852:
622:
847:{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial u_{t}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial u_{x}}}\right)-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial u_{xx}}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial u}}=0.}
607:
1332:
987:
401:
1114:
1103:
867:
872:
602:{\displaystyle {\mathcal {L}}={\tfrac {1}{2}}\left(u_{t}\right)^{2}+{\tfrac {1}{2}}\left(u_{x}\right)^{2}-{\tfrac {1}{2}}\left(u_{xx}\right)^{2}-{\tfrac {1}{2}}u^{2}+{\tfrac {1}{p+1}}u^{p+1}}
123:
1327:{\displaystyle {\mathcal {H}}(u,v;x,t)={\tfrac {1}{2}}v^{2}-{\tfrac {1}{2}}\left(u_{x}\right)^{2}+{\tfrac {1}{2}}\left(u_{xx}\right)^{2}+{\tfrac {1}{2}}u^{2}-{\tfrac {1}{p+1}}u^{p+1}}
1359:
215:
1395:
175:
290:
245:
322:
351:
1017:
1415:
146:
1750:
1024:
982:{\displaystyle {\begin{aligned}u_{t}&-{\frac {\delta {H}}{\delta v}}=0,\\v_{t}&+{\frac {\delta {H}}{\delta u}}=0,\end{aligned}}}
25:
1731:
1682:
38:
1755:
613:
392:
361:
1340:
380:
368:
180:
1691:
Kudryashov, N.A. (1991), "On types of nonlinear nonintegrable equations with exact solutions",
1364:
154:
993:
257:
220:
1700:
1635:
1585:
1549:
1489:
301:
8:
376:
357:
330:
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1639:
1589:
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29:
1727:
1712:
1678:
1655:
1605:
1576:
Esfahani, A. (2011), "Traveling wave solutions for generalized
Bretherton equation",
354:
1597:
1708:
1670:
1643:
1593:
1557:
1497:
1418:
1626:(1964), "Resonant interactions between waves. The case of discrete oscillations",
1477:
1647:
1744:
1719:
1674:
1662:
324:
1540:
Levandosky, S.P. (1998), "Decay estimates for fourth order wave equations",
1562:
252:
367:
The
Bretherton equation is a model equation for studying weakly-nonlinear
17:
372:
1098:{\displaystyle H(u,v)=\int {\mathcal {H}}(u,v;x,t)\;\mathrm {d} x}
148:
1480:(1993), "Resonant interactions among surface water waves",
1289:
1264:
1221:
1181:
1156:
564:
539:
496:
456:
416:
1403:
1367:
1343:
1117:
1027:
1002:
870:
625:
404:
379:. Bretherton obtained analytic solutions in terms of
333:
304:
260:
223:
183:
157:
134:
41:
1409:
1389:
1353:
1326:
1097:
1011:
981:
846:
601:
345:
316:
284:
239:
209:
169:
140:
117:
1742:
1475:
294:The original equation studied by Bretherton has
371:. It has been used to study the interaction of
118:{\displaystyle u_{tt}+u_{xx}+u_{xxxx}+u=u^{p},}
1669:(2nd ed.), Cambridge University Press,
1535:
1533:
1436:
1434:
386:
1690:
1661:
1622:
1539:
1513:
1463:
1440:
1417:is the total energy of the system, and is
1086:
1561:
1530:
1431:
857:The equation can also be formulated as a
391:The Bretherton equation derives from the
1751:Nonlinear partial differential equations
1575:
1361:the Hamiltonian density – consequently
26:nonlinear partial differential equation
1743:
1718:
1524:
1451:
1578:Communications in Theoretical Physics
1502:10.1146/annurev.fl.25.010193.000415
13:
1346:
1120:
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822:
817:
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685:
660:
653:
648:
632:
628:
407:
14:
1767:
1542:Journal of Differential Equations
1482:Annual Review of Fluid Mechanics
1569:
1518:
1507:
1469:
1457:
1445:
1354:{\displaystyle {\mathcal {H}}}
1149:
1125:
1083:
1059:
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1031:
276:
264:
1:
1615:
1713:10.1016/0375-9601(91)90481-M
353:with two different methods:
7:
1454:, §§5.8, 6.2.9 & 6.4.8)
210:{\displaystyle u_{t},u_{x}}
10:
1772:
1628:Journal of Fluid Mechanics
996:involving the Hamiltonian
1648:10.1017/S0022112064001355
1598:10.1088/0253-6102/55/3/01
381:Jacobi elliptic functions
362:method of multiple scales
1675:10.1017/CBO9780511616938
1424:
1390:{\displaystyle v=u_{t}.}
387:Variational formulations
170:{\displaystyle p\geq 2.}
1756:Exactly solvable models
1464:Drazin & Reid (2004
614:Euler–Lagrange equation
285:{\displaystyle u(x,t).}
1667:Hydrodynamic stability
1563:10.1006/jdeq.1997.3369
1411:
1391:
1355:
1328:
1099:
1013:
994:functional derivatives
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347:
318:
286:
241:
240:{\displaystyle u_{xx}}
211:
171:
142:
119:
1665:; Reid, W.H. (2004),
1412:
1392:
1356:
1329:
1100:
1014:
984:
849:
604:
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319:
287:
242:
212:
172:
143:
120:
1726:, Wiley–VCH Verlag,
1724:Perturbation methods
1401:
1365:
1341:
1115:
1025:
1000:
868:
623:
402:
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317:{\displaystyle p=2.}
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1554:1998JDE...143..360L
1494:1993AnRFM..25...55H
1466:, pp. 393–397)
377:nonlinear resonance
358:averaged Lagrangian
346:{\displaystyle p=3}
249:partial derivatives
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1009:
979:
977:
859:Hamiltonian system
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167:
138:
115:
30:Francis Bretherton
1693:Physics Letters A
1514:Kudryashov (1991)
1441:Bretherton (1964)
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1736:
1715:
1699:(4–5): 269–275,
1687:
1658:
1624:Bretherton, F.P.
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1397:The Hamiltonian
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350:
349:
344:
327:treats the case
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