6609:
24709:
5957:
20091:
19875:
6604:{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {z} ^{\top }M\mathbf {z} =\left(\mathbf {z} ^{\top }M\right)\mathbf {z} &={\begin{bmatrix}(2a-b)&(-a+2b-c)&(-b+2c)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix}}\\&=(2a-b)a+(-a+2b-c)b+(-b+2c)c\\&=2a^{2}-ba-ab+2b^{2}-cb-bc+2c^{2}\\&=2a^{2}-2ab+2b^{2}-2bc+2c^{2}\\&=a^{2}+a^{2}-2ab+b^{2}+b^{2}-2bc+c^{2}+c^{2}\\&=a^{2}+(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+c^{2}\end{aligned}}}
5772:
13997:
4549:
20086:{\displaystyle \ \cos \theta ={\frac {\mathbf {x} ^{\top }A\mathbf {x} }{\lVert \mathbf {x} \rVert \lVert A\mathbf {x} \rVert }}={\frac {\langle \mathbf {x} ,A\mathbf {x} \rangle }{\lVert \mathbf {x} \rVert \lVert A\mathbf {x} \rVert }},\theta =\theta (\mathbf {x} ,A\mathbf {x} )\equiv {\widehat {\left(\mathbf {x} ,A\mathbf {x} \right)}}\equiv \ }
21630:
19687:
5556:
13784:
1900:
1326:
5539:
3160:
2586:
4315:
1608:
3442:
2868:
2176:
21476:
18496:
19538:
6914:
9628:
5389:
13779:
13636:
12947:
14106:
7163:
1799:
1225:
4219:
3059:
2485:
14493:
5767:{\displaystyle \mathbf {z} ^{*}I\mathbf {z} ={\begin{bmatrix}{\overline {a}}&{\overline {b}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}}={\overline {a}}a+{\overline {b}}b=|a|^{2}+|b|^{2}.}
18686:
16949:, which refers to simultaneous diagonalization by a similarity transformation. Our result here is more akin to a simultaneous diagonalization of two quadratic forms, and is useful for optimization of one form under conditions on the other.
16101:
13992:{\displaystyle \ B_{1}(N^{-1})=\bigcap _{\mathbf {v} ^{\top }N\ \mathbf {v} =1}B_{1}(\mathbf {v} \ \mathbf {v} ^{\top })=\bigcap _{\mathbf {v} ^{\top }N\ \mathbf {v} =1}\{\mathbf {w} :|\langle \mathbf {w} ,\mathbf {v} \rangle |\leq 1\}~.}
5936:
21074:
22128:
is always positive semi-definite; and it is positive definite unless one variable is an exact linear function of the others. Conversely, every positive semi-definite matrix is the covariance matrix of some multivariate distribution.
13513:
22237:
18371:
15595:
1521:
13103:
3355:
2781:
2095:
21078:
A Hermitian matrix is positive semidefinite if and only if all of its principal minors are nonnegative. It is however not enough to consider the leading principal minors only, as is checked on the diagonal matrix with entries
18202:
4544:{\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\ \mathbf {z} ={\begin{bmatrix}~1~&-i~\end{bmatrix}}\ M\ {\begin{bmatrix}~1~\\~i~\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}~1+i~&~1-i~\end{bmatrix}}\ {\begin{bmatrix}~1~\\~i~\end{bmatrix}}=2+2i~.}
22693:
16596:
9197:
4009:
19040:
20833:
16531:
15309:
8787:
7061:
21200:
18318:
12175:
728:
A matrix is positive semi-definite if it satisfies similar equivalent conditions where "positive" is replaced by "nonnegative", "invertible matrix" is replaced by "matrix", and the word "leading" is removed.
5371:
8949:
14814:
2021:
1447:
21625:{\displaystyle \ {\begin{bmatrix}\mathbf {v} ^{*}&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A&B\\B^{*}&D\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {v} \\0\end{bmatrix}}=\mathbf {v} ^{*}A\mathbf {v} \geq 0~.}
15992:
15429:
4665:
1725:
1151:
23249:
14390:
13035:
22514:
16235:
23197:
3708:
3281:
2707:
6995:
above shows that a matrix in which some elements are negative may still be positive definite. Conversely, a matrix whose entries are all positive is not necessarily positive definite, as for example
6795:
2985:
2411:
22601:
21382:
16459:
16315:
3859:
16886:
15249:
10284:
20359:
19112:
9453:
422:
111:
19505:
16642:
22411:
12689:
5962:
3564:
2266:
19869:
22822:
21895:
18736:
18594:
14340:
14142:
8106:
8035:
465:
277:
23034:
18112:
10737:
22320:
13391:
10059:
3652:
19682:{\displaystyle \ \mathbf {x} ^{\top }\left(\alpha M+\left(1-\alpha \right)N\right)\mathbf {x} =\alpha \mathbf {x} ^{\top }M\mathbf {x} +(1-\alpha )\mathbf {x} ^{\top }N\mathbf {x} \geq 0~.}
13667:
7992:
12730:
17270:
22989:
21471:
13555:
16789:
12849:
11059:
7951:
7872:
900:
180:
15886:
14028:
9905:
9783:
9678:
7796:
11850:
11288:
10425:
10369:
10114:
7066:
5843:
1895:{\displaystyle \ M{\text{ negative-definite}}\quad \iff \quad \mathbf {x} ^{\top }M\ \mathbf {x} <0{\text{ for all }}\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}\setminus \{\mathbf {0} \}\ }
1321:{\displaystyle \ M{\text{ positive-definite}}\quad \iff \quad \mathbf {x} ^{\top }M\ \mathbf {x} >0{\text{ for all }}\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}\setminus \{\mathbf {0} \}\ }
18920:
14587:
11911:
10185:
6971:
5534:{\displaystyle \mathbf {z} ^{\top }I\mathbf {z} ={\begin{bmatrix}a&b\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}}=a^{2}+b^{2}.}
20285:
15504:
14906:
14772:
14622:
14425:
11326:
9736:
9448:
3347:
3051:
2773:
2477:
2087:
1791:
1513:
1217:
965:
343:
22098:
21858:
14187:
12110:
10650:
510:
Positive-definite and positive-semidefinite matrices can be characterized in many ways, which may explain the importance of the concept in various parts of mathematics. A matrix
22878:
20665:
19231:
18856:
16837:
11572:
11526:
11236:
10952:
7709:
3155:{\displaystyle \ M{\text{ negative-definite}}\quad \iff \quad \mathbf {z} ^{*}M\ \mathbf {z} <0{\text{ for all }}\mathbf {z} \in \mathbb {C} ^{n}\setminus \{\mathbf {0} \}\ }
2581:{\displaystyle \ M{\text{ positive-definite}}\quad \iff \quad \mathbf {z} ^{*}M\ \mathbf {z} >0{\text{ for all }}\mathbf {z} \in \mathbb {C} ^{n}\setminus \{\mathbf {0} \}\ }
22268:
21413:
20990:
20153:
19806:
14845:
12775:
10984:
10897:
7675:
6790:
5071:
3739:
1000:
931:
308:
145:
23148:
23120:
23092:
22952:
22542:
22439:
22010:
20627:
20119:
19775:
19533:
17209:
16263:
15940:
15681:
15340:
14733:
14653:
14549:
14521:
12027:
11480:
11451:
11411:
11363:
8498:
8063:
6684:
4693:
4275:
4247:
4096:
4039:
3894:
3309:
3013:
2735:
2439:
2049:
1753:
1475:
1179:
1028:
374:
218:
21792:
21131:
19279:
19161:
18785:
16384:
13324:
13136:
12524:
9302:
6755:
5106:
4907:
4788:
3592:
21237:
20757:
19349:
17084:
16677:
15653:
15174:
14982:
14242:
13550:
13292:
12841:
12253:
10839:
10511:
9957:
8838:
8729:
8632:
8297:
3477:
3195:
2903:
2621:
2329:
1935:
1643:
1361:
21979:
21917:
18954:
18239:
15526:
13422:
13254:
13212:
13178:
11991:
10479:
9030:
8368:
7402:
6656:
5795:
5263:
5195:
4968:
4849:
723:
21331:
20470:
19747:
19443:
18016:
17902:
17046:
12614:
12354:
11703:
9988:
7752:
5229:
3781:
23066:
matrix. The negative is inserted in
Fourier's law to reflect the expectation that heat will always flow from hot to cold. In other words, since the temperature gradient
20595:
20508:
18117:
18061:
17805:
17402:
17155:
14430:
12472:
5295:
18599:
18346:
16744:
12069:
10592:
9096:
7218:
2205:
1069:
678:
16717:
15997:
12315:
11741:
11097:
10775:
5157:
22785:
20534:
17738:
17116:
15778:
15746:
13662:
11123:
21661:
20560:
20412:
20215:
19308:
19190:
18814:
17834:
17431:
16989:
15124:
15035:
14682:
11803:
9838:
9125:
8135:
7901:
7502:
7435:
6719:
4613:
4308:
812:
775:
23060:
22722:
22465:
22352:
22161:
21743:
21713:
21687:
21289:
21263:
20959:
20933:
20904:
20878:
20725:
20691:
19417:
19391:
18524:
17957:
17931:
17863:
17706:
17680:
17370:
17337:
17304:
17014:
16941:
16912:
16410:
16345:
16179:
16153:
15912:
15842:
15810:
15714:
15621:
15458:
15365:
15200:
15095:
15061:
14946:
14871:
14271:
14023:
12976:
12809:
12570:
12436:
12410:
12384:
12279:
12208:
11944:
11767:
11664:
11638:
11612:
10865:
10807:
10563:
10537:
10310:
10140:
9809:
9410:
9384:
9358:
9328:
9251:
9225:
8975:
8684:
8658:
8600:
8574:
8545:
8453:
8427:
8394:
8326:
8265:
8225:
8187:
8161:
7825:
7624:
7595:
7569:
7528:
7461:
5030:
5004:
4933:
4875:
4814:
4756:
4722:
4577:
4091:
4065:
3920:
3813:
3518:
3221:
2929:
2647:
2355:
2295:
1961:
1669:
1387:
1095:
841:
645:
609:
577:
541:
60:
23454:
17764:
17644:
17575:
17506:
22108:(the matrix of all second derivatives) is positive semi-definite at that point. Similar statements can be made for negative definite and semi-definite matrices.
20994:
3925:
1603:{\displaystyle \ M{\text{ positive semi-definite}}\quad \iff \quad \mathbf {x} ^{\top }M\ \mathbf {x} \geq 0{\text{ for all }}\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}\ }
22899:
22052:
22032:
21957:
21937:
21812:
20432:
20379:
20181:
19721:
18544:
18366:
17977:
17618:
17598:
17549:
17529:
17480:
17460:
16697:
14702:
14302:
14210:
13427:
12634:
12544:
11870:
11190:
11170:
11143:
11004:
10205:
9925:
9858:
9698:
9070:
9050:
8995:
8519:
7644:
7356:
7334:
7312:
7290:
7268:
7245:
7192:
6993:
6934:
5835:
5815:
3612:
22166:
15531:
16126:. This result does not extend to the case of three or more matrices. In this section we write for the real case. Extension to the complex case is immediate.
3437:{\displaystyle \ M{\text{ negative semi-definite}}\quad \iff \quad \mathbf {z} ^{*}M\ \mathbf {z} \leq 0{\text{ for all }}\mathbf {z} \in \mathbb {C} ^{n}\ }
2863:{\displaystyle \ M{\text{ positive semi-definite}}\quad \iff \quad \mathbf {z} ^{*}M\ \mathbf {z} \geq 0{\text{ for all }}\mathbf {z} \in \mathbb {C} ^{n}\ }
2171:{\displaystyle M{\text{ negative semi-definite}}\quad \iff \quad \mathbf {x} ^{\top }M\ \mathbf {x} \leq 0{\text{ for all }}\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}
6998:
5297:
for positive semi-definite and positive-definite, negative semi-definite and negative-definite matrices, respectively. This may be confusing, as sometimes
21140:
13040:
18243:
12474:
is positive semidefinite. The
Cholesky decomposition is especially useful for efficient numerical calculations. A closely related decomposition is the
23720:
24367:
16536:
15037:
Sylvester's criterion is equivalent to checking whether its diagonal elements are all positive. This condition can be checked each time a new row
22606:
18491:{\displaystyle \ \operatorname {tr} (M)>0\quad \mathrm {and} \quad {\frac {(\operatorname {tr} (M))^{2}}{\operatorname {tr} (M^{2})}}>n-1~.}
9254:
9130:
21749:
18963:
10218:
20762:
16464:
15254:
14984:
sub-matrix. It turns out that a matrix is positive definite if and only if all these determinants are positive. This condition is known as
8733:
22726:
Consequently, a non-symmetric real matrix with only positive eigenvalues does not need to be positive definite. For example, the matrix
12115:
5317:
859:
Some authors use more general definitions of definiteness, including some non-symmetric real matrices, or non-Hermitian complex ones.
8843:
24581:
23800:
14777:
8163:
is positive definite. For a diagonal matrix, this is true only if each element of the main diagonal – that is, every eigenvalue of
5373:
is positive-definite (and as such also positive semi-definite). It is a real symmetric matrix, and, for any non-zero column vector
1974:
1400:
22909:
positive operator on a complex
Hilbert space is necessarily Hermitian, or self adjoint. The general claim can be argued using the
15945:
15370:
4618:
1678:
1104:
24672:
23202:
14345:
12984:
6909:{\displaystyle \ \mathbf {z} ^{\top }A^{\top }A\mathbf {z} =(A\mathbf {z} )^{\top }(A\mathbf {z} )=\|A\mathbf {z} \|^{2}>0\ ,}
479:
matrices are defined analogously. A matrix that is not positive semi-definite and not negative semi-definite is sometimes called
22470:
16184:
23153:
3657:
3234:
2660:
9623:{\displaystyle \ M=Q^{-1}DQ=Q^{*}DQ=Q^{*}D^{\frac {1}{2}}D^{\frac {1}{2}}Q=Q^{*}D^{{\frac {1}{2}}*}D^{\frac {1}{2}}Q=B^{*}B\ }
2938:
2364:
23706:
23682:
23622:
23376:
22125:
21338:
16415:
16268:
3818:
22547:
16842:
15205:
24591:
24357:
23335:
19046:
384:
73:
20294:
19456:
16946:
16601:
16119:
14988:, and provides an efficient test of positive definiteness of a symmetric real matrix. Namely, the matrix is reduced to an
13781:
So, since the polar dual of an ellipsoid is also an ellipsoid with the same principal axes, with inverse lengths, we have
23593:
12643:
3523:
2222:
22357:
19811:
13774:{\textstyle \ B_{1}(M)\subset \bigcap _{\mathbf {v} ^{\top }N\ \mathbf {v} =1}B_{1}(\mathbf {v} \mathbf {v} ^{\top })~.}
22790:
21863:
18691:
18549:
14307:
14111:
8068:
7997:
737:
427:
239:
22994:
18738:
is positive-semidefinite and thus has non-negative eigenvalues, whose sum, the trace, is therefore also non-negative.
18070:
10655:
8458:
5074:
23347:
22273:
13329:
3617:
7958:
3491:
Since every real matrix is also a complex matrix, the definitions of "definiteness" for the two classes must agree.
12694:
496:
13631:{\displaystyle \ M\succeq {\frac {\mathbf {v} \ \mathbf {v} ^{\top }}{\ \mathbf {v} ^{\top }N\ \mathbf {v} \ }}\ }
8331:
24392:
12942:{\displaystyle \ B_{1}(M)\equiv \{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}:\mathbf {x} ^{\top }M\ \mathbf {x} \leq 1\}\ }
12475:
17214:
14101:{\displaystyle \ M\succeq {\frac {\mathbf {v} \mathbf {v} ^{\top }}{\ \mathbf {v} ^{\top }N\ \mathbf {v} \ }}\ }
8193:
guarantees all eigenvalues of a
Hermitian matrix to be real, the positivity of eigenvalues can be checked using
23939:
22957:
22413:
determines whether the matrix is positive definite, and is assessed in the narrower sense above. Similarly, if
21418:
7405:
7158:{\displaystyle {\begin{bmatrix}-1&1\end{bmatrix}}N{\begin{bmatrix}-1&1\end{bmatrix}}^{\top }=-2<0~.}
16749:
11009:
7906:
7830:
870:
150:
23759:
15847:
9863:
9741:
9633:
7757:
23749:
11808:
11241:
10378:
10319:
10067:
24156:
23793:
23718:
Bernstein, B.; Toupin, R.A. (1962). "Some properties of the
Hessian matrix of a strictly convex function".
18868:
14554:
11875:
10152:
9993:
6939:
20220:
15474:
14876:
14742:
14592:
14395:
12573:
11293:
9703:
9415:
3314:
3018:
2740:
2444:
2054:
1758:
1480:
1184:
935:
313:
24231:
23754:
22057:
21817:
18817:
15786:
This quadratic function is strictly convex, and hence has a unique finite global minimum, if and only if
14147:
12077:
10597:
8194:
4214:{\displaystyle \ \mathbf {z} ^{\top }M\ \mathbf {z} =\left(a+b\right)a+\left(-a+b\right)b=a^{2}+b^{2}\ ,}
22827:
20632:
19198:
18823:
16794:
15844:
is positive definite, then the function is strictly convex. Its gradient is zero at the unique point of
11531:
11485:
11195:
10902:
10779:
However, this is the only way in which two decompositions can differ: The decomposition is unique up to
7680:
24387:
23909:
23674:
23270:
22242:
21387:
20964:
20124:
19780:
16107:
14819:
12735:
10957:
10870:
7649:
6764:
5035:
3713:
974:
905:
282:
119:
23125:
23097:
23069:
22929:
22519:
22416:
21984:
20600:
20096:
19752:
19510:
17176:
16945:
Note that this result does not contradict what is said on simultaneous diagonalization in the article
16839:
but note that this is no longer an orthogonal diagonalization with respect to the inner product where
16240:
15917:
15658:
15314:
14707:
14627:
14526:
14498:
12000:
11456:
11416:
11376:
11339:
8040:
6661:
4670:
4252:
4224:
4016:
3868:
3286:
2990:
2712:
2416:
2026:
1730:
1452:
1156:
1005:
348:
192:
24491:
24362:
24276:
21766:
21716:
21098:
14993:
8198:
19243:
19125:
18749:
16350:
15008:
th leading principal minor of a triangular matrix is the product of its diagonal elements up to row
13297:
13109:
12481:
9259:
6757:
is a positive definite matrix (if the means of the columns of A are 0, then this is also called the
6724:
5079:
4880:
4761:
3569:
3479:
Hermitian complex matrix which is neither positive semidefinite nor negative semidefinite is called
24596:
24486:
24194:
23874:
23285:
23275:
21207:
20730:
19692:
19316:
17051:
16647:
15626:
15461:
15147:
14985:
14955:
14488:{\displaystyle \ \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle \equiv \mathbf {y} ^{*}M\ \mathbf {x} \ }
14215:
13520:
13262:
12814:
12213:
10812:
10484:
9930:
8798:
8689:
8605:
8270:
3450:
3168:
2876:
2594:
2302:
1908:
1616:
1334:
21962:
21900:
18924:
18681:{\displaystyle \ \operatorname {tr} (MN)=\operatorname {tr} (M^{\frac {1}{2}}NM^{\frac {1}{2}})~.}
18209:
15509:
13395:
13217:
13185:
13141:
11951:
10442:
9000:
7365:
6614:
5778:
5233:
5165:
4938:
4819:
683:
24631:
24560:
24442:
24302:
23899:
23786:
21294:
20437:
19726:
19422:
19311:
17982:
17868:
17019:
16096:{\displaystyle \ f(t)\equiv (t\mathbf {v} )^{\top }M(t\mathbf {v} )+b^{\top }(t\mathbf {v} )+c\ }
15135:
14989:
12587:
12320:
11772:
11669:
11583:
7718:
5199:
3744:
2207:
symmetric real matrix which is neither positive semidefinite nor negative semidefinite is called
741:
26:
20568:
20475:
18114:
Furthermore, since every principal sub-matrix (in particular, 2-by-2) is positive semidefinite,
18030:
17769:
17375:
17125:
12441:
5268:
24501:
24084:
23889:
21748:
Converse results can be proved with stronger conditions on the blocks, for instance, using the
18325:
18064:
16722:
16318:
14919:
12357:
12036:
12030:
10780:
10571:
9075:
7197:
5931:{\displaystyle M={\begin{bmatrix}2&-1&0\\-1&2&-1\\0&-1&2\end{bmatrix}}}
5113:
2184:
1048:
650:
16702:
12284:
11708:
11152:
This statement has an intuitive geometric interpretation in the real case: let the columns of
11064:
10742:
5127:
24447:
24184:
24034:
24029:
23864:
23839:
23834:
22910:
22729:
20513:
18859:
17711:
17119:
17089:
15751:
15719:
13641:
11102:
7799:
514:
is positive-definite if and only if it satisfies any of the following equivalent conditions.
21637:
20539:
20391:
20190:
19284:
19166:
18790:
17810:
17407:
16965:
16118:
One symmetric matrix and another matrix that is both symmetric and positive definite can be
16103:
is a line or a downward parabola, thus not strictly convex and not having a global minimum.
15100:
15011:
14658:
11779:
9962:
9814:
9101:
8111:
7877:
7478:
7411:
6695:
4589:
4284:
788:
751:
24641:
23999:
23829:
23809:
23767:
23639:
23063:
23039:
22880:(which is the eigenvector associated with the negative eigenvalue of the symmetric part of
22698:
22444:
22328:
22140:
21722:
21692:
21666:
21268:
21242:
21069:{\displaystyle \ \mathbf {v} ^{\top }M\ \mathbf {v} \geq m\ \|\mathbf {v} \|_{2}^{\ \!2}~.}
20938:
20912:
20883:
20857:
20703:
20670:
19396:
19370:
18503:
17936:
17907:
17842:
17685:
17659:
17349:
17313:
17283:
16993:
16917:
16891:
16389:
16324:
16158:
16132:
15891:
15821:
15789:
15693:
15600:
15437:
15344:
15179:
15074:
15040:
14997:
14925:
14850:
14250:
14002:
12952:
12788:
12549:
12415:
12389:
12363:
12258:
12187:
11920:
11746:
11643:
11617:
11591:
11333:
10844:
10786:
10542:
10516:
10372:
10289:
10143:
10119:
9788:
9412:
is positive semidefinite, the eigenvalues are non-negative real numbers, so one can define
9389:
9363:
9337:
9307:
9230:
9204:
8954:
8663:
8637:
8579:
8553:
8524:
8432:
8406:
8373:
8305:
8244:
8204:
8166:
8140:
7804:
7600:
7574:
7548:
7507:
7440:
5009:
4983:
4912:
4854:
4793:
4735:
4701:
4556:
4070:
4044:
3899:
3792:
3497:
3200:
2908:
2626:
2334:
2271:
1940:
1648:
1366:
1074:
817:
624:
588:
556:
520:
39:
13508:{\displaystyle \ B_{1}(M)\subseteq \operatorname {int} \!{\bigl (}\ B_{1}(N)\ {\bigr )}~.}
8:
24662:
24636:
24214:
24019:
24009:
23433:
22787:
has positive eigenvalues yet is not positive definite; in particular a negative value of
22232:{\displaystyle \ {\mathcal {R_{e}}}\left\{\ \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} \right\}>0\ }
22137:
The definition of positive definite can be generalized by designating any complex matrix
17743:
17623:
17554:
17485:
8397:
5117:
4973:
968:
733:
229:
16122:. This is so although simultaneous diagonalization is not necessarily performed with a
15590:{\displaystyle \ \mathbf {x} ^{\top }M\mathbf {x} +\mathbf {b} ^{\top }\mathbf {x} +c\ }
9450:
as the diagonal matrix whose entries are non-negative square roots of eigenvalues. Then
24713:
24667:
24657:
24611:
24606:
24535:
24471:
24337:
24074:
24069:
24004:
23994:
23859:
23295:
22884:
22037:
22017:
21942:
21922:
21797:
20417:
20364:
20166:
19706:
18529:
18351:
17962:
17603:
17583:
17534:
17514:
17465:
17445:
16682:
16181:
a symmetric and positive definite matrix. Write the generalized eigenvalue equation as
15468:
14687:
14287:
14195:
12637:
12619:
12529:
11855:
11175:
11155:
11128:
10989:
10190:
9910:
9843:
9683:
9055:
9035:
8980:
8504:
7629:
7341:
7319:
7297:
7275:
7253:
7230:
7224:
7177:
6978:
6919:
5820:
5800:
5298:
5109:
3597:
544:
17122:
on the set of all square matrices. One can similarly define a strict partial ordering
24745:
24724:
24708:
24511:
24506:
24496:
24476:
24437:
24432:
24261:
24256:
24241:
24236:
24227:
24222:
24169:
24064:
24014:
23959:
23929:
23924:
23904:
23894:
23854:
23702:
23678:
23618:
23372:
23343:
23331:
23260:
22121:
21939:
is a symmetric real matrix. Therefore, the matrix being positive definite means that
19193:
17170:
16123:
15068:
14281:
11370:
11329:
10147:
8547:
7468:
6758:
6690:
4977:
619:
23552:
Wolkowicz, Henry; Styan, George P.H. (1980). "Bounds for
Eigenvalues using Traces".
22905:
In summary, the distinguishing feature between the real and complex case is that, a
13098:{\displaystyle \ \pm \{\mathbf {w} :\langle \mathbf {w} ,\mathbf {v} \rangle =1\}~.}
24719:
24687:
24616:
24555:
24550:
24530:
24466:
24372:
24342:
24327:
24307:
24246:
24199:
24174:
24164:
24135:
24054:
24049:
24024:
23954:
23934:
23844:
23824:
23729:
23364:
23323:
23280:
22906:
20840:
18197:{\displaystyle \ \left|m_{ij}\right|\leq {\sqrt {m_{ii}m_{jj}}}\quad \forall i,j\ }
14244:
12843:
8299:
8190:
7220:
221:
24312:
18063:
of a positive-semidefinite matrix are real and non-negative. As a consequence the
24417:
24352:
24332:
24317:
24297:
24281:
24110:
24100:
24059:
23944:
23914:
23694:
23315:
23290:
20851:
20694:
20184:
17273:
11366:
7712:
7534:
7336:
is negative semi-definite if and only if all of its eigenvalues are non-positive.
7292:
is positive semi-definite if and only if all of its eigenvalues are non-negative.
6611:
This result is a sum of squares, and therefore non-negative; and is zero only if
5312:
778:
612:
548:
22:
22845:
22745:
16719:
is a diagonal matrix of the generalized eigenvalues. Now premultiplication with
11614:
is positive semidefinite if and only if there is a positive semidefinite matrix
24677:
24621:
24601:
24586:
24545:
24422:
24382:
24347:
24271:
24210:
24189:
24130:
24120:
24105:
24039:
23984:
23974:
23969:
23879:
23591:
Styan, G.P. (1973). "Hadamard products and multivariate statistical analysis".
22323:
22105:
21761:
15141:
11146:
10566:
9331:
7464:
745:
500:
492:
225:
11948:
The non-negative square root should not be confused with other decompositions
732:
Positive-definite and positive-semidefinite real matrices are at the basis of
24739:
24682:
24540:
24481:
24412:
24402:
24397:
24322:
24251:
24125:
24115:
24044:
23964:
23949:
23884:
23733:
23368:
22688:{\textstyle \ \mathbf {x} ^{\top }M\mathbf {x} =\sum _{ij}x_{i}M_{ij}x_{j}\ }
20935:
is a real positive definite matrix, then there exists a positive real number
17158:
16591:{\displaystyle \ \left(QMQ^{\top }\right)\mathbf {y} =\lambda \mathbf {y} \ }
15001:
14736:
10208:
7538:
504:
503:. In other words, a matrix is positive-definite if and only if it defines an
114:
24565:
24522:
24427:
24140:
24079:
23989:
23869:
21134:
15888:
which must be the global minimum since the function is strictly convex. If
9192:{\displaystyle \ \operatorname {rank} (M)=\operatorname {rank} (B^{*})=k~.}
7358:
is indefinite if and only if it has both positive and negative eigenvalues.
4004:{\displaystyle \ M={\begin{bmatrix}~1~&~1~\\-1~&~1~\end{bmatrix}},}
748:(matrix of its second partial derivatives) is positive-definite at a point
23327:
15431:
since any asymmetric part will be zeroed-out in the double-sided product.
8328:
is positive semidefinite if and only if it can be decomposed as a product
24407:
24377:
24145:
23979:
23849:
22603:
is positive definite in the narrower sense. It is immediately clear that
21715:
must be positive definite. The argument can be extended to show that any
15067:
A positive semidefinite matrix is positive definite if and only if it is
14949:
10428:
10313:
10212:
8236:
7472:
5121:
2268:
Notice that this is always a real number for any
Hermitian square matrix
849:
491:
It follows from the above definitions that a matrix is positive-definite
63:
33:
19035:{\displaystyle \ \det(M\circ N)\geq \det(N)\prod \nolimits _{i}m_{ii}~.}
7270:
is positive definite if and only if all of its eigenvalues are positive.
24458:
23919:
22117:
19364:
18368:
is positive definite if it satisfies the following trace inequalities:
9700:
is positive definite, then the eigenvalues are (strictly) positive, so
7542:
7314:
is negative definite if and only if all of its eigenvalues are negative
853:
580:
183:
16106:
For this reason, positive definite matrices play an important role in
7597:
that has been re-expressed in coordinates of the (eigenvectors) basis
24692:
24266:
20828:{\displaystyle \ \det \left(M_{k}\right)/\det \left(M_{k-1}\right)\ }
18865:
Regarding the
Hadamard product of two positive semidefinite matrices
16526:{\displaystyle \ Q\left(M-\lambda N\right)Q^{\top }\mathbf {y} =0\ ,}
15304:{\displaystyle \ Q(\mathbf {x} )=\mathbf {x} ^{\top }M\mathbf {x} \ }
10371:
It is positive definite if and only if it is the Gram matrix of some
8782:{\displaystyle \ \operatorname {rank} (M)=\operatorname {rank} (B)~.}
8521:
is positive definite if and only if such a decomposition exists with
7056:{\displaystyle \ N={\begin{bmatrix}1&2\\2&1\end{bmatrix}}\ ,}
186:
21195:{\displaystyle \ M={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}\ }
12636:
can be diagonalized via symplectic (real) matrices. More precisely,
12412:
is positive and the
Cholesky decomposition is unique. Conversely if
24626:
23322:(.pdf) (online ed.). John Wiley & Sons. pp. 259–263.
23265:
23251:
implying that the conductivity matrix should be positive definite.
22101:
15000:
method, taking care to preserve the sign of its determinant during
5301:(respectively, nonpositive matrices) are also denoted in this way.
3614:
is
Hermitian (i.e. its transpose is equal to its conjugate), since
3486:
846:
23316:"Appendix C: Positive semidefinite and positive definite matrices"
21239:
By applying the positivity condition, it immediately follows that
18313:{\displaystyle \max _{i,j}\left|m_{ij}\right|\leq \max _{i}m_{ii}}
14908:
arises in this fashion from a Hermitian positive definite matrix.)
23778:
12170:{\displaystyle \ M^{\frac {1}{2}}\succ N^{\frac {1}{2}}\succ 0~.}
23617:. Princeton, New Jersey: Princeton University Press. p. 8.
5366:{\displaystyle I={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}}
17904:
is positive semidefinite for any (possibly rectangular) matrix
16699:
is a matrix having as columns the generalized eigenvectors and
3566:
is real and positive for every non-zero complex column vectors
22132:
8944:{\displaystyle \ x^{*}Mx=(x^{*}B^{*})(Bx)=\|Bx\|^{2}\geq 0\ ,}
20217:
are given as a function of their absolute index differences:
14809:{\displaystyle \ \langle \mathbf {z} ,\mathbf {z} \rangle \ }
12281:
is lower triangular with non-negative diagonal (equivalently
2016:{\displaystyle \ \mathbf {x} ^{\top }M\ \mathbf {x} \leq 0\ }
1442:{\displaystyle \ \mathbf {x} ^{\top }M\ \mathbf {x} \geq 0\ }
15987:{\displaystyle \ \mathbf {v} ^{\top }M\mathbf {v} \leq 0\ ,}
15460:
is positive definite if and only if its quadratic form is a
15424:{\displaystyle \ {\tfrac {1}{2}}\left(M+M^{\top }\right)\ ,}
10375:
vectors. In general, the rank of the Gram matrix of vectors
8455:
can be real as well and the decomposition can be written as
4660:{\displaystyle \ \mathbf {z} ^{\top }M\ \mathbf {z} >0\ }
1720:{\displaystyle \ \mathbf {x} ^{\top }M\ \mathbf {x} <0\ }
1146:{\displaystyle \ \mathbf {x} ^{\top }M\ \mathbf {x} >0\ }
23244:{\displaystyle \ \mathbf {g} ^{\top }K\mathbf {g} >0\ ,}
14385:{\displaystyle \ \mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {C} ^{n}\ }
13030:{\displaystyle \ B_{1}(\mathbf {v} \ \mathbf {v} ^{\top })}
10434:
3494:
For complex matrices, the most common definition says that
23199:
Substituting Fourier's law then gives this expectation as
22509:{\displaystyle \ \mathbf {x} ^{\top }M\mathbf {x} >0\ }
16230:{\displaystyle \ \left(M-\lambda N\right)\mathbf {x} =0\ }
9360:
is a diagonal matrix whose entries are the eigenvalues of
5938:
is positive-definite since for any non-zero column vector
23192:{\displaystyle \ \mathbf {q} ^{\top }\mathbf {g} <0~.}
5541:
Seen as a complex matrix, for any non-zero column vector
3703:{\displaystyle \ \mathbf {z} ^{*}\ M^{*}\ \mathbf {z} \ }
3276:{\displaystyle \ \mathbf {z} ^{*}M\ \mathbf {z} \leq 0\ }
2702:{\displaystyle \ \mathbf {z} ^{*}M\ \mathbf {z} \geq 0\ }
15914:
is not positive definite, then there exists some vector
7247:
are real, and their sign characterize its definiteness:
2980:{\displaystyle \ \mathbf {z} ^{*}M\ \mathbf {z} <0\ }
2406:{\displaystyle \ \mathbf {z} ^{*}M\ \mathbf {z} >0\ }
852:, while the set of positive semi-definite matrices is a
381:
matrices are defined similarly, except that the scalars
22596:{\textstyle \ {\frac {1}{2}}\left(M+M^{\top }\right)\ }
21377:{\displaystyle \ \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} \geq 0\ }
19363:
The set of positive semidefinite symmetric matrices is
16454:{\displaystyle \ \mathbf {x} =Q^{\top }\mathbf {y} \ ,}
16310:{\displaystyle \ \mathbf {x} ^{\top }N\mathbf {x} =1~.}
14873:
is positive definite. (In fact, every inner product on
9860:
positive eigenvalues and the others are zero, hence in
3896:
However the last condition alone is not sufficient for
3854:{\displaystyle \ \mathbf {z} ^{\top }M\ \mathbf {z} \ }
22609:
22550:
22360:
21564:
21521:
21488:
21158:
20297:
17164:
16881:{\displaystyle \ \mathbf {y} ^{\top }\mathbf {y} =1~.}
15378:
15244:{\displaystyle \ Q:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} \ }
13670:
11453:
are equal if and only if some rigid transformation of
11373:, without translations). Therefore, the dot products
10279:{\displaystyle \ M_{ij}=\langle b_{i},b_{j}\rangle ~.}
7106:
7075:
7016:
6116:
6030:
5858:
5662:
5626:
5588:
5481:
5445:
5421:
5332:
4487:
4436:
4395:
4350:
3943:
23436:
23205:
23156:
23128:
23100:
23072:
23042:
22997:
22960:
22932:
22887:
22830:
22793:
22732:
22701:
22522:
22473:
22447:
22419:
22331:
22276:
22245:
22169:
22143:
22060:
22040:
22020:
22014:
More generally, a twice-differentiable real function
21987:
21965:
21945:
21925:
21903:
21866:
21820:
21800:
21769:
21725:
21695:
21669:
21640:
21479:
21421:
21390:
21341:
21297:
21271:
21245:
21210:
21143:
21101:
20997:
20967:
20941:
20915:
20886:
20860:
20765:
20733:
20706:
20673:
20635:
20603:
20571:
20542:
20516:
20478:
20440:
20420:
20394:
20367:
20354:{\textstyle \sum _{j\neq 0}\left|h(j)\right|<h(0)}
20223:
20193:
20169:
20127:
20099:
19878:
19814:
19783:
19755:
19729:
19709:
19541:
19513:
19459:
19425:
19399:
19373:
19319:
19287:
19246:
19201:
19169:
19128:
19107:{\displaystyle \ \det(M\circ N)\geq \det(M)\det(N)~.}
19049:
18966:
18927:
18871:
18826:
18793:
18752:
18694:
18602:
18552:
18532:
18506:
18374:
18354:
18328:
18246:
18212:
18120:
18073:
18033:
17985:
17965:
17939:
17910:
17871:
17845:
17813:
17772:
17746:
17714:
17688:
17662:
17626:
17606:
17586:
17557:
17537:
17517:
17488:
17468:
17448:
17410:
17378:
17352:
17316:
17286:
17217:
17179:
17128:
17092:
17054:
17022:
16996:
16968:
16920:
16894:
16845:
16797:
16752:
16725:
16705:
16685:
16650:
16604:
16539:
16467:
16418:
16392:
16353:
16327:
16271:
16243:
16187:
16161:
16135:
16000:
15948:
15920:
15894:
15850:
15824:
15792:
15754:
15722:
15696:
15661:
15629:
15603:
15534:
15512:
15477:
15440:
15373:
15347:
15317:
15257:
15208:
15182:
15150:
15103:
15077:
15043:
15014:
14958:
14928:
14879:
14853:
14822:
14780:
14745:
14710:
14690:
14661:
14630:
14595:
14557:
14529:
14501:
14433:
14398:
14348:
14310:
14290:
14253:
14218:
14198:
14150:
14114:
14031:
14005:
13787:
13644:
13558:
13523:
13430:
13398:
13332:
13300:
13265:
13220:
13188:
13144:
13112:
13043:
12987:
12955:
12852:
12817:
12791:
12738:
12697:
12646:
12622:
12590:
12552:
12532:
12484:
12444:
12418:
12392:
12366:
12323:
12287:
12261:
12216:
12190:
12118:
12080:
12071:
others only use it for the non-negative square root.
12039:
12003:
11954:
11923:
11878:
11858:
11811:
11782:
11749:
11711:
11672:
11646:
11620:
11594:
11534:
11488:
11459:
11419:
11379:
11342:
11296:
11244:
11198:
11178:
11158:
11131:
11105:
11067:
11012:
10992:
10960:
10905:
10873:
10847:
10815:
10789:
10745:
10658:
10600:
10574:
10545:
10519:
10487:
10445:
10381:
10322:
10292:
10221:
10193:
10155:
10122:
10070:
9996:
9965:
9933:
9913:
9866:
9846:
9817:
9791:
9744:
9706:
9686:
9636:
9456:
9418:
9392:
9366:
9340:
9310:
9262:
9233:
9207:
9133:
9104:
9078:
9058:
9038:
9003:
8983:
8957:
8846:
8801:
8736:
8692:
8666:
8640:
8608:
8582:
8556:
8527:
8507:
8461:
8435:
8409:
8376:
8334:
8308:
8273:
8247:
8207:
8169:
8143:
8114:
8071:
8043:
8000:
7961:
7955:
With this in mind, the one-to-one change of variable
7909:
7880:
7833:
7807:
7760:
7721:
7683:
7652:
7632:
7603:
7577:
7551:
7510:
7481:
7443:
7414:
7368:
7344:
7322:
7300:
7278:
7256:
7233:
7200:
7180:
7069:
7001:
6981:
6942:
6922:
6798:
6767:
6727:
6698:
6664:
6617:
5960:
5846:
5823:
5803:
5781:
5559:
5392:
5320:
5271:
5236:
5202:
5168:
5130:
5082:
5038:
5012:
4986:
4941:
4915:
4883:
4857:
4822:
4796:
4764:
4738:
4704:
4673:
4621:
4592:
4559:
4318:
4287:
4255:
4227:
4099:
4073:
4047:
4019:
3928:
3902:
3871:
3821:
3795:
3747:
3716:
3660:
3620:
3600:
3572:
3526:
3500:
3453:
3358:
3317:
3289:
3237:
3203:
3171:
3062:
3021:
2993:
2941:
2911:
2879:
2784:
2743:
2715:
2663:
2629:
2597:
2488:
2447:
2419:
2367:
2337:
2305:
2274:
2225:
2187:
2098:
2057:
2029:
1977:
1943:
1911:
1802:
1761:
1733:
1681:
1651:
1619:
1524:
1483:
1455:
1403:
1369:
1337:
1228:
1187:
1159:
1107:
1077:
1051:
1008:
977:
938:
908:
873:
820:
791:
754:
686:
653:
627:
591:
559:
523:
430:
417:{\displaystyle \ \mathbf {x} ^{\top }M\mathbf {x} \ }
387:
351:
316:
285:
242:
195:
153:
122:
106:{\displaystyle \ \mathbf {x} ^{\top }M\mathbf {x} \ }
76:
42:
23359:
Boyd, Stephen; Vandenberghe, Lieven (8 March 2004).
19500:{\displaystyle \ \alpha M+\left(1-\alpha \right)N\ }
16637:{\displaystyle \mathbf {y} ^{\top }\mathbf {y} =1~.}
14277:
The associated sesquilinear form is an inner product
12029:
for any such decomposition, or specifically for the
814:
then the Hessian matrix is positive-semidefinite at
279:
is positive for every nonzero complex column vector
22926:Fourier's law of heat conduction, giving heat flux
22406:{\textstyle \ {\frac {1}{2}}\left(M+M^{*}\right)\ }
12684:{\displaystyle S\in \mathbf {Sp} (2n,\mathbb {R} )}
12438:is lower triangular with nonnegative diagonal then
9927:rows are all zeroed. Cutting the zero rows gives a
3559:{\displaystyle \ \mathbf {z} ^{*}M\ \mathbf {z} \ }
2261:{\displaystyle \ \mathbf {z} ^{*}M\ \mathbf {z} ~.}
2214:
23448:
23243:
23191:
23142:
23122:is expected to have a negative inner product with
23114:
23086:
23054:
23028:
22983:
22946:
22893:
22872:
22816:
22779:
22716:
22687:
22595:
22536:
22508:
22459:
22433:
22405:
22346:
22314:
22262:
22231:
22163:(e.g. real non-symmetric) as positive definite if
22155:
22092:
22046:
22026:
22004:
21973:
21951:
21931:
21911:
21889:
21852:
21806:
21786:
21737:
21707:
21681:
21655:
21624:
21465:
21407:
21376:
21325:
21283:
21257:
21231:
21194:
21125:
21068:
20984:
20953:
20927:
20898:
20872:
20827:
20751:
20719:
20685:
20659:
20621:
20589:
20554:
20528:
20502:
20464:
20426:
20406:
20373:
20353:
20279:
20209:
20175:
20147:
20113:
20085:
19864:{\displaystyle \ -\pi /2<\theta <+\pi /2\ :}
19863:
19800:
19769:
19741:
19715:
19695:problems converge to a globally optimal solution.
19681:
19527:
19499:
19437:
19411:
19385:
19343:
19302:
19273:
19225:
19184:
19155:
19106:
19034:
18948:
18914:
18850:
18808:
18779:
18730:
18680:
18588:
18538:
18518:
18490:
18360:
18340:
18312:
18233:
18196:
18106:
18055:
18010:
17971:
17951:
17925:
17896:
17857:
17828:
17799:
17758:
17732:
17700:
17674:
17638:
17612:
17592:
17569:
17543:
17523:
17500:
17474:
17454:
17425:
17396:
17364:
17331:
17298:
17264:
17203:
17149:
17110:
17078:
17040:
17008:
16983:
16935:
16906:
16880:
16831:
16783:
16738:
16711:
16691:
16671:
16636:
16590:
16525:
16453:
16404:
16378:
16339:
16309:
16257:
16229:
16173:
16147:
16095:
15986:
15934:
15906:
15880:
15836:
15804:
15772:
15740:
15708:
15675:
15647:
15615:
15589:
15520:
15498:
15452:
15423:
15359:
15334:
15303:
15243:
15194:
15168:
15118:
15089:
15055:
15029:
14976:
14940:
14900:
14865:
14839:
14808:
14766:
14727:
14696:
14676:
14647:
14616:
14581:
14543:
14515:
14487:
14419:
14384:
14334:
14296:
14265:
14236:
14204:
14181:
14136:
14100:
14017:
13991:
13773:
13656:
13630:
13544:
13507:
13416:
13385:
13318:
13286:
13248:
13206:
13172:
13130:
13097:
13029:
12970:
12941:
12835:
12803:
12769:
12724:
12683:
12628:
12608:
12564:
12538:
12518:
12466:
12430:
12404:
12378:
12348:
12309:
12273:
12247:
12202:
12169:
12104:
12063:
12021:
11985:
11938:
11905:
11864:
11844:
11797:
11761:
11735:
11697:
11658:
11632:
11606:
11566:
11520:
11474:
11445:
11405:
11357:
11320:
11282:
11230:
11184:
11164:
11137:
11117:
11091:
11053:
10998:
10978:
10946:
10891:
10859:
10833:
10801:
10769:
10731:
10644:
10586:
10557:
10531:
10505:
10473:
10419:
10363:
10312:is positive semidefinite if and only if it is the
10304:
10278:
10199:
10179:
10134:
10108:
10053:
9982:
9951:
9919:
9899:
9852:
9832:
9803:
9777:
9730:
9692:
9672:
9622:
9442:
9404:
9378:
9352:
9322:
9296:
9245:
9219:
9191:
9119:
9090:
9064:
9044:
9024:
8989:
8969:
8943:
8832:
8781:
8723:
8678:
8652:
8626:
8594:
8568:
8539:
8513:
8492:
8447:
8421:
8388:
8362:
8320:
8291:
8259:
8219:
8181:
8155:
8129:
8100:
8057:
8029:
7986:
7945:
7895:
7866:
7819:
7790:
7746:
7703:
7669:
7638:
7618:
7589:
7563:
7522:
7496:
7455:
7429:
7396:
7350:
7328:
7306:
7284:
7262:
7239:
7212:
7186:
7157:
7055:
6987:
6965:
6928:
6908:
6784:
6761:). A simple proof is that for any non-zero vector
6749:
6713:
6678:
6650:
6603:
5930:
5829:
5809:
5789:
5766:
5533:
5365:
5289:
5257:
5223:
5189:
5151:
5100:
5065:
5024:
4998:
4962:
4927:
4901:
4869:
4843:
4808:
4782:
4750:
4716:
4687:
4659:
4607:
4571:
4543:
4302:
4269:
4241:
4213:
4085:
4059:
4033:
4003:
3914:
3888:
3853:
3807:
3775:
3733:
3702:
3646:
3606:
3586:
3558:
3512:
3471:
3436:
3341:
3303:
3275:
3215:
3189:
3154:
3045:
3007:
2979:
2923:
2897:
2862:
2767:
2729:
2701:
2641:
2615:
2580:
2471:
2433:
2405:
2349:
2323:
2289:
2260:
2199:
2170:
2081:
2043:
2015:
1955:
1929:
1894:
1785:
1747:
1719:
1663:
1637:
1602:
1507:
1469:
1441:
1381:
1355:
1320:
1211:
1173:
1145:
1089:
1063:
1022:
994:
959:
925:
894:
835:
806:
785:, and, conversely, if the function is convex near
769:
717:
672:
639:
603:
571:
535:
459:
416:
368:
337:
302:
271:
212:
174:
139:
105:
54:
23320:Parameter Estimation for Scientists and Engineers
22817:{\displaystyle \mathbf {x} ^{\top }M\mathbf {x} }
21890:{\displaystyle \mathbf {x} ^{\top }M\mathbf {x} }
21090:
21054:
18731:{\displaystyle M^{\frac {1}{2}}NM^{\frac {1}{2}}}
18589:{\displaystyle \ \operatorname {tr} (MN)\geq 0~.}
14335:{\displaystyle \ \langle \cdot ,\cdot \rangle \ }
14137:{\displaystyle \ \mathbf {v} \neq \mathbf {0} \ }
13459:
8101:{\displaystyle \ \mathbf {y} ^{*}D\mathbf {y} \ }
8030:{\displaystyle \ \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} \ }
5797:is not the zero vector (that is, at least one of
460:{\displaystyle \ \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} \ }
272:{\displaystyle \ \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} \ }
24737:
23358:
23029:{\displaystyle \ \mathbf {q} =-K\mathbf {g} \ ,}
21981:is zero, and is strictly positive for any other
20795:
20769:
19086:
19074:
19053:
18991:
18970:
18288:
18248:
18107:{\displaystyle \ \operatorname {tr} (M)\geq 0~.}
10732:{\displaystyle \ M=B^{*}B=B^{*}Q^{*}QB=A^{*}A\ }
8997:is invertible then the inequality is strict for
4758:is positive semi-definite, one sometimes writes
3487:Consistency between real and complex definitions
1040:
23721:Journal für die reine und angewandte Mathematik
23717:
22315:{\displaystyle \ {\mathcal {R_{e}}}\{\ c\ \}\ }
21919:is the column vector with those variables, and
16113:
15748:case, this is a parabola, and just like in the
13386:{\displaystyle \ B_{1}(M)\subseteq B_{1}(N)\ ;}
3647:{\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\ \mathbf {z} }
2219:The following definitions all involve the term
611:is symmetric or Hermitian, and all its leading
23551:
23094:always points from cold to hot, the heat flux
22054:real variables has local minimum at arguments
19507:is also positive semidefinite. For any vector
17173:and its inverse is also positive definite. If
15367:can be assumed symmetric by replacing it with
7987:{\displaystyle \ \mathbf {y} =P\mathbf {z} \ }
3654:being real, it equals its conjugate transpose
23794:
16914:with respect to the inner product induced by
14911:Its leading principal minors are all positive
14247:. The following properties are equivalent to
13494:
13462:
12725:{\displaystyle D\in \mathbb {R} ^{n\times n}}
8602:if and only if a decomposition exists with a
23669:Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013).
22306:
22294:
21042:
21033:
19999:
19988:
19985:
19977:
19972:
19953:
19941:
19930:
19927:
19919:
19310:is not necessary positive semidefinite, the
19192:is not necessary positive semidefinite, the
18816:is not necessary positive semidefinite, the
14800:
14784:
14453:
14437:
14326:
14314:
13980:
13966:
13950:
13934:
13180:is an ellipsoid, or an ellipsoidal cylinder.
13086:
13077:
13061:
13050:
12933:
12878:
10267:
10241:
8920:
8910:
8037:is real and positive for any complex vector
6885:
6873:
4976:where positive semidefinite matrices define
3146:
3138:
2572:
2564:
1886:
1878:
1312:
1304:
845:The set of positive definite matrices is an
23701:. Princeton Series in Applied Mathematics.
23668:
23578:
23566:
23539:
23527:
23515:
23511:
23509:
23500:
23488:
23476:
23464:
23427:
23415:
23403:
23391:
23313:
22921:
22913:. That is no longer true in the real case.
22133:Extension for non-Hermitian square matrices
16957:
12386:is positive definite, then the diagonal of
7715:to the eigenvector coordinate system using
4724:is positive-definite in the complex sense.
24368:Fundamental (linear differential equation)
23801:
23787:
17265:{\displaystyle \ N^{-1}\geq M^{-1}>0~.}
17118:is positive semi-definite. This defines a
15097:is negative (semi)definite if and only if
12780:
3375:
3371:
3079:
3075:
2801:
2797:
2505:
2501:
2112:
2108:
1819:
1815:
1541:
1537:
1245:
1241:
23584:
22984:{\displaystyle \ \mathbf {g} =\nabla T\ }
21466:{\displaystyle \ \mathbf {z} =^{\top }~.}
18500:Another important result is that for any
17708:are positive definite, then the products
15514:
15483:
15234:
15220:
14885:
14751:
14563:
14404:
14369:
14354:
12891:
12706:
12674:
12184:A Hermitian positive semidefinite matrix
12179:
11462:
11345:
11302:
10161:
5775:Either way, the result is positive since
3922:to be positive-definite. For example, if
3421:
3323:
3125:
3027:
2847:
2749:
2551:
2453:
2158:
2063:
1865:
1767:
1587:
1489:
1291:
1193:
23506:
19419:are positive semidefinite, then for any
17551:are positive-semidefinite, then the sum
16784:{\displaystyle \ X^{\top }MX=\Lambda \ }
13256:is bounded, that is, it is an ellipsoid.
12616:positive definite Hermitian real matrix
11054:{\displaystyle \ Q^{*}Q=I_{k\times k}\ }
10435:Uniqueness up to unitary transformations
7946:{\displaystyle \ PDP^{-1}\mathbf {z} ~.}
7867:{\displaystyle \ DP^{-1}\mathbf {z} \ ,}
3785:By this definition, a positive-definite
895:{\displaystyle \ \mathbf {x} ^{\top }\ }
175:{\displaystyle \ \mathbf {x} ^{\top }\ }
24673:Matrix representation of conic sections
19698:
17620:is positive-semidefinite, then the sum
15881:{\displaystyle \ M^{-1}\mathbf {b} \ ,}
9900:{\displaystyle \ B=D^{\frac {1}{2}}Q\ }
9778:{\displaystyle \ B=D^{\frac {1}{2}}Q\ }
9673:{\displaystyle \ B=D^{\frac {1}{2}}Q~.}
7874:and then changing the basis back using
7791:{\displaystyle \ P^{-1}\mathbf {z} \ ,}
579:is symmetric or Hermitian, and all its
24738:
23693:
23612:
19703:The positive-definiteness of a matrix
11845:{\displaystyle \ B=M^{\frac {1}{2}}~.}
11283:{\displaystyle \ b_{1},\dots ,b_{n}\ }
10420:{\displaystyle \ b_{1},\dots ,b_{n}\ }
10364:{\displaystyle \ b_{1},\dots ,b_{n}~.}
10109:{\displaystyle \ b_{1},\dots ,b_{n}\ }
8977:is positive semidefinite. If moreover
23782:
23637:
23631:
23590:
22954:in terms of the temperature gradient
22126:multivariate probability distribution
21634:A similar argument can be applied to
20846:A matrix is negative definite if its
20157:
18915:{\displaystyle \ M=(m_{ij})\geq 0\ ,}
15063:of the triangular matrix is obtained.
14816:is real and positive for all nonzero
14582:{\displaystyle \ \mathbb {C} ^{n}\ ,}
12579:
11906:{\displaystyle \ M^{\frac {1}{2}}\ ,}
10439:The decomposition is not unique: if
10215:, in the real case) of these vectors
10180:{\displaystyle \ \mathbb {R} ^{k}\ ,}
10054:{\displaystyle \ B'^{*}B'=B^{*}B=M~.}
7571:may be regarded as a diagonal matrix
6966:{\displaystyle A\mathbf {z} \neq 0~.}
4877:is negative semi-definite one writes
22991:is written for anisotropic media as
20280:{\displaystyle \ m_{ij}=h(|i-j|)\ ,}
19235:
19117:
18956:there are two notable inequalities:
17482:are positive-definite, then the sum
15499:{\displaystyle \ \mathbb {R} ^{n}\ }
14901:{\displaystyle \ \mathbb {C} ^{n}\ }
14767:{\displaystyle \ \mathbb {C} ^{n}\ }
14617:{\displaystyle \ \mathbf {y} ^{*}\ }
14420:{\displaystyle \ \mathbb {C} ^{n}\ }
12640:ensures the existence of symplectic
11321:{\displaystyle \ \mathbb {R} ^{k}~.}
9731:{\displaystyle \ D^{\frac {1}{2}}\ }
9443:{\displaystyle \ D^{\frac {1}{2}}\ }
8195:Descartes' rule of alternating signs
3520:is positive-definite if and only if
3342:{\displaystyle \ \mathbb {C} ^{n}~.}
3046:{\displaystyle \ \mathbb {C} ^{n}~.}
2768:{\displaystyle \ \mathbb {C} ^{n}~.}
2472:{\displaystyle \ \mathbb {C} ^{n}~.}
2082:{\displaystyle \ \mathbb {R} ^{n}~.}
1786:{\displaystyle \ \mathbb {R} ^{n}~.}
1508:{\displaystyle \ \mathbb {R} ^{n}~.}
1212:{\displaystyle \ \mathbb {R} ^{n}~.}
960:{\displaystyle \ \mathbf {z} ^{*}\ }
338:{\displaystyle \ \mathbf {z} ^{*}\ }
23594:Linear Algebra and Its Applications
23554:Linear Algebra and its Applications
23314:van den Bos, Adriaan (March 2007).
22695:is insensitive to transposition of
22093:{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}
21853:{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}
19004:
18741:
17165:Inverse of positive definite matrix
14182:{\displaystyle \ M\succeq N^{-1}~.}
13037:is a solid slab sandwiched between
12105:{\displaystyle \ M\succ N\succ 0\ }
12033:, or any decomposition of the form
10645:{\displaystyle \ Q^{*}Q=QQ^{*}=I\ }
10286:In other words, a Hermitian matrix
8686:). Moreover, for any decomposition
8576:is positive semidefinite with rank
4277:is the complex vector with entries
3815:is Hermitian, hence symmetric; and
345:denotes the conjugate transpose of
113:is positive for every nonzero real
13:
23808:
23216:
23167:
22972:
22873:{\displaystyle \mathbf {x} =\left}
22801:
22620:
22580:
22544:if and only if the symmetric part
22484:
22287:
22283:
22180:
22176:
21874:
21452:
21008:
20660:{\displaystyle \ M>\delta I\ ,}
19904:
19654:
19616:
19552:
19226:{\displaystyle M\otimes N\geq 0~.}
18851:{\displaystyle \ M\circ N\geq 0\ }
18407:
18404:
18401:
18179:
17169:Every positive definite matrix is
16856:
16832:{\displaystyle \ X^{\top }NX=I\ ,}
16806:
16775:
16761:
16731:
16706:
16666:
16612:
16559:
16501:
16435:
16362:
16282:
16065:
16035:
15959:
15568:
15545:
15405:
15285:
15129:
14073:
14056:
13910:
13887:
13835:
13757:
13708:
13603:
13586:
13019:
12911:
12356:is upper triangular); this is the
11567:{\displaystyle b_{1},\dots ,b_{n}}
11521:{\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}
11231:{\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}
11006:with orthonormal columns (meaning
10947:{\displaystyle \ A^{*}A=B^{*}B\ ,}
10427:equals the dimension of the space
10187:respectively. Then the entries of
8476:
7704:{\displaystyle \ M\mathbf {z} \ ,}
7129:
6916:since the invertibility of matrix
6851:
6819:
6809:
6736:
6000:
5972:
5400:
4632:
4110:
3832:
2121:
1988:
1828:
1692:
1550:
1414:
1254:
1118:
884:
738:function of several real variables
398:
164:
87:
14:
24757:
23742:
22844:
22744:
22263:{\displaystyle \ \mathbf {z} \ ,}
22239:for all non-zero complex vectors
21959:has a unique minimum (zero) when
21408:{\displaystyle \ \mathbf {z} \ ,}
20985:{\displaystyle \ \mathbf {v} \ ,}
20148:{\displaystyle \ A\mathbf {x} ~.}
19801:{\displaystyle \ A\mathbf {x} \ }
18858:(this result is often called the
17650:
14840:{\displaystyle \ \mathbf {z} \ ;}
12770:{\displaystyle SMS^{T}=D\oplus D}
10979:{\displaystyle \ \ell \times k\ }
10892:{\displaystyle \ \ell \times n\ }
7670:{\displaystyle \ \mathbf {z} \ ,}
6785:{\displaystyle \ \mathbf {z} \ ,}
5162:A common alternative notation is
5066:{\displaystyle \ B-A\succeq 0\ ,}
3734:{\displaystyle \ \mathbf {z} \ ,}
3135:
2561:
1875:
1301:
995:{\displaystyle \ \mathbf {z} \ ,}
926:{\displaystyle \ \mathbf {x} \ ,}
303:{\displaystyle \ \mathbf {z} \ ,}
140:{\displaystyle \ \mathbf {x} \ ,}
16:Property of a mathematical matrix
24707:
23225:
23211:
23173:
23162:
23143:{\displaystyle \ \mathbf {g} \ }
23133:
23115:{\displaystyle \ \mathbf {q} \ }
23105:
23087:{\displaystyle \ \mathbf {g} \ }
23077:
23016:
23002:
22965:
22947:{\displaystyle \ \mathbf {q} \ }
22937:
22832:
22810:
22796:
22629:
22615:
22537:{\displaystyle \ \mathbf {x} \ }
22527:
22493:
22479:
22434:{\displaystyle \ \mathbf {x} \ }
22424:
22250:
22211:
22197:
22005:{\displaystyle \ \mathbf {x} ~.}
21992:
21967:
21905:
21883:
21869:
21777:
21755:
21606:
21592:
21568:
21493:
21437:
21426:
21395:
21361:
21347:
21037:
21020:
21003:
20972:
20622:{\displaystyle \ \delta >0\ }
20135:
20114:{\displaystyle \ \mathbf {x} \ }
20104:
20062:
20051:
20032:
20021:
19995:
19981:
19968:
19957:
19937:
19923:
19913:
19899:
19791:
19770:{\displaystyle \ \mathbf {x} \ }
19760:
19663:
19649:
19625:
19611:
19599:
19547:
19528:{\displaystyle \ \mathbf {x} \ }
19518:
18546:positive-semidefinite matrices,
17306:is greater than or equal to the
17204:{\displaystyle \ M\geq N>0\ }
16862:
16851:
16618:
16607:
16581:
16570:
16507:
16441:
16423:
16291:
16277:
16258:{\displaystyle \ \mathbf {x} \ }
16248:
16214:
16077:
16050:
16026:
15968:
15954:
15935:{\displaystyle \ \mathbf {v} \ }
15925:
15868:
15676:{\displaystyle \ \mathbf {b} \ }
15666:
15574:
15563:
15554:
15540:
15335:{\displaystyle \ \mathbf {x} ~.}
15322:
15294:
15280:
15268:
14827:
14796:
14788:
14728:{\displaystyle \ \mathbf {y} ~.}
14715:
14648:{\displaystyle \ \mathbf {y} ~.}
14635:
14601:
14544:{\displaystyle \ \mathbf {y} \ }
14534:
14516:{\displaystyle \ \mathbf {x} \ }
14506:
14478:
14461:
14449:
14441:
14127:
14119:
14085:
14068:
14051:
14045:
13962:
13954:
13938:
13922:
13905:
13882:
13873:
13847:
13830:
13752:
13746:
13720:
13703:
13615:
13598:
13581:
13572:
13073:
13065:
13054:
13014:
13005:
12923:
12906:
12882:
12657:
12654:
12022:{\displaystyle M^{\frac {1}{2}}}
11475:{\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}
11446:{\displaystyle b_{i}\cdot b_{j}}
11406:{\displaystyle a_{i}\cdot a_{j}}
11358:{\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}
11336:(an isometry of Euclidean space
9227:is positive semidefinite. Since
9201:In the other direction, suppose
8493:{\displaystyle \ M=B^{\top }B~.}
8230:
8091:
8077:
8058:{\displaystyle \ \mathbf {z} \ }
8048:
8020:
8006:
7977:
7966:
7933:
7854:
7778:
7691:
7657:
6947:
6880:
6863:
6842:
6828:
6804:
6772:
6679:{\displaystyle \ \mathbf {z} \ }
6669:
6014:
5995:
5981:
5967:
5783:
5576:
5562:
5409:
5395:
4935:is negative-definite one writes
4816:is positive-definite one writes
4688:{\displaystyle \ \mathbf {z} \ }
4678:
4644:
4627:
4338:
4321:
4270:{\displaystyle \ \mathbf {z} \ }
4260:
4242:{\displaystyle \ \mathbf {z} \ }
4232:
4122:
4105:
4034:{\displaystyle \ \mathbf {z} \ }
4024:
3889:{\displaystyle \ \mathbf {z} ~.}
3876:
3844:
3827:
3721:
3693:
3666:
3640:
3623:
3574:
3549:
3532:
3412:
3396:
3379:
3304:{\displaystyle \ \mathbf {z} \ }
3294:
3260:
3243:
3142:
3116:
3100:
3083:
3008:{\displaystyle \ \mathbf {z} \ }
2998:
2964:
2947:
2838:
2822:
2805:
2730:{\displaystyle \ \mathbf {z} \ }
2720:
2686:
2669:
2568:
2542:
2526:
2509:
2434:{\displaystyle \ \mathbf {z} \ }
2424:
2390:
2373:
2248:
2231:
2215:Definitions for complex matrices
2149:
2133:
2116:
2044:{\displaystyle \ \mathbf {x} \ }
2034:
2000:
1983:
1882:
1856:
1840:
1823:
1748:{\displaystyle \ \mathbf {x} \ }
1738:
1704:
1687:
1578:
1562:
1545:
1470:{\displaystyle \ \mathbf {x} \ }
1460:
1426:
1409:
1308:
1282:
1266:
1249:
1174:{\displaystyle \ \mathbf {x} \ }
1164:
1130:
1113:
1023:{\displaystyle \ \mathbf {0} \ }
1013:
982:
944:
913:
879:
497:positive-definite quadratic form
486:
450:
436:
407:
393:
369:{\displaystyle \ \mathbf {z} ~.}
356:
322:
290:
262:
248:
213:{\displaystyle \ \mathbf {x} ~.}
200:
159:
127:
96:
82:
24575:Used in science and engineering
23606:
23572:
23560:
23545:
23533:
23521:
23494:
22916:
21787:{\displaystyle f(\mathbf {x} )}
21663:and thus we conclude that both
21126:{\displaystyle \ 2n\times 2n\ }
18411:
18399:
18178:
17865:is positive semidefinite, then
17766:are also positive definite. If
11365:) preserving the 0 point (i.e.
8660:of full row rank (i.e. of rank
5159:in general, may be indefinite.
3376:
3370:
3080:
3074:
2802:
2796:
2506:
2500:
2113:
2107:
1820:
1814:
1542:
1536:
1246:
1240:
23818:Explicitly constrained entries
23482:
23470:
23458:
23421:
23409:
23397:
23385:
23363:. Cambridge University Press.
23352:
23307:
21781:
21773:
21448:
21433:
21133:matrix may also be defined by
21091:Block matrices and submatrices
20348:
20342:
20328:
20322:
20268:
20264:
20250:
20246:
20036:
20017:
19691:This property guarantees that
19644:
19632:
19274:{\displaystyle \ M,N\geq 0\ ,}
19156:{\displaystyle \ M,N\geq 0\ ,}
19095:
19089:
19083:
19077:
19068:
19056:
19000:
18994:
18985:
18973:
18897:
18881:
18780:{\displaystyle \ M,N\geq 0\ ,}
18669:
18633:
18621:
18612:
18571:
18562:
18464:
18451:
18434:
18430:
18424:
18415:
18390:
18384:
18089:
18083:
17577:is also positive-semidefinite.
16962:For arbitrary square matrices
16379:{\displaystyle \ Q^{\top }Q~.}
16081:
16070:
16054:
16043:
16031:
16019:
16013:
16007:
15272:
15264:
15230:
14996:, as in the first part of the
14624:is the conjugate transpose of
13970:
13946:
13892:
13869:
13817:
13801:
13762:
13742:
13690:
13684:
13486:
13480:
13450:
13444:
13374:
13368:
13352:
13346:
13319:{\displaystyle \ M\succeq N\ }
13240:
13234:
13164:
13158:
13131:{\displaystyle \ M\succeq 0\ }
13024:
13001:
12949:be the "unit ball" defined by
12872:
12866:
12678:
12661:
12519:{\displaystyle \ M=LDL^{*}\ ,}
11577:
10142:can be seen as vectors in the
9297:{\displaystyle \ M=Q^{-1}DQ\ }
9174:
9161:
9149:
9143:
8904:
8895:
8892:
8869:
8770:
8764:
8752:
8746:
7169:
6867:
6856:
6847:
6835:
6750:{\displaystyle \ A^{\top }A\ }
6575:
6562:
6550:
6537:
6229:
6211:
6202:
6178:
6169:
6154:
6100:
6082:
6077:
6053:
6048:
6033:
5751:
5742:
5728:
5719:
5101:{\displaystyle \ B\succeq A\ }
4902:{\displaystyle \ M\preceq 0\ }
4783:{\displaystyle \ M\succeq 0\ }
4553:which is not real. Therefore,
3587:{\displaystyle \mathbf {z} ~.}
3372:
3076:
2798:
2502:
2109:
1816:
1538:
1242:
867:In the following definitions,
862:
1:
24592:Fundamental (computer vision)
23430:, p. 439, Theorem 7.2.6 with
23301:
22516:for all real nonzero vectors
22111:
21745:is itself positive definite.
21232:{\displaystyle \ n\times n~,}
20752:{\displaystyle \ k\times k\ }
19344:{\displaystyle \ M:N\geq 0\ }
17079:{\displaystyle \ M-N\geq 0\ }
16952:
16672:{\displaystyle MX=NX\Lambda }
15648:{\displaystyle \ n\times n\ }
15169:{\displaystyle \ n\times n\ }
14977:{\displaystyle \ k\times k\ }
14237:{\displaystyle \ n\times n\ }
13545:{\displaystyle \ N\succ 0\ ,}
13287:{\displaystyle \ N\succ 0\ ,}
12836:{\displaystyle \ n\times n\ }
12248:{\displaystyle \ M=LL^{*}\ ,}
10834:{\displaystyle \ k\times n\ }
10506:{\displaystyle \ k\times n\ }
9952:{\displaystyle \ k\times n\ }
8833:{\displaystyle \ M=B^{*}B\ ,}
8724:{\displaystyle \ M=B^{*}B\ ,}
8627:{\displaystyle \ k\times n\ }
8292:{\displaystyle \ n\times n\ }
8108:is real and positive for any
4667:for all nonzero real vectors
3861:is positive for all non-zero
3472:{\displaystyle \ n\times n\ }
3190:{\displaystyle \ n\times n\ }
2898:{\displaystyle \ n\times n\ }
2616:{\displaystyle \ n\times n\ }
2324:{\displaystyle \ n\times n\ }
1930:{\displaystyle \ n\times n\ }
1638:{\displaystyle \ n\times n\ }
1356:{\displaystyle \ n\times n\ }
1041:Definitions for real matrices
23503:, p. 495, Corollary 7.7.4(a)
22824:is obtained with the choice
21974:{\displaystyle \mathbf {x} }
21912:{\displaystyle \mathbf {x} }
19358:
18949:{\displaystyle \ N\geq 0\ ,}
18234:{\displaystyle \ n\geq 1\ ,}
16114:Simultaneous diagonalization
15521:{\displaystyle \mathbb {R} }
15126:is positive (semi)definite.
13417:{\displaystyle \ M\succ N\ }
13249:{\displaystyle \ B_{1}(M)\ }
13207:{\displaystyle \ M\succ 0\ }
13173:{\displaystyle \ B_{1}(M)\ }
11986:{\displaystyle \ M=B^{*}B~.}
11913:hence it is also called the
11872:is positive definite, so is
11328:A real unitary matrix is an
10474:{\displaystyle \ M=B^{*}B\ }
9025:{\displaystyle \ x\neq 0\ ,}
8363:{\displaystyle \ M=B^{*}B\ }
8201:of a real, symmetric matrix
7397:{\displaystyle \ PDP^{-1}\ }
6651:{\displaystyle \ a=b=c=0\ ,}
5790:{\displaystyle \mathbf {z} }
5707:
5691:
5608:
5596:
5258:{\displaystyle \ M\leq 0\ ,}
5190:{\displaystyle \ M\geq 0\ ,}
4963:{\displaystyle \ M\prec 0~.}
4844:{\displaystyle \ M\succ 0~.}
4221:which is always positive if
3594:This condition implies that
3367: negative semi-definite
2793: positive semi-definite
2104: negative semi-definite
1533: positive semi-definite
718:{\displaystyle \ M=B^{*}B~.}
551:with positive real entries.
467:are required to be positive
7:
24358:Duplication and elimination
24157:eigenvalues or eigenvectors
23755:Encyclopedia of Mathematics
23530:, p. 431, Observation 7.1.8
23518:, p. 430, Observation 7.1.3
23254:
22322:denotes the real part of a
21326:{\displaystyle \ C=B^{*}~.}
20961:such that for every vector
20465:{\displaystyle MN+NM\geq 0}
19742:{\displaystyle \ \theta \ }
19438:{\displaystyle \ \alpha \ }
18011:{\displaystyle \ A^{*}MA\ }
17979:has full column rank, then
17897:{\displaystyle \ A^{*}MA\ }
17436:
17157:The ordering is called the
17041:{\displaystyle \ M\geq N\ }
16120:simultaneously diagonalized
14025:is positive-definite, then
12978:Then we have the following
12691:and diagonal real positive
12609:{\displaystyle 2n\times 2n}
12349:{\displaystyle \ B=L^{*}\ }
11698:{\displaystyle \ B^{*}=B\ }
7747:{\displaystyle \ P^{-1}\ ,}
7541:contains the corresponding
5304:
5224:{\displaystyle \ M>0\ ,}
4727:
3776:{\displaystyle \ M=M^{*}~.}
10:
24762:
24291:With specific applications
23920:Discrete Fourier Transform
23768:"Positive definite matrix"
23699:Positive Definite Matrices
23675:Cambridge University Press
23661:
23640:"Positive definite matrix"
23615:Positive Definite Matrices
23271:Positive-definite function
20880:is odd, and positive when
20590:{\displaystyle \ M>0\ }
20503:{\displaystyle MN+NM>0}
18056:{\displaystyle \ m_{ii}\ }
17836:is also positive definite.
17800:{\displaystyle \ MN=NM\ ,}
17646:is also positive-definite.
17508:is also positive-definite.
17397:{\displaystyle \ r>0\ }
17341:
17150:{\displaystyle \ M>N~.}
16533:which can be rewritten as
15133:
14735:Therefore, the form is an
12467:{\displaystyle \ LL^{*}\ }
11993:Some authors use the name
11581:
9785:is invertible as well. If
8234:
7626:Put differently, applying
7467:whose columns comprise an
5840:The real symmetric matrix
5290:{\displaystyle \ M<0\ }
4579:is not positive-definite.
20:
24701:
24650:
24582:Cabibbo–Kobayashi–Maskawa
24574:
24520:
24456:
24290:
24209:Satisfying conditions on
24208:
24154:
24093:
23817:
23613:Bhatia, Rajendra (2007).
23579:Horn & Johnson (2013)
23567:Horn & Johnson (2013)
23540:Horn & Johnson (2013)
23528:Horn & Johnson (2013)
23516:Horn & Johnson (2013)
23501:Horn & Johnson (2013)
23489:Horn & Johnson (2013)
23477:Horn & Johnson (2013)
23467:, p. 431, Corollary 7.1.7
23465:Horn & Johnson (2013)
23428:Horn & Johnson (2013)
23416:Horn & Johnson (2013)
23404:Horn & Johnson (2013)
23392:Horn & Johnson (2013)
21860:can always be written as
20597:is real, then there is a
19723:expresses that the angle
18341:{\displaystyle n\times n}
17959:is positive definite and
17600:is positive-definite and
17372:is positive definite and
17310:th largest eigenvalue of
17280:th largest eigenvalue of
16888:In fact, we diagonalized
16739:{\displaystyle X^{\top }}
16124:similarity transformation
14994:elementary row operations
14273:being positive definite:
12064:{\displaystyle \ M=BB\ ;}
11769:is unique, is called the
10587:{\displaystyle k\times k}
9738:is invertible, and hence
9091:{\displaystyle k\times n}
9052:is positive definite. If
8199:characteristic polynomial
8189:– is positive. Since the
7800:stretching transformation
7213:{\displaystyle n\times n}
4582:On the other hand, for a
4249:is not zero. However, if
4013:then for any real vector
3197:Hermitian complex matrix
2905:Hermitian complex matrix
2623:Hermitian complex matrix
2331:Hermitian complex matrix
2200:{\displaystyle n\times n}
1064:{\displaystyle n\times n}
673:{\displaystyle \ B^{*}\ }
647:with conjugate transpose
23750:"Positive-definite form"
23734:10.1515/crll.1962.210.65
23581:, p. 509, Theorem 7.8.16
23556:(29). Elsevier: 471–506.
23418:, p. 452, Theorem 7.3.11
23406:, p. 441, Theorem 7.2.10
23369:10.1017/cbo9780511804441
23276:Positive-definite kernel
22922:Heat conductivity matrix
22354:Only the Hermitian part
19693:semidefinite programming
19351:(Lancaster–Tismenetsky,
18960:Oppenheim's inequality:
18596:This follows by writing
18022:
16958:Induced partial ordering
16746:gives the final result:
16712:{\displaystyle \Lambda }
16644:Manipulation now yields
16321:to write the inverse of
15716:a real constant. In the
15462:strictly convex function
12310:{\displaystyle M=B^{*}B}
11736:{\displaystyle \ M=BB~.}
11092:{\displaystyle \ B=QA~.}
10770:{\displaystyle \ A=QB~.}
9253:is Hermitian, it has an
5152:{\displaystyle \ B-A\ ,}
5075:non-strict partial order
471:(that is, nonnegative).
21:Not to be confused with
23940:Generalized permutation
23603:, Corollary 3.6, p. 227
23569:, p. 479, Theorem 7.5.3
23491:, p. 438, Theorem 7.2.1
23479:, p. 485, Theorem 7.6.1
23394:, p. 440, Theorem 7.2.7
22780:{\displaystyle M=\left}
20529:{\displaystyle N\geq 0}
19312:Frobenius inner product
17733:{\displaystyle \ MNM\ }
17404:is a real number, then
17111:{\displaystyle \ M-N\ }
15773:{\displaystyle \ n=1\ }
15741:{\displaystyle \ n=1\ }
15144:associated with a real
15136:Definite quadratic form
14990:upper triangular matrix
14920:leading principal minor
14847:that is if and only if
14684:this form is linear in
14655:For any complex matrix
13657:{\displaystyle v\neq 0}
12781:Other characterizations
11584:Square root of a matrix
11482:transforms the vectors
11118:{\displaystyle \ell =k}
10781:unitary transformations
3071: negative-definite
2497: positive-definite
1811: negative-definite
1237: positive-definite
27:Totally positive matrix
24714:Mathematics portal
23450:
23245:
23193:
23144:
23116:
23088:
23056:
23030:
22985:
22948:
22895:
22874:
22818:
22781:
22718:
22689:
22597:
22538:
22510:
22461:
22435:
22407:
22348:
22316:
22264:
22233:
22157:
22094:
22048:
22028:
22006:
21975:
21953:
21933:
21913:
21891:
21854:
21808:
21788:
21739:
21709:
21683:
21657:
21656:{\displaystyle \ D\ ,}
21626:
21467:
21415:and in particular for
21409:
21378:
21327:
21285:
21259:
21233:
21196:
21127:
21070:
20986:
20955:
20929:
20900:
20874:
20829:
20753:
20721:
20687:
20661:
20623:
20591:
20556:
20555:{\displaystyle N>0}
20530:
20504:
20466:
20428:
20408:
20407:{\displaystyle M>0}
20375:
20355:
20281:
20211:
20210:{\displaystyle m_{ij}}
20177:
20149:
20115:
20087:
19865:
19802:
19771:
19743:
19717:
19683:
19529:
19501:
19439:
19413:
19387:
19353:The Theory of Matrices
19345:
19304:
19303:{\displaystyle \ MN\ }
19275:
19227:
19186:
19185:{\displaystyle \ MN\ }
19157:
19108:
19036:
18950:
18916:
18852:
18810:
18809:{\displaystyle \ MN\ }
18781:
18732:
18682:
18590:
18540:
18520:
18492:
18362:
18342:
18314:
18235:
18198:
18108:
18057:
18012:
17973:
17953:
17927:
17898:
17859:
17830:
17829:{\displaystyle \ MN\ }
17801:
17760:
17734:
17702:
17676:
17640:
17614:
17594:
17571:
17545:
17525:
17502:
17476:
17456:
17433:is positive definite.
17427:
17426:{\displaystyle \ rM\ }
17398:
17366:
17333:
17300:
17266:
17205:
17151:
17112:
17080:
17042:
17010:
16985:
16984:{\displaystyle \ M\ ,}
16937:
16908:
16882:
16833:
16785:
16740:
16713:
16693:
16673:
16638:
16592:
16527:
16455:
16406:
16380:
16341:
16319:Cholesky decomposition
16311:
16259:
16231:
16175:
16149:
16097:
15988:
15936:
15908:
15882:
15838:
15812:is positive definite.
15806:
15774:
15742:
15710:
15677:
15649:
15617:
15591:
15522:
15500:
15454:
15425:
15361:
15336:
15305:
15245:
15196:
15170:
15120:
15119:{\displaystyle \ -M\ }
15091:
15057:
15031:
15030:{\displaystyle \ k\ ,}
14978:
14942:
14902:
14867:
14841:
14810:
14768:
14729:
14698:
14678:
14677:{\displaystyle \ M\ ,}
14649:
14618:
14583:
14545:
14517:
14489:
14421:
14386:
14336:
14298:
14267:
14238:
14206:
14183:
14138:
14102:
14019:
13993:
13775:
13658:
13632:
13546:
13509:
13418:
13387:
13320:
13288:
13250:
13208:
13174:
13132:
13099:
13031:
12972:
12943:
12837:
12805:
12771:
12726:
12685:
12630:
12610:
12566:
12540:
12520:
12468:
12432:
12406:
12380:
12358:Cholesky decomposition
12350:
12311:
12275:
12249:
12204:
12180:Cholesky decomposition
12171:
12106:
12065:
12031:Cholesky decomposition
12023:
11987:
11940:
11907:
11866:
11846:
11799:
11798:{\displaystyle \ M\ ,}
11763:
11737:
11699:
11660:
11634:
11608:
11568:
11522:
11476:
11447:
11407:
11359:
11322:
11284:
11232:
11186:
11166:
11139:
11119:
11093:
11055:
11000:
10980:
10948:
10893:
10861:
10835:
10803:
10771:
10733:
10646:
10588:
10559:
10533:
10507:
10475:
10421:
10365:
10306:
10280:
10201:
10181:
10136:
10110:
10055:
9984:
9983:{\displaystyle \ B'\ }
9953:
9921:
9901:
9854:
9834:
9833:{\displaystyle \ k\ ,}
9805:
9779:
9732:
9694:
9674:
9624:
9444:
9406:
9380:
9354:
9324:
9298:
9247:
9221:
9193:
9121:
9120:{\displaystyle \ k\ ,}
9092:
9066:
9046:
9026:
8991:
8971:
8945:
8834:
8783:
8725:
8680:
8654:
8628:
8596:
8570:
8541:
8515:
8494:
8449:
8423:
8390:
8364:
8322:
8293:
8261:
8221:
8183:
8157:
8131:
8130:{\displaystyle \ y\ ;}
8102:
8059:
8031:
7988:
7947:
7897:
7896:{\displaystyle \ P\ ,}
7868:
7827:to the result, giving
7821:
7792:
7748:
7705:
7671:
7640:
7620:
7591:
7565:
7524:
7498:
7497:{\displaystyle \ M\ ,}
7465:unitary complex matrix
7457:
7431:
7430:{\displaystyle \ M\ ,}
7398:
7352:
7330:
7308:
7286:
7264:
7241:
7227:). All eigenvalues of
7214:
7188:
7159:
7057:
6989:
6967:
6930:
6910:
6786:
6751:
6715:
6714:{\displaystyle \ A\ ,}
6680:
6652:
6605:
5932:
5831:
5811:
5791:
5768:
5535:
5367:
5291:
5259:
5225:
5191:
5153:
5102:
5067:
5026:
5000:
4972:The notion comes from
4964:
4929:
4903:
4871:
4845:
4810:
4784:
4752:
4732:If a Hermitian matrix
4718:
4689:
4661:
4609:
4608:{\displaystyle \ M\ ,}
4573:
4545:
4304:
4303:{\displaystyle \ i\ ,}
4271:
4243:
4215:
4087:
4061:
4035:
4005:
3916:
3890:
3855:
3809:
3777:
3735:
3704:
3648:
3608:
3588:
3560:
3514:
3473:
3438:
3343:
3305:
3277:
3225:negative semi-definite
3217:
3191:
3156:
3047:
3009:
2981:
2925:
2899:
2864:
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