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1282:
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2004:
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977:
922:
171:
261:
2548:
2207:
3014:
on the real line can be written as the sum of two
Darboux functions. This implies in particular that the class of Darboux functions is not closed under addition.
2175:
2009:
1469:
1206:
627:
607:
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195:
108:
1093:
1061:
1009:
954:
401:
3044:
Apostol, Tom M.: Mathematical
Analysis: A Modern Approach to Advanced Calculus, 2nd edition, Addison-Wesley Longman, Inc. (1974), page 112.
2940:
By
Darboux's theorem, the derivative of any differentiable function is a Darboux function. In particular, the derivative of the function
3181:
1533:
1211:
2556:
1953:
3186:
760:
3095:
2930:{\displaystyle x\mapsto {\begin{cases}\sin(1/x)&{\text{for }}x\neq 0,\\0&{\text{for }}x=0.\end{cases}}}
1368:
1105:
117:
2824:, that is, at any point of discontinuity, at least one of the left hand and right hand limits does not exist.
3176:
3159:
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2292:
2215:
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1636:
2813:
is a
Darboux function. Darboux's contribution was to show that there are discontinuous Darboux functions.
3154:
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3149:
3010:
Darboux functions are a quite general class of functions. It turns out that any real-valued function
1833:
3069:
Rudin, Walter: Principles of
Mathematical Analysis, 3rd edition, MacGraw-Hill, Inc. (1976), page 108
2852:
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is one for which the image of every (non-empty) open interval is the whole real line. The
2736:
2526:
2180:
2117:{\displaystyle g(t)={\frac {(f\circ \beta )(t)-(f\circ \alpha )(t)}{\beta (t)-\alpha (t)}}}
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1034:
982:
927:
374:
3091:
3101:
111:
3060:, Vol. 111, No. 8 (Oct., 2004) (pp. 713–715), The American Mathematical Monthly
3170:
82:
continuous, Darboux's theorem places a severe restriction on what it can be.
28:
2827:
An example of a
Darboux function that is discontinuous at one point is the
2807:
3137:
36:
3086:. London Mathematical Society Student Texts. Vol. 39. Cambridge:
2996:
is a
Darboux function even though it is not continuous at one point.
24:
2742:
which has the "intermediate value property": for any two values
3136:
This article incorporates material from
Darboux's theorem on
2923:
609:, respectively, gives the desired result. Now assume that
35:. It states that every function that results from the
2946:
2840:
2687:
2629:
2559:
2529:
2487:
2442:
2372:
2366:; therefore, from the Intermediate Value Theorem, if
2346:
2295:
2269:
2218:
2183:
2162:
2130:
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1918:
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1836:
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1582:
1542:
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1328:
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1277:{\displaystyle (\varphi (t)-\varphi (a))/(t-a)\leq 0}
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183:
154:
120:
96:
16:
All derivatives have the intermediate value property
3122:, 2 ed, page 6, American Mathematical Society, 1994
2616:{\displaystyle x\in (\alpha (t_{0}),\beta (t_{0}))}
1999:{\displaystyle a\leq \alpha (t)<\beta (t)\leq b}
2988:
2929:
2715:
2673:
2615:
2553:From the Mean Value Theorem, there exists a point
2542:
2515:
2473:
2428:
2358:
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2255:
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1180:
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1055:
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1003:
971:
948:
916:
904:we adjust our below proof, instead asserting that
896:
836:
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255:
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165:
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102:
3168:
3142:Creative Commons Attribution/Share-Alike License
784:{\displaystyle \varphi \colon I\to \mathbb {R} }
148:be a real-valued differentiable function. Then
3040:
3038:
1494:must attain its maximum value at some point
3052:
3050:
1622:The second proof is based on combining the
3081:
3035:
2999:An example of a Darboux function that is
2163:
1424:{\displaystyle \varphi '(b)=f'(b)-y<0}
1161:{\displaystyle \varphi '(a)=f'(a)-y>0}
777:
141:{\displaystyle f\colon I\to \mathbb {R} }
134:
3084:Set theory for the working mathematician
3063:
3047:
2989:{\displaystyle x\mapsto x^{2}\sin(1/x)}
2333:{\displaystyle g(t)\rightarrow {f}'(b)}
2256:{\displaystyle g(t)\rightarrow {f}'(a)}
3169:
2429:{\displaystyle y\in ({f}'(a),{f}'(b))}
3077:
3075:
1674:{\displaystyle c={\frac {1}{2}}(a+b)}
979:is continuous on the closed interval
85:
2726:
1451:cannot attain its maximum value at
1188:cannot attain its maximum value at
897:{\displaystyle f'(a)<y<f'(b)}
837:{\displaystyle \varphi (t)=f(t)-yt}
750:{\displaystyle f'(a)>y>f'(b)}
13:
3072:
1355:{\displaystyle \varphi '(a)\leq 0}
70:()), this is a consequence of the
14:
3198:
3129:
3120:Differentiation of real functions
3058:A New Proof of Darboux's Theorem
2674:{\displaystyle {f}'(x)=g(t_{0})}
454:The first proof is based on the
1867:{\displaystyle \alpha (t)=2t-b}
3182:Theory of continuous functions
3140:, which is licensed under the
3112:
3082:Ciesielski, Krzysztof (1997).
2983:
2969:
2950:
2875:
2861:
2844:
2704:
2698:
2668:
2655:
2646:
2640:
2610:
2607:
2594:
2585:
2572:
2566:
2504:
2491:
2474:{\displaystyle t_{0}\in (a,b)}
2468:
2456:
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2420:
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2392:
2379:
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2350:
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2321:
2308:
2305:
2299:
2282:{\displaystyle t\rightarrow a}
2273:
2250:
2244:
2231:
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2196:
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2102:
2093:
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1972:
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1823:{\displaystyle c\leq t\leq b,}
1788:{\displaystyle \beta (t)=2t-a}
1767:
1761:
1732:
1726:
1709:{\displaystyle a\leq t\leq c,}
1668:
1656:
1597:
1591:
1569:{\displaystyle \varphi '(x)=0}
1557:
1551:
1519:
1507:
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1400:
1386:
1380:
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1309:
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1265:
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678:
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530:
502:
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418:
390:
378:
338:
332:
304:
298:
130:
1:
1063:is attained at some point in
1744:{\displaystyle \alpha (t)=a}
39:of another function has the
7:
3155:Encyclopedia of Mathematics
2149:{\displaystyle a<t<b}
1902:{\displaystyle \beta (t)=b}
175:intermediate value property
60:continuously differentiable
41:intermediate value property
10:
3203:
3088:Cambridge University Press
2800:intermediate value theorem
2516:{\displaystyle g(t_{0})=y}
1943:{\displaystyle t\in (a,b)}
1628:intermediate value theorem
1525:{\displaystyle x\in (a,b)}
1315:{\displaystyle t\in (a,b]}
72:intermediate value theorem
3187:Theorems in real analysis
3019:strongly Darboux function
2820:of a Darboux function is
2716:{\displaystyle {f}'(x)=y}
844:. If it is the case that
697:, and in particular that
446:
3028:
1487:{\displaystyle \varphi }
1444:{\displaystyle \varphi }
1181:{\displaystyle \varphi }
1024:{\displaystyle \varphi }
972:{\displaystyle \varphi }
917:{\displaystyle \varphi }
3023:Conway base 13 function
3005:Conway base 13 function
2829:topologist's sine curve
1609:{\displaystyle f'(x)=y}
1011:, the maximum value of
436:{\displaystyle f'(x)=y}
2990:
2931:
2717:
2675:
2617:
2544:
2517:
2475:
2430:
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2334:
2283:
2257:
2203:
2171:
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1675:
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1526:
1488:
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1445:
1425:
1356:
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1278:
1202:
1182:
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1089:
1057:
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1005:
973:
950:
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785:
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256:{\displaystyle a<b}
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167:
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104:
3025:is again an example.
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2618:
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2543:{\displaystyle t_{0}}
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1527:
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1446:
1426:
1357:
1317:
1279:
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1163:
1097:extreme value theorem
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1058:
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656:{\displaystyle f'(a)}
624:
604:
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564:
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542:{\displaystyle f'(b)}
510:
508:{\displaystyle f'(a)}
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456:extreme value theorem
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344:{\displaystyle f'(b)}
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310:{\displaystyle f'(a)}
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258:
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143:
105:
51:is also an interval.
3177:Theorems in calculus
3118:Bruckner, Andrew M:
3090:. pp. 106–111.
2944:
2838:
2737:real-valued function
2685:
2627:
2557:
2527:
2485:
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963:
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629:is strictly between
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2804:continuous function
2436:then, there exists
2170:{\displaystyle \,g}
1208:. (If it did, then
1095:, according to the
924:has its minimum on
33:Jean Gaston Darboux
3001:nowhere continuous
2986:
2927:
2922:
2713:
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2513:
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2199:
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2114:
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1624:mean value theorem
1606:
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1441:
1421:
1365:Likewise, because
1352:
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