3171:
2601:
3166:{\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta (p_{k})&\geq k\left(\log k+\log \log k-1+{\frac {\log \log k-2.050735}{\log k}}\right)&&{\text{for }}k\geq 10^{11},\\\vartheta (p_{k})&\leq k\left(\log k+\log \log k-1+{\frac {\log \log k-2}{\log k}}\right)&&{\text{for }}k\geq 198,\\|\vartheta (x)-x|&\leq 0.006788\,{\frac {x}{\log x}}&&{\text{for }}x\geq 10\,544\,111,\\|\psi (x)-x|&\leq 0.006409\,{\frac {x}{\log x}}&&{\text{for }}x\geq e^{22},\\0.9999{\sqrt {x}}&<\psi (x)-\vartheta (x)<1.00007{\sqrt {x}}+1.78{\sqrt{x}}&&{\text{for }}x\geq 121.\end{aligned}}}
2527:
5553:
161:
69:
112:
4030:
2212:
5072:
3360:
3763:
539:
2522:{\displaystyle {\begin{aligned}0\leq \psi (x)-\vartheta (x)&\leq \sum _{2\leq n\leq \log _{2}x}x^{1/n}\log(x^{1/n})\\&\leq (\log _{2}x){\sqrt {x}}\log {\sqrt {x}}\\&={\frac {\log x}{\log 2}}{\frac {\sqrt {x}}{2}}\log x\\&={\frac {{\sqrt {x}}\,(\log x)^{2}}{2\log 2}}.\end{aligned}}}
4821:
3699:
5217:
1309:
1692:
3186:
3477:
1798:
4195:
4025:{\displaystyle \psi _{0}(x)={\frac {1}{2}}\!\left(\sum _{n\leq x}\Lambda (n)+\sum _{n<x}\Lambda (n)\right)={\begin{cases}\psi (x)-{\tfrac {1}{2}}\Lambda (x)&x=2,3,4,5,7,8,9,11,13,16,\dots \\\psi (x)&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}}
4675:
5452:
2094:
1187:
374:
5542:
2606:
4536:
4810:
5067:{\displaystyle \Pi (x)=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)\int _{n}^{x}{\frac {dt}{t\log ^{2}t}}+{\frac {1}{\log x}}\sum _{n\leq x}\Lambda (n)=\int _{2}^{x}{\frac {\psi (t)\,dt}{t\log ^{2}t}}+{\frac {\psi (x)}{\log x}}.}
1973:
2201:
974:
1398:
5308:
3543:
4440:
5095:
5667:
709:
5729:
1198:
3408:
3191:
2217:
304:
1051:
1574:
4364:
4303:
3355:{\displaystyle {\begin{aligned}|\vartheta (x)-x|&=O{\Big (}x^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }{\Big )}\\|\psi (x)-x|&=O{\Big (}x^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }{\Big )}\end{aligned}}}
1534:
1496:
818:
3403:
1875:
1707:
4078:
2126:
1838:
197:
148:
850:
4567:
99:
5369:
1981:
1566:
763:
327:
534:{\displaystyle \psi (x)=\sum _{k\in \mathbb {N} }\sum _{p^{k}\leq x}\log p=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)=\sum _{p\leq x}\left\lfloor \log _{p}x\right\rfloor \log p,}
2550:
732:
1104:
5463:
5768:
4458:
5769:"An improved MOEA/D algorithm for bi-objective optimization problems with complex Pareto fronts and its application to structural optimization"
5820:
5937:
G .H. Hardy and J. E. Littlewood, "Contributions to the Theory of the
Riemann Zeta-Function and the Theory of the Distribution of Primes",
4735:
1890:
2134:
855:
1328:
3694:{\displaystyle \psi _{0}(x)=x-\sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-{\frac {\zeta '(0)}{\zeta (0)}}-{\tfrac {1}{2}}\log(1-x^{-2}).}
3494:
1417:
1090:
5242:
5212:{\displaystyle \Pi (x)=\pi (x)+{\tfrac {1}{2}}\pi \left({\sqrt {x}}\,\right)+{\tfrac {1}{3}}\pi \left({\sqrt{x}}\,\right)+\cdots }
17:
4383:
5992:
5596:
1304:{\displaystyle \vartheta {\big (}x^{\frac {1}{n}}{\big )}=0\quad {\text{for}}\quad n>\log _{2}x={\frac {\log x}{\log 2}}.}
618:
5675:
252:
1687:{\displaystyle 0\leq {\frac {\psi (x)}{x}}-{\frac {\vartheta (x)}{x}}\leq {\frac {(\log x)^{2}}{2{\sqrt {x}}\log 2}}.}
5966:
996:
3511:
4318:
4257:
5750:
1501:
3515:
612:
is used when one has several functions to be minimized and one wants to "scalarize" them to a single function:
6086:
3877:
1463:
4228:
of the zeta function at 1. It being a pole rather than a zero accounts for the opposite sign of the term.
3472:{\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta (x)&<1.000028x\\\psi (x)&<1.03883x\end{aligned}}}
1793:{\displaystyle \lim _{x\to \infty }\!\left({\frac {\psi (x)}{x}}-{\frac {\vartheta (x)}{x}}\right)\!=0.}
768:
4190:{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {x^{-2k}}{-2k}}={\tfrac {1}{2}}\log \left(1-x^{-2}\right).}
5883:", Rapport de recherche no. 1998-06, Université de Limoges. An abbreviated version appeared as "The
1843:
2102:
1698:
5082:
4670:{\displaystyle \vartheta (x)=\sum _{p\leq x}\log p=\log \prod _{p\leq x}p=\log \left(x\#\right).}
4225:
572:
5447:{\displaystyle \sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}=O\!\left({\sqrt {x}}\,\log ^{2}x\right).}
1806:
167:
118:
2089:{\displaystyle 0\leq \psi (x)-\vartheta (x)=\sum _{2\leq n\leq \log _{2}x}\vartheta (x^{1/n}).}
823:
5957:
75:
3534:
1315:
549:
3757:(the prime powers) it takes the value halfway between the values to the left and the right:
1545:
6002:
741:
595:
312:
6010:
8:
1878:
1182:{\displaystyle \psi (x)=\sum _{n=1}^{\infty }\vartheta {\big (}x^{\frac {1}{n}}{\big )}.}
6028:
4729:
The
Chebyshev function can be related to the prime-counting function as follows. Define
5847:
5323:
5319:
3754:
3530:
3177:
2535:
717:
564:
990:
The second
Chebyshev function can be seen to be related to the first by writing it as
6025:
5988:
5962:
5816:
5812:
4040:
979:
330:
38:
4709:) and together with the prime number theorem establishes the asymptotic behavior of
6043:
6006:
5952:
5779:
5537:{\displaystyle \pi (x)=\operatorname {li} (x)+O\!\left({\sqrt {x}}\,\log x\right).}
4449:
29:
This article uses technical mathematical notation for logarithms. All instances of
6070:
5998:
5236:, so for the sake of approximation, this last relation can be recast in the form
5980:
5783:
4702:
4370:
4245:
4237:
2560:
The following bounds are known for the
Chebyshev functions: (in these formulas
6080:
5843:
4036:
6057:
5987:, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag,
4043:, the last term in the explicit formula can be understood as a summation of
5751:"Multiobjective Optimization Concepts, Algorithms and Performance Measures"
4531:{\displaystyle \psi (x)-x\neq o\left({\sqrt {x}}\,\log \log \log x\right).}
738:, even in the nonconvex parts. Often the functions to be minimized are not
735:
568:
334:
5922:
Erhard
Schmidt, "Über die Anzahl der Primzahlen unter gegebener Grenze",
4445:
362:
210:
6062:
6048:
6033:
5327:
4805:{\displaystyle \Pi (x)=\sum _{n\leq x}{\frac {\Lambda (n)}{\log n}}.}
4547:
1968:{\displaystyle \psi (x)=\sum _{n\leq \log _{2}x}\vartheta (x^{1/n})}
5552:
2196:{\displaystyle \vartheta (x)\leq \sum _{p\leq x}\log x\leq x\log x}
5851:
1192:
This last sum has only a finite number of non-vanishing terms, as
571:, because it is typically simpler to work with them than with the
1457:
1061:
969:{\displaystyle f_{Tchb}(x,w)=\max _{i}w_{i}|f_{i}(x)-z_{i}^{*}|.}
1393:{\displaystyle \operatorname {lcm} (1,2,\dots ,n)=e^{\psi (n)}.}
160:
68:
6023:
5303:{\displaystyle \pi (x)=\Pi (x)+O\left({\sqrt {x}}\,\right).}
111:
5767:
Ho-Huu, V.; Hartjes, S.; Visser, H. G.; Curran, R. (2018).
4435:{\displaystyle \psi (x)-x\neq o\left({\sqrt {x}}\,\right).}
4018:
3498:
1421:
1094:
5846:, "Estimates of some functions over primes without R.H.".
5821:"Approximate formulas for some functions of prime numbers"
4724:
1428:
5766:
3740:
runs over the nontrivial zeros of the zeta function, and
590:
below.) Both
Chebyshev functions are asymptotic to
5778:. Delft University of Technology. Page 6 equation (2).
5662:{\displaystyle \psi _{1}(x)=\int _{0}^{x}\psi (t)\,dt.}
5556:
The difference of the smoothed
Chebyshev function and
5166:
5130:
4138:
4009:
3896:
3646:
1881:
then so does the other, and the two limits are equal.
1314:
The second
Chebyshev function is the logarithm of the
361:
is defined similarly, with the sum extending over all
5678:
5599:
5466:
5372:
5245:
5098:
4824:
4738:
4570:
4546:
The first
Chebyshev function is the logarithm of the
4461:
4386:
4321:
4260:
4081:
3766:
3546:
3406:
3189:
2604:
2538:
2215:
2137:
2105:
1984:
1893:
1846:
1809:
1710:
1577:
1548:
1504:
1466:
1331:
1201:
1107:
999:
858:
826:
771:
744:
720:
704:{\displaystyle f_{Tchb}(x,w)=\max _{i}w_{i}f_{i}(x).}
621:
552:. The Chebyshev functions, especially the second one
377:
315:
255:
170:
121:
78:
5724:{\displaystyle \psi _{1}(x)\sim {\frac {x^{2}}{2}}.}
714:
By minimizing this function for different values of
37:
without a subscript base should be interpreted as a
3492:An explanation of the constant 1.03883 is given at
299:{\displaystyle \vartheta (x)=\sum _{p\leq x}\log p}
5915:, Vol. 68, No. 225 (1999), pp. 411–415.
5723:
5661:
5536:
5446:
5302:
5211:
5066:
4804:
4669:
4530:
4434:
4358:
4297:
4189:
4024:
3693:
3471:
3354:
3165:
2544:
2521:
2195:
2120:
2088:
1967:
1869:
1832:
1792:
1686:
1560:
1528:
1490:
1392:
1303:
1181:
1045:
968:
844:
812:
757:
726:
703:
533:
321:
298:
191:
142:
93:
5503:
5406:
4240:states that, for some explicit positive constant
3799:
3343:
3313:
3264:
3234:
1783:
1727:
6078:
5811:
1712:
897:
660:
1046:{\displaystyle \psi (x)=\sum _{p\leq x}k\log p}
5748:
4065:over the trivial zeros of the zeta function,
1229:
1207:
1171:
1149:
5756:. The University of Manchester. p. 34.
4359:{\displaystyle \psi (x)-x>K{\sqrt {x}}.}
4298:{\displaystyle \psi (x)-x<-K{\sqrt {x}}}
978:All three functions are named in honour of
1529:{\displaystyle {\frac {\vartheta (x)}{x}}}
5649:
5516:
5419:
5313:
5291:
5197:
5156:
4998:
4541:
4498:
4423:
3017:
2968:
2964:
2928:
2555:
2552:to obtain the inequality in the theorem.
2472:
1098:. A more direct relationship is given by
610:weighted Tchebycheff scalarizing function
405:
5551:
221:) or one of two related functions. The
159:
110:
67:
5979:
5856:
5839:
5796:
4725:Relation to the prime-counting function
14:
6079:
5985:Introduction to analytic number theory
5799:Introduction to Analytic Number Theory
587:
6024:
5547:
1491:{\displaystyle {\frac {\psi (x)}{x}}}
5744:
5742:
4308:and infinitely many natural numbers
3505:
5948:
5933:
5860:Pierre Dusart, "Sharper bounds for
24:
5918:
5261:
5099:
4953:
4856:
4825:
4773:
4739:
4656:
4098:
3907:
3852:
3821:
1722:
1139:
462:
333:, with the sum extending over all
217:is either a scalarising function (
25:
6098:
6017:
5739:
813:{\displaystyle |f_{i}-z_{i}^{*}|}
5776:Expert Systems with Applications
4452:prove the stronger result, that
3512:Hans Carl Friedrich von Mangoldt
985:
594:, a statement equivalent to the
5930:(1903), pp. 195–204.
5089:, is made through the equation
4680:This proves that the primorial
2128:we have the trivial inequality
1870:{\displaystyle \vartheta (x)/x}
1318:of the integers from 1 to
1246:
1240:
734:, one obtains every point on a
340:that are less than or equal to
5945:(1916) pp. 119–196.
5805:
5790:
5760:
5695:
5689:
5646:
5640:
5616:
5610:
5494:
5488:
5476:
5470:
5270:
5264:
5255:
5249:
5123:
5117:
5108:
5102:
5044:
5038:
4995:
4989:
4962:
4956:
4865:
4859:
4834:
4828:
4782:
4776:
4748:
4742:
4580:
4574:
4471:
4465:
4396:
4390:
4331:
4325:
4270:
4264:
4003:
3997:
3916:
3910:
3889:
3883:
3861:
3855:
3830:
3824:
3783:
3777:
3685:
3663:
3636:
3630:
3622:
3616:
3563:
3557:
3449:
3443:
3420:
3414:
3297:
3287:
3281:
3274:
3218:
3208:
3202:
3195:
3108:
3102:
3093:
3087:
3003:
2993:
2987:
2980:
2914:
2904:
2898:
2891:
2769:
2756:
2625:
2612:
2486:
2473:
2372:
2353:
2340:
2319:
2250:
2244:
2235:
2229:
2147:
2141:
2115:
2109:
2080:
2059:
2015:
2009:
2000:
1994:
1962:
1941:
1903:
1897:
1856:
1850:
1819:
1813:
1803:In other words, if one of the
1769:
1763:
1745:
1739:
1719:
1648:
1635:
1620:
1614:
1596:
1590:
1517:
1511:
1479:
1473:
1382:
1376:
1362:
1338:
1117:
1111:
1009:
1003:
959:
937:
931:
917:
890:
878:
806:
773:
695:
689:
653:
641:
471:
465:
387:
381:
265:
259:
180:
174:
131:
125:
88:
82:
13:
1:
6044:"Mangoldt summatory function"
5973:
5749:Joshua Knowles (2 May 2014).
4377:, one may write the above as
4231:
3529:as a sum over the nontrivial
2121:{\displaystyle \vartheta (x)}
5958:Multiplicative Number Theory
4244:, there are infinitely many
4224:, corresponds to the simple
3375:Upper bounds exist for both
7:
5801:. Springer. pp. 75–76.
5457:By the above, this implies
5363:, and it can be shown that
5322:states that all nontrivial
4687:is asymptotically equal to
4200:Similarly, the first term,
2099:But from the definition of
41:, also commonly written as
10:
6103:
6071:Riemann's Explicit Formula
5961:. Springer. p. 104.
5913:Mathematics of Computation
5784:10.1016/j.eswa.2017.09.051
5326:of the zeta function have
1833:{\displaystyle \psi (x)/x}
1460:relates the two quotients
606:Chebyshev utility function
192:{\displaystyle \psi (x)-x}
143:{\displaystyle \psi (x)-x}
5889:th prime is greater than
1411:for the integer variable
845:{\displaystyle z_{i}^{*}}
349:second Chebyshev function
18:Chebyshev's function
6073:, with images and movies
5797:Apostol, Tom M. (2010).
5733:
3704:(The numerical value of
223:first Chebyshev function
94:{\displaystyle \psi (x)}
5083:prime-counting function
3176:Furthermore, under the
573:prime-counting function
72:The Chebyshev function
5725:
5663:
5583:
5538:
5448:
5314:The Riemann hypothesis
5304:
5213:
5068:
4806:
4671:
4542:Relation to primorials
4532:
4436:
4360:
4299:
4191:
4102:
4026:
3695:
3473:
3356:
3167:
2556:Asymptotics and bounds
2546:
2523:
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