5064:
5022:
5017:
4997:
5007:
4987:
4977:
5084:
5074:
5054:
5033:
62:
is associated a crystallographic point group by "forgetting" the translational components of the symmetry operations. That is, by turning screw rotations into rotations, glide reflections into reflections and moving all symmetry elements into the origin. Each crystallographic point group defines the
50:
it may only contain one-, two-, three-, four- and sixfold rotations or rotoinversions. This reduces the number of crystallographic point groups to 32 (from an infinity of general point groups). These 32 groups are one-and-the-same as the 32 types of morphological (external) crystalline symmetries
4758:
Convert all symmetry elements with translational components into their respective symmetry elements without translation symmetry. (Glide planes are converted into simple mirror planes; screw axes are converted into simple axes of
2836:
2042:
1551:
2400:
1963:
4923:
3228:
3197:
2981:
2557:
2358:
1756:
1332:
3273:
3149:
3028:
2875:
2764:
2195:
2081:
1708:
1590:
1175:
4534:
4671:
4589:
4472:
4413:
4303:
4243:
4189:
2698:
2307:
1897:
1479:
4088:
4031:
3972:
3890:
3799:
3703:
3619:
3562:
3469:
3406:
3084:
2936:
2644:
2590:
2509:
2253:
1843:
1789:
1424:
1365:
2451:
2137:
1650:
1280:
1232:
1117:
4903:
70:
The point group of a crystal determines, among other things, the directional variation of physical properties that arise from its structure, including
3311:, 2, and m contain different geometric symmetry operations, (inversion, rotation, and reflection, respectively) but all share the structure of the
4930:
90:
The point groups are named according to their component symmetries. There are several standard notations used by crystallographers,
2788:
1994:
1503:
131:
notation, point groups are denoted by a letter symbol with a subscript. The symbols used in crystallography mean the following:
3327:, but not all groups of the same order are isomorphic. The point groups which are isomorphic are shown in the following table:
320:
47:
4899:
Names and symbols of the 32 crystal classes in
International Tables for Crystallography (2006). Vol. A, ch. 10.1, p. 794
4898:
4815:
4791:
122:
39:
17:
3307:
Many of the crystallographic point groups share the same internal structure. For example, the point groups
793:
787:
4893:
4992:
2370:
1933:
1387:
957:
5002:
4982:
4894:
Point-group symbols in
International Tables for Crystallography (2006). Vol. A, ch. 12.1, pp. 818-820
4051:
3853:
3302:
3204:
3173:
2957:
2533:
2334:
1732:
1619:
1308:
1201:
981:
921:
128:
3241:
3117:
2996:
5115:
5110:
5012:
4971:
4916:
4739:
3333:
2103:
1086:
1050:
1008:
853:
2845:
2734:
2171:
2051:
1684:
1560:
1151:
4745:
4507:
4644:
4562:
4445:
4386:
4276:
4216:
4162:
2674:
2283:
1873:
1455:
4061:
4004:
3945:
3863:
3772:
3676:
3592:
3535:
3442:
3379:
5027:
4849:
3348:
3343:
3338:
3324:
3058:
2910:
2897:
2620:
2566:
2485:
2229:
1819:
1765:
1400:
1341:
1058:
817:
116:
8:
5059:
2433:
2119:
1632:
1262:
1214:
1099:
52:
4853:
4873:
4776:
5105:
5079:
4877:
4865:
4861:
4763:
4723:
4206:
3320:
1063:
746:
275:
203:
4857:
3658:
1068:
164:
42:
whose symmetry operations are compatible with a three dimensional crystallographic
5049:
4950:
4752:
4731:
4552:
43:
31:
5069:
4939:
4819:
4796:
4703:
4266:
1045:
216:
103:
79:
71:
4746:
Deriving the crystallographic point group (crystal class) from the space group
5099:
4869:
3369:
75:
4679:
3762:
3582:
3525:
3432:
3312:
142:
91:
4786:
4781:
797:
264:
59:
800:
also serves to describe crystallographic point groups. Group names are
301:
95:
181:
with the addition of n mirror planes parallel to the axis of rotation.
163:
with the addition of a mirror (reflection) plane perpendicular to the
5063:
5021:
749:
with n=8 and 12 respectively. The 27 point groups in the table plus
304:) indicates that the group has the symmetry of an octahedron, with (
4908:
1034:
5016:
4996:
195:
267:) indicates that the group has the symmetry of a tetrahedron.
5006:
4986:
2831:{\displaystyle {\tfrac {6}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}}
2037:{\displaystyle {\tfrac {4}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}}
1546:{\displaystyle {\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}}
4976:
5083:
5073:
5053:
5032:
3209:
3178:
2962:
2817:
2805:
2793:
2538:
2339:
2023:
2011:
1999:
1737:
1532:
1520:
1508:
1313:
234:
has, in addition, a mirror plane perpendicular to the
4647:
4565:
4510:
4448:
4389:
4279:
4219:
4165:
4064:
4007:
3948:
3866:
3775:
3679:
3595:
3538:
3445:
3382:
3244:
3207:
3176:
3120:
3061:
2999:
2960:
2913:
2848:
2791:
2737:
2677:
2623:
2569:
2536:
2488:
2436:
2373:
2337:
2286:
2232:
2174:
2122:
2054:
1997:
1936:
1876:
1822:
1768:
1735:
1687:
1635:
1563:
1506:
1458:
1403:
1344:
1311:
1265:
1217:
1154:
1102:
315:) improper operations (those that change handedness).
101:
For the correspondence of the two systems below, see
4665:
4583:
4528:
4466:
4407:
4297:
4237:
4183:
4082:
4025:
3966:
3884:
3793:
3697:
3613:
3556:
3463:
3400:
3267:
3222:
3191:
3143:
3078:
3022:
2975:
2930:
2869:
2830:
2758:
2692:
2638:
2584:
2551:
2503:
2445:
2394:
2352:
2301:
2247:
2189:
2131:
2075:
2036:
1957:
1891:
1837:
1783:
1750:
1702:
1644:
1584:
1545:
1473:
1418:
1359:
1326:
1274:
1226:
1169:
1111:
327:= 1, 2, 3, 4, or 6 in 2- or 3-dimensional space.
55:from a consideration of observed crystal forms.
5097:
4840:Novak, I (1995-07-18). "Molecular isomorphism".
219:, or two-sided) indicates that the group has an
1035:The correspondence between different notations
4924:
778:constitute 32 crystallographic point groups.
745:are actually forbidden because they contain
781:
282:excludes improper rotation operations, and
58:In the classification of crystals, to each
4931:
4917:
78:, or electro-optical features such as the
4766:axes, and mirror planes remain unchanged.
227:twofold axes perpendicular to that axis.
3303:Crystal structure § Crystal systems
110:
14:
5098:
4912:
4839:
4738:). Here the symbol " Ă " indicates a
2896:
1618:
1386:
1200:
1085:
321:crystallographic restriction theorem
245:has, in addition to the elements of
4938:
4904:Pictorial overview of the 32 groups
2395:{\displaystyle {\tilde {6}}\cdot m}
1958:{\displaystyle {\tilde {4}}\cdot m}
24:
293:with the addition of an inversion.
145:) indicates that the group has an
27:Classification system for crystals
25:
5127:
4887:
4816:"(International Tables) Abstract"
53:Johann Friedrich Christian Hessel
5082:
5072:
5062:
5052:
5031:
5020:
5015:
5005:
4995:
4985:
4975:
4792:Point groups in three dimensions
252:, mirror planes parallel to the
123:Point groups in three dimensions
3296:
3223:{\displaystyle {\tfrac {2}{m}}}
3192:{\displaystyle {\tfrac {4}{m}}}
2976:{\displaystyle {\tfrac {2}{m}}}
2552:{\displaystyle {\tfrac {6}{m}}}
2353:{\displaystyle {\tfrac {2}{m}}}
1751:{\displaystyle {\tfrac {4}{m}}}
1327:{\displaystyle {\tfrac {2}{m}}}
4848:(4). IOP Publishing: 151â153.
4833:
4808:
3268:{\displaystyle {\tilde {6}}/4}
3251:
3144:{\displaystyle 3/{\tilde {4}}}
3135:
3023:{\displaystyle {\tilde {6}}/2}
3006:
2380:
2181:
1943:
1694:
1161:
198:) denotes a group with only a
13:
1:
4802:
40:three dimensional point group
4956:Crystallographic point group
4612:
4593:
4538:
4476:
4417:
4358:
4339:
4323:
4307:
4247:
4193:
4134:
4108:
4092:
4035:
3976:
3910:
3894:
3837:
3819:
3803:
3740:
3724:
3707:
3641:
3623:
3566:
3509:
3489:
3473:
3410:
3353:
3169:
3101:
3048:
2953:
2895:
2870:{\displaystyle m\cdot 6:m\ }
2784:
2759:{\displaystyle m\cdot 3:m\ }
2718:
2664:
2610:
2529:
2471:
2420:
2327:
2273:
2219:
2190:{\displaystyle {\tilde {6}}}
2157:
2101:
2076:{\displaystyle m\cdot 4:m\ }
1990:
1917:
1863:
1809:
1728:
1703:{\displaystyle {\tilde {4}}}
1670:
1617:
1585:{\displaystyle m\cdot 2:m\ }
1499:
1445:
1385:
1304:
1252:
1199:
1170:{\displaystyle {\tilde {2}}}
1137:
1084:
1076:
48:crystallographic restriction
36:crystallographic point group
7:
4842:European Journal of Physics
4770:
4529:{\displaystyle G_{24}^{10}}
792:An abbreviated form of the
85:
10:
5132:
4862:10.1088/0143-0807/16/4/001
4666:{\displaystyle G_{48}^{7}}
4584:{\displaystyle G_{24}^{7}}
4467:{\displaystyle G_{24}^{5}}
4408:{\displaystyle G_{16}^{9}}
4298:{\displaystyle G_{12}^{3}}
4238:{\displaystyle G_{12}^{5}}
4184:{\displaystyle G_{12}^{2}}
3300:
2693:{\displaystyle 6\cdot m\ }
2302:{\displaystyle 3\cdot m\ }
2102:
1892:{\displaystyle 4\cdot m\ }
1474:{\displaystyle 2\cdot m\ }
785:
120:
114:
5042:
4964:
4946:
4559:
4551:
4273:
4265:
4083:{\displaystyle G_{8}^{4}}
4058:
4050:
4026:{\displaystyle G_{8}^{2}}
3967:{\displaystyle G_{8}^{3}}
3885:{\displaystyle G_{6}^{2}}
3860:
3852:
3794:{\displaystyle G_{6}^{1}}
3769:
3761:
3698:{\displaystyle G_{4}^{2}}
3673:
3657:
3614:{\displaystyle G_{4}^{1}}
3589:
3581:
3557:{\displaystyle G_{3}^{1}}
3464:{\displaystyle G_{2}^{1}}
3439:
3431:
3401:{\displaystyle G_{1}^{1}}
3347:
2421:
2107:
1072:
1067:
1062:
1057:
1054:
1049:
1044:
1041:
1007:
980:
956:
920:
852:
816:
811:
223:-fold rotation axis plus
65:(geometric) crystal class
5013:trigonal & hexagonal
4678:This table makes use of
794:HermannâMauguin notation
788:HermannâMauguin notation
782:HermannâMauguin notation
204:rotation-reflection axis
3323:groups are of the same
4667:
4585:
4530:
4468:
4409:
4299:
4239:
4185:
4084:
4027:
3968:
3886:
3795:
3699:
3615:
3558:
3465:
3402:
3269:
3224:
3193:
3145:
3080:
3024:
2977:
2932:
2871:
2832:
2760:
2694:
2640:
2586:
2553:
2505:
2447:
2396:
2354:
2303:
2249:
2191:
2133:
2077:
2038:
1959:
1893:
1839:
1785:
1752:
1704:
1646:
1586:
1547:
1475:
1420:
1361:
1328:
1276:
1228:
1171:
1113:
4668:
4586:
4531:
4469:
4410:
4300:
4240:
4186:
4085:
4028:
3969:
3887:
3796:
3700:
3616:
3559:
3466:
3403:
3270:
3225:
3194:
3146:
3081:
3079:{\displaystyle 3/4\ }
3025:
2978:
2933:
2931:{\displaystyle 3/2\ }
2872:
2833:
2761:
2695:
2641:
2639:{\displaystyle 6:2\ }
2587:
2585:{\displaystyle 6:m\ }
2554:
2506:
2504:{\displaystyle 3:m\ }
2448:
2397:
2355:
2304:
2250:
2248:{\displaystyle 3:2\ }
2192:
2134:
2078:
2039:
1960:
1894:
1840:
1838:{\displaystyle 4:2\ }
1786:
1784:{\displaystyle 4:m\ }
1753:
1705:
1647:
1587:
1548:
1476:
1421:
1419:{\displaystyle 2:2\ }
1362:
1360:{\displaystyle 2:m\ }
1329:
1277:
1229:
1172:
1114:
149:-fold rotation axis.
121:Further information:
4645:
4563:
4508:
4446:
4387:
4277:
4217:
4163:
4062:
4005:
3946:
3864:
3773:
3677:
3593:
3536:
3443:
3380:
3242:
3205:
3174:
3118:
3059:
2997:
2958:
2911:
2846:
2789:
2735:
2675:
2621:
2567:
2534:
2486:
2434:
2371:
2335:
2284:
2230:
2172:
2120:
2052:
1995:
1934:
1874:
1820:
1766:
1733:
1685:
1633:
1561:
1504:
1456:
1401:
1342:
1309:
1263:
1215:
1152:
1100:
117:Schoenflies notation
111:Schoenflies notation
4854:1995EJPh...16..151N
4662:
4580:
4525:
4463:
4404:
4294:
4234:
4180:
4079:
4022:
3963:
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