1321:
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1826:
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1723:
1716:
1620:
1613:
1067:
388:
1833:
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642:
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1627:
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1060:
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1072:
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1751:
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1648:
889:
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6846:
7744:
5723:
4015:
5980:
5006:
3239:
1497:, can be grouped in those with tetrahedral, octahedral and icosahedral symmetry. For both octahedral and icosahedral symmetry there are six forms. The only Catalan solid with genuine tetrahedral symmetry is the
2659:
2019:
3746:
7628:
7016:
6949:
4725:
2568:
7163:
6360:
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6254:
6201:
2495:
7110:
7063:
5465:
4058:
5538:
5144:
5073:
7784:
6051:
7524:{\displaystyle \cos \alpha _{p,q}={\frac {l^{2}}{4}}{\frac {\cot(\pi /p)\cot(\pi /q)}{r_{m}^{2}}}-{\frac {r_{i,p}r_{i,q}}{r_{m}^{2}}}={\frac {l_{p}l_{q}-r_{m}^{2}}{r_{c,p}r_{c,q}}}}
2804:
6101:
6148:
5199:
3638:
3582:
2394:
2338:
2282:
6742:
5377:
7566:
7199:
6592:
6882:
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3231:
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1915:
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6643:
6562:
6471:
6407:
5786:
5565:
5418:
5276:
5226:
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4563:
4512:
4488:
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4345:
4321:
4293:
4269:
2974:
5871:
5618:
5498:
4654:
2740:
2043:
1868:
6619:
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4464:
2994:
2890:
5302:
5252:
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3891:
3857:
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2916:
2864:
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7239:
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6683:
6663:
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4634:
4409:
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2137:
2117:
1888:
3104:
8155:
3003:
2147:
Of the 13 Catalan solids, 7 have triangular faces. These are of the form Vp.q.r, where p, q and r take their values among 3, 4, 5, 6, 8 and 10. The angles
4734:
3206:
Of the 13 Catalan solids, 4 have quadrilateral faces. These are of the form Vp.q.p.r, where p, q and r take their values among 3, 4, and 5. The angle
6750:
7677:
5626:
3948:
3463:{\displaystyle \cos(\alpha _{p})={\frac {2\cos ^{2}(\pi /p)-\cos ^{2}(\pi /q)-\cos ^{2}(\pi /r)}{2\cos ^{2}(\pi /p)+2\cos(\pi /q)\cos(\pi /r)}}}
5879:
7978:
4935:
2575:
1923:
8148:
3643:
7571:
6954:
6887:
1521:
instead of
Archimedean, so their duals are Platonic instead of Catalan. (They are shown with brown background in the table below.)
7932:
4662:
8004:
8141:
1320:
1234:
8121:
7647:
2507:
1404:
900:
725:
895:
7670:
with equal dihedral angles as well, because they can be derived from the constant dihedral angle property only. For the
4025:
Of the 13 Catalan solids, 2 have pentagonal faces. These are of the form Vp.p.p.p.q, where p=3, and q=4 or 5. The angle
1409:
7115:
6312:
6259:
6206:
6153:
2402:
811:
8054:
8034:
7838:
7068:
7021:
5423:
4231:{\displaystyle 8\cos ^{2}(\pi /p)\cos ^{3}(\alpha _{p})-8\cos ^{2}(\pi /p)\cos ^{2}(\alpha _{p})+\cos ^{2}(\pi /q)=0}
111:
The solids above (dark) shown together with their duals (light). The visible parts of the
Catalan solids are regular
223:
5503:
5078:
1150:
5015:
1066:
730:
387:
17:
7749:
5989:
641:
180:. This is because the dual Archimedean solids are vertex-transitive and not face-transitive. Note that unlike
1325:
1239:
2748:
980:
6056:
8115:
6106:
5149:
3587:
3531:
2343:
2287:
2231:
8354:
8295:
6688:
1284:
985:
852:
557:
257:
66:
471:
276:. Not counting the enantiomorphs, bipyramids, and trapezohedra, there are a total of 13 Catalan solids.
8384:
8344:
8022:
7996:
7805:
5339:
3864:
1361:
816:
682:
294:
261:
8379:
8374:
2811:
1277:
1191:
1155:
70:
7671:
7538:
7171:
1514:
476:
6567:
8557:
8485:
8480:
8359:
8265:
7799:
6855:
6496:
5811:
5732:
4028:
3805:
3778:
3751:
3504:
3477:
3209:
2695:
2668:
2204:
2177:
2150:
2075:
2048:
1893:
1071:
937:
775:
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392:
253:
227:
219:
8349:
8290:
8280:
8225:
7244:
6624:
6543:
6452:
6388:
5767:
5546:
5382:
5257:
5207:
4595:
4544:
4493:
4469:
4418:
4350:
4326:
4302:
4274:
4250:
2947:
1198:
1030:
768:
562:
283:: a copy of the solid, of the same or larger shape, can be passed through a hole in the solid.
8369:
8285:
8240:
8188:
7786:. This is not surprising: it is possible to cut off both apexes in such a way as to obtain a
5843:
5590:
5470:
4639:
2725:
2028:
1853:
1502:
1114:
1107:
351:
8329:
8255:
8203:
8014:
7942:
7787:
6597:
5307:
4568:
4517:
4442:
2979:
1739:
1525:
1506:
605:
428:
215:
126:
4921:{\displaystyle r_{i}^{2}={\frac {l^{2}}{8}}{\frac {(1-\cos \theta )^{2}}{1+\cos \theta }}}
2869:
8:
8495:
8364:
8339:
8324:
8260:
8208:
5281:
5231:
3922:
3896:
3870:
3836:
3191:{\displaystyle \cos(\theta )={\frac {-10-7\phi }{14+5\phi }}={\frac {-48\phi -155}{241}}}
2921:
2895:
2843:
2817:
1825:
1818:
1636:
1510:
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598:
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62:
53:
8562:
8510:
8475:
8334:
8229:
8178:
7967:
7847:
7224:
7204:
6668:
6648:
6523:
6476:
6432:
6412:
6368:
5791:
5570:
4619:
4394:
4374:
2122:
2102:
1873:
1722:
1715:
1619:
1612:
1494:
1119:
1035:
610:
526:
514:
356:
304:
130:
112:
102:
3094:{\displaystyle \cos(\alpha _{4})={\frac {2-\phi }{6(2+\phi )}}={\frac {7-4\phi }{30}}}
1832:
8490:
8300:
8275:
8219:
8092:
8073:
8050:
8030:
8000:
7971:
7811:
7643:
1513:
have octahedral symmetry, but they can be colored to have only tetrahedral symmetry.
1457:
1368:
944:
299:
269:
185:
177:
154:
7918:
4814:{\displaystyle r_{m}^{2}={\frac {l^{2}}{4}}{\frac {1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}}
1778:
1771:
1729:
1626:
162:
44:
8429:
7988:
7959:
7857:
4347:
is an
Archimedean solid with the same midsphere. Denote the length of the edges of
1811:
1804:
1605:
1598:
1289:
780:
234:
121:
35:
8076:
7861:
1708:
1675:
1668:
1568:
1561:
93:
8010:
7938:
7659:
3830:
1847:
1785:
1203:
694:
280:
211:
192:
173:
169:
150:
84:
8250:
8173:
8095:
6841:{\displaystyle l_{p}={\frac {l}{2}}{\frac {\cos(\pi /p)}{\sin(\alpha _{p}/2)}}}
2720:
1682:
1575:
1518:
521:
337:
200:
181:
7963:
1764:
1757:
1701:
1554:
1547:
540:
8551:
8455:
8245:
8109:
7816:
7639:
5278:
is a rhombic dodecahedron. Applying the formula for quadrilateral faces with
1661:
1654:
550:
435:
273:
246:
196:
8127:
1797:
1397:
1392:
1387:
1313:
1308:
1303:
1133:
1049:
249:
are generally not considered
Catalan solids, despite being face-transitive.
7928:
7667:
2997:
1694:
1591:
1227:
1222:
1217:
1143:
1138:
1059:
1054:
7739:{\displaystyle \cos(\alpha _{3})={\frac {1}{4}}-{\frac {1}{4}}{\sqrt {5}}}
5718:{\displaystyle r_{c,p}^{2}=r_{i}^{2}+{\frac {2r^{2}}{1-\cos \alpha _{p}}}}
4010:{\displaystyle \cos(\alpha _{4})={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}{\sqrt {2}}}
1468:
973:
968:
545:
375:
370:
7952:
International
Journal of Mathematical Education in Science and Technology
5975:{\displaystyle r_{i,p}^{2}=r_{m}^{2}-{\frac {l^{2}}{4}}\cot ^{2}(\pi /p)}
3802:
can be found by applying the formulas for the triangular case. The angle
963:
138:
8027:
The
Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design
8520:
8408:
8198:
8165:
7663:
5001:{\displaystyle r_{c}^{2}={\frac {l^{2}}{2}}{\frac {1}{1+\cos \theta }}}
1750:
380:
238:
8515:
8505:
8450:
8434:
8270:
8100:
8081:
4296:
1647:
1461:
859:
265:
242:
8061:
Chapter 4: Duals of the
Archimedean polyhedra, prisma and antiprisms
888:
883:
878:
804:
794:
708:
624:
8401:
8133:
7852:
4412:
2654:{\displaystyle \sin(\alpha _{p}/2)={\frac {-a+b+c}{2{\sqrt {bc}}}}}
1373:
864:
718:
634:
204:
7802:
Shows dual uniform polygonal tilings similar to the
Catalan solids
3528:
and the dihedral angle can be easily computed. Alternatively, put
464:
8525:
8500:
7875:
7836:
Fredriksson, Albin (2024), "Optimizing for the Rupert property",
1540:
1478:
949:
799:
454:
440:
158:
2014:{\displaystyle \sin(\theta /2)=\cos(\pi /p)/\cos(\alpha _{p}/2)}
713:
629:
7535:
Finishing the rhombic dodecahedron example, the dihedral angle
3860:
459:
3741:{\displaystyle c=4\cos ^{2}(\pi /p)+4\cos(\pi /q)\cos(\pi /r)}
1378:
1294:
1208:
1124:
1040:
954:
869:
785:
699:
615:
531:
445:
361:
7623:{\displaystyle \cos \alpha _{3,4}=-{\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}}
7011:{\displaystyle \sin(\alpha _{4}/2)={\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}}
6944:{\displaystyle \sin(\alpha _{3}/2)={\frac {1}{3}}{\sqrt {6}}}
7638:
The face of any
Catalan polyhedron may be obtained from the
1517:
and snub also exist with tetrahedral symmetry, but they are
8193:
8018:(The thirteen semiregular convex polyhedra and their duals)
7950:
Gailiunas, P.; Sharp, J. (2005), "Duality of polyhedra",
286:
4720:{\displaystyle r^{2}={\frac {l^{2}}{8}}(1-\cos \theta )}
157:. There are 13 Catalan solids. They are named after the
8071:
8049:. California: University of California Press Berkeley.
7112:, so the edges of the rhombic dodecahedron have length
1850:
of a
Catalan solid are equal. Denoting their value by
1460:
duals, all shown with the same edge length. Sorted by
199:
of Catalan solids are regular, and they have constant
8128:
Download link for Catalan's original 1865 publication
7752:
7680:
7574:
7541:
7274:
7247:
7227:
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7174:
7118:
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7024:
6957:
6890:
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6651:
6627:
6600:
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6156:
6109:
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5992:
5882:
5846:
5814:
5794:
5770:
5764:
Dually, there is a sphere which touches all faces of
5735:
5629:
5593:
5573:
5549:
5506:
5473:
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3808:
3781:
3754:
3646:
3590:
3534:
3507:
3480:
3242:
3212:
3107:
3006:
2982:
2950:
2924:
2898:
2872:
2846:
2820:
2751:
2728:
2698:
2671:
2578:
2510:
2405:
2346:
2290:
2234:
2207:
2180:
2153:
2125:
2105:
2078:
2051:
2031:
1926:
1896:
1876:
1856:
4052:
can be computed by solving a degree three equation:
2563:{\displaystyle \cos(\alpha _{p})={\frac {S}{2bc}}-1}
1870:, and denoting the face angle at the vertices where
3829:can be computed similarly of course. The faces are
8090:
7778:
7738:
7622:
7560:
7523:
7257:
7233:
7213:
7193:
7157:
7104:
7057:
7010:
6943:
6876:
6840:
6736:
6677:
6657:
6637:
6613:
6586:
6556:
6532:
6512:
6485:
6465:
6441:
6421:
6401:
6377:
6354:
6301:
6248:
6195:
6142:
6095:
6045:
5974:
5865:
5832:
5800:
5780:
5753:
5717:
5612:
5579:
5559:
5532:
5492:
5459:
5412:
5371:
5328:
5296:
5270:
5246:
5220:
5193:
5138:
5067:
5000:
4920:
4813:
4719:
4648:
4628:
4608:
4584:
4557:
4533:
4506:
4482:
4458:
4431:
4403:
4383:
4363:
4339:
4315:
4287:
4263:
4230:
4044:
4009:
3937:
3911:
3885:
3851:
3821:
3794:
3767:
3740:
3632:
3576:
3520:
3493:
3462:
3225:
3190:
3093:
2988:
2968:
2936:
2910:
2884:
2858:
2832:
2798:
2734:
2711:
2684:
2653:
2562:
2489:
2388:
2332:
2276:
2220:
2193:
2166:
2131:
2111:
2091:
2064:
2037:
2013:
1909:
1882:
1862:
1474:All faces of Catalan solids, same scale as above:
7658:All of the formulae of this section apply to the
7158:{\displaystyle l_{3,4}={\frac {3}{8}}{\sqrt {6}}}
6355:{\displaystyle r_{i,4}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}}
6302:{\displaystyle r_{i,3}={\frac {1}{3}}{\sqrt {6}}}
6249:{\displaystyle r_{c,4}={\frac {3}{4}}{\sqrt {2}}}
6196:{\displaystyle r_{c,3}={\frac {3}{8}}{\sqrt {6}}}
241:are generally not considered Archimedean solids,
8549:
7924:J. l'École Polytechnique (Paris) 41, 1-71, 1865.
2490:{\displaystyle S=-a^{2}-b^{2}-c^{2}+2ab+2bc+2ca}
7105:{\displaystyle l_{4}={\frac {1}{4}}{\sqrt {6}}}
7058:{\displaystyle l_{3}={\frac {1}{8}}{\sqrt {6}}}
5460:{\displaystyle r_{m}={\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}}
7949:
7653:
8149:
27:13 polyhedra; duals of the Archimedean solids
8044:
7927:
7898:
4616:. Then these quantities can be expressed in
210:Additionally, two of the Catalan solids are
203:. Being face-transitive, Catalan solids are
7835:
7674:, for example, with faces V3.3.5.3, we get
5533:{\displaystyle r={\frac {1}{4}}{\sqrt {3}}}
5139:{\displaystyle r_{c}^{2}=r_{m}^{2}+l^{2}/4}
2719:the expressions are similar of course. The
8156:
8142:
8130:– with beautiful figures, PDF format
3233:can be computed by the following formula:
2228:can be computed in the following way. Put
1493:The Catalan solids, along with their dual
7987:
7937:(2nd ed.), Oxford: Clarendon Press,
7902:
7851:
5068:{\displaystyle r_{m}^{2}=r_{i}^{2}+r^{2}}
279:Eleven of the 13 Catalan solids have the
8021:
7779:{\displaystyle \alpha _{3}=108^{\circ }}
6046:{\displaystyle r_{i,p}r_{c,p}=r_{m}^{2}}
120:
14:
8550:
6744:. These quantities can be computed by
3201:
2799:{\displaystyle \cos(\theta )=1-2abc/S}
287:List of Catalan solids and their duals
8137:
8091:
8072:
7922:Mémoire sur la Théorie des Polyèdres.
7873:
6096:{\displaystyle \cos \alpha _{3}=-1/3}
3863:. Applying this, for example, to the
8163:
8118:– at Virtual Reality Polyhedra
6143:{\displaystyle \cos \alpha _{4}=1/3}
5228:be a cuboctahedron with edge length
5194:{\displaystyle r_{i}r_{c}=r_{m}^{2}}
4242:
3633:{\displaystyle b=4\cos ^{2}(\pi /q)}
3577:{\displaystyle a=4\cos ^{2}(\pi /p)}
2389:{\displaystyle c=4\cos ^{2}(\pi /r)}
2333:{\displaystyle b=4\cos ^{2}(\pi /q)}
2277:{\displaystyle a=4\cos ^{2}(\pi /p)}
165:, who first described them in 1865.
7829:
6737:{\displaystyle l_{p,q}=l_{p}+l_{q}}
4020:
2810:Applying this, for example, to the
2142:
24:
6579:
6505:
188:, the faces of Catalan solids are
25:
8574:
8065:
7839:The American Mathematical Monthly
7808:A notational construction process
7568:of the cuboctahedron is given by
5372:{\displaystyle \cos \theta =-1/2}
7250:
6884:. Continuing the above example:
6630:
6549:
6458:
6394:
6053:. Continuing the above example:
5773:
5552:
5263:
5213:
5012:These quantities are related by
4601:
4550:
4499:
4475:
4424:
4356:
4332:
4308:
4295:be the dual with respect to the
4280:
4256:
1831:
1824:
1817:
1810:
1803:
1796:
1784:
1777:
1770:
1763:
1756:
1749:
1728:
1721:
1714:
1707:
1700:
1693:
1681:
1674:
1667:
1660:
1653:
1646:
1625:
1618:
1611:
1604:
1597:
1590:
1574:
1567:
1560:
1553:
1546:
1539:
1477:
1467:
1408:
1403:
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1391:
1386:
1377:
1324:
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1302:
1293:
1238:
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1221:
1216:
1207:
1154:
1149:
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1137:
1132:
1123:
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1058:
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1039:
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894:
887:
882:
877:
868:
815:
810:
803:
798:
793:
784:
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561:
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530:
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458:
453:
444:
391:
386:
379:
374:
369:
360:
101:
92:
83:
52:
43:
34:
7633:
5986:These two radii are related by
7892:
7867:
7700:
7687:
7363:
7349:
7340:
7326:
6985:
6964:
6918:
6897:
6832:
6811:
6800:
6786:
5969:
5955:
5840:) in their center. The radius
4889:
4870:
4714:
4696:
4219:
4205:
4186:
4173:
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4078:
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3958:
3735:
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3712:
3698:
3683:
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3613:
3571:
3557:
3454:
3440:
3431:
3417:
3402:
3388:
3367:
3353:
3334:
3320:
3301:
3287:
3262:
3249:
3120:
3114:
3061:
3049:
3026:
3013:
2764:
2758:
2606:
2585:
2530:
2517:
2383:
2369:
2327:
2313:
2271:
2257:
2008:
1987:
1973:
1959:
1947:
1933:
252:Two of the Catalan solids are
13:
1:
7912:
7862:10.1080/00029890.2023.2285200
7561:{\displaystyle \alpha _{3,4}}
7194:{\displaystyle \alpha _{p,q}}
8536:Degenerate polyhedra are in
8047:Polyhedra: A visual approach
6587:{\displaystyle PP^{\prime }}
5587:lie on a sphere with radius
2025:This can be used to compute
1449:
1359:
1275:
1189:
1105:
1021:
935:
850:
766:
680:
596:
512:
426:
342:
7:
8355:pentagonal icositetrahedron
8296:truncated icosidodecahedron
8112:– at Visual Polyhedra
8029:. Dover Publications, Inc.
7982:Shapes, Space, and Symmetry
7793:
7654:Application to other solids
6877:{\displaystyle q,r,\ldots }
6513:{\displaystyle P^{\prime }}
5873:of this sphere is given by
5833:{\displaystyle q,r,\ldots }
5754:{\displaystyle q,r,\ldots }
4045:{\displaystyle \alpha _{p}}
3822:{\displaystyle \alpha _{r}}
3795:{\displaystyle \alpha _{q}}
3768:{\displaystyle \alpha _{p}}
3521:{\displaystyle \alpha _{r}}
3494:{\displaystyle \alpha _{q}}
3226:{\displaystyle \alpha _{p}}
2712:{\displaystyle \alpha _{r}}
2685:{\displaystyle \alpha _{q}}
2221:{\displaystyle \alpha _{r}}
2194:{\displaystyle \alpha _{q}}
2167:{\displaystyle \alpha _{p}}
2092:{\displaystyle \alpha _{q}}
2065:{\displaystyle \alpha _{p}}
1910:{\displaystyle \alpha _{p}}
1841:
1488:
1285:truncated icosidodecahedron
853:pentagonal icositetrahedron
258:pentagonal icositetrahedron
168:The Catalan solids are all
67:pentagonal icositetrahedron
10:
8579:
8385:pentagonal hexecontahedron
8345:deltoidal icositetrahedron
7997:Cambridge University Press
7899:Cundy & Rollett (1961)
7806:Conway polyhedron notation
3865:deltoidal icositetrahedron
1362:pentagonal hexecontahedron
683:deltoidal icositetrahedron
262:pentagonal hexecontahedron
149:, is a polyhedron that is
8534:
8468:
8443:
8425:
8418:
8393:
8380:disdyakis triacontahedron
8375:deltoidal hexecontahedron
8309:
8217:
8172:
8122:Interactive Catalan Solid
7964:10.1080/00207390500064049
7931:; Rollett, A. P. (1961),
7258:{\displaystyle {\bf {A}}}
6645:joining vertices of type
6638:{\displaystyle {\bf {C}}}
6557:{\displaystyle {\bf {C}}}
6540:touches the midsphere of
6520:the point where the edge
6466:{\displaystyle {\bf {C}}}
6402:{\displaystyle {\bf {C}}}
5808:-gons (and similarly for
5781:{\displaystyle {\bf {A}}}
5560:{\displaystyle {\bf {C}}}
5413:{\displaystyle r_{i}=3/4}
5271:{\displaystyle {\bf {C}}}
5221:{\displaystyle {\bf {A}}}
4609:{\displaystyle {\bf {A}}}
4558:{\displaystyle {\bf {C}}}
4507:{\displaystyle {\bf {A}}}
4483:{\displaystyle {\bf {C}}}
4432:{\displaystyle {\bf {C}}}
4364:{\displaystyle {\bf {A}}}
4340:{\displaystyle {\bf {A}}}
4316:{\displaystyle {\bf {C}}}
4288:{\displaystyle {\bf {A}}}
4264:{\displaystyle {\bf {C}}}
2969:{\displaystyle c=\phi +2}
2812:disdyakis triacontahedron
1278:disdyakis triacontahedron
1192:deltoidal hexecontahedron
272:. These each come in two
71:disdyakis triacontahedron
7984:. New York: Dover, 1991.
7822:
7672:pentagonal trapezohedron
7648:Dorman Luke construction
8486:gyroelongated bipyramid
8360:rhombic triacontahedron
8266:truncated cuboctahedron
7800:List of uniform tilings
5866:{\displaystyle r_{i,p}}
5613:{\displaystyle r_{c,p}}
5493:{\displaystyle r_{c}=1}
4649:{\displaystyle \theta }
4636:and the dihedral angle
2735:{\displaystyle \theta }
2038:{\displaystyle \theta }
1863:{\displaystyle \theta }
938:rhombic triacontahedron
776:truncated cuboctahedron
220:rhombic triacontahedron
8481:truncated trapezohedra
8350:disdyakis dodecahedron
8316:(duals of Archimedean)
8291:rhombicosidodecahedron
8281:truncated dodecahedron
7780:
7740:
7624:
7562:
7525:
7259:
7235:
7215:
7195:
7159:
7106:
7059:
7012:
6945:
6878:
6842:
6738:
6679:
6659:
6639:
6615:
6588:
6564:, denote the distance
6558:
6534:
6514:
6487:
6467:
6443:
6423:
6403:
6379:
6356:
6303:
6250:
6197:
6144:
6097:
6047:
5976:
5867:
5834:
5802:
5782:
5755:
5719:
5614:
5581:
5561:
5534:
5494:
5461:
5414:
5373:
5330:
5298:
5272:
5248:
5222:
5195:
5140:
5069:
5002:
4922:
4815:
4721:
4650:
4630:
4610:
4586:
4559:
4535:
4508:
4484:
4460:
4433:
4405:
4385:
4365:
4341:
4317:
4289:
4265:
4232:
4046:
4011:
3939:
3913:
3887:
3853:
3823:
3796:
3769:
3742:
3634:
3578:
3522:
3495:
3464:
3227:
3192:
3095:
2990:
2970:
2938:
2912:
2886:
2860:
2834:
2800:
2736:
2713:
2686:
2655:
2564:
2491:
2390:
2334:
2278:
2222:
2195:
2168:
2133:
2113:
2093:
2066:
2039:
2015:
1911:
1884:
1864:
1199:rhombicosidodecahedron
1031:truncated dodecahedron
769:disdyakis dodecahedron
134:
8370:pentakis dodecahedron
8286:truncated icosahedron
8241:truncated tetrahedron
8045:Anthony Pugh (1976).
7880:mathworld.wolfram.com
7781:
7741:
7625:
7563:
7526:
7260:
7236:
7216:
7196:
7160:
7107:
7060:
7013:
6946:
6879:
6843:
6739:
6680:
6660:
6640:
6616:
6614:{\displaystyle l_{p}}
6589:
6559:
6535:
6515:
6488:
6468:
6444:
6424:
6404:
6380:
6357:
6304:
6251:
6198:
6145:
6098:
6048:
5977:
5868:
5835:
5803:
5783:
5756:
5720:
5615:
5582:
5562:
5535:
5495:
5462:
5415:
5374:
5331:
5329:{\displaystyle q=r=3}
5299:
5273:
5249:
5223:
5196:
5141:
5070:
5003:
4923:
4816:
4722:
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