f_{xy}(0,1)\\f_{x}(1,0)&f_{x}(1,1)&f_{xy}(1,0)&f_{xy}(1,1)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0&-3&2\\0&0&3&-2\\0&1&-2&1\\0&0&-1&1\end{bmatrix}},}
6277:{\displaystyle {\begin{bmatrix}f(0,0)&f(0,1)&f_{y}(0,0)&f_{y}(0,1)\\f(1,0)&f(1,1)&f_{y}(1,0)&f_{y}(1,1)\\f_{x}(0,0)&f_{x}(0,1)&f_{xy}(0,0)&f_{xy}(0,1)\\f_{x}(1,0)&f_{x}(1,1)&f_{xy}(1,0)&f_{xy}(1,1)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\1&1&1&1\\0&1&0&0\\0&1&2&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{00}&a_{01}&a_{02}&a_{03}\\a_{10}&a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{20}&a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{30}&a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1&0&0\\0&1&1&1\\0&1&0&2\\0&1&0&3\end{bmatrix}},}
31:
11282:
202:
213:
140:
7532:
11108:
10404:
7182:
11232:
10493:
10131:
9952:
7527:{\displaystyle p(x,y)={\begin{bmatrix}1&x&x^{2}&x^{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{00}&a_{01}&a_{02}&a_{03}\\a_{10}&a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{20}&a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{30}&a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\y\\y^{2}\\y^{3}\end{bmatrix}}.}
11103:{\displaystyle {\begin{aligned}b_{-1}&=p(t_{x},f_{(-1,-1)},f_{(0,-1)},f_{(1,-1)},f_{(2,-1)}),\\b_{0}&=p(t_{x},f_{(-1,0)},f_{(0,0)},f_{(1,0)},f_{(2,0)}),\\b_{1}&=p(t_{x},f_{(-1,1)},f_{(0,1)},f_{(1,1)},f_{(2,1)}),\\b_{2}&=p(t_{x},f_{(-1,2)},f_{(0,2)},f_{(1,2)},f_{(2,2)}),\end{aligned}}}
10426:
between 0 and 1 for one dimension. Note that for 1-dimensional cubic convolution interpolation 4 sample points are required. For each inquiry two samples are located on its left and two samples on the right. These points are indexed from −1 to 2 in this text. The distance from the point indexed with
9647:
At the edges of the dataset, when one is missing some of the surrounding points, the missing points can be approximated by a number of methods. A simple and common method is to assume that the slope from the existing point to the target point continues without further change, and using this to
8970:
8072:
9663:
10399:{\displaystyle p(t)={\tfrac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&t&t^{2}&t^{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&2&0&0\\-1&0&1&0\\2&-5&4&-1\\-1&3&-3&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}f_{-1}\\f_{0}\\f_{1}\\f_{2}\end{bmatrix}}}
7907:
7760:
2973:
9255:
2558:
2828:
2695:
2038:
1569:
8815:
1055:
7911:
569:
10498:
7764:
7617:
1782:
1432:
2412:
2287:
1901:
1306:
935:
823:
11222:
8820:
2832:
11235:
The lower half of this figure is a magnification of the upper half, showing how the apparent sharpness of the left-hand line is created. Bicubic interpolation causes overshoot, which increases
9130:
9947:{\displaystyle W(x)={\begin{cases}(a+2)|x|^{3}-(a+3)|x|^{2}+1&{\text{for }}|x|\leq 1,\\a|x|^{3}-5a|x|^{2}+8a|x|-4a&{\text{for }}1<|x|<2,\\0&{\text{otherwise}},\end{cases}}}
2699:
2566:
2162:
1656:
1187:
197:'s implementation. Colour indicates function value. The black dots are the locations of the prescribed data being interpolated. Note how the color samples are not radially symmetric.
711:
9656:
Bicubic spline interpolation requires the solution of the linear system described above for each grid cell. An interpolator with similar properties can be obtained by applying a
9026:
3338:
2418:
8790:
3874:
1907:
1438:
5388:
8751:
7582:
3803:
9588:
3832:
8170:
8095:
8190:
5408:
3063:
191:
10126:
10094:
10042:
10007:
9449:
9389:
7612:
3100:
3010:
636:
601:
325:
9642:
9615:
9523:
9476:
9416:
9354:
9323:
9296:
9125:
9053:
8147:
3909:
941:
458:
453:
421:
389:
357:
295:
268:
2064:
10488:
10468:
10445:
10424:
10062:
9972:
9543:
9496:
9093:
9073:
8810:
8115:
1098:
1078:
241:
9264:
If the derivatives are unknown, they are typically approximated from the function values at points neighbouring the corners of the unit square, e.g. using
8965:{\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {x}}&={\frac {x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}},\\{\overline {y}}&={\frac {y-y_{0}}{y_{1}-y_{0}}}\end{aligned}}}
7541:
Often, applications call for bicubic interpolation using data on a rectilinear grid, rather than the unit square. In this case, the identities for
127:(2×2) into account, bicubic interpolation considers 16 pixels (4×4). Images resampled with bicubic interpolation can have different interpolation
11112:
11409:
11341:
8067:{\displaystyle p_{xy}(x,y)=\textstyle \sum \limits _{i=1}^{3}\sum \limits _{j=1}^{3}{\frac {a_{ij}ix^{i-1}jy^{j-1}}{\Delta x\Delta y}},}
1662:
1312:
11424:
2293:
2168:
1788:
1193:
829:
717:
7902:{\displaystyle p_{y}(x,y)=\textstyle \sum \limits _{i=0}^{3}\sum \limits _{j=1}^{3}{\frac {a_{ij}x^{i}jy^{j-1}}{\Delta y}},}
7755:{\displaystyle p_{x}(x,y)=\textstyle \sum \limits _{i=1}^{3}\sum \limits _{j=0}^{3}{\frac {a_{ij}ix^{i-1}y^{j}}{\Delta x}},}
3069:
can then be accomplished by patching together such bicubic surfaces, ensuring that the derivatives match on the boundaries.
74:
11444:
3105:
2075:
11414:
3879:
1575:
1106:
8195:
3343:
11321:
216:
97:
2968:{\displaystyle p_{xy}(x,y)=\textstyle \sum \limits _{i=1}^{3}\sum \limits _{j=1}^{3}a_{ij}ix^{i-1}jy^{j-1}.}
11259:
644:
9250:{\displaystyle p(x,y)=\sum \limits _{i=0}^{3}\sum _{j=0}^{3}a_{ij}{\overline {x}}^{i}{\overline {y}}^{j}.}
2553:{\displaystyle f_{xy}(1,1)=p_{xy}(1,1)=\textstyle \sum \limits _{i=1}^{3}\sum \limits _{j=1}^{3}a_{ij}ij.}
8975:
2823:{\displaystyle p_{y}(x,y)=\textstyle \sum \limits _{i=0}^{3}\sum \limits _{j=1}^{3}a_{ij}x^{i}jy^{j-1},}
2690:{\displaystyle p_{x}(x,y)=\textstyle \sum \limits _{i=1}^{3}\sum \limits _{j=0}^{3}a_{ij}ix^{i-1}y^{j},}
2033:{\displaystyle f_{y}(1,1)=p_{y}(1,1)=\textstyle \sum \limits _{i=0}^{3}\sum \limits _{j=1}^{3}a_{ij}j.}
1564:{\displaystyle f_{x}(1,1)=p_{x}(1,1)=\textstyle \sum \limits _{i=1}^{3}\sum \limits _{j=0}^{3}a_{ij}i,}
208:
on the same dataset as above. Derivatives of the surface are not continuous over the square boundaries.
9391:
for the points to the left and right of the target point and calculate their slope, and similarly for
11439:
8756:
3840:
9687:
11383:
2066:
17:
7544:
10096:
produces third-order convergence with respect to the sampling interval of the original function.
9548:
3065:
that is continuous and has continuous derivatives. Bicubic interpolation on an arbitrarily sized
3808:
11378:
11336:
11305:
205:
93:
8152:
8077:
1050:{\displaystyle f(1,1)=p(1,1)=\textstyle \sum \limits _{i=0}^{3}\sum \limits _{j=0}^{3}a_{ij}.}
11295:
8175:
5393:
3018:
146:
128:
10102:
10070:
10012:
9977:
9424:
9359:
7587:
3075:
2980:
606:
576:
300:
11370:
11331:
11310:
9620:
9593:
9501:
9454:
9394:
9332:
9301:
9274:
9098:
9031:
8120:
426:
394:
362:
330:
273:
246:
119:, bicubic interpolation is often chosen over bilinear or nearest-neighbor interpolation in
8:
11244:
120:
101:
11374:
3805:
the above system of equations can be reformulated into a matrix for the linear equation
2046:
123:, when speed is not an issue. In contrast to bilinear interpolation, which only takes 4
30:
11316:
11287:
11255:
11248:
11243:
The bicubic algorithm is frequently used for scaling images and video for display (see
10473:
10453:
10430:
10409:
10047:
9957:
9528:
9481:
9265:
9078:
9058:
8795:
8100:
1083:
1063:
226:
9590:
for the target point. (Or one can do it in the opposite direction, first calculating
9451:, take the derivative in both axes, one at a time. For example, one can first use the
11281:
11263:
11300:
11388:
116:
59:
dots correspond to the interpolated point and neighbouring samples, respectively.
89:
82:
11361:
R. Keys (1981). "Cubic convolution interpolation for digital image processing".
8212:
3905:
3360:
3122:
11392:
564:{\displaystyle p(x,y)=\sum \limits _{i=0}^{3}\sum _{j=0}^{3}a_{ij}x^{i}y^{j}.}
11433:
193:
consisting of 25 unit squares patched together. Bicubic interpolation as per
78:
11419:
3066:
105:
85:
8172:. In this case, the most practical approach to computing the coefficients
11326:
9657:
9498:
derivatives of the points above and below the target point, then use the
3013:
201:
66:
8812:
as before. Next, the normalized interpolating variables are computed as
212:
139:
88:. The interpolated surface (meaning the kernel shape, not the image) is
194:
573:
The interpolation problem consists of determining the 16 coefficients
455:
of the unit square. The interpolated surface can then be written as
11267:
11236:
11420:
Explanation and Java/C++ implementation of (bi)cubic interpolation
1777:{\displaystyle f_{y}(1,0)=p_{y}(1,0)=a_{01}+a_{11}+a_{21}+a_{31},}
1427:{\displaystyle f_{x}(0,1)=p_{x}(0,1)=a_{10}+a_{11}+a_{12}+a_{13},}
9525:
procedure on those values (rather than, as usual, the values of
2407:{\displaystyle f_{xy}(0,1)=p_{xy}(0,1)=a_{11}+2a_{12}+3a_{13},}
2282:{\displaystyle f_{xy}(1,0)=p_{xy}(1,0)=a_{11}+2a_{21}+3a_{31},}
5413:
There can be another concise matrix form for 16 coefficients:
11363:
IEEE Transactions on
Acoustics, Speech, and Signal Processing
1896:{\displaystyle f_{y}(0,1)=p_{y}(0,1)=a_{01}+2a_{02}+3a_{03},}
1301:{\displaystyle f_{x}(1,0)=p_{x}(1,0)=a_{10}+2a_{20}+3a_{30},}
124:
77:(a method of applying cubic interpolation to a data set) for
11254:
However, due to the negative lobes on the kernel, it causes
11231:
11425:
Excel
Worksheet Function for Bicubic Lagrange Interpolation
9940:
9259:
3837:
Inverting the matrix gives the more useful linear equation
9329:
points in the appropriate axis. For example, to calculate
2563:
The expressions above have used the following identities:
930:{\displaystyle f(0,1)=p(0,1)=a_{00}+a_{01}+a_{02}+a_{03},}
818:{\displaystyle f(1,0)=p(1,0)=a_{00}+a_{10}+a_{20}+a_{30},}
61:
Their heights above the ground correspond to their values.
11217:{\displaystyle p(x,y)=p(t_{y},b_{-1},b_{0},b_{1},b_{2}).}
10128:, we can express the equation in a more friendly manner:
100:. Bicubic interpolation can be accomplished using either
10330:
10215:
10167:
10151:
9648:
calculate a hypothetical value for the missing point.
7946:
7796:
7649:
7472:
7260:
7212:
7059:
6623:
6511:
6296:
6176:
5964:
5864:
5425:
2867:
2731:
2598:
2484:
1967:
1498:
987:
11115:
10496:
10476:
10456:
10433:
10412:
10134:
10105:
10073:
10050:
10015:
9980:
9960:
9666:
9623:
9596:
9551:
9531:
9504:
9484:
9457:
9427:
9397:
9362:
9335:
9304:
9277:
9133:
9101:
9095:
coordinates of the grid points surrounding the point
9081:
9061:
9034:
8978:
8818:
8798:
8759:
8198:
8178:
8155:
8123:
8103:
8080:
7914:
7767:
7620:
7590:
7547:
7185:
6290:
5419:
5396:
3882:
3843:
3811:
3346:
3108:
3078:
3021:
2983:
2835:
2702:
2569:
2421:
2296:
2171:
2078:
2049:
1910:
1791:
1665:
1578:
1441:
1315:
1196:
1109:
1086:
1066:
1060:
Likewise, eight equations for the derivatives in the
944:
832:
720:
647:
609:
579:
461:
429:
397:
365:
333:
303:
276:
249:
229:
149:
11277:
10067:
This approach was proposed by Keys, who showed that
9325:, using that method, find the slope between the two
11247:). It preserves fine detail better than the common
11216:
11102:
10482:
10462:
10439:
10418:
10398:
10120:
10099:If we use the matrix notation for the common case
10088:
10056:
10036:
10001:
9966:
9946:
9636:
9609:
9582:
9537:
9517:
9490:
9470:
9443:
9410:
9383:
9348:
9317:
9290:
9249:
9119:
9087:
9067:
9047:
9020:
8964:
8804:
8784:
8745:
8184:
8164:
8141:
8109:
8089:
8066:
7901:
7754:
7606:
7576:
7526:
7171:
6276:
5402:
5382:
3868:
3826:
3797:
3332:
3094:
3057:
3004:
2967:
2822:
2689:
2552:
2406:
2281:
2156:
2058:
2032:
1895:
1776:
1650:
1563:
1426:
1300:
1181:
1092:
1072:
1049:
929:
817:
705:
630:
595:
563:
447:
415:
383:
351:
319:
289:
262:
235:
185:
109:
11410:Application of interpolation to elevation samples
7536:
11431:
11313:, the one-dimensional analogue of bicubic spline
9651:
638:with the function values yields four equations:
9644:from those. The two give equivalent results.)
2157:{\displaystyle f_{xy}(0,0)=p_{xy}(0,0)=a_{11},}
38:with some 1- and 2-dimensional interpolations.
9660:with the following kernel in both dimensions:
1651:{\displaystyle f_{y}(0,0)=p_{y}(0,0)=a_{01},}
1182:{\displaystyle f_{x}(0,0)=p_{x}(0,0)=a_{10},}
11270:(apparent sharpness), and can be desirable.
11342:Directional Cubic Convolution Interpolation
11226:
9974:is usually set to −0.5 or −0.75. Note that
9271:To find either of the single derivatives,
9127:. Then, the interpolating surface becomes
131:, depending on the b and c values chosen.
11382:
10450:For two dimensions first applied once in
9545:for those points) to obtain the value of
8117:spacing of the cell containing the point
11230:
9260:Finding derivatives from function values
211:
200:
138:
92:than corresponding surfaces obtained by
29:
11360:
27:Extension of cubic spline interpolation
14:
11432:
10427:0 to the inquiry point is denoted by
5410:to be calculated quickly and easily.
706:{\displaystyle f(0,0)=p(0,0)=a_{00},}
143:Bicubic interpolation on the square
11354:
9156:
7969:
7948:
7819:
7798:
7672:
7651:
2890:
2869:
2754:
2733:
2621:
2600:
2507:
2486:
1990:
1969:
1521:
1500:
1010:
989:
484:
24:
9021:{\displaystyle x_{0},x_{1},y_{0},}
8691:
8685:
8649:
8643:
8607:
8601:
8565:
8559:
8526:
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2977:This procedure yields a surface
11262:, and is an artifact (see also
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9421:To find the cross derivative
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9356:for one of the points, find
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7:
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2043:And four equations for the
10:
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11258:(haloing). This can cause
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11227:Use in computer graphics
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