Difference quotient

10981: 9436: 10976:{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{\acute {n}}F(P_{0})}{dP^{\acute {n}}}}&={\frac {d^{{\acute {n}}-1}F'(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-1}}}={\frac {d^{{\acute {n}}-2}F''(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-2}}}={\frac {d^{{\acute {n}}-3}F'''(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-3}}}=\cdots ={\frac {d^{{\acute {n}}-r}F^{(r)}(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-r}}},\\&={\frac {d^{{\acute {n}}-1}G(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-1}}}\\&={\frac {d^{{\acute {n}}-2}G'(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-2}}}=\ {\frac {d^{{\acute {n}}-3}G''(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-3}}}=\cdots ={\frac {d^{{\acute {n}}-r}G^{(r-1)}(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-r}}},\\&{\color {white}.}\qquad \qquad \qquad ={\frac {d^{{\acute {n}}-2}H(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-2}}}=\ {\frac {d^{{\acute {n}}-3}H'(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-3}}}=\cdots ={\frac {d^{{\acute {n}}-r}H^{(r-2)}(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-r}}},\\&{\color {white}.}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ =\ {\frac {d^{{\acute {n}}-3}I(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-3}}}=\cdots ={\frac {d^{{\acute {n}}-r}I^{(r-3)}(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-r}}},\\&=F^{({\acute {n}})}(P)=G^{({\acute {n}}-1)}(P)=H^{({\acute {n}}-2)}(P)=I^{({\acute {n}}-3)}(P)=\cdots \end{aligned}}} 7886: 5658: 6495: 8881: 7881:{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {D^{3}F(P_{0})}{DP^{3}}}&={\frac {D^{2}F'(P_{0})}{DP^{2}}}={\frac {DF''(P_{0})}{DP}}={\frac {F''(P_{1}<P<P_{3})-F''(P_{0}<P<P_{2})}{P_{1}-P_{0}}},\\&{\color {white}.}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ \ \neq {\frac {F''(P_{1})-F''(P_{0})}{P_{1}-P_{0}}},\\&={\frac {{\frac {F'(P_{2}<P<P_{3})-F'(P_{1}<P<P_{2})}{P_{1}-P_{0}}}-{\frac {F'(P_{1}<P<P_{2})-F'(P_{0}<P<P_{1})}{P_{1}-P_{0}}}}{P_{1}-P_{0}}},\\&={\frac {F'(P_{2}<P<P_{3})-2F'(P_{1}<P<P_{2})+F'(P_{0}<P<P_{1})}{(P_{1}-P_{0})^{2}}},\\&=F={\frac {F(P_{3})-3F(P_{2})+3F(P_{1})-F(P_{0})}{(P_{1}-P_{0})^{3}}},\\&=F'''(P_{0}<P<P_{3})=\sum _{TN=1}^{UT=\infty }{\frac {F'''(P_{(tn)})}{UT}},\\&=G''(P_{0}<P<P_{3})\ =H'(P_{0}<P<P_{3})=I(P_{0}<P<P_{3}).\end{aligned}}} 4706: 7902: 5653:{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\Delta ^{3}F(P_{0})}{\Delta _{1}P^{3}}}&={\frac {\Delta ^{2}F'(P_{0})}{\Delta _{1}P^{2}}}={\frac {\Delta F''(P_{0})}{\Delta _{1}P}}={\frac {{\frac {\Delta F'(P_{1})}{\Delta _{1}P}}-{\frac {\Delta F'(P_{0})}{\Delta _{1}P}}}{\Delta _{1}P}},\\&={\frac {{\frac {{\frac {\Delta F(P_{2})}{\Delta _{1}P}}-{\frac {\Delta F'(P_{1})}{\Delta _{1}P}}}{\Delta _{1}P}}-{\frac {{\frac {\Delta F'(P_{1})}{\Delta _{1}P}}-{\frac {\Delta F'(P_{0})}{\Delta _{1}P}}}{\Delta _{1}P}}}{\Delta _{1}P}},\\&={\frac {{\frac {F(P_{3})-2F(P_{2})+F(P_{1})}{\Delta _{1}P^{2}}}-{\frac {F(P_{2})-2F(P_{1})+F(P_{0})}{\Delta _{1}P^{2}}}}{\Delta _{1}P}},\\&={\frac {F(P_{3})-3F(P_{2})+3F(P_{1})-F(P_{0})}{\Delta _{1}P^{3}}};\end{aligned}}} 6487: 8876:{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta ^{\acute {n}}F(P_{0})&=F^{({\acute {n}}-1)}(P_{1})-F^{({\acute {n}}-1)}(P_{0}),\\&={\frac {F^{({\acute {n}}-2)}(P_{2})-F^{({\acute {n}}-2)}(P_{1})}{\Delta _{1}P}}-{\frac {F^{({\acute {n}}-2)}(P_{1})-F^{({\acute {n}}-2)}(P_{0})}{\Delta _{1}P}},\\&={\frac {{\frac {F^{({\acute {n}}-3)}(P_{3})-F^{({\acute {n}}-3)}(P_{2})}{\Delta _{1}P}}-{\frac {F^{({\acute {n}}-3)}(P_{2})-F^{({\acute {n}}-3)}(P_{1})}{\Delta _{1}P}}}{\Delta _{1}P}}\\&{\color {white}.}\qquad -{\frac {{\frac {F^{({\acute {n}}-3)}(P_{2})-F^{({\acute {n}}-3)}(P_{1})}{\Delta _{1}P}}-{\frac {F^{({\acute {n}}-3)}(P_{1})-F^{({\acute {n}}-3)}(P_{0})}{\Delta _{1}P}}}{\Delta _{1}P}},\\&=\cdots \end{aligned}}} 4693: 9428: 12927: 5666: 3492: 8889: 3948: 2935: 6482:{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{3}F(P)}{dP^{3}}}&={\frac {d^{2}F'(P)}{dP^{2}}}={\frac {dF''(P)}{dP}}={\frac {F''(P_{1})-F''(P_{0})}{dP}},\\&={\frac {d^{2}G(P)}{dP^{2}}}\ ={\frac {dG'(P)}{dP}}\ ={\frac {G'(P_{1})-G'(P_{0})}{dP}},\\&{\color {white}.}\qquad \qquad \ \ ={\frac {dH(P)}{dP}}\ ={\frac {H(P_{1})-H(P_{0})}{dP}},\\&={\frac {G(P_{2})-2G(P_{1})+G(P_{0})}{dP^{2}}},\\&={\frac {F(P_{3})-3F(P_{2})+3F(P_{1})-F(P_{0})}{dP^{3}}},\\&=F'''(P)=G''(P)=H'(P)=I(P);\end{aligned}}} 12386: 2976: 9423:{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\Delta ^{\acute {n}}F(P_{0})}{\Delta _{1}P^{\acute {n}}}}&={\frac {\sum _{I=0}^{\acute {N}}{-1 \choose {\acute {N}}-I}{{\acute {N}} \choose I}F(P_{0}+I\Delta _{1}P)}{\Delta _{1}P^{\acute {n}}}};\\&{\frac {\nabla ^{\acute {n}}F(P_{\acute {n}})}{\Delta _{1}P^{\acute {n}}}}\\&={\frac {\sum _{I=0}^{\acute {N}}{-1 \choose I}{{\acute {N}} \choose I}F(P_{\acute {n}}-I\Delta _{1}P)}{\Delta _{1}P^{\acute {n}}}};\end{aligned}}} 12364: 4688:{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {D^{2}F(P_{0})}{DP^{2}}}&={\frac {DF'(P_{0})}{DP}}={\frac {F'(P_{1}<P<P_{2})-F'(P_{0}<P<P_{1})}{P_{1}-P_{0}}},\\&{\color {white}.}\qquad \neq {\frac {F'(P_{1})-F'(P_{0})}{P_{1}-P_{0}}},\\&=F={\frac {F(P_{2})-2F(P_{1})+F(P_{0})}{(P_{1}-P_{0})^{2}}},\\&=F''(P_{0}<P<P_{2})=\sum _{TN=1}^{\infty }{\frac {F''(P_{(tn)})}{UT}},\\&=G'(P_{0}<P<P_{2})=H(P_{0}<P<P_{2}).\end{aligned}}} 2173: 11557: 3940: 2341: 12922:{\displaystyle {\begin{aligned}&{}\qquad \int _{CL}^{CU}\int _{BL}^{BU}\int _{AL}^{AU}F'(r,q,p)\,dp\,dq\,dr\\&=\sum _{T\!C=1}^{U\!C=\infty }\left(\sum _{T\!B=1}^{U\!B=\infty }\left(\sum _{T\!A=1}^{U\!A=\infty }F^{'}(R_{(tc)}:Q_{(tb)}:P_{(ta)}){\frac {\Delta A}{U\!A}}\right){\frac {\Delta B}{U\!B}}\right){\frac {\Delta C}{U\!C}},\\&=F'(C\!L<R<CU:BL<Q<BU:AL<P<\!AU)\Delta A\,\Delta B\,\Delta C.\end{aligned}}} 3487:{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\Delta ^{2}F(P_{0})}{\Delta _{1}P^{2}}}&={\frac {\Delta F'(P_{0})}{\Delta _{1}P}}={\frac {{\frac {\Delta F(P_{1})}{\Delta _{1}P}}-{\frac {\Delta F(P_{0})}{\Delta _{1}P}}}{\Delta _{1}P}},\\&={\frac {{\frac {F(P_{2})-F(P_{1})}{\Delta _{1}P}}-{\frac {F(P_{1})-F(P_{0})}{\Delta _{1}P}}}{\Delta _{1}P}},\\&={\frac {F(P_{2})-2F(P_{1})+F(P_{0})}{\Delta _{1}P^{2}}};\end{aligned}}} 10989: 11972: 2930:{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {DF(P_{0})}{DP}}&=F={\frac {F(P_{1})-F(P_{0})}{P_{1}-P_{0}}}=F'(P_{0}<P<P_{1})=\sum _{TN=1}^{UT=\infty }{\frac {F'(P_{(tn)})}{UT}},\\&={\frac {DF(LB)}{DB}}={\frac {\Delta F(LB)}{\Delta B}}={\frac {\nabla F(UB)}{\Delta B}},\\&=F={\frac {F(UB)-F(LB)}{UB-LB}},\\&=F'(LB<P<UB)=G(LB<P<UB).\end{aligned}}} 1769: 11873: 3500: 1549: 13368: 11552:{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {D^{\acute {n}}F(P_{0})}{DP^{\acute {n}}}}&=F,\\&=F^{({\acute {n}})}(P_{0}<P<P_{\acute {n}})=\sum _{TN=1}^{UT=\infty }{\frac {F^{({\acute {n}})}(P_{(tn)})}{UT}}\\&=F^{({\acute {n}})}(LB<P<UB)=G^{({\acute {n}}-1)}(LB<P<UB)=\cdots \end{aligned}}} 12359:{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{2\pi }F'(p)\,dp&=4\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}F'(p)\,dp=F(2\pi )-F(0)=4(F({\begin{matrix}{\frac {\pi }{2}}\end{matrix}})-F(0)),\\&=2\pi F=2\pi F'(0<P<2\pi ),\\&=2\pi F=2\pi F'(0<P<{\begin{matrix}{\frac {\pi }{2}}\end{matrix}}).\end{aligned}}} 2168:{\displaystyle {\begin{aligned}P_{(tn)}&=LB+{\frac {TN-1}{UT-1}}\Delta B\ =UB-{\frac {UT-TN}{UT-1}}\Delta B;\\&{}\qquad {\color {white}.}(P_{(1)}=LB,\ P_{(ut)}=UB){\color {white}.}\\F'(P_{\tilde {a}})&=F'(LB<P<UB)=\sum _{TN=1}^{UT=\infty }{\frac {F'(P_{(tn)})}{UT}}.\end{aligned}}} 832: 3935:{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}F(P)}{dP^{2}}}&={\frac {dF'(P)}{dP}}={\frac {F'(P_{1})-F'(P_{0})}{dP}},\\&=\ {\frac {dG(P)}{dP}}={\frac {G(P_{1})-G(P_{0})}{dP}},\\&={\frac {F(P_{2})-2F(P_{1})+F(P_{0})}{dP^{2}}},\\&=F''(P)=G'(P)=H(P)\end{aligned}}} 661: 11573: 1277: 983: 13100: 13111: 11878:

Given that the mean value, derivative expression form provides all of the same information as the classical integral notation, the mean value form may be the preferable expression, such as in writing venues that only support/accept standard

6500: 1738: 993:

Regardless if ΔP is infinitesimal or finite, there is (at least—in the case of the derivative—theoretically) a point range, where the boundaries are P ± (0.5) ΔP (depending on the orientation—ΔF(P), δF(P) or ∇F(P)):

9441: 5671: 2324: 7907: 3953: 11883:

text, or in cases that only require the average derivative (such as when finding the average radius in an elliptic integral). This is especially true for definite integrals that technically have (e.g.) 0 and either

11578: 4711: 3505: 2346: 12391: 11977: 10994: 8894: 2981: 1774: 11964: 1008:

As this sequencing requires a corresponding boundary splintering, it is practical to break up the point range into smaller, equi-sized sections, with each section being marked by an intermediary point (

521: 684: 11868:{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{LB}^{UB}G(p)\,dp&=\int _{LB}^{UB}F'(p)\,dp=F(UB)-F(LB),\\&=F\Delta B,\\&=F'(LB<P<UB)\Delta B,\\&=\ G(LB<P<UB)\Delta B.\end{aligned}}} 1544:{\displaystyle {\frac {\Delta F(P_{0})}{\Delta P}}={\frac {F(P_{\acute {n}})-F(P_{0})}{\Delta _{\acute {n}}P}}={\frac {F(P_{1})-F(P_{0})}{\Delta _{1}P}}={\frac {F(P_{1})-F(P_{0})}{P_{1}-P_{0}}}.\,\!} 2185:

represents a function extracted, average value of P (midrange, but usually not exactly midpoint), the particular valuation depending on the function averaging it is extracted from. More formally, P

840: 505: 14628: 226: 94: 13363:{\displaystyle F'(R:BL<Q<BU:AL<P<AU)=\sum _{T\!B=1}^{U\!B=\infty }\left(\sum _{T\!A=1}^{U\!A=\infty }{\frac {F'(R:Q_{(tb)}:P_{(ta)})}{U\!A}}\right){\frac {1}{U\!B}}.\,\!} 12938: 14043: 1002:

Derivatives can be regarded as functions themselves, harboring their own derivatives. Thus each function is home to sequential degrees ("higher orders") of derivation, or

11929: 11904: 466: 13978: 11567:

The quintessential application of the divided difference is in the presentation of the definite integral, which is nothing more than a finite difference:

1599: 14608: 2230: 13946: 424:

The general preference is the forward orientation, as F(P) is the base, to which differences (i.e., "ΔP"s) are added to it. Furthermore,

14035: 511:, with specific denotations of dP and dF(P) (in calculus graphing, the point is almost exclusively identified as "x" and F(x) as "y"). 1760:

A divided difference, however, does require further elucidation, as it equals the average derivative between and including LB and UB:

330:

The typical notion of the difference quotient discussed above is a particular case of a more general concept. The primary vehicle of

656:{\displaystyle {\frac {\Delta F(P)}{\Delta P}}={\frac {F(P+\Delta P)-F(P)}{\Delta P}}={\frac {\nabla F(P+\Delta P)}{\Delta P}}.\,\!} 14158: 13831: 11934: 827:{\displaystyle {\text{If }}|\Delta P|={\mathit {\iota }}:\quad {\frac {\Delta F(P)}{\Delta P}}={\frac {dF(P)}{dP}}=F'(P)=G(P);\,\!} 14583: 14560: 14316: 14264: 14168: 13906: 13794: 13761: 13710: 13679: 13651: 13623: 13595: 13570: 13545: 13515: 13490: 13465: 13432: 978:{\displaystyle {\text{If }}|\Delta P|>{\mathit {\iota }}:\quad {\frac {\Delta F(P)}{\Delta P}}={\frac {DF(P)}{DP}}=F.\,\!} 14195: 350:), as is the difference in their function result, the particular notation being determined by the direction of formation: 14294: 14005: 14207: 472: 14185: 13997: 14593: 14418: 2205:

in the interval (LB,UB) such that the secant joining the endpoints of the interval is parallel to the tangent at P

342:, usually a point ("P") expressible on a graph. The difference between two points, themselves, is known as their 14613: 14515: 14413: 14234: 14658: 170: 40: 14498: 13404: 14408: 146: 14663: 14603: 14462: 14259: 14353: 13095:{\displaystyle F'(R,Q:AL<P<AU)=\sum _{T\!A=1}^{U\!A=\infty }{\frac {F'(R,Q:P_{(ta)})}{U\!A}};\,\!} 126:

of values of the function by the difference of the corresponding values of its argument (the latter is (

14403: 14398: 14321: 14224: 14190: 14153: 14012: 13899: 14368: 14284: 13938: 293: 1748: 14239: 14180: 14163: 14148: 14093: 1560:

The difference quotient as a derivative needs no explanation, other than to point out that, since P

123: 13840: 14217: 13970: 300: 240: 13702:

Evaluating Derivatives: Principles and Techniques of Algorithmic Differentiation, Second Edition

14588: 14578: 14343: 14306: 14279: 14173: 13786: 11909: 335: 150: 112: 11887: 14635: 14542: 14428: 14423: 14212: 14125: 14100: 13892: 13778: 13700: 451: 14549: 14269: 14026: 515:

The function difference divided by the point difference is known as "difference quotient":

164:

By a slight change in notation (and viewpoint), for an interval , the difference quotient

8: 14358: 14254: 14244: 14105: 13872: 13613: 13457: 13450: 13379: 2201:

For any function that is continuous on and differentiable on (LB,UB) there exists some P

674: 100: 13825: 13738: 14573: 14289: 14202: 13930: 11931:

as boundaries, with the same divided difference found as that with boundaries of 0 and

2190: 254: 236: 13858: 13851: 14532: 14504: 14386: 14363: 14311: 14229: 14115: 13790: 13779: 13757: 13706: 13675: 13647: 13619: 13591: 13566: 13541: 13511: 13486: 13461: 13428: 13389: 12374: 434: 20: 257:

at some point in the interval. Geometrically, this difference quotient measures the

14492: 14468: 14444: 14274: 14020: 13614:

Tamara Lefcourt Ruby; James Sellers; Lisa Korf; Jeremy Van Horn; Mike Munn (2014).

13394: 1733:{\displaystyle {\frac {dF(P)}{dP}}={\frac {F(P_{1})-F(P_{0})}{dP}}=F'(P)=G(P).\,\!} 1577: 319: 14480: 14249: 14143: 13835: 13731: 14523: 14348: 14331: 14301: 14088: 13868: 13696: 343: 2319:{\displaystyle P_{\tilde {a}}:=LB<P<UB=P_{0}<P<P_{\acute {n}}\,\!} 14652: 14568: 14450: 14392: 13399: 13384: 443: 158: 13879: 14456: 14326: 14135: 14110: 14073: 13915: 311: 157:). The limit of the difference quotient (i.e., the derivative) is thus the 14474: 14083: 13962: 262: 14598: 14486: 13726: 2956: 2943:

As there is, by its very definition, a tangible difference between LB/P

668: 299:

Difference quotients may also find relevance in applications involving

108: 13880:

Interactive simulator on difference quotient to explain the derivative

13874:

Computational Divided Differencing and Divided-Difference Arithmetics

296:, but they have also been subject of criticism in this application. 14120: 14061: 13884: 331: 119: 27: 13776: 14078: 14066: 13954: 13505: 143: 1006:. This property can be generalized to all difference quotients. 118:. The name of the expression stems from the fact that it is the 14632: 303:, where the width of the time step is used for the value of h. 13694: 13422: 2332:

which links the mean value result with the divided difference:

13641: 11959:{\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {\pi }{2}}\end{matrix}}} 11880: 258: 13585: 13447: 1751:, but these are the most recognized, standard designations. 231:

is called the mean (or average) value of the derivative of

142:

in this case). The difference quotient is a measure of the

1265: 666:

If ΔP is infinitesimal, then the difference quotient is a

13563:

Essays on the Foundations of Mathematics by Moritz Pasch

12369:

This also becomes particularly useful when dealing with

12329: 12276: 12125: 11939: 13114: 12941: 12389: 11975: 11937: 11912: 11890: 11576: 10992: 9439: 8892: 7905: 6498: 5669: 4709: 3951: 3503: 2979: 2344: 2233: 1772: 1602: 1280: 843: 687: 524: 475: 454: 306:

The difference quotient is sometimes also called the

173: 43: 13770: 13637: 13635: 2963: 1580:

and derivative expressions do not distinguish P to P

469:—usually expressed in standard analysis as a limit: 13688: 292:Difference quotients are used as approximations in 13730: 13449: 13362: 13094: 12921: 12358: 11958: 11923: 11898: 11867: 11562: 11551: 10975: 9422: 8875: 7880: 6481: 5652: 4687: 3934: 3486: 2929: 2318: 2167: 1732: 1543: 977: 826: 655: 499: 460: 235:over the interval . This name is justified by the 220: 88: 14609:Statal Institute of Higher Education Isaac Newton 13826:Saint Vincent College: Br. David Carlson, O.S.B.— 13632: 13609: 13607: 13359: 13348: 13327: 13246: 13231: 13206: 13191: 13091: 13080: 13015: 13000: 12882: 12821: 12787: 12761: 12735: 12626: 12611: 12586: 12571: 12546: 12531: 11920: 11895: 2315: 1729: 1540: 1120:P; ↓ ↓ ↓ ↓ P 974: 823: 652: 500:{\displaystyle \lim _{\Delta P\rightarrow 0}\,\!} 496: 14650: 13669: 13579: 13540:. World Scientific. pp. 71–76 and 151–161. 13535: 13499: 2221:denotes some value of P between LB and UB—hence, 477: 432:(meaning measurable), then ΔF(P) is known as a 13604: 13531: 13529: 13527: 13506:Karla Neal; R. Gustafson; Jeff Hughes (2012). 13441: 420:Backward difference: ∇F(P) = F(P) − F(P − ΔP). 13900: 13777:Christopher Clapham; James Nicholson (2009). 13751: 13737:. Addison-Wesley Publishing Company. p. 13665: 13663: 13644:Contemporary Precalculus: A Graphing Approach 13416: 9330: 9308: 9299: 9281: 9075: 9053: 9044: 9009: 265:passing through the points with coordinates ( 13811:A Smoother Pebble: Mathematical Explorations 13781:The Concise Oxford Dictionary of Mathematics 13560: 12380:(ΔA = AU − AL, ΔB = BU − BL, ΔC = CU − CL): 1576:(as the differences are infinitesimal), the 438:, with specific denotations of DP and DF(P); 13524: 13452:Barron's how to Prepare for the AP Calculus 988: 13907: 13893: 13725: 13660: 1754: 998:LB = Lower Boundary; UB = Upper Boundary; 13485:. John Wiley & Sons. pp. 41–47. 13480: 13423:Peter D. Lax; Maria Shea Terrell (2013). 13358: 13090: 12905: 12898: 12506: 12499: 12492: 12069: 12015: 11919: 11894: 11666: 11614: 2951:, the Leibniz and derivative expressions 2314: 1728: 1539: 973: 822: 651: 495: 13813:, Oxford University Press, 2003, p. 176. 13745: 13719: 13642:Thomas Hungerford; Douglas Shaw (2008). 13554: 11966:(thus requiring less averaging effort): 221:{\displaystyle {\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}} 89:{\displaystyle {\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}} 19:For broader coverage of this topic, see 13841:University of Birmingham: Dirk Hermans— 13754:Fortran 90 for Scientists and Engineers 13586:Frank C. Wilson; Scott Adamson (2008). 13474: 13456:. Barron's Educational Series. p. 13448:Shirley O. Hockett; David Bock (2005). 34:is usually the name for the expression 14651: 13646:. Cengage Learning. pp. 211–212. 1037:th point, equaling the degree/order: 14159:Newton's law of universal gravitation 13888: 153:(in this case, an interval of length 14317:Newton's theorem of revolving orbits 13914: 334:and other higher mathematics is the 14265:Leibniz–Newton calculus controversy 14006:standing on the shoulders of giants 13785:. Oxford University Press. p. 13616:Kaplan AP Calculus AB & BC 2015 10578: 10276: 8583: 6793: 6055: 4188: 1992: 1920: 13: 13618:. Kaplan Publishing. p. 299. 13253: 13213: 13022: 12906: 12899: 12892: 12776: 12750: 12724: 12633: 12593: 12553: 11852: 11800: 11746: 11347: 9384: 9366: 9312: 9285: 9208: 9163: 9122: 9104: 9057: 9013: 8939: 8901: 8838: 8820: 8699: 8560: 8542: 8421: 8287: 8166: 7911: 7673: 5621: 5496: 5471: 5374: 5271: 5253: 5235: 5205: 5184: 5154: 5130: 5112: 5082: 5061: 5036: 4999: 4981: 4951: 4930: 4900: 4876: 4846: 4818: 4782: 4749: 4718: 4529: 3455: 3355: 3337: 3272: 3194: 3176: 3151: 3130: 3105: 3081: 3051: 3019: 2988: 2734: 2714: 2699: 2679: 2576: 2106: 1900: 1844: 1554: 1446: 1374: 1308: 1284: 961: 899: 882: 854: 743: 726: 698: 639: 628: 613: 598: 572: 545: 528: 481: 385:Central difference: δF(P) = F(P + 14: 14675: 13819: 13590:. Cengage Learning. p. 177. 13510:. Cengage Learning. p. 133. 2964:Higher-order difference quotients 1266:The primary difference quotient ( 14594:Isaac Newton Group of Telescopes 14614:Newton International Fellowship 14295:generalized Gauss–Newton method 14208:Newton's method in optimization 13803: 13483:Calculus Essentials For Dummies 12399: 11563:Applying the divided difference 10589: 10588: 10587: 10586: 10585: 10584: 10284: 10283: 10282: 8589: 6803: 6802: 6801: 6800: 6799: 6062: 6061: 4194: 2968: 1918: 878: 722: 13319: 13314: 13305: 13292: 13283: 13269: 13177: 13123: 13072: 13067: 13058: 13038: 12986: 12950: 12889: 12815: 12718: 12713: 12704: 12691: 12682: 12669: 12660: 12652: 12489: 12471: 12346: 12313: 12293: 12266: 12241: 12220: 12200: 12185: 12160: 12157: 12151: 12142: 12121: 12115: 12106: 12100: 12091: 12082: 12066: 12060: 12012: 12006: 11849: 11825: 11797: 11773: 11743: 11725: 11706: 11697: 11688: 11679: 11663: 11657: 11611: 11605: 11536: 11512: 11507: 11486: 11475: 11451: 11446: 11431: 11402: 11397: 11388: 11380: 11375: 11360: 11313: 11274: 11269: 11254: 11233: 11071: 11033: 11020: 10960: 10954: 10949: 10928: 10917: 10911: 10906: 10885: 10874: 10868: 10863: 10842: 10831: 10825: 10820: 10805: 10751: 10738: 10733: 10721: 10643: 10630: 10531: 10518: 10513: 10501: 10423: 10410: 10332: 10319: 10229: 10216: 10211: 10199: 10121: 10108: 10030: 10017: 9935: 9922: 9842: 9829: 9824: 9818: 9740: 9727: 9652: 9639: 9564: 9551: 9480: 9467: 9378: 9339: 9202: 9182: 9116: 9084: 8933: 8920: 8814: 8801: 8796: 8775: 8764: 8751: 8746: 8725: 8693: 8680: 8675: 8654: 8643: 8630: 8625: 8604: 8536: 8523: 8518: 8497: 8486: 8473: 8468: 8447: 8415: 8402: 8397: 8376: 8365: 8352: 8347: 8326: 8281: 8268: 8263: 8242: 8231: 8218: 8213: 8192: 8160: 8147: 8142: 8121: 8110: 8097: 8092: 8071: 8047: 8034: 8029: 8008: 7997: 7984: 7979: 7958: 7943: 7930: 7868: 7836: 7827: 7795: 7778: 7746: 7711: 7706: 7697: 7689: 7639: 7607: 7574: 7547: 7542: 7529: 7520: 7507: 7495: 7482: 7470: 7457: 7445: 7393: 7365: 7338: 7333: 7301: 7287: 7255: 7238: 7206: 7123: 7091: 7077: 7045: 7000: 6968: 6954: 6922: 6864: 6851: 6837: 6824: 6751: 6719: 6705: 6673: 6645: 6632: 6594: 6581: 6532: 6519: 6469: 6463: 6454: 6448: 6434: 6428: 6414: 6408: 6366: 6353: 6344: 6331: 6319: 6306: 6294: 6281: 6241: 6228: 6219: 6206: 6194: 6181: 6148: 6135: 6126: 6113: 6087: 6081: 6030: 6017: 6003: 5990: 5959: 5953: 5912: 5906: 5863: 5850: 5836: 5823: 5795: 5789: 5751: 5745: 5696: 5690: 5615: 5602: 5593: 5580: 5568: 5555: 5543: 5530: 5465: 5452: 5443: 5430: 5418: 5405: 5368: 5355: 5346: 5333: 5321: 5308: 5229: 5216: 5178: 5165: 5106: 5093: 5055: 5042: 4975: 4962: 4924: 4911: 4870: 4857: 4812: 4799: 4743: 4730: 4698: 4675: 4643: 4634: 4602: 4567: 4562: 4553: 4545: 4504: 4472: 4439: 4412: 4407: 4394: 4385: 4372: 4360: 4347: 4335: 4296: 4249: 4236: 4222: 4209: 4146: 4114: 4100: 4068: 4040: 4027: 3985: 3972: 3925: 3919: 3910: 3904: 3890: 3884: 3842: 3829: 3820: 3807: 3795: 3782: 3749: 3736: 3727: 3714: 3691: 3685: 3646: 3633: 3619: 3606: 3578: 3572: 3530: 3524: 3449: 3436: 3427: 3414: 3402: 3389: 3331: 3318: 3309: 3296: 3266: 3253: 3244: 3231: 3170: 3157: 3124: 3111: 3075: 3062: 3013: 3000: 2917: 2893: 2884: 2860: 2816: 2807: 2798: 2789: 2777: 2759: 2729: 2720: 2694: 2685: 2659: 2650: 2614: 2609: 2600: 2592: 2542: 2510: 2468: 2455: 2446: 2433: 2421: 2395: 2371: 2358: 2244: 2144: 2139: 2130: 2122: 2072: 2048: 2030: 2023: 2010: 1988: 1974: 1965: 1940: 1934: 1926: 1791: 1782: 1722: 1716: 1707: 1701: 1676: 1663: 1654: 1641: 1618: 1612: 1505: 1492: 1483: 1470: 1440: 1427: 1418: 1405: 1368: 1355: 1346: 1326: 1303: 1290: 967: 946: 926: 920: 894: 888: 861: 850: 816: 810: 801: 795: 770: 764: 738: 732: 705: 694: 634: 619: 593: 587: 578: 563: 540: 534: 487: 201: 195: 186: 180: 77: 71: 62: 50: 1: 13828:MA109 The Difference Quotient 13410: 13405:Symmetric difference quotient 507:), then ΔF(P) is known as an 14235:Newton's theorem about ovals 7891: 447:(an infinitely small amount— 338:. Its "input value" is its 316:Fermat's difference quotient 7: 14604:Sir Isaac Newton Sixth Form 14260:Corpuscular theory of light 14186:Schrödinger–Newton equation 13373: 325: 10: 14680: 14013:Notes on the Jewish Temple 13674:. CRC Press. p. 127. 13425:Calculus With Applications 1749:other derivative notations 239:, which states that for a 18: 14622: 14559: 14514: 14437: 14379: 14134: 14054: 13989: 13922: 13867:University of Wisconsin: 13756:. Elsevier. p. 276. 13670:Steven G. Krantz (2014). 13565:. Springer. p. 157. 13536:Michael Comenetz (2002). 13427:. Springer. p. 119. 11924:{\displaystyle 2\pi \,\!} 2959:of the function argument. 2181:In this interpretation, P 294:numerical differentiation 14164:post-Newtonian expansion 14044:Corruptions of Scripture 14036:Ancient Kingdoms Amended 11899:{\displaystyle \pi \,\!} 2193:of calculus, which says: 989:Defining the point range 509:infinitesimal difference 149:of the function over an 99:which when taken to the 14354:Absolute space and time 14218:truncated Newton method 14191:Newton's laws of motion 14154:Newton's law of cooling 13672:Foundations of Analysis 1755:As a divided difference 241:differentiable function 107:approaches 0 gives the 14589:Isaac Newton Telescope 14579:Isaac Newton Institute 14349:Newton–Puiseux theorem 14344:Parallelogram of force 14332:kissing number problem 14322:Newton–Euler equations 14225:Gauss–Newton algorithm 14174:gravitational constant 13752:Brian D. Hahn (1994). 13538:Calculus: The Elements 13364: 13257: 13217: 13096: 13026: 12923: 12637: 12597: 12557: 12360: 11960: 11925: 11900: 11869: 11553: 11351: 10977: 9424: 9277: 9005: 8877: 7882: 7677: 6483: 5654: 4689: 4533: 3936: 3488: 2931: 2580: 2320: 2169: 2110: 1734: 1545: 979: 828: 657: 501: 462: 461:{\displaystyle \iota } 222: 90: 16:Expression in calculus 14659:Differential calculus 14543:Isaac Newton Gargoyle 14453: (nephew-in-law) 14429:Copernican Revolution 14424:Scientific Revolution 14285:Newton–Cotes formulas 14149:Newton's inequalities 14126:Structural coloration 13705:. SIAM. pp. 2–. 13561:Moritz Pasch (2010). 13365: 13223: 13183: 13097: 12992: 12924: 12603: 12563: 12523: 12361: 11961: 11926: 11901: 11870: 11554: 11319: 10978: 9425: 9250: 8978: 8878: 7883: 7645: 6484: 5655: 4690: 4510: 3937: 3489: 2932: 2548: 2321: 2170: 2078: 1735: 1546: 980: 829: 658: 502: 463: 354:Forward difference: Δ 223: 91: 14550:Astronomers Monument 14240:Newton–Pepys problem 14213:Apollonius's problem 14181:Newton–Cartan theory 14094:Newton–Okounkov body 14027:hypotheses non fingo 14016: (c. 1680) 13871:and Louis B. Rall — 13112: 12939: 12387: 11973: 11935: 11910: 11888: 11574: 10990: 9437: 8890: 7903: 6496: 5667: 4707: 3949: 3501: 2977: 2342: 2231: 1770: 1600: 1564:essentially equals P 1278: 841: 685: 672:, otherwise it is a 522: 473: 452: 171: 41: 14359:Luminiferous aether 14307:Newton's identities 14280:Newton's cannonball 14255:Classical mechanics 14245:Newtonian potential 14106:Newtonian telescope 13843:Divided Differences 13380:Divided differences 12462: 12441: 12420: 12051: 11997: 11648: 11601: 301:Time discretization 32:difference quotient 26:In single-variable 14664:Numerical analysis 14584:Isaac Newton Medal 14389: (birthplace) 14203:Newtonian dynamics 14101:Newton's reflector 13860:Mean-Value Theorem 13853:Divided Difference 13834:2005-09-12 at the 13809:Donald C. 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