2015:
370:
2480:
3502:
1920:
1732:
One can form the topological union of an arbitrary family of topological spaces as above, but if the topologies do not agree on the intersections then the inclusions will not necessarily be embeddings.
1465:
147:
3403:
1221:
1524:
3185:
3292:
2125:
2343:
1796:
1728:
1586:
1275:
2271:
2052:
1855:
1643:
1315:
2228:
2165:
3571:
1955:
1377:
2675:
2085:
3774:
654:
519:
2899:
2509:
710:
575:
3429:
4019:
3699:
3622:
3000:
2946:
1342:
681:
546:
4149:
2973:
4176:
4069:
3992:
3871:
3801:
3735:
2608:
3327:
3219:
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3898:
1164:
3965:
3922:
4375:
4291:
4268:
4225:
4202:
4092:
4042:
3945:
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3092:
3043:
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2816:
2769:
2726:
2188:
1666:
983:
921:
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823:
796:
174:
4348:
4245:
4114:
3821:
3664:
3642:
3595:
3522:
3351:
3243:
3139:
3065:
3020:
2919:
2835:
2789:
2746:
2699:
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2573:
2553:
2533:
2415:
2395:
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1816:
1758:
1686:
1608:
1548:
1400:
1134:
1114:
1060:
1040:
1016:
956:
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851:
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753:
733:
621:
597:
486:
462:
438:
418:
394:
304:
283:
260:
238:
218:
194:
88:
1960:
316:
2424:
1863:
1408:
3434:
97:
3356:
1177:
17:
1470:
3144:
4447:
4424:
3248:
2090:
4179:
2310:
1763:
1695:
1553:
1237:
2241:
2022:
1825:
1613:
1280:
2274:
397:
2193:
2130:
4415:
Tanaka, Yoshio (2004). "Quotient Spaces and
Decompositions". In K.P. Hart; J. Nagata; J.E. Vaughan (eds.).
3527:
2235:
1925:
1347:
2638:
2064:
3740:
626:
491:
2865:
4466:
1819:
1737:
1232:
1083:
1067:
959:
4270:
have the same compact sets, with the same induced subspace topologies on them. And the k-ification
3901:
3874:
2485:
1077:
1073:
799:
686:
551:
3408:
3997:
3677:
3600:
3222:
2978:
2924:
1320:
932:
659:
524:
4119:
2951:
4154:
4047:
3970:
3849:
3779:
3708:
2578:
1019:
924:
3300:
3192:
2348:
2702:
2418:
1527:
3880:
1139:
58:
generated by the family of subspaces, a notion that is quite different from the notion of a
3950:
3907:
1858:
8:
3068:
1403:
1086:(in the sense of Definition 1 in that article) are those determined by the family of all
4357:
4273:
4250:
4207:
4184:
4074:
4024:
3927:
3826:
3101:
3074:
3025:
2840:
2798:
2751:
2708:
2170:
1648:
965:
903:
860:
805:
778:
156:
4333:
4230:
4099:
3806:
3649:
3627:
3580:
3507:
3336:
3228:
3124:
3050:
3005:
2904:
2820:
2774:
2731:
2684:
2615:
2558:
2538:
2518:
2512:
2400:
2380:
2290:
1801:
1743:
1671:
1593:
1533:
1385:
1119:
1099:
1045:
1025:
1001:
941:
883:
836:
758:
738:
718:
606:
582:
471:
447:
423:
403:
379:
289:
268:
245:
223:
203:
179:
73:
4436:
4443:
4420:
91:
47:
43:
4390:
2633:
1228:
197:
373:
4398:
4385:
are used with opposite meanings by different authors. In modern usage the term
4302:
3330:
3095:
988:
307:
150:
4460:
1087:
928:
311:
59:
2231:
2058:
1689:
1224:
1063:
2054:
are all disjoint then the topological union is just the disjoint union.
3667:
1094:
854:
600:
992:
3671:
2792:
465:
39:
31:
4116:
is the collection of all compact subspaces of a topological space
1610:
is a topological space and is coherent with a family of subspaces
2010:{\displaystyle X\cong \coprod _{\alpha \in A}X_{\alpha }/\sim .}
1467:
endowed with the final topology coinduced by the inclusion maps
365:{\displaystyle i_{\alpha }:C_{\alpha }\to X\qquad \alpha \in A.}
2475:{\displaystyle f{\big \vert }_{C_{\alpha }}:C_{\alpha }\to Y\,}
3497:{\textstyle f_{\alpha }:f^{-1}(D_{\alpha })\to D_{\alpha }\,}
1915:{\displaystyle (x,\alpha )\sim (y,\beta )\Leftrightarrow x=y}
900:
is coherent with any family of subsets whose interiors cover
2515:
characterizes coherent topologies in the sense that a space
1736:
One can also describe the topological union by means of the
440:
if either of the following two equivalent conditions holds:
4377:
This is a potentially confusing name since the adjectives
1460:{\displaystyle X^{set}=\bigcup _{\alpha \in A}X_{\alpha }}
991:
is coherent with every family of subspaces (including the
142:{\displaystyle C=\left\{C_{\alpha }:\alpha \in A\right\}}
4401:. It is the final topology that is being discussed here.
4305: – Finest topology making some functions continuous
3398:{\displaystyle \left\{D_{\alpha }:\alpha \in A\right\}.}
1216:{\displaystyle \left\{X_{\alpha }:\alpha \in A\right\}}
3437:
755:
there is a unique topology on (the underlying set of)
4360:
4336:
4276:
4253:
4233:
4210:
4187:
4157:
4122:
4102:
4077:
4050:
4027:
4000:
3973:
3953:
3930:
3910:
3883:
3852:
3829:
3809:
3782:
3743:
3711:
3680:
3652:
3630:
3603:
3583:
3530:
3510:
3411:
3359:
3339:
3303:
3251:
3231:
3195:
3147:
3127:
3104:
3077:
3053:
3028:
3008:
2981:
2954:
2927:
2907:
2868:
2843:
2823:
2801:
2777:
2754:
2734:
2711:
2687:
2641:
2618:
2581:
2561:
2541:
2521:
2488:
2427:
2403:
2383:
2351:
2313:
2293:
2244:
2196:
2173:
2133:
2093:
2067:
2025:
1963:
1928:
1866:
1828:
1804:
1766:
1746:
1698:
1674:
1651:
1616:
1596:
1556:
1536:
1473:
1411:
1388:
1350:
1323:
1283:
1240:
1180:
1142:
1122:
1102:
1048:
1028:
1004:
968:
944:
935:
is coherent with the family of its connected subsets.
906:
886:
863:
839:
808:
781:
761:
741:
721:
689:
662:
629:
609:
585:
554:
527:
494:
474:
450:
426:
406:
382:
319:
292:
271:
248:
226:
206:
182:
159:
100:
76:
176:
each with its induced subspace topology. (Typically
54:
of those subspaces. It is also sometimes called the
4435:
4369:
4342:
4285:
4262:
4239:
4219:
4196:
4170:
4143:
4108:
4086:
4063:
4036:
4013:
3986:
3959:
3939:
3916:
3892:
3865:
3838:
3815:
3795:
3768:
3729:
3693:
3658:
3636:
3616:
3589:
3565:
3516:
3496:
3423:
3397:
3345:
3321:
3286:
3237:
3213:
3179:
3133:
3113:
3086:
3059:
3037:
3014:
2994:
2967:
2940:
2913:
2893:
2852:
2829:
2810:
2783:
2763:
2740:
2720:
2693:
2669:
2624:
2602:
2567:
2555:if and only if this property holds for all spaces
2547:
2527:
2503:
2474:
2409:
2389:
2369:
2337:
2299:
2265:
2222:
2182:
2159:
2119:
2079:
2046:
2009:
1949:
1914:
1849:
1810:
1790:
1752:
1722:
1680:
1660:
1637:
1602:
1580:
1542:
1519:{\displaystyle i_{\alpha }:X_{\alpha }\to X^{set}}
1518:
1459:
1394:
1371:
1336:
1309:
1269:
1215:
1158:
1128:
1108:
1054:
1034:
1010:
977:
950:
915:
892:
872:
845:
817:
790:
767:
747:
727:
704:
675:
648:
615:
591:
569:
540:
513:
480:
456:
432:
412:
388:
364:
298:
277:
254:
232:
212:
188:
168:
141:
82:
50:is coherent with a family of subspaces if it is a
3994:induce the same subspace topology on each of the
3180:{\displaystyle \left\{Y\cap C_{\alpha }\right\}.}
4458:
4419:. Amsterdam: Elsevier Science. pp. 43–46.
3287:{\displaystyle \left\{f(C_{\alpha })\right\}.}
2434:
2120:{\displaystyle X_{\alpha }\subset X_{\beta }}
4096:As an example of this last construction, if
3763:
3750:
2888:
2875:
2661:
2648:
2338:{\displaystyle \left\{C_{\alpha }\right\}.}
1791:{\displaystyle \left\{X_{\alpha }\right\},}
1723:{\displaystyle \left\{C_{\alpha }\right\}.}
1581:{\displaystyle \left\{X_{\alpha }\right\}.}
1270:{\displaystyle X_{\alpha }\cap X_{\beta }.}
42:that is uniquely determined by a family of
4442:. Reading, Massachusetts: Addison-Wesley.
2266:{\displaystyle \left\{X_{\alpha }\right\}}
2047:{\displaystyle \left\{X_{\alpha }\right\}}
1850:{\displaystyle \left\{X_{\alpha }\right\}}
1638:{\displaystyle \left\{C_{\alpha }\right\}}
1310:{\displaystyle X_{\alpha }\cap X_{\beta }}
1076:are those determined by the family of all
27:Topology determined by family of subspaces
3493:
2471:
927:space is coherent with the family of its
2190:which is in fact a homeomorphism. Here
306:is recovered as the one coming from the
4433:
2307:be coherent with a family of subspaces
2061:, in a way compatible with inclusion:
1692:to the topological union of the family
14:
4459:
4414:
2223:{\displaystyle \varinjlim X_{\alpha }}
2160:{\displaystyle \varinjlim X_{\alpha }}
1760:is a topological union of the family
3566:{\displaystyle f^{-1}(D_{\alpha }).}
1950:{\displaystyle \alpha ,\beta \in A.}
1822:of the disjoint union of the family
1550:will be coherent with the subspaces
1372:{\displaystyle \alpha ,\beta \in A.}
1169:
2948:is determined by the family of all
1227:) topological spaces such that the
798:This topology will, in general, be
24:
2670:{\displaystyle C=\{C_{\alpha }\}.}
2127:. Then there is a unique map from
2080:{\displaystyle \alpha \leq \beta }
1526:. The inclusion maps will then be
25:
4478:
3769:{\displaystyle C=\{C_{\alpha }\}}
1070:of the elements of the partition.
649:{\displaystyle U\cap C_{\alpha }}
514:{\displaystyle U\cap C_{\alpha }}
396:for which the inclusion maps are
4417:Encyclopedia of General Topology
2894:{\displaystyle D=\{D_{\beta }\}}
2421:if and only if the restrictions
1223:be a family of (not necessarily
1116:is coherent with its family of
349:
4325:
4316:
4135:
4123:
3724:
3712:
3557:
3544:
3480:
3477:
3464:
3313:
3273:
3260:
3205:
2591:
2465:
2361:
1900:
1897:
1885:
1879:
1867:
1497:
343:
13:
1:
4408:
2504:{\displaystyle \alpha \in A.}
2282:
2057:Assume now that the set A is
705:{\displaystyle \alpha \in A.}
570:{\displaystyle \alpha \in A.}
65:
3424:{\displaystyle \alpha \in A}
735:and any family of subspaces
62:generated by a set of maps.
7:
4296:
4014:{\displaystyle C_{\alpha }}
3877:than the original topology
3776:there is a unique topology
3694:{\displaystyle f_{\alpha }}
3617:{\displaystyle f_{\alpha }}
2995:{\displaystyle C_{\alpha }}
2941:{\displaystyle C_{\alpha }}
1337:{\displaystyle X_{\alpha }}
827:
802:than the given topology on
676:{\displaystyle C_{\alpha }}
541:{\displaystyle C_{\alpha }}
376:on (the underlying set of)
372:By definition, this is the
10:
4483:
4144:{\displaystyle (X,\tau ),}
3737:and a family of subspaces
3705:Given a topological space
2968:{\displaystyle D_{\beta }}
1084:Compactly generated spaces
715:Given a topological space
4434:Willard, Stephen (1970).
4350:is also said to have the
4171:{\displaystyle \tau _{C}}
4064:{\displaystyle \tau _{C}}
3987:{\displaystyle \tau _{C}}
3866:{\displaystyle \tau _{C}}
3796:{\displaystyle \tau _{C}}
3730:{\displaystyle (X,\tau )}
2603:{\displaystyle f:X\to Y.}
1074:Finitely generated spaces
4309:
4293:is compactly generated.
4071:is always coherent with
3624:is a quotient map, then
3322:{\displaystyle f:X\to Y}
3214:{\displaystyle f:X\to Y}
2482:are continuous for each
2370:{\displaystyle f:X\to Y}
2232:direct (inductive) limit
4151:the resulting topology
3701:is closed (resp. open).
3597:is continuous and each
2397:to a topological space
1818:is homeomorphic to the
958:is coherent with every
933:locally connected space
923:As examples of this, a
853:is coherent with every
4371:
4344:
4287:
4264:
4241:
4221:
4198:
4172:
4145:
4110:
4088:
4065:
4038:
4015:
3988:
3961:
3941:
3924:was not coherent with
3918:
3894:
3893:{\displaystyle \tau ,}
3867:
3840:
3823:that is coherent with
3817:
3797:
3770:
3731:
3695:
3674:) if and only if each
3660:
3638:
3618:
3591:
3567:
3518:
3504:be the restriction of
3498:
3425:
3399:
3347:
3323:
3288:
3239:
3215:
3181:
3135:
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