3777:
3042:
3772:{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\partial f(x):&=\left\{x^{*}\in X^{*}~:~f(z)\geq f(x)+\left\langle x^{*},z-x\right\rangle {\text{ for all }}z\in X\right\}&&({\text{â}}z\in X{\text{''}}{\text{ can be replaced with: }}{\text{â}}z\in X{\text{ such that }}z\neq x{\text{''}})\\&=\left\{x^{*}\in X^{*}~:~\left\langle x^{*},x\right\rangle -f(x)\geq \left\langle x^{*},z\right\rangle -f(z){\text{ for all }}z\in X\right\}&&\\&=\left\{x^{*}\in X^{*}~:~\left\langle x^{*},x\right\rangle -f(x)\geq \sup _{z\in X}\left\langle x^{*},z\right\rangle -f(z)\right\}&&{\text{ The right hand side is }}f^{*}\left(x^{*}\right)\\&=\left\{x^{*}\in X^{*}~:~\left\langle x^{*},x\right\rangle -f(x)=f^{*}\left(x^{*}\right)\right\}&&{\text{ Taking }}z:=x{\text{ in the }}\sup {}{\text{ gives the inequality }}\leq .\\\end{alignedat}}}
1056:
1072:
392:
8239:
20:
6825:
7831:
4011:
2695:
7084:
2342:
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1229:
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5701:
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7668:
7534:
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1432:
3872:
5513:
2452:
6293:
2381:
7378:
1555:
2563:
6484:
Overcoming the failure of the classical generalized interior-point regularity conditions in convex optimization. Applications of the duality theory to enlargements of maximal monotone operators
511:
705:
962:
5284:
1631:
2568:
6062:
7423:
7872:
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546:
8271:
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1345:
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4193:
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1129:
386:
238:
7288:
6145:
6104:
5989:
5948:
2941:
23:
A 3-dimensional convex polytope. Convex analysis includes not only the study of convex subsets of
Euclidean spaces but also the study of convex functions on abstract spaces.
6820:{\displaystyle \partial f(x)=\left\{x^{*}\in X^{*}~:~\left\langle x^{*},x\right\rangle -\|x\|\geq \left\langle x^{*},z\right\rangle -\|z\|{\text{ for all }}z\in X\right\}.}
4950:
4625:
4457:
153:
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111:
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8012:
7940:
7826:{\displaystyle \partial f(x)=\left\{x^{*}\in X^{*}~:~x^{*}(x)=\|x\|{\text{ and }}\|z\|\geq \left\langle x^{*},z\right\rangle {\text{ for all }}z\in X\right\},}
4022:
7978:
7428:
2810:
4197:
7936:
1271:. Specifically, the epigraph of an extended real-valued function provides geometric intuition that can be used to help formula or prove conjectures.
8257:
4293:
8139:. Canadian Mathematical Society series of monographs and advanced texts. New York: John Wiley & Sons, Inc. pp. xxii+491.
4006:{\displaystyle \partial f(x)=\left\{x^{*}\in X^{*}~:~\left\langle x^{*},x\right\rangle =\|x\|{\text{ and }}\left\|x^{*}\right\|=1\right\}}
1363:
1263:
is a convex set. The epigraphs of extended real-valued functions play a role in convex analysis that is analogous to the role played by
8461:
5432:
5307:
2389:
8361:
6195:
2350:
8453:
8201:
8171:
8117:
8051:
8028:
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7956:
7321:
6546:
6516:
6491:
6454:
6426:
6361:
1528:
8109:
8073:
7948:
4970:
states that optimization problems may be viewed from either of two perspectives, the primal problem or the dual problem.
2483:
8466:
458:
2690:{\displaystyle f^{**}(x):=\sup _{z^{*}\in X^{*}}\left\{\left\langle x,z^{*}\right\rangle -f\left(z^{*}\right)\right\}}
609:
8144:
8081:
866:
5218:
1601:
8243:
6008:
8486:
8403:
7387:
7836:
2729:
519:
7079:{\displaystyle \left\langle x^{*},x\right\rangle -\|x\|\geq \left\langle x^{*},rx\right\rangle -\|rx\|=r\left,}
4462:
1324:
8039:
7877:
4382:
6830:
2337:{\displaystyle f^{*}\left(x^{*}\right)=\sup _{z\in X}\left\{\left\langle x^{*},z\right\rangle -f(z)\right\}}
1819:
5028:
1879:
8506:
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1676:
8193:
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4674:
8471:
7986:
7163:
4796:
1914:
47:
1560:
8511:
8501:
8108:. International Series in Pure and Applied Mathematics. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY:
6310:
5870:
5313:
4155:
2115:
1082:
453:
338:
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67:
8561:
8538:
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8356:
6349:
742:
245:
1224:{\displaystyle \operatorname {epi} f:=\left\{(x,r)\in X\times \mathbb {R} ~:~f(x)\leq r\right\}}
8679:
8640:
8556:
8481:
8408:
8393:
8346:
8061:
7658:{\displaystyle \partial f(x)=\partial f(x)\cap \left\{x^{*}\in X^{*}~:~x^{*}(x)=\|x\|\right\},}
6304:
4961:
4730:
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8605:
8601:
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5074:
4736:
2018:
806:
774:
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8413:
7295:
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6576:
5844:
5777:
5364:
4879:
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4645:
4636:
4523:
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2700:
2068:
1473:
1277:
551:
408:
8185:
6410:
6157:
5783:
4129:
3007:
8418:
8284:
8249:
8211:
8154:
7985:. Cambridge Series in Statistical and Probabilistic Mathematics. Cambridge, U.K. New York:
6901:
5521:
4980:
2179:
1076:
1059:
A function (in black) is convex if and only if its epigraph, which is the region above its
514:
7089:
5696:{\displaystyle \sup _{y^{*}\in Y^{*}}-F^{*}\left(0,y^{*}\right)\leq \inf _{x\in X}F(x,0).}
8:
8351:
8341:
8336:
8186:
6411:
5848:
5838:
4808:
4116:{\displaystyle \partial f(0)=\left\{x^{*}\in X^{*}~:~\left\|x^{*}\right\|\leq 1\right\}.}
1264:
1060:
43:
6533:
5548:
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2206:
8580:
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5124:
4774:
3817:
2767:
2463:
1995:
1713:
1656:
1636:
1028:
999:
835:
96:
7529:{\displaystyle \partial f(x)\subseteq \left\{x^{*}\in X^{*}~:~x^{*}(x)=\|x\|\right\},}
8398:
8215:
8197:
8167:
8140:
8123:
8113:
8103:
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8047:
8024:
8000:
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7952:
6542:
6512:
6487:
6450:
6422:
6357:
2903:{\displaystyle \operatorname {Func} (X;)\to \operatorname {Func} \left(X^{*};\right)}
4279:{\displaystyle f(x)+f^{*}\left(x^{*}\right)\geq \left\langle x^{*},x\right\rangle ,}
8551:
8496:
8387:
8382:
8223:
8065:
5811:
2054:
1350:
8016:
8571:
8542:
8516:
8437:
8422:
8331:
8303:
8207:
8150:
8072:. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Vol. 317. Berlin New York:
5710:. If the two sides are equal to each other, then the problem is said to satisfy
4977:
400:
35:
8658:
8566:
8427:
8326:
6323:
5711:
4769:
4628:
4372:{\displaystyle f(x)+f^{*}\left(x^{*}\right)=\left\langle x^{*},x\right\rangle }
7966:
8694:
8442:
8219:
8091:
1268:
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8004:
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8099:
7974:
5707:
4632:
91:
1071:
8653:
8648:
8532:
5571:
5195:
If there are constraint conditions, these can be built into the function
2384:
2042:
31:
1025:
Convex functions are related to convex sets. Specifically, the function
8576:
8546:
8308:
6313: â Violations of the convexity assumptions of elementary economics
2952:
2174:
1064:
59:
39:
7381:
5574:
is the difference of the right and left hand sides of the inequality
4974:
1427:{\displaystyle \operatorname {dom} f:=\{x\in X~:~f(x)<\infty \}.}
8585:
1055:
8366:
6377:
6375:
6373:
391:
5508:{\displaystyle \sup _{y^{*}\in Y^{*}}-F^{*}\left(0,y^{*}\right)}
8238:
6509:
Convex
Analysis and Nonlinear Optimization: Theory and Examples
6413:
Convex
Analysis and Nonlinear Optimization: Theory and Examples
5860:
For a convex minimization problem with inequality constraints,
7945:
Convex
Analysis and Monotone Operator Theory in Hilbert Spaces
6370:
5717:
There are many conditions for strong duality to hold such as:
5426:
with respect to the chosen perturbation function is given by
2447:{\displaystyle \left\langle x^{*},z\right\rangle :=x^{*}(z).}
8279:
6392:
6390:
119:
if it satisfies any of the following equivalent conditions:
6463:
6387:
19:
8011:
6288:{\displaystyle L(x,u)=f(x)+\sum _{j=1}^{m}u_{j}g_{j}(x)}
4567:
is the conjugate of the conjugate, typically written as
2376:{\displaystyle \left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle }
1764:
if its domain is not empty, it never takes on the value
1456:
548:
that is a convex subset of some vector space. The map
7373:{\displaystyle x^{*}\left({\frac {x}{\|x\|}}\right)=1,}
6445:
BoĆŁ, Radu Ioan; Wanka, Gert; Grad, Sorin-Mihai (2009).
7922:
From these facts, the conclusion can now be reached. â
1550:{\displaystyle \operatorname {dom} f\neq \varnothing }
7880:
7839:
7671:
7542:
7431:
7390:
7324:
7298:
7248:
7199:
7166:
7118:
7092:
6933:
6904:
6878:
6833:
6660:
6640:
6611:
6579:
6198:
6160:
6112:
6070:
6011:
5956:
5914:
5873:
5820:
5786:
5762:
5726:
5583:
5551:
5524:
5435:
5373:
5316:
5292:
5221:
5201:
5150:
5127:
5077:
5031:
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4929:
4882:
4837:
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4739:
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4573:
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4465:
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2466:
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70:
6328:
Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
2953:
Subdifferential set and the
Fenchel-Young inequality
2558:{\displaystyle f^{**}=\left(f^{*}\right)^{*}:X\to }
8037:
7914:
7866:
7825:
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7528:
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7152:
7104:
7078:
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6890:
6864:
6819:
6646:
6626:
6597:
6287:
6189:is the Lagrange dual function defined as follows:
6181:
6139:
6098:
6056:
5983:
5942:
5900:
5826:
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5017:
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4915:
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4717:
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4619:
4559:
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4419:
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4278:
4187:
4144:
4115:
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3806:
3771:
3022:
2996:
2935:
2902:
2799:
2776:
2756:
2718:
2689:
2557:
2472:
2446:
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1931:
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1808:
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1752:
1722:
1702:
1665:
1645:
1625:
1587:
1549:
1509:
1426:
1339:
1313:
1223:
1123:
1037:
1008:
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298:
266:
232:
179:
147:
105:
82:
7935:
3782:For example, in the important special case where
1633:Alternatively, this means that there exists some
506:{\displaystyle =\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}
8692:
7973:
6531:
6024:
6012:
5874:
5657:
5585:
5437:
5152:
4839:
3749:
3506:
2598:
2268:
700:{\displaystyle f(rx+(1-r)y)\leq rf(x)+(1-r)f(y)}
8164:Convexity and optimization in finite dimensions
8060:
6381:
4427:It is in this way that the subdifferential set
957:{\displaystyle f(rx+(1-r)y)<rf(x)+(1-r)f(y)}
5279:{\displaystyle f=f+I_{\mathrm {constraints} }}
1626:{\displaystyle x\in \operatorname {domain} f.}
8265:
8161:
6356:. Princeton, NJ: Princeton University Press.
6344:
6342:
5545:is the convex conjugate in both variables of
7769:
7763:
7755:
7749:
7644:
7638:
7515:
7509:
7351:
7345:
7277:
7271:
7228:
7222:
7147:
7141:
7065:
7059:
7016:
7007:
6969:
6963:
6792:
6786:
6751:
6745:
6592:
6586:
6532:Boyd, Stephen; Vandenberghe, Lieven (2004).
6506:
6444:
6408:
6057:{\displaystyle \sup {}_{u}\inf {}_{x}L(x,u)}
5121:we can define the primal problem as finding
4459:is directly related to the convex conjugate
3966:
3960:
3801:
3795:
1418:
1379:
500:
491:
7418:{\displaystyle \left\|x^{*}\right\|\geq 1.}
6475:
6402:
6348:
4627:The biconjugate is useful for showing when
8272:
8258:
7867:{\displaystyle \left\|x^{*}\right\|\leq 1}
6339:
5780:relating the primal and dual problems and
2757:{\displaystyle \operatorname {Func} (X;Y)}
541:{\displaystyle \operatorname {domain} f=X}
8180:
8046:. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.
8044:Subdifferentials: Theory and Applications
6507:Borwein, Jonathan; Lewis, Adrian (2006).
6469:
6409:Borwein, Jonathan; Lewis, Adrian (2006).
6396:
2112:(not necessarily convex) is the function
1925:
1891:
1831:
1696:
1185:
484:
8188:Convex Analysis in General Vector Spaces
4500:{\displaystyle f^{*}\left(x^{*}\right).}
1790:and it also is not identically equal to
1340:{\displaystyle \operatorname {domain} f}
1070:
1054:
986:
858:) is replaced by the strict inequality
390:
18:
16:Mathematics of convex functions and sets
8362:Locally convex topological vector space
7915:{\displaystyle x^{*}\in \partial f(x).}
6481:
6307: â Significant topic in economics
4420:{\displaystyle x^{*}\in \partial f(x).}
4290:. This inequality is an equality (i.e.
1253:
8693:
8134:
7380:it follows from the definition of the
6865:{\displaystyle x^{*}\in \partial f(x)}
6500:
4802:
3866:then this definition reduces down to:
1865:{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to }
34:devoted to the study of properties of
8253:
8098:
8074:Springer Science & Business Media
7949:Springer Science & Business Media
6440:
6438:
5064:{\displaystyle \left(Y,Y^{*}\right).}
1904:{\displaystyle b\in \mathbb {R} ^{n}}
854:
729:
8110:McGraw-Hill Science/Engineering/Math
6525:
5018:{\displaystyle \left(X,X^{*}\right)}
2065:of an extended real-valued function
1703:{\displaystyle f(x)\in \mathbb {R} }
1436:
1357:
1233:
1133:
966:
860:
709:
603:
5855:
5185:{\displaystyle \inf _{x\in X}f(x).}
2048:
1982:{\displaystyle f(x)\geq x\cdot b-r}
13:
7894:
7672:
7561:
7543:
7432:
7234:{\displaystyle x^{*}(x)\leq \|x\|}
7153:{\displaystyle x^{*}(x)\geq \|x\|}
6847:
6661:
6435:
5347:
5341:
5270:
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5261:
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5255:
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5243:
5240:
5102:
5096:
4907:
4901:
4869:{\displaystyle \inf _{x\in M}f(x)}
4718:{\displaystyle f^{**}(x)\leq f(x)}
4608:
4602:
4551:
4545:
4434:
4399:
4026:
3876:
3572: The right hand side is
3050:
2988:
2982:
2889:
2883:
2841:
2835:
2549:
2543:
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2151:
2096:
2090:
1856:
1850:
1800:
1774:
1744:
1582:
1501:
1495:
1415:
1305:
1299:
579:
573:
497:
474:
468:
436:
430:
14:
8717:
8231:
8166:. Vol. 1. Berlin: Springer.
7186:{\displaystyle r:={\frac {1}{2}}}
6417:(2 ed.). Springer. pp.
3222: can be replaced with:
1932:{\displaystyle r\in \mathbb {R} }
1544:
8237:
8162:Stoer, J.; Witzgall, C. (1970).
3756: gives the inequality
1588:{\displaystyle f(x)>-\infty }
8467:Ekeland's variational principle
8021:Fundamentals of convex analysis
6573:The conclusion is immediate if
5998:the Lagrangian dual problem is
5901:{\displaystyle \min {}_{x}f(x)}
5356:{\displaystyle F:X\times Y\to }
4955:
4188:{\displaystyle x^{*}\in X^{*},}
2166:{\displaystyle f^{*}:X^{*}\to }
1124:{\displaystyle x^{2}+xy+y^{2}.}
395:Convex function on an interval.
381:{\displaystyle rx+(1-r)y\in C.}
233:{\displaystyle rx+(1-r)y\in C.}
8040:Kutateladze, Semen Samsonovich
7906:
7900:
7854:
7841:
7743:
7737:
7684:
7678:
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7567:
7555:
7549:
7503:
7497:
7444:
7438:
7405:
7392:
7283:{\displaystyle x^{*}(x)=\|x\|}
7265:
7259:
7216:
7210:
7135:
7129:
6859:
6853:
6673:
6667:
6567:
6541:. Cambridge University Press.
6447:Duality in Vector Optimization
6282:
6276:
6229:
6223:
6214:
6202:
6176:
6164:
6140:{\displaystyle i=1,\ldots ,m.}
6099:{\displaystyle u_{i}(x)\geq 0}
6087:
6081:
6051:
6039:
5984:{\displaystyle i=1,\ldots ,m.}
5943:{\displaystyle g_{i}(x)\leq 0}
5931:
5925:
5895:
5889:
5706:This principle is the same as
5687:
5675:
5404:
5398:
5389:
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5350:
5335:
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2973:
2936:{\displaystyle f\mapsto f^{*}}
2920:
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1683:
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1567:
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1403:
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915:
903:
897:
885:
873:
852:when the defining inequality (
694:
688:
682:
670:
664:
658:
646:
640:
628:
616:
582:
567:
564:
477:
462:
439:
424:
421:
363:
351:
215:
203:
53:
1:
7929:
6482:Csetnek, Ernö Robert (2010).
6154:where the objective function
4945:{\displaystyle M\subseteq X.}
4876:when given a convex function
4620:{\displaystyle f^{**}:X\to .}
4452:{\displaystyle \partial f(x)}
1876:then there exist some vector
1045:is convex if and only if its
148:{\displaystyle 0\leq r\leq 1}
42:, often with applications in
7947:. CMS Books in Mathematics.
7086:where in particular, taking
6486:. Logos Verlag Berlin GmbH.
6326: â German mathematician
5413:{\displaystyle F(x,0)=f(x).}
4966:In optimization theory, the
3859:{\displaystyle 0\neq x\in X}
3807:{\displaystyle f=\|\cdot \|}
452:will be a map valued in the
83:{\displaystyle C\subseteq X}
7:
8487:HermiteâHadamard inequality
8194:World Scientific Publishing
8192:. River Edge, N.J. London:
8023:. Berlin: Springer-Verlag.
6382:Rockafellar & Wets 2009
6298:
5849:convex optimization problem
5839:linear optimization problem
3834:, it can be shown that if
1267:of real-valued function in
764:{\displaystyle 0<r<1}
267:{\displaystyle 0<r<1}
10:
8722:
7987:Cambridge University Press
4959:
4806:
2946:Legendre-Fenchel transform
2052:
398:
57:
8672:
8639:
8594:
8525:
8451:
8375:
8317:
8291:
7292:moreover, if in addition
6605:so assume otherwise. Fix
6311:Non-convexity (economics)
1809:{\displaystyle +\infty .}
1783:{\displaystyle -\infty ,}
1753:{\displaystyle -\infty .}
1443:
1439:
1274:The domain of a function
1240:
1236:
973:
969:
716:
712:
8673:Applications and related
8477:Fenchel-Young inequality
8137:Abstract convex analysis
6511:(2 ed.). Springer.
6333:
6319:List of convexity topics
5837:the primal problem is a
5749:{\displaystyle F=F^{**}}
5114:{\displaystyle f:X\to ,}
5071:Then given the function
4762:{\displaystyle f=f^{**}}
4727:FenchelâYoung inequality
4288:Fenchel-Young inequality
4018:
4014:
2034:{\displaystyle x\cdot b}
1990:
1760:In words, a function is
832:If this remains true of
825:{\displaystyle x\neq y.}
796:{\displaystyle x,y\in X}
328:{\displaystyle x\neq y,}
299:{\displaystyle x,y\in C}
180:{\displaystyle x,y\in C}
8433:Legendre transformation
8357:Legendre transformation
8062:Rockafellar, R. Tyrrell
7536:which is equivalent to
7311:{\displaystyle x\neq 0}
6891:{\displaystyle r\geq 0}
6627:{\displaystyle x\in X.}
6598:{\displaystyle X=\{0\}}
6350:Rockafellar, R. Tyrrell
4916:{\displaystyle f:X\to }
4664:{\displaystyle x\in X,}
4560:{\displaystyle f:X\to }
2997:{\displaystyle f:X\to }
2719:{\displaystyle x\in X.}
2175:(continuous) dual space
2105:{\displaystyle f:X\to }
1510:{\displaystyle f:X\to }
1314:{\displaystyle f:X\to }
588:{\displaystyle f:X\to }
445:{\displaystyle f:X\to }
8680:Convexity in economics
8614:(lower) ideally convex
8472:FenchelâMoreau theorem
8462:Carathéodory's theorem
7916:
7868:
7827:
7659:
7530:
7419:
7374:
7312:
7284:
7235:
7187:
7154:
7106:
7080:
6921:
6892:
6866:
6821:
6648:
6628:
6599:
6305:Convexity in economics
6289:
6255:
6183:
6182:{\displaystyle L(x,u)}
6141:
6100:
6058:
5985:
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5902:
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5750:
5697:
5562:
5539:
5509:
5414:
5357:
5300:
5280:
5209:
5186:
5135:
5115:
5065:
5019:
4962:Duality (optimization)
4946:
4917:
4870:
4797:FenchelâMoreau theorem
4785:
4763:
4719:
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4621:
4561:
4501:
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4145:{\displaystyle x\in X}
4117:
4007:
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3808:
3773:
3024:
3023:{\displaystyle x\in X}
2998:
2937:
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2758:
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2377:
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2106:
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2006:
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1933:
1905:
1874:proper convex function
1866:
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84:
24:
8602:Convex series related
8502:ShapleyâFolkman lemma
8182:ZÄlinescu, Constantin
8135:Singer, Ivan (1997).
8013:Hiriart-Urruty, J.-B.
7941:Combettes, Patrick L.
7917:
7869:
7828:
7660:
7531:
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7313:
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6920:{\displaystyle z:=rx}
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5778:perturbation function
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5365:perturbation function
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4981:locally convex spaces
4973:In general given two
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4793:lower semi-continuous
4786:
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4637:perturbation function
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3241: such that
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2999:
2938:
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2802:
2784:-valued functions on
2779:
2759:
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508:
454:extended real numbers
447:
394:
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330:
301:
269:
235:
182:
150:
108:
85:
22:
8492:KreinâMilman theorem
8285:variational analysis
8246:at Wikimedia Commons
8070:Variational Analysis
7979:Vandenberghe, Lieven
7943:(28 February 2017).
7878:
7837:
7669:
7540:
7429:
7388:
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7116:
7105:{\displaystyle r:=2}
7090:
6931:
6902:
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6831:
6658:
6654:with the norm gives
6638:
6609:
6577:
6196:
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