5136:
4099:
3527:
522:
4368:
3867:
4691:
1243:
3008:
2490:
are constants with respect to the cylindrical coordinates and the limits of the summation and integration are determined by the boundary conditions of the problem. Note that the integral may be replaced by a sum for appropriate boundary conditions. The orthogonality of the
5575:
2452:
4916:
3874:
3302:
5371:
4884:
398:
4103:
3605:
2218:
4478:
2005:
1432:
1602:
1687:
1809:
1127:
267:
907:
1021:
1889:
698:
786:
2840:
5428:
2302:
5229:
5238:
1330:
4695:
389:
3077:
579:
2093:
3012:
In solving problems, the space may be divided into any number of pieces, as long as the values of the potential and its derivative match across a boundary which contains no sources.
1900:
3205:
1334:
1521:
2737:
2561:
1607:
305:
5424:
2299:
The cylindrical harmonics for (k,n) are now the product of these solutions and the general solution to
Laplace's equation is given by a linear combination of these solutions:
1725:
5131:{\displaystyle V(\rho ,\varphi ,z)={\frac {1}{R}}=\sum _{n=0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }d\left|k\right|\,A_{n}(k)J_{n}(k\rho )\cos(n(\varphi -\varphi _{0}))e^{-k|z-z_{0}|}}
1516:
1487:
4094:{\displaystyle V(\rho ,\varphi ,z)=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{r=0}^{\infty }\,A_{nr}J_{n}(k_{nr}\rho )\cos(n(\varphi -\varphi _{0}))\sinh(k_{nr}(L-z))\,\,\,\,\,z\geq z_{0}}
3522:{\displaystyle V(\rho ,\varphi ,z)=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{r=0}^{\infty }\,A_{nr}J_{n}(k_{nr}\rho )\cos(n(\varphi -\varphi _{0}))\sinh(k_{nr}(L+z))\,\,\,\,\,z\leq z_{0}}
66:
3291:
3252:
2674:
2635:
1122:
152:
1272:
797:
3600:
2525:
2488:
2290:
2254:
2077:
2041:
1454:
912:
147:
4465:
4396:
3560:
3158:
2808:
1816:
608:
2772:
2596:
4432:
2835:
2701:
1709:
1085:
3106:
3132:
703:
517:{\displaystyle {\frac {\ddot {P}}{P}}+{\frac {1}{\rho }}\,{\frac {\dot {P}}{P}}+{\frac {1}{\rho ^{2}}}\,{\frac {\ddot {\Phi }}{\Phi }}+{\frac {\ddot {Z}}{Z}}=0}
4363:{\displaystyle A_{nr}={\frac {4(2-\delta _{n0})}{a^{2}}}\,\,{\frac {\sinh k_{nr}(L+z_{0})}{\sinh 2k_{nr}L}}\,\,{\frac {J_{n}(k_{nr}\rho _{0})}{k_{nr}^{2}}}.\,}
3862:{\displaystyle A_{nr}={\frac {4(2-\delta _{n0})}{a^{2}}}\,\,{\frac {\sinh k_{nr}(L-z_{0})}{\sinh 2k_{nr}L}}\,\,{\frac {J_{n}(k_{nr}\rho _{0})}{k_{nr}^{2}}}\,}
4686:{\displaystyle V(\rho ,\varphi ,z)=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{r=0}^{\infty }\,A_{nr}J_{n}(k_{nr}\rho )\cos(n(\varphi -\varphi _{0}))e^{-k_{nr}|z-z_{0}|}}
5140:
4434:, the above function is zero. It can also be easily shown that the two functions match in value and in the value of their first derivatives at
1238:{\displaystyle {\frac {\ddot {P}}{P}}+{\frac {1}{\rho }}\,{\frac {\dot {P}}{P}}+{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {\ddot {\Phi }}{\Phi }}+k^{2}=0}
4475:
Removing the plane ends (i.e. taking the limit as L approaches infinity) gives the field of the point source inside a conducting cylinder:
1285:
3293:, and it must be chosen so that one of its zeroes lands on the bounding cylinder. For the measurement point below the source point on the
333:
319:
applied to
Laplace's equation, very general solutions to Laplace's equation can be obtained by linear combinations of these functions.
1057:
may be a discrete variable for periodic boundary conditions, or it may be a continuous variable for non-periodic boundary conditions.
537:
3003:{\displaystyle \int _{0}^{1}J_{n}(x_{k}\rho )J_{n}(x_{k}'\rho )\rho \,d\rho ={\frac {1}{2}}J_{n+1}(x_{k})^{2}\delta _{kk'}}
5570:{\displaystyle V(\rho ,\varphi ,z)={\frac {1}{\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}}}=\int _{0}^{\infty }J_{0}(k\rho )e^{-k|z|}\,dk.}
2447:{\displaystyle V(\rho ,\varphi ,z)=\sum _{n}\int d\left|k\right|\,\,A_{n}(k)P_{n}(k,\rho )\Phi _{n}(\varphi )Z(k,z)\,}
3023:
5679:
5366:{\displaystyle R={\sqrt {(z-z_{0})^{2}+\rho ^{2}+\rho _{0}^{2}-2\rho \rho _{0}\cos(\varphi -\varphi _{0})}}.\,}
69:
4879:{\displaystyle A_{nr}={\frac {2(2-\delta _{n0})}{a^{2}}}\,\,{\frac {J_{n}(k_{nr}\rho _{0})}{k_{nr}^{2}}}.\,}
3163:
3079:
inside a conducting cylindrical tube (e.g. an empty tin can) which is bounded above and below by the planes
326: are conicoid, Laplace's equation is separable in cylindrical coordinates. Using the technique of the
2706:
2530:
272:
5383:
2598:
functions are essentially
Fourier or Laplace expansions, and form a set of orthogonal functions. When
5658:
1492:
1463:
2213:{\displaystyle P_{n}(k,\rho )=I_{n}(|k|\rho )\,\,\,\,\,\,\mathrm {or} \,\,\,\,\,\,K_{n}(|k|\rho )\,}
35:
3257:
3218:
2640:
2601:
1090:
3215:
function can be taken to be periodic. Since the potential must be zero at the origin, we take the
327:
316:
2000:{\displaystyle P_{n}(k,\rho )=J_{n}(k\rho )\,\,\,\,\,\,\mathrm {or} \,\,\,\,\,\,Y_{n}(k\rho )\,}
1427:{\displaystyle \rho ^{2}{\frac {\ddot {P}}{P}}+\rho {\frac {\dot {P}}{P}}+k^{2}\rho ^{2}=n^{2}}
1250:
3569:
2494:
2457:
2259:
2223:
2046:
2010:
1439:
116:
4437:
4375:
3532:
3137:
3020:
As an example, consider the problem of determining the potential of a unit source located at
2780:
1597:{\displaystyle \Phi _{n}=\cos(n\varphi )\,\,\,\,\,\,\mathrm {or} \,\,\,\,\,\,\sin(n\varphi )}
29:
2742:
2566:
1682:{\displaystyle \Phi _{n}=e^{in\varphi }\,\,\,\,\,\,\mathrm {or} \,\,\,\,\,\,e^{-in\varphi }}
4401:
2813:
2679:
1694:
1063:
3082:
8:
5585:
3111:
1804:{\displaystyle P_{n}(0,\rho )=\rho ^{n}\,\,\,\,\,\,\mathrm {or} \,\,\,\,\,\,\rho ^{-n}\,}
1042:
1038:
25:
262:{\displaystyle V_{n}(k;\rho ,\varphi ,z)=P_{n}(k,\rho )\Phi _{n}(\varphi )Z(k,z)\,}
902:{\displaystyle Z(k,z)=\cos(|k|z)\,\,\,\,\,\,\mathrm {or} \,\,\,\,\,\,\sin(|k|z)\,}
2293:
2080:
1016:{\displaystyle Z(k,z)=e^{i|k|z}\,\,\,\,\,\,\mathrm {or} \,\,\,\,\,\,e^{-i|k|z}\,}
102:
4913:
becomes an integral, and we have the field of a point source in infinite space:
1884:{\displaystyle P_{0}(0,\rho )=\ln \rho \,\,\,\,\,\,\mathrm {or} \,\,\,\,\,\,1\,}
693:{\displaystyle Z(k,z)=\cosh(kz)\,\,\,\,\,\,\mathrm {or} \,\,\,\,\,\,\sinh(kz)\,}
586:
5673:
3015:
97:) is the product of three terms, each depending on one coordinate alone. The
781:{\displaystyle Z(k,z)=e^{kz}\,\,\,\,\,\,\mathrm {or} \,\,\,\,\,\,e^{-kz}\,}
2527:
is often very useful when finding a solution to a particular problem. The
5649:
17:
315:
constants that differentiate the members of the set. As a result of the
3602:
and, from the orthogonality relationships for each of the functions:
330:, a separated solution to Laplace's equation can be expressed as:
5235:
is the distance from the point source to the measurement point:
5224:{\displaystyle A_{n}(k)=(2-\delta _{n0})J_{n}(k\rho _{0})\,}
105:(which occasionally are also called cylindrical harmonics).
3016:
Example: Point source inside a conducting cylindrical tube
149:
of this basis consists of the product of three functions:
2090:
is an imaginary number, we may write a real solution as:
5375:
3207:). Since the potential is bounded by the planes on the
1278: and Φ functions and introduce another constant (
601:) function has two linearly independent solutions. If
5431:
5386:
5241:
5143:
4919:
4698:
4481:
4440:
4404:
4378:
4106:
3877:
3608:
3572:
3535:
3305:
3260:
3221:
3166:
3140:
3114:
3085:
3026:
2843:
2816:
2783:
2745:
2709:
2682:
2643:
2604:
2569:
2533:
2497:
2460:
2305:
2262:
2226:
2096:
2049:
2013:
1903:
1819:
1728:
1697:
1610:
1524:
1495:
1466:
1442:
1337:
1325:{\displaystyle {\frac {\ddot {\Phi }}{\Phi }}=-n^{2}}
1288:
1253:
1130:
1093:
1066:
915:
800:
706:
611:
540:
401:
336:
275:
155:
119:
38:
5597:
5609:
1489:the constants are subscripted. Real solutions for
5569:
5418:
5365:
5223:
5130:
4897:) approaches infinity, the sum over the zeroes of
4878:
4685:
4459:
4426:
4390:
4362:
4093:
3861:
3594:
3554:
3521:
3285:
3246:
3199:
3152:
3126:
3100:
3071:
3002:
2829:
2802:
2766:
2731:
2695:
2668:
2629:
2590:
2555:
2519:
2482:
2446:
2284:
2248:
2212:
2071:
2035:
1999:
1897:is a real number we may write a real solution as:
1883:
1803:
1703:
1681:
1596:
1510:
1481:
1460:to be a non-negative integer and accordingly, the
1448:
1426:
1324:
1266:
1237:
1116:
1079:
1015:
901:
780:
692:
573:
534:alone, and must therefore be equal to a constant:
516:
383:
299:
261:
141:
60:
5380:Finally, when the point source is at the origin,
384:{\displaystyle V=P(\rho )\,\Phi (\varphi )\,Z(z)}
5671:
2703:, along with the orthogonality relationships of
4470:
1124: , Laplace's equation may now be written:
3072:{\displaystyle (\rho _{0},\varphi _{0},z_{0})}
4888:
1813:If both k and n are zero, the solutions are:
530: part of the equation is a function of
3254:function to be the ordinary Bessel function
574:{\displaystyle {\frac {\ddot {Z}}{Z}}=k^{2}}
5659:"Espaces de Hilbert et fonctions spéciales"
322:Since all surfaces with constant ρ, φ and
5557:
5362:
5220:
5010:
4875:
4760:
4759:
4551:
4359:
4244:
4243:
4168:
4167:
4074:
4073:
4072:
4071:
4070:
3947:
3858:
3746:
3745:
3670:
3669:
3502:
3501:
3500:
3499:
3498:
3375:
2923:
2810:is the sequence of the positive zeros of
2443:
2361:
2360:
2209:
2176:
2175:
2174:
2173:
2172:
2171:
2162:
2161:
2160:
2159:
2158:
2157:
1996:
1973:
1972:
1971:
1970:
1969:
1968:
1959:
1958:
1957:
1956:
1955:
1954:
1880:
1876:
1875:
1874:
1873:
1872:
1871:
1862:
1861:
1860:
1859:
1858:
1857:
1800:
1786:
1785:
1784:
1783:
1782:
1781:
1772:
1771:
1770:
1769:
1768:
1767:
1659:
1658:
1657:
1656:
1655:
1654:
1645:
1644:
1643:
1642:
1641:
1640:
1575:
1574:
1573:
1572:
1571:
1570:
1561:
1560:
1559:
1558:
1557:
1556:
1161:
1012:
982:
981:
980:
979:
978:
977:
968:
967:
966:
965:
964:
963:
898:
869:
868:
867:
866:
865:
864:
855:
854:
853:
852:
851:
850:
777:
760:
759:
758:
757:
756:
755:
746:
745:
744:
743:
742:
741:
689:
670:
669:
668:
667:
666:
665:
656:
655:
654:
653:
652:
651:
470:
432:
368:
355:
258:
5656:
5615:
5672:
5643:
5628:
5603:
3200:{\displaystyle q/4\pi \epsilon _{0}=1}
2774:allow the constants to be determined.
307:are the cylindrical coordinates, and
5376:Point source in open space at origin
2732:{\displaystyle \Phi _{n}(\varphi )}
2556:{\displaystyle \Phi _{n}(\varphi )}
1037:) functions are the kernels of the
391:and Laplace's equation, divided by
13:
5627:Configuration and variables as in
5504:
4991:
4976:
4546:
4525:
3942:
3921:
3370:
3349:
2711:
2535:
2407:
2167:
2164:
1964:
1961:
1867:
1864:
1777:
1774:
1650:
1647:
1612:
1566:
1563:
1526:
1496:
1467:
1301:
1293:
1211:
1203:
973:
970:
860:
857:
751:
748:
700:or by their behavior at infinity:
661:
658:
483:
475:
356:
300:{\displaystyle (\rho ,\varphi ,z)}
222:
40:
14:
5691:
5419:{\displaystyle \rho _{0}=z_{0}=0}
3134:and on the sides by the cylinder
3160:. (In MKS units, we will assume
1711:is a form of Bessel's equation.
28:functions that are solutions to
4893:As the radius of the cylinder (
1511:{\displaystyle \Phi (\varphi )}
1482:{\displaystyle \Phi (\varphi )}
30:Laplace's differential equation
5646:Static and Dynamic Electricity
5621:
5551:
5543:
5528:
5519:
5453:
5435:
5354:
5335:
5270:
5250:
5217:
5201:
5188:
5166:
5160:
5154:
5122:
5101:
5086:
5083:
5064:
5058:
5049:
5040:
5027:
5021:
4941:
4923:
4860:
4856:
4837:
4818:
4800:
4774:
4743:
4721:
4677:
4656:
4631:
4628:
4609:
4603:
4594:
4575:
4503:
4485:
4414:
4406:
4344:
4340:
4321:
4302:
4284:
4258:
4210:
4191:
4151:
4129:
4067:
4064:
4052:
4036:
4027:
4024:
4005:
3999:
3990:
3971:
3899:
3881:
3846:
3842:
3823:
3804:
3786:
3760:
3712:
3693:
3653:
3631:
3589:
3583:
3495:
3492:
3480:
3464:
3455:
3452:
3433:
3427:
3418:
3399:
3327:
3309:
3280:
3271:
3241:
3232:
3066:
3027:
2973:
2959:
2917:
2898:
2885:
2869:
2791:
2784:
2761:
2749:
2726:
2720:
2663:
2654:
2624:
2615:
2585:
2573:
2550:
2544:
2514:
2508:
2477:
2471:
2440:
2428:
2422:
2416:
2403:
2391:
2378:
2372:
2327:
2309:
2279:
2273:
2243:
2237:
2206:
2199:
2191:
2187:
2154:
2147:
2139:
2135:
2119:
2107:
2066:
2060:
2030:
2024:
1993:
1984:
1951:
1942:
1926:
1914:
1842:
1830:
1751:
1739:
1691:The differential equation for
1591:
1582:
1553:
1544:
1505:
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1476:
1470:
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919:
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710:
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677:
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627:
615:
378:
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359:
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276:
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231:
218:
206:
190:
166:
136:
130:
61:{\displaystyle \nabla ^{2}V=0}
1:
5636:
3297:axis, the potential will be:
3286:{\displaystyle J_{n}(k\rho )}
3247:{\displaystyle P_{n}(k\rho )}
2669:{\displaystyle J_{n}(k\rho )}
2630:{\displaystyle P_{n}(k\rho )}
1117:{\displaystyle {\ddot {Z}}/Z}
108:
4471:Point source inside cylinder
101:-dependent term is given by
7:
5644:Smythe, William R. (1968).
5579:
1722:is not, the solutions are:
10:
5696:
5657:Guillopé, Laurent (2010).
4889:Point source in open space
1274:, we may now separate the
1456:is periodic, we may take
1267:{\displaystyle \rho ^{2}}
585: is, in general, a
5591:
3871:Above the source point:
3595:{\displaystyle J_{n}(z)}
2520:{\displaystyle J_{n}(x)}
2483:{\displaystyle A_{n}(k)}
2285:{\displaystyle K_{n}(z)}
2249:{\displaystyle I_{n}(z)}
2072:{\displaystyle Y_{n}(z)}
2036:{\displaystyle J_{n}(z)}
1449:{\displaystyle \varphi }
1025:It can be seen that the
142:{\displaystyle V_{n}(k)}
84:(height). Each function
4460:{\displaystyle z=z_{0}}
4391:{\displaystyle \rho =a}
3555:{\displaystyle k_{nr}a}
3153:{\displaystyle \rho =a}
2803:{\displaystyle (x)_{k}}
2676:, the orthogonality of
328:separation of variables
317:superposition principle
70:cylindrical coordinates
5680:Differential equations
5571:
5420:
5367:
5225:
5132:
4980:
4880:
4687:
4550:
4529:
4461:
4428:
4392:
4372:It is clear that when
4364:
4095:
3946:
3925:
3863:
3596:
3556:
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2767:{\displaystyle Z(k,z)}
2733:
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2631:
2592:
2591:{\displaystyle Z(k,z)}
2557:
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76:(radial coordinate),
63:
22:cylindrical harmonics
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538:
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334:
273:
153:
117:
36:
26:linearly independent
5586:Spherical harmonics
5508:
5309:
4995:
3127:{\displaystyle z=L}
2913:
2858:
589:. For a particular
80:(polar angle), and
5567:
5494:
5416:
5363:
5295:
5221:
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1604:or, equivalently:
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1235:
1114:
1077:
1053:) function and so
1013:
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605:is real they are:
571:
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1141:
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1043:Laplace transform
1039:Fourier transform
556:
551:
506:
501:
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481:
468:
448:
443:
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417:
412:
5687:
5665:
5663:
5653:
5648:(3rd ed.).
5631:
5625:
5619:
5613:
5607:
5601:
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5574:
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5556:
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