1047:
462:
1042:{\displaystyle {\begin{aligned}q(x^{2})&=\left(x^{2}-x_{1}^{2}\right)\cdots \left(x^{2}-x_{n}^{2}\right)\\&=(x-x_{1})(x+x_{1})\cdots (x-x_{n})(x+x_{n})\\&=\left\{(x-x_{1})\cdots (x-x_{n})\right\}\times \left\{(x+x_{1})\cdots (x+x_{n})\right\}\\&=p(x)\times \left\{(-1)^{n}(-x-x_{1})\cdots (-x-x_{n})\right\}\\&=p(x)\times \left\{(-1)^{n}p(-x)\right\}\\&=(-1)^{n}p(x)p(-x)\end{aligned}}}
2543:
4007:
This kind of computation with infinitesimals is easy to implement analogous to the computation with complex numbers. If one assumes complex coordinates or an initial shift by some randomly chosen complex number, then all roots of the polynomial will be distinct and consequently recoverable with the
3535:
From a numerical point of view, this method is problematic since the coefficients of the iterated polynomials span very quickly many orders of magnitude, which implies serious numerical errors. One second, but minor concern is that many different polynomials lead to the same
Graeffe iterates.
1301:
2245:
3885:
3081:
4483:
1486:
58:
also discovered the principal idea of the method. The method separates the roots of a polynomial by squaring them repeatedly. This squaring of the roots is done implicitly, that is, only working on the coefficients of the polynomial. Finally,
5015:
one can determine the multiplicities of the roots of the polynomial. Combining this renormalization with the tangent iteration one can extract directly from the coefficients at the corners of the envelope the roots of the original polynomial.
3267:
Graeffe's method works best for polynomials with simple real roots, though it can be adapted for polynomials with complex roots and coefficients, and roots with higher multiplicity. For instance, it has been observed that for a root
1905:
2051:
3444:
3086:
Finally, logarithms are used in order to find the absolute values of the roots of the original polynomial. These magnitudes alone are already useful to generate meaningful starting points for other root-finding methods.
2538:{\displaystyle {\begin{aligned}a_{\;1}^{k}&=-(y_{1}+y_{2}+\cdots +y_{n})\\a_{\;2}^{k}&=y_{1}y_{2}+y_{1}y_{3}+\cdots +y_{n-1}y_{n}\\&\;\vdots \\a_{\;n}^{k}&=(-1)^{n}(y_{1}y_{2}\cdots y_{n}).\end{aligned}}}
1079:
451:
1600:
1739:
4785:
4003:
3677:
3722:
2910:
3343:
278:
2250:
1084:
467:
2224:
4016:
Every polynomial can be scaled in domain and range such that in the resulting polynomial the first and the last coefficient have size one. If the size of the inner coefficients is bounded by
168:
4689:
4611:
2898:
5013:
348:
2687:
2149:
4177:
2841:
4851:
4229:
3090:
To also obtain the angle of these roots, a multitude of methods has been proposed, the most simple one being to successively compute the square root of a (possibly complex) root of
4326:
2752:
4109:
4905:
3710:
3603:
2592:
4287:
3483:
4550:
3530:
1312:
2786:
4943:
3570:
3258:
3216:
3174:
2618:
2080:
3124:
4048:
4510:
4314:
3919:
4320:
to the corresponding dyadic root. Since this preserves the magnitude of the (representation of the) initial coefficients, this process was named renormalization.
1761:
1916:
3355:
1296:{\displaystyle {\begin{aligned}p(x)&=x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n-1}x+a_{n}\\q(x)&=x^{n}+b_{1}x^{n-1}+\cdots +b_{n-1}x+b_{n}\end{aligned}}}
5194:
356:
1744:
This expression involves the squaring of two polynomials of only half the degree, and is therefore used in most implementations of the method.
4114:
To overcome the limit posed by the growth of the powers, MalajovichâZubelli propose to represent coefficients and intermediate results in the
1508:
5413:
1622:
4694:
3924:
3880:{\displaystyle (x_{m}-\varepsilon )^{2^{k}}=x_{m}^{2^{k}}-\varepsilon \,{2^{k}}\,x_{m}^{2^{k}-1}=y_{m}+\varepsilon \,{\dot {y}}_{m}.}
3076:{\displaystyle y_{1}\approx -a_{\;1}^{k},\;y_{2}\approx -a_{\;2}^{k}/a_{\;1}^{k},\;\dots \;y_{n}\approx -a_{\;n}^{k}/a_{\;n-1}^{k}.}
17:
3608:
3271:
5295:
179:
5187:
5392:
4323:
Multiplication of two numbers of this type is straightforward, whereas addition is performed following the factorization
2161:
5318:
91:
5211:
4616:
5180:
4562:
2847:
4948:
5382:
297:
2623:
2085:
4128:
2797:
4797:
4478:{\displaystyle c_{3}=c_{1}+c_{2}=|c_{1}|\cdot \left(\alpha _{1}+\alpha _{2}{\tfrac {|c_{2}|}{|c_{1}|}}\right)}
4189:
2692:
4057:
5346:
4864:
3682:
3575:
2551:
5351:
4234:
1747:
Iterating this procedure several times separates the roots with respect to their magnitudes. Repeating
1481:{\displaystyle b_{k}=(-1)^{k}a_{k}^{2}+2\sum _{j=0}^{k-1}(-1)^{j}\,a_{j}a_{2k-j},\qquad a_{0}=b_{0}=1.}
3449:
4515:
3491:
5336:
5280:
5148:
5044:
2757:
47:
4910:
3555:
5361:
5239:
5203:
4020:, then the size of the inner coefficients after one stage of the Graeffe iteration is bounded by
3221:
3179:
3137:
2597:
2059:
55:
5285:
5143:
5025:
43:
3093:
60:
5377:
4023:
2791:
The coefficients of the iterated polynomial can then be approximated by their leading term,
5356:
5331:
4488:
4292:
3897:
3218:, it might be necessary to numerically improve the accuracy of the root approximations for
1900:{\displaystyle q^{k}(y)=y^{n}+{a^{k}}_{1}\,y^{n-1}+\cdots +{a^{k}}_{n-1}\,y+{a^{k}}_{n}\,}
8:
5270:
5262:
2046:{\displaystyle y_{1}=x_{1}^{2^{k}},\,y_{2}=x_{2}^{2^{k}},\,\dots ,\,y_{n}=x_{n}^{2^{k}}.}
51:
2056:
If the magnitudes of the roots of the original polynomial were separated by some factor
5387:
5308:
5252:
5247:
5161:
5099:
5064:
3261:
5303:
5116:
5119:
5219:
5153:
5091:
5056:
3439:{\displaystyle \left|{\frac {(a_{\;\ell +i}^{m-1})^{2}}{a_{\;\ell +i}^{m}}}\right|}
5165:
1062:
can now be computed by algebraic operations on the coefficients of the polynomial
2236:
5407:
5326:
5275:
5134:
Malajovich, Gregorio; Zubelli, Jorge P. (2001). "Tangent
Graeffe iteration".
3552:. Symbolically, this is achieved by introducing an "algebraic infinitesimal"
446:{\displaystyle q(x)=\left(x-x_{1}^{2}\right)\cdots \left(x-x_{n}^{2}\right).}
5224:
3549:
3545:
5172:
5157:
3532:. This allows to estimate the multiplicity structure of the set of roots.
31:
5229:
5103:
5068:
1595:{\displaystyle p(x)=p_{e}\left(x^{2}\right)+xp_{o}\left(x^{2}\right),}
5124:
4945:. By identifying the corners of the convex envelope of the point set
1734:{\displaystyle q(x)=(-1)^{n}\left(p_{e}(x)^{2}-xp_{o}(x)^{2}\right).}
5095:
5060:
5082:
Best, G.C. (1949). "Notes on the
Graeffe Method of Root Squaring".
4780:{\displaystyle s=\alpha _{1}+\alpha _{2}\,e^{2^{k}(r_{1}-r_{2})}.}
3998:{\displaystyle x_{m}=-{\tfrac {2^{k}\,y_{m}}{{\dot {y}}_{m}}}.}
3134:
to 1, and testing which of the two sign variants is a root of
5114:
4857:
of the
Graeffe iteration, for some reasonably large value of
3672:{\displaystyle p(x+\varepsilon )=p(x)+\varepsilon \,p'(x)}
3338:{\displaystyle x_{\ell +1}=x_{\ell +2}=\dots =x_{\ell +d}}
273:{\displaystyle p(-x)=(-1)^{n}(x+x_{1})\cdots (x+x_{n}).}
1605:
then one obtains a simplified algebraic expression for
4580:
4421:
3945:
44:
algorithm for finding all of the roots of a polynomial
4951:
4913:
4867:
4800:
4697:
4619:
4565:
4518:
4491:
4329:
4295:
4237:
4192:
4131:
4060:
4026:
3927:
3900:
3725:
3685:
3611:
3578:
3558:
3494:
3452:
3358:
3274:
3224:
3182:
3140:
3096:
2913:
2850:
2800:
2760:
2695:
2626:
2600:
2554:
2248:
2164:
2088:
2062:
1919:
1764:
1625:
1511:
1315:
1082:
465:
359:
300:
182:
94:
2155:-th iterate are separated by a fast growing factor
5007:
4937:
4899:
4845:
4779:
4683:
4605:
4544:
4512:is chosen as the larger of both numbers, that is,
4504:
4477:
4308:
4281:
4223:
4171:
4103:
4042:
3997:
3913:
3879:
3704:
3671:
3597:
3564:
3524:
3477:
3438:
3337:
3252:
3210:
3168:
3118:
3075:
2892:
2835:
2780:
2746:
2681:
2612:
2586:
2537:
2219:{\displaystyle \rho ^{2^{k}}\geq 1+2^{k}(\rho -1)}
2218:
2143:
2074:
2045:
1899:
1733:
1594:
1480:
1295:
1041:
445:
342:
272:
162:
5133:
4118:th stage of the algorithm by a scaled polar form
3469:
3456:
5405:
163:{\displaystyle p(x)=(x-x_{1})\cdots (x-x_{n}).}
4684:{\displaystyle r_{3}=r_{1}+2^{-k}\,\log {|s|}}
4316:in the exponent reduces the absolute value of
3544:This method replaces the numbers by truncated
40:Dandelin–Lobachesky–Graeffe method
5188:
5047:(1959). "Dandelin, LobaÄevskiÇ, or Graeffe".
4606:{\displaystyle \alpha _{3}={\tfrac {s}{|s|}}}
2893:{\displaystyle a_{\;2}^{k}\approx y_{1}y_{2}}
2230:
66:
5008:{\displaystyle \{(m,r_{m}):\;m=0,\dots ,n\}}
5002:
4952:
4289:is a positive real. Splitting off the power
3539:
2594:are sufficiently separated, say by a factor
63:are used in order to approximate the roots.
5202:
5043:
343:{\displaystyle x_{1}^{2},\cdots ,x_{n}^{2}}
5195:
5181:
4980:
3413:
3374:
3053:
3032:
3010:
3006:
2992:
2971:
2949:
2935:
2856:
2806:
2682:{\displaystyle |x_{m}|\geq \rho |x_{m+1}|}
2452:
2439:
2336:
2258:
2144:{\displaystyle |x_{k}|\geq \rho |x_{k+1}|}
5147:
4727:
4659:
4172:{\displaystyle c=\alpha \,e^{-2^{k}\,r},}
4160:
4141:
3958:
3854:
3806:
3793:
3651:
2836:{\displaystyle a_{\;1}^{k}\approx -y_{1}}
2754:of the roots are separated by the factor
2004:
1997:
1958:
1896:
1870:
1819:
1415:
4846:{\displaystyle a_{0},a_{1},\dots ,a_{n}}
4224:{\displaystyle \alpha ={\frac {c}{|c|}}}
294:be the polynomial which has the squares
4231:is a complex number of unit length and
1491:Graeffe observed that if one separates
14:
5406:
27:Algorithm for finding polynomial roots
5176:
5115:
2747:{\displaystyle y_{1},y_{2},...,y_{n}}
1306:then the coefficients are related by
46:. It was developed independently by
5081:
4104:{\displaystyle n^{2^{k}-1}M^{2^{k}}}
3176:. Before continuing to the roots of
5414:Polynomial factorization algorithms
4900:{\displaystyle (\alpha _{m},r_{m})}
1751:times gives a polynomial of degree
24:
4011:
3705:{\displaystyle x_{m}-\varepsilon }
3598:{\displaystyle \varepsilon ^{2}=0}
3460:
2788:, which quickly becomes very big.
2587:{\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}
25:
5425:
5084:The American Mathematical Monthly
5049:The American Mathematical Monthly
4282:{\displaystyle r=-2^{-k}\log |c|}
5393:Sidi's generalized secant method
67:Dandelin–Graeffe iteration
5383:Inverse quadratic interpolation
3921:is easily obtained as fraction
3478:{\displaystyle {\binom {d}{i}}}
1448:
5075:
5037:
4974:
4955:
4894:
4868:
4769:
4743:
4676:
4668:
4595:
4587:
4545:{\displaystyle r_{1}<r_{2}}
4462:
4447:
4440:
4425:
4385:
4370:
4275:
4267:
4214:
4206:
3746:
3726:
3666:
3660:
3642:
3636:
3627:
3615:
3525:{\displaystyle i=0,1,\dots ,d}
3398:
3366:
3247:
3241:
3205:
3199:
3163:
3157:
3113:
3107:
2675:
2654:
2643:
2628:
2525:
2489:
2480:
2470:
2324:
2279:
2213:
2201:
2137:
2116:
2105:
2090:
1781:
1775:
1714:
1707:
1682:
1675:
1651:
1641:
1635:
1629:
1521:
1515:
1406:
1396:
1339:
1329:
1199:
1193:
1096:
1090:
1032:
1023:
1017:
1011:
999:
989:
971:
962:
950:
940:
929:
923:
902:
880:
874:
852:
843:
833:
822:
816:
795:
776:
770:
751:
735:
716:
710:
691:
673:
654:
651:
632:
626:
607:
604:
585:
486:
473:
369:
363:
264:
245:
239:
220:
211:
201:
195:
186:
154:
135:
129:
110:
104:
98:
13:
1:
5031:
2781:{\displaystyle \rho ^{2^{k}}}
1502:into its odd and even parts:
4938:{\displaystyle m=0,\dots ,n}
4111:for the inner coefficients.
3565:{\displaystyle \varepsilon }
7:
5019:
4861:, are represented by pairs
3572:with the defining property
3548:of degree 1, also known as
2689:, then the iterated powers
10:
5430:
5212:Bracketing (no derivative)
4054:stages one gets the bound
3253:{\displaystyle q^{m-1}(x)}
3211:{\displaystyle q^{m-2}(x)}
3169:{\displaystyle q^{m-1}(x)}
2613:{\displaystyle \rho >1}
2231:Classical Graeffe's method
2075:{\displaystyle \rho >1}
82:be a polynomial of degree
5370:
5317:
5294:
5261:
5238:
5210:
5045:Householder, Alston Scott
3540:Tangential Graeffe method
3119:{\displaystyle q^{m}(y)}
2151:, then the roots of the
48:Germinal Pierre Dandelin
5362:Splitting circle method
5347:JenkinsâTraub algorithm
5204:Root-finding algorithms
5352:LehmerâSchur algorithm
5026:Root-finding algorithm
5009:
4939:
4901:
4847:
4781:
4685:
4607:
4546:
4506:
4479:
4310:
4283:
4225:
4173:
4105:
4044:
4043:{\displaystyle nM^{2}}
3999:
3915:
3881:
3706:
3673:
3605:. Then the polynomial
3599:
3566:
3526:
3479:
3440:
3339:
3254:
3212:
3170:
3120:
3077:
2894:
2837:
2782:
2748:
2683:
2614:
2588:
2539:
2220:
2145:
2076:
2047:
1901:
1735:
1596:
1482:
1395:
1297:
1043:
447:
344:
274:
164:
18:Dandelin-Gräffe method
5378:Fixed-point iteration
5158:10.1007/s002110100278
5136:Numerische Mathematik
5010:
4940:
4902:
4848:
4782:
4686:
4608:
4547:
4507:
4505:{\displaystyle c_{1}}
4480:
4311:
4309:{\displaystyle 2^{k}}
4284:
4226:
4174:
4106:
4045:
4000:
3916:
3914:{\displaystyle x_{m}}
3882:
3707:
3674:
3600:
3567:
3527:
3480:
3441:
3340:
3255:
3213:
3171:
3121:
3078:
2895:
2838:
2783:
2749:
2684:
2615:
2589:
2540:
2221:
2146:
2077:
2048:
1902:
1736:
1597:
1483:
1369:
1298:
1044:
448:
345:
275:
165:
5337:DurandâKerner method
5281:NewtonâKrylov method
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