5358:
4732:
5353:{\displaystyle {\begin{aligned}a^{\dagger }&={\begin{pmatrix}0&0&0&0&\dots &0&\dots \\{\sqrt {1}}&0&0&0&\dots &0&\dots \\0&{\sqrt {2}}&0&0&\dots &0&\dots \\0&0&{\sqrt {3}}&0&\dots &0&\dots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\dots &\dots \\0&0&0&\dots &{\sqrt {n}}&0&\dots &\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots \end{pmatrix}}\\a&={\begin{pmatrix}0&{\sqrt {1}}&0&0&\dots &0&\dots \\0&0&{\sqrt {2}}&0&\dots &0&\dots \\0&0&0&{\sqrt {3}}&\dots &0&\dots \\0&0&0&0&\ddots &\vdots &\dots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &{\sqrt {n}}&\dots \\0&0&0&0&\dots &0&\ddots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}}\end{aligned}}}
8277:
8767:
2063:
7991:
9635:
3627:
4293:
8528:
3118:
2830:
1857:
9402:
7669:
3418:
4001:
6435:
2465:
9674:, then the result of this construction coincides with the CCR algebra and CAR algebra construction in the previous section but one. If they represent "eigenvectors" corresponding to the continuous spectrum of some operator, as for unbound particles in QFT, then the interpretation is more subtle.
9283:
8272:{\displaystyle \partial _{t}\left|\psi \right\rangle =-\alpha \sum _{i}\left(2a_{i}^{\dagger }a_{i}-a_{i-1}^{\dagger }a_{i}-a_{i+1}^{\dagger }a_{i}\right)\left|\psi \right\rangle =-\alpha \sum _{i}\left(a_{i}^{\dagger }-a_{i-1}^{\dagger }\right)(a_{i}-a_{i-1})\left|\psi \right\rangle .}
801:
2930:
404:
2521:
8762:{\displaystyle \partial _{t}\left|\psi \right\rangle =-\alpha \sum _{i}\left(a_{i}^{\dagger }-a_{i-1}^{\dagger }\right)\left(a_{i}-a_{i-1}\right)\left|\psi \right\rangle +\lambda \sum _{i}\left(a_{i}^{2}-a_{i}^{\dagger 2}a_{i}^{2}\right)\left|\psi \right\rangle }
1003:
7545:
1295:
5444:
584:
6253:
5937:
2335:
2058:{\displaystyle {\begin{aligned}a&={\frac {1}{\sqrt {2}}}(q+ip)={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(q+{\frac {d}{dq}}\right)\\a^{\dagger }&={\frac {1}{\sqrt {2}}}(q-ip)={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(q-{\frac {d}{dq}}\right).\end{aligned}}}
9039:
1740:
8487:
7482:
9630:{\displaystyle {\begin{aligned}\{a_{i}^{\,},a_{j}^{\dagger }\}&\equiv a_{i}^{\,}a_{j}^{\dagger }+a_{j}^{\dagger }a_{i}^{\,}=\delta _{ij},\\\{a_{i}^{\dagger },a_{j}^{\dagger }\}&=\{a_{i}^{\,},a_{j}^{\,}\}=0.\end{aligned}}}
1547:
631:
3990:
1640:
5516:
3622:{\displaystyle {\hat {H}}\psi _{0}=\hbar \omega \left(a^{\dagger }a+{\frac {1}{2}}\right)\psi _{0}=\hbar \omega a^{\dagger }a\psi _{0}+{\frac {\hbar \omega }{2}}\psi _{0}=0+{\frac {\hbar \omega }{2}}\psi _{0}=E_{0}\psi _{0}.}
4288:{\displaystyle {\begin{aligned}U(t)&=\exp(-it{\hat {H}}/\hbar )=\exp(-it\omega (a^{\dagger }a+1/2))~,\\&=e^{-it\omega /2}~\sum _{k=0}^{\infty }{(e^{-i\omega t}-1)^{k} \over k!}a^{{\dagger }{k}}a^{k}~.\end{aligned}}}
10233:
7406:
2272:
259:
4545:
8951:
10099:
4661:
3795:
9903:
9407:
9044:
7550:
6258:
5748:
4737:
4006:
2935:
2526:
1862:
163:. In the latter case, the creation operator is interpreted as a raising operator, adding a quantum of energy to the oscillator system (similarly for the lowering operator). They can be used to represent
10013:
841:
462:
7225:
6941:
on a one dimensional lattice. Each particle moves to the right or left with a certain probability, and each pair of particles at the same site annihilates each other with a certain other probability.
4459:
1463:
1164:
2925:
1068:
9782:
3113:{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {H}}\,a\psi _{n}&=(E_{n}-\hbar \omega )\,a\psi _{n}.\\{\hat {H}}\,a^{\dagger }\psi _{n}&=(E_{n}+\hbar \omega )\,a^{\dagger }\psi _{n}.\end{aligned}}}
469:
6696:
5743:
7944:
6650:
7269:
3338:
7344:
6820:
6766:
3701:
3187:
2825:{\displaystyle {\begin{aligned}\left&=\left=\hbar \omega \left=\hbar \omega \left(a+a^{\dagger }\right)=-\hbar \omega a.\\\left&=\hbar \omega \,a^{\dagger }.\end{aligned}}}
114:
6091:
1156:
7130:
3259:
3223:
1787:
618:
4391:
3840:
9396:
6908:
8830:
8378:
7834:
7057:
1653:
8383:
6584:
6184:
6049:
5365:
4588:
3871:
3411:
7896:
7802:
7411:
7303:
7020:
4339:
3378:
2516:
2323:
9023:
7718:
7536:
1470:
9349:
7861:
4692:
3905:
3306:
5985:
1560:
8860:
6858:
The annihilation and creation operator description has also been useful to analyze classical reaction diffusion equations, such as the situation when a gas of molecules
6848:
6726:
6612:
6548:
3150:
78:
7664:{\displaystyle {\begin{aligned}a\left|n\right\rangle &=(n)\left|n{-}1\right\rangle \\a^{\dagger }\left|n\right\rangle &=\left|n{+}1\right\rangle \end{aligned}}}
6984:
5543:
4719:
3728:
3654:
2862:
9661:
10397:
8334:
10358:
7977:
7747:
7084:
6935:
6484:
835:
6520:
6148:
5695:
1852:
1112:
10423:
5716:
3897:
2488:
2295:
10461:
8971:
8520:
8299:
7767:
6876:
6457:
6242:
6211:
6119:
6005:
5736:
5662:
5630:
3279:
1807:
9315:
7351:
6430:{\displaystyle {\begin{aligned}\{a(f),a(g)\}&=\{a^{\dagger }(f),a^{\dagger }(g)\}=0\\\{a(f),a^{\dagger }(g)\}&=\langle f\mid g\rangle .\end{aligned}}}
2460:{\displaystyle {\hat {H}}=\hbar \omega \left(a\,a^{\dagger }-{\frac {1}{2}}\right)=\hbar \omega \left(a^{\dagger }\,a+{\frac {1}{2}}\right).\qquad \qquad (*)}
1742:
This is significantly simpler than the original form. Further simplifications of this equation enable one to derive all the properties listed above thus far.
2070:
4464:
11067:
8869:
7540:
This definition of the operators will now be changed to accommodate the "non-quantum" nature of this problem and we shall use the following definition:
5449:
3733:
190:
of the creation and annihilation operators that are associated with the same boson state equals one, while all other commutators vanish. However, for
5573:
the operators derived above are actually a specific instance of a more generalized notion of creation and annihilation operators in the context of
4729:
The matrix expression of the creation and annihilation operators of the quantum harmonic oscillator with respect to the above orthonormal basis is
9278:{\displaystyle {\begin{aligned}\left&\equiv a_{i}^{\,}a_{j}^{\dagger }-a_{j}^{\dagger }a_{i}^{\,}=\delta _{ij},\\\left&==0,\end{aligned}}}
415:
10104:
796:{\displaystyle -{\frac {d^{2}}{dq^{2}}}+q^{2}=\left(-{\frac {d}{dq}}+q\right)\left({\frac {d}{dq}}+q\right)+{\frac {d}{dq}}q-q{\frac {d}{dq}}.}
11015:
4398:
1300:
1008:
10021:
4593:
10859:
7673:
note that even though the behavior of the operators on the kets has been modified, these operators still obey the commutation relation
8774:
This kind of notation allows the use of quantum field theoretic techniques to be used in the analysis of reaction diffusion systems.
9791:
9663:) operators in a product of creation or annihilation operators will reverse the sign in fermion systems, but not in boson systems.
6655:
1297:
and the Schrödinger equation for the oscillator becomes, with substitution of the above and rearrangement of the factor of 1/2,
399:{\displaystyle \left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}\right)\psi (x)=E\psi (x).}
207:
7154:
10973:
10814:
10751:
10265:
10260:
6459:
is finite dimensional. If we take a Banach space completion (only necessary in the infinite dimensional case), it becomes a
10778:
9908:
3308:
as "lowering" and "raising" operators between adjacent eigenstates. The energy difference between adjacent eigenstates is
2867:
10275:
9689:
4348:
10696:
10539:
2834:
These relations can be used to easily find all the energy eigenstates of the quantum harmonic oscillator as follows.
17:
8977:
that label the single-particle states of the system; hence, they are not necessarily single numbers. For example, a
10270:
7676:
7494:
998:{\displaystyle \left({\frac {d}{dq}}q-q{\frac {d}{dq}}\right)f(q)={\frac {d}{dq}}(qf(q))-q{\frac {df(q)}{dq}}=f(q)}
6910:. To see how this kind of reaction can be described by the annihilation and creation operator formalism, consider
10994:
10585:
10285:
625:
167:. Constructing Hamiltonians using these operators has the advantage that the theory automatically satisfies the
11062:
10852:
8787:
1290:{\displaystyle -{\frac {d^{2}}{dq^{2}}}+q^{2}=\left(-{\frac {d}{dq}}+q\right)\left({\frac {d}{dq}}+q\right)+1}
11123:
7901:
6121:
embeds as a complex vector subspace of its own CCR algebra. In a representation of this algebra, the element
168:
7230:
6627:
3311:
222:, one reinterprets the ladder operators as creation and annihilation operators, adding or subtracting fixed
7308:
6771:
6731:
3662:
3155:
83:
11025:
10830:(Vol. I), English translation from French by G. M. Temmer. North Holland, John Wiley & Sons. Ch. XII.
6054:
1818:
1117:
248:
First consider the simpler bosonic case of the photons of the quantum harmonic oscillator. Start with the
7089:
4342:
3228:
3192:
1748:
805:
The last two terms can be simplified by considering their effect on an arbitrary differentiable function
591:
253:
219:
183:
160:
48:
6189:
In general, the CCR algebra is infinite dimensional. If we take a Banach space completion, it becomes a
5439:{\displaystyle a_{ij}^{\dagger }=\left\langle \psi _{i}\right|a^{\dagger }\left|\psi _{j}\right\rangle }
3805:
579:{\displaystyle {\frac {\hbar \omega }{2}}\left(-{\frac {d^{2}}{dq^{2}}}+q^{2}\right)\psi (q)=E\psi (q).}
11118:
10635:
9788:
for
Fourier transforms, Tong and Peskin & Schroeder use the common asymmetric convention to obtain
9785:
9369:
6881:
8803:
8339:
7807:
7025:
11020:
10845:
6553:
6153:
6018:
5932:{\displaystyle {\begin{aligned}\left&=\left=0\\\left&=\langle f\mid g\rangle ,\end{aligned}}}
4556:
3845:
3383:
143:
Creation and annihilation operators can act on states of various types of particles. For example, in
7866:
7772:
7273:
6989:
4305:
3346:
3343:
The ground state can be found by assuming that the lowering operator possesses a nontrivial kernel:
2493:
2300:
11041:
10250:
8984:
9324:
7839:
4670:
3284:
10931:
10018:
Srednicki additionally merges the
Lorentz-invariant measure into his asymmetric Fourier measure,
5949:
8835:
6825:
6703:
6589:
6525:
3125:
249:
54:
10889:
6955:
5598:
5590:
5521:
4697:
3706:
3632:
2840:
80:) lowers the number of particles in a given state by one. A creation operator (usually denoted
40:
10804:
11057:
9640:
5594:
5566:
409:
10367:
8304:
10331:
10325:
10280:
8793:
7950:
7725:
7227:. It represents the juxtaposition (or conjunction, or tensor product) of the number states
7062:
6913:
6462:
5940:
5586:
5574:
5554:
5545:
are those of the quantum harmonic oscillator, and are sometimes called the "number basis".
4667:. Explicit formulas for all the eigenfunctions can now be found by repeated application of
808:
10659:
10509:
Dirac, P. A. M. (1927). "The quantum theory of the emission and absorption of radiation",
6496:
6124:
5671:
5636:(that is, any Hilbert space, viewed as representing the state of a single particle). The (
2332:
Using the commutation relations given above, the
Hamiltonian operator can be expressed as
1073:
8:
10402:
10255:
8783:
5700:
3876:
2472:
2279:
1735:{\displaystyle \hbar \omega \left(a^{\dagger }a+{\frac {1}{2}}\right)\psi (q)=E\psi (q).}
242:
133:
10428:
8482:{\displaystyle \lambda \sum _{i}(a_{i}a_{i}-a_{i}^{\dagger }a_{i}^{\dagger }a_{i}a_{i})}
10868:
8956:
8505:
8284:
7752:
7477:{\displaystyle a^{\dagger }\left|n\right\rangle ={\sqrt {n+1}}\left|n+1\right\rangle ,}
6861:
6853:
6442:
6227:
6196:
6104:
5990:
5721:
5647:
5615:
3264:
1792:
10831:
9288:
7151:
We can now describe the occupation of particles on the lattice as a 'ket' of the form
1542:{\displaystyle a^{\dagger }\ =\ {\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(-{\frac {d}{dq}}+q\right)}
10968:
10963:
10810:
10774:
10747:
10692:
10535:
10471:
have a common set of eigenfunctions (and are simultaneously diagonalizable), whereas
8797:
6012:
4664:
3985:{\displaystyle \hbar \omega \,\left(N+{\tfrac {1}{2}}\right)\,\psi (q)=E\,\psi (q)~.}
1810:
144:
117:
44:
1635:{\displaystyle a\ \ =\ {\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\ \ \ \!{\frac {d}{dq}}+q\right)}
11072:
10894:
10669:
6487:
5578:
2326:
187:
179:
156:
148:
5511:{\displaystyle a_{ij}=\left\langle \psi _{i}\right|a\left|\psi _{j}\right\rangle }
11088:
10989:
10936:
10800:
10741:
10527:
9352:
8974:
8863:
5560:
213:
10713:
8777:
10999:
10899:
10823:
10737:
9683:
9363:
9032:
The commutation relations of creation and annihilation operators in a multiple-
6944:
The probability that one particle leaves the site during the short time period
6245:
195:
10768:
11112:
9026:
5633:
5609:
5602:
6621:
6214:
238:
129:
116:) increases the number of particles in a given state by one, and it is the
10228:{\displaystyle =(2\pi )^{3}2\omega \,\delta (\mathbf {k} -\mathbf {k} ')}
7401:{\displaystyle a\left|n\right\rangle ={\sqrt {n}}\left|n-1\right\rangle }
6221:
5641:
5582:
5570:
3799:
Furthermore, it turns out that the first-mentioned operator in (*), the
10915:
10837:
10605:
This, and further operator formalism, can be found in Glimm and Jaffe,
10245:
9318:
6618:
6190:
6008:
3995:
3703:, which allows one to identify the energy eigenvalue of any eigenstate
2267:{\displaystyle ={\frac {1}{2}}={\frac {1}{2}}(+)=-{\frac {i}{2}}(+)=1.}
201:
137:
8800:
one works with creation and annihilation operators of quantum states,
4540:{\displaystyle \psi _{0}(q)=C\exp \left(-{\tfrac {1}{2}}q^{2}\right).}
10636:"Analysis of Reaction-Diffusion Processes by Field Theoretic Methods"
8946:{\displaystyle N=\sum _{i}n_{i}=\sum _{i}a_{i}^{\dagger }a_{i}^{\,},}
6486:
algebra. The CAR algebra is closely related, but not identical to, a
3842:
plays the most important role in applications, while the second one,
125:
51:
and many-particle systems. An annihilation operator (usually denoted
8953:
by one, in analogy to the harmonic oscillator. The indices (such as
7988:
This allows writing the pure diffusive behavior of the particles as
6854:
Creation and annihilation operators for reaction-diffusion equations
10094:{\displaystyle {\tilde {dk}}={\frac {d^{3}k}{(2\pi )^{3}2\omega }}}
8336:
different ways, so that the probability that a pair annihilates is
4656:{\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }\psi _{0}^{*}\psi _{0}\,dq=1}
4395:
Written out as a differential equation, the wavefunction satisfies
191:
152:
10673:
5612:
representation case the operators are constructed as follows: Let
5548:
3790:{\displaystyle E_{n}=\left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)\hbar \omega .}
10658:
Baez, John Carlos (2011). Network theory (blog post series;
9359:
8771:
Other kinds of interactions can be included in a similar manner.
621:
234:
223:
164:
121:
7140:
is so short, the probability that two or more will leave during
174:
The mathematics for the creation and annihilation operators for
6094:
175:
10664:
Baez, John Carlos; Biamonte, Jacob D. (April 2018).
9898:{\displaystyle =(2\pi )^{3}\delta (\mathbf {p} -\mathbf {q} )}
9033:
8978:
8778:
Creation and annihilation operators in quantum field theories
5637:
230:
7346:
located at the individual sites of the lattice. Recall that
6878:
diffuse and interact on contact, forming an inert product:
3189:
are also eigenstates of the
Hamiltonian, with eigenvalues
457:{\displaystyle x\ =\ {\sqrt {\frac {\hbar }{m\omega }}}q.}
7220:{\displaystyle |\dots ,n_{-1},n_{0},n_{1},\dots \rangle }
1650:, the Schrödinger equation for the oscillator reduces to
1070:
coinciding with the usual canonical commutation relation
208:
Quantum harmonic oscillator § Ladder operator method
10809:(2nd ed.). Reading, Massachusetts: Addison-Wesley.
7985:-th site while multiplying with the appropriate factor.
6630:
5064:
4762:
4596:
4508:
3928:
3762:
2597:
2469:
One may compute the commutation relations between the
10431:
10405:
10370:
10334:
10107:
10024:
10008:{\displaystyle =i\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')}
9911:
9794:
9692:
9643:
9405:
9372:
9327:
9291:
9042:
8987:
8959:
8872:
8838:
8806:
8531:
8508:
8386:
8342:
8307:
8287:
7994:
7953:
7904:
7869:
7842:
7810:
7775:
7755:
7728:
7679:
7548:
7497:
7414:
7354:
7311:
7276:
7233:
7157:
7092:
7065:
7028:
6992:
6958:
6916:
6884:
6864:
6828:
6774:
6734:
6706:
6658:
6592:
6556:
6528:
6499:
6465:
6445:
6256:
6230:
6199:
6156:
6127:
6107:
6057:
6021:
6007:
to the bosonic CCR algebra is required to be complex
5993:
5952:
5746:
5724:
5703:
5674:
5650:
5618:
5524:
5452:
5368:
4735:
4700:
4673:
4559:
4467:
4454:{\displaystyle q\psi _{0}+{\frac {d\psi _{0}}{dq}}=0}
4401:
4351:
4308:
4004:
3908:
3879:
3848:
3808:
3736:
3709:
3665:
3635:
3421:
3386:
3349:
3314:
3287:
3267:
3231:
3195:
3158:
3128:
2933:
2927:. Using these commutation relations, it follows that
2870:
2843:
2524:
2496:
2475:
2338:
2303:
2282:
2073:
1860:
1821:
1795:
1751:
1656:
1563:
1473:
1458:{\displaystyle \hbar \omega \left\psi (q)=E\psi (q).}
1303:
1167:
1120:
1076:
1011:
844:
811:
634:
594:
472:
418:
262:
151:
the creation and annihilation operators often act on
86:
57:
2920:{\displaystyle {\hat {H}}\psi _{n}=E_{n}\,\psi _{n}}
1063:{\displaystyle {\frac {d}{dq}}q-q{\frac {d}{dq}}=1,}
466:
The Schrödinger equation for the oscillator becomes
202:
Ladder operators for the quantum harmonic oscillator
9777:{\displaystyle =\delta (\mathbf {p} -\mathbf {q} )}
6522:removes (i.e. annihilates) a particle in the state
120:of the annihilation operator. In many subfields of
10455:
10417:
10391:
10352:
10227:
10093:
10007:
9897:
9776:
9655:
9629:
9390:
9343:
9309:
9277:
9017:
8965:
8945:
8854:
8824:
8761:
8514:
8481:
8372:
8328:
8293:
8271:
7971:
7938:
7890:
7855:
7828:
7796:
7761:
7741:
7712:
7663:
7530:
7476:
7400:
7338:
7297:
7263:
7219:
7124:
7078:
7051:
7014:
6978:
6929:
6902:
6870:
6842:
6814:
6760:
6720:
6690:
6644:
6606:
6578:
6542:
6514:
6478:
6451:
6429:
6236:
6205:
6178:
6150:will be realized as an annihilation operator, and
6142:
6113:
6085:
6043:
5999:
5979:
5931:
5730:
5710:
5689:
5656:
5624:
5537:
5510:
5438:
5352:
4713:
4686:
4655:
4582:
4539:
4453:
4385:
4333:
4287:
3984:
3891:
3865:
3834:
3789:
3722:
3695:
3648:
3621:
3405:
3372:
3332:
3300:
3273:
3253:
3217:
3181:
3144:
3112:
2919:
2856:
2824:
2510:
2482:
2459:
2317:
2289:
2266:
2057:
1846:
1801:
1781:
1734:
1634:
1541:
1457:
1289:
1150:
1106:
1062:
997:
829:
795:
612:
578:
456:
398:
229:Creation/annihilation operators are different for
108:
72:
5664:is the algebra-with-conjugation-operator (called
1605:
11110:
10560:
8862:. These operators change the eigenvalues of the
8281:The reaction term can be deduced by noting that
3413:. Applying the Hamiltonian to the ground state,
155:states. They can also refer specifically to the
10773:. Cambridge University Press. pp. 39, 41.
10736:
8788:Quantum field theory § Second quantization
6213:is closely related to, but not identical to, a
5549:Generalized creation and annihilation operators
10548:
10491:
6439:The CAR algebra is finite dimensional only if
10853:
10663:
9670:are an orthonormal basis of a Hilbert space
9614:
9582:
9572:
9536:
9444:
9410:
9385:
9373:
7885:
7791:
7327:
7292:
7258:
7214:
6837:
6749:
6735:
6715:
6691:{\displaystyle a(f)\left|0\right\rangle =0.}
6601:
6537:
6417:
6405:
6395:
6358:
6345:
6301:
6291:
6261:
5919:
5907:
5362:These can be obtained via the relationships
4345:can be found by imposing the condition that
3261:respectively. This identifies the operators
10534:. Cambridge University Press. p. 169.
7086:particles will stay put with a probability
6822:gives the number of particles in the state
620:is the same energy as that found for light
237:(half-integer spin). This is because their
10860:
10846:
10691:. Princeton University Press. p. 63.
10666:Quantum Techniques in Stochastic Mechanics
4297:
10766:
10760:
10579:
10577:
10575:
10197:
9611:
9595:
9510:
9464:
9423:
9256:
9240:
9151:
9105:
9062:
8937:
8849:
7115:
7042:
6969:
5707:
5577:. Mathematically and even more generally
4640:
3963:
3944:
3915:
3862:
3828:
3353:
3082:
3029:
2996:
2950:
2906:
2804:
2507:
2479:
2421:
2368:
2314:
2286:
1843:
252:for the one-dimensional time independent
10867:
10806:Statistical Mechanics: A Set of Lectures
10526:
4724:
3656:is an eigenfunction of the Hamiltonian.
194:the mathematics is different, involving
128:, the use of these operators instead of
10799:
10743:An Introduction to Quantum Field Theory
10566:
10554:
10497:
10304:A normal operator has a representation
7939:{\displaystyle a_{i-1}a_{i}^{\dagger }}
7898:. Thus, for example, the net effect of
6645:{\textstyle \left\vert 0\right\rangle }
14:
11111:
10730:
10572:
7264:{\displaystyle \dots ,|n_{-1}\rangle }
5581:can be understood in the context of a
3333:{\displaystyle \Delta E=\hbar \omega }
10841:
10633:
10532:The Quantum Theory of Fields Volume 1
9637:Therefore, exchanging disjoint (i.e.
7339:{\displaystyle |n_{1}\rangle ,\dots }
6815:{\displaystyle N=a^{\dagger }(f)a(f)}
6761:{\displaystyle \langle f|f\rangle =1}
3696:{\displaystyle E_{0}=\hbar \omega /2}
3182:{\displaystyle a^{\dagger }\psi _{n}}
2329:, which commute with their adjoints.
109:{\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}
43:that have widespread applications in
29:Operators useful in quantum mechanics
10711:
10705:
9362:, the commutator is replaced by the
7148:is very small and will be ignored.)
6652:with no particles, characterized by
6244:is constructed similarly, but using
6086:{\displaystyle f\to a^{\dagger }(f)}
2864:is an eigenstate of the Hamiltonian
1151:{\displaystyle p:=-i{\frac {d}{dq}}}
1114:, in position space representation:
226:of energy to the oscillator system.
10686:
10680:
10583:
7125:{\displaystyle 1-2\alpha n_{i}\,dt}
5668:) abstractly generated by elements
3659:This gives the ground state energy
3254:{\displaystyle E_{n}+\hbar \omega }
3218:{\displaystyle E_{n}-\hbar \omega }
1782:{\displaystyle p=-i{\frac {d}{dq}}}
613:{\displaystyle \hbar \omega =h\nu }
24:
10689:Quantum field theory in a nutshell
10618:
8533:
7996:
6897:
5593:without the need of realizing the
4610:
4605:
4386:{\displaystyle a\ \psi _{0}(q)=0.}
4191:
3835:{\displaystyle N=a^{\dagger }a\,,}
3315:
408:Make a coordinate substitution to
25:
11135:
10266:HolsteinâPrimakoff transformation
10261:BogoliubovâValatin transformation
9391:{\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}
6903:{\displaystyle A+A\to \emptyset }
4063:
3778:
3679:
3502:
3447:
3324:
3245:
3209:
3073:
2987:
2798:
2740:
2665:
2627:
2400:
2354:
10214:
10205:
10151:
10126:
9994:
9985:
9958:
9931:
9888:
9880:
9837:
9813:
9767:
9759:
9735:
9711:
9677:
8825:{\displaystyle a_{i}^{\dagger }}
8373:{\displaystyle \lambda n(n-1)dt}
7829:{\displaystyle a_{i}^{\dagger }}
7706:
7524:
7052:{\displaystyle \alpha n_{i}\,dt}
6586:creates a particle in the state
6011:(this adds more relations). Its
624:and that the parenthesis in the
10652:
10627:
10286:Canonical commutation relations
10276:JordanâSchwinger transformation
9025:is used to label states in the
7946:is to move a particle from the
6579:{\displaystyle a^{\dagger }(f)}
6179:{\displaystyle a^{\dagger }(f)}
6044:{\displaystyle a^{\dagger }(f)}
4583:{\displaystyle 1/{\sqrt{\pi }}}
3866:{\displaystyle aa^{\dagger }\,}
3406:{\displaystyle \psi _{0}\neq 0}
2518:operators and the Hamiltonian:
2447:
2446:
11063:Hanbury Brown and Twiss effect
10612:
10599:
10520:
10503:
10444:
10432:
10298:
10222:
10201:
10182:
10172:
10166:
10142:
10118:
10108:
10073:
10063:
10036:
10002:
9981:
9969:
9966:
9953:
9947:
9935:
9927:
9921:
9912:
9892:
9876:
9864:
9854:
9848:
9829:
9805:
9795:
9771:
9755:
9746:
9727:
9703:
9693:
9304:
9292:
9259:
9227:
9012:
8988:
8476:
8400:
8361:
8349:
8323:
8311:
8252:
8220:
7966:
7954:
7891:{\displaystyle |n_{i}\rangle }
7871:
7797:{\displaystyle |n_{i}\rangle }
7777:
7699:
7680:
7580:
7574:
7517:
7498:
7313:
7298:{\displaystyle |n_{0}\rangle }
7278:
7241:
7159:
7015:{\displaystyle \alpha n_{i}dt}
6894:
6830:
6809:
6803:
6797:
6791:
6742:
6708:
6668:
6662:
6594:
6573:
6567:
6530:
6509:
6503:
6392:
6386:
6370:
6364:
6342:
6336:
6320:
6314:
6288:
6282:
6273:
6267:
6220:For fermions, the (fermionic)
6173:
6167:
6137:
6131:
6080:
6074:
6061:
6038:
6032:
5974:
5968:
5962:
5892:
5886:
5870:
5864:
5838:
5832:
5816:
5810:
5780:
5774:
5765:
5759:
5684:
5678:
4484:
4478:
4374:
4368:
4334:{\displaystyle \ \psi _{0}(q)}
4328:
4322:
4228:
4199:
4126:
4123:
4093:
4078:
4066:
4052:
4034:
4018:
4012:
3973:
3967:
3954:
3948:
3428:
3373:{\displaystyle a\,\psi _{0}=0}
3079:
3057:
3023:
2993:
2971:
2944:
2877:
2767:
2716:
2704:
2698:
2679:
2540:
2511:{\displaystyle a^{\dagger }\,}
2454:
2448:
2345:
2318:{\displaystyle a^{\dagger }\,}
2255:
2252:
2240:
2234:
2222:
2219:
2200:
2197:
2182:
2176:
2158:
2155:
2139:
2109:
2093:
2074:
1999:
1984:
1902:
1887:
1834:
1822:
1726:
1720:
1708:
1702:
1449:
1443:
1431:
1425:
1095:
1083:
992:
986:
966:
960:
942:
939:
933:
924:
903:
897:
821:
815:
570:
564:
552:
546:
390:
384:
372:
366:
94:
64:
13:
1:
10485:
9018:{\displaystyle (n,\ell ,m,s)}
7713:{\displaystyle =\mathbf {1} }
7531:{\displaystyle =\mathbf {1} }
169:cluster decomposition theorem
10271:JordanâWigner transformation
9344:{\displaystyle \delta _{ij}}
8495:is replaced by number state
7856:{\displaystyle a^{\dagger }}
4687:{\displaystyle a^{\dagger }}
3301:{\displaystyle a^{\dagger }}
49:quantum harmonic oscillators
7:
10238:
6986:, let us say a probability
5980:{\displaystyle a:f\to a(f)}
5738:, subject to the relations
4549:The normalization constant
4343:quantum harmonic oscillator
254:quantum harmonic oscillator
220:quantum harmonic oscillator
184:quantum harmonic oscillator
161:quantum harmonic oscillator
10:
11140:
10479:famously don't and aren't.
9666:If the states labelled by
8855:{\displaystyle a_{i}^{\,}}
8781:
8525:Thus the state evolves by
8301:particles can interact in
7804:. Correspondingly, define
6843:{\displaystyle |f\rangle }
6721:{\displaystyle |f\rangle }
6607:{\displaystyle |f\rangle }
6543:{\displaystyle |f\rangle }
6248:relations instead, namely
5558:
5552:
3873:can simply be replaced by
3145:{\displaystyle a\psi _{n}}
1809:is the nondimensionalized
412:the differential equation
211:
205:
136:. They were introduced by
73:{\displaystyle {\hat {a}}}
47:, notably in the study of
11094:Creation and annihilation
11081:
11050:
11034:
11008:
10982:
10956:
10949:
10924:
10908:
10882:
10875:
10586:"Quantum Physics at UCSD"
10511:Proc Roy Soc London Ser A
6979:{\displaystyle n_{i}\,dt}
5538:{\displaystyle \psi _{i}}
4714:{\displaystyle \psi _{0}}
3723:{\displaystyle \psi _{n}}
3649:{\displaystyle \psi _{0}}
2857:{\displaystyle \psi _{n}}
11042:Transition dipole moment
10767:Srednicki, Mark (2007).
10740:; Schroeder, D. (1995).
10292:
6186:as a creation operator.
198:instead of commutators.
10932:Anti-symmetric operator
10925:Operators for operators
10662:). Later adapted into
10364:has the representation
9656:{\displaystyle i\neq j}
6193:. The CCR algebra over
4298:Explicit eigenfunctions
3996:time-evolution operator
1644:"annihilation operator"
588:Note that the quantity
178:is the same as for the
10457:
10419:
10393:
10392:{\displaystyle a=q+ip}
10354:
10229:
10095:
10009:
9899:
9778:
9682:While Zee obtains the
9657:
9631:
9392:
9345:
9311:
9279:
9019:
8967:
8947:
8856:
8826:
8794:quantum field theories
8763:
8516:
8483:
8374:
8330:
8329:{\displaystyle n(n-1)}
8295:
8273:
7973:
7940:
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