7291:
6675:
8162:
3782:
7286:{\displaystyle {\begin{aligned}r&={\textstyle {\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}+\cdots +{x_{2}}^{2}+{x_{1}}^{2}}}},\\\varphi _{1}&=\operatorname {atan2} \left({\textstyle {\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}+\cdots +{x_{2}}^{2}}}},x_{1}\right),\\\varphi _{2}&=\operatorname {atan2} \left({\textstyle {\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}+\cdots +{x_{3}}^{2}}}},x_{2}\right),\\&\qquad \vdots \\\varphi _{n-2}&=\operatorname {atan2} \left({\textstyle {\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}}}},x_{n-2}\right),\\\varphi _{n-1}&=\operatorname {atan2} \left(x_{n},x_{n-1}\right).\end{aligned}}}
7675:
10970:
6664:
10207:
8157:{\displaystyle J_{n}={\begin{pmatrix}c_{1}&-rs_{1}&0&0&\cdots &0\\s_{1}c_{2}&rc_{1}c_{2}&-rs_{1}s_{2}&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &&\ddots &\vdots \\&&&&&0\\s_{1}\cdots s_{n-2}c_{n-1}&\cdots &\cdots &&&-rs_{1}\cdots s_{n-2}s_{n-1}\\s_{1}\cdots s_{n-2}s_{n-1}&rc_{1}\cdots s_{n-1}&\cdots &&&{\phantom {-}}rs_{1}\cdots s_{n-2}c_{n-1}\end{pmatrix}}.}
13021:
10559:
6202:
31:
9844:
15797:
20096:
9855:
12846:
10965:{\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad \int _{0}^{\pi }\sin ^{n-j-1}\left(\varphi _{j}\right)C_{s}^{\left({\frac {n-j-1}{2}}\right)}\cos \left(\varphi _{j}\right)C_{s'}^{\left({\frac {n-j-1}{2}}\right)}\cos \left(\varphi _{j}\right)\,d\varphi _{j}\\&={\frac {2^{3-n+j}\pi \Gamma (s+n-j-1)}{s!(2s+n-j-1)\Gamma ^{2}\left({\frac {n-j-1}{2}}\right)}}\delta _{s,s'}\end{aligned}}}
6659:{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=r\cos(\varphi _{1}),\\x_{2}&=r\sin(\varphi _{1})\cos(\varphi _{2}),\\x_{3}&=r\sin(\varphi _{1})\sin(\varphi _{2})\cos(\varphi _{3}),\\&\qquad \vdots \\x_{n-1}&=r\sin(\varphi _{1})\cdots \sin(\varphi _{n-2})\cos(\varphi _{n-1}),\\x_{n}&=r\sin(\varphi _{1})\cdots \sin(\varphi _{n-2})\sin(\varphi _{n-1}).\end{aligned}}}
18520:
9316:
10202:{\displaystyle {\begin{aligned}d^{n}V&=\left|\det {\frac {\partial (x_{i})}{\partial \left(r,\varphi _{j}\right)}}\right|dr\,d\varphi _{1}\,d\varphi _{2}\cdots d\varphi _{n-1}\\&=r^{n-1}\sin ^{n-2}(\varphi _{1})\sin ^{n-3}(\varphi _{2})\cdots \sin(\varphi _{n-2})\,dr\,d\varphi _{1}\,d\varphi _{2}\cdots d\varphi _{n-1}.\end{aligned}}}
13016:{\displaystyle {\begin{aligned}r&=\lVert \mathbf {x} \rVert ,\\\theta &=\arcsin {\frac {\lVert \mathbf {y} \rVert }{\lVert \mathbf {x} \rVert }}=\arccos {\frac {\lVert \mathbf {z} \rVert }{\lVert \mathbf {x} \rVert }}=\arctan {\frac {\lVert \mathbf {y} \rVert }{\lVert \mathbf {z} \rVert }}.\end{aligned}}}
10544:
15030:
4634:
2713:
13387:. The inverse transformation, from polyspherical coordinates to Cartesian coordinates, is determined by grouping nodes. Every pair of nodes having a common parent can be converted from a mixed polar–Cartesian coordinate system to a Cartesian coordinate system using the above formulas for a splitting.
18919:
pairs of isolated points. Intuitively, the topological join of two pairs is generated by drawing a segment between each point in one pair and each point in the other pair; this yields a square. To join this with a third pair, draw a segment between each point on the square and each point in the third
18326:
16508:-ball. This method becomes very inefficient for higher dimensions, as a vanishingly small fraction of the unit cube is contained in the sphere. In ten dimensions, less than 2% of the cube is filled by the sphere, so that typically more than 50 attempts will be needed. In seventy dimensions, less than
17422:
42:
9839:{\displaystyle {\begin{aligned}|J_{n}|&=(-1)^{(n-1)+n}(-rs_{1}\dotsm s_{n-2}s_{n-1})(s_{n-1}|J_{n-1}|)\\&\qquad {}+(-1)^{n+n}(rs_{1}\dotsm s_{n-2}c_{n-1})(c_{n-1}|J_{n-1}|)\\&=(rs_{1}\dotsm s_{n-2}|J_{n-1}|(s_{n-1}^{2}+c_{n-1}^{2})\\&=(rs_{1}\dotsm s_{n-2})|J_{n-1}|.\end{aligned}}}
13282:. The formulas for converting from polyspherical coordinates to Cartesian coordinates may be determined by finding the paths from the root to the leaf nodes. These formulas are products with one factor for each branch taken by the path. For a node whose corresponding angular coordinate is
13556:
14784:
14584:
12103:
18026:
12210:
17251:
11401:
10333:
18221:
14857:
14110:
18515:{\displaystyle \operatorname {SO} (8)/\operatorname {SO} (7)=\operatorname {SU} (4)/\operatorname {SU} (3)=\operatorname {Sp} (2)/\operatorname {Sp} (1)=\operatorname {Spin} (7)/G_{2}=\operatorname {Spin} (6)/\operatorname {SU} (3)}
6680:
6207:
4473:
2517:
11598:
14012:
19384:
18797:
11488:
831:
5076:
13848:
5260:
13463:
13453:
11904:
19286:
2855:
16107:
5865:
5796:
17872:
4394:
10564:
17118:-ball will be contained in the region very close to its surface, so a point selected from that volume will also probably be close to the surface. This is one of the phenomena leading to the so-called
2317:
2233:
16250:
16015:
13630:
3375:
14354:
11197:
6192:
12851:
9860:
9321:
12459:
12405:
1036:
14669:
14469:
16934:
11953:
4285:
2068:
11723:
17039:
16480:
16146:
7422:
11689:
7661:
7611:
18286:
4168:
13090:
13059:
12275:
12244:
11943:
17564:
5407:
16772:
9275:
9159:
8947:
8874:
8601:
8528:
6130:
17941:
15542:
13030:
is the result of repeating these splittings until there are no
Cartesian coordinates left. Splittings after the first do not require a radial coordinate because the domains of
11069:
5514:
69:
property of the stereographic projection, the curves intersect each other orthogonally (in the yellow points) as in 4D. All of the curves are circles: the curves that intersect
18593:
17932:
17816:
11025:
13734:
13664:
13383:
13346:
13241:
13208:
13175:
12114:
11757:
11522:
11254:
11150:
5457:
3458:
19432:
16442:
15773:
15387:
11642:
5974:
19072:
14294:
13632:
fixed. Choosing a set of coset representatives for the quotient is the same as choosing representative angles for this step of the polyspherical coordinate decomposition.
17484:
16692:
14455:
12351:
12325:
12299:
11223:
7453:
7332:
1780:
1604:
1547:
17168:
13309:
1692:
14659:
14392:
11262:
17610:
12576:
6013:
16536:
15262:
4110:
3959:
2738:
2132:
19204:
18115:
16385:
14622:
14429:
14134:
13701:
13278:
12537:
12513:
12489:
10539:{\displaystyle d_{S^{n-1}}V=R^{n-1}\sin ^{n-2}(\varphi _{1})\sin ^{n-3}(\varphi _{2})\cdots \sin(\varphi _{n-2})\,d\varphi _{1}\,d\varphi _{2}\cdots d\varphi _{n-1}.}
9232:
9116:
9079:
8831:
8485:
8309:
6049:
5613:
5576:
4659:
4432:
3857:
3515:
2459:
1322:
862:
19005:
17644:
16331:
15938:
18317:
18085:
17458:
17244:
17204:
16970:
16859:
16728:
16582:
16288:
15840:
15573:
15503:
15443:
14847:
14816:
14220:
14189:
13880:
12612:
11841:
11105:
10271:
9306:
9195:
9037:
9002:
8734:
8418:
8272:
6080:
5297:
5137:
4909:
4463:
3816:
3726:
3690:
3630:
3551:
2970:
2930:
2404:
1993:
1640:
1493:
1292:
653:
390:
298:
15025:{\displaystyle F(\theta )={\frac {(\sin ^{n_{1}-1}\theta )(\cos ^{n_{2}-1}\theta )}{{\frac {1}{2}}\mathrm {B} ({\frac {n_{1}}{2}},{\frac {n_{2}}{2}})}}\,d\theta .}
7525:
19166:
19136:
19102:
19035:
18915:
13118:
8904:
8794:
8764:
8679:
8558:
8448:
8363:
8193:
5727:
4629:{\displaystyle S_{n-1}={\frac {2\pi ^{n/2}}{\Gamma {\bigl (}{\frac {n}{2}}{\bigr )}}},\quad V_{n}={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma {\bigl (}{\frac {n}{2}}+1{\bigr )}}}}
2774:
2708:{\displaystyle \omega ={\frac {1}{r}}\sum _{j=1}^{n+1}(-1)^{j-1}x_{j}\,dx_{1}\wedge \cdots \wedge dx_{j-1}\wedge dx_{j+1}\wedge \cdots \wedge dx_{n+1}={\star }dr}
18630:
15289:
18881:
18853:
18829:
18695:
18669:
18544:
18141:
18054:
17757:
17504:
17114:
17090:
17063:
16823:
16796:
16630:
16606:
16504:
16409:
16355:
16170:
15895:
15864:
15467:
15412:
15184:
15118:
15094:
15070:
14244:
14158:
14022:
13142:
12836:
12812:
12788:
12720:
12696:
12672:
11805:
11781:
10323:
10295:
10232:
8971:
8703:
8649:
8625:
8387:
8333:
8241:
8217:
7561:
7501:
7477:
7356:
5697:
5673:
5645:
5539:
5345:
5321:
5101:
4933:
4873:
4849:
4813:
4787:
4762:
4738:
4714:
4690:
4318:
4221:
4193:
4071:
4047:
3984:
3917:
3893:
3774:
3750:
3654:
3599:
3575:
3423:
3399:
3317:
3293:
3265:
3218:
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3155:
3128:
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3057:
3026:
2998:
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2507:
2483:
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2092:
1948:
1924:
1890:
1866:
1838:
1804:
1754:
1716:
1571:
1521:
1457:
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1409:
1374:
1350:
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1121:
1097:
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985:
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886:
739:
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677:
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572:
544:
513:
477:
450:
422:
326:
251:
227:
199:
168:
140:
112:
16666:
15160:
12764:
12648:
5937:
5901:
4023:
11529:
17417:{\displaystyle \rho (y)={\frac {\Gamma {\bigl (}{\frac {n}{2}}{\bigr )}}{{\sqrt {\pi }}\;\Gamma {\bigl (}{\frac {n-1}{2}}{\bigr )}}}(1-y)^{(n-3)/2}y^{-1/2}.}
13890:
19295:
18711:
13146:
leaves. Each non-leaf node in the tree corresponds to a splitting and determines an angular coordinate. For instance, the root of the tree represents
11412:
749:
4943:
13744:
13551:{\displaystyle \operatorname {SO} _{p}(\mathbb {R} )\times \operatorname {SO} _{q}(\mathbb {R} )\subseteq \operatorname {SO} _{n}(\mathbb {R} ).}
5153:
203:. The circle is considered 1-dimensional, and the sphere 2-dimensional, because the surfaces themselves are 1- and 2-dimensional respectively,
13399:
11850:
11761:
is split as the product of two
Euclidean spaces of smaller dimension, but neither space is required to be a line. Specifically, suppose that
3403:-dimensional Euclidean space plus a single point representing infinity in all directions. In particular, if a single point is removed from an
19213:
2784:
16025:
20027:
16538:
of the cube is filled, meaning typically a trillion quadrillion trials will be needed, far more than a computer could ever carry out.
5805:
5736:
17825:
16586:-sphere (e.g., by using Marsaglia's algorithm), one needs only a radius to obtain a point uniformly at random from within the unit
4328:
19658:; Bazzoni, Giovanni; Goertsches, Oliver; Konstantis, Panagiotis; Rollenske, Sönke (2018). "On the history of the Hopf problem".
2243:
19540:
Representation of Lie groups and special functions, Vol. 2: Class I representations, special functions, and integral transforms
2142:
16182:
15947:
19927:
19900:
19826:
19604:
13564:
3326:
14304:
11159:
6139:
19542:, translated from the Russian by V. A. Groza and A. A. Groza, Math. Appl., vol. 74, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 1992,
20319:
14779:{\displaystyle F(\theta )={\frac {\cos ^{n_{2}-1}\theta }{\mathrm {B} ({\frac {1}{2}},{\frac {n_{2}}{2}})}}\,d\theta .}
14579:{\displaystyle F(\theta )={\frac {\sin ^{n_{1}-1}\theta }{\mathrm {B} ({\frac {n_{1}}{2}},{\frac {1}{2}})}}\,d\theta .}
12414:
12360:
12098:{\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\dots ,x_{n})=(y_{1},\dots ,y_{p},z_{1},\dots ,z_{q})=(\mathbf {y} ,\mathbf {z} ).}
1000:
20130:
20080:
19639:
19547:
17:
19852:"Separation of variables on n-dimensionsional Riemannian manifolds. I. the n-sphere S_n and Euclidean n-sparce R_n"
16868:
4231:
2002:
11694:
16979:
16451:
16293:
16117:
7666:
19583:
Livan, Giacomo; Novaes, Marcel; Vivo, Pierpaolo (2018), Livan, Giacomo; Novaes, Marcel; Vivo, Pierpaolo (eds.),
7365:
20020:
19943:
19842:
15046:
Just as a two-dimensional sphere embedded in three dimensions can be mapped onto a two-dimensional plane by a
19814:
11647:
7620:
7570:
19951:
Barnea, Nir (1999). "Hyperspherical functions with arbitrary permutational symmetry: Reverse construction".
18259:
4120:
18021:{\displaystyle \operatorname {SO} (6)/\operatorname {SO} (5)=\operatorname {SU} (3)/\operatorname {SU} (2)}
17781:
13064:
13033:
12249:
12218:
11913:
11725:
along the ray. Repeating this decomposition eventually leads to the standard spherical coordinate system.
5617:
from above, these recurrences can be used to compute the surface area of any sphere or volume of any ball.
17509:
5354:
1205:-spheres admit several other topological descriptions: for example, they can be constructed by gluing two
20115:
16737:
13026:
These splittings may be repeated as long as one of the factors involved has dimension two or greater. A
12205:{\displaystyle \mathbf {x} =((r\sin \theta ){\hat {\mathbf {y} }},(r\cos \theta ){\hat {\mathbf {z} }}).}
9241:
9125:
8913:
8840:
8567:
8494:
6089:
686:
15512:
11034:
5467:
18947:
18566:
17905:
17789:
10980:
1154:
16413:-ball), and when a point in the ball is obtained scaling it up to the spherical surface by the factor
13710:
13640:
13355:
13318:
13217:
13184:
13151:
11733:
11498:
11230:
11126:
7529:
then the point is one of the poles, zenith or nadir, and the choice of azimuthal angle is arbitrary.)
5416:
3434:
20013:
19393:
16418:
15583:
15299:
11603:
5946:
20050:
19591:, SpringerBriefs in Mathematical Physics, Cham: Springer International Publishing, pp. 65–66,
19044:
18129:
17898:
15047:
15041:
14253:
13391:
13092:
are spheres, so the coordinates of a polyspherical coordinate system are a non-negative radius and
11396:{\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\dots ,x_{n})=(y_{1},z_{1},\dots ,z_{n-1})=(y_{1},\mathbf {z} )}
3461:
938:
46:
18959:
17463:
16675:
14438:
12334:
12308:
12282:
11206:
7431:
7310:
1763:
1587:
1530:
20258:
20253:
20233:
17711:
17135:
17119:
13287:
4295:
1653:
577:
14631:
14364:
20243:
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20218:
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5983:
615:
19629:
19561:
16511:
15193:
9849:
Induction then gives a closed-form expression for the volume element in spherical coordinates
4080:
3931:
2721:
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20248:
20228:
20223:
19183:
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16364:
14594:
14401:
14119:
13673:
13250:
12522:
12498:
12468:
11728:
Polyspherical coordinate systems arise from a generalization of this construction. The space
10550:
9204:
9088:
9046:
8803:
8457:
8281:
6022:
5650:
5585:
5548:
4644:
4404:
3829:
3781:
3487:
3270:
2444:
1301:
1257:
841:
35:
18984:
17623:
16301:
15908:
19960:
19806:
18295:
18063:
17686:
17429:
17211:
17177:
16943:
16832:
16701:
16555:
16266:
15813:
15551:
15476:
15421:
14825:
14794:
14198:
14167:
13858:
12585:
11814:
11078:
10244:
9284:
9168:
9015:
8980:
8712:
8396:
8250:
6058:
5270:
5110:
4882:
4441:
3794:
3699:
3663:
3608:
3524:
2943:
2903:
2377:
1966:
1613:
1466:
1265:
626:
363:
271:
62:
18216:{\displaystyle \operatorname {SO} (7)/\operatorname {SO} (6)=G_{2}/\operatorname {SU} (3)}
14105:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n_{1}+n_{2}}=\mathbb {R} ^{n_{1}}\times \mathbb {R} ^{n_{2}}}
7510:
8:
20125:
20120:
19171:
19145:
19115:
19081:
19014:
18894:
18031:
15900:
13097:
11110:
8883:
8773:
8743:
8658:
8537:
8427:
8342:
8172:
5706:
3477:
3473:
2753:
2741:
899:
891:
549:
355:
331:
19964:
18615:
15271:
11593:{\displaystyle {\hat {\mathbf {z} }}=\mathbf {z} /\lVert \mathbf {z} \rVert \in S^{n-2}}
20299:
20140:
20095:
19937:
19912:
19892:
19836:
19794:
19728:
19685:
19667:
19521:
19486:
18953:
18929:
18866:
18838:
18814:
18680:
18654:
18529:
18039:
17742:
17489:
17099:
17075:
17048:
16808:
16781:
16615:
16591:
16489:
16394:
16340:
16155:
15880:
15849:
15452:
15397:
15169:
15103:
15079:
15055:
14229:
14143:
14007:{\displaystyle dV_{n}=r^{n-1}\,dr\,\prod _{i=1}^{n-1}F_{i}(\theta _{i})\,d\theta _{i}.}
13127:
13122:
angles. The possible polyspherical coordinate systems correspond to binary trees with
12821:
12797:
12773:
12705:
12681:
12657:
11790:
11766:
10549:
The natural choice of an orthogonal basis over the angular coordinates is a product of
10308:
10280:
10217:
8956:
8688:
8634:
8610:
8372:
8318:
8226:
8202:
7546:
7486:
7462:
7341:
5682:
5658:
5630:
5524:
5330:
5306:
5086:
4918:
4858:
4834:
4798:
4772:
4747:
4723:
4699:
4675:
4303:
4206:
4178:
4056:
4032:
3969:
3902:
3878:
3759:
3735:
3639:
3584:
3560:
3408:
3384:
3302:
3278:
3250:
3203:
3176:
3164:
3140:
3113:
3101:
3077:
3042:
3011:
2983:
2935:
2879:
2869:
2492:
2468:
2413:
2353:
2326:
2077:
1933:
1909:
1875:
1851:
1823:
1789:
1739:
1701:
1556:
1506:
1442:
1418:
1394:
1359:
1335:
1235:
1210:
1186:
1162:
1134:
1106:
1082:
1043:
970:
946:
911:
895:
871:
724:
697:
662:
595:
557:
529:
498:
490:
462:
435:
407:
395:
339:
311:
256:
236:
212:
184:
153:
125:
97:
19379:{\displaystyle \textstyle x_{k}=r\cos \varphi _{k}\prod _{i=1}^{k-1}\sin \varphi _{i}}
17172:
be the square of the first coordinate of a point sampled uniformly at random from the
16639:
15127:
12729:
12621:
5910:
5874:
5677:-dimensional Euclidean space, in which the coordinates consist of a radial coordinate
3993:
20135:
19988:
19923:
19896:
19822:
19732:
19720:
19689:
19635:
19600:
19543:
19107:
17615:
9007:
3922:
1070:
990:
350:
19569:
20324:
20065:
19968:
19873:
19863:
19786:
19763:
19712:
19677:
19592:
19565:
19513:
19482:
19478:
18886:
18792:{\displaystyle S^{n}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n+1}:\left\|x\right\|_{1}=1\right\}}
18226:
17885:
17725:
12108:
This can be transformed into a mixed polar–Cartesian coordinate system by writing:
6669:
Except in the special cases described below, the inverse transformation is unique:
1327:
335:
11483:{\displaystyle \mathbf {x} =(r\sin \theta ,(r\cos \theta ){\hat {\mathbf {z} }}).}
20110:
20055:
19991:
19802:
19681:
18941:
5143:
1576:
1498:
518:
303:
19596:
19504:
Blumenson, L. E. (1960). "A Derivation of n-Dimensional
Spherical Coordinates".
18548:-sphere is of particular interest since it was in this dimension that the first
826:{\displaystyle S^{n}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n+1}:\left\|x\right\|=1\right\}.}
20192:
20177:
19625:
18803:
18607:
17734:
17706:
17653:
17649:
7538:
4664:
1387:
19768:
19751:
19584:
18938: – Smooth manifold that is homeomorphic but not diffeomorphic to a sphere
11526:
may be expressed by taking the ray starting at the origin and passing through
3988:-ball is a line segment whose points have a single coordinate in the interval
20313:
20182:
19972:
19919:
19819:
The Shape of Space: how to visualize surfaces and three-dimensional manifolds
19724:
19655:
19175:
18935:
18635:
18549:
17888:
17728:
15122:-dimensional version of the stereographic projection. For example, the point
14460:
13738:
also has a factor for the radial coordinate. The area measure has the form:
13705:
are products. There is one factor for each angle, and the volume measure on
11201:. These two factors may be related using polar coordinates. For each point
5071:{\displaystyle S_{n}R^{n}={\frac {dV_{n+1}R^{n+1}}{dR}}={(n+1)V_{n+1}R^{n}}.}
3428:
994:
691:
486:
66:
13843:{\displaystyle dA_{n-1}=\prod _{i=1}^{n-1}F_{i}(\theta _{i})\,d\theta _{i},}
20202:
20167:
20060:
18944: – Topological manifold whose homology coincides with that of a sphere
17682:
17678:
15800:
A set of points drawn from a uniform distribution on the surface of a unit
10300:
3821:
3066:
1074:
931:
427:
263:
19716:
19703:
Meshulam, Roy (2001-01-01). "The Clique
Complex and Hypergraph Matching".
16177:
An alternative given by
Marsaglia is to uniformly randomly select a point
5255:{\displaystyle V_{n+1}=\int _{0}^{1}S_{n}r^{n}\,dr={\frac {1}{n+1}}S_{n}.}
20287:
20070:
19562:
Efficiently sampling vectors and coordinates from the n-sphere and n-ball
14224:. When the area measure is normalized so that the area of the sphere is
14017:
Suppose we have a node of the tree that corresponds to the decomposition
4198:
2437:
1579:
207:
because they exist as shapes in 1- and 2-dimensional space. As such, the
78:
13448:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}=\mathbb {R} ^{p}\times \mathbb {R} ^{q}}
11899:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}=\mathbb {R} ^{p}\times \mathbb {R} ^{q}}
7305:
There are some special cases where the inverse transform is not unique;
20282:
20162:
19798:
19525:
19490:
19466:
18932: – Study of angle-preserving transformations of a geometric space
18858:
18247:
18234:
16550:
With a point selected uniformly at random from the surface of the unit
2975:
1870:-dimensional Euclidean space, and is the boundary of an ordinary ball (
358:, consisting of all points closer to the center than the radius, is an
19878:
19634:, Graduate Texts in Mathematics, vol. 72, Springer, p. 247,
13390:
Polyspherical coordinates also have an interpretation in terms of the
20263:
20172:
20085:
20036:
19996:
19868:
19851:
19777:
Huber, Greg (1982). "Gamma function derivation of n-sphere volumes".
19281:{\displaystyle \textstyle x_{n}=r\prod _{i=1}^{n-1}\sin \varphi _{i}}
17762:
16255:
8167:
The determinant of this matrix can be calculated by induction. When
4767:
2850:{\displaystyle dr\wedge \omega =dx_{1}\wedge \cdots \wedge dx_{n+1}.}
1230:
903:
117:
19790:
19517:
18950: – How spheres of various dimensions can wrap around each other
18634:-dimensional space, which is related to the unique qualities of the
16803:
Alternatively, points may be sampled uniformly from within the unit
7565:-dimensional Euclidean space in terms of spherical coordinates, let
41:
20150:
20075:
19672:
19654:
18251:
18133:
17716:
17692:
17659:
11406:
can be transformed into a mixed polar–Cartesian coordinate system:
3242:
3227:
3003:
2433:
1898:
1812:
1724:
1066:
584:
30:
17671:. Has a nontrivial fundamental group. Abelian Lie group structure
16102:{\displaystyle r={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}.}
15796:
4937:
is related to the volume of the ball by the differential equation
1378:-sphere is not even connected, consisting of two discrete points.
57:-space. This image shows three coordinate directions projected to
20197:
177:
49:
can project a sphere's surface to a plane, it can also project a
13179:, and its immediate children represent the first splitting into
5860:{\displaystyle \varphi _{1},\varphi _{2},\ldots ,\varphi _{n-2}}
5791:{\displaystyle \varphi _{1},\varphi _{2},\ldots ,\varphi _{n-1}}
1229:-dimensional spaces together, by identifying the boundary of an
18700:
17701:
17668:
4291:
3786:
3168:
3105:
2748:, §6.1) for a discussion and proof of this formula in the case
1843:
1731:
482:
344:
173:
145:
19560:
Voelker, Aaron R.; Gosmann, Jan; Stewart, Terrence C. (2017).
13884:
are determined by the tree. Similarly, the volume measure is
8197:, a straightforward computation shows that the determinant is
20154:
19889:
Differential forms with applications to the physical sciences
17867:{\displaystyle \operatorname {SO} (5)/\operatorname {SO} (4)}
17767:
15942:, although in fact the choice of the variance is arbitrary),
11121:
The standard spherical coordinate system arises from writing
7298:
20005:
16634:
is a number generated uniformly at random from the interval
15808:
To generate uniformly distributed random points on the unit
15783:
9163:. Similarly, the submatrix formed by deleting the entry at
4389:{\displaystyle S_{2}=4\pi ,\quad V_{3}={\tfrac {4}{3}}\pi .}
18833:-sphere is a square (without its interior). The octahedral
17673:
17566:. This is sometimes called the Porter–Thomas distribution.
4201:
in the
Euclidean plane, and its interior is the unit disk (
2312:{\displaystyle \mathbf {c} =(c_{1},c_{2},\ldots ,c_{n+1})}
13561:
This is the subgroup that leaves each of the two factors
2228:{\displaystyle r^{2}=\sum _{i=1}^{n+1}(x_{i}-c_{i})^{2},}
16541:
16245:{\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}
16010:{\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}
4075:-sphere consists of its two end-points, with coordinate
18962: – Rational function of the form (az + b)/(cz + d)
17125:
5649:-dimensional Euclidean space which is analogous to the
3730:
st power of the radius, and the volume of an arbitrary
19299:
19217:
17122:
that arises in some numerical and other applications.
16696:
is a point selected uniformly at random from the unit
16484:
is uniformly distributed over the surface of the unit
16456:
16423:
16150:
is uniformly distributed over the surface of the unit
16122:
15228:
15205:
13625:{\displaystyle S^{p-1}\times S^{q-1}\subseteq S^{n-1}}
13245:. Leaf nodes correspond to Cartesian coordinates for
9010:
in the final column. By the recursive description of
7697:
7123:
6970:
6834:
6694:
4369:
3370:{\displaystyle S^{n}=\mathbb {R} ^{n}\cup \{\infty \}}
19559:
19396:
19298:
19216:
19186:
19148:
19118:
19084:
19047:
19017:
18987:
18897:
18869:
18841:
18817:
18714:
18683:
18657:
18618:
18569:
18532:
18329:
18298:
18262:
18144:
18097:
18066:
18042:
17944:
17908:
17828:
17792:
17745:
17626:
17589:
17512:
17492:
17466:
17432:
17254:
17214:
17180:
17138:
17102:
17078:
17051:
16982:
16946:
16871:
16835:
16811:
16784:
16740:
16704:
16678:
16642:
16618:
16594:
16558:
16514:
16492:
16454:
16421:
16397:
16367:
16343:
16304:
16269:
16185:
16158:
16120:
16028:
15950:
15911:
15883:
15852:
15816:
15586:
15554:
15515:
15479:
15455:
15424:
15400:
15302:
15274:
15196:
15172:
15130:
15106:
15082:
15058:
14860:
14828:
14797:
14672:
14634:
14597:
14472:
14441:
14404:
14367:
14349:{\displaystyle F(\theta )={\frac {d\theta }{2\pi }}.}
14307:
14256:
14232:
14201:
14170:
14146:
14122:
14025:
13893:
13861:
13747:
13713:
13676:
13643:
13567:
13466:
13402:
13358:
13321:
13290:
13253:
13220:
13187:
13154:
13130:
13100:
13067:
13036:
12849:
12824:
12800:
12776:
12732:
12708:
12684:
12660:
12624:
12588:
12549:
12525:
12501:
12471:
12417:
12363:
12337:
12311:
12285:
12252:
12221:
12117:
11956:
11916:
11853:
11817:
11793:
11769:
11736:
11697:
11650:
11606:
11532:
11501:
11415:
11265:
11233:
11209:
11192:{\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n-1}}
11162:
11129:
11081:
11037:
10983:
10562:
10336:
10311:
10283:
10247:
10220:
9858:
9319:
9287:
9244:
9207:
9171:
9128:
9091:
9049:
9018:
8983:
8959:
8916:
8886:
8843:
8806:
8776:
8746:
8715:
8691:
8661:
8637:
8613:
8570:
8540:
8497:
8460:
8430:
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8375:
8345:
8321:
8284:
8253:
8229:
8205:
8175:
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7623:
7573:
7549:
7532:
7513:
7489:
7465:
7434:
7368:
7344:
7313:
6678:
6205:
6187:{\displaystyle r,\varphi _{1},\ldots ,\varphi _{n-1}}
6142:
6092:
6061:
6025:
5986:
5949:
5913:
5877:
5808:
5739:
5709:
5685:
5661:
5633:
5588:
5551:
5527:
5470:
5419:
5357:
5333:
5309:
5273:
5156:
5113:
5089:
4946:
4921:
4885:
4861:
4837:
4801:
4775:
4750:
4726:
4702:
4678:
4647:
4476:
4444:
4407:
4331:
4306:
4234:
4209:
4181:
4123:
4083:
4059:
4035:
3996:
3972:
3934:
3905:
3881:
3832:
3797:
3762:
3738:
3702:
3666:
3642:
3611:
3587:
3563:
3527:
3490:
3437:
3411:
3387:
3329:
3305:
3281:
3253:
3206:
3179:
3143:
3116:
3080:
3045:
3014:
2986:
2946:
2906:
2882:
2787:
2756:
2724:
2520:
2495:
2471:
2447:
2416:
2408:-dimensional Euclidean space and is an example of an
2380:
2356:
2329:
2246:
2145:
2104:
2080:
2005:
1969:
1936:
1912:
1878:
1854:
1826:
1792:
1766:
1742:
1704:
1656:
1616:
1590:
1559:
1533:
1509:
1469:
1445:
1421:
1397:
1362:
1338:
1304:
1268:
1238:
1213:
1189:
1165:
1137:
1109:
1085:
1046:
1003:
973:
949:
914:
874:
844:
752:
727:
700:
665:
629:
598:
560:
532:
501:
465:
438:
410:
366:
314:
274:
239:
215:
187:
156:
128:
100:
19986:
19589:
Introduction to Random
Matrices: Theory and Practice
17208:-sphere, then its probability density function, for
17067:-ball (i.e., by simply discarding two coordinates).
16359:
as above, and rejecting the point and resampling if
13635:
In polyspherical coordinates, the volume measure on
13350:and taking the right branch introduces a factor of
6084:are the Cartesian coordinates, then we may compute
19911:
19426:
19378:
19280:
19198:
19160:
19130:
19096:
19066:
19029:
18999:
18909:
18875:
18847:
18823:
18791:
18689:
18663:
18624:
18587:
18538:
18514:
18311:
18280:
18215:
18109:
18079:
18048:
18020:
17926:
17866:
17810:
17751:
17638:
17604:
17558:
17498:
17478:
17452:
17416:
17238:
17198:
17162:
17108:
17084:
17057:
17033:
16964:
16928:
16853:
16817:
16790:
16766:
16722:
16686:
16660:
16624:
16600:
16576:
16530:
16498:
16474:
16436:
16403:
16379:
16349:
16325:
16282:
16244:
16164:
16140:
16101:
16009:
15932:
15889:
15858:
15834:
15767:
15567:
15536:
15497:
15461:
15437:
15406:
15381:
15283:
15256:
15178:
15154:
15112:
15088:
15064:
15024:
14841:
14810:
14778:
14653:
14616:
14578:
14449:
14423:
14386:
14348:
14288:
14238:
14214:
14183:
14152:
14128:
14104:
14006:
13874:
13842:
13728:
13695:
13658:
13624:
13550:
13447:
13377:
13340:
13303:
13272:
13235:
13202:
13169:
13136:
13112:
13084:
13053:
13015:
12830:
12806:
12782:
12758:
12714:
12690:
12666:
12642:
12606:
12570:
12531:
12507:
12483:
12453:
12399:
12345:
12319:
12293:
12269:
12238:
12204:
12097:
11937:
11898:
11835:
11799:
11775:
11751:
11717:
11683:
11636:
11592:
11516:
11482:
11395:
11248:
11217:
11191:
11144:
11099:
11063:
11019:
10964:
10538:
10317:
10289:
10265:
10226:
10201:
9838:
9300:
9269:
9226:
9189:
9153:
9110:
9073:
9031:
8996:
8965:
8941:
8898:
8868:
8825:
8788:
8758:
8728:
8697:
8673:
8643:
8619:
8595:
8552:
8522:
8479:
8442:
8412:
8381:
8357:
8327:
8303:
8266:
8235:
8211:
8187:
8156:
7655:
7605:
7555:
7519:
7495:
7471:
7447:
7416:
7350:
7326:
7285:
6658:
6186:
6124:
6074:
6043:
6007:
5968:
5931:
5895:
5859:
5790:
5721:
5691:
5667:
5639:
5607:
5570:
5533:
5508:
5451:
5401:
5339:
5315:
5291:
5254:
5131:
5095:
5070:
4927:
4903:
4867:
4843:
4807:
4781:
4756:
4732:
4708:
4684:
4653:
4628:
4457:
4426:
4388:
4312:
4279:
4215:
4187:
4162:
4104:
4065:
4041:
4017:
3978:
3953:
3911:
3897:-ball is sometimes defined as a single point. The
3887:
3851:
3810:
3768:
3744:
3720:
3684:
3648:
3624:
3593:
3569:
3545:
3509:
3452:
3417:
3393:
3369:
3311:
3287:
3259:
3212:
3185:
3149:
3122:
3086:
3051:
3020:
2992:
2964:
2924:
2888:
2849:
2768:
2732:
2707:
2501:
2477:
2453:
2422:
2398:
2362:
2335:
2311:
2227:
2126:
2086:
2062:
1987:
1942:
1918:
1884:
1860:
1832:
1798:
1774:
1748:
1710:
1686:
1634:
1598:
1565:
1541:
1515:
1487:
1451:
1427:
1403:
1368:
1344:
1316:
1286:
1244:
1219:
1195:
1171:
1143:
1115:
1091:
1052:
1030:
979:
955:
920:
880:
856:
825:
733:
706:
671:
647:
604:
566:
538:
507:
471:
444:
416:
384:
320:
292:
245:
221:
193:
162:
134:
106:
19631:Classical Topology and Combinatorial Group Theory
19465:Smith, David J.; Vamanamurthy, Mavina K. (1989).
19464:
18956: – Study of angle-preserving transformations
17460:be the appropriately scaled version, then at the
17094:is sufficiently large, most of the volume of the
20311:
19932:(Chapter 20: 3-spheres and hyperbolic 3-spaces).
13313:, taking the left branch introduces a factor of
12454:{\displaystyle {\hat {\mathbf {z} }}\in S^{q-1}}
12400:{\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}\in S^{p-1}}
9888:
9041:, the submatrix formed by deleting the entry at
7457:may be chosen to be zero. (For example, for the
1031:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\cup \{\infty \}}
19752:"Choosing a Point from the Surface of a Sphere"
19582:
19564:(Report). Centre for Theoretical Neuroscience.
18561:Homeomorphic to the octonionic projective line
15804:-sphere, generated using Marsaglia's algorithm.
10236:-ball can be derived from this by integration.
426:-sphere is the pair of points at the ends of a
65:(blue), and hypermeridians (green). Due to the
27:Generalized sphere of dimension n (mathematics)
19909:
1354:-sphere (circle) is not simply connected; the
1256:with a point, or (inductively) by forming the
1129:. Under inverse stereographic projection, the
548:-sphere, often simply called a sphere, is the
20021:
19849:
17340:
17315:
17295:
17278:
16929:{\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n+2})}
15392:Likewise, the stereographic projection of an
15249:
15199:
4618:
4595:
4544:
4527:
4280:{\displaystyle S_{1}=2\pi ,\quad V_{2}=\pi .}
2063:{\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n+1})}
19910:Moura, Eduarda; Henderson, David G. (1996).
17599:
17590:
16938:is a point selected uniformly from the unit
16019:. Now calculate the "radius" of this point:
15778:
13000:
12992:
12987:
12979:
12961:
12953:
12948:
12940:
12922:
12914:
12909:
12901:
12872:
12864:
11718:{\displaystyle r=\lVert \mathbf {x} \rVert }
11712:
11704:
11568:
11560:
11116:
9236:, except that its last row is multiplied by
9120:, except that its last row is multiplied by
5301:-sphere as a union of products of a circle (
4467:are given in closed form by the expressions
4099:
4084:
3364:
3358:
3297:-dimensional Euclidean space. Briefly, the
1681:
1657:
1025:
1019:
18979:Formally, this formula is only correct for
17486:limit, the probability density function of
17034:{\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}
16475:{\displaystyle {\tfrac {1}{r}}\mathbf {x} }
16141:{\displaystyle {\tfrac {1}{r}}\mathbf {x} }
15035:
20028:
20014:
19914:Experiencing geometry: on plane and sphere
19660:Differential Geometry and Its Applications
17309:
15844:-sphere (that is, the surface of the unit
10239:Similarly the surface area element of the
7417:{\displaystyle x_{k},x_{k+1},\ldots x_{n}}
4694:tends to infinity, the volume of the unit
3237:
73:have an infinite radius (= straight line).
19877:
19867:
19767:
19749:
19671:
19624:
19503:
18741:
18058:-dimensional manifold is homeomorphic to
17043:is uniformly distributed within the unit
16776:is uniformly distributed within the unit
15869:
15518:
15012:
14766:
14566:
14085:
14063:
14028:
13987:
13933:
13926:
13823:
13716:
13646:
13538:
13511:
13484:
13435:
13420:
13405:
13223:
13190:
13157:
11925:
11886:
11871:
11856:
11739:
11504:
11236:
11173:
11164:
11132:
10772:
10497:
10483:
10156:
10142:
10135:
9972:
9958:
7302:is the two-argument arctangent function.
5211:
3440:
3345:
2599:
1696:, and is the boundary of a line segment (
1006:
779:
19886:
19702:
15795:
5625:We may define a coordinate system in an
5620:
3780:
3658:-ball. The surface area of an arbitrary
3634:be the volume of its interior, the unit
2745:
1956:
40:
29:
11684:{\displaystyle \theta =\arcsin y_{1}/r}
8489:, but multiplied by an extra factor of
7656:{\displaystyle c_{k}=\cos \varphi _{k}}
7606:{\displaystyle s_{k}=\sin \varphi _{k}}
14:
20312:
19950:
18281:{\displaystyle \operatorname {Sp} (1)}
15164:on a two-dimensional sphere of radius
12517:. It can be shown that the domain of
4718:-ball (ratio between the volume of an
4163:{\displaystyle S_{0}=2,\quad V_{1}=2.}
3603:-dimensional Euclidean space, and let
20009:
19987:
19813:
19776:
13085:{\displaystyle {\hat {\mathbf {z} }}}
13054:{\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}}
12270:{\displaystyle {\hat {\mathbf {z} }}}
12239:{\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}}
11938:{\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}
11908:. Using this decomposition, a point
11256:, the standard Cartesian coordinates
9199:and its row and column almost equals
9083:and its row and column almost equals
8835:, but multiplied by extra factors of
7665:for concision, then observe that the
3925:is the number of points in a set. So
18802:In general, it takes the shape of a
18642:
17559:{\displaystyle (2\pi ze^{z})^{-1/2}}
17126:Distribution of the first coordinate
14248:, these factors are as follows. If
8975:, respectively. The determinant of
5402:{\displaystyle S_{n+2}=2\pi V_{n+1}}
5081:Equivalently, representing the unit
19850:Kalnins, E. G.; Miller, W. (1986).
18225:. The question of whether it has a
17569:
16827:-ball by a reduction from the unit
16767:{\displaystyle u^{1/n}\mathbf {x} }
12277:are the unit vectors associated to
9270:{\displaystyle \cos \varphi _{n-1}}
9154:{\displaystyle \sin \varphi _{n-1}}
8942:{\displaystyle \cos \varphi _{n-1}}
8869:{\displaystyle \sin \varphi _{n-1}}
8596:{\displaystyle \sin \varphi _{n-1}}
8523:{\displaystyle \cos \varphi _{n-1}}
6125:{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}
1644:-dimensional space. In particular:
1461:is defined as the set of points in
24:
19696:
19538:N. Ja. Vilenkin and A. U. Klimyk,
19458:
17473:
17310:
17273:
16389:(i.e., if the point is not in the
15537:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n-1}}
14962:
14723:
14523:
14443:
11064:{\displaystyle e^{is\varphi _{j}}}
10893:
10824:
10212:The formula for the volume of the
9915:
9894:
7533:Spherical volume and area elements
7360:will be ambiguous whenever all of
5509:{\displaystyle S_{n+1}=2\pi V_{n}}
4648:
4590:
4522:
3478:Unit sphere § Volume and area
3467:
3361:
2136:, is represented by the equation:
1022:
25:
20336:
19980:
19756:Annals of Mathematical Statistics
19506:The American Mathematical Monthly
19174:and the usual convention for the
18861:; hence the name. The octahedral
18588:{\displaystyle \mathbf {OP} ^{1}}
18132:coming from the set of pure unit
17927:{\displaystyle \mathbf {CP} ^{2}}
17811:{\displaystyle \mathbf {HP} ^{1}}
17704:. For its complex structure, see
12840:. The inverse transformation is
11020:{\displaystyle j=1,2,\ldots ,n-2}
7481:-sphere, when the polar angle is
1784:, and is the boundary of a disk (
20094:
18575:
18572:
17914:
17911:
17798:
17795:
16760:
16680:
16468:
16187:
16134:
15952:
14114:and that has angular coordinate
13729:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
13659:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
13378:{\displaystyle \cos \theta _{i}}
13341:{\displaystyle \sin \theta _{i}}
13236:{\displaystyle \mathbb {R} ^{q}}
13203:{\displaystyle \mathbb {R} ^{p}}
13170:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
13072:
13041:
12996:
12983:
12957:
12944:
12918:
12905:
12868:
12422:
12368:
12339:
12313:
12287:
12257:
12226:
12186:
12151:
12119:
12085:
12077:
11958:
11809:are positive integers such that
11752:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
11708:
11564:
11551:
11537:
11517:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
11464:
11417:
11386:
11267:
11249:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
11211:
11145:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
9279:. Therefore the determinant of
5452:{\displaystyle S_{1}=2\pi V_{0}}
3519:be the surface area of the unit
3453:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
3269:-sphere can be constructed as a
3069:, is the interior of a 0-sphere.
2248:
1768:
1592:
1535:
19427:{\displaystyle k=1,\ldots ,n-1}
18920:pair; this gives a octahedron.
16542:Uniformly at random within the
16437:{\displaystyle {\tfrac {1}{r}}}
15872:gives the following algorithm.
15098:-dimensional hyperplane by the
13028:polyspherical coordinate system
10572:
9500:
7080:
6426:
5265:We can also represent the unit
5105:-ball as a union of concentric
4877:-sphere at the boundary of the
4555:
4354:
4257:
4143:
3694:-sphere is proportional to the
1648:a 0-sphere is a pair of points
1065:In the more general setting of
836:Considered intrinsically, when
262:Considered extrinsically, as a
19831:(Chapter 14: The Hypersphere).
19648:
19618:
19576:
19553:
19532:
19497:
19483:10.1080/0025570X.1989.11977419
19445:
18973:
18768:
18762:
18509:
18503:
18489:
18483:
18456:
18450:
18438:
18432:
18418:
18412:
18400:
18394:
18380:
18374:
18362:
18356:
18342:
18336:
18275:
18269:
18210:
18204:
18177:
18171:
18157:
18151:
18015:
18009:
17995:
17989:
17977:
17971:
17957:
17951:
17861:
17855:
17841:
17835:
17648:. The only sphere that is not
17536:
17513:
17470:
17377:
17365:
17361:
17348:
17264:
17258:
17233:
17221:
17193:
17181:
17028:
16983:
16959:
16947:
16923:
16872:
16848:
16836:
16717:
16705:
16655:
16643:
16571:
16559:
16320:
16305:
16239:
16194:
16004:
15959:
15927:
15915:
15829:
15817:
15768:{\displaystyle \mapsto \left.}
15635:
15632:
15587:
15492:
15480:
15382:{\displaystyle \mapsto \left.}
15324:
15321:
15303:
15149:
15131:
15074:-sphere can be mapped onto an
15006:
14966:
14946:
14914:
14911:
14879:
14870:
14864:
14760:
14727:
14682:
14676:
14560:
14527:
14482:
14476:
14317:
14311:
13984:
13971:
13820:
13807:
13542:
13534:
13515:
13507:
13488:
13480:
13076:
13045:
12753:
12733:
12637:
12625:
12565:
12550:
12426:
12372:
12261:
12230:
12196:
12190:
12179:
12164:
12155:
12144:
12129:
12126:
12089:
12073:
12067:
12003:
11997:
11965:
11637:{\displaystyle (1,0,\dots ,0)}
11631:
11607:
11541:
11474:
11468:
11457:
11442:
11424:
11390:
11369:
11363:
11312:
11306:
11274:
10889:
10862:
10851:
10827:
10480:
10461:
10449:
10436:
10414:
10401:
10260:
10248:
10132:
10113:
10101:
10088:
10066:
10053:
9910:
9897:
9825:
9804:
9800:
9765:
9752:
9704:
9700:
9679:
9643:
9630:
9626:
9605:
9585:
9582:
9531:
9516:
9506:
9490:
9486:
9465:
9445:
9442:
9388:
9377:
9365:
9361:
9351:
9340:
9325:
9184:
9172:
9068:
9050:
8313:as follows. Except in column
6646:
6627:
6618:
6599:
6587:
6574:
6538:
6519:
6510:
6491:
6479:
6466:
6413:
6400:
6391:
6378:
6369:
6356:
6320:
6307:
6298:
6285:
6249:
6236:
6038:
6026:
6002:
5987:
5969:{\displaystyle \varphi _{n-1}}
5926:
5914:
5890:
5878:
5286:
5274:
5126:
5114:
5035:
5023:
4898:
4886:
4820:
4012:
3997:
3715:
3703:
3679:
3667:
3540:
3528:
2959:
2947:
2919:
2907:
2574:
2564:
2393:
2381:
2306:
2255:
2213:
2186:
2121:
2115:
2057:
2006:
1982:
1970:
1629:
1617:
1482:
1470:
1381:
1281:
1269:
989:-space with a single adjoined
805:
799:
657:-sphere is the boundary of an
642:
630:
517:-ball) in the two-dimensional
379:
367:
287:
275:
13:
1:
20035:
19743:
19570:10.13140/RG.2.2.15829.01767/1
19067:{\displaystyle x_{3}=\cdots }
18250:structure as the set of unit
14289:{\displaystyle n_{1}=n_{2}=1}
3754:-ball is proportional to the
1952:-dimensional Euclidean space.
19682:10.1016/j.difgeo.2017.10.014
18675:is defined similarly to the
17782:quaternionic projective line
17479:{\displaystyle N\to \infty }
16687:{\displaystyle \mathbf {x} }
14450:{\displaystyle \mathrm {B} }
14138:. The corresponding factor
12346:{\displaystyle \mathbf {x} }
12320:{\displaystyle \mathbf {z} }
12294:{\displaystyle \mathbf {y} }
11218:{\displaystyle \mathbf {x} }
7448:{\displaystyle \varphi _{k}}
7327:{\displaystyle \varphi _{k}}
5543:. Along with the base cases
4853:-dimensional volume, of the
3321:-sphere can be described as
1775:{\displaystyle \mathbf {c} }
1599:{\displaystyle \mathbf {c} }
1542:{\displaystyle \mathbf {c} }
7:
19597:10.1007/978-3-319-70885-0_9
19585:"One Pager on Eigenvectors"
19467:"How Small Is a Unit Ball?"
18923:
17163:{\displaystyle y=x_{1}^{2}}
16863:-sphere. In particular, if
15784:Uniformly at random on the
14851:are greater than one, then
13304:{\displaystyle \theta _{i}}
11691:, and traveling a distance
5651:spherical coordinate system
3460:. This forms the basis for
3006:if it does not include the
1687:{\displaystyle \{c-r,c+r\}}
687:Cartesian coordinate system
231:-sphere is the setting for
10:
20341:
20320:Multi-dimensional geometry
19942:: CS1 maint: postscript (
19841:: CS1 maint: postscript (
19039:, the line beginning with
18948:Homotopy groups of spheres
15039:
14654:{\displaystyle n_{2}>1}
14387:{\displaystyle n_{1}>1}
10551:ultraspherical polynomials
7669:of the transformation is:
3471:
3271:one-point compactification
2867:
1155:one-point compactification
20296:
20275:
20211:
20149:
20103:
20092:
20043:
19887:Flanders, Harley (1989).
19076:must be omitted, and for
17700:Commonly simply called a
17605:{\displaystyle \{\pm R\}}
15779:Probability distributions
14162:depends on the values of
12571:{\displaystyle [0,2\pi )}
11493:This says that points in
11117:Polyspherical coordinates
6008:{\displaystyle [0,2\pi )}
2874:The space enclosed by an
2860:
61:-space: parallels (red),
34:2-sphere wireframe as an
19973:10.1103/PhysRevA.59.1135
18966:
18130:almost complex structure
17899:complex projective space
16531:{\displaystyle 10^{-24}}
15507:-dimensional hyperplane
15293:-plane. In other words,
15257:{\displaystyle {\bigl }}
15048:stereographic projection
15042:Stereographic projection
15036:Stereographic projection
13668:and the area measure on
13392:special orthogonal group
11109:in concordance with the
10299:, which generalizes the
8276:can be constructed from
4105:{\displaystyle \{-1,1\}}
3954:{\displaystyle V_{0}=1.}
3778:th power of the radius.
3462:stereographic projection
2733:{\displaystyle {\star }}
2127:{\displaystyle S^{n}(r)}
939:stereographic projection
47:stereographic projection
19769:10.1214/aoms/1177692644
19199:{\displaystyle n\geq 2}
19110:must be used. The case
18110:{\displaystyle n\geq 5}
17712:complex projective line
17120:curse of dimensionality
16380:{\displaystyle r\geq 1}
16292:independently from the
15899:-dimensional vector of
14617:{\displaystyle n_{1}=1}
14424:{\displaystyle n_{2}=1}
14129:{\displaystyle \theta }
13696:{\displaystyle S^{n-1}}
13273:{\displaystyle S^{n-1}}
12532:{\displaystyle \theta }
12508:{\displaystyle \theta }
12484:{\displaystyle r\geq 0}
9227:{\displaystyle J_{n-1}}
9111:{\displaystyle J_{n-1}}
9074:{\displaystyle (n-1,n)}
8826:{\displaystyle J_{n-1}}
8738:are the same as column
8562:and an extra factor of
8480:{\displaystyle J_{n-1}}
8304:{\displaystyle J_{n-1}}
7426:are zero; in this case
6044:{\displaystyle [0,360)}
5608:{\displaystyle V_{1}=2}
5571:{\displaystyle S_{0}=2}
4654:{\displaystyle \Gamma }
4427:{\displaystyle S_{n-1}}
4296:three-dimensional space
3852:{\displaystyle S_{n-1}}
3510:{\displaystyle S_{n-1}}
3238:Topological description
3167:, is the interior of a
3104:, is the interior of a
2454:{\displaystyle \omega }
2321:is a center point, and
1928:-dimensional sphere in
1317:{\displaystyle n\geq 2}
857:{\displaystyle n\geq 1}
578:three-dimensional space
71:⟨0,0,0,1⟩
19750:Marsaglia, G. (1972).
19451:James W. Vick (1994).
19428:
19380:
19358:
19282:
19260:
19200:
19178:, a formula valid for
19162:
19132:
19098:
19068:
19031:
19001:
19000:{\displaystyle n>3}
18911:
18877:
18849:
18825:
18793:
18699:-sphere but using the
18691:
18665:
18626:
18589:
18540:
18516:
18313:
18282:
18217:
18111:
18081:
18050:
18022:
17928:
17868:
17812:
17753:
17710:. Homeomorphic to the
17640:
17639:{\displaystyle R>0}
17606:
17560:
17500:
17480:
17454:
17418:
17240:
17200:
17164:
17110:
17086:
17059:
17035:
16966:
16930:
16855:
16819:
16792:
16768:
16724:
16688:
16662:
16626:
16602:
16578:
16532:
16500:
16476:
16438:
16405:
16381:
16351:
16327:
16326:{\displaystyle (-1,1)}
16284:
16246:
16166:
16142:
16103:
16011:
15934:
15933:{\displaystyle N(0,1)}
15891:
15860:
15836:
15805:
15769:
15569:
15538:
15499:
15463:
15439:
15408:
15383:
15285:
15258:
15180:
15156:
15114:
15090:
15066:
15026:
14843:
14812:
14780:
14655:
14618:
14580:
14451:
14425:
14388:
14350:
14290:
14240:
14216:
14185:
14154:
14130:
14106:
14008:
13960:
13876:
13844:
13796:
13730:
13697:
13660:
13626:
13552:
13457:determines a subgroup
13449:
13379:
13342:
13305:
13274:
13237:
13204:
13171:
13138:
13114:
13086:
13055:
13017:
12832:
12808:
12784:
12760:
12716:
12692:
12668:
12644:
12608:
12572:
12533:
12509:
12485:
12455:
12401:
12347:
12321:
12295:
12271:
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19779:Amer. Math. Monthly
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20141:Degrees of freedom
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19893:Dover Publications
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2072:, that define an
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