40321:
38916:
29:
16542:
16020:
14875:
890:
749:
25803:
10102:
1161:
35924:
8612:
16390:
15494:
28226:
16152:
34322:
All of this leads to Mackey's theorem, which is one of the central theorems in the theory of dual systems. In short, it states the bounded subsets are the same for any two
Hausdorff locally convex topologies that are compatible with the same duality.
9397:
14752:
783:
645:
15116:
14391:
6252:
15763:
15592:
25906:
25688:
26146:
9236:
16709:
15897:
34938:
6505:
7500:
3564:
3389:
9625:
33083:
9036:
29246:
29011:
28870:
27448:
29111:
28778:
28294:
22018:
14611:
13063:
1017:
24929:
14112:
3069:
37507:
37130:
36753:
20579:
17349:
6788:
37881:
29732:
17498:
4231:
35303:
10306:
22237:
21839:
9987:
22397:
22145:
26037:
25638:
19975:
23972:
23856:
14522:
35183:
34716:
17705:
8532:
31997:
17202:
15401:
27644:
26945:
15679:
37723:
37346:
36969:
36592:
19879:
15337:
15163:
15038:
13650:
5797:
23128:
20053:
5964:
32133:
17422:
34440:
23323:
21168:
8922:
7690:
34527:
31536:
17883:
11482:
30443:
35777:
35697:
31323:
27299:
26664:
26195:
22500:
21575:
2427:
25378:
20666:
19584:
9241:
7849:
6390:
25332:
23057:
22854:
8452:
8350:
8249:
4120:
1321:
24068:
20178:
18001:
12691:
12634:
11656:
9876:
36044:
28607:
27859:
24163:
21757:
21084:
18232:
15263:
10695:
9817:
8504:
8296:
8192:
8023:
2019:
1687:
25532:
14924:
24020:
17820:
26794:
26413:
25683:
22282:
1271:
28115:
28036:
22640:
8140:
1353:
35231:
35009:
23627:
23541:
16272:
13150:
34838:
32333:
27059:
16592:
16324:
14265:
12409:
12285:
12174:
12099:
8975:
523:
267:
16068:
14711:
8852:
17280:
38952:
26340:
26289:
25043:
24750:
21501:
19754:
13284:
8382:
28534:
11912:
7377:
6603:
6152:
28666:
28640:
25575:
17945:
6343:
33212:
29877:
24567:
18265:
12543:
3946:
27089:
26708:
25949:
15396:
6985:
36143:
34622:
33878:
33739:
30271:
30085:
29907:
27178:
27146:
26826:
26445:
24864:
19637:
18490:
17578:
17129:
13440:
12361:
11982:
10876:
10168:
9120:
9083:
6840:
1200:
34583:
34367:
33839:
31629:
29939:
24611:
23688:
18058:
17631:
14260:
13985:
13731:
13569:
11822:
11749:
9662:
36192:
35356:
31738:
31685:
26511:
26478:
18749:
16537:{\displaystyle \left(\bigcap _{i\in I}S_{i}\right)^{\perp }=\operatorname {cl} _{\sigma (Y,X,b)}\left(\operatorname {span} \left(\bigcup _{i\in I}S_{i}^{\perp }\right)\right).}
13800:
10920:
1913:
1584:
34843:
30312:
30126:
24450:
24303:
21445:
16813:
4053:
37611:
37234:
36857:
36480:
36288:
30220:
26758:
22432:
22056:
12899:
11011:
10367:
9706:
8822:
8775:
8716:
8662:
6300:
988:
927:
35400:
35076:
34464:
34084:
34003:
33655:
33631:
33587:
33563:
33539:
33475:
33451:
33002:
32955:
32755:
32640:
32599:
32575:
32513:
32469:
32217:
31874:
31830:
31004:
30912:
30869:
30820:
30777:
30680:
30587:
30520:
30400:
30194:
29994:
29837:
29808:
29780:
29618:
29573:
29503:
29443:
29402:
26239:
23754:
23219:
21695:
21650:
21404:
21033:
20989:
20280:
19313:
19086:
19041:
18884:
18790:
18658:
18597:
17029:
16365:
16216:
16061:
14747:
13371:
12987:
12851:
12449:
12215:
11867:
11543:
11419:
11378:
11337:
11254:
10606:
9747:
7940:
7783:
5305:
5264:
5165:
4373:
35461:
35117:
32714:
31088:
22085:
18383:
14023:
13512:
11063:
10644:
10453:
10230:
9982:
35035:
33356:
33334:
33155:
33133:
32257:(as was shown in the Weak representation theorem) and it is in fact the weakest such topology. There is a strongest topology compatible with this pairing and that is the
31806:
30726:
29378:
28439:
28324:
27920:
27366:
25198:
24376:
23910:
22337:
22311:
22174:
21867:
21331:
20916:
19460:
18166:
17237:
15043:
11289:
11146:
10479:
8065:
7550:
7328:
5100:
5059:
4917:
4146:
3999:
3236:
2961:
2823:
2744:
2718:
2106:
1774:
1443:
611:
585:
559:
480:
339:
221:
117:
36224:
34394:
30339:
30153:
28498:
28409:
27890:
24504:
23439:
21269:
20239:
16786:
15364:
15290:
15213:
14951:
14440:
10947:
7577:
7424:
6417:
6157:
5867:
3665:
39393:
37790:
37413:
37036:
36659:
26983:
21894:
20485:
18911:
18414:
16988:
16759:
15690:
15519:
7896:
3838:
3771:
3694:
3459:
3136:
25808:
24339:
19248:
10128:
6629:
5732:
37547:
37170:
36793:
36416:
32839:
31358:
31145:
31047:
30955:
30628:
28378:
28090:
27708:
27549:
27486:
27210:
27017:
26575:
26543:
25410:
22939:
22679:
22586:
21609:
21363:
20948:
19492:
6881:
6005:
5531:
4599:
4554:
4507:
4279:
2864:
2776:
2692:
2651:
380:
37752:
37375:
36998:
36621:
34749:
33939:
32891:
32551:
32405:
32255:
31927:
31784:
31438:
31400:
31225:
31187:
29356:
27761:
27515:
27331:
26370:
26065:
25081:
24832:
23355:
22759:
22721:
21309:
21228:
21199:
20894:
20856:
20810:
20782:
20754:
20726:
20695:
20447:
20418:
20384:
20346:
19524:
19438:
19400:
19132:
18354:
16959:
16921:
15849:
13487:
13195:
12810:
12732:
12581:
12498:
11696:
10424:
10335:
9914:
9435:
8527:
7113:
5899:
5835:
5706:
5581:
5490:
5452:
5414:
5203:
5018:
4833:
4466:
4317:
3214:
2289:
1968:
1403:
778:
418:
155:
35641:
34228:
25461:
24403:
24213:
24094:
23495:
20109:
20083:
19801:
13757:
12051:
9125:
7967:
7759:
7237:
7211:
7035:
6554:
6059:
4425:
4399:
3724:
3464:
3289:
2916:
2890:
2371:
2132:
2065:
1870:
1800:
1733:
1636:
1541:
1235:
640:
19152:
16015:{\displaystyle S^{\perp }=(\operatorname {span} S)^{\perp }=\left(\operatorname {cl} _{\sigma (Y,X,b)}\operatorname {span} S\right)^{\perp }=S^{\perp \perp \perp }}
8748:
5373:
5341:
3162:
18089:
16617:
2453:
35723:
34798:
7263:
1939:
1610:
37932:
36331:
36087:
34772:
34317:
34251:
34107:
33701:
33399:
33279:
32978:
32778:
32667:
29466:
28939:
28689:
27112:
25972:
25128:
24256:
23398:
21921:
19336:
18938:
18813:
18716:
18685:
18311:
17755:
16836:
15186:
14197:
13928:
13863:
12126:
12025:
11118:
11038:
10781:
10738:
10565:
9521:
9478:
8689:
8635:
8105:
7156:
6950:
6720:
5624:
4980:
4789:
3973:
3906:
3861:
38003:
37983:
37960:
37909:
37651:
37631:
37567:
37274:
37254:
37190:
36897:
36877:
36813:
36520:
36500:
36436:
36375:
36355:
36308:
36244:
36064:
35993:
35973:
35944:
35772:
35752:
35615:
35595:
35420:
35323:
34650:
34547:
34484:
34294:
34274:
34202:
34182:
34162:
34130:
34043:
34023:
33979:
33959:
33799:
33779:
33759:
33678:
33607:
33515:
33495:
33419:
33376:
33308:
33256:
33232:
33111:
32931:
32911:
32798:
32489:
32445:
32425:
32279:
32173:
32153:
32077:
32057:
32037:
32017:
31850:
31564:
30544:
30478:
30359:
30034:
30014:
29756:
29664:
29640:
29593:
29549:
29523:
29288:
29268:
29174:
29154:
29134:
29038:
28916:
28892:
28798:
28709:
28557:
28467:
28346:
28110:
28058:
27982:
27962:
27942:
27807:
27784:
27732:
27673:
27386:
26850:
26309:
26215:
26057:
25434:
25281:
25261:
25241:
25221:
25168:
25148:
25105:
24993:
24973:
24953:
24794:
24770:
24707:
24687:
24667:
24635:
24531:
24470:
24233:
24186:
24114:
23876:
23787:
23712:
23581:
23561:
23468:
23375:
23175:
23151:
22962:
22907:
22887:
22554:
22534:
21104:
20308:
20198:
19774:
19711:
19691:
19657:
19268:
19212:
19192:
19172:
19000:
18980:
18960:
18843:
18617:
18556:
18532:
18512:
18434:
18288:
18186:
18136:
18116:
17732:
17522:
17073:
17049:
16883:
16863:
16732:
16612:
16385:
16236:
16175:
15889:
15869:
15803:
15783:
15620:
15514:
14991:
14971:
14870:{\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)^{\prime }=X\qquad {\text{ or }}\qquad \left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }=X.}
14671:
14651:
14631:
14542:
14460:
14413:
14174:
14154:
14134:
13905:
13885:
13840:
13820:
13674:
13328:
13308:
13238:
13218:
12992:
12946:
12926:
12772:
12752:
12469:
12305:
12237:
12002:
11769:
11676:
11603:
11583:
11563:
11502:
11213:
11192:
11172:
11083:
10967:
10825:
10805:
10758:
10715:
10542:
10521:
10501:
10194:
9957:
9937:
9767:
9498:
9455:
8872:
8795:
8402:
8085:
8043:
7916:
7869:
7803:
7732:
7644:
7617:
7597:
7520:
7397:
7291:
7176:
7133:
7075:
7055:
7008:
6927:
6907:
6808:
6697:
6677:
6657:
6527:
6103:
6083:
6032:
5664:
5644:
5601:
5223:
5124:
4957:
4937:
4873:
4853:
4763:
4743:
4723:
4703:
4683:
4663:
4643:
4623:
4166:
4073:
4023:
3883:
3811:
3791:
3744:
3635:
3607:
3587:
3432:
3412:
3284:
3264:
3109:
3089:
2621:
2601:
2573:
2553:
2533:
2513:
2493:
2473:
2337:
2317:
2247:
2221:
2201:
2180:
2156:
2039:
1844:
1822:
1707:
1515:
1493:
1466:
1012:
951:
885:{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}b(\,\cdot \,,y):\,&X&&\to &&\,\mathbb {K} \\&x&&\mapsto &&\,b(x,y).\end{alignedat}}}
788:
650:
458:
438:
199:
179:
38945:
6422:
744:{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}b(x,\,\cdot \,):\,&Y&&\to &&\,\mathbb {K} \\&y&&\mapsto &&\,b(x,y)\end{alignedat}}}
2966:
20490:
29669:
25798:{\displaystyle \left\langle x,F^{\#}\left(w^{\prime }\right)\right\rangle =\left\langle F(x),w^{\prime }\right\rangle \quad {\text{ for all }}>x\in X,}
39642:
38805:
38938:
7429:
9526:
33007:
13574:
8980:
5378:
Although it is technically incorrect and an abuse of notation, this article will adhere to the nearly ubiquitous convention of treating a pairing
39386:
29179:
28944:
28803:
27393:
38641:
29047:
28714:
28231:
21928:
17354:
14547:
40152:
24869:
14028:
38468:
37418:
37041:
36664:
17285:
6728:
37795:
35646:
10097:{\displaystyle b\left(x\otimes y,x^{*}\otimes y^{*}\right)=\left\langle x^{\prime },x\right\rangle \left\langle y^{\prime },y\right\rangle }
2376:
33429:
on the continuous dual space. Consequently, the closed and convex subsets are the same in any topology compatible with duality;that is, if
17429:
4171:
35236:
20584:
10235:
22179:
21762:
22342:
22090:
39769:
39744:
39379:
38631:
25976:
25579:
19884:
5310:
39142:
23915:
23792:
14465:
13386:
The following theorem is of fundamental importance to duality theory because it completely characterizes the continuous dual space of
35122:
34655:
17636:
31936:
17136:
39726:
38758:
38613:
27554:
26855:
15631:
1156:{\displaystyle b(X,\,\cdot \,):=\{b(x,\,\cdot \,):x\in X\}\qquad {\text{ and }}\qquad b(\,\cdot \,,Y):=\{b(\,\cdot \,,y):y\in Y\},}
37656:
37279:
36902:
36525:
19812:
15295:
15121:
14996:
5737:
40194:
39696:
39635:
39042:
38589:
24510:
23064:
19980:
5907:
32082:
20391:). It is easy to see that the two conditions mentioned above (i.e. for "the transpose is well-defined") are also necessary for
39939:
39763:
35919:{\displaystyle b(x,c\perp y)=b\left(x,{\overline {c}}y\right)=\langle x,{\overline {c}}y\rangle =c\langle x,y\rangle =cb(x,y),}
34399:
23224:
21109:
19044:
8880:
7649:
34489:
31443:
17825:
11424:
7646:
is a TVS, then unless indicated otherwise, it will be assumed without comment that it's associated with the canonical pairing
3569:
To use bookkeeping that helps keep track of the anti-symmetry of the two sides of the duality, the absolute polar of a subset
39134:
38417:
38370:
38336:
30411:
31230:
27218:
26583:
26150:
22439:
21506:
17888:
38328:
25337:
20699:
By the conventions mentioned at the beginning of this article, this also defines the transpose of linear maps of the form
19529:
7808:
6347:
47:
39:
40204:
39701:
39671:
39456:
35552:
25294:
22967:
22764:
8407:
8305:
8204:
4078:
1276:
24025:
20114:
17952:
12643:
12586:
11608:
9822:
8607:{\displaystyle \,\cdot \,\perp \,\cdot \,:\mathbb {C} \times H\to H\quad {\text{ by }}\quad c\perp x:={\overline {c}}x,}
40360:
40324:
39975:
39628:
39147:
38481:
38285:
35998:
28566:
27812:
24119:
21700:
21042:
18191:
15489:{\displaystyle \left(X_{\beta }^{\prime }\right)^{\prime }~\supseteq ~\left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }~=~X}
15222:
10649:
9772:
8465:
8257:
8153:
7984:
1973:
1641:
28221:{\displaystyle F:\left(X,\sigma \left(X,X^{\prime }\right)\right)\to \left(Y,\sigma \left(Y,Y^{\prime }\right)\right)}
25466:
14883:
40112:
38570:
38461:
38311:
24570:
23977:
23691:
17760:
65:
26763:
26382:
25643:
22242:
20244:
1240:
40017:
39523:
39506:
38840:
35543:
27987:
22591:
16147:{\displaystyle S\subseteq S^{\perp \perp }=\left(\operatorname {cl} _{\sigma (X,Y,b)}\operatorname {span} S\right)}
8113:
1326:
35188:
34943:
23586:
23500:
19359:
16241:
13068:
39167:
39084:
38485:
34803:
32292:
27026:
16549:
16281:
12366:
12242:
12131:
12056:
8927:
488:
232:
14676:
8827:
40047:
39496:
17242:
8665:
26314:
26244:
25005:
24712:
21450:
19716:
13246:
8355:
40179:
39781:
39758:
38636:
38362:
28503:
11876:
9392:{\displaystyle b\left(\left(x_{1},y_{1}\right),\left(x_{2},y_{2},z_{2}\right)\right):=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}.}
7333:
6559:
6108:
32135:
Some authors (e.g. and ) require that a topology of a pair also be
Hausdorff, which it would have to be if
28645:
28612:
25537:
22859:
The following result shows that the existence of the transpose map is intimately tied to the weak topology.
6305:
40345:
40230:
38919:
38692:
38626:
38454:
33164:
29846:
24540:
18237:
13677:
12502:
7701:
3911:
2933:
39187:
27068:
26671:
25913:
15369:
6955:
40355:
40051:
38656:
36092:
34588:
33844:
33705:
30225:
30039:
29882:
27151:
27119:
26799:
26418:
24837:
19589:
18439:
17527:
17078:
13389:
12310:
11917:
10830:
10133:
9087:
9050:
6813:
1173:
34552:
34336:
33808:
32845:. The following consequence of the above Mackey-Arens theorem is also called the Mackey-Arens theorem.
31581:
29912:
24576:
23640:
18010:
17583:
14212:
13937:
13683:
13521:
11774:
11701:
9632:
8506:
is a complex pre-Hilbert space with scalar multiplication denoted as usual by juxtaposition or by a dot
40287:
39824:
39739:
39734:
39676:
39551:
39152:
38901:
38855:
38779:
38661:
36147:
35328:
31690:
31634:
26483:
26450:
25084:
24932:
18721:
13762:
10880:
1875:
1546:
30275:
30089:
29270:
is a normed space whose continuous dual space is separable (when given the usual norm topology), then
24408:
24261:
21409:
16791:
4028:
40350:
40083:
39893:
39572:
39192:
39182:
38896:
38712:
38327:. International Series in Pure and Applied Mathematics. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY:
37572:
37195:
36818:
36441:
36249:
30199:
26719:
22402:
22026:
19351:
15111:{\displaystyle \beta \left(\left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime },X_{\sigma }^{\prime }\right)}
12860:
10972:
10339:
9666:
8800:
8753:
8694:
8640:
6952:
then unless stated otherwise, it will be assumed that they are associated with the canonical pairing
6269:
956:
895:
35364:
35040:
34445:
34048:
33984:
33636:
33612:
33568:
33544:
33520:
33456:
33432:
32983:
32936:
32719:
32604:
32580:
32556:
32494:
32450:
32181:
31855:
31811:
30968:
30876:
30833:
30784:
30741:
30644:
30551:
30484:
30364:
30158:
29958:
29818:
29789:
29761:
29599:
29554:
29484:
29407:
29383:
26220:
23718:
23183:
21655:
21614:
21368:
20997:
20953:
19277:
19050:
19005:
18848:
18754:
18622:
18561:
16993:
16329:
16180:
16025:
14877:
This very important fact is why results for polar topologies on continuous dual spaces, such as the
14716:
14386:{\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))^{\prime }=b(\,\cdot \,,Y):=\left\{b(\,\cdot \,,y):y\in Y\right\}.}
13335:
12951:
12815:
12413:
12179:
11831:
11507:
11383:
11342:
11301:
11218:
10570:
9710:
7921:
7764:
6247:{\displaystyle c\left(x,x^{\prime }\right)=\left\langle x,x^{\prime }\right\rangle =x^{\prime }(x),}
5269:
5228:
5129:
4322:
39856:
39851:
39844:
39839:
39711:
39651:
39556:
39528:
39172:
39157:
38999:
38748:
38646:
38549:
35425:
35081:
32675:
32361:
32343:
31052:
29643:
29314:
22061:
18359:
15758:{\displaystyle \beta \left(\left(X_{\beta }^{\prime }\right)^{\prime },X_{\beta }^{\prime }\right)}
15587:{\displaystyle \beta \left(\left(X_{\beta }^{\prime }\right)^{\prime },X_{\beta }^{\prime }\right)}
15216:
13990:
13492:
12854:
11043:
10611:
10433:
10202:
9962:
7294:
1469:
224:
35014:
33339:
33317:
33138:
33116:
31789:
30690:
29361:
28414:
28299:
27895:
27336:
25901:{\displaystyle F^{\#}\left(w^{\prime }\right)(x)=w^{\prime }(F(x))\quad {\text{ for all }}x\in X.}
25173:
24348:
23885:
22316:
22290:
22153:
21846:
21314:
20899:
19443:
18141:
17207:
11259:
11125:
10458:
8048:
7525:
7303:
5064:
5023:
4881:
4125:
3978:
3219:
2940:
2781:
2723:
2697:
2070:
1738:
1426:
594:
568:
542:
463:
322:
204:
100:
40117:
40098:
39774:
39754:
39242:
39219:
39113:
39037:
38845:
38621:
36197:
34372:
30317:
30131:
28476:
28387:
27868:
24482:
23403:
21233:
20203:
16764:
15342:
15268:
15191:
14929:
14418:
10925:
7555:
7402:
6395:
5840:
3640:
37757:
37380:
37003:
36626:
26950:
26141:{\displaystyle {\mathcal {E}}^{\prime }=\left\{e_{1}^{\prime },\ldots ,e_{n}^{\prime }\right\},}
21872:
20452:
18889:
18392:
16964:
16737:
7874:
7704:
on a TVS are exactly those linear functionals that are bounded on a neighborhood of the origin.
3816:
3749:
3672:
3437:
3114:
16:
This article is about dual pairs of vector spaces. For dual pairs in representation theory, see
40306:
40296:
40280:
39980:
39929:
39829:
39814:
39501:
39360:
39321:
39237:
39162:
39089:
39074:
39027:
38876:
38820:
38784:
27786:
is weakly continuous then it is both Mackey continuous and strongly continuous (defined below).
24308:
19221:
10107:
9231:{\displaystyle \left(x_{1},y_{1}\right)\in X{\text{ and }}\left(x_{2},y_{2},z_{2}\right)\in Y,}
6608:
5711:
39306:
39298:
39294:
39290:
39286:
39282:
37520:
37143:
36766:
36389:
35546: – Continuous dual space endowed with the topology of uniform convergence on bounded sets
35540: – Continuous dual space endowed with the topology of uniform convergence on bounded sets
35523: – Subset of all points that is bounded by some given point of a dual (in a dual pairing)
33425:
The above theorem implies that the closed and convex subsets of a locally convex space depend
32803:
31331:
31118:
31011:
30919:
30592:
28351:
28063:
27681:
27522:
27459:
27183:
26990:
26577:
is weakly continuous if and only if it satisfies any of the following equivalent conditions:
26548:
26516:
25383:
22912:
22652:
22559:
21582:
21336:
20921:
19465:
6845:
5969:
5495:
4563:
4518:
4471:
4243:
2828:
2755:
2656:
2630:
344:
40275:
39962:
39944:
39909:
39749:
39436:
39094:
38583:
37728:
37351:
36974:
36597:
35493:
34721:
33906:
33890:
33658:
32858:
32643:
32518:
32372:
32222:
31894:
31751:
31405:
31367:
31192:
31154:
30683:
30523:
29323:
28381:
27737:
27491:
27307:
26345:
25048:
24799:
24477:
23331:
22726:
22688:
21276:
21204:
21175:
20861:
20823:
20786:
20758:
20730:
20702:
20671:
20423:
20394:
20351:
20313:
19500:
19405:
19367:
19099:
18661:
18321:
16926:
16888:
16704:{\displaystyle \left(\bigcup _{i\in I}S_{i}\right)^{\perp }=\bigcap _{i\in I}S_{i}^{\perp }.}
15816:
14206:
13515:
13454:
13162:
12777:
12699:
12548:
12474:
11681:
10391:
10311:
9881:
9402:
8509:
8143:
7298:
7080:
5872:
5802:
5673:
5548:
5457:
5419:
5381:
5170:
4985:
4800:
4433:
4284:
3181:
2927:
2256:
1944:
1370:
754:
385:
278:
122:
38579:
38441:
35620:
35529: – Dual space topology of uniform convergence on some sub-collection of bounded subsets
34207:
32841:
A locally convex space whose given topology is identical to the Mackey topology is called a
25439:
24381:
24191:
24073:
23473:
20088:
20062:
19779:
13736:
12030:
7945:
7737:
7216:
7181:
7013:
6532:
6037:
4404:
4378:
3703:
2895:
2869:
2350:
2111:
2044:
1849:
1779:
1712:
1615:
1520:
1205:
619:
40291:
40235:
40214:
39535:
39099:
38965:
38930:
38859:
38405:
35508:
24773:
19137:
15624:
14878:
8721:
6062:
5346:
5314:
3141:
38446:
18063:
4768:
This following notation is almost ubiquitous and allows us to avoid assigning a symbol to
4685:") is defined as above, then this convention immediately produces the dual definition of "
2432:
8:
40174:
40169:
40127:
39706:
39609:
39466:
39441:
39032:
39022:
39017:
38825:
38763:
38477:
35702:
35532:
35477:
34933:{\displaystyle b\left(r_{\bullet },s_{\bullet }\right):=\sum _{i=1}^{\infty }r_{i}s_{i}.}
34777:
15516:
to be endowed with the subspace topology induced on it by, say, the strong dual topology
11094:
7242:
6500:{\displaystyle c\left(\,\cdot \,,x^{\prime }\right)=x^{\prime }(\,\cdot \,)=x^{\prime }.}
1918:
1589:
283:
95:
17:
37914:
36313:
36069:
34754:
34299:
34233:
34089:
33683:
33381:
33261:
32960:
32760:
32649:
29448:
28921:
28671:
27094:
25954:
25110:
24238:
23380:
21903:
19318:
18920:
18795:
18698:
18667:
18293:
17737:
16818:
15168:
14179:
13910:
13845:
12108:
12007:
11100:
11020:
10763:
10720:
10547:
9503:
9460:
8671:
8617:
8090:
7138:
6932:
6702:
5606:
4962:
4771:
3955:
3888:
3843:
40159:
40102:
40036:
40021:
39888:
39878:
39486:
39261:
38979:
38850:
38717:
38354:
37988:
37968:
37945:
37894:
37636:
37616:
37552:
37259:
37239:
37175:
36882:
36862:
36798:
36505:
36485:
36421:
36360:
36340:
36293:
36229:
36049:
35978:
35958:
35929:
35757:
35737:
35600:
35580:
35405:
35308:
34635:
34532:
34469:
34279:
34259:
34187:
34167:
34147:
34115:
34028:
34008:
33964:
33944:
33784:
33764:
33744:
33663:
33592:
33500:
33480:
33404:
33361:
33293:
33241:
33217:
33096:
32916:
32896:
32783:
32474:
32430:
32410:
32264:
32158:
32138:
32062:
32042:
32022:
32002:
31835:
31549:
30529:
30463:
30344:
30019:
29999:
29942:
29741:
29649:
29625:
29578:
29534:
29508:
29273:
29253:
29159:
29139:
29119:
29023:
28901:
28877:
28783:
28694:
28542:
28452:
28331:
28095:
28043:
27967:
27947:
27927:
27792:
27769:
27717:
27658:
27371:
26835:
26294:
26200:
26042:
25419:
25266:
25246:
25226:
25206:
25153:
25133:
25090:
24978:
24958:
24938:
24779:
24755:
24692:
24672:
24652:
24620:
24516:
24455:
24218:
24171:
24099:
23861:
23772:
23697:
23566:
23546:
23453:
23360:
23160:
23136:
22947:
22892:
22872:
22539:
22519:
21089:
21036:
20293:
20183:
19759:
19696:
19676:
19642:
19253:
19197:
19177:
19157:
18985:
18965:
18945:
18828:
18602:
18541:
18517:
18497:
18419:
18273:
18171:
18121:
18101:
17717:
17507:
17058:
17034:
16868:
16848:
16717:
16597:
16370:
16221:
16160:
15874:
15854:
15788:
15768:
15605:
15499:
14976:
14956:
14656:
14636:
14616:
14527:
14445:
14398:
14159:
14139:
14119:
13890:
13870:
13825:
13805:
13659:
13313:
13293:
13287:
13223:
13203:
12931:
12911:
12757:
12737:
12454:
12290:
12222:
11987:
11754:
11661:
11588:
11568:
11548:
11487:
11198:
11177:
11157:
11068:
10952:
10810:
10790:
10743:
10700:
10527:
10506:
10486:
10179:
9942:
9922:
9752:
9483:
9440:
8857:
8780:
8387:
8070:
8028:
7901:
7854:
7788:
7717:
7629:
7602:
7582:
7505:
7382:
7276:
7161:
7118:
7060:
7040:
6993:
6912:
6892:
6793:
6682:
6662:
6642:
6512:
6088:
6068:
6017:
5649:
5629:
5586:
5208:
5109:
4942:
4922:
4858:
4838:
4748:
4728:
4708:
4688:
4668:
4648:
4628:
4608:
4151:
4058:
4008:
3868:
3796:
3776:
3729:
3620:
3592:
3572:
3417:
3397:
3269:
3249:
3094:
3074:
2606:
2586:
2558:
2538:
2518:
2498:
2478:
2458:
2322:
2302:
2232:
2206:
2186:
2165:
2141:
2024:
1829:
1807:
1692:
1500:
1478:
1451:
1164:
997:
936:
443:
423:
184:
164:
27710:
is a linear map between two
Hausdorff locally convex topological vector spaces, then:
39871:
39797:
39518:
39079:
38830:
38423:
38413:
38376:
38366:
38342:
38332:
38322:
38307:
38291:
38281:
35537:
31095:
24931:
is the natural evaluation map). In particular, in this situation it will be assumed
20388:
18004:
17501:
17052:
12102:
8108:
7979:
1359:(defined below) so as to avoid confusion for readers not familiar with this subject.
991:
930:
287:
39371:
5837:
is a duality, then it's possible for a restriction to fail to be a duality (e.g. if
40264:
39834:
39819:
39620:
39588:
39232:
39177:
39068:
39063:
38835:
38753:
38722:
38702:
38687:
38682:
38677:
38365:. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer.
37911:
to be "compatible it a pairing" but this article will only deal with topologies on
29310:
29014:
1356:
40147:
39686:
38514:
23563:
is contained in a finite dimensional vector subspace and every vector subspace of
40239:
40087:
39513:
39406:
39252:
39223:
39197:
39118:
39103:
39012:
38984:
38961:
38697:
38651:
38599:
38594:
38565:
35472:
33883:
33802:
32347:
32282:
32258:
30732:
28895:
24534:
24507:
24473:
19089:
18818:
18691:
18268:
15683:
15599:
13374:
10383:
4876:
38524:
4430:
There is a consistent theme in duality theory that any definition for a pairing
40270:
40219:
39934:
39451:
39339:
39247:
39108:
39007:
38886:
38738:
38539:
35526:
33311:
31930:
29812:
29527:
29476:
29300:
29041:
28560:
28470:
27862:
23879:
19215:
11870:
10174:
7495:{\displaystyle \left(X,X^{\prime },c{\big \vert }_{X\times X^{\prime }}\right)}
3559:{\displaystyle B^{\circ }:=\left\{x\in X:\sup _{y\in B}|b(x,y)|\leq 1\right\}.}
3384:{\displaystyle A^{\circ }:=\left\{y\in Y:\sup _{x\in A}|b(x,y)|\leq 1\right\}.}
589:
29156:
is separable if and only if the closed unit call the continuous dual space of
23766:
that are not weakly-complete (despite being complete in their norm topology).
9620:{\displaystyle X^{\perp }:=\{y\in Y:X\perp y\}=\{(0,0,z):z\in \mathbb {R} \}.}
40339:
40254:
40164:
40107:
40067:
39995:
39970:
39914:
39866:
39802:
39491:
39474:
39431:
39123:
38891:
38815:
38544:
38529:
38519:
38427:
38380:
38295:
38280:. Pure and applied mathematics (Second ed.). Boca Raton, FL: CRC Press.
35557:
35499:
35488:
34137:
33887:
33078:{\displaystyle \sigma (X,Y,b)\subseteq {\mathcal {T}}\subseteq \tau (X,Y,b).}
30635:
19804:
18914:
12693:
converges weakly to 0 but does not norm-converge to 0 (or any other vector).
10379:
8299:
8198:
2748:
2624:
1446:
535:
291:
38346:
24640:
9031:{\displaystyle \left(H,{\overline {H}},\langle \cdot ,\cdot \rangle \right)}
40301:
40249:
40209:
40199:
40077:
39924:
39919:
39716:
39666:
39344:
38881:
38534:
38504:
38389:
38318:
34141:
32842:
32351:
29840:
29309:
produces a range of locally convex topologies. Such topologies are called
29241:{\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right).}
29006:{\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right),}
28865:{\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right).}
27443:{\displaystyle \operatorname {Im} {}^{t}F=(\operatorname {ker} F)^{\perp }}
23763:
18535:
11086:
10427:
8455:
483:
227:
158:
35511: – Generalization of inner products that applies to all normed spaces
29294:
29106:{\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)}
28773:{\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },D\right)\right)}
28289:{\displaystyle \operatorname {Im} {}^{t}F={}^{t}F\left(Y^{\prime }\right)}
22013:{\displaystyle ^{\circ }=\left({}^{t}F\right)^{-1}\left(S^{\circ }\right)}
14606:{\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)}
13058:{\displaystyle \sup _{}|b(S,y)|<\infty \quad {\text{ for all }}y\in Y,}
5167:, then this dual definition would automatically be applied to the pairing
40259:
40244:
40137:
40031:
40026:
40011:
39990:
39954:
39861:
39681:
39334:
39213:
38810:
38800:
38707:
38509:
12637:
562:
273:
79:
35502: – Generalization of the dot product; used to define Hilbert spaces
24924:{\displaystyle \left\langle x,x^{\prime }\right\rangle :=x^{\prime }(x)}
14107:{\displaystyle X^{\perp }:=\{y\in Y:b(x,y)=0{\text{ for all }}x\in X\}.}
7619:
is a
Hausdorff locally convex space) then this pairing forms a duality.
3064:{\displaystyle R^{\perp }:=\{y\in Y:R\perp y\}:=\{y\in Y:b(R,y)=\{0\}\}}
40072:
39985:
39949:
39809:
39691:
39421:
39257:
39227:
38989:
38743:
38575:
38122:
38120:
38118:
38116:
38114:
38112:
38110:
38108:
38106:
38104:
38102:
38100:
38098:
38096:
38094:
38092:
38090:
38088:
38086:
38084:
38082:
38080:
38078:
38076:
38074:
38072:
38070:
38068:
38066:
38064:
38062:
38060:
38058:
38056:
38054:
38052:
38050:
38048:
38046:
38044:
38042:
37502:{\displaystyle c(x,H(\,\cdot \,))=b\left(\,\cdot \,,{}^{t}H(x)\right).}
37125:{\displaystyle c(w,H(\,\cdot \,))=b\left(\,\cdot \,,{}^{t}H(w)\right).}
36748:{\displaystyle c(x,G(\,\cdot \,))=c\left({}^{t}G(x),\,\cdot \,\right).}
35482:
32356:
The following is one of the most important theorems in duality theory.
29948:
The following table lists some of the more important polar topologies.
27212:
is a weakly continuous linear map. Then the following are equivalent:
26060:
22509:
20574:{\displaystyle c(F(\,\cdot \,),z)=b\left(\,\cdot \,,{}^{t}F(z)\right),}
17344:{\displaystyle b{\big \vert }_{M}:M\times Y/M^{\perp }\to \mathbb {K} }
11698:-converges" or "weakly converges" then this means that it converges in
11605:
may be omitted if no confusion arises. So, for instance, if a sequence
6783:{\displaystyle \left\langle x,x^{\prime }\right\rangle =x^{\prime }(x)}
3949:
3697:
38189:
38187:
38185:
38040:
38038:
38036:
38034:
38032:
38030:
38028:
38026:
38024:
38022:
37876:{\displaystyle c(H(\,\cdot \,),z)=b\left({}^{t}H(z),\,\cdot \,\right)}
33421:
is equal to the intersection of all closed half spaces containing it.
24476:(i.e. the topology of pointwise convergence). Consequently, when the
19345:
5904:
This article will use the common practice of denoting the restriction
40224:
40041:
39593:
39479:
39446:
35520:
29727:{\displaystyle \left\{rG^{\circ }:G\in {\mathcal {G}},r>0\right\}}
29306:
21897:
19355:
19271:
17493:{\displaystyle \sigma \left(M,Y/M^{\perp },b{\big \vert }_{M}\right)}
10197:
4226:{\displaystyle B^{\circ \circ }:=\left({}^{\circ }B\right)^{\circ }.}
3173:
2918:. The definition of a subset being orthogonal to a vector is defined
1472:, which means that it satisfies the following two separation axioms:
38304:
Methods of Modern
Mathematical Physics, Vol. 1, Functional Analysis,
35298:{\displaystyle t_{\bullet }=\left(t_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\in T}
33088:
27984:
is continuous if and only if it is weakly continuous, in which case
25291:
In the special case where the dualities are the canonical dualities
10301:{\displaystyle \langle x,y\rangle :=\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}y_{i}}
7973:
40189:
40184:
40142:
40122:
40092:
39883:
39266:
38216:
38214:
38199:
38182:
38019:
29735:
27062:
22232:{\displaystyle {}^{t}F\left(T^{\circ }\right)\subseteq S^{\circ },}
21834:{\displaystyle {}^{t}\left(F^{-1}\right)=\left({}^{t}F\right)^{-1}}
18821:
in particular "is an indispensable tool in working with dualities."
18315:
The following results are important for defining polar topologies.
11151:
6722:
The following notation is now nearly ubiquitous in duality theory.
3391:
38172:
38170:
38145:
38143:
38141:
38139:
38137:
38135:
22392:{\displaystyle {}^{t}F\left(T^{\circ }\right)\subseteq S^{\circ }}
22140:{\displaystyle {}^{t}F\left(T^{\circ }\right)\subseteq S^{\circ }}
8146:
in its second coordinate and homogeneous in its first coordinate.
7268:
40132:
39047:
36310:
is not clear from context then it should be assumed to be all of
35514:
26032:{\displaystyle {\mathcal {E}}=\left\{e_{1},\ldots ,e_{n}\right\}}
25633:{\displaystyle F^{\#}\left(w^{\prime }\right)=w^{\prime }\circ F}
19970:{\displaystyle c(F(\,\cdot \,),Z):=\{c(F(\,\cdot \,),z):z\in Z\}}
14544:
is also necessarily
Hausdorff) then the continuous dual space of
10760:
is not clear from context then it should be assumed to be all of
6635:
where if this pairing is a duality then it is instead called the
2919:
38238:
38211:
27655:
The transpose of map between two TVSs is defined if and only if
23967:{\displaystyle \left(Z,\sigma \left(Z,Z^{\prime }\right)\right)}
23851:{\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)}
14517:{\displaystyle \left(X,\sigma \left(X,X^{\prime }\right)\right)}
38167:
38132:
35178:{\displaystyle m_{\bullet }=\left(m_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}
34711:{\displaystyle r_{\bullet }=\left(r_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}
34369:
is a
Hausdorff locally convex space with continuous dual space
17700:{\displaystyle \left(M,Y/M^{\perp },b{\big \vert }_{M}\right).}
15595:
15366:
is endowed with the strong dual topology (and so is denoted by
11484:
etc.) then it means that definition when the first space (i.e.
37891:
Of course, there is an analogous definition for topologies on
33497:
with the same continuous dual spaces, then a convex subset of
31992:{\displaystyle \left(X,{\mathcal {T}}\right)=b(\,\cdot \,,Y).}
17197:{\displaystyle \left(M,Y/M^{\perp },b{\big \vert }_{M}\right)}
32285:
then the usual norm topology on its continuous dual space is
27639:{\displaystyle {}^{t}F::(Z,\sigma (Z,W))\to (Y,\sigma (Y,X))}
26940:{\displaystyle {}^{t}F::(Z,\sigma (Z,W))\to (Y,\sigma (Y,X))}
19360:
Transpose § Transposes of linear maps and bilinear forms
15674:{\displaystyle \left(X_{\beta }^{\prime }\right)^{\prime }=X}
38960:
38255:
38253:
37718:{\displaystyle c(H(\,\cdot \,),Z)\subseteq b(X,\,\cdot \,).}
37341:{\displaystyle b(X,H(\,\cdot \,))\subseteq c(\,\cdot \,,Z).}
36964:{\displaystyle c(W,H(\,\cdot \,))\subseteq b(\,\cdot \,,Y).}
36587:{\displaystyle b(X,G(\,\cdot \,))\subseteq c(W,\,\cdot \,).}
19874:{\displaystyle c(F(\,\cdot \,),Z)\subseteq b(\,\cdot \,,Y),}
15332:{\displaystyle \left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }}
15158:{\displaystyle \left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }}
15033:{\displaystyle \left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }}
13645:{\displaystyle b(\,\cdot \,,Y):=\{b(\,\cdot \,,y):y\in Y\}.}
8614:
where the right-hand side uses the scalar multiplication of
5792:{\displaystyle \left(M,N,b{\big \vert }_{M\times N}\right).}
38476:
23123:{\displaystyle c(F(\,\cdot \,),Z)\subseteq b(\,\cdot \,,Y)}
20048:{\displaystyle b(\,\cdot \,,Y):=\{b(\,\cdot \,,y):y\in Y\}}
14953:
for example, can also often be applied to the original TVS
6679:, so the canonical pairing is a dual system if and only if
5959:{\displaystyle \left(M,N,b{\big \vert }_{M\times N}\right)}
32128:{\displaystyle \left(X,{\mathcal {T}}\right)^{\prime }=Y.}
29176:
is metrizable when given the subspace topology induced by
27809:
is weakly continuous then it is continuous if and only if
24834:
becomes canonically identified with the canonical pairing
23445:
17417:{\displaystyle \left(m,y+M^{\perp }\right)\mapsto b(m,y).}
38250:
38226:
34435:{\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle .}
31105:
24168:
In particular, with respect to the canonical duality, if
23318:{\displaystyle {}^{t}F:(Z,\sigma (Z,W,c))\to (Y,(Y,X,b))}
22556:
are normed spaces under their canonical dualities and if
21163:{\displaystyle \left(W,\sigma \left(W,Z,c\right)\right).}
8917:{\displaystyle b:H\times {\overline {H}}\to \mathbb {C} }
7685:{\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle .}
34522:{\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle }
31531:{\displaystyle F:(X,\beta (X,Y,b))\to (W,\beta (W,Z,c))}
29941:) then this neighborhood subbasis at 0 actually forms a
28228:
is relatively open) and every equicontinuous subsets of
25083:
forms a dual pair) then it is common practice to assume
20085:
there exists (by condition 2) a unique (by condition 1)
17878:{\displaystyle b/M:X/M\times M^{\perp }\to \mathbb {K} }
15808:
11477:{\displaystyle \operatorname {cl} _{\sigma (X,Y,b)}(S),}
297:
35548:
Pages displaying short descriptions of redirect targets
35504:
Pages displaying short descriptions of redirect targets
30438:{\displaystyle {\mathcal {G}}\subseteq {\mathcal {P}}X}
29295:
Polar topologies and topologies compatible with pairing
26197:
is a linear operator, and the matrix representation of
5205:
so as to obtain the definition of the weak topology on
1237:, in which in some cases the pairing may be denoted by
290:
because it has extensive applications to the theory of
35754:
is linear in its first coordinate is obvious. Suppose
35692:{\displaystyle b(s,y)=0\quad {\text{ for all }}s\in S}
31318:{\displaystyle F:(X,\tau (X,Y,b))\to (W,\tau (W,Z,c))}
27294:{\displaystyle F:(X,\sigma (X,Y))\to (W,\sigma (W,Z))}
26659:{\displaystyle F:(X,\sigma (X,Y))\to (W,\sigma (W,Z))}
26190:{\displaystyle F:\mathbb {K} ^{n}\to \mathbb {K} ^{n}}
25412:
is always well-defined. This transpose is called the
22941:
is a linear map. Then the following are equivalent:
22495:{\displaystyle \operatorname {ker} {}^{t}F=^{\perp }.}
21570:{\displaystyle {}^{t}(F\circ E)={}^{t}E\circ {}^{t}F.}
9792:
9777:
8454:
does not even form pairing since the inner product is
6009:
2422:{\displaystyle b(x,s)=0\quad {\text{ for all }}s\in S}
39401:
38005:
is contained in some set belonging to the collection.
37991:
37971:
37948:
37917:
37897:
37798:
37760:
37731:
37659:
37639:
37619:
37575:
37555:
37523:
37421:
37383:
37354:
37282:
37262:
37242:
37198:
37178:
37146:
37044:
37006:
36977:
36905:
36885:
36865:
36821:
36801:
36769:
36667:
36629:
36600:
36528:
36508:
36488:
36444:
36424:
36392:
36363:
36343:
36316:
36296:
36252:
36232:
36200:
36150:
36095:
36072:
36052:
36001:
35981:
35961:
35932:
35780:
35760:
35740:
35705:
35649:
35623:
35603:
35583:
35428:
35408:
35367:
35331:
35311:
35239:
35191:
35125:
35084:
35043:
35017:
34946:
34846:
34806:
34780:
34757:
34724:
34658:
34638:
34591:
34555:
34535:
34492:
34472:
34448:
34402:
34375:
34339:
34302:
34282:
34276:
is
Hausdorff and locally convex then every barrel in
34262:
34236:
34210:
34190:
34170:
34150:
34118:
34092:
34051:
34031:
34011:
33987:
33967:
33947:
33909:
33847:
33811:
33787:
33767:
33747:
33708:
33686:
33666:
33639:
33615:
33595:
33571:
33547:
33523:
33503:
33483:
33459:
33435:
33407:
33384:
33364:
33342:
33320:
33296:
33264:
33244:
33220:
33167:
33141:
33119:
33099:
33010:
32986:
32963:
32939:
32919:
32899:
32861:
32806:
32786:
32763:
32722:
32678:
32652:
32607:
32583:
32559:
32521:
32497:
32477:
32453:
32433:
32413:
32375:
32295:
32267:
32225:
32184:
32161:
32141:
32085:
32065:
32045:
32025:
32005:
31939:
31897:
31858:
31838:
31814:
31792:
31754:
31693:
31637:
31584:
31552:
31446:
31408:
31370:
31334:
31233:
31195:
31157:
31121:
31055:
31014:
30971:
30922:
30879:
30836:
30787:
30744:
30693:
30647:
30595:
30554:
30532:
30487:
30466:
30414:
30367:
30347:
30320:
30278:
30228:
30202:
30161:
30134:
30092:
30042:
30022:
30002:
29961:
29915:
29885:
29849:
29821:
29792:
29764:
29744:
29672:
29652:
29628:
29602:
29581:
29557:
29537:
29511:
29487:
29451:
29410:
29386:
29364:
29326:
29276:
29256:
29182:
29162:
29142:
29122:
29050:
29026:
28947:
28924:
28904:
28880:
28806:
28786:
28717:
28697:
28674:
28648:
28615:
28569:
28545:
28506:
28479:
28455:
28417:
28390:
28354:
28334:
28302:
28234:
28118:
28098:
28066:
28046:
27990:
27970:
27950:
27930:
27898:
27871:
27815:
27795:
27772:
27740:
27720:
27684:
27661:
27557:
27525:
27494:
27462:
27396:
27374:
27339:
27310:
27221:
27186:
27154:
27122:
27097:
27071:
27029:
26993:
26953:
26858:
26838:
26802:
26766:
26722:
26674:
26586:
26551:
26519:
26486:
26453:
26421:
26385:
26348:
26317:
26297:
26247:
26223:
26203:
26153:
26068:
26045:
25979:
25957:
25916:
25811:
25691:
25646:
25582:
25540:
25469:
25442:
25422:
25386:
25340:
25297:
25269:
25249:
25229:
25209:
25176:
25156:
25136:
25113:
25093:
25051:
25008:
24981:
24961:
24941:
24872:
24840:
24802:
24782:
24758:
24715:
24695:
24675:
24655:
24623:
24579:
24543:
24519:
24485:
24458:
24411:
24384:
24351:
24311:
24264:
24241:
24221:
24194:
24174:
24122:
24102:
24076:
24028:
23980:
23918:
23888:
23864:
23795:
23775:
23721:
23700:
23643:
23589:
23569:
23549:
23503:
23476:
23456:
23406:
23383:
23363:
23334:
23227:
23186:
23163:
23139:
23067:
22970:
22950:
22915:
22895:
22875:
22767:
22729:
22691:
22655:
22594:
22562:
22542:
22522:
22442:
22405:
22345:
22319:
22293:
22245:
22182:
22156:
22093:
22064:
22029:
21931:
21906:
21875:
21849:
21765:
21703:
21658:
21617:
21585:
21509:
21453:
21412:
21371:
21339:
21317:
21279:
21236:
21207:
21178:
21112:
21092:
21045:
21000:
20956:
20924:
20902:
20864:
20826:
20789:
20761:
20733:
20705:
20674:
20587:
20493:
20455:
20426:
20397:
20354:
20316:
20296:
20247:
20206:
20186:
20117:
20091:
20065:
19983:
19887:
19815:
19782:
19762:
19719:
19699:
19679:
19645:
19592:
19532:
19503:
19468:
19446:
19408:
19370:
19321:
19280:
19256:
19224:
19200:
19180:
19160:
19140:
19102:
19053:
19008:
18988:
18968:
18948:
18923:
18892:
18851:
18831:
18798:
18757:
18724:
18701:
18670:
18625:
18605:
18564:
18544:
18520:
18500:
18442:
18422:
18395:
18362:
18324:
18296:
18276:
18240:
18194:
18174:
18144:
18124:
18104:
18066:
18013:
17955:
17891:
17828:
17763:
17740:
17720:
17639:
17586:
17530:
17510:
17432:
17357:
17288:
17245:
17210:
17139:
17081:
17061:
17037:
16996:
16967:
16929:
16891:
16871:
16851:
16821:
16794:
16767:
16740:
16720:
16620:
16600:
16552:
16393:
16373:
16332:
16284:
16244:
16224:
16183:
16163:
16071:
16028:
15900:
15877:
15857:
15819:
15791:
15771:
15693:
15634:
15608:
15522:
15502:
15404:
15372:
15345:
15298:
15271:
15225:
15194:
15171:
15124:
15046:
14999:
14979:
14959:
14932:
14886:
14755:
14719:
14679:
14659:
14639:
14619:
14550:
14530:
14468:
14448:
14421:
14401:
14268:
14215:
14182:
14162:
14142:
14122:
14031:
13993:
13940:
13913:
13893:
13873:
13848:
13828:
13808:
13765:
13739:
13686:
13662:
13577:
13524:
13495:
13457:
13392:
13338:
13316:
13296:
13249:
13226:
13206:
13165:
13071:
12995:
12954:
12934:
12914:
12863:
12818:
12780:
12760:
12740:
12702:
12646:
12589:
12551:
12505:
12477:
12457:
12416:
12369:
12313:
12293:
12245:
12225:
12182:
12134:
12111:
12059:
12033:
12010:
11990:
11920:
11879:
11834:
11777:
11757:
11704:
11684:
11664:
11611:
11591:
11571:
11551:
11510:
11490:
11427:
11386:
11345:
11304:
11262:
11221:
11201:
11180:
11160:
11128:
11103:
11071:
11046:
11023:
10975:
10955:
10928:
10883:
10833:
10813:
10793:
10766:
10746:
10723:
10703:
10652:
10614:
10573:
10550:
10530:
10509:
10489:
10461:
10436:
10394:
10342:
10314:
10238:
10205:
10182:
10136:
10110:
9990:
9965:
9945:
9925:
9884:
9825:
9775:
9755:
9713:
9669:
9635:
9529:
9506:
9486:
9463:
9443:
9405:
9244:
9128:
9090:
9053:
8983:
8930:
8883:
8860:
8830:
8803:
8783:
8756:
8724:
8697:
8674:
8643:
8620:
8535:
8512:
8468:
8410:
8390:
8358:
8308:
8260:
8207:
8156:
8116:
8093:
8073:
8051:
8031:
7987:
7948:
7924:
7904:
7877:
7857:
7811:
7791:
7767:
7740:
7720:
7652:
7632:
7605:
7585:
7558:
7528:
7508:
7432:
7405:
7385:
7336:
7306:
7279:
7245:
7219:
7184:
7164:
7141:
7121:
7083:
7063:
7043:
7016:
6996:
6958:
6935:
6915:
6895:
6848:
6816:
6796:
6731:
6705:
6685:
6665:
6645:
6611:
6562:
6535:
6515:
6425:
6398:
6350:
6308:
6272:
6160:
6111:
6091:
6071:
6040:
6020:
5972:
5910:
5875:
5843:
5805:
5740:
5714:
5676:
5652:
5632:
5609:
5589:
5551:
5498:
5460:
5422:
5384:
5349:
5317:
5272:
5231:
5211:
5173:
5132:
5112:
5067:
5026:
4988:
4965:
4945:
4925:
4884:
4861:
4841:
4803:
4774:
4751:
4731:
4711:
4691:
4671:
4651:
4631:
4611:
4566:
4521:
4474:
4436:
4407:
4381:
4325:
4287:
4246:
4174:
4154:
4128:
4081:
4061:
4031:
4011:
3981:
3958:
3914:
3891:
3871:
3846:
3819:
3799:
3779:
3752:
3732:
3706:
3675:
3643:
3623:
3595:
3575:
3467:
3440:
3420:
3400:
3292:
3272:
3252:
3222:
3184:
3144:
3117:
3097:
3077:
2969:
2943:
2898:
2872:
2831:
2784:
2758:
2726:
2700:
2659:
2633:
2609:
2589:
2561:
2541:
2521:
2501:
2481:
2461:
2435:
2379:
2353:
2325:
2305:
2259:
2235:
2209:
2189:
2168:
2144:
2114:
2073:
2047:
2027:
1976:
1947:
1921:
1878:
1852:
1832:
1810:
1782:
1741:
1715:
1695:
1644:
1618:
1592:
1549:
1523:
1503:
1481:
1454:
1429:
1373:
1329:
1279:
1243:
1208:
1176:
1020:
1000:
959:
939:
898:
786:
757:
648:
622:
597:
571:
545:
491:
466:
446:
426:
388:
347:
325:
235:
207:
187:
167:
125:
103:
39650:
38410:
Topological Vector Spaces, Distributions and
Kernels
38155:
35496: – General concept and operation in mathematics
35485: – In mathematics, vector space of linear forms
33893:) are exactly the polars of weakly bounded subsets.
32716:
which recall is the polar topology generated by all
31743:
25373:{\displaystyle \left\langle W,W^{\#}\right\rangle ,}
25107:
is a vector subspace of the algebraic dual space of
23789:
is a vector space then under the canonical duality,
20661:{\displaystyle c(F(x),z)=b\left(x,{}^{t}F(z)\right)}
19579:{\displaystyle c(F(\,\cdot \,),z):X\to \mathbb {K} }
18494:
The polars of the following sets are identical: (a)
16734:
is a normed space then under the canonical duality,
7844:{\displaystyle \left\langle X,X^{\#}\right\rangle ,}
6385:{\displaystyle c\left(\,\cdot \,,x^{\prime }\right)}
4468:
has a corresponding dual definition for the pairing
38390:"An Equivariant Version of the Hahn–Banach Theorem"
35361:It follows that there are weakly bounded (that is,
32079:'s algebraic dual, the defining condition becomes:
28941:when endowed with the subspace topology induced by
25327:{\displaystyle \left\langle X,X^{\#}\right\rangle }
23052:{\displaystyle F:(X,\sigma (X,Y,b))\to (W,(W,Z,c))}
22849:{\displaystyle F:(X,\sigma (X,Y,b))\to (W,(W,Z,c))}
19346:
Transposes of a linear map with respect to pairings
8447:{\displaystyle (H,H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}
8345:{\displaystyle (H,H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}
8244:{\displaystyle (H,H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}
4115:{\displaystyle {}^{\circ }\left(A^{\perp }\right).}
1316:{\displaystyle (X,Y,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}
38806:Spectral theory of ordinary differential equations
37997:
37977:
37954:
37926:
37903:
37875:
37784:
37746:
37717:
37645:
37625:
37605:
37561:
37541:
37501:
37407:
37369:
37340:
37268:
37248:
37228:
37184:
37164:
37124:
37030:
36992:
36963:
36891:
36871:
36851:
36807:
36787:
36747:
36653:
36615:
36586:
36514:
36494:
36474:
36430:
36410:
36369:
36349:
36325:
36302:
36282:
36238:
36218:
36186:
36137:
36081:
36058:
36038:
35987:
35967:
35938:
35918:
35766:
35746:
35717:
35691:
35635:
35609:
35589:
35455:
35414:
35394:
35350:
35317:
35297:
35225:
35177:
35111:
35070:
35029:
35003:
34932:
34832:
34792:
34766:
34743:
34710:
34644:
34616:
34577:
34541:
34521:
34478:
34458:
34434:
34388:
34361:
34311:
34288:
34268:
34245:
34222:
34196:
34176:
34156:
34124:
34101:
34078:
34037:
34017:
33997:
33973:
33953:
33933:
33872:
33833:
33793:
33773:
33753:
33733:
33695:
33672:
33649:
33625:
33601:
33581:
33557:
33533:
33509:
33489:
33469:
33445:
33413:
33393:
33370:
33350:
33328:
33302:
33273:
33250:
33226:
33206:
33149:
33127:
33105:
33077:
32996:
32972:
32949:
32925:
32905:
32885:
32833:
32792:
32772:
32749:
32708:
32661:
32634:
32593:
32577:is a polar topology determined by some collection
32569:
32545:
32507:
32483:
32463:
32439:
32419:
32399:
32327:
32273:
32249:
32211:
32167:
32147:
32127:
32071:
32051:
32031:
32011:
31991:
31921:
31868:
31844:
31824:
31800:
31778:
31732:
31679:
31623:
31558:
31530:
31432:
31394:
31352:
31317:
31219:
31181:
31139:
31082:
31041:
30998:
30949:
30906:
30863:
30814:
30771:
30720:
30674:
30622:
30581:
30538:
30514:
30472:
30437:
30394:
30353:
30333:
30306:
30265:
30214:
30188:
30147:
30120:
30079:
30028:
30008:
29988:
29933:
29901:
29871:
29843:with respect to subset inclusion (i.e. if for all
29831:
29802:
29774:
29750:
29726:
29658:
29634:
29612:
29587:
29567:
29543:
29517:
29497:
29460:
29437:
29396:
29372:
29350:
29282:
29262:
29240:
29168:
29148:
29128:
29105:
29032:
29005:
28933:
28910:
28886:
28864:
28792:
28772:
28703:
28683:
28660:
28634:
28601:
28551:
28528:
28492:
28461:
28433:
28403:
28372:
28340:
28318:
28288:
28220:
28104:
28084:
28052:
28030:
27976:
27956:
27936:
27914:
27884:
27853:
27801:
27778:
27763:is both Mackey continuous and strongly continuous.
27755:
27726:
27702:
27667:
27650:
27638:
27543:
27509:
27480:
27442:
27380:
27360:
27325:
27293:
27204:
27172:
27140:
27106:
27083:
27053:
27011:
26977:
26939:
26844:
26820:
26788:
26752:
26702:
26658:
26569:
26537:
26505:
26472:
26439:
26407:
26364:
26334:
26303:
26283:
26233:
26209:
26189:
26140:
26051:
26031:
25966:
25943:
25900:
25797:
25677:
25632:
25569:
25526:
25455:
25428:
25404:
25372:
25326:
25275:
25255:
25235:
25215:
25192:
25162:
25142:
25122:
25099:
25075:
25037:
24987:
24967:
24947:
24923:
24858:
24826:
24788:
24764:
24744:
24701:
24681:
24661:
24629:
24605:
24561:
24525:
24498:
24464:
24444:
24397:
24370:
24333:
24297:
24250:
24227:
24207:
24180:
24157:
24108:
24088:
24063:{\displaystyle Z\to \left(Z^{\prime }\right)^{\#}}
24062:
24014:
23966:
23904:
23870:
23850:
23781:
23748:
23706:
23682:
23621:
23575:
23555:
23535:
23489:
23462:
23433:
23392:
23369:
23349:
23317:
23213:
23169:
23145:
23122:
23051:
22956:
22933:
22901:
22881:
22848:
22753:
22715:
22673:
22634:
22580:
22548:
22528:
22494:
22426:
22391:
22331:
22305:
22276:
22231:
22168:
22139:
22079:
22050:
22012:
21915:
21888:
21861:
21833:
21751:
21689:
21644:
21603:
21569:
21495:
21439:
21398:
21357:
21325:
21303:
21263:
21222:
21193:
21162:
21098:
21078:
21027:
20983:
20942:
20910:
20888:
20850:
20804:
20776:
20748:
20720:
20689:
20660:
20573:
20479:
20441:
20412:
20378:
20340:
20302:
20274:
20233:
20192:
20173:{\displaystyle c(F(\,\cdot \,),z)=b(\,\cdot \,,y)}
20172:
20103:
20077:
20047:
19969:
19873:
19795:
19768:
19748:
19705:
19685:
19651:
19631:
19578:
19518:
19486:
19454:
19432:
19394:
19330:
19307:
19262:
19242:
19206:
19186:
19166:
19146:
19126:
19080:
19035:
18994:
18974:
18954:
18932:
18905:
18878:
18837:
18807:
18784:
18743:
18710:
18679:
18652:
18611:
18591:
18550:
18526:
18506:
18484:
18428:
18408:
18377:
18348:
18305:
18282:
18259:
18226:
18180:
18160:
18130:
18110:
18083:
18052:
17996:{\displaystyle \sigma \left(X/M,M^{\perp }\right)}
17995:
17939:
17877:
17814:
17749:
17726:
17699:
17625:
17572:
17516:
17492:
17416:
17343:
17274:
17231:
17196:
17123:
17067:
17043:
17023:
16982:
16953:
16915:
16877:
16857:
16830:
16807:
16780:
16753:
16726:
16703:
16606:
16586:
16536:
16379:
16359:
16318:
16266:
16230:
16210:
16169:
16146:
16055:
16014:
15883:
15863:
15843:
15797:
15777:
15757:
15673:
15614:
15586:
15508:
15488:
15390:
15358:
15331:
15284:
15257:
15207:
15180:
15157:
15110:
15032:
14985:
14965:
14945:
14918:
14869:
14741:
14705:
14665:
14645:
14625:
14613:is equal to the set of all "evaluation at a point
14605:
14536:
14516:
14454:
14434:
14407:
14385:
14254:
14191:
14168:
14148:
14128:
14106:
14017:
13979:
13922:
13899:
13879:
13857:
13834:
13814:
13794:
13751:
13725:
13668:
13644:
13563:
13506:
13481:
13434:
13365:
13322:
13302:
13278:
13232:
13212:
13189:
13144:
13057:
12981:
12940:
12920:
12893:
12845:
12804:
12766:
12746:
12726:
12686:{\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}
12685:
12629:{\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}
12628:
12575:
12537:
12492:
12463:
12443:
12403:
12355:
12299:
12279:
12231:
12209:
12168:
12120:
12093:
12045:
12019:
11996:
11976:
11906:
11873:since it is determined by the family of seminorms
11861:
11816:
11763:
11743:
11690:
11670:
11651:{\displaystyle \left(a_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}
11650:
11597:
11577:
11557:
11537:
11496:
11476:
11413:
11372:
11331:
11283:
11248:
11207:
11186:
11166:
11140:
11112:
11077:
11057:
11032:
11005:
10961:
10941:
10914:
10870:
10819:
10799:
10775:
10752:
10732:
10709:
10689:
10638:
10600:
10559:
10536:
10515:
10495:
10473:
10447:
10418:
10361:
10329:
10300:
10224:
10188:
10162:
10122:
10096:
9976:
9951:
9931:
9908:
9871:{\displaystyle b(f,g):=\int fg\,\mathrm {d} \mu .}
9870:
9811:
9761:
9741:
9700:
9656:
9619:
9515:
9492:
9472:
9449:
9429:
9391:
9230:
9114:
9077:
9030:
8969:
8916:
8866:
8846:
8816:
8789:
8769:
8742:
8710:
8683:
8656:
8629:
8606:
8521:
8498:
8446:
8396:
8376:
8344:
8290:
8243:
8186:
8134:
8099:
8079:
8059:
8037:
8017:
7961:
7934:
7910:
7890:
7863:
7843:
7797:
7777:
7753:
7726:
7684:
7638:
7611:
7591:
7571:
7544:
7514:
7494:
7418:
7391:
7371:
7322:
7285:
7257:
7231:
7205:
7170:
7150:
7127:
7107:
7069:
7049:
7029:
7002:
6979:
6944:
6921:
6901:
6875:
6834:
6802:
6782:
6714:
6691:
6671:
6651:
6623:
6597:
6548:
6521:
6499:
6411:
6384:
6337:
6294:
6246:
6146:
6097:
6077:
6053:
6026:
5999:
5958:
5893:
5861:
5829:
5791:
5726:
5700:
5658:
5638:
5618:
5595:
5575:
5525:
5484:
5446:
5408:
5367:
5335:
5299:
5258:
5217:
5197:
5159:
5118:
5094:
5053:
5012:
4974:
4951:
4931:
4911:
4867:
4847:
4827:
4783:
4757:
4737:
4717:
4697:
4677:
4657:
4637:
4617:
4593:
4548:
4501:
4460:
4419:
4393:
4367:
4311:
4273:
4225:
4160:
4140:
4114:
4067:
4047:
4017:
3993:
3967:
3940:
3900:
3877:
3855:
3832:
3805:
3785:
3765:
3738:
3718:
3688:
3659:
3629:
3601:
3581:
3558:
3453:
3426:
3406:
3394:, the absolute polar set or polar set of a subset
3383:
3278:
3258:
3230:
3208:
3156:
3130:
3103:
3083:
3063:
2955:
2910:
2884:
2858:
2817:
2770:
2738:
2712:
2686:
2645:
2615:
2595:
2567:
2547:
2527:
2507:
2487:
2467:
2447:
2421:
2365:
2331:
2311:
2283:
2241:
2215:
2195:
2174:
2150:
2126:
2100:
2059:
2033:
2013:
1962:
1933:
1907:
1864:
1838:
1816:
1794:
1768:
1727:
1701:
1681:
1630:
1604:
1578:
1535:
1509:
1487:
1460:
1437:
1397:
1347:
1315:
1265:
1229:
1194:
1155:
1006:
982:
945:
921:
884:
772:
743:
634:
605:
579:
553:
517:
474:
452:
432:
412:
374:
333:
261:
215:
193:
173:
149:
111:
36:This reads like a textbook, not an encyclopedia's
38275:
38244:
38205:
38193:
38126:
36039:{\displaystyle b(x,\,\cdot \,):Y\to \mathbb {K} }
35119:-bounded) if and only if there exists a sequence
33089:Mackey's theorem, barrels, and closed convex sets
29305:Starting with only the weak topology, the use of
28602:{\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}
28444:
28384:) if and only if every equicontinuous subsets of
27854:{\displaystyle {}^{t}F:^{\prime }\to X^{\prime }}
24158:{\displaystyle z^{\prime }\mapsto z^{\prime }(z)}
21752:{\displaystyle {}^{t}\left(F^{-1}\right):Y\to Z,}
21079:{\displaystyle \operatorname {ker} {}^{t}F=\{0\}}
18227:{\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}
15258:{\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}
10690:{\displaystyle b(\,\cdot \,,y):X\to \mathbb {K} }
9812:{\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1}
8499:{\displaystyle (H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}
8291:{\displaystyle (H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}
8187:{\displaystyle (H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}
8018:{\displaystyle (H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}
7974:Inner product spaces and complex conjugate spaces
6085:(that is, the space of all linear functionals on
4797:: If a definition and its notation for a pairing
2014:{\displaystyle b(\,\cdot \,,y):X\to \mathbb {K} }
1682:{\displaystyle b(x,\,\cdot \,):Y\to \mathbb {K} }
282:is the study of dual systems and is important in
40337:
38306:Section III.3. Academic Press, San Diego, 1980.
34296:absorbs every convex bounded complete subset of
34045:if and only if it is equal to the polar of some
25527:{\displaystyle F^{\#}={}^{t}F:W^{\#}\to X^{\#}.}
14919:{\displaystyle \beta \left(X^{\prime },X\right)}
13197:is a pairing then the following are equivalent:
12997:
11339:" is attached to a topological definition (e.g.
3499:
3324:
1323:. However, this article will reserve the use of
28411:is the image of some equicontinuous subsets of
28296:is the image of some equicontinuous subsets of
27734:is continuous then it is weakly continuous and
26374:
25150:is the natural evaluation map, and also denote
24015:{\displaystyle Z=\left(Z^{\prime }\right)^{\#}}
19174:that is consistent with duality, then a subset
18093:
17815:{\displaystyle \left(X/M,M^{\perp },b/M\right)}
7269:Canonical duality on a topological vector space
5106:For another example, once the weak topology on
4235:
4055:, is the polar of the orthogonal complement of
38276:Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011).
33004:is compatible with the pairing if and only if
30036:endowed with this topology will be denoted by
27488:is injective (resp. bijective) if and only if
26789:{\displaystyle \left\langle X,Y\right\rangle }
26408:{\displaystyle \left\langle X,Y\right\rangle }
25678:{\displaystyle F^{\#}\left(w^{\prime }\right)}
22277:{\displaystyle F(S)\subseteq T^{\circ \circ }}
20815:
13381:
7330:Then the restriction of the canonical duality
1266:{\displaystyle \left\langle X,Y\right\rangle }
39636:
39387:
38946:
38462:
38353:
38220:
38176:
38149:
37942:Recall that a collection of subsets of a set
34652:denote the space of all sequences of scalars
34005:be a topology of the pair. Then a subset of
28031:{\displaystyle \|F\|=\left\|{}^{t}F\right\|.}
26311:is the matrix representation with respect to
22635:{\displaystyle \|F\|=\left\|{}^{t}F\right\|.}
17678:
17474:
17295:
17178:
13907:is not dependent on the particular choice of
8135:{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }
7463:
5934:
5764:
1348:{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }
35886:
35874:
35865:
35843:
35422:that are not strongly bounded (that is, not
35226:{\displaystyle \left|t_{i}\right|\leq m_{i}}
35004:{\displaystyle \sigma (X,X,b)=\tau (X,X,b).}
34627:
33541:topology if and only if it is closed in the
33201:
33168:
32780:is the strongest locally convex topology on
27997:
27991:
27167:
27155:
27135:
27123:
26815:
26803:
26434:
26422:
24853:
24841:
23622:{\displaystyle \sigma \left(X,X^{\#}\right)}
23536:{\displaystyle \sigma \left(X,X^{\#}\right)}
22601:
22595:
21073:
21067:
20042:
20007:
19964:
19920:
16267:{\displaystyle S\subseteq S^{\perp \perp }.}
14098:
14045:
13636:
13601:
13145:{\displaystyle |b(S,y)|:=\{b(s,y):s\in S\}.}
13136:
13103:
11771:, then this would mean that it converges in
10251:
10239:
9611:
9573:
9567:
9543:
9020:
9008:
8964:
8952:
8490:
8478:
8438:
8426:
8336:
8324:
8282:
8270:
8235:
8223:
8178:
8166:
8129:
8117:
8009:
7997:
7805:at the origin. Under the canonical duality
6971:
6959:
6829:
6817:
5888:
5882:
5856:
5850:
4982:then it is meant that definition applied to
3151:
3145:
3058:
3055:
3049:
3013:
3007:
2983:
2812:
2806:
2475:is defined analogously (see footnote). Thus
1342:
1330:
1307:
1295:
1189:
1177:
1147:
1112:
1079:
1044:
34833:{\displaystyle b:X\times X\to \mathbb {K} }
33378:is a non-empty closed and convex subset of
32328:{\displaystyle \left(N^{\prime },N\right).}
30446:("topology of uniform convergence on ...")
28780:is identical to the subspace topology that
27054:{\displaystyle g:A\to \operatorname {Im} g}
19670:if the following conditions are satisfied:
16587:{\displaystyle \left(S_{i}\right)_{i\in I}}
16319:{\displaystyle \left(S_{i}\right)_{i\in I}}
15165:can instead be thought of as a topology on
12404:{\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in I}}
12280:{\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in I}}
12169:{\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in I}}
12094:{\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in I}}
8970:{\displaystyle b(x,y):=\langle x,y\rangle }
8854:(instead of the scalar multiplication that
7695:
6929:is a vector space of linear functionals on
5540:
5020:(continuing the same example, the topology
518:{\displaystyle b:X\times Y\to \mathbb {K} }
262:{\displaystyle b:X\times Y\to \mathbb {K} }
39643:
39629:
39394:
39380:
38953:
38939:
38469:
38455:
15687:if in addition the strong bidual topology
14706:{\displaystyle x^{\prime }\in X^{\prime }}
14395:With respect to the canonical pairing, if
14116:This is true regardless of whether or not
13987:may be identified with the quotient space
8847:{\displaystyle \,\cdot \,\perp \,\cdot \,}
613:, but the mathematical theory is general.
37867:
37863:
37815:
37811:
37708:
37704:
37676:
37672:
37466:
37462:
37444:
37440:
37325:
37321:
37305:
37301:
37089:
37085:
37067:
37063:
36948:
36944:
36928:
36924:
36736:
36732:
36690:
36686:
36577:
36573:
36551:
36547:
36032:
36018:
36014:
34826:
33344:
33322:
33143:
33121:
31976:
31972:
31794:
29366:
26177:
26162:
25931:
25263:to be identified as a vector subspace of
25025:
25021:
24732:
24728:
23110:
23106:
23084:
23080:
21319:
20904:
20538:
20534:
20510:
20506:
20160:
20156:
20134:
20130:
20020:
20016:
19994:
19990:
19939:
19935:
19904:
19900:
19858:
19854:
19832:
19828:
19736:
19732:
19572:
19549:
19545:
19448:
18138:is a subset of the continuous dual space
17871:
17337:
17275:{\displaystyle Y/\left(M^{\perp }\right)}
15598:topology and it appears in the theory of
15594:(this topology is also called the strong
14353:
14349:
14325:
14321:
13782:
13778:
13614:
13610:
13588:
13584:
13497:
13266:
13262:
11900:
11048:
10683:
10663:
10659:
10438:
9967:
9856:
9607:
9099:
9062:
8910:
8843:
8839:
8835:
8831:
8553:
8548:
8544:
8540:
8536:
8053:
6477:
6473:
6438:
6434:
6363:
6359:
4601:These conventions also apply to theorems.
3224:
2007:
1987:
1983:
1889:
1885:
1675:
1661:
1657:
1566:
1562:
1431:
1125:
1121:
1099:
1095:
1063:
1059:
1037:
1033:
970:
966:
915:
911:
856:
833:
831:
814:
801:
797:
718:
695:
693:
676:
669:
665:
599:
573:
547:
511:
468:
327:
255:
209:
105:
66:Learn how and when to remove this message
38759:Group algebra of a locally compact group
26335:{\displaystyle {\mathcal {E}}^{\prime }}
26284:{\displaystyle M:=\left(f_{i,j}\right),}
25038:{\displaystyle y\mapsto b(\,\cdot \,,y)}
24745:{\displaystyle y\mapsto b(\,\cdot \,,y)}
21496:{\displaystyle {}^{t}(F\circ E):Z\to V,}
19749:{\displaystyle y\mapsto b(\,\cdot \,,y)}
18792:-closure of the convex balanced hull of
13822:exists then it is unique if and only if
13279:{\displaystyle y\mapsto b(\,\cdot \,,y)}
10922:or (if no confusion could arise) simply
8377:{\displaystyle \operatorname {dim} H=0.}
5225:, and this topology would be denoted by
527:bilinear map associated with the pairing
39043:Locally convex topological vector space
38387:
34585:are the same as the bounded subsets of
32337:
29811:. Every polar topology is necessarily
28529:{\displaystyle K\subseteq X^{\prime }.}
28380:is a TVS-embedding (or equivalently, a
23497:is its the algebraic dual. Then every
23446:Weak topology and the canonical duality
22512:is used in place of the absolute polar.
21406:is well-defined. Then the transpose of
11907:{\displaystyle p_{y}:X\to \mathbb {R} }
11013:Importantly, the weak topology depends
7372:{\displaystyle \left(X,X^{\#},c\right)}
6598:{\displaystyle \left(X,X^{\#},c\right)}
6147:{\displaystyle \left(X,X^{\#},c\right)}
539:. The examples here only describe when
40338:
39782:Uniform boundedness (Banach–Steinhaus)
38404:
38259:
38232:
38161:
36333:in which case it is simply called the
34184:absorbs each convex compact subset of
34132:is a topological vector space, then:
31106:Definitions involving polar topologies
29738:of neighborhoods at the origin. When
28661:{\displaystyle \operatorname {span} D}
28635:{\displaystyle D\subseteq X^{\prime }}
25570:{\displaystyle w^{\prime }\in W^{\#},}
20387:(this should not be confused with the
17940:{\displaystyle (x+M,y)\mapsto b(x,y).}
15496:which (among other things) allows for
6725:The evaluation map will be denoted by
6338:{\displaystyle x^{\prime }\in X^{\#},}
529:, or more simply called the pairing's
39624:
39375:
38934:
38450:
38412:. Mineola, N.Y.: Dover Publications.
38317:
33477:are any locally convex topologies on
33207:{\displaystyle \{x\in X:f(x)\leq r\}}
29872:{\displaystyle G,K\in {\mathcal {G}}}
25203:In a completely analogous manner, if
24645:with a subspace of the algebraic dual
24562:{\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }}
21201:being well-defined, the transpose of
20950:will be a linear map whose transpose
18260:{\displaystyle H\subseteq B^{\circ }}
15809:Orthogonals, quotients, and subspaces
14415:is a TVS whose continuous dual space
12538:{\displaystyle b\left(x_{i},y\right)}
9959:be vector spaces over the same field
8977:is linear in both coordinates and so
4515:: Given any definition for a pairing
3941:{\displaystyle A^{\circ }=A^{\perp }}
298:Definition, notation, and conventions
38329:McGraw-Hill Science/Engineering/Math
34486:that is compatible with the duality
32800:that is compatible with the pairing
32672:It follows that the Mackey topology
31933:and if the continuous dual space of
31541:
27084:{\displaystyle \operatorname {Im} g}
26947:will be continuous and furthermore,
26703:{\displaystyle F^{\#}(Z)\subseteq Y}
25944:{\displaystyle X=Y=\mathbb {K} ^{n}}
25286:
23632:
15391:{\displaystyle X_{\beta }^{\prime }}
15339:as a subset. So for instance, when
8797:) but with scalar multiplication in
7700:The following result shows that the
6980:{\displaystyle \langle X,N\rangle .}
4875:(for example, the definition of the
2225:(or, redundantly but explicitly, in
1941:; or equivalently, for all non-zero
1612:; or equivalently, for all non-zero
22:
39457:Topologies on spaces of linear maps
36138:{\displaystyle (Y,\sigma (Y,R,b)),}
35946:is linear in its second coordinate.
35553:Topologies on spaces of linear maps
35517: – Bilinear map in mathematics
35185:of positive real numbers such that
34617:{\displaystyle (X,{\mathcal {L}}).}
34396:and consider the canonical duality
33873:{\displaystyle (X,{\mathcal {L}}).}
33734:{\displaystyle A=A^{\circ \circ }.}
32491:(not necessarily Hausdorff). Then
30266:{\displaystyle Y_{\sigma (Y,X,b)},}
30080:{\displaystyle Y_{\Delta (Y,X,b)},}
29902:{\displaystyle K\in {\mathcal {G}}}
29470:
27173:{\displaystyle \langle W,Z\rangle }
27141:{\displaystyle \langle X,Y\rangle }
26821:{\displaystyle \langle W,Z\rangle }
26440:{\displaystyle \langle W,Z\rangle }
24859:{\displaystyle \langle X,Z\rangle }
24709:denotes the range of the injection
23221:is weakly continuous, meaning that
21611:is a vector space isomorphism then
19632:{\displaystyle x\mapsto c(F(x),z).}
18485:{\displaystyle (Y,\sigma (Y,X,b)).}
17573:{\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b)).}
17124:{\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b)).}
15602:: the Hausdorff locally convex TVS
15215:is endowed with a topology that is
13435:{\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b)).}
12356:{\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b)).}
11977:{\displaystyle p_{y}(x):=|b(x,y)|,}
10871:{\displaystyle X_{\sigma (X,S,b)},}
10163:{\displaystyle X^{\#}\times Y^{\#}}
9115:{\displaystyle Y=\mathbb {R} ^{3},}
9078:{\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2},}
8777:is identical to vector addition in
8352:forms a dual system if and only if
6835:{\displaystyle \langle X,N\rangle }
6010:Canonical duality on a vector space
5061:would actually denote the topology
1825:separates (distinguishes) points of
1496:separates (distinguishes) points of
1195:{\displaystyle \langle x,y\rangle }
13:
35284:
35170:
34902:
34703:
34603:
34578:{\displaystyle (X,{\mathcal {L}})}
34567:
34509:
34451:
34419:
34381:
34362:{\displaystyle (X,{\mathcal {L}})}
34351:
33990:
33859:
33834:{\displaystyle (X,{\mathcal {L}})}
33823:
33642:
33618:
33574:
33550:
33526:
33462:
33438:
33040:
32989:
32942:
32586:
32562:
32500:
32456:
32306:
32111:
32100:
31953:
31861:
31817:
31624:{\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}
30427:
30417:
30203:
30140:
30098:
30048:
29962:
29934:{\displaystyle G\cup H\subseteq K}
29894:
29864:
29824:
29795:
29767:
29702:
29605:
29560:
29490:
29404:will be a non-empty collection of
29389:
29214:
29193:
29082:
29061:
28979:
28958:
28838:
28817:
28749:
28728:
28627:
28583:
28518:
28485:
28423:
28396:
28308:
28277:
28203:
28155:
28092:is relatively open if and only if
27904:
27877:
27846:
27833:
26680:
26498:
26465:
26354:
26327:
26321:
26226:
26125:
26101:
26078:
26072:
25982:
25857:
25831:
25817:
25764:
25722:
25708:
25666:
25652:
25619:
25602:
25588:
25559:
25546:
25516:
25503:
25475:
25448:
25357:
25314:
25182:
24907:
24889:
24606:{\displaystyle X^{\prime }=X^{\#}}
24598:
24585:
24554:
24491:
24390:
24363:
24323:
24200:
24141:
24128:
24055:
24045:
24022:; that is, if and only if the map
24007:
23997:
23949:
23894:
23827:
23806:
23683:{\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}
23609:
23523:
23482:
22644:
19788:
18208:
18150:
18053:{\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}
17626:{\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}
16773:
15745:
15727:
15717:
15660:
15650:
15574:
15556:
15546:
15469:
15459:
15430:
15420:
15383:
15351:
15324:
15314:
15277:
15265:then the continuous dual space of
15239:
15200:
15150:
15140:
15098:
15080:
15070:
15025:
15015:
14938:
14900:
14853:
14843:
14810:
14788:
14767:
14725:
14698:
14685:
14582:
14561:
14499:
14427:
14307:
14255:{\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}
13980:{\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}
13726:{\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}
13564:{\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}
13034:
12903:
12678:
12621:
11817:{\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}
11744:{\displaystyle (Y,\sigma (Y,X,b))}
11643:
10273:
10155:
10142:
10078:
10052:
9858:
9657:{\displaystyle 0<p<\infty ,}
9648:
7954:
7927:
7828:
7770:
7746:
7669:
7564:
7534:
7480:
7449:
7411:
7353:
7312:
7022:
6766:
6748:
6579:
6541:
6489:
6465:
6447:
6404:
6372:
6327:
6314:
6284:
6227:
6209:
6180:
6128:
6046:
38:tone or style may not reflect the
14:
40372:
38435:
36187:{\displaystyle (Y,\sigma (Y,R)),}
35351:{\displaystyle m_{\bullet }\in X}
33882:The following theorem shows that
33841:if and only if it is a barrel in
33589:-closure of any convex subset of
33565:topology. This implies that the
31744:Topologies compatible with a pair
31733:{\displaystyle (X,\beta (X,Y,b))}
31680:{\displaystyle (X,\tau (X,Y,b)),}
28473:space with continuous dual space
27646:is relatively open and injective.
26506:{\displaystyle Z\subseteq W^{\#}}
26473:{\displaystyle Y\subseteq X^{\#}}
25640:where the defining condition for
23692:complete topological vector space
22588:is a continuous linear map, then
20668: for all
18744:{\displaystyle A^{\circ \circ },}
18118:is a locally convex space and if
15851:is a pairing then for any subset
14524:is Hausdorff, which implies that
13795:{\displaystyle f=b(\,\cdot \,,y)}
13310:into the algebraic dual space of
11751:whereas if it were a sequence in
10915:{\displaystyle X_{\sigma (X,S)},}
10544:) is the weakest TVS topology on
10232:with the bilinear map defined as
9041:
8025:is a dual pairing if and only if
7599:(which is true if, for instance,
6105:). There is a canonical duality
4939:) then by switching the order of
1908:{\displaystyle b(\,\cdot \,,y)=0}
1579:{\displaystyle b(x,\,\cdot \,)=0}
286:. Duality plays crucial roles in
40320:
40319:
38915:
38914:
38841:Topological quantum field theory
35544:Strong topology (polar topology)
32957:be a locally convex topology on
32471:be a locally convex topology on
30307:{\displaystyle Y_{\sigma (Y,X)}}
30121:{\displaystyle Y_{\Delta (Y,X)}}
29782:-topology then it is denoted by
28691:then the subspace topology that
28112:is weakly relatively open (i.e.
27517:is surjective (resp. bijective);
26513:) that are dual systems and let
24445:{\displaystyle (X,\sigma (X,Y))}
24298:{\displaystyle (Y,\sigma (Y,X))}
21440:{\displaystyle F\circ E:U\to W,}
21365:is a linear map whose transpose
19154:is a locally convex topology on
16808:{\displaystyle S^{\perp \perp }}
15805:'s original/starting topology).
14749:). This is commonly written as
13154:
11148:then the dual definition of the
10373:
7942:(where the polars are taken in
7626:: As is commonly done, whenever
6392:is just another way of denoting
6302:Note in particular that for any
4048:{\displaystyle A^{\circ \circ }}
2578:
2294:
1362:
420:consisting of two vector spaces
48:guide to writing better articles
27:
40307:With the approximation property
39148:Ekeland's variational principle
38269:
37936:
37885:
37613:is well-defined if and only if
37606:{\displaystyle {}^{t}H:Z\to X,}
37511:
37236:is well-defined if and only if
37229:{\displaystyle {}^{t}H:X\to Q,}
37134:
36859:is well-defined if and only if
36852:{\displaystyle {}^{t}H:W\to Y,}
36757:
36482:is well-defined if and only if
36475:{\displaystyle {}^{t}G:X\to W,}
36380:
36283:{\displaystyle \sigma (Y,R,b).}
36246:endowed with the weak topology
35975:is the weakest TVS topology on
35674:
32515:is compatible with the pairing
32219:is compatible with the pairing
30215:{\displaystyle \Delta =\sigma }
27651:Transpose of a map between TVSs
26753:{\displaystyle {}^{t}F:Z\to Y,}
25880:
25774:
24345:exist a proper vector subspace
23882:TVS with continuous dual space
23758:or (if no ambiguity can arise)
23357:is well-defined if and only if
22964:is weakly continuous (that is,
22427:{\displaystyle F(S)\subseteq T}
22051:{\displaystyle F(S)\subseteq T}
21652:is bijective, the transpose of
20420:to be well-defined. For every
14827:
14821:
13037:
12894:{\displaystyle \sigma (X,Y,b).}
12754:is a proper vector subspace of
12640:vectors in Hilbert space, then
11006:{\displaystyle \sigma (X,S,b).}
10969:endowed with the weak topology
10783:in which case it is called the
10362:{\displaystyle y\in X^{\beta }}
9701:{\displaystyle X:=L^{p}(\mu ),}
9500:does not distinguish points of
8817:{\displaystyle {\overline {H}}}
8770:{\displaystyle {\overline {H}}}
8711:{\displaystyle {\overline {H}}}
8657:{\displaystyle {\overline {H}}}
8575:
8569:
7785:be a basis of neighborhoods of
6659:always distinguishes points of
6295:{\displaystyle X\times X^{\#}.}
2404:
1170:It is common practice to write
1088:
1082:
983:{\displaystyle b(\,\cdot \,,y)}
922:{\displaystyle b(x,\,\cdot \,)}
39770:Open mapping (Banach–Schauder)
38302:Michael Reed and Barry Simon,
37857:
37851:
37825:
37816:
37808:
37802:
37779:
37773:
37709:
37695:
37686:
37677:
37669:
37663:
37594:
37533:
37488:
37482:
37448:
37445:
37437:
37425:
37402:
37396:
37332:
37318:
37309:
37306:
37298:
37286:
37217:
37156:
37111:
37105:
37071:
37068:
37060:
37048:
37025:
37019:
36955:
36941:
36932:
36929:
36921:
36909:
36840:
36779:
36726:
36720:
36694:
36691:
36683:
36671:
36648:
36642:
36578:
36564:
36555:
36552:
36544:
36532:
36463:
36402:
36274:
36256:
36213:
36201:
36178:
36175:
36163:
36151:
36129:
36126:
36108:
36096:
36028:
36019:
36005:
35949:
35910:
35898:
35802:
35784:
35728:
35665:
35653:
35571:
35450:
35432:
35395:{\displaystyle \sigma (X,X,b)}
35389:
35371:
35106:
35088:
35071:{\displaystyle \sigma (X,X,b)}
35065:
35047:
34995:
34977:
34968:
34950:
34822:
34608:
34592:
34572:
34556:
34459:{\displaystyle {\mathcal {L}}}
34356:
34340:
34079:{\displaystyle \sigma (Y,X,b)}
34073:
34055:
33998:{\displaystyle {\mathcal {T}}}
33928:
33910:
33864:
33848:
33828:
33812:
33650:{\displaystyle {\mathcal {T}}}
33626:{\displaystyle {\mathcal {L}}}
33582:{\displaystyle {\mathcal {T}}}
33558:{\displaystyle {\mathcal {L}}}
33534:{\displaystyle {\mathcal {T}}}
33470:{\displaystyle {\mathcal {L}}}
33446:{\displaystyle {\mathcal {T}}}
33192:
33186:
33069:
33051:
33032:
33014:
32997:{\displaystyle {\mathcal {T}}}
32950:{\displaystyle {\mathcal {T}}}
32880:
32862:
32825:
32807:
32750:{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
32744:
32726:
32700:
32682:
32635:{\displaystyle \sigma (Y,X,b)}
32629:
32611:
32594:{\displaystyle {\mathcal {G}}}
32570:{\displaystyle {\mathcal {T}}}
32540:
32522:
32508:{\displaystyle {\mathcal {T}}}
32464:{\displaystyle {\mathcal {T}}}
32394:
32376:
32281:is a normed space that is not
32244:
32226:
32212:{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
32206:
32188:
32175:(which these authors assume).
31983:
31969:
31916:
31898:
31869:{\displaystyle {\mathcal {T}}}
31825:{\displaystyle {\mathcal {T}}}
31773:
31755:
31727:
31724:
31706:
31694:
31671:
31668:
31650:
31638:
31618:
31615:
31597:
31585:
31525:
31522:
31504:
31492:
31489:
31486:
31483:
31465:
31453:
31427:
31409:
31389:
31371:
31344:
31312:
31309:
31291:
31279:
31276:
31273:
31270:
31252:
31240:
31214:
31196:
31176:
31158:
31131:
31077:
31059:
31036:
31018:
30999:{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
30993:
30975:
30944:
30926:
30907:{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
30901:
30883:
30864:{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
30858:
30840:
30815:{\displaystyle \gamma (X,Y,b)}
30809:
30791:
30772:{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
30766:
30748:
30715:
30697:
30675:{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
30669:
30651:
30617:
30599:
30582:{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
30576:
30558:
30515:{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
30509:
30491:
30395:{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
30389:
30371:
30299:
30287:
30255:
30237:
30189:{\displaystyle \sigma (Y,X,b)}
30183:
30165:
30113:
30101:
30069:
30051:
29989:{\displaystyle \Delta (X,Y,b)}
29983:
29965:
29832:{\displaystyle {\mathcal {G}}}
29803:{\displaystyle {\mathcal {G}}}
29775:{\displaystyle {\mathcal {G}}}
29613:{\displaystyle {\mathcal {G}}}
29568:{\displaystyle {\mathcal {G}}}
29498:{\displaystyle {\mathcal {G}}}
29438:{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
29432:
29414:
29397:{\displaystyle {\mathcal {G}}}
29345:
29327:
28445:Metrizability and separability
28364:
28170:
28076:
28021:
28004:
27838:
27694:
27633:
27630:
27618:
27606:
27603:
27600:
27597:
27585:
27573:
27535:
27472:
27431:
27418:
27355:
27343:
27288:
27285:
27273:
27261:
27258:
27255:
27252:
27240:
27228:
27196:
27039:
27019:between topological spaces is
27003:
26934:
26931:
26919:
26907:
26904:
26901:
26898:
26886:
26874:
26741:
26691:
26685:
26653:
26650:
26638:
26626:
26623:
26620:
26617:
26605:
26593:
26561:
26529:
26234:{\displaystyle {\mathcal {E}}}
26172:
25877:
25874:
25868:
25862:
25846:
25840:
25753:
25747:
25508:
25396:
25380:the transpose of a linear map
25070:
25052:
25045:is injective (especially when
25032:
25018:
25012:
24918:
24912:
24821:
24803:
24739:
24725:
24719:
24439:
24436:
24424:
24412:
24292:
24289:
24277:
24265:
24152:
24146:
24133:
24032:
23749:{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
23743:
23725:
23677:
23674:
23656:
23644:
23312:
23309:
23291:
23282:
23279:
23276:
23273:
23255:
23243:
23214:{\displaystyle {}^{t}F:Z\to Y}
23205:
23117:
23103:
23094:
23085:
23077:
23071:
23046:
23043:
23025:
23016:
23013:
23010:
23007:
22989:
22977:
22925:
22843:
22840:
22822:
22813:
22810:
22807:
22804:
22786:
22774:
22748:
22730:
22710:
22692:
22665:
22625:
22608:
22572:
22480:
22476:
22470:
22464:
22415:
22409:
22255:
22249:
22039:
22033:
21948:
21944:
21938:
21932:
21740:
21690:{\displaystyle F^{-1}:W\to X,}
21678:
21645:{\displaystyle {}^{t}F:Z\to Y}
21636:
21595:
21531:
21519:
21484:
21475:
21463:
21428:
21399:{\displaystyle {}^{t}E:Y\to V}
21390:
21349:
21298:
21280:
21086:) if and only if the range of
21028:{\displaystyle {}^{t}F:Z\to Y}
21019:
20984:{\displaystyle {}^{t}F:Z\to Y}
20975:
20934:
20883:
20865:
20845:
20827:
20793:
20765:
20737:
20709:
20650:
20644:
20612:
20603:
20597:
20591:
20560:
20554:
20520:
20511:
20503:
20497:
20474:
20468:
20373:
20355:
20335:
20317:
20275:{\displaystyle {}^{t}F:Z\to Y}
20266:
20225:
20219:
20167:
20153:
20144:
20135:
20127:
20121:
20027:
20013:
20001:
19987:
19949:
19940:
19932:
19926:
19914:
19905:
19897:
19891:
19865:
19851:
19842:
19833:
19825:
19819:
19743:
19729:
19723:
19623:
19614:
19608:
19602:
19596:
19568:
19559:
19550:
19542:
19536:
19478:
19427:
19409:
19389:
19371:
19308:{\displaystyle \sigma (Y,X,b)}
19302:
19284:
19237:
19225:
19121:
19103:
19081:{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
19075:
19057:
19036:{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
19030:
19012:
18879:{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
18873:
18855:
18785:{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
18779:
18761:
18653:{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
18647:
18629:
18592:{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
18586:
18568:
18476:
18473:
18455:
18443:
18343:
18325:
18047:
18044:
18026:
18014:
17931:
17919:
17913:
17910:
17892:
17867:
17620:
17617:
17599:
17587:
17564:
17561:
17543:
17531:
17408:
17396:
17390:
17333:
17115:
17112:
17094:
17082:
17024:{\displaystyle \sigma (M,Y,b)}
17018:
17000:
16948:
16930:
16910:
16892:
16466:
16448:
16360:{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
16354:
16336:
16211:{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
16205:
16187:
16122:
16104:
16056:{\displaystyle \sigma (Y,X,b)}
16050:
16032:
15971:
15953:
15927:
15914:
15838:
15820:
14742:{\displaystyle x^{\prime }(x)}
14736:
14730:
14360:
14346:
14332:
14318:
14303:
14299:
14281:
14269:
14249:
14246:
14228:
14216:
14075:
14063:
13974:
13971:
13953:
13941:
13789:
13775:
13720:
13717:
13699:
13687:
13621:
13607:
13595:
13581:
13558:
13555:
13537:
13525:
13476:
13458:
13426:
13423:
13405:
13393:
13366:{\displaystyle \sigma (Y,X,b)}
13360:
13342:
13273:
13259:
13253:
13184:
13166:
13121:
13109:
13096:
13092:
13080:
13073:
13027:
13023:
13011:
13004:
12982:{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
12976:
12958:
12885:
12867:
12846:{\displaystyle \sigma (X,N,b)}
12840:
12822:
12799:
12781:
12721:
12703:
12567:
12555:
12444:{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
12438:
12420:
12347:
12344:
12326:
12314:
12210:{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
12204:
12186:
11967:
11963:
11951:
11944:
11937:
11931:
11896:
11862:{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
11856:
11838:
11811:
11808:
11790:
11778:
11738:
11735:
11717:
11705:
11538:{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
11532:
11514:
11468:
11462:
11454:
11436:
11414:{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
11408:
11390:
11373:{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
11367:
11349:
11332:{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
11326:
11308:
11278:
11266:
11249:{\displaystyle \sigma (Y,R,b)}
11243:
11225:
10997:
10979:
10904:
10892:
10860:
10842:
10679:
10670:
10656:
10630:
10618:
10601:{\displaystyle \sigma (X,S,b)}
10595:
10577:
10413:
10395:
9903:
9885:
9841:
9829:
9742:{\displaystyle Y:=L^{q}(\mu )}
9736:
9730:
9692:
9686:
9594:
9576:
9424:
9406:
8946:
8934:
8906:
8737:
8725:
8718:denotes the additive group of
8666:complex conjugate vector space
8563:
8493:
8469:
8441:
8411:
8339:
8309:
8285:
8261:
8238:
8208:
8181:
8157:
8012:
7988:
7935:{\displaystyle {\mathcal {N}}}
7778:{\displaystyle {\mathcal {N}}}
7734:be a TVS with algebraic dual
7194:
7188:
7102:
7084:
6867:
6849:
6777:
6771:
6478:
6470:
6238:
6232:
5991:
5973:
5824:
5806:
5695:
5677:
5570:
5552:
5517:
5499:
5479:
5461:
5441:
5423:
5403:
5385:
5362:
5350:
5330:
5318:
5300:{\displaystyle \sigma (Y,X,d)}
5294:
5276:
5259:{\displaystyle \sigma (Y,X,b)}
5253:
5235:
5192:
5174:
5160:{\displaystyle \sigma (X,Y,b)}
5154:
5136:
5089:
5071:
5048:
5030:
5007:
4989:
4906:
4888:
4822:
4804:
4585:
4567:
4560:by applying it to the pairing
4540:
4522:
4493:
4475:
4455:
4437:
4368:{\displaystyle d(y,x):=b(x,y)}
4362:
4350:
4341:
4329:
4306:
4288:
4265:
4247:
3948:and this is also equal to the
3538:
3534:
3522:
3515:
3363:
3359:
3347:
3340:
3203:
3185:
3043:
3031:
2847:
2835:
2800:
2788:
2675:
2663:
2395:
2383:
2278:
2260:
2089:
2077:
2003:
1994:
1980:
1896:
1882:
1757:
1745:
1671:
1662:
1648:
1567:
1553:
1392:
1374:
1310:
1280:
1224:
1212:
1132:
1118:
1106:
1092:
1064:
1050:
1038:
1024:
977:
963:
916:
902:
872:
860:
850:
825:
808:
794:
734:
722:
712:
687:
670:
656:
507:
404:
392:
366:
348:
251:
144:
126:
1:
38637:Uniform boundedness principle
38245:Narici & Beckenstein 2011
38206:Narici & Beckenstein 2011
38194:Narici & Beckenstein 2011
38127:Narici & Beckenstein 2011
38012:
35456:{\displaystyle \beta (X,X,b)}
35112:{\displaystyle \beta (X,X,b)}
32709:{\displaystyle \tau (X,Y,b),}
31083:{\displaystyle \beta (X,Y,b)}
30632:pointwise/simple convergence
28348:is continuous injection then
27892:to equicontinuous subsets of
27551:is surjective if and only if
24341:Said differently, there does
23858:is complete. Conversely, if
22339:are weakly closed disks then
22080:{\displaystyle T\subseteq W,}
19340:
18378:{\displaystyle A\subseteq X,}
14018:{\displaystyle Y/X^{\perp },}
13934:The continuous dual space of
13507:{\displaystyle \mathbb {K} .}
11058:{\displaystyle \mathbb {C} ,}
10639:{\displaystyle \sigma (X,S),}
10448:{\displaystyle \mathbb {K} .}
10225:{\displaystyle Y:=X^{\beta }}
9977:{\displaystyle \mathbb {K} .}
7851:the continuous dual space of
7702:continuous linear functionals
7115:is a duality) if and only if
3167:
382:which may also be denoted by
38357:; Wolff, Manfred P. (1999).
35857:
35827:
35030:{\displaystyle T\subseteq X}
34549:then the bounded subsets of
33961:distinguishes the points of
33941:will be a pairing such that
33351:{\displaystyle \mathbb {C} }
33329:{\displaystyle \mathbb {R} }
33150:{\displaystyle \mathbb {C} }
33128:{\displaystyle \mathbb {R} }
32913:distinguishes the points of
32893:will be a pairing such that
32427:distinguishes the points of
32407:will be a pairing such that
32289:compatible with the duality
32155:distinguishes the points of
31801:{\displaystyle \mathbb {K} }
30721:{\displaystyle \tau (X,Y,b)}
29996:denotes a polar topology on
29373:{\displaystyle \mathbb {K} }
29313:. The weak topology is the
28434:{\displaystyle Y^{\prime }.}
28319:{\displaystyle Y^{\prime }.}
27915:{\displaystyle X^{\prime }.}
27361:{\displaystyle \sigma (Y,X)}
26375:Weak continuity and openness
25193:{\displaystyle X^{\prime }.}
24772:is a vector subspace of the
24371:{\displaystyle Y\neq X^{\#}}
23905:{\displaystyle Z^{\prime },}
22508:These results hold when the
22332:{\displaystyle S\subseteq X}
22306:{\displaystyle T\subseteq W}
22169:{\displaystyle T\subseteq W}
21862:{\displaystyle S\subseteq X}
21326:{\displaystyle \mathbb {K} }
20911:{\displaystyle \mathbb {K} }
19455:{\displaystyle \mathbb {K} }
18161:{\displaystyle X^{\prime },}
18094:Polars and the weak topology
17709:
17633:is a dual system then so is
17232:{\displaystyle Y/M^{\perp }}
16840:
16367:-closed vector subspaces of
13678:continuous linear functional
13489:be a pairing over the field
11291:(see footnote for details).
11284:{\displaystyle \sigma (Y,R)}
11141:{\displaystyle R\subseteq X}
10474:{\displaystyle S\subseteq Y}
9000:
8901:
8809:
8762:
8703:
8649:
8593:
8107:Here it is assumed that the
8060:{\displaystyle \mathbb {R} }
7545:{\displaystyle X^{\prime }.}
7323:{\displaystyle X^{\prime }.}
6889:: As is common practice, if
6842:will be written rather than
5095:{\displaystyle \tau (Y,X,d)}
5054:{\displaystyle \tau (Y,X,b)}
4912:{\displaystyle \tau (X,Y,b)}
4236:Dual definitions and results
4141:{\displaystyle B\subseteq Y}
3994:{\displaystyle A\subseteq X}
3231:{\displaystyle \mathbb {K} }
2956:{\displaystyle R\subseteq X}
2818:{\displaystyle b(R,S)=\{0\}}
2739:{\displaystyle S\subseteq Y}
2713:{\displaystyle R\subseteq X}
2101:{\displaystyle b(x,y)\neq 0}
1769:{\displaystyle b(x,y)\neq 0}
1438:{\displaystyle \mathbb {K} }
606:{\displaystyle \mathbb {C} }
580:{\displaystyle \mathbb {R} }
554:{\displaystyle \mathbb {K} }
475:{\displaystyle \mathbb {K} }
334:{\displaystyle \mathbb {K} }
216:{\displaystyle \mathbb {K} }
112:{\displaystyle \mathbb {K} }
7:
39991:Radially convex/Star-shaped
39976:Pre-compact/Totally bounded
39168:Hermite–Hadamard inequality
37754:the defining condition for
37377:the defining condition for
37000:the defining condition for
36623:the defining condition for
36226:may also be used to denote
36219:{\displaystyle (Y,\sigma )}
35466:
34751:for all sufficiently large
34389:{\displaystyle X^{\prime }}
30824:compact convex convergence
30334:{\displaystyle Y_{\sigma }}
30148:{\displaystyle Y_{\Delta }}
28493:{\displaystyle X^{\prime }}
28404:{\displaystyle X^{\prime }}
27885:{\displaystyle Y^{\prime }}
26447:are canonical pairings (so
24499:{\displaystyle X^{\prime }}
24305:is complete if and only if
23974:is complete if and only if
23470:is a vector space and that
23434:{\displaystyle {}^{tt}F=F.}
23177:is weakly continuous then
21264:{\displaystyle {}^{tt}F=F.}
20816:Properties of the transpose
20449:the defining condition for
20241:This defines a linear map
20234:{\displaystyle {}^{t}F(z).}
16781:{\displaystyle X^{\prime }}
16218:-closed vector subspace of
16008:⊥ ⊥ ⊥
15359:{\displaystyle X^{\prime }}
15285:{\displaystyle X^{\prime }}
15208:{\displaystyle X^{\prime }}
14946:{\displaystyle X^{\prime }}
14435:{\displaystyle X^{\prime }}
13446:Weak representation theorem
13382:Weak representation theorem
10942:{\displaystyle X_{\sigma }}
7572:{\displaystyle X^{\prime }}
7419:{\displaystyle X^{\prime }}
6412:{\displaystyle x^{\prime }}
5862:{\displaystyle Y\neq \{0\}}
5535:
3660:{\displaystyle B^{\circ }.}
3637:and then may be denoted by
302:
10:
40377:
39677:Continuous linear operator
38780:Invariant subspace problem
38388:Schmitt, Lothar M (1992).
37785:{\displaystyle {}^{t}H(z)}
37408:{\displaystyle {}^{t}H(x)}
37031:{\displaystyle {}^{t}H(w)}
36654:{\displaystyle {}^{t}G(x)}
34800:and define a bilinear map
34204:(i.e. there exists a real
33633:-closure and that for any
32341:
29474:
29298:
26978:{\displaystyle {}^{tt}F=F}
26852:is weakly continuous then
25436:and it will be denoted by
25085:without loss of generality
24933:without loss of generality
21889:{\displaystyle S^{\circ }}
21230:is also well-defined then
20480:{\displaystyle {}^{t}F(z)}
19713:(or equivalently, the map
19349:
18906:{\displaystyle A^{\circ }}
18409:{\displaystyle A^{\circ }}
18003:is identical to the usual
16983:{\displaystyle M\times Y.}
16923:denote the restriction of
16754:{\displaystyle S^{\perp }}
16594:is a family of subsets of
10377:
7891:{\displaystyle N^{\circ }}
6556:, then the restriction of
6034:is a vector space and let
3833:{\displaystyle B^{\circ }}
3766:{\displaystyle B^{\circ }}
3689:{\displaystyle B^{\circ }}
3454:{\displaystyle B^{\circ }}
3171:
3131:{\displaystyle R^{\perp }}
15:
40361:Topological vector spaces
40315:
40060:
40022:Algebraic interior (core)
40004:
39902:
39790:
39764:Vector-valued Hahn–Banach
39725:
39659:
39652:Topological vector spaces
39602:
39581:
39573:Transpose of a linear map
39565:
39544:
39465:
39414:
39353:
39320:
39275:
39206:
39132:
39056:
38998:
38972:
38910:
38869:
38793:
38772:
38731:
38670:
38612:
38558:
38500:
38493:
38359:Topological Vector Spaces
38278:Topological Vector Spaces
38221:Schaefer & Wolff 1999
38177:Schaefer & Wolff 1999
38150:Schaefer & Wolff 1999
35560: – Mathematical term
34628:Space of finite sequences
31099:Strongest polar topology
25283:'s algebraic dual space.
24613:(that is, if and only if
24334:{\displaystyle Y=X^{\#}.}
24096:to the evaluation map at
20180:), where this element of
19352:Transpose of a linear map
19243:{\displaystyle (X,\tau )}
18514:; (b) the convex hull of
17204:is a paired space (where
15292:will necessarily contain
13867:Note that whether or not
12989:-bounded if and only if
10123:{\displaystyle X\times Y}
6624:{\displaystyle X\times N}
5727:{\displaystyle M\times N}
4513:Convention and Definition
39852:Topological homomorphism
39712:Topological vector space
39354:Applications and related
39158:Fenchel-Young inequality
38749:Spectrum of a C*-algebra
37633:distinguishes points of
37542:{\displaystyle H:Y\to W}
37256:distinguishes points of
37165:{\displaystyle H:W\to Y}
36879:distinguishes points of
36788:{\displaystyle H:X\to Z}
36502:distinguishes points of
36411:{\displaystyle G:Z\to Y}
35564:
32834:{\displaystyle (X,Y,b).}
32059:as a vector subspace of
32019:distinguishes points of
31832:is a vector topology on
31353:{\displaystyle F:X\to W}
31140:{\displaystyle F:X\to W}
31042:{\displaystyle b(X,Y,b)}
30950:{\displaystyle c(X,Y,b)}
30779:-compact convex subsets
30623:{\displaystyle s(X,Y,b)}
30452:Name ("topology of...")
29644:topological vector space
28373:{\displaystyle F:X\to Y}
28085:{\displaystyle F:X\to Y}
27703:{\displaystyle F:X\to Y}
27544:{\displaystyle F:X\to W}
27481:{\displaystyle F:X\to W}
27205:{\displaystyle F:X\to W}
27012:{\displaystyle g:A\to B}
26570:{\displaystyle F:X\to W}
26538:{\displaystyle F:X\to W}
25405:{\displaystyle F:X\to W}
25243:then it is possible for
25223:distinguishes points of
24955:is a vector subspace of
24669:distinguishes points of
24188:is a vector subspace of
23377:distinguishes points of
22934:{\displaystyle F:X\to W}
22889:distinguishes points of
22674:{\displaystyle F:X\to W}
22581:{\displaystyle F:X\to Y}
21604:{\displaystyle F:X\to W}
21358:{\displaystyle E:U\to X}
20943:{\displaystyle F:X\to W}
19776:into the algebraic dual
19693:distinguishes points of
19487:{\displaystyle F:X\to W}
18962:distinguishes points of
18886:-bounded if and only if
18234:-bounded if and only if
17822:is a paired space where
17734:is a vector subspace of
16865:is a vector subspace of
15040:means that the topology
14673:(i.e. the map that send
14176:distinguishes points of
14136:distinguishes points of
13887:distinguishes points of
13842:distinguishes points of
13220:distinguishes points of
9457:distinguishes points of
7696:Polars and duals of TVSs
7295:topological vector space
7135:distinguishes points of
7057:distinguishes points of
7010:is a vector subspace of
6876:{\displaystyle (X,N,c).}
6529:is a vector subspace of
6000:{\displaystyle (M,N,b).}
5646:is a vector subspace of
5603:is a vector subspace of
5541:Restriction of a pairing
5526:{\displaystyle (Y,X,b).}
4835:depends on the order of
4705:distinguishes points of
4625:distinguishes points of
4594:{\displaystyle (Y,X,d).}
4549:{\displaystyle (X,Y,b),}
4502:{\displaystyle (Y,X,d).}
4274:{\displaystyle (X,Y,b),}
3885:is a vector subspace of
3793:is a vector subspace of
3216:defining a pairing over
2859:{\displaystyle b(r,s)=0}
2771:{\displaystyle R\perp S}
2687:{\displaystyle b(x,y)=0}
2646:{\displaystyle x\perp y}
375:{\displaystyle (X,Y,b),}
39114:Legendre transformation
39038:Legendre transformation
38846:Noncommutative geometry
37747:{\displaystyle z\in Z,}
37725:In this case, for each
37370:{\displaystyle x\in X,}
37348:In this case, for each
36993:{\displaystyle w\in W,}
36971:In this case, for each
36616:{\displaystyle x\in X,}
36594:In this case, for each
34744:{\displaystyle r_{i}=0}
33934:{\displaystyle (X,Y,b)}
32886:{\displaystyle (X,Y,b)}
32850:Mackey–Arens theorem II
32546:{\displaystyle (X,Y,b)}
32400:{\displaystyle (X,Y,b)}
32250:{\displaystyle (X,Y,b)}
31922:{\displaystyle (X,Y,b)}
31878:topology of the pairing
31779:{\displaystyle (X,Y,b)}
31433:{\displaystyle (W,Z,c)}
31395:{\displaystyle (X,Y,b)}
31220:{\displaystyle (W,Z,c)}
31182:{\displaystyle (X,Y,b)}
29358:will be a pairing over
29351:{\displaystyle (X,Y,b)}
29136:is a normed space then
28918:is equicontinuous then
27964:are normed spaces then
27756:{\displaystyle {}^{t}F}
27510:{\displaystyle {}^{t}F}
27326:{\displaystyle {}^{t}F}
26545:be a linear map. Then
26365:{\displaystyle F^{\#}.}
25076:{\displaystyle (X,Y,b)}
24995:is the evaluation map.
24827:{\displaystyle (X,Y,b)}
23350:{\displaystyle {}^{t}F}
22754:{\displaystyle (W,Z,c)}
22716:{\displaystyle (X,Y,b)}
21304:{\displaystyle (U,V,a)}
21223:{\displaystyle {}^{t}F}
21194:{\displaystyle {}^{t}F}
20889:{\displaystyle (W,Z,c)}
20851:{\displaystyle (X,Y,b)}
20805:{\displaystyle Y\to W,}
20777:{\displaystyle W\to Y,}
20749:{\displaystyle X\to Z,}
20721:{\displaystyle Z\to Y,}
20690:{\displaystyle x\in X.}
20442:{\displaystyle z\in Z,}
20413:{\displaystyle {}^{t}F}
20379:{\displaystyle (W,Z,c)}
20341:{\displaystyle (X,Y,b)}
19668:adjoint is well-defined
19519:{\displaystyle z\in Z,}
19433:{\displaystyle (W,Z,c)}
19395:{\displaystyle (X,Y,b)}
19127:{\displaystyle (X,Y,b)}
18349:{\displaystyle (X,Y,b)}
16954:{\displaystyle (X,Y,b)}
16916:{\displaystyle (M,Y,b)}
15844:{\displaystyle (X,Y,b)}
13733:then there exists some
13482:{\displaystyle (X,Y,b)}
13190:{\displaystyle (X,Y,b)}
12805:{\displaystyle (X,N,b)}
12727:{\displaystyle (X,Y,b)}
12576:{\displaystyle b(x,y).}
12493:{\displaystyle y\in Y,}
12471:if and only if for all
11691:{\displaystyle \sigma }
11296:Definition and Notation
11215:), which is denoted by
10419:{\displaystyle (X,Y,b)}
10330:{\displaystyle x\in X,}
9984:Then the bilinear form
9909:{\displaystyle (X,Y,b)}
9437:is a pairing such that
9430:{\displaystyle (X,Y,b)}
8750:(so vector addition in
8522:{\displaystyle \cdot .}
7108:{\displaystyle (X,N,c)}
6266:bilinear functional on
5894:{\displaystyle N=\{0\}}
5830:{\displaystyle (X,Y,b)}
5701:{\displaystyle (X,Y,b)}
5576:{\displaystyle (X,Y,b)}
5485:{\displaystyle (Y,X,d)}
5447:{\displaystyle (Y,X,d)}
5409:{\displaystyle (X,Y,b)}
5198:{\displaystyle (Y,X,d)}
5126:is defined, denoted by
5013:{\displaystyle (Y,X,d)}
4828:{\displaystyle (X,Y,b)}
4795:Convention and Notation
4461:{\displaystyle (X,Y,b)}
4312:{\displaystyle (Y,X,d)}
3746:is balanced then so is
3609:may also be called the
3209:{\displaystyle (X,Y,b)}
2284:{\displaystyle (X,Y,b)}
2162:, and one can say that
1963:{\displaystyle y\in Y,}
1398:{\displaystyle (X,Y,b)}
773:{\displaystyle y\in Y,}
413:{\displaystyle b(X,Y),}
150:{\displaystyle (X,Y,b)}
39910:Absolutely convex/disk
39361:Convexity in economics
39295:(lower) ideally convex
39153:Fenchel–Moreau theorem
39143:Carathéodory's theorem
38902:Tomita–Takesaki theory
38877:Approximation property
38821:Calculus of variations
37999:
37979:
37956:
37928:
37905:
37877:
37786:
37748:
37719:
37647:
37627:
37607:
37563:
37543:
37503:
37409:
37371:
37342:
37270:
37250:
37230:
37186:
37166:
37126:
37032:
36994:
36965:
36893:
36873:
36853:
36809:
36789:
36749:
36655:
36617:
36588:
36516:
36496:
36476:
36432:
36412:
36371:
36351:
36327:
36304:
36284:
36240:
36220:
36188:
36139:
36083:
36060:
36040:
35989:
35969:
35940:
35920:
35768:
35748:
35719:
35693:
35637:
35636:{\displaystyle y\in Y}
35611:
35591:
35457:
35416:
35396:
35352:
35319:
35299:
35227:
35179:
35113:
35072:
35031:
35005:
34934:
34906:
34834:
34794:
34768:
34745:
34712:
34646:
34618:
34579:
34543:
34523:
34480:
34460:
34436:
34390:
34363:
34313:
34290:
34270:
34247:
34224:
34223:{\displaystyle r>0}
34198:
34178:
34158:
34126:
34103:
34080:
34039:
34019:
33999:
33975:
33955:
33935:
33874:
33835:
33795:
33775:
33755:
33735:
33697:
33674:
33651:
33627:
33603:
33583:
33559:
33535:
33511:
33491:
33471:
33447:
33415:
33395:
33372:
33352:
33330:
33304:
33275:
33252:
33228:
33208:
33151:
33129:
33107:
33079:
32998:
32974:
32951:
32927:
32907:
32887:
32835:
32794:
32774:
32751:
32710:
32663:
32636:
32595:
32571:
32547:
32509:
32485:
32465:
32441:
32421:
32401:
32329:
32275:
32251:
32213:
32169:
32149:
32129:
32073:
32053:
32033:
32013:
31993:
31923:
31870:
31846:
31826:
31802:
31780:
31734:
31681:
31625:
31578:) if it is bounded in
31560:
31532:
31434:
31396:
31354:
31319:
31221:
31183:
31141:
31084:
31043:
31000:
30951:
30908:
30865:
30816:
30773:
30722:
30676:
30624:
30583:
30540:
30516:
30474:
30439:
30396:
30355:
30335:
30308:
30267:
30216:
30190:
30149:
30122:
30081:
30030:
30010:
29990:
29935:
29903:
29873:
29833:
29804:
29776:
29752:
29728:
29660:
29636:
29614:
29589:
29569:
29545:
29519:
29499:
29462:
29439:
29398:
29374:
29352:
29284:
29264:
29242:
29170:
29150:
29130:
29107:
29034:
29007:
28935:
28912:
28888:
28866:
28794:
28774:
28705:
28685:
28662:
28636:
28603:
28553:
28530:
28494:
28463:
28435:
28405:
28374:
28342:
28320:
28290:
28222:
28106:
28086:
28054:
28032:
27978:
27958:
27938:
27916:
27886:
27855:
27803:
27780:
27757:
27728:
27704:
27675:is weakly continuous.
27669:
27640:
27545:
27511:
27482:
27444:
27382:
27362:
27327:
27295:
27206:
27174:
27142:
27108:
27085:
27055:
27013:
26979:
26941:
26846:
26822:
26790:
26754:
26704:
26660:
26571:
26539:
26507:
26474:
26441:
26409:
26366:
26336:
26305:
26291:then the transpose of
26285:
26235:
26211:
26191:
26142:
26053:
26033:
25968:
25945:
25902:
25799:
25679:
25634:
25571:
25534:In this case, for all
25528:
25457:
25456:{\displaystyle F^{\#}}
25430:
25406:
25374:
25328:
25277:
25257:
25237:
25217:
25194:
25164:
25144:
25124:
25101:
25077:
25039:
24989:
24975:'s algebraic dual and
24969:
24949:
24925:
24860:
24828:
24790:
24766:
24746:
24703:
24683:
24663:
24631:
24607:
24563:
24527:
24500:
24466:
24446:
24399:
24398:{\displaystyle X^{\#}}
24372:
24335:
24299:
24252:
24229:
24209:
24208:{\displaystyle X^{\#}}
24182:
24159:
24110:
24090:
24089:{\displaystyle z\in Z}
24064:
24016:
23968:
23906:
23872:
23852:
23783:
23750:
23708:
23684:
23623:
23577:
23557:
23537:
23491:
23490:{\displaystyle X^{\#}}
23464:
23435:
23394:
23371:
23351:
23319:
23215:
23171:
23147:
23124:
23053:
22958:
22935:
22903:
22883:
22850:
22755:
22717:
22675:
22636:
22582:
22550:
22530:
22496:
22428:
22393:
22333:
22307:
22278:
22233:
22170:
22141:
22081:
22052:
22014:
21917:
21890:
21863:
21835:
21753:
21691:
21646:
21605:
21571:
21497:
21441:
21400:
21359:
21327:
21305:
21265:
21224:
21195:
21164:
21100:
21080:
21029:
20985:
20944:
20912:
20890:
20852:
20806:
20778:
20750:
20722:
20691:
20662:
20575:
20481:
20443:
20414:
20380:
20342:
20304:
20276:
20235:
20194:
20174:
20105:
20104:{\displaystyle y\in Y}
20079:
20078:{\displaystyle z\in Z}
20059:In this case, for any
20049:
19971:
19875:
19797:
19796:{\displaystyle X^{\#}}
19770:
19750:
19707:
19687:
19653:
19633:
19586:be the map defined by
19580:
19520:
19488:
19456:
19434:
19396:
19332:
19309:
19264:
19244:
19208:
19188:
19168:
19148:
19128:
19082:
19037:
18996:
18976:
18956:
18934:
18907:
18880:
18839:
18809:
18786:
18745:
18712:
18681:
18654:
18613:
18593:
18552:
18528:
18508:
18486:
18436:is a closed subset of
18430:
18410:
18379:
18350:
18307:
18284:
18261:
18228:
18182:
18162:
18132:
18112:
18085:
18054:
17997:
17941:
17879:
17816:
17751:
17728:
17701:
17627:
17574:
17518:
17494:
17418:
17345:
17276:
17233:
17198:
17125:
17069:
17045:
17025:
16984:
16955:
16917:
16879:
16859:
16832:
16809:
16782:
16755:
16728:
16705:
16608:
16588:
16538:
16381:
16361:
16320:
16268:
16232:
16212:
16171:
16148:
16057:
16016:
15885:
15865:
15845:
15799:
15779:
15759:
15681:and it will be called
15675:
15616:
15588:
15510:
15490:
15392:
15360:
15333:
15286:
15259:
15209:
15182:
15159:
15112:
15034:
14993:being identified with
14987:
14967:
14947:
14920:
14871:
14743:
14707:
14667:
14647:
14627:
14607:
14538:
14518:
14456:
14436:
14409:
14387:
14256:
14193:
14170:
14150:
14130:
14108:
14019:
13981:
13924:
13901:
13881:
13859:
13836:
13816:
13796:
13753:
13752:{\displaystyle y\in Y}
13727:
13670:
13646:
13565:
13508:
13483:
13436:
13367:
13324:
13304:
13280:
13234:
13214:
13191:
13146:
13059:
12983:
12942:
12922:
12895:
12847:
12806:
12768:
12748:
12728:
12687:
12630:
12577:
12539:
12494:
12465:
12445:
12405:
12357:
12301:
12281:
12233:
12211:
12170:
12122:
12095:
12047:
12046:{\displaystyle x\in X}
12021:
11998:
11978:
11908:
11863:
11818:
11765:
11745:
11692:
11672:
11652:
11599:
11579:
11559:
11539:
11498:
11478:
11415:
11374:
11333:
11285:
11250:
11209:
11188:
11168:
11142:
11114:
11079:
11059:
11040:the usual topology on
11034:
11007:
10963:
10943:
10916:
10872:
10821:
10801:
10777:
10754:
10734:
10711:
10691:
10640:
10602:
10561:
10538:
10517:
10497:
10475:
10449:
10420:
10363:
10331:
10302:
10277:
10226:
10190:
10164:
10124:
10098:
9978:
9953:
9933:
9910:
9872:
9813:
9763:
9743:
9702:
9658:
9621:
9517:
9494:
9474:
9451:
9431:
9393:
9232:
9116:
9079:
9038:forms a dual pairing.
9032:
8971:
8918:
8868:
8848:
8818:
8791:
8771:
8744:
8712:
8685:
8658:
8631:
8608:
8523:
8500:
8448:
8398:
8378:
8346:
8292:
8245:
8188:
8136:
8101:
8081:
8061:
8039:
8019:
7963:
7962:{\displaystyle X^{\#}}
7936:
7912:
7892:
7865:
7845:
7799:
7779:
7755:
7754:{\displaystyle X^{\#}}
7728:
7686:
7640:
7613:
7593:
7573:
7546:
7516:
7496:
7420:
7393:
7373:
7324:
7287:
7259:
7233:
7232:{\displaystyle n\in N}
7207:
7206:{\displaystyle n(x)=0}
7172:
7152:
7129:
7109:
7071:
7051:
7031:
7030:{\displaystyle X^{\#}}
7004:
6981:
6946:
6923:
6909:is a vector space and
6903:
6877:
6836:
6804:
6784:
6716:
6693:
6673:
6653:
6625:
6599:
6550:
6549:{\displaystyle X^{\#}}
6523:
6501:
6413:
6386:
6339:
6296:
6248:
6148:
6099:
6079:
6055:
6054:{\displaystyle X^{\#}}
6028:
6001:
5960:
5895:
5863:
5831:
5793:
5728:
5702:
5660:
5640:
5620:
5597:
5577:
5527:
5486:
5448:
5410:
5369:
5337:
5301:
5260:
5219:
5199:
5161:
5120:
5096:
5055:
5014:
4976:
4953:
4933:
4913:
4869:
4849:
4829:
4785:
4759:
4739:
4719:
4699:
4679:
4659:
4639:
4619:
4595:
4550:
4503:
4462:
4421:
4420:{\displaystyle y\in Y}
4395:
4394:{\displaystyle x\in X}
4369:
4313:
4275:
4227:
4162:
4142:
4116:
4069:
4049:
4019:
3995:
3969:
3942:
3902:
3879:
3857:
3834:
3807:
3787:
3767:
3740:
3720:
3719:{\displaystyle 0\in Y}
3690:
3661:
3631:
3603:
3583:
3560:
3455:
3428:
3408:
3385:
3280:
3260:
3232:
3210:
3158:
3132:
3105:
3085:
3065:
2957:
2912:
2911:{\displaystyle s\in S}
2886:
2885:{\displaystyle r\in R}
2860:
2819:
2772:
2740:
2714:
2688:
2647:
2617:
2597:
2569:
2549:
2529:
2509:
2489:
2469:
2449:
2423:
2367:
2366:{\displaystyle x\in X}
2333:
2313:
2285:
2243:
2217:
2197:
2176:
2152:
2128:
2127:{\displaystyle y\in Y}
2102:
2061:
2060:{\displaystyle x\in X}
2041:(i.e. there exists an
2035:
2015:
1964:
1935:
1909:
1866:
1865:{\displaystyle y\in Y}
1840:
1818:
1796:
1795:{\displaystyle x\in X}
1770:
1729:
1728:{\displaystyle y\in Y}
1703:
1683:
1632:
1631:{\displaystyle x\in X}
1606:
1580:
1537:
1536:{\displaystyle x\in X}
1511:
1489:
1462:
1439:
1399:
1349:
1317:
1267:
1231:
1230:{\displaystyle b(x,y)}
1196:
1163:form vector spaces of
1157:
1008:
984:
947:
923:
886:
774:
745:
636:
635:{\displaystyle x\in X}
607:
581:
555:
519:
476:
454:
434:
414:
376:
335:
263:
217:
195:
175:
151:
113:
39945:Complemented subspace
39759:hyperplane separation
39283:Convex series related
39183:Shapley–Folkman lemma
38897:Banach–Mazur distance
38860:Generalized functions
38000:
37980:
37957:
37929:
37906:
37878:
37787:
37749:
37720:
37648:
37628:
37608:
37564:
37549:is a linear map then
37544:
37504:
37410:
37372:
37343:
37271:
37251:
37231:
37187:
37172:is a linear map then
37167:
37127:
37033:
36995:
36966:
36894:
36874:
36854:
36810:
36795:is a linear map then
36790:
36750:
36656:
36618:
36589:
36517:
36497:
36477:
36433:
36418:is a linear map then
36413:
36372:
36352:
36328:
36305:
36285:
36241:
36221:
36189:
36140:
36089:The dual notation of
36084:
36061:
36041:
35990:
35970:
35955:The weak topology on
35941:
35921:
35769:
35749:
35720:
35694:
35638:
35612:
35592:
35494:Duality (mathematics)
35458:
35417:
35402:-bounded) subsets of
35397:
35353:
35320:
35300:
35228:
35180:
35114:
35073:
35032:
35006:
34935:
34886:
34835:
34795:
34769:
34746:
34713:
34647:
34619:
34580:
34544:
34524:
34481:
34461:
34437:
34391:
34364:
34314:
34291:
34271:
34248:
34225:
34199:
34179:
34159:
34127:
34104:
34081:
34040:
34020:
34000:
33976:
33956:
33936:
33875:
33836:
33796:
33776:
33756:
33736:
33698:
33675:
33652:
33628:
33604:
33584:
33560:
33536:
33512:
33492:
33472:
33448:
33416:
33396:
33373:
33353:
33331:
33305:
33276:
33253:
33229:
33209:
33161:is a set of the form
33152:
33130:
33108:
33080:
32999:
32975:
32952:
32928:
32908:
32888:
32836:
32795:
32775:
32752:
32711:
32664:
32637:
32596:
32572:
32548:
32510:
32486:
32466:
32442:
32422:
32402:
32330:
32276:
32252:
32214:
32170:
32150:
32130:
32074:
32054:
32034:
32014:
31994:
31924:
31871:
31847:
31827:
31803:
31781:
31735:
31682:
31626:
31561:
31533:
31435:
31397:
31355:
31320:
31222:
31184:
31142:
31085:
31044:
31001:
30952:
30909:
30866:
30817:
30774:
30723:
30677:
30625:
30584:
30541:
30526:of finite subsets of
30517:
30475:
30440:
30397:
30356:
30336:
30309:
30268:
30217:
30191:
30150:
30123:
30082:
30031:
30011:
29991:
29936:
29904:
29874:
29834:
29805:
29777:
29758:is endowed with this
29753:
29729:
29661:
29637:
29615:
29590:
29570:
29546:
29520:
29500:
29463:
29440:
29399:
29375:
29353:
29285:
29265:
29243:
29171:
29151:
29131:
29108:
29035:
29008:
28936:
28913:
28889:
28867:
28795:
28775:
28706:
28686:
28663:
28637:
28604:
28554:
28531:
28495:
28464:
28436:
28406:
28382:topological embedding
28375:
28343:
28321:
28291:
28223:
28107:
28087:
28055:
28033:
27979:
27959:
27939:
27917:
27887:
27856:
27804:
27781:
27758:
27729:
27705:
27670:
27641:
27546:
27512:
27483:
27445:
27383:
27363:
27328:
27296:
27207:
27180:are dual systems and
27175:
27143:
27109:
27086:
27056:
27014:
26980:
26942:
26847:
26823:
26791:
26755:
26705:
26661:
26572:
26540:
26508:
26475:
26442:
26410:
26367:
26337:
26306:
26286:
26236:
26212:
26192:
26143:
26054:
26034:
25969:
25946:
25903:
25800:
25680:
25635:
25572:
25529:
25458:
25431:
25407:
25375:
25329:
25278:
25258:
25238:
25218:
25195:
25165:
25145:
25125:
25102:
25078:
25040:
24990:
24970:
24950:
24926:
24861:
24829:
24791:
24767:
24747:
24704:
24684:
24664:
24632:
24617:linear functional on
24608:
24564:
24528:
24501:
24478:continuous dual space
24467:
24447:
24400:
24373:
24336:
24300:
24253:
24230:
24210:
24183:
24160:
24111:
24091:
24065:
24017:
23969:
23907:
23873:
23853:
23784:
23751:
23709:
23685:
23624:
23578:
23558:
23538:
23492:
23465:
23436:
23395:
23372:
23352:
23320:
23216:
23172:
23148:
23125:
23054:
22959:
22936:
22904:
22884:
22851:
22756:
22718:
22676:
22637:
22583:
22551:
22531:
22497:
22429:
22394:
22334:
22308:
22279:
22234:
22171:
22142:
22082:
22053:
22015:
21918:
21891:
21864:
21836:
21759:is well-defined, and
21754:
21692:
21647:
21606:
21572:
21498:
21442:
21401:
21360:
21328:
21306:
21266:
21225:
21196:
21165:
21101:
21081:
21030:
20986:
20945:
20913:
20891:
20853:
20812:etc. (see footnote).
20807:
20779:
20751:
20723:
20692:
20663:
20576:
20482:
20444:
20415:
20381:
20343:
20305:
20277:
20236:
20195:
20175:
20106:
20080:
20050:
19972:
19876:
19798:
19771:
19751:
19708:
19688:
19654:
19634:
19581:
19521:
19489:
19457:
19435:
19397:
19333:
19310:
19265:
19245:
19209:
19189:
19169:
19149:
19147:{\displaystyle \tau }
19129:
19083:
19047:if and only if it is
19038:
18997:
18977:
18957:
18935:
18908:
18881:
18840:
18810:
18787:
18746:
18713:
18682:
18655:
18614:
18594:
18553:
18529:
18509:
18487:
18431:
18411:
18380:
18351:
18308:
18285:
18262:
18229:
18183:
18163:
18133:
18113:
18086:
18055:
17998:
17942:
17880:
17817:
17752:
17729:
17702:
17628:
17575:
17519:
17495:
17419:
17346:
17277:
17234:
17199:
17126:
17070:
17046:
17026:
16985:
16956:
16918:
16880:
16860:
16833:
16810:
16783:
16756:
16729:
16706:
16609:
16589:
16539:
16382:
16362:
16321:
16269:
16233:
16213:
16172:
16149:
16058:
16017:
15886:
15866:
15846:
15800:
15780:
15760:
15676:
15617:
15589:
15511:
15491:
15393:
15361:
15334:
15287:
15260:
15210:
15183:
15160:
15113:
15035:
14988:
14968:
14948:
14921:
14872:
14744:
14708:
14668:
14648:
14628:
14608:
14539:
14519:
14457:
14437:
14410:
14388:
14257:
14207:continuous dual space
14194:
14171:
14151:
14131:
14109:
14020:
13982:
13925:
13902:
13882:
13860:
13837:
13817:
13797:
13754:
13728:
13671:
13647:
13566:
13516:continuous dual space
13509:
13484:
13437:
13368:
13325:
13305:
13281:
13235:
13215:
13192:
13147:
13060:
12984:
12943:
12923:
12896:
12848:
12812:is a dual pair, then
12807:
12769:
12749:
12729:
12688:
12631:
12578:
12540:
12495:
12466:
12446:
12406:
12358:
12302:
12282:
12234:
12212:
12171:
12123:
12096:
12048:
12022:
11999:
11979:
11909:
11864:
11819:
11766:
11746:
11693:
11673:
11653:
11600:
11580:
11560:
11545:topology. Mention of
11540:
11499:
11479:
11416:
11375:
11334:
11286:
11251:
11210:
11189:
11169:
11143:
11115:
11080:
11060:
11035:
11008:
10964:
10944:
10917:
10873:
10822:
10802:
10778:
10755:
10735:
10712:
10692:
10641:
10603:
10562:
10539:
10518:
10498:
10476:
10450:
10421:
10364:
10332:
10303:
10257:
10227:
10191:
10165:
10125:
10099:
9979:
9954:
9934:
9911:
9873:
9814:
9764:
9744:
9703:
9659:
9622:
9518:
9495:
9475:
9452:
9432:
9394:
9233:
9117:
9080:
9033:
8972:
8919:
8869:
8849:
8819:
8792:
8772:
8745:
8743:{\displaystyle (H,+)}
8713:
8686:
8659:
8632:
8609:
8524:
8501:
8458:rather than bilinear.
8449:
8399:
8379:
8347:
8293:
8246:
8189:
8144:conjugate homogeneous
8137:
8102:
8082:
8062:
8045:is vector space over
8040:
8020:
7964:
7937:
7913:
7893:
7866:
7846:
7800:
7780:
7756:
7729:
7687:
7641:
7614:
7594:
7574:
7547:
7517:
7497:
7421:
7394:
7374:
7325:
7299:continuous dual space
7288:
7260:
7234:
7208:
7173:
7153:
7130:
7110:
7072:
7052:
7032:
7005:
6982:
6947:
6924:
6904:
6878:
6837:
6805:
6785:
6717:
6694:
6674:
6654:
6626:
6600:
6551:
6524:
6502:
6414:
6387:
6340:
6297:
6249:
6149:
6100:
6080:
6056:
6029:
6002:
5961:
5896:
5864:
5832:
5794:
5729:
5703:
5661:
5641:
5621:
5598:
5578:
5528:
5487:
5454:and also of denoting
5449:
5416:interchangeably with
5411:
5370:
5368:{\displaystyle (Y,X)}
5338:
5336:{\displaystyle (X,Y)}
5302:
5261:
5220:
5200:
5162:
5121:
5097:
5056:
5015:
4977:
4954:
4934:
4914:
4870:
4850:
4830:
4786:
4760:
4745:is a total subset of
4740:
4720:
4700:
4680:
4665:is a total subset of
4660:
4640:
4620:
4596:
4551:
4504:
4463:
4422:
4396:
4370:
4314:
4281:define a new pairing
4276:
4228:
4163:
4143:
4117:
4070:
4050:
4020:
3996:
3970:
3943:
3903:
3880:
3858:
3840:a vector subspace of
3835:
3808:
3788:
3768:
3741:
3721:
3691:
3662:
3632:
3604:
3584:
3561:
3456:
3429:
3409:
3386:
3281:
3261:
3233:
3211:
3159:
3157:{\displaystyle \{0\}}
3133:
3106:
3091:is a total subset of
3086:
3066:
2958:
2928:orthogonal complement
2913:
2887:
2861:
2820:
2773:
2741:
2715:
2689:
2648:
2618:
2598:
2570:
2550:
2535:is a total subset of
2530:
2510:
2490:
2470:
2450:
2424:
2368:
2334:
2314:
2286:
2244:
2218:
2198:
2177:
2153:
2129:
2103:
2062:
2036:
2016:
1965:
1936:
1910:
1867:
1841:
1819:
1797:
1771:
1730:
1709:(i.e. there exists a
1704:
1684:
1633:
1607:
1581:
1538:
1512:
1490:
1463:
1440:
1400:
1350:
1318:
1268:
1232:
1197:
1158:
1009:
985:
948:
924:
887:
775:
746:
637:
608:
582:
556:
520:
477:
455:
435:
415:
377:
336:
264:
218:
196:
176:
152:
114:
40195:Locally convex space
39745:Closed graph theorem
39697:Locally convex space
39173:Krein–Milman theorem
38966:variational analysis
38642:Kakutani fixed-point
38627:Riesz representation
37989:
37969:
37946:
37915:
37895:
37796:
37758:
37729:
37657:
37637:
37617:
37573:
37553:
37521:
37419:
37381:
37352:
37280:
37260:
37240:
37196:
37176:
37144:
37042:
37004:
36975:
36903:
36883:
36863:
36819:
36799:
36767:
36665:
36627:
36598:
36526:
36506:
36486:
36442:
36422:
36390:
36361:
36341:
36314:
36294:
36250:
36230:
36198:
36148:
36093:
36070:
36050:
35999:
35979:
35959:
35930:
35778:
35758:
35738:
35703:
35647:
35621:
35617:is total if for all
35601:
35581:
35509:L-semi-inner product
35426:
35406:
35365:
35329:
35309:
35237:
35189:
35123:
35082:
35041:
35015:
34944:
34844:
34804:
34778:
34755:
34722:
34656:
34636:
34589:
34553:
34533:
34490:
34470:
34446:
34400:
34373:
34337:
34300:
34280:
34260:
34234:
34208:
34188:
34168:
34148:
34116:
34090:
34049:
34029:
34009:
33985:
33965:
33945:
33907:
33845:
33809:
33785:
33765:
33745:
33706:
33684:
33664:
33637:
33613:
33593:
33569:
33545:
33521:
33501:
33481:
33457:
33433:
33405:
33382:
33362:
33340:
33318:
33294:
33262:
33242:
33234:and some continuous
33218:
33165:
33139:
33117:
33097:
33008:
32984:
32961:
32937:
32917:
32897:
32859:
32804:
32784:
32761:
32720:
32676:
32650:
32605:
32581:
32557:
32519:
32495:
32475:
32451:
32431:
32411:
32373:
32362:Mackey–Arens theorem
32344:Mackey–Arens theorem
32338:Mackey–Arens theorem
32293:
32265:
32223:
32182:
32159:
32139:
32083:
32063:
32043:
32039:then by identifying
32023:
32003:
31937:
31895:
31856:
31836:
31812:
31790:
31752:
31691:
31635:
31582:
31550:
31444:
31406:
31368:
31332:
31231:
31193:
31155:
31119:
31092:bounded convergence
31053:
31012:
30969:
30959:compact convergence
30920:
30877:
30834:
30785:
30742:
30691:
30645:
30593:
30552:
30530:
30485:
30464:
30412:
30365:
30345:
30318:
30276:
30226:
30200:
30159:
30132:
30090:
30040:
30020:
30000:
29959:
29913:
29883:
29847:
29819:
29790:
29762:
29742:
29670:
29650:
29626:
29600:
29579:
29555:
29535:
29509:
29485:
29449:
29445:-bounded subsets of
29408:
29384:
29362:
29324:
29274:
29254:
29180:
29160:
29140:
29120:
29048:
29024:
28945:
28922:
28902:
28878:
28804:
28784:
28715:
28695:
28672:
28646:
28613:
28567:
28543:
28504:
28477:
28453:
28415:
28388:
28352:
28332:
28300:
28232:
28116:
28096:
28064:
28044:
27988:
27968:
27948:
27928:
27896:
27869:
27813:
27793:
27770:
27738:
27718:
27682:
27659:
27555:
27523:
27492:
27460:
27394:
27372:
27337:
27308:
27219:
27184:
27152:
27120:
27095:
27069:
27027:
26991:
26951:
26856:
26836:
26800:
26764:
26720:
26672:
26584:
26549:
26517:
26484:
26451:
26419:
26383:
26346:
26315:
26295:
26245:
26221:
26201:
26151:
26066:
26043:
25977:
25955:
25914:
25809:
25689:
25644:
25580:
25538:
25467:
25440:
25420:
25384:
25338:
25295:
25267:
25247:
25227:
25207:
25174:
25154:
25134:
25111:
25091:
25049:
25006:
24979:
24959:
24939:
24870:
24838:
24800:
24780:
24774:algebraic dual space
24756:
24713:
24693:
24673:
24653:
24621:
24577:
24541:
24533:is endowed with the
24517:
24483:
24456:
24409:
24382:
24349:
24309:
24262:
24239:
24235:separates points of
24219:
24192:
24172:
24120:
24100:
24074:
24026:
23978:
23916:
23886:
23862:
23793:
23773:
23719:
23698:
23641:
23587:
23567:
23547:
23501:
23474:
23454:
23404:
23381:
23361:
23332:
23225:
23184:
23161:
23137:
23065:
22968:
22948:
22913:
22893:
22873:
22765:
22727:
22689:
22653:
22592:
22560:
22540:
22520:
22440:
22403:
22343:
22317:
22291:
22243:
22180:
22154:
22091:
22062:
22027:
21929:
21904:
21873:
21847:
21763:
21701:
21656:
21615:
21583:
21507:
21503:is well-defined and
21451:
21410:
21369:
21337:
21315:
21277:
21234:
21205:
21176:
21110:
21090:
21043:
20998:
20954:
20922:
20900:
20862:
20824:
20787:
20759:
20731:
20703:
20672:
20585:
20491:
20453:
20424:
20395:
20352:
20314:
20294:
20245:
20204:
20184:
20115:
20089:
20063:
19981:
19885:
19813:
19780:
19760:
19717:
19697:
19677:
19643:
19590:
19530:
19501:
19466:
19444:
19406:
19368:
19319:
19278:
19254:
19222:
19198:
19178:
19158:
19138:
19100:
19051:
19006:
18986:
18966:
18946:
18921:
18890:
18849:
18829:
18796:
18755:
18722:
18699:
18668:
18662:convex balanced hull
18623:
18603:
18562:
18542:
18518:
18498:
18440:
18420:
18393:
18360:
18322:
18294:
18274:
18238:
18192:
18172:
18142:
18122:
18102:
18084:{\displaystyle X/M.}
18064:
18011:
17953:
17889:
17826:
17761:
17738:
17718:
17637:
17584:
17528:
17508:
17430:
17355:
17286:
17243:
17208:
17137:
17079:
17059:
17051:is identical to the
17035:
16994:
16965:
16927:
16889:
16869:
16849:
16819:
16792:
16765:
16738:
16718:
16618:
16598:
16550:
16391:
16371:
16330:
16282:
16242:
16222:
16181:
16161:
16069:
16026:
15898:
15875:
15855:
15817:
15789:
15769:
15691:
15632:
15606:
15520:
15500:
15402:
15370:
15343:
15296:
15269:
15223:
15192:
15169:
15122:
15044:
14997:
14977:
14957:
14930:
14884:
14879:strong dual topology
14753:
14717:
14677:
14657:
14637:
14617:
14548:
14528:
14466:
14446:
14442:separates points on
14419:
14399:
14266:
14213:
14180:
14160:
14140:
14120:
14029:
13991:
13938:
13911:
13891:
13871:
13846:
13826:
13806:
13763:
13737:
13684:
13660:
13575:
13522:
13493:
13455:
13390:
13336:
13314:
13294:
13247:
13224:
13204:
13163:
13069:
12993:
12952:
12932:
12912:
12861:
12816:
12778:
12758:
12738:
12700:
12644:
12587:
12549:
12503:
12475:
12455:
12414:
12367:
12311:
12291:
12243:
12223:
12180:
12132:
12109:
12057:
12031:
12008:
11988:
11918:
11877:
11832:
11775:
11755:
11702:
11682:
11662:
11609:
11589:
11569:
11549:
11508:
11488:
11425:
11384:
11343:
11302:
11260:
11219:
11199:
11178:
11158:
11126:
11101:
11095:algebraic structures
11069:
11044:
11021:
10973:
10953:
10926:
10881:
10831:
10811:
10791:
10764:
10744:
10721:
10701:
10650:
10612:
10571:
10548:
10528:
10507:
10487:
10459:
10434:
10392:
10369:forms a dual system.
10340:
10312:
10236:
10203:
10180:
10134:
10108:
9988:
9963:
9943:
9923:
9882:
9823:
9773:
9753:
9711:
9667:
9633:
9527:
9504:
9484:
9461:
9441:
9403:
9242:
9126:
9088:
9051:
8981:
8928:
8881:
8858:
8828:
8801:
8781:
8754:
8722:
8695:
8672:
8641:
8618:
8533:
8510:
8466:
8408:
8404:is non-trivial then
8388:
8356:
8306:
8258:
8251:forms a dual system.
8205:
8154:
8114:
8091:
8071:
8049:
8029:
7985:
7946:
7922:
7902:
7875:
7871:is the union of all
7855:
7809:
7789:
7765:
7738:
7718:
7650:
7630:
7603:
7583:
7579:separates points of
7556:
7526:
7522:separates points of
7506:
7430:
7403:
7383:
7334:
7304:
7277:
7243:
7217:
7182:
7162:
7139:
7119:
7081:
7061:
7041:
7014:
6994:
6956:
6933:
6913:
6893:
6846:
6814:
6794:
6729:
6703:
6699:separates points of
6683:
6663:
6643:
6609:
6560:
6533:
6513:
6423:
6396:
6348:
6306:
6270:
6254:which is called the
6158:
6109:
6089:
6069:
6063:algebraic dual space
6038:
6018:
5970:
5908:
5873:
5841:
5803:
5738:
5712:
5674:
5650:
5630:
5607:
5587:
5549:
5496:
5458:
5420:
5382:
5347:
5315:
5270:
5229:
5209:
5171:
5130:
5110:
5065:
5024:
4986:
4963:
4943:
4923:
4882:
4859:
4839:
4801:
4772:
4749:
4729:
4709:
4689:
4669:
4649:
4629:
4609:
4564:
4519:
4472:
4434:
4405:
4379:
4323:
4285:
4244:
4172:
4152:
4148:then the bipolar of
4126:
4079:
4059:
4029:
4009:
3979:
3956:
3912:
3889:
3869:
3844:
3817:
3797:
3777:
3750:
3730:
3704:
3673:
3641:
3621:
3593:
3573:
3465:
3438:
3418:
3398:
3290:
3270:
3250:
3220:
3182:
3142:
3115:
3095:
3075:
2967:
2941:
2896:
2870:
2829:
2782:
2756:
2724:
2698:
2657:
2631:
2607:
2587:
2559:
2555:, and similarly for
2539:
2519:
2499:
2495:separates points of
2479:
2459:
2448:{\displaystyle x=0.}
2433:
2377:
2351:
2323:
2303:
2257:
2233:
2207:
2187:
2166:
2142:
2112:
2071:
2045:
2025:
1974:
1945:
1919:
1876:
1850:
1830:
1808:
1780:
1739:
1713:
1693:
1642:
1616:
1590:
1547:
1521:
1501:
1479:
1452:
1427:
1371:
1327:
1277:
1241:
1206:
1174:
1018:
998:
957:
937:
896:
784:
755:
646:
620:
595:
569:
543:
489:
464:
444:
424:
386:
345:
323:
233:
205:
185:
165:
123:
101:
40346:Functional analysis
40175:Interpolation space
39707:Operator topologies
39610:Biorthogonal system
39442:Operator topologies
39163:Jensen's inequality
39033:Lagrange multiplier
39023:Convex optimization
39018:Convex metric space
38826:Functional calculus
38785:Mahler's conjecture
38764:Von Neumann algebra
38478:Functional analysis
38355:Schaefer, Helmut H.
38324:Functional Analysis
38262:, pp. 371–372.
38235:, pp. 368–377.
38223:, pp. 128–130.
38208:, pp. 251–253.
38196:, pp. 260–264.
38179:, pp. 123–128.
38152:, pp. 122–128.
38129:, pp. 225–273.
35718:{\displaystyle y=0}
35677: for all
35533:Reductive dual pair
35478:Biorthogonal system
35288:
35174:
35011:Moreover, a subset
34793:{\displaystyle Y=X}
34707:
34466:is any topology on
34331: —
34253:contains that set).
34086:-bounded subset of
33901: —
33288: —
32853: —
32367: —
31362:strongly continuous
30636:weak/weak* topology
29481:Given a collection
28060:is continuous then
27301:is relatively open.
26129:
26105:
25883: for all
25777: for all
24558:
24472:is complete in the
24070:defined by sending
23543:-bounded subset of
22867: —
20200:will be denoted by
19315:-bounded subset of
16697:
16520:
15749:
15721:
15654:
15578:
15550:
15463:
15424:
15387:
15318:
15144:
15102:
15074:
15019:
14847:
14086: for all
13449: —
13040: for all
12682:
12625:
11647:
7712: —
7258:{\displaystyle x=0}
7178:is total (that is,
7158:or equivalently if
2407: for all
2021:is not identically
1934:{\displaystyle y=0}
1689:is not identically
1605:{\displaystyle x=0}
284:functional analysis
18:Reductive dual pair
40356:Linear functionals
40205:(Pseudo)Metrizable
40037:Minkowski addition
39889:Sublinear function
39291:(cs, bcs)-complete
39262:Algebraic interior
38980:Convex combination
38851:Riemann hypothesis
38550:Topological vector
38394:Houston J. Of Math
37995:
37985:if every point of
37975:
37952:
37927:{\displaystyle X.}
37924:
37901:
37873:
37782:
37744:
37715:
37643:
37623:
37603:
37559:
37539:
37499:
37405:
37367:
37338:
37266:
37246:
37226:
37182:
37162:
37122:
37028:
36990:
36961:
36889:
36869:
36849:
36805:
36785:
36745:
36651:
36613:
36584:
36512:
36492:
36472:
36428:
36408:
36367:
36347:
36326:{\displaystyle X,}
36323:
36300:
36280:
36236:
36216:
36184:
36135:
36082:{\displaystyle R.}
36079:
36056:
36036:
35985:
35965:
35936:
35916:
35774:is a scalar. Then
35764:
35744:
35715:
35689:
35633:
35607:
35587:
35453:
35412:
35392:
35348:
35315:
35295:
35253:
35223:
35175:
35139:
35109:
35068:
35027:
35001:
34930:
34830:
34790:
34767:{\displaystyle i.}
34764:
34741:
34708:
34672:
34642:
34614:
34575:
34539:
34519:
34476:
34456:
34432:
34386:
34359:
34329:
34312:{\displaystyle X.}
34309:
34286:
34266:
34246:{\displaystyle rB}
34243:
34220:
34194:
34174:
34154:
34122:
34102:{\displaystyle Y.}
34099:
34076:
34035:
34015:
33995:
33971:
33951:
33931:
33899:
33870:
33831:
33791:
33771:
33751:
33741:In particular, if
33731:
33696:{\displaystyle X,}
33693:
33670:
33647:
33623:
33599:
33579:
33555:
33531:
33507:
33487:
33467:
33443:
33411:
33394:{\displaystyle X,}
33391:
33368:
33348:
33326:
33300:
33286:
33274:{\displaystyle X.}
33271:
33248:
33238:linear functional
33224:
33204:
33147:
33125:
33103:
33075:
32994:
32973:{\displaystyle X.}
32970:
32947:
32923:
32903:
32883:
32851:
32831:
32790:
32773:{\displaystyle Y,}
32770:
32757:-compact disks in
32747:
32706:
32662:{\displaystyle Y.}
32659:
32632:
32591:
32567:
32543:
32505:
32481:
32461:
32437:
32417:
32397:
32365:
32325:
32271:
32247:
32209:
32178:The weak topology
32165:
32145:
32125:
32069:
32049:
32029:
32009:
31989:
31919:
31866:
31842:
31822:
31798:
31786:is a pairing over
31776:
31730:
31677:
31631:(resp. bounded in
31621:
31556:
31528:
31430:
31392:
31350:
31315:
31217:
31179:
31137:
31080:
31039:
30996:
30947:
30914:-compact subsets)
30904:
30861:
30812:
30769:
30718:
30672:
30620:
30579:
30536:
30512:
30470:
30460:finite subsets of
30435:
30392:
30351:
30331:
30304:
30263:
30212:
30186:
30145:
30118:
30077:
30026:
30006:
29986:
29943:neighborhood basis
29931:
29899:
29879:there exists some
29869:
29829:
29800:
29772:
29748:
29724:
29656:
29646:(TVS) topology on
29632:
29610:
29585:
29565:
29541:
29515:
29495:
29461:{\displaystyle X.}
29458:
29435:
29394:
29370:
29348:
29280:
29260:
29238:
29166:
29146:
29126:
29103:
29030:
29003:
28934:{\displaystyle K,}
28931:
28908:
28884:
28862:
28790:
28770:
28701:
28684:{\displaystyle X,}
28681:
28658:
28632:
28599:
28549:
28526:
28490:
28459:
28431:
28401:
28370:
28338:
28316:
28286:
28218:
28102:
28082:
28050:
28028:
27974:
27954:
27934:
27912:
27882:
27851:
27799:
27776:
27753:
27724:
27700:
27665:
27636:
27541:
27507:
27478:
27440:
27378:
27358:
27323:
27291:
27202:
27170:
27138:
27107:{\displaystyle g.}
27104:
27081:
27051:
27009:
26975:
26937:
26842:
26818:
26786:
26750:
26700:
26656:
26567:
26535:
26503:
26470:
26437:
26405:
26362:
26332:
26301:
26281:
26231:
26207:
26187:
26138:
26115:
26091:
26049:
26029:
25967:{\displaystyle n,}
25964:
25941:
25898:
25795:
25675:
25630:
25567:
25524:
25453:
25426:
25402:
25370:
25324:
25273:
25253:
25233:
25213:
25190:
25160:
25140:
25123:{\displaystyle X,}
25120:
25097:
25073:
25035:
25002:: Often, whenever
24985:
24965:
24945:
24921:
24856:
24824:
24786:
24762:
24742:
24699:
24679:
24659:
24641:Identification of
24627:
24603:
24559:
24544:
24523:
24496:
24462:
24442:
24395:
24368:
24331:
24295:
24251:{\displaystyle X,}
24248:
24225:
24205:
24178:
24165:) is a bijection.
24155:
24106:
24086:
24060:
24012:
23964:
23902:
23868:
23848:
23779:
23746:
23704:
23680:
23619:
23573:
23553:
23533:
23487:
23460:
23431:
23393:{\displaystyle W,}
23390:
23367:
23347:
23315:
23211:
23167:
23143:
23120:
23049:
22954:
22931:
22899:
22879:
22865:
22846:
22751:
22713:
22671:
22632:
22578:
22546:
22526:
22492:
22424:
22389:
22329:
22303:
22274:
22229:
22166:
22137:
22077:
22048:
22010:
21916:{\displaystyle A,}
21913:
21886:
21859:
21831:
21749:
21687:
21642:
21601:
21567:
21493:
21437:
21396:
21355:
21323:
21311:is a pairing over
21301:
21261:
21220:
21191:
21172:If in addition to
21160:
21096:
21076:
21025:
20981:
20940:
20908:
20886:
20848:
20802:
20774:
20746:
20718:
20687:
20658:
20571:
20477:
20439:
20410:
20376:
20338:
20300:
20272:
20231:
20190:
20170:
20101:
20075:
20045:
19967:
19871:
19793:
19766:
19746:
19703:
19683:
19649:
19629:
19576:
19516:
19484:
19452:
19430:
19392:
19331:{\displaystyle Y.}
19328:
19305:
19260:
19240:
19204:
19184:
19164:
19144:
19124:
19078:
19033:
18992:
18972:
18952:
18933:{\displaystyle Y.}
18930:
18903:
18876:
18835:
18808:{\displaystyle A.}
18805:
18782:
18741:
18711:{\displaystyle A,}
18708:
18680:{\displaystyle A.}
18677:
18650:
18609:
18589:
18548:
18524:
18504:
18482:
18426:
18406:
18375:
18346:
18306:{\displaystyle X.}
18303:
18280:
18257:
18224:
18178:
18158:
18128:
18108:
18081:
18050:
17993:
17937:
17875:
17812:
17750:{\displaystyle X.}
17747:
17724:
17697:
17623:
17570:
17514:
17490:
17414:
17341:
17272:
17229:
17194:
17121:
17065:
17041:
17021:
16990:The weak topology
16980:
16951:
16913:
16875:
16855:
16831:{\displaystyle X.}
16828:
16815:is norm closed in
16805:
16801:⊥ ⊥
16778:
16761:is norm closed in
16751:
16724:
16701:
16683:
16682:
16642:
16604:
16584:
16534:
16506:
16505:
16415:
16377:
16357:
16316:
16264:
16257:⊥ ⊥
16228:
16208:
16167:
16144:
16084:⊥ ⊥
16053:
16012:
15881:
15861:
15841:
15795:
15775:
15755:
15735:
15707:
15671:
15640:
15612:
15584:
15564:
15536:
15506:
15486:
15449:
15410:
15388:
15373:
15356:
15329:
15304:
15282:
15255:
15205:
15181:{\displaystyle X.}
15178:
15155:
15130:
15108:
15088:
15060:
15030:
15005:
14983:
14963:
14943:
14916:
14867:
14833:
14739:
14703:
14663:
14643:
14623:
14603:
14534:
14514:
14452:
14432:
14405:
14383:
14252:
14205:Consequently, the
14192:{\displaystyle X.}
14189:
14166:
14146:
14126:
14104:
14015:
13977:
13923:{\displaystyle y.}
13920:
13897:
13877:
13858:{\displaystyle Y.}
13855:
13832:
13812:
13792:
13749:
13723:
13666:
13642:
13561:
13504:
13479:
13447:
13432:
13363:
13320:
13300:
13276:
13230:
13210:
13187:
13142:
13055:
13002:
12979:
12938:
12918:
12891:
12843:
12802:
12764:
12744:
12724:
12683:
12647:
12626:
12590:
12573:
12535:
12490:
12461:
12441:
12401:
12353:
12297:
12277:
12229:
12207:
12166:
12121:{\displaystyle X,}
12118:
12091:
12043:
12020:{\displaystyle Y.}
12017:
11994:
11974:
11904:
11859:
11814:
11761:
11741:
11688:
11668:
11648:
11612:
11595:
11575:
11555:
11535:
11494:
11474:
11411:
11370:
11329:
11281:
11246:
11205:
11184:
11164:
11138:
11113:{\displaystyle Y.}
11110:
11075:
11055:
11033:{\displaystyle b,}
11030:
11003:
10959:
10949:is used to denote
10939:
10912:
10868:
10817:
10797:
10776:{\displaystyle Y,}
10773:
10750:
10733:{\displaystyle S.}
10730:
10707:
10687:
10636:
10598:
10560:{\displaystyle X,}
10557:
10534:
10513:
10493:
10471:
10445:
10416:
10359:
10327:
10298:
10222:
10186:
10160:
10120:
10094:
9974:
9949:
9929:
9906:
9868:
9809:
9801:
9786:
9759:
9739:
9698:
9654:
9617:
9516:{\displaystyle X.}
9513:
9490:
9473:{\displaystyle Y,}
9470:
9447:
9427:
9389:
9228:
9112:
9075:
9028:
8967:
8914:
8874:is endowed with).
8864:
8844:
8814:
8787:
8767:
8740:
8708:
8684:{\displaystyle H,}
8681:
8654:
8630:{\displaystyle H.}
8627:
8604:
8519:
8496:
8444:
8394:
8374:
8342:
8288:
8241:
8184:
8132:
8100:{\displaystyle 0.}
8097:
8077:
8057:
8035:
8015:
7959:
7932:
7908:
7888:
7861:
7841:
7795:
7775:
7751:
7724:
7710:
7682:
7636:
7609:
7589:
7569:
7542:
7512:
7492:
7426:defines a pairing
7416:
7389:
7369:
7320:
7283:
7255:
7229:
7203:
7168:
7151:{\displaystyle X,}
7148:
7125:
7105:
7077:(or equivalently,
7067:
7047:
7027:
7000:
6977:
6945:{\displaystyle X,}
6942:
6919:
6899:
6873:
6832:
6800:
6780:
6715:{\displaystyle X.}
6712:
6689:
6669:
6649:
6621:
6595:
6546:
6519:
6497:
6409:
6382:
6335:
6292:
6244:
6144:
6095:
6075:
6051:
6024:
5997:
5956:
5891:
5859:
5827:
5789:
5724:
5698:
5656:
5636:
5619:{\displaystyle X,}
5616:
5593:
5573:
5523:
5482:
5444:
5406:
5365:
5333:
5311:Identification of
5297:
5256:
5215:
5195:
5157:
5116:
5092:
5051:
5010:
4975:{\displaystyle Y,}
4972:
4949:
4929:
4909:
4865:
4845:
4825:
4784:{\displaystyle d.}
4781:
4755:
4735:
4715:
4695:
4675:
4655:
4635:
4615:
4605:For instance, if "
4591:
4546:
4499:
4458:
4417:
4391:
4365:
4309:
4271:
4223:
4158:
4138:
4112:
4065:
4045:
4015:
3991:
3968:{\displaystyle A.}
3965:
3938:
3901:{\displaystyle X,}
3898:
3875:
3856:{\displaystyle Y.}
3853:
3830:
3803:
3783:
3763:
3736:
3716:
3686:
3657:
3627:
3599:
3579:
3556:
3513:
3451:
3424:
3404:
3381:
3338:
3276:
3256:
3240:absolute polar set
3228:
3206:
3154:
3128:
3101:
3081:
3061:
2953:
2908:
2882:
2856:
2815:
2768:
2736:
2710:
2684:
2643:
2613:
2593:
2565:
2545:
2525:
2505:
2485:
2465:
2455:A total subset of
2445:
2419:
2363:
2329:
2309:
2281:
2239:
2213:
2193:
2172:
2148:
2124:
2098:
2057:
2031:
2011:
1960:
1931:
1905:
1862:
1836:
1814:
1792:
1766:
1725:
1699:
1679:
1628:
1602:
1576:
1533:
1507:
1485:
1458:
1435:
1395:
1355:for the canonical
1345:
1313:
1263:
1227:
1192:
1165:linear functionals
1153:
1004:
980:
943:
919:
882:
880:
770:
741:
739:
632:
603:
577:
551:
515:
472:
450:
430:
410:
372:
331:
259:
213:
191:
171:
157:consisting of two
147:
109:
40333:
40332:
40052:Relative interior
39798:Bilinear operator
39682:Linear functional
39618:
39617:
39507:in Hilbert spaces
39369:
39368:
38928:
38927:
38831:Integral operator
38608:
38607:
38419:978-0-486-45352-1
38372:978-1-4612-7155-0
38338:978-0-07-054236-5
37998:{\displaystyle S}
37978:{\displaystyle S}
37955:{\displaystyle S}
37904:{\displaystyle Y}
37646:{\displaystyle X}
37626:{\displaystyle Y}
37562:{\displaystyle H}
37269:{\displaystyle Z}
37249:{\displaystyle W}
37185:{\displaystyle H}
36892:{\displaystyle Y}
36872:{\displaystyle X}
36808:{\displaystyle H}
36515:{\displaystyle W}
36495:{\displaystyle Z}
36431:{\displaystyle G}
36370:{\displaystyle X}
36350:{\displaystyle Y}
36303:{\displaystyle R}
36239:{\displaystyle Y}
36059:{\displaystyle x}
35988:{\displaystyle Y}
35968:{\displaystyle Y}
35939:{\displaystyle b}
35926:which shows that
35860:
35830:
35767:{\displaystyle c}
35747:{\displaystyle b}
35678:
35610:{\displaystyle X}
35590:{\displaystyle S}
35538:Strong dual space
35415:{\displaystyle X}
35318:{\displaystyle i}
34645:{\displaystyle X}
34542:{\displaystyle X}
34479:{\displaystyle X}
34327:
34289:{\displaystyle X}
34269:{\displaystyle X}
34197:{\displaystyle X}
34177:{\displaystyle X}
34157:{\displaystyle B}
34125:{\displaystyle X}
34038:{\displaystyle X}
34018:{\displaystyle X}
33974:{\displaystyle Y}
33954:{\displaystyle X}
33897:
33794:{\displaystyle B}
33774:{\displaystyle X}
33754:{\displaystyle B}
33673:{\displaystyle A}
33602:{\displaystyle X}
33517:is closed in the
33510:{\displaystyle X}
33490:{\displaystyle X}
33414:{\displaystyle C}
33371:{\displaystyle C}
33303:{\displaystyle X}
33284:
33251:{\displaystyle f}
33227:{\displaystyle r}
33106:{\displaystyle X}
32926:{\displaystyle Y}
32906:{\displaystyle X}
32849:
32793:{\displaystyle X}
32484:{\displaystyle X}
32440:{\displaystyle Y}
32420:{\displaystyle X}
32360:
32274:{\displaystyle N}
32168:{\displaystyle X}
32148:{\displaystyle Y}
32072:{\displaystyle X}
32052:{\displaystyle Y}
32032:{\displaystyle Y}
32012:{\displaystyle X}
31845:{\displaystyle X}
31559:{\displaystyle X}
31364:(with respect to
31151:(with respect to
31149:Mackey continuous
31103:
31102:
31006:-bounded subsets
30539:{\displaystyle X}
30473:{\displaystyle X}
30455:Alternative name
30354:{\displaystyle Y}
30029:{\displaystyle Y}
30009:{\displaystyle Y}
29751:{\displaystyle Y}
29659:{\displaystyle Y}
29635:{\displaystyle Y}
29588:{\displaystyle b}
29544:{\displaystyle Y}
29518:{\displaystyle X}
29283:{\displaystyle X}
29263:{\displaystyle X}
29169:{\displaystyle X}
29149:{\displaystyle X}
29129:{\displaystyle X}
29040:is separable and
29033:{\displaystyle X}
28911:{\displaystyle K}
28887:{\displaystyle X}
28793:{\displaystyle K}
28704:{\displaystyle K}
28609:-compact, and if
28552:{\displaystyle K}
28462:{\displaystyle X}
28341:{\displaystyle F}
28105:{\displaystyle F}
28053:{\displaystyle F}
27977:{\displaystyle F}
27957:{\displaystyle Y}
27937:{\displaystyle X}
27802:{\displaystyle F}
27779:{\displaystyle F}
27727:{\displaystyle F}
27668:{\displaystyle F}
27381:{\displaystyle Y}
26845:{\displaystyle F}
26712:the transpose of
26304:{\displaystyle M}
26210:{\displaystyle F}
26052:{\displaystyle X}
25951:for some integer
25884:
25805:or equivalently,
25778:
25429:{\displaystyle F}
25414:algebraic adjoint
25287:Algebraic adjoint
25276:{\displaystyle Y}
25256:{\displaystyle X}
25236:{\displaystyle X}
25216:{\displaystyle Y}
25163:{\displaystyle Y}
25143:{\displaystyle b}
25100:{\displaystyle Y}
24988:{\displaystyle b}
24968:{\displaystyle X}
24948:{\displaystyle Y}
24789:{\displaystyle X}
24765:{\displaystyle Z}
24702:{\displaystyle Z}
24682:{\displaystyle Y}
24662:{\displaystyle X}
24630:{\displaystyle X}
24526:{\displaystyle X}
24465:{\displaystyle Y}
24452:is Hausdorff and
24228:{\displaystyle Y}
24181:{\displaystyle Y}
24109:{\displaystyle z}
23871:{\displaystyle Z}
23782:{\displaystyle X}
23707:{\displaystyle X}
23633:Weak completeness
23576:{\displaystyle X}
23556:{\displaystyle X}
23463:{\displaystyle X}
23370:{\displaystyle Z}
23328:the transpose of
23170:{\displaystyle F}
23146:{\displaystyle F}
23133:the transpose of
22957:{\displaystyle F}
22902:{\displaystyle Y}
22882:{\displaystyle X}
22863:
22685:(with respect to
22683:weakly continuous
22549:{\displaystyle Y}
22529:{\displaystyle X}
21099:{\displaystyle F}
20991:is well-defined.
20896:be pairings over
20389:Hermitian adjoint
20303:{\displaystyle F}
20193:{\displaystyle Y}
19769:{\displaystyle Y}
19706:{\displaystyle Y}
19686:{\displaystyle X}
19652:{\displaystyle F}
19494:be a linear map.
19440:be pairings over
19263:{\displaystyle B}
19207:{\displaystyle X}
19187:{\displaystyle B}
19167:{\displaystyle X}
19134:is a pairing and
18995:{\displaystyle A}
18975:{\displaystyle X}
18955:{\displaystyle Y}
18838:{\displaystyle A}
18695:: The bipolar of
18612:{\displaystyle A}
18551:{\displaystyle A}
18527:{\displaystyle A}
18507:{\displaystyle A}
18429:{\displaystyle A}
18356:is a pairing and
18283:{\displaystyle B}
18181:{\displaystyle H}
18131:{\displaystyle H}
18111:{\displaystyle X}
18005:quotient topology
17727:{\displaystyle M}
17517:{\displaystyle M}
17502:subspace topology
17068:{\displaystyle M}
17053:subspace topology
17044:{\displaystyle M}
16878:{\displaystyle X}
16858:{\displaystyle M}
16727:{\displaystyle X}
16667:
16627:
16607:{\displaystyle X}
16490:
16400:
16380:{\displaystyle X}
16231:{\displaystyle X}
16170:{\displaystyle S}
15884:{\displaystyle X}
15864:{\displaystyle S}
15798:{\displaystyle X}
15778:{\displaystyle X}
15615:{\displaystyle X}
15509:{\displaystyle X}
15482:
15476:
15443:
15437:
14986:{\displaystyle X}
14966:{\displaystyle X}
14825:
14666:{\displaystyle X}
14646:{\displaystyle x}
14626:{\displaystyle x}
14537:{\displaystyle X}
14455:{\displaystyle X}
14408:{\displaystyle X}
14169:{\displaystyle Y}
14149:{\displaystyle Y}
14129:{\displaystyle X}
14087:
13900:{\displaystyle Y}
13880:{\displaystyle X}
13835:{\displaystyle X}
13815:{\displaystyle y}
13669:{\displaystyle f}
13445:
13323:{\displaystyle X}
13303:{\displaystyle Y}
13233:{\displaystyle Y}
13213:{\displaystyle X}
13041:
12996:
12941:{\displaystyle X}
12921:{\displaystyle S}
12767:{\displaystyle Y}
12747:{\displaystyle N}
12734:is a pairing and
12636:is a sequence of
12464:{\displaystyle x}
12300:{\displaystyle x}
12232:{\displaystyle x}
11997:{\displaystyle y}
11764:{\displaystyle X}
11671:{\displaystyle Y}
11598:{\displaystyle Y}
11578:{\displaystyle X}
11558:{\displaystyle b}
11497:{\displaystyle X}
11208:{\displaystyle b}
11187:{\displaystyle R}
11167:{\displaystyle Y}
11078:{\displaystyle X}
10962:{\displaystyle X}
10827:). The notation
10820:{\displaystyle Y}
10800:{\displaystyle X}
10753:{\displaystyle S}
10710:{\displaystyle y}
10537:{\displaystyle b}
10516:{\displaystyle S}
10496:{\displaystyle X}
10483:weak topology on
10189:{\displaystyle X}
9952:{\displaystyle Y}
9932:{\displaystyle X}
9916:is a dual system.
9800:
9785:
9762:{\displaystyle q}
9493:{\displaystyle Y}
9450:{\displaystyle X}
9171:
9003:
8904:
8867:{\displaystyle H}
8812:
8790:{\displaystyle H}
8765:
8706:
8652:
8596:
8573:
8397:{\displaystyle H}
8109:sesquilinear form
8080:{\displaystyle H}
8038:{\displaystyle H}
7980:pre-Hilbert space
7911:{\displaystyle N}
7864:{\displaystyle X}
7798:{\displaystyle X}
7727:{\displaystyle X}
7708:
7639:{\displaystyle X}
7612:{\displaystyle X}
7592:{\displaystyle X}
7515:{\displaystyle X}
7392:{\displaystyle X}
7286:{\displaystyle X}
7171:{\displaystyle N}
7128:{\displaystyle N}
7070:{\displaystyle N}
7050:{\displaystyle X}
7003:{\displaystyle N}
6922:{\displaystyle N}
6902:{\displaystyle X}
6803:{\displaystyle c}
6692:{\displaystyle N}
6672:{\displaystyle N}
6652:{\displaystyle X}
6637:canonical duality
6633:canonical pairing
6522:{\displaystyle N}
6098:{\displaystyle X}
6078:{\displaystyle X}
6027:{\displaystyle X}
5659:{\displaystyle Y}
5639:{\displaystyle N}
5596:{\displaystyle M}
5218:{\displaystyle Y}
5119:{\displaystyle X}
4952:{\displaystyle X}
4932:{\displaystyle X}
4868:{\displaystyle Y}
4848:{\displaystyle X}
4758:{\displaystyle X}
4738:{\displaystyle S}
4718:{\displaystyle X}
4698:{\displaystyle Y}
4678:{\displaystyle Y}
4658:{\displaystyle S}
4638:{\displaystyle Y}
4618:{\displaystyle X}
4161:{\displaystyle B}
4068:{\displaystyle A}
4018:{\displaystyle A}
3878:{\displaystyle A}
3806:{\displaystyle X}
3786:{\displaystyle B}
3739:{\displaystyle B}
3696:is necessarily a
3630:{\displaystyle B}
3611:absolute prepolar
3602:{\displaystyle Y}
3582:{\displaystyle B}
3498:
3427:{\displaystyle Y}
3407:{\displaystyle B}
3323:
3279:{\displaystyle X}
3259:{\displaystyle A}
3104:{\displaystyle X}
3084:{\displaystyle R}
2616:{\displaystyle y}
2596:{\displaystyle x}
2568:{\displaystyle Y}
2548:{\displaystyle X}
2528:{\displaystyle X}
2508:{\displaystyle Y}
2488:{\displaystyle X}
2468:{\displaystyle X}
2408:
2332:{\displaystyle Y}
2312:{\displaystyle S}
2242:{\displaystyle b}
2227:separated duality
2216:{\displaystyle Y}
2196:{\displaystyle X}
2175:{\displaystyle b}
2151:{\displaystyle b}
2034:{\displaystyle 0}
1839:{\displaystyle Y}
1817:{\displaystyle X}
1702:{\displaystyle 0}
1510:{\displaystyle X}
1488:{\displaystyle Y}
1461:{\displaystyle b}
1086:
1014:. Therefore both
1007:{\displaystyle X}
992:linear functional
946:{\displaystyle Y}
931:linear functional
453:{\displaystyle Y}
433:{\displaystyle X}
288:quantum mechanics
194:{\displaystyle Y}
174:{\displaystyle X}
76:
75:
68:
42:used on Knowledge
40:encyclopedic tone
40368:
40351:Duality theories
40323:
40322:
40297:Uniformly smooth
39966:
39958:
39925:Balanced/Circled
39915:Absorbing/Radial
39645:
39638:
39631:
39622:
39621:
39589:Saturated family
39487:Ultraweak/Weak-*
39396:
39389:
39382:
39373:
39372:
39287:(cs, lcs)-closed
39233:Effective domain
39188:Robinson–Ursescu
39064:Convex conjugate
38955:
38948:
38941:
38932:
38931:
38918:
38917:
38836:Jones polynomial
38754:Operator algebra
38498:
38497:
38471:
38464:
38457:
38448:
38447:
38431:
38406:Trèves, François
38401:
38384:
38350:
38299:
38263:
38257:
38248:
38242:
38236:
38230:
38224:
38218:
38209:
38203:
38197:
38191:
38180:
38174:
38165:
38159:
38153:
38147:
38130:
38124:
38006:
38004:
38002:
38001:
37996:
37984:
37982:
37981:
37976:
37961:
37959:
37958:
37953:
37940:
37934:
37933:
37931:
37930:
37925:
37910:
37908:
37907:
37902:
37889:
37883:
37882:
37880:
37879:
37874:
37872:
37868:
37847:
37846:
37841:
37791:
37789:
37788:
37783:
37769:
37768:
37763:
37753:
37751:
37750:
37745:
37724:
37722:
37721:
37716:
37652:
37650:
37649:
37644:
37632:
37630:
37629:
37624:
37612:
37610:
37609:
37604:
37584:
37583:
37578:
37568:
37566:
37565:
37560:
37548:
37546:
37545:
37540:
37515:
37509:
37508:
37506:
37505:
37500:
37495:
37491:
37478:
37477:
37472:
37414:
37412:
37411:
37406:
37392:
37391:
37386:
37376:
37374:
37373:
37368:
37347:
37345:
37344:
37339:
37275:
37273:
37272:
37267:
37255:
37253:
37252:
37247:
37235:
37233:
37232:
37227:
37207:
37206:
37201:
37191:
37189:
37188:
37183:
37171:
37169:
37168:
37163:
37138:
37132:
37131:
37129:
37128:
37123:
37118:
37114:
37101:
37100:
37095:
37037:
37035:
37034:
37029:
37015:
37014:
37009:
36999:
36997:
36996:
36991:
36970:
36968:
36967:
36962:
36898:
36896:
36895:
36890:
36878:
36876:
36875:
36870:
36858:
36856:
36855:
36850:
36830:
36829:
36824:
36814:
36812:
36811:
36806:
36794:
36792:
36791:
36786:
36761:
36755:
36754:
36752:
36751:
36746:
36741:
36737:
36716:
36715:
36710:
36660:
36658:
36657:
36652:
36638:
36637:
36632:
36622:
36620:
36619:
36614:
36593:
36591:
36590:
36585:
36521:
36519:
36518:
36513:
36501:
36499:
36498:
36493:
36481:
36479:
36478:
36473:
36453:
36452:
36447:
36437:
36435:
36434:
36429:
36417:
36415:
36414:
36409:
36384:
36378:
36376:
36374:
36373:
36368:
36356:
36354:
36353:
36348:
36332:
36330:
36329:
36324:
36309:
36307:
36306:
36301:
36289:
36287:
36286:
36281:
36245:
36243:
36242:
36237:
36225:
36223:
36222:
36217:
36193:
36191:
36190:
36185:
36144:
36142:
36141:
36136:
36088:
36086:
36085:
36080:
36065:
36063:
36062:
36057:
36045:
36043:
36042:
36037:
36035:
35995:making all maps
35994:
35992:
35991:
35986:
35974:
35972:
35971:
35966:
35953:
35947:
35945:
35943:
35942:
35937:
35925:
35923:
35922:
35917:
35861:
35853:
35839:
35835:
35831:
35823:
35773:
35771:
35770:
35765:
35753:
35751:
35750:
35745:
35732:
35726:
35724:
35722:
35721:
35716:
35698:
35696:
35695:
35690:
35679:
35676:
35642:
35640:
35639:
35634:
35616:
35614:
35613:
35608:
35596:
35594:
35593:
35588:
35575:
35549:
35505:
35462:
35460:
35459:
35454:
35421:
35419:
35418:
35413:
35401:
35399:
35398:
35393:
35357:
35355:
35354:
35349:
35341:
35340:
35324:
35322:
35321:
35316:
35305:and all indices
35304:
35302:
35301:
35296:
35287:
35282:
35271:
35267:
35266:
35249:
35248:
35232:
35230:
35229:
35224:
35222:
35221:
35209:
35205:
35204:
35184:
35182:
35181:
35176:
35173:
35168:
35157:
35153:
35152:
35135:
35134:
35118:
35116:
35115:
35110:
35078:-bounded (resp.
35077:
35075:
35074:
35069:
35036:
35034:
35033:
35028:
35010:
35008:
35007:
35002:
34939:
34937:
34936:
34931:
34926:
34925:
34916:
34915:
34905:
34900:
34882:
34878:
34877:
34876:
34864:
34863:
34839:
34837:
34836:
34831:
34829:
34799:
34797:
34796:
34791:
34773:
34771:
34770:
34765:
34750:
34748:
34747:
34742:
34734:
34733:
34717:
34715:
34714:
34709:
34706:
34701:
34690:
34686:
34685:
34668:
34667:
34651:
34649:
34648:
34643:
34623:
34621:
34620:
34615:
34607:
34606:
34584:
34582:
34581:
34576:
34571:
34570:
34548:
34546:
34545:
34540:
34528:
34526:
34525:
34520:
34518:
34514:
34513:
34512:
34485:
34483:
34482:
34477:
34465:
34463:
34462:
34457:
34455:
34454:
34441:
34439:
34438:
34433:
34428:
34424:
34423:
34422:
34395:
34393:
34392:
34387:
34385:
34384:
34368:
34366:
34365:
34360:
34355:
34354:
34332:
34328:Mackey's theorem
34318:
34316:
34315:
34310:
34295:
34293:
34292:
34287:
34275:
34273:
34272:
34267:
34252:
34250:
34249:
34244:
34229:
34227:
34226:
34221:
34203:
34201:
34200:
34195:
34183:
34181:
34180:
34175:
34163:
34161:
34160:
34155:
34131:
34129:
34128:
34123:
34108:
34106:
34105:
34100:
34085:
34083:
34082:
34077:
34044:
34042:
34041:
34036:
34024:
34022:
34021:
34016:
34004:
34002:
34001:
33996:
33994:
33993:
33980:
33978:
33977:
33972:
33960:
33958:
33957:
33952:
33940:
33938:
33937:
33932:
33902:
33879:
33877:
33876:
33871:
33863:
33862:
33840:
33838:
33837:
33832:
33827:
33826:
33800:
33798:
33797:
33792:
33780:
33778:
33777:
33772:
33760:
33758:
33757:
33752:
33740:
33738:
33737:
33732:
33727:
33726:
33702:
33700:
33699:
33694:
33679:
33677:
33676:
33671:
33656:
33654:
33653:
33648:
33646:
33645:
33632:
33630:
33629:
33624:
33622:
33621:
33609:is equal to its
33608:
33606:
33605:
33600:
33588:
33586:
33585:
33580:
33578:
33577:
33564:
33562:
33561:
33556:
33554:
33553:
33540:
33538:
33537:
33532:
33530:
33529:
33516:
33514:
33513:
33508:
33496:
33494:
33493:
33488:
33476:
33474:
33473:
33468:
33466:
33465:
33452:
33450:
33449:
33444:
33442:
33441:
33420:
33418:
33417:
33412:
33400:
33398:
33397:
33392:
33377:
33375:
33374:
33369:
33357:
33355:
33354:
33349:
33347:
33335:
33333:
33332:
33327:
33325:
33309:
33307:
33306:
33301:
33289:
33280:
33278:
33277:
33272:
33257:
33255:
33254:
33249:
33233:
33231:
33230:
33225:
33213:
33211:
33210:
33205:
33156:
33154:
33153:
33148:
33146:
33134:
33132:
33131:
33126:
33124:
33112:
33110:
33109:
33104:
33084:
33082:
33081:
33076:
33044:
33043:
33003:
33001:
33000:
32995:
32993:
32992:
32979:
32977:
32976:
32971:
32956:
32954:
32953:
32948:
32946:
32945:
32932:
32930:
32929:
32924:
32912:
32910:
32909:
32904:
32892:
32890:
32889:
32884:
32854:
32840:
32838:
32837:
32832:
32799:
32797:
32796:
32791:
32779:
32777:
32776:
32771:
32756:
32754:
32753:
32748:
32715:
32713:
32712:
32707:
32668:
32666:
32665:
32660:
32641:
32639:
32638:
32633:
32600:
32598:
32597:
32592:
32590:
32589:
32576:
32574:
32573:
32568:
32566:
32565:
32552:
32550:
32549:
32544:
32514:
32512:
32511:
32506:
32504:
32503:
32490:
32488:
32487:
32482:
32470:
32468:
32467:
32462:
32460:
32459:
32446:
32444:
32443:
32438:
32426:
32424:
32423:
32418:
32406:
32404:
32403:
32398:
32368:
32334:
32332:
32331:
32326:
32321:
32317:
32310:
32309:
32280:
32278:
32277:
32272:
32256:
32254:
32253:
32248:
32218:
32216:
32215:
32210:
32174:
32172:
32171:
32166:
32154:
32152:
32151:
32146:
32134:
32132:
32131:
32126:
32115:
32114:
32109:
32105:
32104:
32103:
32078:
32076:
32075:
32070:
32058:
32056:
32055:
32050:
32038:
32036:
32035:
32030:
32018:
32016:
32015:
32010:
31998:
31996:
31995:
31990:
31962:
31958:
31957:
31956:
31928:
31926:
31925:
31920:
31890:with the pairing
31875:
31873:
31872:
31867:
31865:
31864:
31851:
31849:
31848:
31843:
31831:
31829:
31828:
31823:
31821:
31820:
31807:
31805:
31804:
31799:
31797:
31785:
31783:
31782:
31777:
31739:
31737:
31736:
31731:
31686:
31684:
31683:
31678:
31630:
31628:
31627:
31622:
31576:strongly bounded
31565:
31563:
31562:
31557:
31537:
31535:
31534:
31529:
31439:
31437:
31436:
31431:
31401:
31399:
31398:
31393:
31359:
31357:
31356:
31351:
31324:
31322:
31321:
31316:
31226:
31224:
31223:
31218:
31188:
31186:
31185:
31180:
31146:
31144:
31143:
31138:
31089:
31087:
31086:
31081:
31048:
31046:
31045:
31040:
31005:
31003:
31002:
30997:
30956:
30954:
30953:
30948:
30913:
30911:
30910:
30905:
30871:-compact subsets
30870:
30868:
30867:
30862:
30821:
30819:
30818:
30813:
30778:
30776:
30775:
30770:
30727:
30725:
30724:
30719:
30681:
30679:
30678:
30673:
30629:
30627:
30626:
30621:
30588:
30586:
30585:
30580:
30545:
30543:
30542:
30537:
30521:
30519:
30518:
30513:
30479:
30477:
30476:
30471:
30444:
30442:
30441:
30436:
30431:
30430:
30421:
30420:
30406:
30405:
30401:
30399:
30398:
30393:
30360:
30358:
30357:
30352:
30340:
30338:
30337:
30332:
30330:
30329:
30313:
30311:
30310:
30305:
30303:
30302:
30272:
30270:
30269:
30264:
30259:
30258:
30221:
30219:
30218:
30213:
30195:
30193:
30192:
30187:
30154:
30152:
30151:
30146:
30144:
30143:
30127:
30125:
30124:
30119:
30117:
30116:
30086:
30084:
30083:
30078:
30073:
30072:
30035:
30033:
30032:
30027:
30015:
30013:
30012:
30007:
29995:
29993:
29992:
29987:
29940:
29938:
29937:
29932:
29908:
29906:
29905:
29900:
29898:
29897:
29878:
29876:
29875:
29870:
29868:
29867:
29838:
29836:
29835:
29830:
29828:
29827:
29809:
29807:
29806:
29801:
29799:
29798:
29781:
29779:
29778:
29773:
29771:
29770:
29757:
29755:
29754:
29749:
29733:
29731:
29730:
29725:
29723:
29719:
29706:
29705:
29690:
29689:
29665:
29663:
29662:
29657:
29641:
29639:
29638:
29633:
29619:
29617:
29616:
29611:
29609:
29608:
29594:
29592:
29591:
29586:
29574:
29572:
29571:
29566:
29564:
29563:
29550:
29548:
29547:
29542:
29524:
29522:
29521:
29516:
29504:
29502:
29501:
29496:
29494:
29493:
29471:Polar topologies
29467:
29465:
29464:
29459:
29444:
29442:
29441:
29436:
29403:
29401:
29400:
29395:
29393:
29392:
29379:
29377:
29376:
29371:
29369:
29357:
29355:
29354:
29349:
29315:weakest topology
29311:polar topologies
29289:
29287:
29286:
29281:
29269:
29267:
29266:
29261:
29247:
29245:
29244:
29239:
29234:
29230:
29229:
29225:
29218:
29217:
29197:
29196:
29175:
29173:
29172:
29167:
29155:
29153:
29152:
29147:
29135:
29133:
29132:
29127:
29112:
29110:
29109:
29104:
29102:
29098:
29097:
29093:
29086:
29085:
29065:
29064:
29039:
29037:
29036:
29031:
29012:
29010:
29009:
29004:
28999:
28995:
28994:
28990:
28983:
28982:
28962:
28961:
28940:
28938:
28937:
28932:
28917:
28915:
28914:
28909:
28893:
28891:
28890:
28885:
28871:
28869:
28868:
28863:
28858:
28854:
28853:
28849:
28842:
28841:
28821:
28820:
28799:
28797:
28796:
28791:
28779:
28777:
28776:
28771:
28769:
28765:
28764:
28760:
28753:
28752:
28732:
28731:
28710:
28708:
28707:
28702:
28690:
28688:
28687:
28682:
28667:
28665:
28664:
28659:
28641:
28639:
28638:
28633:
28631:
28630:
28608:
28606:
28605:
28600:
28598:
28594:
28587:
28586:
28558:
28556:
28555:
28550:
28535:
28533:
28532:
28527:
28522:
28521:
28499:
28497:
28496:
28491:
28489:
28488:
28468:
28466:
28465:
28460:
28440:
28438:
28437:
28432:
28427:
28426:
28410:
28408:
28407:
28402:
28400:
28399:
28379:
28377:
28376:
28371:
28347:
28345:
28344:
28339:
28325:
28323:
28322:
28317:
28312:
28311:
28295:
28293:
28292:
28287:
28285:
28281:
28280:
28264:
28263:
28258:
28249:
28248:
28243:
28227:
28225:
28224:
28219:
28217:
28213:
28212:
28208:
28207:
28206:
28169:
28165:
28164:
28160:
28159:
28158:
28111:
28109:
28108:
28103:
28091:
28089:
28088:
28083:
28059:
28057:
28056:
28051:
28037:
28035:
28034:
28029:
28024:
28020:
28016:
28015:
28010:
27983:
27981:
27980:
27975:
27963:
27961:
27960:
27955:
27943:
27941:
27940:
27935:
27921:
27919:
27918:
27913:
27908:
27907:
27891:
27889:
27888:
27883:
27881:
27880:
27860:
27858:
27857:
27852:
27850:
27849:
27837:
27836:
27824:
27823:
27818:
27808:
27806:
27805:
27800:
27785:
27783:
27782:
27777:
27762:
27760:
27759:
27754:
27749:
27748:
27743:
27733:
27731:
27730:
27725:
27709:
27707:
27706:
27701:
27674:
27672:
27671:
27666:
27645:
27643:
27642:
27637:
27566:
27565:
27560:
27550:
27548:
27547:
27542:
27516:
27514:
27513:
27508:
27503:
27502:
27497:
27487:
27485:
27484:
27479:
27449:
27447:
27446:
27441:
27439:
27438:
27411:
27410:
27405:
27387:
27385:
27384:
27379:
27367:
27365:
27364:
27359:
27332:
27330:
27329:
27324:
27319:
27318:
27313:
27300:
27298:
27297:
27292:
27211:
27209:
27208:
27203:
27179:
27177:
27176:
27171:
27147:
27145:
27144:
27139:
27113:
27111:
27110:
27105:
27091:is the range of
27090:
27088:
27087:
27082:
27060:
27058:
27057:
27052:
27018:
27016:
27015:
27010:
26984:
26982:
26981:
26976:
26965:
26964:
26956:
26946:
26944:
26943:
26938:
26867:
26866:
26861:
26851:
26849:
26848:
26843:
26828:is well-defined.
26827:
26825:
26824:
26819:
26795:
26793:
26792:
26787:
26785:
26781:
26760:with respect to
26759:
26757:
26756:
26751:
26731:
26730:
26725:
26709:
26707:
26706:
26701:
26684:
26683:
26665:
26663:
26662:
26657:
26576:
26574:
26573:
26568:
26544:
26542:
26541:
26536:
26512:
26510:
26509:
26504:
26502:
26501:
26479:
26477:
26476:
26471:
26469:
26468:
26446:
26444:
26443:
26438:
26414:
26412:
26411:
26406:
26404:
26400:
26371:
26369:
26368:
26363:
26358:
26357:
26341:
26339:
26338:
26333:
26331:
26330:
26325:
26324:
26310:
26308:
26307:
26302:
26290:
26288:
26287:
26282:
26277:
26273:
26272:
26240:
26238:
26237:
26232:
26230:
26229:
26217:with respect to
26216:
26214:
26213:
26208:
26196:
26194:
26193:
26188:
26186:
26185:
26180:
26171:
26170:
26165:
26147:
26145:
26144:
26139:
26134:
26130:
26128:
26123:
26104:
26099:
26082:
26081:
26076:
26075:
26058:
26056:
26055:
26050:
26038:
26036:
26035:
26030:
26028:
26024:
26023:
26022:
26004:
26003:
25986:
25985:
25973:
25971:
25970:
25965:
25950:
25948:
25947:
25942:
25940:
25939:
25934:
25907:
25905:
25904:
25899:
25885:
25882:
25861:
25860:
25839:
25835:
25834:
25821:
25820:
25804:
25802:
25801:
25796:
25779:
25776:
25773:
25769:
25768:
25767:
25735:
25731:
25730:
25726:
25725:
25712:
25711:
25684:
25682:
25681:
25676:
25674:
25670:
25669:
25656:
25655:
25639:
25637:
25636:
25631:
25623:
25622:
25610:
25606:
25605:
25592:
25591:
25576:
25574:
25573:
25568:
25563:
25562:
25550:
25549:
25533:
25531:
25530:
25525:
25520:
25519:
25507:
25506:
25491:
25490:
25485:
25479:
25478:
25462:
25460:
25459:
25454:
25452:
25451:
25435:
25433:
25432:
25427:
25411:
25409:
25408:
25403:
25379:
25377:
25376:
25371:
25366:
25362:
25361:
25360:
25333:
25331:
25330:
25325:
25323:
25319:
25318:
25317:
25282:
25280:
25279:
25274:
25262:
25260:
25259:
25254:
25242:
25240:
25239:
25234:
25222:
25220:
25219:
25214:
25199:
25197:
25196:
25191:
25186:
25185:
25169:
25167:
25166:
25161:
25149:
25147:
25146:
25141:
25129:
25127:
25126:
25121:
25106:
25104:
25103:
25098:
25082:
25080:
25079:
25074:
25044:
25042:
25041:
25036:
24994:
24992:
24991:
24986:
24974:
24972:
24971:
24966:
24954:
24952:
24951:
24946:
24930:
24928:
24927:
24922:
24911:
24910:
24898:
24894:
24893:
24892:
24865:
24863:
24862:
24857:
24833:
24831:
24830:
24825:
24796:and the pairing
24795:
24793:
24792:
24787:
24771:
24769:
24768:
24763:
24751:
24749:
24748:
24743:
24708:
24706:
24705:
24700:
24688:
24686:
24685:
24680:
24668:
24666:
24665:
24660:
24637:is continuous).
24636:
24634:
24633:
24628:
24612:
24610:
24609:
24604:
24602:
24601:
24589:
24588:
24568:
24566:
24565:
24560:
24557:
24552:
24532:
24530:
24529:
24524:
24505:
24503:
24502:
24497:
24495:
24494:
24471:
24469:
24468:
24463:
24451:
24449:
24448:
24443:
24404:
24402:
24401:
24396:
24394:
24393:
24377:
24375:
24374:
24369:
24367:
24366:
24340:
24338:
24337:
24332:
24327:
24326:
24304:
24302:
24301:
24296:
24257:
24255:
24254:
24249:
24234:
24232:
24231:
24226:
24214:
24212:
24211:
24206:
24204:
24203:
24187:
24185:
24184:
24179:
24164:
24162:
24161:
24156:
24145:
24144:
24132:
24131:
24115:
24113:
24112:
24107:
24095:
24093:
24092:
24087:
24069:
24067:
24066:
24061:
24059:
24058:
24053:
24049:
24048:
24021:
24019:
24018:
24013:
24011:
24010:
24005:
24001:
24000:
23973:
23971:
23970:
23965:
23963:
23959:
23958:
23954:
23953:
23952:
23911:
23909:
23908:
23903:
23898:
23897:
23877:
23875:
23874:
23869:
23857:
23855:
23854:
23849:
23847:
23843:
23842:
23838:
23831:
23830:
23810:
23809:
23788:
23786:
23785:
23780:
23755:
23753:
23752:
23747:
23713:
23711:
23710:
23705:
23689:
23687:
23686:
23681:
23628:
23626:
23625:
23620:
23618:
23614:
23613:
23612:
23582:
23580:
23579:
23574:
23562:
23560:
23559:
23554:
23542:
23540:
23539:
23534:
23532:
23528:
23527:
23526:
23496:
23494:
23493:
23488:
23486:
23485:
23469:
23467:
23466:
23461:
23440:
23438:
23437:
23432:
23418:
23417:
23409:
23399:
23397:
23396:
23391:
23376:
23374:
23373:
23368:
23356:
23354:
23353:
23348:
23343:
23342:
23337:
23324:
23322:
23321:
23316:
23236:
23235:
23230:
23220:
23218:
23217:
23212:
23195:
23194:
23189:
23176:
23174:
23173:
23168:
23153:is well-defined.
23152:
23150:
23149:
23144:
23129:
23127:
23126:
23121:
23058:
23056:
23055:
23050:
22963:
22961:
22960:
22955:
22940:
22938:
22937:
22932:
22908:
22906:
22905:
22900:
22888:
22886:
22885:
22880:
22868:
22855:
22853:
22852:
22847:
22760:
22758:
22757:
22752:
22722:
22720:
22719:
22714:
22680:
22678:
22677:
22672:
22641:
22639:
22638:
22633:
22628:
22624:
22620:
22619:
22614:
22587:
22585:
22584:
22579:
22555:
22553:
22552:
22547:
22535:
22533:
22532:
22527:
22501:
22499:
22498:
22493:
22488:
22487:
22457:
22456:
22451:
22433:
22431:
22430:
22425:
22398:
22396:
22395:
22390:
22388:
22387:
22375:
22371:
22370:
22354:
22353:
22348:
22338:
22336:
22335:
22330:
22312:
22310:
22309:
22304:
22283:
22281:
22280:
22275:
22273:
22272:
22238:
22236:
22235:
22230:
22225:
22224:
22212:
22208:
22207:
22191:
22190:
22185:
22175:
22173:
22172:
22167:
22146:
22144:
22143:
22138:
22136:
22135:
22123:
22119:
22118:
22102:
22101:
22096:
22086:
22084:
22083:
22078:
22057:
22055:
22054:
22049:
22019:
22017:
22016:
22011:
22009:
22005:
22004:
21991:
21990:
21982:
21978:
21974:
21973:
21968:
21956:
21955:
21922:
21920:
21919:
21914:
21895:
21893:
21892:
21887:
21885:
21884:
21868:
21866:
21865:
21860:
21840:
21838:
21837:
21832:
21830:
21829:
21821:
21817:
21813:
21812:
21807:
21795:
21791:
21790:
21774:
21773:
21768:
21758:
21756:
21755:
21750:
21733:
21729:
21728:
21712:
21711:
21706:
21696:
21694:
21693:
21688:
21671:
21670:
21651:
21649:
21648:
21643:
21626:
21625:
21620:
21610:
21608:
21607:
21602:
21576:
21574:
21573:
21568:
21560:
21559:
21554:
21545:
21544:
21539:
21518:
21517:
21512:
21502:
21500:
21499:
21494:
21462:
21461:
21456:
21446:
21444:
21443:
21438:
21405:
21403:
21402:
21397:
21380:
21379:
21374:
21364:
21362:
21361:
21356:
21332:
21330:
21329:
21324:
21322:
21310:
21308:
21307:
21302:
21270:
21268:
21267:
21262:
21248:
21247:
21239:
21229:
21227:
21226:
21221:
21216:
21215:
21210:
21200:
21198:
21197:
21192:
21187:
21186:
21181:
21169:
21167:
21166:
21161:
21156:
21152:
21151:
21147:
21105:
21103:
21102:
21097:
21085:
21083:
21082:
21077:
21060:
21059:
21054:
21034:
21032:
21031:
21026:
21009:
21008:
21003:
20990:
20988:
20987:
20982:
20965:
20964:
20959:
20949:
20947:
20946:
20941:
20917:
20915:
20914:
20909:
20907:
20895:
20893:
20892:
20887:
20857:
20855:
20854:
20849:
20811:
20809:
20808:
20803:
20783:
20781:
20780:
20775:
20755:
20753:
20752:
20747:
20727:
20725:
20724:
20719:
20696:
20694:
20693:
20688:
20667:
20665:
20664:
20659:
20657:
20653:
20640:
20639:
20634:
20580:
20578:
20577:
20572:
20567:
20563:
20550:
20549:
20544:
20486:
20484:
20483:
20478:
20464:
20463:
20458:
20448:
20446:
20445:
20440:
20419:
20417:
20416:
20411:
20406:
20405:
20400:
20385:
20383:
20382:
20377:
20347:
20345:
20344:
20339:
20310:with respect to
20309:
20307:
20306:
20301:
20281:
20279:
20278:
20273:
20256:
20255:
20250:
20240:
20238:
20237:
20232:
20215:
20214:
20209:
20199:
20197:
20196:
20191:
20179:
20177:
20176:
20171:
20110:
20108:
20107:
20102:
20084:
20082:
20081:
20076:
20054:
20052:
20051:
20046:
19976:
19974:
19973:
19968:
19880:
19878:
19877:
19872:
19802:
19800:
19799:
19794:
19792:
19791:
19775:
19773:
19772:
19767:
19755:
19753:
19752:
19747:
19712:
19710:
19709:
19704:
19692:
19690:
19689:
19684:
19661:
19658:
19656:
19655:
19650:
19639:It is said that
19638:
19636:
19635:
19630:
19585:
19583:
19582:
19577:
19575:
19525:
19523:
19522:
19517:
19493:
19491:
19490:
19485:
19461:
19459:
19458:
19453:
19451:
19439:
19437:
19436:
19431:
19401:
19399:
19398:
19393:
19337:
19335:
19334:
19329:
19314:
19312:
19311:
19306:
19269:
19267:
19266:
19261:
19249:
19247:
19246:
19241:
19213:
19211:
19210:
19205:
19193:
19191:
19190:
19185:
19173:
19171:
19170:
19165:
19153:
19151:
19150:
19145:
19133:
19131:
19130:
19125:
19087:
19085:
19084:
19079:
19042:
19040:
19039:
19034:
19001:
18999:
18998:
18993:
18981:
18979:
18978:
18973:
18961:
18959:
18958:
18953:
18939:
18937:
18936:
18931:
18912:
18910:
18909:
18904:
18902:
18901:
18885:
18883:
18882:
18877:
18844:
18842:
18841:
18836:
18814:
18812:
18811:
18806:
18791:
18789:
18788:
18783:
18751:is equal to the
18750:
18748:
18747:
18742:
18737:
18736:
18717:
18715:
18714:
18709:
18686:
18684:
18683:
18678:
18660:-closure of the
18659:
18657:
18656:
18651:
18618:
18616:
18615:
18610:
18598:
18596:
18595:
18590:
18557:
18555:
18554:
18549:
18533:
18531:
18530:
18525:
18513:
18511:
18510:
18505:
18491:
18489:
18488:
18483:
18435:
18433:
18432:
18427:
18415:
18413:
18412:
18407:
18405:
18404:
18384:
18382:
18381:
18376:
18355:
18353:
18352:
18347:
18312:
18310:
18309:
18304:
18289:
18287:
18286:
18281:
18266:
18264:
18263:
18258:
18256:
18255:
18233:
18231:
18230:
18225:
18223:
18219:
18212:
18211:
18187:
18185:
18184:
18179:
18167:
18165:
18164:
18159:
18154:
18153:
18137:
18135:
18134:
18129:
18117:
18115:
18114:
18109:
18090:
18088:
18087:
18082:
18074:
18059:
18057:
18056:
18051:
18002:
18000:
17999:
17994:
17992:
17988:
17987:
17986:
17971:
17946:
17944:
17943:
17938:
17884:
17882:
17881:
17876:
17874:
17866:
17865:
17850:
17836:
17821:
17819:
17818:
17813:
17811:
17807:
17803:
17792:
17791:
17776:
17756:
17754:
17753:
17748:
17733:
17731:
17730:
17725:
17706:
17704:
17703:
17698:
17693:
17689:
17688:
17687:
17682:
17681:
17668:
17667:
17658:
17632:
17630:
17629:
17624:
17580:Furthermore, if
17579:
17577:
17576:
17571:
17523:
17521:
17520:
17515:
17500:is equal to the
17499:
17497:
17496:
17491:
17489:
17485:
17484:
17483:
17478:
17477:
17464:
17463:
17454:
17423:
17421:
17420:
17415:
17389:
17385:
17384:
17383:
17350:
17348:
17347:
17342:
17340:
17332:
17331:
17322:
17305:
17304:
17299:
17298:
17281:
17279:
17278:
17273:
17271:
17267:
17266:
17253:
17238:
17236:
17235:
17230:
17228:
17227:
17218:
17203:
17201:
17200:
17195:
17193:
17189:
17188:
17187:
17182:
17181:
17168:
17167:
17158:
17130:
17128:
17127:
17122:
17074:
17072:
17071:
17066:
17050:
17048:
17047:
17042:
17030:
17028:
17027:
17022:
16989:
16987:
16986:
16981:
16960:
16958:
16957:
16952:
16922:
16920:
16919:
16914:
16884:
16882:
16881:
16876:
16864:
16862:
16861:
16856:
16837:
16835:
16834:
16829:
16814:
16812:
16811:
16806:
16804:
16803:
16787:
16785:
16784:
16779:
16777:
16776:
16760:
16758:
16757:
16752:
16750:
16749:
16733:
16731:
16730:
16725:
16710:
16708:
16707:
16702:
16696:
16691:
16681:
16663:
16662:
16657:
16653:
16652:
16651:
16641:
16613:
16611:
16610:
16605:
16593:
16591:
16590:
16585:
16583:
16582:
16571:
16567:
16566:
16543:
16541:
16540:
16535:
16530:
16526:
16525:
16521:
16519:
16514:
16504:
16470:
16469:
16436:
16435:
16430:
16426:
16425:
16424:
16414:
16386:
16384:
16383:
16378:
16366:
16364:
16363:
16358:
16325:
16323:
16322:
16317:
16315:
16314:
16303:
16299:
16298:
16273:
16271:
16270:
16265:
16260:
16259:
16237:
16235:
16234:
16229:
16217:
16215:
16214:
16209:
16176:
16174:
16173:
16168:
16153:
16151:
16150:
16145:
16143:
16139:
16126:
16125:
16087:
16086:
16062:
16060:
16059:
16054:
16022:and this set is
16021:
16019:
16018:
16013:
16011:
16010:
15998:
15997:
15992:
15988:
15975:
15974:
15935:
15934:
15910:
15909:
15890:
15888:
15887:
15882:
15870:
15868:
15867:
15862:
15850:
15848:
15847:
15842:
15804:
15802:
15801:
15796:
15784:
15782:
15781:
15776:
15764:
15762:
15761:
15756:
15754:
15750:
15748:
15743:
15731:
15730:
15725:
15720:
15715:
15680:
15678:
15677:
15672:
15664:
15663:
15658:
15653:
15648:
15621:
15619:
15618:
15613:
15600:reflexive spaces
15593:
15591:
15590:
15585:
15583:
15579:
15577:
15572:
15560:
15559:
15554:
15549:
15544:
15515:
15513:
15512:
15507:
15495:
15493:
15492:
15487:
15480:
15474:
15473:
15472:
15467:
15462:
15457:
15441:
15435:
15434:
15433:
15428:
15423:
15418:
15397:
15395:
15394:
15389:
15386:
15381:
15365:
15363:
15362:
15357:
15355:
15354:
15338:
15336:
15335:
15330:
15328:
15327:
15322:
15317:
15312:
15291:
15289:
15288:
15283:
15281:
15280:
15264:
15262:
15261:
15256:
15254:
15250:
15243:
15242:
15214:
15212:
15211:
15206:
15204:
15203:
15187:
15185:
15184:
15179:
15164:
15162:
15161:
15156:
15154:
15153:
15148:
15143:
15138:
15117:
15115:
15114:
15109:
15107:
15103:
15101:
15096:
15084:
15083:
15078:
15073:
15068:
15039:
15037:
15036:
15031:
15029:
15028:
15023:
15018:
15013:
14992:
14990:
14989:
14984:
14973:; for instance,
14972:
14970:
14969:
14964:
14952:
14950:
14949:
14944:
14942:
14941:
14925:
14923:
14922:
14917:
14915:
14911:
14904:
14903:
14876:
14874:
14873:
14868:
14857:
14856:
14851:
14846:
14841:
14826:
14823:
14814:
14813:
14808:
14804:
14803:
14799:
14792:
14791:
14771:
14770:
14748:
14746:
14745:
14740:
14729:
14728:
14712:
14710:
14709:
14704:
14702:
14701:
14689:
14688:
14672:
14670:
14669:
14664:
14652:
14650:
14649:
14644:
14632:
14630:
14629:
14624:
14612:
14610:
14609:
14604:
14602:
14598:
14597:
14593:
14586:
14585:
14565:
14564:
14543:
14541:
14540:
14535:
14523:
14521:
14520:
14515:
14513:
14509:
14508:
14504:
14503:
14502:
14462:(i.e. such that
14461:
14459:
14458:
14453:
14441:
14439:
14438:
14433:
14431:
14430:
14414:
14412:
14411:
14406:
14392:
14390:
14389:
14384:
14379:
14375:
14311:
14310:
14261:
14259:
14258:
14253:
14198:
14196:
14195:
14190:
14175:
14173:
14172:
14167:
14155:
14153:
14152:
14147:
14135:
14133:
14132:
14127:
14113:
14111:
14110:
14105:
14088:
14085:
14041:
14040:
14024:
14022:
14021:
14016:
14011:
14010:
14001:
13986:
13984:
13983:
13978:
13929:
13927:
13926:
13921:
13906:
13904:
13903:
13898:
13886:
13884:
13883:
13878:
13864:
13862:
13861:
13856:
13841:
13839:
13838:
13833:
13821:
13819:
13818:
13813:
13801:
13799:
13798:
13793:
13758:
13756:
13755:
13750:
13732:
13730:
13729:
13724:
13675:
13673:
13672:
13667:
13651:
13649:
13648:
13643:
13570:
13568:
13567:
13562:
13513:
13511:
13510:
13505:
13500:
13488:
13486:
13485:
13480:
13450:
13441:
13439:
13438:
13433:
13372:
13370:
13369:
13364:
13329:
13327:
13326:
13321:
13309:
13307:
13306:
13301:
13285:
13283:
13282:
13277:
13239:
13237:
13236:
13231:
13219:
13217:
13216:
13211:
13196:
13194:
13193:
13188:
13151:
13149:
13148:
13143:
13099:
13076:
13064:
13062:
13061:
13056:
13042:
13039:
13030:
13007:
13001:
12988:
12986:
12985:
12980:
12947:
12945:
12944:
12939:
12927:
12925:
12924:
12919:
12900:
12898:
12897:
12892:
12852:
12850:
12849:
12844:
12811:
12809:
12808:
12803:
12773:
12771:
12770:
12765:
12753:
12751:
12750:
12745:
12733:
12731:
12730:
12725:
12692:
12690:
12689:
12684:
12681:
12676:
12665:
12661:
12660:
12635:
12633:
12632:
12627:
12624:
12619:
12608:
12604:
12603:
12582:
12580:
12579:
12574:
12544:
12542:
12541:
12536:
12534:
12530:
12523:
12522:
12499:
12497:
12496:
12491:
12470:
12468:
12467:
12462:
12450:
12448:
12447:
12442:
12410:
12408:
12407:
12402:
12400:
12399:
12388:
12384:
12383:
12362:
12360:
12359:
12354:
12306:
12304:
12303:
12298:
12286:
12284:
12283:
12278:
12276:
12275:
12264:
12260:
12259:
12238:
12236:
12235:
12230:
12216:
12214:
12213:
12208:
12175:
12173:
12172:
12167:
12165:
12164:
12153:
12149:
12148:
12127:
12125:
12124:
12119:
12100:
12098:
12097:
12092:
12090:
12089:
12078:
12074:
12073:
12052:
12050:
12049:
12044:
12026:
12024:
12023:
12018:
12003:
12001:
12000:
11995:
11983:
11981:
11980:
11975:
11970:
11947:
11930:
11929:
11913:
11911:
11910:
11905:
11903:
11889:
11888:
11868:
11866:
11865:
11860:
11823:
11821:
11820:
11815:
11770:
11768:
11767:
11762:
11750:
11748:
11747:
11742:
11697:
11695:
11694:
11689:
11677:
11675:
11674:
11669:
11657:
11655:
11654:
11649:
11646:
11641:
11630:
11626:
11625:
11604:
11602:
11601:
11596:
11584:
11582:
11581:
11576:
11564:
11562:
11561:
11556:
11544:
11542:
11541:
11536:
11503:
11501:
11500:
11495:
11483:
11481:
11480:
11475:
11458:
11457:
11420:
11418:
11417:
11412:
11379:
11377:
11376:
11371:
11338:
11336:
11335:
11330:
11290:
11288:
11287:
11282:
11255:
11253:
11252:
11247:
11214:
11212:
11211:
11206:
11193:
11191:
11190:
11185:
11173:
11171:
11170:
11165:
11147:
11145:
11144:
11139:
11119:
11117:
11116:
11111:
11084:
11082:
11081:
11076:
11064:
11062:
11061:
11056:
11051:
11039:
11037:
11036:
11031:
11017:on the function
11012:
11010:
11009:
11004:
10968:
10966:
10965:
10960:
10948:
10946:
10945:
10940:
10938:
10937:
10921:
10919:
10918:
10913:
10908:
10907:
10877:
10875:
10874:
10869:
10864:
10863:
10826:
10824:
10823:
10818:
10806:
10804:
10803:
10798:
10782:
10780:
10779:
10774:
10759:
10757:
10756:
10751:
10739:
10737:
10736:
10731:
10716:
10714:
10713:
10708:
10696:
10694:
10693:
10688:
10686:
10646:making all maps
10645:
10643:
10642:
10637:
10607:
10605:
10604:
10599:
10566:
10564:
10563:
10558:
10543:
10541:
10540:
10535:
10522:
10520:
10519:
10514:
10502:
10500:
10499:
10494:
10480:
10478:
10477:
10472:
10454:
10452:
10451:
10446:
10441:
10426:is a pairing of
10425:
10423:
10422:
10417:
10368:
10366:
10365:
10360:
10358:
10357:
10336:
10334:
10333:
10328:
10307:
10305:
10304:
10299:
10297:
10296:
10287:
10286:
10276:
10271:
10231:
10229:
10228:
10223:
10221:
10220:
10195:
10193:
10192:
10187:
10169:
10167:
10166:
10161:
10159:
10158:
10146:
10145:
10129:
10127:
10126:
10121:
10103:
10101:
10100:
10095:
10093:
10089:
10082:
10081:
10067:
10063:
10056:
10055:
10038:
10034:
10033:
10032:
10020:
10019:
9983:
9981:
9980:
9975:
9970:
9958:
9956:
9955:
9950:
9938:
9936:
9935:
9930:
9915:
9913:
9912:
9907:
9877:
9875:
9874:
9869:
9861:
9818:
9816:
9815:
9810:
9802:
9793:
9787:
9778:
9768:
9766:
9765:
9760:
9748:
9746:
9745:
9740:
9729:
9728:
9707:
9705:
9704:
9699:
9685:
9684:
9663:
9661:
9660:
9655:
9626:
9624:
9623:
9618:
9610:
9539:
9538:
9522:
9520:
9519:
9514:
9499:
9497:
9496:
9491:
9479:
9477:
9476:
9471:
9456:
9454:
9453:
9448:
9436:
9434:
9433:
9428:
9398:
9396:
9395:
9390:
9385:
9384:
9375:
9374:
9362:
9361:
9352:
9351:
9339:
9335:
9334:
9330:
9329:
9328:
9316:
9315:
9303:
9302:
9285:
9281:
9280:
9279:
9267:
9266:
9237:
9235:
9234:
9229:
9218:
9214:
9213:
9212:
9200:
9199:
9187:
9186:
9172:
9169:
9161:
9157:
9156:
9155:
9143:
9142:
9121:
9119:
9118:
9113:
9108:
9107:
9102:
9084:
9082:
9081:
9076:
9071:
9070:
9065:
9037:
9035:
9034:
9029:
9027:
9023:
9004:
8996:
8976:
8974:
8973:
8968:
8923:
8921:
8920:
8915:
8913:
8905:
8897:
8873:
8871:
8870:
8865:
8853:
8851:
8850:
8845:
8823:
8821:
8820:
8815:
8813:
8805:
8796:
8794:
8793:
8788:
8776:
8774:
8773:
8768:
8766:
8758:
8749:
8747:
8746:
8741:
8717:
8715:
8714:
8709:
8707:
8699:
8690:
8688:
8687:
8682:
8663:
8661:
8660:
8655:
8653:
8645:
8636:
8634:
8633:
8628:
8613:
8611:
8610:
8605:
8597:
8589:
8574:
8571:
8556:
8528:
8526:
8525:
8520:
8505:
8503:
8502:
8497:
8453:
8451:
8450:
8445:
8403:
8401:
8400:
8395:
8383:
8381:
8380:
8375:
8351:
8349:
8348:
8343:
8297:
8295:
8294:
8289:
8250:
8248:
8247:
8242:
8193:
8191:
8190:
8185:
8141:
8139:
8138:
8133:
8106:
8104:
8103:
8098:
8086:
8084:
8083:
8078:
8066:
8064:
8063:
8058:
8056:
8044:
8042:
8041:
8036:
8024:
8022:
8021:
8016:
7968:
7966:
7965:
7960:
7958:
7957:
7941:
7939:
7938:
7933:
7931:
7930:
7917:
7915:
7914:
7909:
7897:
7895:
7894:
7889:
7887:
7886:
7870:
7868:
7867:
7862:
7850:
7848:
7847:
7842:
7837:
7833:
7832:
7831:
7804:
7802:
7801:
7796:
7784:
7782:
7781:
7776:
7774:
7773:
7760:
7758:
7757:
7752:
7750:
7749:
7733:
7731:
7730:
7725:
7713:
7691:
7689:
7688:
7683:
7678:
7674:
7673:
7672:
7645:
7643:
7642:
7637:
7618:
7616:
7615:
7610:
7598:
7596:
7595:
7590:
7578:
7576:
7575:
7570:
7568:
7567:
7551:
7549:
7548:
7543:
7538:
7537:
7521:
7519:
7518:
7513:
7501:
7499:
7498:
7493:
7491:
7487:
7486:
7485:
7484:
7483:
7467:
7466:
7453:
7452:
7425:
7423:
7422:
7417:
7415:
7414:
7398:
7396:
7395:
7390:
7378:
7376:
7375:
7370:
7368:
7364:
7357:
7356:
7329:
7327:
7326:
7321:
7316:
7315:
7292:
7290:
7289:
7284:
7264:
7262:
7261:
7256:
7238:
7236:
7235:
7230:
7212:
7210:
7209:
7204:
7177:
7175:
7174:
7169:
7157:
7155:
7154:
7149:
7134:
7132:
7131:
7126:
7114:
7112:
7111:
7106:
7076:
7074:
7073:
7068:
7056:
7054:
7053:
7048:
7036:
7034:
7033:
7028:
7026:
7025:
7009:
7007:
7006:
7001:
6986:
6984:
6983:
6978:
6951:
6949:
6948:
6943:
6928:
6926:
6925:
6920:
6908:
6906:
6905:
6900:
6882:
6880:
6879:
6874:
6841:
6839:
6838:
6833:
6809:
6807:
6806:
6801:
6790:(rather than by
6789:
6787:
6786:
6781:
6770:
6769:
6757:
6753:
6752:
6751:
6721:
6719:
6718:
6713:
6698:
6696:
6695:
6690:
6678:
6676:
6675:
6670:
6658:
6656:
6655:
6650:
6630:
6628:
6627:
6622:
6604:
6602:
6601:
6596:
6594:
6590:
6583:
6582:
6555:
6553:
6552:
6547:
6545:
6544:
6528:
6526:
6525:
6520:
6506:
6504:
6503:
6498:
6493:
6492:
6469:
6468:
6456:
6452:
6451:
6450:
6418:
6416:
6415:
6410:
6408:
6407:
6391:
6389:
6388:
6383:
6381:
6377:
6376:
6375:
6344:
6342:
6341:
6336:
6331:
6330:
6318:
6317:
6301:
6299:
6298:
6293:
6288:
6287:
6253:
6251:
6250:
6245:
6231:
6230:
6218:
6214:
6213:
6212:
6189:
6185:
6184:
6183:
6153:
6151:
6150:
6145:
6143:
6139:
6132:
6131:
6104:
6102:
6101:
6096:
6084:
6082:
6081:
6076:
6060:
6058:
6057:
6052:
6050:
6049:
6033:
6031:
6030:
6025:
6006:
6004:
6003:
5998:
5965:
5963:
5962:
5957:
5955:
5951:
5950:
5949:
5938:
5937:
5900:
5898:
5897:
5892:
5868:
5866:
5865:
5860:
5836:
5834:
5833:
5828:
5798:
5796:
5795:
5790:
5785:
5781:
5780:
5779:
5768:
5767:
5733:
5731:
5730:
5725:
5707:
5705:
5704:
5699:
5665:
5663:
5662:
5657:
5645:
5643:
5642:
5637:
5625:
5623:
5622:
5617:
5602:
5600:
5599:
5594:
5582:
5580:
5579:
5574:
5532:
5530:
5529:
5524:
5491:
5489:
5488:
5483:
5453:
5451:
5450:
5445:
5415:
5413:
5412:
5407:
5374:
5372:
5371:
5366:
5342:
5340:
5339:
5334:
5306:
5304:
5303:
5298:
5265:
5263:
5262:
5257:
5224:
5222:
5221:
5216:
5204:
5202:
5201:
5196:
5166:
5164:
5163:
5158:
5125:
5123:
5122:
5117:
5101:
5099:
5098:
5093:
5060:
5058:
5057:
5052:
5019:
5017:
5016:
5011:
4981:
4979:
4978:
4973:
4958:
4956:
4955:
4950:
4938:
4936:
4935:
4930:
4918:
4916:
4915:
4910:
4874:
4872:
4871:
4866:
4854:
4852:
4851:
4846:
4834:
4832:
4831:
4826:
4790:
4788:
4787:
4782:
4764:
4762:
4761:
4756:
4744:
4742:
4741:
4736:
4724:
4722:
4721:
4716:
4704:
4702:
4701:
4696:
4684:
4682:
4681:
4676:
4664:
4662:
4661:
4656:
4644:
4642:
4641:
4636:
4624:
4622:
4621:
4616:
4600:
4598:
4597:
4592:
4555:
4553:
4552:
4547:
4508:
4506:
4505:
4500:
4467:
4465:
4464:
4459:
4426:
4424:
4423:
4418:
4400:
4398:
4397:
4392:
4374:
4372:
4371:
4366:
4318:
4316:
4315:
4310:
4280:
4278:
4277:
4272:
4240:Given a pairing
4232:
4230:
4229:
4224:
4219:
4218:
4213:
4209:
4205:
4204:
4199:
4187:
4186:
4167:
4165:
4164:
4159:
4147:
4145:
4144:
4139:
4121:
4119:
4118:
4113:
4108:
4104:
4103:
4090:
4089:
4084:
4075:, i.e., the set
4074:
4072:
4071:
4066:
4054:
4052:
4051:
4046:
4044:
4043:
4024:
4022:
4021:
4016:
4000:
3998:
3997:
3992:
3974:
3972:
3971:
3966:
3947:
3945:
3944:
3939:
3937:
3936:
3924:
3923:
3907:
3905:
3904:
3899:
3884:
3882:
3881:
3876:
3862:
3860:
3859:
3854:
3839:
3837:
3836:
3831:
3829:
3828:
3812:
3810:
3809:
3804:
3792:
3790:
3789:
3784:
3772:
3770:
3769:
3764:
3762:
3761:
3745:
3743:
3742:
3737:
3725:
3723:
3722:
3717:
3695:
3693:
3692:
3687:
3685:
3684:
3666:
3664:
3663:
3658:
3653:
3652:
3636:
3634:
3633:
3628:
3608:
3606:
3605:
3600:
3588:
3586:
3585:
3580:
3565:
3563:
3562:
3557:
3552:
3548:
3541:
3518:
3512:
3477:
3476:
3460:
3458:
3457:
3452:
3450:
3449:
3433:
3431:
3430:
3425:
3413:
3411:
3410:
3405:
3390:
3388:
3387:
3382:
3377:
3373:
3366:
3343:
3337:
3302:
3301:
3285:
3283:
3282:
3277:
3265:
3263:
3262:
3257:
3237:
3235:
3234:
3229:
3227:
3215:
3213:
3212:
3207:
3163:
3161:
3160:
3155:
3137:
3135:
3134:
3129:
3127:
3126:
3110:
3108:
3107:
3102:
3090:
3088:
3087:
3082:
3070:
3068:
3067:
3062:
2979:
2978:
2962:
2960:
2959:
2954:
2917:
2915:
2914:
2909:
2891:
2889:
2888:
2883:
2865:
2863:
2862:
2857:
2824:
2822:
2821:
2816:
2777:
2775:
2774:
2769:
2745:
2743:
2742:
2737:
2719:
2717:
2716:
2711:
2693:
2691:
2690:
2685:
2652:
2650:
2649:
2644:
2622:
2620:
2619:
2614:
2602:
2600:
2599:
2594:
2574:
2572:
2571:
2566:
2554:
2552:
2551:
2546:
2534:
2532:
2531:
2526:
2514:
2512:
2511:
2506:
2494:
2492:
2491:
2486:
2474:
2472:
2471:
2466:
2454:
2452:
2451:
2446:
2428:
2426:
2425:
2420:
2409:
2406:
2372:
2370:
2369:
2364:
2345:
2344:
2338:
2336:
2335:
2330:
2318:
2316:
2315:
2310:
2290:
2288:
2287:
2282:
2248:
2246:
2245:
2240:
2222:
2220:
2219:
2214:
2202:
2200:
2199:
2194:
2181:
2179:
2178:
2173:
2157:
2155:
2154:
2149:
2133:
2131:
2130:
2125:
2107:
2105:
2104:
2099:
2066:
2064:
2063:
2058:
2040:
2038:
2037:
2032:
2020:
2018:
2017:
2012:
2010:
1969:
1967:
1966:
1961:
1940:
1938:
1937:
1932:
1914:
1912:
1911:
1906:
1871:
1869:
1868:
1863:
1845:
1843:
1842:
1837:
1823:
1821:
1820:
1815:
1801:
1799:
1798:
1793:
1775:
1773:
1772:
1767:
1734:
1732:
1731:
1726:
1708:
1706:
1705:
1700:
1688:
1686:
1685:
1680:
1678:
1637:
1635:
1634:
1629:
1611:
1609:
1608:
1603:
1585:
1583:
1582:
1577:
1542:
1540:
1539:
1534:
1516:
1514:
1513:
1508:
1494:
1492:
1491:
1486:
1467:
1465:
1464:
1459:
1444:
1442:
1441:
1436:
1434:
1422:
1421:
1416:
1415:
1410:
1409:
1404:
1402:
1401:
1396:
1354:
1352:
1351:
1346:
1322:
1320:
1319:
1314:
1272:
1270:
1269:
1264:
1262:
1258:
1236:
1234:
1233:
1228:
1201:
1199:
1198:
1193:
1162:
1160:
1159:
1154:
1087:
1084:
1013:
1011:
1010:
1005:
989:
987:
986:
981:
952:
950:
949:
944:
928:
926:
925:
920:
891:
889:
888:
883:
881:
854:
846:
840:
836:
829:
821:
779:
777:
776:
771:
750:
748:
747:
742:
740:
716:
708:
702:
698:
691:
683:
641:
639:
638:
633:
612:
610:
609:
604:
602:
587:
586:
584:
583:
578:
576:
560:
558:
557:
552:
550:
524:
522:
521:
516:
514:
481:
479:
478:
473:
471:
459:
457:
456:
451:
439:
437:
436:
431:
419:
417:
416:
411:
381:
379:
378:
373:
340:
338:
337:
332:
330:
313:
312:
268:
266:
265:
260:
258:
222:
220:
219:
214:
212:
200:
198:
197:
192:
180:
178:
177:
172:
156:
154:
153:
148:
118:
116:
115:
110:
108:
71:
64:
60:
57:
51:
50:for suggestions.
46:See Knowledge's
31:
30:
23:
40376:
40375:
40371:
40370:
40369:
40367:
40366:
40365:
40336:
40335:
40334:
40329:
40311:
40073:B-complete/Ptak
40056:
40000:
39964:
39956:
39935:Bounding points
39898:
39840:Densely defined
39786:
39775:Bounded inverse
39721:
39655:
39649:
39619:
39614:
39598:
39577:
39561:
39540:
39461:
39410:
39400:
39370:
39365:
39349:
39316:
39271:
39202:
39128:
39119:Semi-continuity
39104:Convex function
39085:Logarithmically
39052:
39013:Convex geometry
38994:
38985:Convex function
38968:
38962:Convex analysis
38959:
38929:
38924:
38906:
38870:Advanced topics
38865:
38789:
38768:
38727:
38693:Hilbert–Schmidt
38666:
38657:Gelfand–Naimark
38604:
38554:
38489:
38475:
38438:
38420:
38373:
38339:
38288:
38272:
38267:
38266:
38258:
38251:
38243:
38239:
38231:
38227:
38219:
38212:
38204:
38200:
38192:
38183:
38175:
38168:
38160:
38156:
38148:
38133:
38125:
38020:
38015:
38010:
38009:
37990:
37987:
37986:
37970:
37967:
37966:
37947:
37944:
37943:
37941:
37937:
37916:
37913:
37912:
37896:
37893:
37892:
37890:
37886:
37842:
37840:
37839:
37838:
37834:
37797:
37794:
37793:
37764:
37762:
37761:
37759:
37756:
37755:
37730:
37727:
37726:
37658:
37655:
37654:
37638:
37635:
37634:
37618:
37615:
37614:
37579:
37577:
37576:
37574:
37571:
37570:
37554:
37551:
37550:
37522:
37519:
37518:
37516:
37512:
37473:
37471:
37470:
37461:
37457:
37420:
37417:
37416:
37387:
37385:
37384:
37382:
37379:
37378:
37353:
37350:
37349:
37281:
37278:
37277:
37261:
37258:
37257:
37241:
37238:
37237:
37202:
37200:
37199:
37197:
37194:
37193:
37177:
37174:
37173:
37145:
37142:
37141:
37139:
37135:
37096:
37094:
37093:
37084:
37080:
37043:
37040:
37039:
37010:
37008:
37007:
37005:
37002:
37001:
36976:
36973:
36972:
36904:
36901:
36900:
36884:
36881:
36880:
36864:
36861:
36860:
36825:
36823:
36822:
36820:
36817:
36816:
36800:
36797:
36796:
36768:
36765:
36764:
36762:
36758:
36711:
36709:
36708:
36707:
36703:
36666:
36663:
36662:
36633:
36631:
36630:
36628:
36625:
36624:
36599:
36596:
36595:
36527:
36524:
36523:
36507:
36504:
36503:
36487:
36484:
36483:
36448:
36446:
36445:
36443:
36440:
36439:
36423:
36420:
36419:
36391:
36388:
36387:
36385:
36381:
36362:
36359:
36358:
36342:
36339:
36338:
36315:
36312:
36311:
36295:
36292:
36291:
36251:
36248:
36247:
36231:
36228:
36227:
36199:
36196:
36195:
36149:
36146:
36145:
36094:
36091:
36090:
36071:
36068:
36067:
36051:
36048:
36047:
36046:continuous, as
36031:
36000:
35997:
35996:
35980:
35977:
35976:
35960:
35957:
35956:
35954:
35950:
35931:
35928:
35927:
35852:
35822:
35815:
35811:
35779:
35776:
35775:
35759:
35756:
35755:
35739:
35736:
35735:
35733:
35729:
35704:
35701:
35700:
35675:
35648:
35645:
35644:
35622:
35619:
35618:
35602:
35599:
35598:
35582:
35579:
35578:
35576:
35572:
35567:
35547:
35503:
35473:Beta-dual space
35469:
35427:
35424:
35423:
35407:
35404:
35403:
35366:
35363:
35362:
35336:
35332:
35330:
35327:
35326:
35310:
35307:
35306:
35283:
35272:
35262:
35258:
35254:
35244:
35240:
35238:
35235:
35234:
35217:
35213:
35200:
35196:
35192:
35190:
35187:
35186:
35169:
35158:
35148:
35144:
35140:
35130:
35126:
35124:
35121:
35120:
35083:
35080:
35079:
35042:
35039:
35038:
35016:
35013:
35012:
34945:
34942:
34941:
34921:
34917:
34911:
34907:
34901:
34890:
34872:
34868:
34859:
34855:
34854:
34850:
34845:
34842:
34841:
34825:
34805:
34802:
34801:
34779:
34776:
34775:
34756:
34753:
34752:
34729:
34725:
34723:
34720:
34719:
34702:
34691:
34681:
34677:
34673:
34663:
34659:
34657:
34654:
34653:
34637:
34634:
34633:
34630:
34625:
34602:
34601:
34590:
34587:
34586:
34566:
34565:
34554:
34551:
34550:
34534:
34531:
34530:
34508:
34504:
34497:
34493:
34491:
34488:
34487:
34471:
34468:
34467:
34450:
34449:
34447:
34444:
34443:
34418:
34414:
34407:
34403:
34401:
34398:
34397:
34380:
34376:
34374:
34371:
34370:
34350:
34349:
34338:
34335:
34334:
34330:
34301:
34298:
34297:
34281:
34278:
34277:
34261:
34258:
34257:
34235:
34232:
34231:
34209:
34206:
34205:
34189:
34186:
34185:
34169:
34166:
34165:
34149:
34146:
34145:
34117:
34114:
34113:
34110:
34091:
34088:
34087:
34050:
34047:
34046:
34030:
34027:
34026:
34025:is a barrel in
34010:
34007:
34006:
33989:
33988:
33986:
33983:
33982:
33966:
33963:
33962:
33946:
33943:
33942:
33908:
33905:
33904:
33900:
33858:
33857:
33846:
33843:
33842:
33822:
33821:
33810:
33807:
33806:
33786:
33783:
33782:
33766:
33763:
33762:
33761:is a subset of
33746:
33743:
33742:
33719:
33715:
33707:
33704:
33703:
33685:
33682:
33681:
33665:
33662:
33661:
33641:
33640:
33638:
33635:
33634:
33617:
33616:
33614:
33611:
33610:
33594:
33591:
33590:
33573:
33572:
33570:
33567:
33566:
33549:
33548:
33546:
33543:
33542:
33525:
33524:
33522:
33519:
33518:
33502:
33499:
33498:
33482:
33479:
33478:
33461:
33460:
33458:
33455:
33454:
33437:
33436:
33434:
33431:
33430:
33423:
33406:
33403:
33402:
33383:
33380:
33379:
33363:
33360:
33359:
33343:
33341:
33338:
33337:
33321:
33319:
33316:
33315:
33295:
33292:
33291:
33287:
33263:
33260:
33259:
33243:
33240:
33239:
33219:
33216:
33215:
33166:
33163:
33162:
33142:
33140:
33137:
33136:
33120:
33118:
33115:
33114:
33113:is a TVS (over
33098:
33095:
33094:
33091:
33086:
33039:
33038:
33009:
33006:
33005:
32988:
32987:
32985:
32982:
32981:
32962:
32959:
32958:
32941:
32940:
32938:
32935:
32934:
32918:
32915:
32914:
32898:
32895:
32894:
32860:
32857:
32856:
32852:
32805:
32802:
32801:
32785:
32782:
32781:
32762:
32759:
32758:
32721:
32718:
32717:
32677:
32674:
32673:
32670:
32651:
32648:
32647:
32606:
32603:
32602:
32585:
32584:
32582:
32579:
32578:
32561:
32560:
32558:
32555:
32554:
32553:if and only if
32520:
32517:
32516:
32499:
32498:
32496:
32493:
32492:
32476:
32473:
32472:
32455:
32454:
32452:
32449:
32448:
32432:
32429:
32428:
32412:
32409:
32408:
32374:
32371:
32370:
32366:
32354:
32348:Mackey topology
32342:Main articles:
32340:
32305:
32301:
32300:
32296:
32294:
32291:
32290:
32266:
32263:
32262:
32259:Mackey topology
32224:
32221:
32220:
32183:
32180:
32179:
32160:
32157:
32156:
32140:
32137:
32136:
32110:
32099:
32098:
32091:
32087:
32086:
32084:
32081:
32080:
32064:
32061:
32060:
32044:
32041:
32040:
32024:
32021:
32020:
32004:
32001:
32000:
31952:
31951:
31944:
31940:
31938:
31935:
31934:
31896:
31893:
31892:
31880:and that it is
31860:
31859:
31857:
31854:
31853:
31837:
31834:
31833:
31816:
31815:
31813:
31810:
31809:
31793:
31791:
31788:
31787:
31753:
31750:
31749:
31746:
31692:
31689:
31688:
31636:
31633:
31632:
31583:
31580:
31579:
31551:
31548:
31547:
31544:
31542:Bounded subsets
31538:is continuous.
31445:
31442:
31441:
31407:
31404:
31403:
31369:
31366:
31365:
31333:
31330:
31329:
31325:is continuous.
31232:
31229:
31228:
31194:
31191:
31190:
31156:
31153:
31152:
31120:
31117:
31116:
31108:
31098:
31096:strong topology
31054:
31051:
31050:
31049:
31013:
31010:
31009:
30970:
30967:
30966:
30921:
30918:
30917:
30878:
30875:
30874:
30872:
30835:
30832:
30831:
30786:
30783:
30782:
30743:
30740:
30739:
30733:Mackey topology
30692:
30689:
30688:
30646:
30643:
30642:
30594:
30591:
30590:
30589:
30553:
30550:
30549:
30531:
30528:
30527:
30486:
30483:
30482:
30480:
30465:
30462:
30461:
30445:
30426:
30425:
30416:
30415:
30413:
30410:
30409:
30366:
30363:
30362:
30346:
30343:
30342:
30325:
30321:
30319:
30316:
30315:
30283:
30279:
30277:
30274:
30273:
30233:
30229:
30227:
30224:
30223:
30201:
30198:
30197:
30160:
30157:
30156:
30139:
30135:
30133:
30130:
30129:
30097:
30093:
30091:
30088:
30087:
30047:
30043:
30041:
30038:
30037:
30021:
30018:
30017:
30001:
29998:
29997:
29960:
29957:
29956:
29914:
29911:
29910:
29893:
29892:
29884:
29881:
29880:
29863:
29862:
29848:
29845:
29844:
29823:
29822:
29820:
29817:
29816:
29810:
29794:
29793:
29791:
29788:
29787:
29766:
29765:
29763:
29760:
29759:
29743:
29740:
29739:
29701:
29700:
29685:
29681:
29677:
29673:
29671:
29668:
29667:
29651:
29648:
29647:
29627:
29624:
29623:
29604:
29603:
29601:
29598:
29597:
29580:
29577:
29576:
29559:
29558:
29556:
29553:
29552:
29536:
29533:
29532:
29510:
29507:
29506:
29489:
29488:
29486:
29483:
29482:
29479:
29473:
29450:
29447:
29446:
29409:
29406:
29405:
29388:
29387:
29385:
29382:
29381:
29365:
29363:
29360:
29359:
29325:
29322:
29321:
29317:of this range.
29303:
29297:
29275:
29272:
29271:
29255:
29252:
29251:
29213:
29209:
29208:
29204:
29192:
29188:
29187:
29183:
29181:
29178:
29177:
29161:
29158:
29157:
29141:
29138:
29137:
29121:
29118:
29117:
29081:
29077:
29076:
29072:
29060:
29056:
29055:
29051:
29049:
29046:
29045:
29025:
29022:
29021:
28978:
28974:
28973:
28969:
28957:
28953:
28952:
28948:
28946:
28943:
28942:
28923:
28920:
28919:
28903:
28900:
28899:
28879:
28876:
28875:
28837:
28833:
28832:
28828:
28816:
28812:
28811:
28807:
28805:
28802:
28801:
28785:
28782:
28781:
28748:
28744:
28743:
28739:
28727:
28723:
28722:
28718:
28716:
28713:
28712:
28696:
28693:
28692:
28673:
28670:
28669:
28647:
28644:
28643:
28626:
28622:
28614:
28611:
28610:
28582:
28578:
28577:
28573:
28568:
28565:
28564:
28544:
28541:
28540:
28517:
28513:
28505:
28502:
28501:
28484:
28480:
28478:
28475:
28474:
28454:
28451:
28450:
28447:
28422:
28418:
28416:
28413:
28412:
28395:
28391:
28389:
28386:
28385:
28353:
28350:
28349:
28333:
28330:
28329:
28307:
28303:
28301:
28298:
28297:
28276:
28272:
28268:
28259:
28257:
28256:
28244:
28242:
28241:
28233:
28230:
28229:
28202:
28198:
28191:
28187:
28177:
28173:
28154:
28150:
28143:
28139:
28129:
28125:
28117:
28114:
28113:
28097:
28094:
28093:
28065:
28062:
28061:
28045:
28042:
28041:
28011:
28009:
28008:
28007:
28003:
27989:
27986:
27985:
27969:
27966:
27965:
27949:
27946:
27945:
27929:
27926:
27925:
27903:
27899:
27897:
27894:
27893:
27876:
27872:
27870:
27867:
27866:
27845:
27841:
27832:
27828:
27819:
27817:
27816:
27814:
27811:
27810:
27794:
27791:
27790:
27771:
27768:
27767:
27744:
27742:
27741:
27739:
27736:
27735:
27719:
27716:
27715:
27683:
27680:
27679:
27660:
27657:
27656:
27653:
27561:
27559:
27558:
27556:
27553:
27552:
27524:
27521:
27520:
27498:
27496:
27495:
27493:
27490:
27489:
27461:
27458:
27457:
27434:
27430:
27406:
27404:
27403:
27395:
27392:
27391:
27373:
27370:
27369:
27338:
27335:
27334:
27314:
27312:
27311:
27309:
27306:
27305:
27220:
27217:
27216:
27185:
27182:
27181:
27153:
27150:
27149:
27121:
27118:
27117:
27096:
27093:
27092:
27070:
27067:
27066:
27028:
27025:
27024:
27021:relatively open
26992:
26989:
26988:
26957:
26955:
26954:
26952:
26949:
26948:
26862:
26860:
26859:
26857:
26854:
26853:
26837:
26834:
26833:
26801:
26798:
26797:
26771:
26767:
26765:
26762:
26761:
26726:
26724:
26723:
26721:
26718:
26717:
26679:
26675:
26673:
26670:
26669:
26585:
26582:
26581:
26550:
26547:
26546:
26518:
26515:
26514:
26497:
26493:
26485:
26482:
26481:
26464:
26460:
26452:
26449:
26448:
26420:
26417:
26416:
26390:
26386:
26384:
26381:
26380:
26377:
26353:
26349:
26347:
26344:
26343:
26326:
26320:
26319:
26318:
26316:
26313:
26312:
26296:
26293:
26292:
26262:
26258:
26254:
26246:
26243:
26242:
26225:
26224:
26222:
26219:
26218:
26202:
26199:
26198:
26181:
26176:
26175:
26166:
26161:
26160:
26152:
26149:
26148:
26124:
26119:
26100:
26095:
26090:
26086:
26077:
26071:
26070:
26069:
26067:
26064:
26063:
26044:
26041:
26040:
26039:is a basis for
26018:
26014:
25999:
25995:
25994:
25990:
25981:
25980:
25978:
25975:
25974:
25956:
25953:
25952:
25935:
25930:
25929:
25915:
25912:
25911:
25881:
25856:
25852:
25830:
25826:
25822:
25816:
25812:
25810:
25807:
25806:
25775:
25763:
25759:
25743:
25739:
25721:
25717:
25713:
25707:
25703:
25696:
25692:
25690:
25687:
25686:
25665:
25661:
25657:
25651:
25647:
25645:
25642:
25641:
25618:
25614:
25601:
25597:
25593:
25587:
25583:
25581:
25578:
25577:
25558:
25554:
25545:
25541:
25539:
25536:
25535:
25515:
25511:
25502:
25498:
25486:
25484:
25483:
25474:
25470:
25468:
25465:
25464:
25447:
25443:
25441:
25438:
25437:
25421:
25418:
25417:
25385:
25382:
25381:
25356:
25352:
25345:
25341:
25339:
25336:
25335:
25313:
25309:
25302:
25298:
25296:
25293:
25292:
25289:
25268:
25265:
25264:
25248:
25245:
25244:
25228:
25225:
25224:
25208:
25205:
25204:
25181:
25177:
25175:
25172:
25171:
25155:
25152:
25151:
25135:
25132:
25131:
25112:
25109:
25108:
25092:
25089:
25088:
25050:
25047:
25046:
25007:
25004:
25003:
24980:
24977:
24976:
24960:
24957:
24956:
24940:
24937:
24936:
24906:
24902:
24888:
24884:
24877:
24873:
24871:
24868:
24867:
24839:
24836:
24835:
24801:
24798:
24797:
24781:
24778:
24777:
24757:
24754:
24753:
24714:
24711:
24710:
24694:
24691:
24690:
24674:
24671:
24670:
24654:
24651:
24650:
24647:
24622:
24619:
24618:
24597:
24593:
24584:
24580:
24578:
24575:
24574:
24573:if and only if
24553:
24548:
24542:
24539:
24538:
24535:weak-* topology
24518:
24515:
24514:
24490:
24486:
24484:
24481:
24480:
24474:weak-* topology
24457:
24454:
24453:
24410:
24407:
24406:
24389:
24385:
24383:
24380:
24379:
24362:
24358:
24350:
24347:
24346:
24322:
24318:
24310:
24307:
24306:
24263:
24260:
24259:
24240:
24237:
24236:
24220:
24217:
24216:
24199:
24195:
24193:
24190:
24189:
24173:
24170:
24169:
24140:
24136:
24127:
24123:
24121:
24118:
24117:
24101:
24098:
24097:
24075:
24072:
24071:
24054:
24044:
24040:
24036:
24035:
24027:
24024:
24023:
24006:
23996:
23992:
23988:
23987:
23979:
23976:
23975:
23948:
23944:
23937:
23933:
23923:
23919:
23917:
23914:
23913:
23893:
23889:
23887:
23884:
23883:
23878:is a Hausdorff
23863:
23860:
23859:
23826:
23822:
23821:
23817:
23805:
23801:
23800:
23796:
23794:
23791:
23790:
23774:
23771:
23770:
23762:. There exist
23760:weakly-complete
23720:
23717:
23716:
23699:
23696:
23695:
23642:
23639:
23638:
23635:
23608:
23604:
23597:
23593:
23588:
23585:
23584:
23568:
23565:
23564:
23548:
23545:
23544:
23522:
23518:
23511:
23507:
23502:
23499:
23498:
23481:
23477:
23475:
23472:
23471:
23455:
23452:
23451:
23448:
23443:
23410:
23408:
23407:
23405:
23402:
23401:
23382:
23379:
23378:
23362:
23359:
23358:
23338:
23336:
23335:
23333:
23330:
23329:
23231:
23229:
23228:
23226:
23223:
23222:
23190:
23188:
23187:
23185:
23182:
23181:
23162:
23159:
23158:
23138:
23135:
23134:
23066:
23063:
23062:
23059:is continuous);
22969:
22966:
22965:
22949:
22946:
22945:
22914:
22911:
22910:
22894:
22891:
22890:
22874:
22871:
22870:
22866:
22856:is continuous.
22766:
22763:
22762:
22728:
22725:
22724:
22690:
22687:
22686:
22654:
22651:
22650:
22647:
22645:Weak continuity
22615:
22613:
22612:
22611:
22607:
22593:
22590:
22589:
22561:
22558:
22557:
22541:
22538:
22537:
22521:
22518:
22517:
22483:
22479:
22452:
22450:
22449:
22441:
22438:
22437:
22404:
22401:
22400:
22399:if and only if
22383:
22379:
22366:
22362:
22358:
22349:
22347:
22346:
22344:
22341:
22340:
22318:
22315:
22314:
22292:
22289:
22288:
22265:
22261:
22244:
22241:
22240:
22220:
22216:
22203:
22199:
22195:
22186:
22184:
22183:
22181:
22178:
22177:
22155:
22152:
22151:
22131:
22127:
22114:
22110:
22106:
22097:
22095:
22094:
22092:
22089:
22088:
22063:
22060:
22059:
22028:
22025:
22024:
22000:
21996:
21992:
21983:
21969:
21967:
21966:
21965:
21961:
21960:
21951:
21947:
21930:
21927:
21926:
21905:
21902:
21901:
21880:
21876:
21874:
21871:
21870:
21848:
21845:
21844:
21822:
21808:
21806:
21805:
21804:
21800:
21799:
21783:
21779:
21775:
21769:
21767:
21766:
21764:
21761:
21760:
21721:
21717:
21713:
21707:
21705:
21704:
21702:
21699:
21698:
21663:
21659:
21657:
21654:
21653:
21621:
21619:
21618:
21616:
21613:
21612:
21584:
21581:
21580:
21555:
21553:
21552:
21540:
21538:
21537:
21513:
21511:
21510:
21508:
21505:
21504:
21457:
21455:
21454:
21452:
21449:
21448:
21411:
21408:
21407:
21375:
21373:
21372:
21370:
21367:
21366:
21338:
21335:
21334:
21318:
21316:
21313:
21312:
21278:
21275:
21274:
21240:
21238:
21237:
21235:
21232:
21231:
21211:
21209:
21208:
21206:
21203:
21202:
21182:
21180:
21179:
21177:
21174:
21173:
21131:
21127:
21117:
21113:
21111:
21108:
21107:
21091:
21088:
21087:
21055:
21053:
21052:
21044:
21041:
21040:
21004:
21002:
21001:
20999:
20996:
20995:
20960:
20958:
20957:
20955:
20952:
20951:
20923:
20920:
20919:
20903:
20901:
20898:
20897:
20863:
20860:
20859:
20825:
20822:
20821:
20818:
20788:
20785:
20784:
20760:
20757:
20756:
20732:
20729:
20728:
20704:
20701:
20700:
20673:
20670:
20669:
20635:
20633:
20632:
20625:
20621:
20586:
20583:
20582:
20545:
20543:
20542:
20533:
20529:
20492:
20489:
20488:
20459:
20457:
20456:
20454:
20451:
20450:
20425:
20422:
20421:
20401:
20399:
20398:
20396:
20393:
20392:
20353:
20350:
20349:
20315:
20312:
20311:
20295:
20292:
20291:
20251:
20249:
20248:
20246:
20243:
20242:
20210:
20208:
20207:
20205:
20202:
20201:
20185:
20182:
20181:
20116:
20113:
20112:
20090:
20087:
20086:
20064:
20061:
20060:
19982:
19979:
19978:
19886:
19883:
19882:
19814:
19811:
19810:
19787:
19783:
19781:
19778:
19777:
19761:
19758:
19757:
19718:
19715:
19714:
19698:
19695:
19694:
19678:
19675:
19674:
19659:
19644:
19641:
19640:
19591:
19588:
19587:
19571:
19531:
19528:
19527:
19502:
19499:
19498:
19467:
19464:
19463:
19447:
19445:
19442:
19441:
19407:
19404:
19403:
19369:
19366:
19365:
19362:
19348:
19343:
19320:
19317:
19316:
19279:
19276:
19275:
19255:
19252:
19251:
19250:if and only if
19223:
19220:
19219:
19199:
19196:
19195:
19179:
19176:
19175:
19159:
19156:
19155:
19139:
19136:
19135:
19101:
19098:
19097:
19090:totally bounded
19052:
19049:
19048:
19007:
19004:
19003:
18987:
18984:
18983:
18967:
18964:
18963:
18947:
18944:
18943:
18942:If in addition
18922:
18919:
18918:
18897:
18893:
18891:
18888:
18887:
18850:
18847:
18846:
18830:
18827:
18826:
18819:bipolar theorem
18797:
18794:
18793:
18756:
18753:
18752:
18729:
18725:
18723:
18720:
18719:
18700:
18697:
18696:
18692:bipolar theorem
18669:
18666:
18665:
18624:
18621:
18620:
18604:
18601:
18600:
18563:
18560:
18559:
18543:
18540:
18539:
18519:
18516:
18515:
18499:
18496:
18495:
18441:
18438:
18437:
18421:
18418:
18417:
18400:
18396:
18394:
18391:
18390:
18361:
18358:
18357:
18323:
18320:
18319:
18295:
18292:
18291:
18275:
18272:
18271:
18251:
18247:
18239:
18236:
18235:
18207:
18203:
18202:
18198:
18193:
18190:
18189:
18173:
18170:
18169:
18149:
18145:
18143:
18140:
18139:
18123:
18120:
18119:
18103:
18100:
18099:
18096:
18070:
18065:
18062:
18061:
18012:
18009:
18008:
17982:
17978:
17967:
17963:
17959:
17954:
17951:
17950:
17890:
17887:
17886:
17870:
17861:
17857:
17846:
17832:
17827:
17824:
17823:
17799:
17787:
17783:
17772:
17768:
17764:
17762:
17759:
17758:
17739:
17736:
17735:
17719:
17716:
17715:
17712:
17683:
17677:
17676:
17675:
17663:
17659:
17654:
17644:
17640:
17638:
17635:
17634:
17585:
17582:
17581:
17529:
17526:
17525:
17509:
17506:
17505:
17479:
17473:
17472:
17471:
17459:
17455:
17450:
17440:
17436:
17431:
17428:
17427:
17379:
17375:
17362:
17358:
17356:
17353:
17352:
17336:
17327:
17323:
17318:
17300:
17294:
17293:
17292:
17287:
17284:
17283:
17262:
17258:
17254:
17249:
17244:
17241:
17240:
17223:
17219:
17214:
17209:
17206:
17205:
17183:
17177:
17176:
17175:
17163:
17159:
17154:
17144:
17140:
17138:
17135:
17134:
17080:
17077:
17076:
17060:
17057:
17056:
17036:
17033:
17032:
16995:
16992:
16991:
16966:
16963:
16962:
16928:
16925:
16924:
16890:
16887:
16886:
16870:
16867:
16866:
16850:
16847:
16846:
16843:
16820:
16817:
16816:
16799:
16795:
16793:
16790:
16789:
16772:
16768:
16766:
16763:
16762:
16745:
16741:
16739:
16736:
16735:
16719:
16716:
16715:
16692:
16687:
16671:
16658:
16647:
16643:
16631:
16626:
16622:
16621:
16619:
16616:
16615:
16599:
16596:
16595:
16572:
16562:
16558:
16554:
16553:
16551:
16548:
16547:
16515:
16510:
16494:
16489:
16485:
16478:
16474:
16444:
16440:
16431:
16420:
16416:
16404:
16399:
16395:
16394:
16392:
16389:
16388:
16372:
16369:
16368:
16331:
16328:
16327:
16326:is a family of
16304:
16294:
16290:
16286:
16285:
16283:
16280:
16279:
16255:
16251:
16243:
16240:
16239:
16223:
16220:
16219:
16182:
16179:
16178:
16162:
16159:
16158:
16100:
16096:
16095:
16091:
16082:
16078:
16070:
16067:
16066:
16027:
16024:
16023:
16006:
16002:
15993:
15949:
15945:
15944:
15940:
15939:
15930:
15926:
15905:
15901:
15899:
15896:
15895:
15876:
15873:
15872:
15856:
15853:
15852:
15818:
15815:
15814:
15811:
15790:
15787:
15786:
15770:
15767:
15766:
15744:
15739:
15726:
15716:
15711:
15703:
15702:
15701:
15697:
15692:
15689:
15688:
15659:
15649:
15644:
15636:
15635:
15633:
15630:
15629:
15607:
15604:
15603:
15573:
15568:
15555:
15545:
15540:
15532:
15531:
15530:
15526:
15521:
15518:
15517:
15501:
15498:
15497:
15468:
15458:
15453:
15445:
15444:
15429:
15419:
15414:
15406:
15405:
15403:
15400:
15399:
15382:
15377:
15371:
15368:
15367:
15350:
15346:
15344:
15341:
15340:
15323:
15313:
15308:
15300:
15299:
15297:
15294:
15293:
15276:
15272:
15270:
15267:
15266:
15238:
15234:
15233:
15229:
15224:
15221:
15220:
15199:
15195:
15193:
15190:
15189:
15170:
15167:
15166:
15149:
15139:
15134:
15126:
15125:
15123:
15120:
15119:
15097:
15092:
15079:
15069:
15064:
15056:
15055:
15054:
15050:
15045:
15042:
15041:
15024:
15014:
15009:
15001:
15000:
14998:
14995:
14994:
14978:
14975:
14974:
14958:
14955:
14954:
14937:
14933:
14931:
14928:
14927:
14899:
14895:
14894:
14890:
14885:
14882:
14881:
14852:
14842:
14837:
14829:
14828:
14822:
14809:
14787:
14783:
14782:
14778:
14766:
14762:
14761:
14757:
14756:
14754:
14751:
14750:
14724:
14720:
14718:
14715:
14714:
14697:
14693:
14684:
14680:
14678:
14675:
14674:
14658:
14655:
14654:
14638:
14635:
14634:
14618:
14615:
14614:
14581:
14577:
14576:
14572:
14560:
14556:
14555:
14551:
14549:
14546:
14545:
14529:
14526:
14525:
14498:
14494:
14487:
14483:
14473:
14469:
14467:
14464:
14463:
14447:
14444:
14443:
14426:
14422:
14420:
14417:
14416:
14400:
14397:
14396:
14342:
14338:
14306:
14302:
14267:
14264:
14263:
14214:
14211:
14210:
14203:
14181:
14178:
14177:
14161:
14158:
14157:
14141:
14138:
14137:
14121:
14118:
14117:
14084:
14036:
14032:
14030:
14027:
14026:
14006:
14002:
13997:
13992:
13989:
13988:
13939:
13936:
13935:
13912:
13909:
13908:
13892:
13889:
13888:
13872:
13869:
13868:
13847:
13844:
13843:
13827:
13824:
13823:
13807:
13804:
13803:
13764:
13761:
13760:
13738:
13735:
13734:
13685:
13682:
13681:
13661:
13658:
13657:
13576:
13573:
13572:
13523:
13520:
13519:
13496:
13494:
13491:
13490:
13456:
13453:
13452:
13448:
13391:
13388:
13387:
13384:
13337:
13334:
13333:
13315:
13312:
13311:
13295:
13292:
13291:
13248:
13245:
13244:
13225:
13222:
13221:
13205:
13202:
13201:
13164:
13161:
13160:
13157:
13095:
13072:
13070:
13067:
13066:
13038:
13026:
13003:
13000:
12994:
12991:
12990:
12953:
12950:
12949:
12933:
12930:
12929:
12913:
12910:
12909:
12906:
12904:Bounded subsets
12862:
12859:
12858:
12817:
12814:
12813:
12779:
12776:
12775:
12759:
12756:
12755:
12739:
12736:
12735:
12701:
12698:
12697:
12677:
12666:
12656:
12652:
12648:
12645:
12642:
12641:
12620:
12609:
12599:
12595:
12591:
12588:
12585:
12584:
12550:
12547:
12546:
12518:
12514:
12513:
12509:
12504:
12501:
12500:
12476:
12473:
12472:
12456:
12453:
12452:
12415:
12412:
12411:
12389:
12379:
12375:
12371:
12370:
12368:
12365:
12364:
12312:
12309:
12308:
12292:
12289:
12288:
12265:
12255:
12251:
12247:
12246:
12244:
12241:
12240:
12224:
12221:
12220:
12181:
12178:
12177:
12154:
12144:
12140:
12136:
12135:
12133:
12130:
12129:
12110:
12107:
12106:
12079:
12069:
12065:
12061:
12060:
12058:
12055:
12054:
12032:
12029:
12028:
12009:
12006:
12005:
11989:
11986:
11985:
11966:
11943:
11925:
11921:
11919:
11916:
11915:
11899:
11884:
11880:
11878:
11875:
11874:
11833:
11830:
11829:
11776:
11773:
11772:
11756:
11753:
11752:
11703:
11700:
11699:
11683:
11680:
11679:
11663:
11660:
11659:
11642:
11631:
11621:
11617:
11613:
11610:
11607:
11606:
11590:
11587:
11586:
11570:
11567:
11566:
11550:
11547:
11546:
11509:
11506:
11505:
11489:
11486:
11485:
11432:
11428:
11426:
11423:
11422:
11385:
11382:
11381:
11344:
11341:
11340:
11303:
11300:
11299:
11261:
11258:
11257:
11220:
11217:
11216:
11200:
11197:
11196:
11179:
11176:
11175:
11159:
11156:
11155:
11127:
11124:
11123:
11102:
11099:
11098:
11070:
11067:
11066:
11047:
11045:
11042:
11041:
11022:
11019:
11018:
10974:
10971:
10970:
10954:
10951:
10950:
10933:
10929:
10927:
10924:
10923:
10888:
10884:
10882:
10879:
10878:
10838:
10834:
10832:
10829:
10828:
10812:
10809:
10808:
10792:
10789:
10788:
10765:
10762:
10761:
10745:
10742:
10741:
10722:
10719:
10718:
10702:
10699:
10698:
10682:
10651:
10648:
10647:
10613:
10610:
10609:
10572:
10569:
10568:
10549:
10546:
10545:
10529:
10526:
10525:
10508:
10505:
10504:
10488:
10485:
10484:
10460:
10457:
10456:
10437:
10435:
10432:
10431:
10393:
10390:
10389:
10386:
10384:Weak-* topology
10378:Main articles:
10376:
10353:
10349:
10341:
10338:
10337:
10313:
10310:
10309:
10292:
10288:
10282:
10278:
10272:
10261:
10237:
10234:
10233:
10216:
10212:
10204:
10201:
10200:
10181:
10178:
10177:
10154:
10150:
10141:
10137:
10135:
10132:
10131:
10109:
10106:
10105:
10077:
10073:
10072:
10068:
10051:
10047:
10046:
10042:
10028:
10024:
10015:
10011:
9998:
9994:
9989:
9986:
9985:
9966:
9964:
9961:
9960:
9944:
9941:
9940:
9924:
9921:
9920:
9883:
9880:
9879:
9857:
9824:
9821:
9820:
9791:
9776:
9774:
9771:
9770:
9754:
9751:
9750:
9724:
9720:
9712:
9709:
9708:
9680:
9676:
9668:
9665:
9664:
9634:
9631:
9630:
9606:
9534:
9530:
9528:
9525:
9524:
9505:
9502:
9501:
9485:
9482:
9481:
9462:
9459:
9458:
9442:
9439:
9438:
9404:
9401:
9400:
9380:
9376:
9370:
9366:
9357:
9353:
9347:
9343:
9324:
9320:
9311:
9307:
9298:
9294:
9293:
9289:
9275:
9271:
9262:
9258:
9257:
9253:
9252:
9248:
9243:
9240:
9239:
9208:
9204:
9195:
9191:
9182:
9178:
9177:
9173:
9170: and
9168:
9151:
9147:
9138:
9134:
9133:
9129:
9127:
9124:
9123:
9103:
9098:
9097:
9089:
9086:
9085:
9066:
9061:
9060:
9052:
9049:
9048:
9044:
8995:
8988:
8984:
8982:
8979:
8978:
8929:
8926:
8925:
8909:
8896:
8882:
8879:
8878:
8859:
8856:
8855:
8829:
8826:
8825:
8804:
8802:
8799:
8798:
8782:
8779:
8778:
8757:
8755:
8752:
8751:
8723:
8720:
8719:
8698:
8696:
8693:
8692:
8673:
8670:
8669:
8644:
8642:
8639:
8638:
8619:
8616:
8615:
8588:
8570:
8552:
8534:
8531:
8530:
8529:Define the map
8511:
8508:
8507:
8467:
8464:
8463:
8409:
8406:
8405:
8389:
8386:
8385:
8357:
8354:
8353:
8307:
8304:
8303:
8259:
8256:
8255:
8206:
8203:
8202:
8155:
8152:
8151:
8115:
8112:
8111:
8092:
8089:
8088:
8072:
8069:
8068:
8052:
8050:
8047:
8046:
8030:
8027:
8026:
7986:
7983:
7982:
7976:
7971:
7953:
7949:
7947:
7944:
7943:
7926:
7925:
7923:
7920:
7919:
7903:
7900:
7899:
7882:
7878:
7876:
7873:
7872:
7856:
7853:
7852:
7827:
7823:
7816:
7812:
7810:
7807:
7806:
7790:
7787:
7786:
7769:
7768:
7766:
7763:
7762:
7745:
7741:
7739:
7736:
7735:
7719:
7716:
7715:
7711:
7698:
7668:
7664:
7657:
7653:
7651:
7648:
7647:
7631:
7628:
7627:
7604:
7601:
7600:
7584:
7581:
7580:
7563:
7559:
7557:
7554:
7553:
7533:
7529:
7527:
7524:
7523:
7507:
7504:
7503:
7479:
7475:
7468:
7462:
7461:
7460:
7448:
7444:
7437:
7433:
7431:
7428:
7427:
7410:
7406:
7404:
7401:
7400:
7384:
7381:
7380:
7352:
7348:
7341:
7337:
7335:
7332:
7331:
7311:
7307:
7305:
7302:
7301:
7278:
7275:
7274:
7271:
7244:
7241:
7240:
7218:
7215:
7214:
7183:
7180:
7179:
7163:
7160:
7159:
7140:
7137:
7136:
7120:
7117:
7116:
7082:
7079:
7078:
7062:
7059:
7058:
7042:
7039:
7038:
7021:
7017:
7015:
7012:
7011:
6995:
6992:
6991:
6957:
6954:
6953:
6934:
6931:
6930:
6914:
6911:
6910:
6894:
6891:
6890:
6847:
6844:
6843:
6815:
6812:
6811:
6795:
6792:
6791:
6765:
6761:
6747:
6743:
6736:
6732:
6730:
6727:
6726:
6704:
6701:
6700:
6684:
6681:
6680:
6664:
6661:
6660:
6644:
6641:
6640:
6610:
6607:
6606:
6578:
6574:
6567:
6563:
6561:
6558:
6557:
6540:
6536:
6534:
6531:
6530:
6514:
6511:
6510:
6488:
6484:
6464:
6460:
6446:
6442:
6433:
6429:
6424:
6421:
6420:
6403:
6399:
6397:
6394:
6393:
6371:
6367:
6358:
6354:
6349:
6346:
6345:
6326:
6322:
6313:
6309:
6307:
6304:
6303:
6283:
6279:
6271:
6268:
6267:
6226:
6222:
6208:
6204:
6197:
6193:
6179:
6175:
6168:
6164:
6159:
6156:
6155:
6127:
6123:
6116:
6112:
6110:
6107:
6106:
6090:
6087:
6086:
6070:
6067:
6066:
6045:
6041:
6039:
6036:
6035:
6019:
6016:
6015:
6012:
5971:
5968:
5967:
5939:
5933:
5932:
5931:
5915:
5911:
5909:
5906:
5905:
5874:
5871:
5870:
5842:
5839:
5838:
5804:
5801:
5800:
5769:
5763:
5762:
5761:
5745:
5741:
5739:
5736:
5735:
5734:is the pairing
5713:
5710:
5709:
5675:
5672:
5671:
5651:
5648:
5647:
5631:
5628:
5627:
5608:
5605:
5604:
5588:
5585:
5584:
5550:
5547:
5546:
5543:
5538:
5497:
5494:
5493:
5459:
5456:
5455:
5421:
5418:
5417:
5383:
5380:
5379:
5376:
5348:
5345:
5344:
5316:
5313:
5312:
5271:
5268:
5267:
5230:
5227:
5226:
5210:
5207:
5206:
5172:
5169:
5168:
5131:
5128:
5127:
5111:
5108:
5107:
5066:
5063:
5062:
5025:
5022:
5021:
4987:
4984:
4983:
4964:
4961:
4960:
4944:
4941:
4940:
4924:
4921:
4920:
4883:
4880:
4879:
4877:Mackey topology
4860:
4857:
4856:
4840:
4837:
4836:
4802:
4799:
4798:
4773:
4770:
4769:
4750:
4747:
4746:
4730:
4727:
4726:
4710:
4707:
4706:
4690:
4687:
4686:
4670:
4667:
4666:
4650:
4647:
4646:
4630:
4627:
4626:
4610:
4607:
4606:
4565:
4562:
4561:
4558:dual definition
4520:
4517:
4516:
4473:
4470:
4469:
4435:
4432:
4431:
4406:
4403:
4402:
4380:
4377:
4376:
4324:
4321:
4320:
4286:
4283:
4282:
4245:
4242:
4241:
4238:
4214:
4200:
4198:
4197:
4196:
4192:
4191:
4179:
4175:
4173:
4170:
4169:
4153:
4150:
4149:
4127:
4124:
4123:
4099:
4095:
4091:
4085:
4083:
4082:
4080:
4077:
4076:
4060:
4057:
4056:
4036:
4032:
4030:
4027:
4026:
4010:
4007:
4006:
3980:
3977:
3976:
3957:
3954:
3953:
3932:
3928:
3919:
3915:
3913:
3910:
3909:
3890:
3887:
3886:
3870:
3867:
3866:
3845:
3842:
3841:
3824:
3820:
3818:
3815:
3814:
3813:then so too is
3798:
3795:
3794:
3778:
3775:
3774:
3757:
3753:
3751:
3748:
3747:
3731:
3728:
3727:
3705:
3702:
3701:
3700:set containing
3680:
3676:
3674:
3671:
3670:
3648:
3644:
3642:
3639:
3638:
3622:
3619:
3618:
3594:
3591:
3590:
3574:
3571:
3570:
3568:
3537:
3514:
3502:
3485:
3481:
3472:
3468:
3466:
3463:
3462:
3461:and defined by
3445:
3441:
3439:
3436:
3435:
3419:
3416:
3415:
3399:
3396:
3395:
3362:
3339:
3327:
3310:
3306:
3297:
3293:
3291:
3288:
3287:
3271:
3268:
3267:
3251:
3248:
3247:
3223:
3221:
3218:
3217:
3183:
3180:
3179:
3178:Given a triple
3176:
3170:
3143:
3140:
3139:
3122:
3118:
3116:
3113:
3112:
3111:if and only if
3096:
3093:
3092:
3076:
3073:
3072:
2974:
2970:
2968:
2965:
2964:
2942:
2939:
2938:
2897:
2894:
2893:
2871:
2868:
2867:
2830:
2827:
2826:
2783:
2780:
2779:
2757:
2754:
2753:
2725:
2722:
2721:
2699:
2696:
2695:
2658:
2655:
2654:
2632:
2629:
2628:
2608:
2605:
2604:
2588:
2585:
2584:
2581:
2560:
2557:
2556:
2540:
2537:
2536:
2520:
2517:
2516:
2515:if and only if
2500:
2497:
2496:
2480:
2477:
2476:
2460:
2457:
2456:
2434:
2431:
2430:
2405:
2378:
2375:
2374:
2352:
2349:
2348:
2342:
2341:
2324:
2321:
2320:
2304:
2301:
2300:
2297:
2258:
2255:
2254:
2251:duality pairing
2234:
2231:
2230:
2208:
2205:
2204:
2188:
2185:
2184:
2167:
2164:
2163:
2143:
2140:
2139:
2113:
2110:
2109:
2072:
2069:
2068:
2046:
2043:
2042:
2026:
2023:
2022:
2006:
1975:
1972:
1971:
1946:
1943:
1942:
1920:
1917:
1916:
1877:
1874:
1873:
1851:
1848:
1847:
1831:
1828:
1827:
1809:
1806:
1805:
1781:
1778:
1777:
1740:
1737:
1736:
1714:
1711:
1710:
1694:
1691:
1690:
1674:
1643:
1640:
1639:
1617:
1614:
1613:
1591:
1588:
1587:
1548:
1545:
1544:
1522:
1519:
1518:
1502:
1499:
1498:
1480:
1477:
1476:
1453:
1450:
1449:
1430:
1428:
1425:
1424:
1419:
1418:
1413:
1412:
1407:
1406:
1372:
1369:
1368:
1365:
1328:
1325:
1324:
1278:
1275:
1274:
1248:
1244:
1242:
1239:
1238:
1207:
1204:
1203:
1175:
1172:
1171:
1085: and
1083:
1019:
1016:
1015:
999:
996:
995:
958:
955:
954:
938:
935:
934:
897:
894:
893:
879:
878:
853:
845:
838:
837:
832:
828:
820:
815:
787:
785:
782:
781:
756:
753:
752:
738:
737:
715:
707:
700:
699:
694:
690:
682:
677:
649:
647:
644:
643:
621:
618:
617:
598:
596:
593:
592:
590:complex numbers
572:
570:
567:
566:
565:
546:
544:
541:
540:
510:
490:
487:
486:
467:
465:
462:
461:
445:
442:
441:
425:
422:
421:
387:
384:
383:
346:
343:
342:
326:
324:
321:
320:
310:
309:
305:
300:
254:
234:
231:
230:
208:
206:
203:
202:
186:
183:
182:
166:
163:
162:
124:
121:
120:
104:
102:
99:
98:
72:
61:
55:
52:
45:
32:
28:
21:
12:
11:
5:
40374:
40364:
40363:
40358:
40353:
40348:
40331:
40330:
40328:
40327:
40316:
40313:
40312:
40310:
40309:
40304:
40299:
40294:
40292:Ultrabarrelled
40284:
40278:
40273:
40267:
40262:
40257:
40252:
40247:
40242:
40233:
40227:
40222:
40220:Quasi-complete
40217:
40215:Quasibarrelled
40212:
40207:
40202:
40197:
40192:
40187:
40182:
40177:
40172:
40167:
40162:
40157:
40156:
40155:
40145:
40140:
40135:
40130:
40125:
40120:
40115:
40110:
40105:
40095:
40090:
40080:
40075:
40070:
40064:
40062:
40058:
40057:
40055:
40054:
40044:
40039:
40034:
40029:
40024:
40014:
40008:
40006:
40005:Set operations
40002:
40001:
39999:
39998:
39993:
39988:
39983:
39978:
39973:
39968:
39960:
39952:
39947:
39942:
39937:
39932:
39927:
39922:
39917:
39912:
39906:
39904:
39900:
39899:
39897:
39896:
39891:
39886:
39881:
39876:
39875:
39874:
39869:
39864:
39854:
39849:
39848:
39847:
39842:
39837:
39832:
39827:
39822:
39817:
39807:
39806:
39805:
39794:
39792:
39788:
39787:
39785:
39784:
39779:
39778:
39777:
39767:
39761:
39752:
39747:
39742:
39740:Banach–Alaoglu
39737:
39735:Anderson–Kadec
39731:
39729:
39723:
39722:
39720:
39719:
39714:
39709:
39704:
39699:
39694:
39689:
39684:
39679:
39674:
39669:
39663:
39661:
39660:Basic concepts
39657:
39656:
39648:
39647:
39640:
39633:
39625:
39616:
39615:
39613:
39612:
39606:
39604:
39603:Other concepts
39600:
39599:
39597:
39596:
39591:
39585:
39583:
39579:
39578:
39576:
39575:
39569:
39567:
39563:
39562:
39560:
39559:
39554:
39552:Banach–Alaoglu
39548:
39546:
39542:
39541:
39539:
39538:
39533:
39532:
39531:
39526:
39524:polar topology
39516:
39511:
39510:
39509:
39504:
39499:
39489:
39484:
39483:
39482:
39471:
39469:
39463:
39462:
39460:
39459:
39454:
39452:Polar topology
39449:
39444:
39439:
39434:
39429:
39424:
39418:
39416:
39415:Basic concepts
39412:
39411:
39405:and spaces of
39399:
39398:
39391:
39384:
39376:
39367:
39366:
39364:
39363:
39357:
39355:
39351:
39350:
39348:
39347:
39342:
39340:Strong duality
39337:
39332:
39326:
39324:
39318:
39317:
39315:
39314:
39279:
39277:
39273:
39272:
39270:
39269:
39264:
39255:
39250:
39248:John ellipsoid
39245:
39240:
39235:
39230:
39216:
39210:
39208:
39204:
39203:
39201:
39200:
39195:
39190:
39185:
39180:
39175:
39170:
39165:
39160:
39155:
39150:
39145:
39139:
39137:
39135:results (list)
39130:
39129:
39127:
39126:
39121:
39116:
39111:
39109:Invex function
39106:
39097:
39092:
39087:
39082:
39077:
39071:
39066:
39060:
39058:
39054:
39053:
39051:
39050:
39045:
39040:
39035:
39030:
39025:
39020:
39015:
39010:
39008:Choquet theory
39004:
39002:
38996:
38995:
38993:
38992:
38987:
38982:
38976:
38974:
38973:Basic concepts
38970:
38969:
38958:
38957:
38950:
38943:
38935:
38926:
38925:
38923:
38922:
38911:
38908:
38907:
38905:
38904:
38899:
38894:
38889:
38887:Choquet theory
38884:
38879:
38873:
38871:
38867:
38866:
38864:
38863:
38853:
38848:
38843:
38838:
38833:
38828:
38823:
38818:
38813:
38808:
38803:
38797:
38795:
38791:
38790:
38788:
38787:
38782:
38776:
38774:
38770:
38769:
38767:
38766:
38761:
38756:
38751:
38746:
38741:
38739:Banach algebra
38735:
38733:
38729:
38728:
38726:
38725:
38720:
38715:
38710:
38705:
38700:
38695:
38690:
38685:
38680:
38674:
38672:
38668:
38667:
38665:
38664:
38662:Banach–Alaoglu
38659:
38654:
38649:
38644:
38639:
38634:
38629:
38624:
38618:
38616:
38610:
38609:
38606:
38605:
38603:
38602:
38597:
38592:
38590:Locally convex
38587:
38573:
38568:
38562:
38560:
38556:
38555:
38553:
38552:
38547:
38542:
38537:
38532:
38527:
38522:
38517:
38512:
38507:
38501:
38495:
38491:
38490:
38474:
38473:
38466:
38459:
38451:
38445:
38444:
38442:Duality Theory
38437:
38436:External links
38434:
38433:
38432:
38418:
38402:
38385:
38371:
38351:
38337:
38315:
38300:
38287:978-1584888666
38286:
38271:
38268:
38265:
38264:
38249:
38247:, p. 200.
38237:
38225:
38210:
38198:
38181:
38166:
38164:, p. 195.
38154:
38131:
38017:
38016:
38014:
38011:
38008:
38007:
37994:
37974:
37965:
37951:
37935:
37923:
37920:
37900:
37884:
37871:
37866:
37862:
37859:
37856:
37853:
37850:
37845:
37837:
37833:
37830:
37827:
37824:
37821:
37818:
37814:
37810:
37807:
37804:
37801:
37781:
37778:
37775:
37772:
37767:
37743:
37740:
37737:
37734:
37714:
37711:
37707:
37703:
37700:
37697:
37694:
37691:
37688:
37685:
37682:
37679:
37675:
37671:
37668:
37665:
37662:
37642:
37622:
37602:
37599:
37596:
37593:
37590:
37587:
37582:
37569:'s transpose,
37558:
37538:
37535:
37532:
37529:
37526:
37510:
37498:
37494:
37490:
37487:
37484:
37481:
37476:
37469:
37465:
37460:
37456:
37453:
37450:
37447:
37443:
37439:
37436:
37433:
37430:
37427:
37424:
37404:
37401:
37398:
37395:
37390:
37366:
37363:
37360:
37357:
37337:
37334:
37331:
37328:
37324:
37320:
37317:
37314:
37311:
37308:
37304:
37300:
37297:
37294:
37291:
37288:
37285:
37265:
37245:
37225:
37222:
37219:
37216:
37213:
37210:
37205:
37192:'s transpose,
37181:
37161:
37158:
37155:
37152:
37149:
37133:
37121:
37117:
37113:
37110:
37107:
37104:
37099:
37092:
37088:
37083:
37079:
37076:
37073:
37070:
37066:
37062:
37059:
37056:
37053:
37050:
37047:
37027:
37024:
37021:
37018:
37013:
36989:
36986:
36983:
36980:
36960:
36957:
36954:
36951:
36947:
36943:
36940:
36937:
36934:
36931:
36927:
36923:
36920:
36917:
36914:
36911:
36908:
36888:
36868:
36848:
36845:
36842:
36839:
36836:
36833:
36828:
36815:'s transpose,
36804:
36784:
36781:
36778:
36775:
36772:
36756:
36744:
36740:
36735:
36731:
36728:
36725:
36722:
36719:
36714:
36706:
36702:
36699:
36696:
36693:
36689:
36685:
36682:
36679:
36676:
36673:
36670:
36650:
36647:
36644:
36641:
36636:
36612:
36609:
36606:
36603:
36583:
36580:
36576:
36572:
36569:
36566:
36563:
36560:
36557:
36554:
36550:
36546:
36543:
36540:
36537:
36534:
36531:
36511:
36491:
36471:
36468:
36465:
36462:
36459:
36456:
36451:
36438:'s transpose,
36427:
36407:
36404:
36401:
36398:
36395:
36379:
36366:
36346:
36336:
36322:
36319:
36299:
36279:
36276:
36273:
36270:
36267:
36264:
36261:
36258:
36255:
36235:
36215:
36212:
36209:
36206:
36203:
36183:
36180:
36177:
36174:
36171:
36168:
36165:
36162:
36159:
36156:
36153:
36134:
36131:
36128:
36125:
36122:
36119:
36116:
36113:
36110:
36107:
36104:
36101:
36098:
36078:
36075:
36055:
36034:
36030:
36027:
36024:
36021:
36017:
36013:
36010:
36007:
36004:
35984:
35964:
35948:
35935:
35915:
35912:
35909:
35906:
35903:
35900:
35897:
35894:
35891:
35888:
35885:
35882:
35879:
35876:
35873:
35870:
35867:
35864:
35859:
35856:
35851:
35848:
35845:
35842:
35838:
35834:
35829:
35826:
35821:
35818:
35814:
35810:
35807:
35804:
35801:
35798:
35795:
35792:
35789:
35786:
35783:
35763:
35743:
35727:
35714:
35711:
35708:
35688:
35685:
35682:
35673:
35670:
35667:
35664:
35661:
35658:
35655:
35652:
35632:
35629:
35626:
35606:
35586:
35569:
35568:
35566:
35563:
35562:
35561:
35555:
35550:
35541:
35535:
35530:
35527:Polar topology
35524:
35518:
35512:
35506:
35497:
35491:
35486:
35480:
35475:
35468:
35465:
35452:
35449:
35446:
35443:
35440:
35437:
35434:
35431:
35411:
35391:
35388:
35385:
35382:
35379:
35376:
35373:
35370:
35347:
35344:
35339:
35335:
35314:
35294:
35291:
35286:
35281:
35278:
35275:
35270:
35265:
35261:
35257:
35252:
35247:
35243:
35220:
35216:
35212:
35208:
35203:
35199:
35195:
35172:
35167:
35164:
35161:
35156:
35151:
35147:
35143:
35138:
35133:
35129:
35108:
35105:
35102:
35099:
35096:
35093:
35090:
35087:
35067:
35064:
35061:
35058:
35055:
35052:
35049:
35046:
35026:
35023:
35020:
35000:
34997:
34994:
34991:
34988:
34985:
34982:
34979:
34976:
34973:
34970:
34967:
34964:
34961:
34958:
34955:
34952:
34949:
34929:
34924:
34920:
34914:
34910:
34904:
34899:
34896:
34893:
34889:
34885:
34881:
34875:
34871:
34867:
34862:
34858:
34853:
34849:
34828:
34824:
34821:
34818:
34815:
34812:
34809:
34789:
34786:
34783:
34763:
34760:
34740:
34737:
34732:
34728:
34705:
34700:
34697:
34694:
34689:
34684:
34680:
34676:
34671:
34666:
34662:
34641:
34629:
34626:
34613:
34610:
34605:
34600:
34597:
34594:
34574:
34569:
34564:
34561:
34558:
34538:
34517:
34511:
34507:
34503:
34500:
34496:
34475:
34453:
34431:
34427:
34421:
34417:
34413:
34410:
34406:
34383:
34379:
34358:
34353:
34348:
34345:
34342:
34325:
34320:
34319:
34308:
34305:
34285:
34265:
34254:
34242:
34239:
34219:
34216:
34213:
34193:
34173:
34153:
34121:
34098:
34095:
34075:
34072:
34069:
34066:
34063:
34060:
34057:
34054:
34034:
34014:
33992:
33970:
33950:
33930:
33927:
33924:
33921:
33918:
33915:
33912:
33895:
33869:
33866:
33861:
33856:
33853:
33850:
33830:
33825:
33820:
33817:
33814:
33790:
33770:
33750:
33730:
33725:
33722:
33718:
33714:
33711:
33692:
33689:
33669:
33644:
33620:
33598:
33576:
33552:
33528:
33506:
33486:
33464:
33440:
33428:
33410:
33390:
33387:
33367:
33346:
33324:
33312:locally convex
33299:
33282:
33270:
33267:
33247:
33237:
33223:
33214:for some real
33203:
33200:
33197:
33194:
33191:
33188:
33185:
33182:
33179:
33176:
33173:
33170:
33160:
33145:
33123:
33102:
33090:
33087:
33074:
33071:
33068:
33065:
33062:
33059:
33056:
33053:
33050:
33047:
33042:
33037:
33034:
33031:
33028:
33025:
33022:
33019:
33016:
33013:
32991:
32969:
32966:
32944:
32922:
32902:
32882:
32879:
32876:
32873:
32870:
32867:
32864:
32847:
32830:
32827:
32824:
32821:
32818:
32815:
32812:
32809:
32789:
32769:
32766:
32746:
32743:
32740:
32737:
32734:
32731:
32728:
32725:
32705:
32702:
32699:
32696:
32693:
32690:
32687:
32684:
32681:
32658:
32655:
32631:
32628:
32625:
32622:
32619:
32616:
32613:
32610:
32588:
32564:
32542:
32539:
32536:
32533:
32530:
32527:
32524:
32502:
32480:
32458:
32436:
32416:
32396:
32393:
32390:
32387:
32384:
32381:
32378:
32358:
32339:
32336:
32324:
32320:
32316:
32313:
32308:
32304:
32299:
32288:
32270:
32246:
32243:
32240:
32237:
32234:
32231:
32228:
32208:
32205:
32202:
32199:
32196:
32193:
32190:
32187:
32164:
32144:
32124:
32121:
32118:
32113:
32108:
32102:
32097:
32094:
32090:
32068:
32048:
32028:
32008:
31988:
31985:
31982:
31979:
31975:
31971:
31968:
31965:
31961:
31955:
31950:
31947:
31943:
31931:locally convex
31918:
31915:
31912:
31909:
31906:
31903:
31900:
31891:
31887:
31883:
31879:
31863:
31841:
31819:
31796:
31775:
31772:
31769:
31766:
31763:
31760:
31757:
31745:
31742:
31729:
31726:
31723:
31720:
31717:
31714:
31711:
31708:
31705:
31702:
31699:
31696:
31676:
31673:
31670:
31667:
31664:
31661:
31658:
31655:
31652:
31649:
31646:
31643:
31640:
31620:
31617:
31614:
31611:
31608:
31605:
31602:
31599:
31596:
31593:
31590:
31587:
31577:
31573:
31572:Mackey bounded
31569:
31568:weakly bounded
31555:
31543:
31540:
31527:
31524:
31521:
31518:
31515:
31512:
31509:
31506:
31503:
31500:
31497:
31494:
31491:
31488:
31485:
31482:
31479:
31476:
31473:
31470:
31467:
31464:
31461:
31458:
31455:
31452:
31449:
31429:
31426:
31423:
31420:
31417:
31414:
31411:
31391:
31388:
31385:
31382:
31379:
31376:
31373:
31363:
31349:
31346:
31343:
31340:
31337:
31314:
31311:
31308:
31305:
31302:
31299:
31296:
31293:
31290:
31287:
31284:
31281:
31278:
31275:
31272:
31269:
31266:
31263:
31260:
31257:
31254:
31251:
31248:
31245:
31242:
31239:
31236:
31216:
31213:
31210:
31207:
31204:
31201:
31198:
31178:
31175:
31172:
31169:
31166:
31163:
31160:
31150:
31136:
31133:
31130:
31127:
31124:
31107:
31104:
31101:
31100:
31093:
31090:
31079:
31076:
31073:
31070:
31067:
31064:
31061:
31058:
31038:
31035:
31032:
31029:
31026:
31023:
31020:
31017:
31007:
30995:
30992:
30989:
30986:
30983:
30980:
30977:
30974:
30963:
30962:
30960:
30957:
30946:
30943:
30940:
30937:
30934:
30931:
30928:
30925:
30915:
30903:
30900:
30897:
30894:
30891:
30888:
30885:
30882:
30860:
30857:
30854:
30851:
30848:
30845:
30842:
30839:
30828:
30827:
30825:
30822:
30811:
30808:
30805:
30802:
30799:
30796:
30793:
30790:
30780:
30768:
30765:
30762:
30759:
30756:
30753:
30750:
30747:
30736:
30735:
30730:
30728:
30717:
30714:
30711:
30708:
30705:
30702:
30699:
30696:
30686:
30671:
30668:
30665:
30662:
30659:
30656:
30653:
30650:
30639:
30638:
30633:
30630:
30619:
30616:
30613:
30610:
30607:
30604:
30601:
30598:
30578:
30575:
30572:
30569:
30566:
30563:
30560:
30557:
30547:
30535:
30511:
30508:
30505:
30502:
30499:
30496:
30493:
30490:
30469:
30457:
30456:
30453:
30450:
30447:
30434:
30429:
30424:
30419:
30404:
30403:
30391:
30388:
30385:
30382:
30379:
30376:
30373:
30370:
30350:
30328:
30324:
30301:
30298:
30295:
30292:
30289:
30286:
30282:
30262:
30257:
30254:
30251:
30248:
30245:
30242:
30239:
30236:
30232:
30211:
30208:
30205:
30185:
30182:
30179:
30176:
30173:
30170:
30167:
30164:
30142:
30138:
30115:
30112:
30109:
30106:
30103:
30100:
30096:
30076:
30071:
30068:
30065:
30062:
30059:
30056:
30053:
30050:
30046:
30025:
30005:
29985:
29982:
29979:
29976:
29973:
29970:
29967:
29964:
29954:
29930:
29927:
29924:
29921:
29918:
29896:
29891:
29888:
29866:
29861:
29858:
29855:
29852:
29826:
29813:locally convex
29797:
29786:
29769:
29747:
29722:
29718:
29715:
29712:
29709:
29704:
29699:
29696:
29693:
29688:
29684:
29680:
29676:
29655:
29642:is the unique
29631:
29621:
29607:
29584:
29562:
29551:determined by
29540:
29530:
29528:polar topology
29514:
29505:of subsets of
29492:
29477:Polar topology
29475:Main article:
29472:
29469:
29457:
29454:
29434:
29431:
29428:
29425:
29422:
29419:
29416:
29413:
29391:
29368:
29347:
29344:
29341:
29338:
29335:
29332:
29329:
29301:Polar topology
29299:Main article:
29296:
29293:
29292:
29291:
29279:
29259:
29248:
29237:
29233:
29228:
29224:
29221:
29216:
29212:
29207:
29203:
29200:
29195:
29191:
29186:
29165:
29145:
29125:
29114:
29101:
29096:
29092:
29089:
29084:
29080:
29075:
29071:
29068:
29063:
29059:
29054:
29029:
29018:
29002:
28998:
28993:
28989:
28986:
28981:
28977:
28972:
28968:
28965:
28960:
28956:
28951:
28930:
28927:
28907:
28883:
28872:
28861:
28857:
28852:
28848:
28845:
28840:
28836:
28831:
28827:
28824:
28819:
28815:
28810:
28800:inherits from
28789:
28768:
28763:
28759:
28756:
28751:
28747:
28742:
28738:
28735:
28730:
28726:
28721:
28711:inherits from
28700:
28680:
28677:
28657:
28654:
28651:
28629:
28625:
28621:
28618:
28597:
28593:
28590:
28585:
28581:
28576:
28572:
28561:equicontinuous
28548:
28525:
28520:
28516:
28512:
28509:
28487:
28483:
28471:locally convex
28458:
28446:
28443:
28442:
28441:
28430:
28425:
28421:
28398:
28394:
28369:
28366:
28363:
28360:
28357:
28337:
28326:
28315:
28310:
28306:
28284:
28279:
28275:
28271:
28267:
28262:
28255:
28252:
28247:
28240:
28237:
28216:
28211:
28205:
28201:
28197:
28194:
28190:
28186:
28183:
28180:
28176:
28172:
28168:
28163:
28157:
28153:
28149:
28146:
28142:
28138:
28135:
28132:
28128:
28124:
28121:
28101:
28081:
28078:
28075:
28072:
28069:
28049:
28038:
28027:
28023:
28019:
28014:
28006:
28002:
27999:
27996:
27993:
27973:
27953:
27933:
27922:
27911:
27906:
27902:
27879:
27875:
27863:equicontinuous
27848:
27844:
27840:
27835:
27831:
27827:
27822:
27798:
27787:
27775:
27764:
27752:
27747:
27723:
27699:
27696:
27693:
27690:
27687:
27664:
27652:
27649:
27648:
27647:
27635:
27632:
27629:
27626:
27623:
27620:
27617:
27614:
27611:
27608:
27605:
27602:
27599:
27596:
27593:
27590:
27587:
27584:
27581:
27578:
27575:
27572:
27569:
27564:
27540:
27537:
27534:
27531:
27528:
27518:
27506:
27501:
27477:
27474:
27471:
27468:
27465:
27453:Furthermore,
27451:
27450:
27437:
27433:
27429:
27426:
27423:
27420:
27417:
27414:
27409:
27402:
27399:
27389:
27377:
27357:
27354:
27351:
27348:
27345:
27342:
27322:
27317:
27302:
27290:
27287:
27284:
27281:
27278:
27275:
27272:
27269:
27266:
27263:
27260:
27257:
27254:
27251:
27248:
27245:
27242:
27239:
27236:
27233:
27230:
27227:
27224:
27201:
27198:
27195:
27192:
27189:
27169:
27166:
27163:
27160:
27157:
27137:
27134:
27131:
27128:
27125:
27103:
27100:
27080:
27077:
27074:
27050:
27047:
27044:
27041:
27038:
27035:
27032:
27022:
27008:
27005:
27002:
26999:
26996:
26974:
26971:
26968:
26963:
26960:
26936:
26933:
26930:
26927:
26924:
26921:
26918:
26915:
26912:
26909:
26906:
26903:
26900:
26897:
26894:
26891:
26888:
26885:
26882:
26879:
26876:
26873:
26870:
26865:
26841:
26830:
26829:
26817:
26814:
26811:
26808:
26805:
26784:
26780:
26777:
26774:
26770:
26749:
26746:
26743:
26740:
26737:
26734:
26729:
26710:
26699:
26696:
26693:
26690:
26687:
26682:
26678:
26667:
26666:is continuous.
26655:
26652:
26649:
26646:
26643:
26640:
26637:
26634:
26631:
26628:
26625:
26622:
26619:
26616:
26613:
26610:
26607:
26604:
26601:
26598:
26595:
26592:
26589:
26566:
26563:
26560:
26557:
26554:
26534:
26531:
26528:
26525:
26522:
26500:
26496:
26492:
26489:
26467:
26463:
26459:
26456:
26436:
26433:
26430:
26427:
26424:
26403:
26399:
26396:
26393:
26389:
26376:
26373:
26361:
26356:
26352:
26329:
26323:
26300:
26280:
26276:
26271:
26268:
26265:
26261:
26257:
26253:
26250:
26228:
26206:
26184:
26179:
26174:
26169:
26164:
26159:
26156:
26137:
26133:
26127:
26122:
26118:
26114:
26111:
26108:
26103:
26098:
26094:
26089:
26085:
26080:
26074:
26048:
26027:
26021:
26017:
26013:
26010:
26007:
26002:
25998:
25993:
25989:
25984:
25963:
25960:
25938:
25933:
25928:
25925:
25922:
25919:
25897:
25894:
25891:
25888:
25879:
25876:
25873:
25870:
25867:
25864:
25859:
25855:
25851:
25848:
25845:
25842:
25838:
25833:
25829:
25825:
25819:
25815:
25794:
25791:
25788:
25785:
25782:
25772:
25766:
25762:
25758:
25755:
25752:
25749:
25746:
25742:
25738:
25734:
25729:
25724:
25720:
25716:
25710:
25706:
25702:
25699:
25695:
25673:
25668:
25664:
25660:
25654:
25650:
25629:
25626:
25621:
25617:
25613:
25609:
25604:
25600:
25596:
25590:
25586:
25566:
25561:
25557:
25553:
25548:
25544:
25523:
25518:
25514:
25510:
25505:
25501:
25497:
25494:
25489:
25482:
25477:
25473:
25450:
25446:
25425:
25415:
25401:
25398:
25395:
25392:
25389:
25369:
25365:
25359:
25355:
25351:
25348:
25344:
25322:
25316:
25312:
25308:
25305:
25301:
25288:
25285:
25272:
25252:
25232:
25212:
25201:
25200:
25189:
25184:
25180:
25159:
25139:
25119:
25116:
25096:
25072:
25069:
25066:
25063:
25060:
25057:
25054:
25034:
25031:
25028:
25024:
25020:
25017:
25014:
25011:
25001:
24984:
24964:
24944:
24920:
24917:
24914:
24909:
24905:
24901:
24897:
24891:
24887:
24883:
24880:
24876:
24855:
24852:
24849:
24846:
24843:
24823:
24820:
24817:
24814:
24811:
24808:
24805:
24785:
24761:
24741:
24738:
24735:
24731:
24727:
24724:
24721:
24718:
24698:
24678:
24658:
24646:
24639:
24626:
24616:
24600:
24596:
24592:
24587:
24583:
24556:
24551:
24547:
24522:
24511:locally convex
24493:
24489:
24461:
24441:
24438:
24435:
24432:
24429:
24426:
24423:
24420:
24417:
24414:
24392:
24388:
24365:
24361:
24357:
24354:
24344:
24330:
24325:
24321:
24317:
24314:
24294:
24291:
24288:
24285:
24282:
24279:
24276:
24273:
24270:
24267:
24247:
24244:
24224:
24202:
24198:
24177:
24154:
24151:
24148:
24143:
24139:
24135:
24130:
24126:
24105:
24085:
24082:
24079:
24057:
24052:
24047:
24043:
24039:
24034:
24031:
24009:
24004:
23999:
23995:
23991:
23986:
23983:
23962:
23957:
23951:
23947:
23943:
23940:
23936:
23932:
23929:
23926:
23922:
23901:
23896:
23892:
23880:locally convex
23867:
23846:
23841:
23837:
23834:
23829:
23825:
23820:
23816:
23813:
23808:
23804:
23799:
23778:
23761:
23757:
23745:
23742:
23739:
23736:
23733:
23730:
23727:
23724:
23703:
23679:
23676:
23673:
23670:
23667:
23664:
23661:
23658:
23655:
23652:
23649:
23646:
23634:
23631:
23617:
23611:
23607:
23603:
23600:
23596:
23592:
23572:
23552:
23531:
23525:
23521:
23517:
23514:
23510:
23506:
23484:
23480:
23459:
23447:
23444:
23442:
23441:
23430:
23427:
23424:
23421:
23416:
23413:
23400:in which case
23389:
23386:
23366:
23346:
23341:
23326:
23325:is continuous;
23314:
23311:
23308:
23305:
23302:
23299:
23296:
23293:
23290:
23287:
23284:
23281:
23278:
23275:
23272:
23269:
23266:
23263:
23260:
23257:
23254:
23251:
23248:
23245:
23242:
23239:
23234:
23210:
23207:
23204:
23201:
23198:
23193:
23166:
23155:
23154:
23142:
23131:
23119:
23116:
23113:
23109:
23105:
23102:
23099:
23096:
23093:
23090:
23087:
23083:
23079:
23076:
23073:
23070:
23060:
23048:
23045:
23042:
23039:
23036:
23033:
23030:
23027:
23024:
23021:
23018:
23015:
23012:
23009:
23006:
23003:
23000:
22997:
22994:
22991:
22988:
22985:
22982:
22979:
22976:
22973:
22953:
22930:
22927:
22924:
22921:
22918:
22898:
22878:
22861:
22845:
22842:
22839:
22836:
22833:
22830:
22827:
22824:
22821:
22818:
22815:
22812:
22809:
22806:
22803:
22800:
22797:
22794:
22791:
22788:
22785:
22782:
22779:
22776:
22773:
22770:
22750:
22747:
22744:
22741:
22738:
22735:
22732:
22712:
22709:
22706:
22703:
22700:
22697:
22694:
22684:
22670:
22667:
22664:
22661:
22658:
22646:
22643:
22631:
22627:
22623:
22618:
22610:
22606:
22603:
22600:
22597:
22577:
22574:
22571:
22568:
22565:
22545:
22525:
22514:
22513:
22505:
22504:
22503:
22502:
22491:
22486:
22482:
22478:
22475:
22472:
22469:
22466:
22463:
22460:
22455:
22448:
22445:
22435:
22423:
22420:
22417:
22414:
22411:
22408:
22386:
22382:
22378:
22374:
22369:
22365:
22361:
22357:
22352:
22328:
22325:
22322:
22302:
22299:
22296:
22285:
22271:
22268:
22264:
22260:
22257:
22254:
22251:
22248:
22228:
22223:
22219:
22215:
22211:
22206:
22202:
22198:
22194:
22189:
22165:
22162:
22159:
22148:
22134:
22130:
22126:
22122:
22117:
22113:
22109:
22105:
22100:
22076:
22073:
22070:
22067:
22047:
22044:
22041:
22038:
22035:
22032:
22021:
22008:
22003:
21999:
21995:
21989:
21986:
21981:
21977:
21972:
21964:
21959:
21954:
21950:
21946:
21943:
21940:
21937:
21934:
21912:
21909:
21898:absolute polar
21883:
21879:
21858:
21855:
21852:
21841:
21828:
21825:
21820:
21816:
21811:
21803:
21798:
21794:
21789:
21786:
21782:
21778:
21772:
21748:
21745:
21742:
21739:
21736:
21732:
21727:
21724:
21720:
21716:
21710:
21686:
21683:
21680:
21677:
21674:
21669:
21666:
21662:
21641:
21638:
21635:
21632:
21629:
21624:
21600:
21597:
21594:
21591:
21588:
21577:
21566:
21563:
21558:
21551:
21548:
21543:
21536:
21533:
21530:
21527:
21524:
21521:
21516:
21492:
21489:
21486:
21483:
21480:
21477:
21474:
21471:
21468:
21465:
21460:
21436:
21433:
21430:
21427:
21424:
21421:
21418:
21415:
21395:
21392:
21389:
21386:
21383:
21378:
21354:
21351:
21348:
21345:
21342:
21321:
21300:
21297:
21294:
21291:
21288:
21285:
21282:
21271:
21260:
21257:
21254:
21251:
21246:
21243:
21219:
21214:
21190:
21185:
21170:
21159:
21155:
21150:
21146:
21143:
21140:
21137:
21134:
21130:
21126:
21123:
21120:
21116:
21095:
21075:
21072:
21069:
21066:
21063:
21058:
21051:
21048:
21024:
21021:
21018:
21015:
21012:
21007:
20980:
20977:
20974:
20971:
20968:
20963:
20939:
20936:
20933:
20930:
20927:
20906:
20885:
20882:
20879:
20876:
20873:
20870:
20867:
20847:
20844:
20841:
20838:
20835:
20832:
20829:
20817:
20814:
20801:
20798:
20795:
20792:
20773:
20770:
20767:
20764:
20745:
20742:
20739:
20736:
20717:
20714:
20711:
20708:
20686:
20683:
20680:
20677:
20656:
20652:
20649:
20646:
20643:
20638:
20631:
20628:
20624:
20620:
20617:
20614:
20611:
20608:
20605:
20602:
20599:
20596:
20593:
20590:
20570:
20566:
20562:
20559:
20556:
20553:
20548:
20541:
20537:
20532:
20528:
20525:
20522:
20519:
20516:
20513:
20509:
20505:
20502:
20499:
20496:
20476:
20473:
20470:
20467:
20462:
20438:
20435:
20432:
20429:
20409:
20404:
20386:
20375:
20372:
20369:
20366:
20363:
20360:
20357:
20337:
20334:
20331:
20328:
20325:
20322:
20319:
20299:
20287:
20271:
20268:
20265:
20262:
20259:
20254:
20230:
20227:
20224:
20221:
20218:
20213:
20189:
20169:
20166:
20163:
20159:
20155:
20152:
20149:
20146:
20143:
20140:
20137:
20133:
20129:
20126:
20123:
20120:
20100:
20097:
20094:
20074:
20071:
20068:
20057:
20056:
20044:
20041:
20038:
20035:
20032:
20029:
20026:
20023:
20019:
20015:
20012:
20009:
20006:
20003:
20000:
19997:
19993:
19989:
19986:
19966:
19963:
19960:
19957:
19954:
19951:
19948:
19945:
19942:
19938:
19934:
19931:
19928:
19925:
19922:
19919:
19916:
19913:
19910:
19907:
19903:
19899:
19896:
19893:
19890:
19870:
19867:
19864:
19861:
19857:
19853:
19850:
19847:
19844:
19841:
19838:
19835:
19831:
19827:
19824:
19821:
19818:
19808:
19790:
19786:
19765:
19745:
19742:
19739:
19735:
19731:
19728:
19725:
19722:
19702:
19682:
19669:
19665:
19648:
19628:
19625:
19622:
19619:
19616:
19613:
19610:
19607:
19604:
19601:
19598:
19595:
19574:
19570:
19567:
19564:
19561:
19558:
19555:
19552:
19548:
19544:
19541:
19538:
19535:
19515:
19512:
19509:
19506:
19483:
19480:
19477:
19474:
19471:
19450:
19429:
19426:
19423:
19420:
19417:
19414:
19411:
19391:
19388:
19385:
19382:
19379:
19376:
19373:
19347:
19344:
19342:
19339:
19327:
19324:
19304:
19301:
19298:
19295:
19292:
19289:
19286:
19283:
19259:
19239:
19236:
19233:
19230:
19227:
19203:
19183:
19163:
19143:
19123:
19120:
19117:
19114:
19111:
19108:
19105:
19094:
19093:
19077:
19074:
19071:
19068:
19065:
19062:
19059:
19056:
19032:
19029:
19026:
19023:
19020:
19017:
19014:
19011:
18991:
18971:
18951:
18940:
18929:
18926:
18900:
18896:
18875:
18872:
18869:
18866:
18863:
18860:
18857:
18854:
18834:
18824:
18823:
18822:
18804:
18801:
18781:
18778:
18775:
18772:
18769:
18766:
18763:
18760:
18740:
18735:
18732:
18728:
18707:
18704:
18694:
18687:
18676:
18673:
18649:
18646:
18643:
18640:
18637:
18634:
18631:
18628:
18608:
18588:
18585:
18582:
18579:
18576:
18573:
18570:
18567:
18547:
18523:
18503:
18492:
18481:
18478:
18475:
18472:
18469:
18466:
18463:
18460:
18457:
18454:
18451:
18448:
18445:
18425:
18403:
18399:
18374:
18371:
18368:
18365:
18345:
18342:
18339:
18336:
18333:
18330:
18327:
18302:
18299:
18279:
18254:
18250:
18246:
18243:
18222:
18218:
18215:
18210:
18206:
18201:
18197:
18177:
18157:
18152:
18148:
18127:
18107:
18095:
18092:
18080:
18077:
18073:
18069:
18049:
18046:
18043:
18040:
18037:
18034:
18031:
18028:
18025:
18022:
18019:
18016:
17991:
17985:
17981:
17977:
17974:
17970:
17966:
17962:
17958:
17936:
17933:
17930:
17927:
17924:
17921:
17918:
17915:
17912:
17909:
17906:
17903:
17900:
17897:
17894:
17885:is defined by
17873:
17869:
17864:
17860:
17856:
17853:
17849:
17845:
17842:
17839:
17835:
17831:
17810:
17806:
17802:
17798:
17795:
17790:
17786:
17782:
17779:
17775:
17771:
17767:
17746:
17743:
17723:
17711:
17708:
17696:
17692:
17686:
17680:
17674:
17671:
17666:
17662:
17657:
17653:
17650:
17647:
17643:
17622:
17619:
17616:
17613:
17610:
17607:
17604:
17601:
17598:
17595:
17592:
17589:
17569:
17566:
17563:
17560:
17557:
17554:
17551:
17548:
17545:
17542:
17539:
17536:
17533:
17524:inherits from
17513:
17488:
17482:
17476:
17470:
17467:
17462:
17458:
17453:
17449:
17446:
17443:
17439:
17435:
17413:
17410:
17407:
17404:
17401:
17398:
17395:
17392:
17388:
17382:
17378:
17374:
17371:
17368:
17365:
17361:
17351:is defined by
17339:
17335:
17330:
17326:
17321:
17317:
17314:
17311:
17308:
17303:
17297:
17291:
17270:
17265:
17261:
17257:
17252:
17248:
17226:
17222:
17217:
17213:
17192:
17186:
17180:
17174:
17171:
17166:
17162:
17157:
17153:
17150:
17147:
17143:
17120:
17117:
17114:
17111:
17108:
17105:
17102:
17099:
17096:
17093:
17090:
17087:
17084:
17075:inherits from
17064:
17040:
17020:
17017:
17014:
17011:
17008:
17005:
17002:
16999:
16979:
16976:
16973:
16970:
16950:
16947:
16944:
16941:
16938:
16935:
16932:
16912:
16909:
16906:
16903:
16900:
16897:
16894:
16874:
16854:
16842:
16839:
16827:
16824:
16802:
16798:
16775:
16771:
16748:
16744:
16723:
16712:
16711:
16700:
16695:
16690:
16686:
16680:
16677:
16674:
16670:
16666:
16661:
16656:
16650:
16646:
16640:
16637:
16634:
16630:
16625:
16603:
16581:
16578:
16575:
16570:
16565:
16561:
16557:
16544:
16533:
16529:
16524:
16518:
16513:
16509:
16503:
16500:
16497:
16493:
16488:
16484:
16481:
16477:
16473:
16468:
16465:
16462:
16459:
16456:
16453:
16450:
16447:
16443:
16439:
16434:
16429:
16423:
16419:
16413:
16410:
16407:
16403:
16398:
16376:
16356:
16353:
16350:
16347:
16344:
16341:
16338:
16335:
16313:
16310:
16307:
16302:
16297:
16293:
16289:
16276:
16275:
16274:
16263:
16258:
16254:
16250:
16247:
16227:
16207:
16204:
16201:
16198:
16195:
16192:
16189:
16186:
16166:
16142:
16138:
16135:
16132:
16129:
16124:
16121:
16118:
16115:
16112:
16109:
16106:
16103:
16099:
16094:
16090:
16085:
16081:
16077:
16074:
16064:
16052:
16049:
16046:
16043:
16040:
16037:
16034:
16031:
16009:
16005:
16001:
15996:
15991:
15987:
15984:
15981:
15978:
15973:
15970:
15967:
15964:
15961:
15958:
15955:
15952:
15948:
15943:
15938:
15933:
15929:
15925:
15922:
15919:
15916:
15913:
15908:
15904:
15880:
15860:
15840:
15837:
15834:
15831:
15828:
15825:
15822:
15810:
15807:
15794:
15774:
15753:
15747:
15742:
15738:
15734:
15729:
15724:
15719:
15714:
15710:
15706:
15700:
15696:
15686:
15670:
15667:
15662:
15657:
15652:
15647:
15643:
15639:
15627:
15625:semi-reflexive
15622:is said to be
15611:
15582:
15576:
15571:
15567:
15563:
15558:
15553:
15548:
15543:
15539:
15535:
15529:
15525:
15505:
15485:
15479:
15471:
15466:
15461:
15456:
15452:
15448:
15440:
15432:
15427:
15422:
15417:
15413:
15409:
15385:
15380:
15376:
15353:
15349:
15326:
15321:
15316:
15311:
15307:
15303:
15279:
15275:
15253:
15249:
15246:
15241:
15237:
15232:
15228:
15202:
15198:
15177:
15174:
15152:
15147:
15142:
15137:
15133:
15129:
15106:
15100:
15095:
15091:
15087:
15082:
15077:
15072:
15067:
15063:
15059:
15053:
15049:
15027:
15022:
15017:
15012:
15008:
15004:
14982:
14962:
14940:
14936:
14914:
14910:
14907:
14902:
14898:
14893:
14889:
14866:
14863:
14860:
14855:
14850:
14845:
14840:
14836:
14832:
14824: or
14820:
14817:
14812:
14807:
14802:
14798:
14795:
14790:
14786:
14781:
14777:
14774:
14769:
14765:
14760:
14738:
14735:
14732:
14727:
14723:
14700:
14696:
14692:
14687:
14683:
14662:
14642:
14622:
14601:
14596:
14592:
14589:
14584:
14580:
14575:
14571:
14568:
14563:
14559:
14554:
14533:
14512:
14507:
14501:
14497:
14493:
14490:
14486:
14482:
14479:
14476:
14472:
14451:
14429:
14425:
14404:
14382:
14378:
14374:
14371:
14368:
14365:
14362:
14359:
14356:
14352:
14348:
14345:
14341:
14337:
14334:
14331:
14328:
14324:
14320:
14317:
14314:
14309:
14305:
14301:
14298:
14295:
14292:
14289:
14286:
14283:
14280:
14277:
14274:
14271:
14251:
14248:
14245:
14242:
14239:
14236:
14233:
14230:
14227:
14224:
14221:
14218:
14202:
14201:
14200:
14199:
14188:
14185:
14165:
14145:
14125:
14103:
14100:
14097:
14094:
14091:
14083:
14080:
14077:
14074:
14071:
14068:
14065:
14062:
14059:
14056:
14053:
14050:
14047:
14044:
14039:
14035:
14014:
14009:
14005:
14000:
13996:
13976:
13973:
13970:
13967:
13964:
13961:
13958:
13955:
13952:
13949:
13946:
13943:
13932:
13931:
13930:
13919:
13916:
13896:
13876:
13854:
13851:
13831:
13811:
13791:
13788:
13785:
13781:
13777:
13774:
13771:
13768:
13748:
13745:
13742:
13722:
13719:
13716:
13713:
13710:
13707:
13704:
13701:
13698:
13695:
13692:
13689:
13665:
13641:
13638:
13635:
13632:
13629:
13626:
13623:
13620:
13617:
13613:
13609:
13606:
13603:
13600:
13597:
13594:
13591:
13587:
13583:
13580:
13560:
13557:
13554:
13551:
13548:
13545:
13542:
13539:
13536:
13533:
13530:
13527:
13503:
13499:
13478:
13475:
13472:
13469:
13466:
13463:
13460:
13443:
13431:
13428:
13425:
13422:
13419:
13416:
13413:
13410:
13407:
13404:
13401:
13398:
13395:
13383:
13380:
13379:
13378:
13362:
13359:
13356:
13353:
13350:
13347:
13344:
13341:
13331:
13319:
13299:
13275:
13272:
13269:
13265:
13261:
13258:
13255:
13252:
13241:
13229:
13209:
13186:
13183:
13180:
13177:
13174:
13171:
13168:
13156:
13153:
13141:
13138:
13135:
13132:
13129:
13126:
13123:
13120:
13117:
13114:
13111:
13108:
13105:
13102:
13098:
13094:
13091:
13088:
13085:
13082:
13079:
13075:
13054:
13051:
13048:
13045:
13036:
13033:
13029:
13025:
13022:
13019:
13016:
13013:
13010:
13006:
12999:
12978:
12975:
12972:
12969:
12966:
12963:
12960:
12957:
12937:
12917:
12905:
12902:
12890:
12887:
12884:
12881:
12878:
12875:
12872:
12869:
12866:
12842:
12839:
12836:
12833:
12830:
12827:
12824:
12821:
12801:
12798:
12795:
12792:
12789:
12786:
12783:
12763:
12743:
12723:
12720:
12717:
12714:
12711:
12708:
12705:
12680:
12675:
12672:
12669:
12664:
12659:
12655:
12651:
12623:
12618:
12615:
12612:
12607:
12602:
12598:
12594:
12572:
12569:
12566:
12563:
12560:
12557:
12554:
12533:
12529:
12526:
12521:
12517:
12512:
12508:
12489:
12486:
12483:
12480:
12460:
12451:-converges to
12440:
12437:
12434:
12431:
12428:
12425:
12422:
12419:
12398:
12395:
12392:
12387:
12382:
12378:
12374:
12352:
12349:
12346:
12343:
12340:
12337:
12334:
12331:
12328:
12325:
12322:
12319:
12316:
12296:
12274:
12271:
12268:
12263:
12258:
12254:
12250:
12228:
12218:
12206:
12203:
12200:
12197:
12194:
12191:
12188:
12185:
12163:
12160:
12157:
12152:
12147:
12143:
12139:
12117:
12114:
12088:
12085:
12082:
12077:
12072:
12068:
12064:
12042:
12039:
12036:
12016:
12013:
11993:
11973:
11969:
11965:
11962:
11959:
11956:
11953:
11950:
11946:
11942:
11939:
11936:
11933:
11928:
11924:
11902:
11898:
11895:
11892:
11887:
11883:
11871:locally convex
11858:
11855:
11852:
11849:
11846:
11843:
11840:
11837:
11826:
11825:
11813:
11810:
11807:
11804:
11801:
11798:
11795:
11792:
11789:
11786:
11783:
11780:
11760:
11740:
11737:
11734:
11731:
11728:
11725:
11722:
11719:
11716:
11713:
11710:
11707:
11687:
11667:
11645:
11640:
11637:
11634:
11629:
11624:
11620:
11616:
11594:
11574:
11554:
11534:
11531:
11528:
11525:
11522:
11519:
11516:
11513:
11504:) carries the
11493:
11473:
11470:
11467:
11464:
11461:
11456:
11453:
11450:
11447:
11444:
11441:
11438:
11435:
11431:
11410:
11407:
11404:
11401:
11398:
11395:
11392:
11389:
11369:
11366:
11363:
11360:
11357:
11354:
11351:
11348:
11328:
11325:
11322:
11319:
11316:
11313:
11310:
11307:
11297:
11280:
11277:
11274:
11271:
11268:
11265:
11245:
11242:
11239:
11236:
11233:
11230:
11227:
11224:
11204:
11194:
11183:
11163:
11137:
11134:
11131:
11122:Similarly, if
11109:
11106:
11092:
11089:structure but
11074:
11054:
11050:
11029:
11026:
11016:
11002:
10999:
10996:
10993:
10990:
10987:
10984:
10981:
10978:
10958:
10936:
10932:
10911:
10906:
10903:
10900:
10897:
10894:
10891:
10887:
10867:
10862:
10859:
10856:
10853:
10850:
10847:
10844:
10841:
10837:
10816:
10796:
10786:
10772:
10769:
10749:
10729:
10726:
10706:
10697:continuous as
10685:
10681:
10678:
10675:
10672:
10669:
10666:
10662:
10658:
10655:
10635:
10632:
10629:
10626:
10623:
10620:
10617:
10597:
10594:
10591:
10588:
10585:
10582:
10579:
10576:
10556:
10553:
10533:
10523:
10512:
10492:
10470:
10467:
10464:
10444:
10440:
10415:
10412:
10409:
10406:
10403:
10400:
10397:
10375:
10372:
10371:
10370:
10356:
10352:
10348:
10345:
10326:
10323:
10320:
10317:
10295:
10291:
10285:
10281:
10275:
10270:
10267:
10264:
10260:
10256:
10253:
10250:
10247:
10244:
10241:
10219:
10215:
10211:
10208:
10185:
10175:sequence space
10171:
10157:
10153:
10149:
10144:
10140:
10119:
10116:
10113:
10092:
10088:
10085:
10080:
10076:
10071:
10066:
10062:
10059:
10054:
10050:
10045:
10041:
10037:
10031:
10027:
10023:
10018:
10014:
10010:
10007:
10004:
10001:
9997:
9993:
9973:
9969:
9948:
9928:
9917:
9905:
9902:
9899:
9896:
9893:
9890:
9887:
9867:
9864:
9860:
9855:
9852:
9849:
9846:
9843:
9840:
9837:
9834:
9831:
9828:
9808:
9805:
9799:
9796:
9790:
9784:
9781:
9758:
9738:
9735:
9732:
9727:
9723:
9719:
9716:
9697:
9694:
9691:
9688:
9683:
9679:
9675:
9672:
9653:
9650:
9647:
9644:
9641:
9638:
9627:
9616:
9613:
9609:
9605:
9602:
9599:
9596:
9593:
9590:
9587:
9584:
9581:
9578:
9575:
9572:
9569:
9566:
9563:
9560:
9557:
9554:
9551:
9548:
9545:
9542:
9537:
9533:
9512:
9509:
9489:
9469:
9466:
9446:
9426:
9423:
9420:
9417:
9414:
9411:
9408:
9388:
9383:
9379:
9373:
9369:
9365:
9360:
9356:
9350:
9346:
9342:
9338:
9333:
9327:
9323:
9319:
9314:
9310:
9306:
9301:
9297:
9292:
9288:
9284:
9278:
9274:
9270:
9265:
9261:
9256:
9251:
9247:
9227:
9224:
9221:
9217:
9211:
9207:
9203:
9198:
9194:
9190:
9185:
9181:
9176:
9167:
9164:
9160:
9154:
9150:
9146:
9141:
9137:
9132:
9111:
9106:
9101:
9096:
9093:
9074:
9069:
9064:
9059:
9056:
9043:
9042:Other examples
9040:
9026:
9022:
9019:
9016:
9013:
9010:
9007:
9002:
8999:
8994:
8991:
8987:
8966:
8963:
8960:
8957:
8954:
8951:
8948:
8945:
8942:
8939:
8936:
8933:
8912:
8908:
8903:
8900:
8895:
8892:
8889:
8886:
8863:
8842:
8838:
8834:
8824:being the map
8811:
8808:
8786:
8764:
8761:
8739:
8736:
8733:
8730:
8727:
8705:
8702:
8680:
8677:
8651:
8648:
8626:
8623:
8603:
8600:
8595:
8592:
8587:
8584:
8581:
8578:
8572: by
8568:
8565:
8562:
8559:
8555:
8551:
8547:
8543:
8539:
8518:
8515:
8495:
8492:
8489:
8486:
8483:
8480:
8477:
8474:
8471:
8460:
8459:
8443:
8440:
8437:
8434:
8431:
8428:
8425:
8422:
8419:
8416:
8413:
8393:
8373:
8370:
8367:
8364:
8361:
8341:
8338:
8335:
8332:
8329:
8326:
8323:
8320:
8317:
8314:
8311:
8287:
8284:
8281:
8278:
8275:
8272:
8269:
8266:
8263:
8252:
8240:
8237:
8234:
8231:
8228:
8225:
8222:
8219:
8216:
8213:
8210:
8197:
8183:
8180:
8177:
8174:
8171:
8168:
8165:
8162:
8159:
8131:
8128:
8125:
8122:
8119:
8096:
8087:has dimension
8076:
8055:
8034:
8014:
8011:
8008:
8005:
8002:
7999:
7996:
7993:
7990:
7975:
7972:
7956:
7952:
7929:
7907:
7885:
7881:
7860:
7840:
7836:
7830:
7826:
7822:
7819:
7815:
7794:
7772:
7748:
7744:
7723:
7706:
7697:
7694:
7693:
7692:
7681:
7677:
7671:
7667:
7663:
7660:
7656:
7635:
7608:
7588:
7566:
7562:
7541:
7536:
7532:
7511:
7490:
7482:
7478:
7474:
7471:
7465:
7459:
7456:
7451:
7447:
7443:
7440:
7436:
7413:
7409:
7388:
7367:
7363:
7360:
7355:
7351:
7347:
7344:
7340:
7319:
7314:
7310:
7282:
7270:
7267:
7254:
7251:
7248:
7228:
7225:
7222:
7202:
7199:
7196:
7193:
7190:
7187:
7167:
7147:
7144:
7124:
7104:
7101:
7098:
7095:
7092:
7089:
7086:
7066:
7046:
7024:
7020:
6999:
6988:
6987:
6976:
6973:
6970:
6967:
6964:
6961:
6941:
6938:
6918:
6898:
6872:
6869:
6866:
6863:
6860:
6857:
6854:
6851:
6831:
6828:
6825:
6822:
6819:
6799:
6779:
6776:
6773:
6768:
6764:
6760:
6756:
6750:
6746:
6742:
6739:
6735:
6711:
6708:
6688:
6668:
6648:
6638:
6634:
6631:is called the
6620:
6617:
6614:
6593:
6589:
6586:
6581:
6577:
6573:
6570:
6566:
6543:
6539:
6518:
6496:
6491:
6487:
6483:
6480:
6476:
6472:
6467:
6463:
6459:
6455:
6449:
6445:
6441:
6437:
6432:
6428:
6406:
6402:
6380:
6374:
6370:
6366:
6362:
6357:
6353:
6334:
6329:
6325:
6321:
6316:
6312:
6291:
6286:
6282:
6278:
6275:
6265:
6261:
6257:
6256:evaluation map
6243:
6240:
6237:
6234:
6229:
6225:
6221:
6217:
6211:
6207:
6203:
6200:
6196:
6192:
6188:
6182:
6178:
6174:
6171:
6167:
6163:
6142:
6138:
6135:
6130:
6126:
6122:
6119:
6115:
6094:
6074:
6048:
6044:
6023:
6011:
6008:
5996:
5993:
5990:
5987:
5984:
5981:
5978:
5975:
5954:
5948:
5945:
5942:
5936:
5930:
5927:
5924:
5921:
5918:
5914:
5890:
5887:
5884:
5881:
5878:
5858:
5855:
5852:
5849:
5846:
5826:
5823:
5820:
5817:
5814:
5811:
5808:
5788:
5784:
5778:
5775:
5772:
5766:
5760:
5757:
5754:
5751:
5748:
5744:
5723:
5720:
5717:
5697:
5694:
5691:
5688:
5685:
5682:
5679:
5669:
5655:
5635:
5615:
5612:
5592:
5583:is a pairing,
5572:
5569:
5566:
5563:
5560:
5557:
5554:
5542:
5539:
5537:
5534:
5522:
5519:
5516:
5513:
5510:
5507:
5504:
5501:
5481:
5478:
5475:
5472:
5469:
5466:
5463:
5443:
5440:
5437:
5434:
5431:
5428:
5425:
5405:
5402:
5399:
5396:
5393:
5390:
5387:
5375:
5364:
5361:
5358:
5355:
5352:
5332:
5329:
5326:
5323:
5320:
5309:
5296:
5293:
5290:
5287:
5284:
5281:
5278:
5275:
5255:
5252:
5249:
5246:
5243:
5240:
5237:
5234:
5214:
5194:
5191:
5188:
5185:
5182:
5179:
5176:
5156:
5153:
5150:
5147:
5144:
5141:
5138:
5135:
5115:
5104:
5103:
5091:
5088:
5085:
5082:
5079:
5076:
5073:
5070:
5050:
5047:
5044:
5041:
5038:
5035:
5032:
5029:
5009:
5006:
5003:
5000:
4997:
4994:
4991:
4971:
4968:
4948:
4928:
4908:
4905:
4902:
4899:
4896:
4893:
4890:
4887:
4864:
4844:
4824:
4821:
4818:
4815:
4812:
4809:
4806:
4796:
4780:
4777:
4754:
4734:
4714:
4694:
4674:
4654:
4634:
4614:
4603:
4602:
4590:
4587:
4584:
4581:
4578:
4575:
4572:
4569:
4559:
4556:one obtains a
4545:
4542:
4539:
4536:
4533:
4530:
4527:
4524:
4514:
4498:
4495:
4492:
4489:
4486:
4483:
4480:
4477:
4457:
4454:
4451:
4448:
4445:
4442:
4439:
4416:
4413:
4410:
4390:
4387:
4384:
4364:
4361:
4358:
4355:
4352:
4349:
4346:
4343:
4340:
4337:
4334:
4331:
4328:
4308:
4305:
4302:
4299:
4296:
4293:
4290:
4270:
4267:
4264:
4261:
4258:
4255:
4252:
4249:
4237:
4234:
4222:
4217:
4212:
4208:
4203:
4195:
4190:
4185:
4182:
4178:
4157:
4137:
4134:
4131:
4122:Similarly, if
4111:
4107:
4102:
4098:
4094:
4088:
4064:
4042:
4039:
4035:
4014:
4004:
3990:
3987:
3984:
3964:
3961:
3935:
3931:
3927:
3922:
3918:
3897:
3894:
3874:
3852:
3849:
3827:
3823:
3802:
3782:
3760:
3756:
3735:
3715:
3712:
3709:
3683:
3679:
3656:
3651:
3647:
3626:
3616:
3612:
3598:
3578:
3555:
3551:
3547:
3544:
3540:
3536:
3533:
3530:
3527:
3524:
3521:
3517:
3511:
3508:
3505:
3501:
3497:
3494:
3491:
3488:
3484:
3480:
3475:
3471:
3448:
3444:
3434:is denoted by
3423:
3403:
3380:
3376:
3372:
3369:
3365:
3361:
3358:
3355:
3352:
3349:
3346:
3342:
3336:
3333:
3330:
3326:
3322:
3319:
3316:
3313:
3309:
3305:
3300:
3296:
3275:
3255:
3245:
3241:
3226:
3205:
3202:
3199:
3196:
3193:
3190:
3187:
3172:Main article:
3169:
3166:
3153:
3150:
3147:
3125:
3121:
3100:
3080:
3060:
3057:
3054:
3051:
3048:
3045:
3042:
3039:
3036:
3033:
3030:
3027:
3024:
3021:
3018:
3015:
3012:
3009:
3006:
3003:
3000:
2997:
2994:
2991:
2988:
2985:
2982:
2977:
2973:
2952:
2949:
2946:
2936:
2930:
2907:
2904:
2901:
2881:
2878:
2875:
2855:
2852:
2849:
2846:
2843:
2840:
2837:
2834:
2825:; that is, if
2814:
2811:
2808:
2805:
2802:
2799:
2796:
2793:
2790:
2787:
2767:
2764:
2761:
2751:
2735:
2732:
2729:
2709:
2706:
2703:
2694:. Two subsets
2683:
2680:
2677:
2674:
2671:
2668:
2665:
2662:
2642:
2639:
2636:
2612:
2592:
2580:
2577:
2564:
2544:
2524:
2504:
2484:
2464:
2444:
2441:
2438:
2418:
2415:
2412:
2403:
2400:
2397:
2394:
2391:
2388:
2385:
2382:
2362:
2359:
2356:
2346:
2328:
2308:
2296:
2293:
2280:
2277:
2274:
2271:
2268:
2265:
2262:
2253:of the triple
2252:
2249:is called the
2238:
2228:
2224:
2212:
2192:
2171:
2161:
2160:non-degenerate
2147:
2136:
2135:
2123:
2120:
2117:
2097:
2094:
2091:
2088:
2085:
2082:
2079:
2076:
2056:
2053:
2050:
2030:
2009:
2005:
2002:
1999:
1996:
1993:
1990:
1986:
1982:
1979:
1959:
1956:
1953:
1950:
1930:
1927:
1924:
1904:
1901:
1898:
1895:
1892:
1888:
1884:
1881:
1861:
1858:
1855:
1835:
1826:
1813:
1803:
1791:
1788:
1785:
1765:
1762:
1759:
1756:
1753:
1750:
1747:
1744:
1724:
1721:
1718:
1698:
1677:
1673:
1670:
1667:
1664:
1660:
1656:
1653:
1650:
1647:
1627:
1624:
1621:
1601:
1598:
1595:
1575:
1572:
1569:
1565:
1561:
1558:
1555:
1552:
1532:
1529:
1526:
1506:
1497:
1484:
1457:
1433:
1394:
1391:
1388:
1385:
1382:
1379:
1376:
1364:
1361:
1357:evaluation map
1344:
1341:
1338:
1335:
1332:
1312:
1309:
1306:
1303:
1300:
1297:
1294:
1291:
1288:
1285:
1282:
1261:
1257:
1254:
1251:
1247:
1226:
1223:
1220:
1217:
1214:
1211:
1191:
1188:
1185:
1182:
1179:
1152:
1149:
1146:
1143:
1140:
1137:
1134:
1131:
1128:
1124:
1120:
1117:
1114:
1111:
1108:
1105:
1102:
1098:
1094:
1091:
1081:
1078:
1075:
1072:
1069:
1066:
1062:
1058:
1055:
1052:
1049:
1046:
1043:
1040:
1036:
1032:
1029:
1026:
1023:
1003:
979:
976:
973:
969:
965:
962:
942:
918:
914:
910:
907:
904:
901:
877:
874:
871:
868:
865:
862:
859:
855:
852:
849:
847:
844:
841:
839:
835:
830:
827:
824:
822:
819:
816:
813:
810:
807:
804:
800:
796:
793:
790:
789:
769:
766:
763:
760:
751:and for every
736:
733:
730:
727:
724:
721:
717:
714:
711:
709:
706:
703:
701:
697:
692:
689:
686:
684:
681:
678:
675:
672:
668:
664:
661:
658:
655:
652:
651:
631:
628:
625:
601:
575:
561:is either the
549:
538:
532:
528:
513:
509:
506:
503:
500:
497:
494:
470:
449:
429:
409:
406:
403:
400:
397:
394:
391:
371:
368:
365:
362:
359:
356:
353:
350:
329:
318:
314:
304:
301:
299:
296:
292:Hilbert spaces
257:
253:
250:
247:
244:
241:
238:
211:
190:
170:
146:
143:
140:
137:
134:
131:
128:
107:
74:
73:
35:
33:
26:
9:
6:
4:
3:
2:
40373:
40362:
40359:
40357:
40354:
40352:
40349:
40347:
40344:
40343:
40341:
40326:
40318:
40317:
40314:
40308:
40305:
40303:
40300:
40298:
40295:
40293:
40289:
40285:
40283:) convex
40282:
40279:
40277:
40274:
40272:
40268:
40266:
40263:
40261:
40258:
40256:
40255:Semi-complete
40253:
40251:
40248:
40246:
40243:
40241:
40237:
40234:
40232:
40228:
40226:
40223:
40221:
40218:
40216:
40213:
40211:
40208:
40206:
40203:
40201:
40198:
40196:
40193:
40191:
40188:
40186:
40183:
40181:
40178:
40176:
40173:
40171:
40170:Infrabarreled
40168:
40166:
40163:
40161:
40158:
40154:
40151:
40150:
40149:
40146:
40144:
40141:
40139:
40136:
40134:
40131:
40129:
40128:Distinguished
40126:
40124:
40121:
40119:
40116:
40114:
40111:
40109:
40106:
40104:
40100:
40096:
40094:
40091:
40089:
40085:
40081:
40079:
40076:
40074:
40071:
40069:
40066:
40065:
40063:
40061:Types of TVSs
40059:
40053:
40049:
40045:
40043:
40040:
40038:
40035:
40033:
40030:
40028:
40025:
40023:
40019:
40015:
40013:
40010:
40009:
40007:
40003:
39997:
39994:
39992:
39989:
39987:
39984:
39982:
39981:Prevalent/Shy
39979:
39977:
39974:
39972:
39971:Extreme point
39969:
39967:
39961:
39959:
39953:
39951:
39948:
39946:
39943:
39941:
39938:
39936:
39933:
39931:
39928:
39926:
39923:
39921:
39918:
39916:
39913:
39911:
39908:
39907:
39905:
39903:Types of sets
39901:
39895:
39892:
39890:
39887:
39885:
39882:
39880:
39877:
39873:
39870:
39868:
39865:
39863:
39860:
39859:
39858:
39855:
39853:
39850:
39846:
39845:Discontinuous
39843:
39841:
39838:
39836:
39833:
39831:
39828:
39826:
39823:
39821:
39818:
39816:
39813:
39812:
39811:
39808:
39804:
39801:
39800:
39799:
39796:
39795:
39793:
39789:
39783:
39780:
39776:
39773:
39772:
39771:
39768:
39765:
39762:
39760:
39756:
39753:
39751:
39748:
39746:
39743:
39741:
39738:
39736:
39733:
39732:
39730:
39728:
39724:
39718:
39715:
39713:
39710:
39708:
39705:
39703:
39702:Metrizability
39700:
39698:
39695:
39693:
39690:
39688:
39687:Fréchet space
39685:
39683:
39680:
39678:
39675:
39673:
39670:
39668:
39665:
39664:
39662:
39658:
39653:
39646:
39641:
39639:
39634:
39632:
39627:
39626:
39623:
39611:
39608:
39607:
39605:
39601:
39595:
39592:
39590:
39587:
39586:
39584:
39580:
39574:
39571:
39570:
39568:
39564:
39558:
39555:
39553:
39550:
39549:
39547:
39543:
39537:
39534:
39530:
39527:
39525:
39522:
39521:
39520:
39517:
39515:
39512:
39508:
39505:
39503:
39500:
39498:
39495:
39494:
39493:
39490:
39488:
39485:
39481:
39478:
39477:
39476:
39475:Norm topology
39473:
39472:
39470:
39468:
39464:
39458:
39455:
39453:
39450:
39448:
39445:
39443:
39440:
39438:
39435:
39433:
39432:Dual topology
39430:
39428:
39425:
39423:
39420:
39419:
39417:
39413:
39408:
39404:
39397:
39392:
39390:
39385:
39383:
39378:
39377:
39374:
39362:
39359:
39358:
39356:
39352:
39346:
39343:
39341:
39338:
39336:
39333:
39331:
39328:
39327:
39325:
39323:
39319:
39312:
39310:
39304:
39302:
39296:
39292:
39288:
39284:
39281:
39280:
39278:
39274:
39268:
39265:
39263:
39259:
39256:
39254:
39251:
39249:
39246:
39244:
39241:
39239:
39236:
39234:
39231:
39229:
39225:
39221:
39217:
39215:
39212:
39211:
39209:
39205:
39199:
39196:
39194:
39191:
39189:
39186:
39184:
39181:
39179:
39178:Mazur's lemma
39176:
39174:
39171:
39169:
39166:
39164:
39161:
39159:
39156:
39154:
39151:
39149:
39146:
39144:
39141:
39140:
39138:
39136:
39131:
39125:
39124:Subderivative
39122:
39120:
39117:
39115:
39112:
39110:
39107:
39105:
39101:
39098:
39096:
39093:
39091:
39088:
39086:
39083:
39081:
39078:
39076:
39072:
39070:
39067:
39065:
39062:
39061:
39059:
39055:
39049:
39046:
39044:
39041:
39039:
39036:
39034:
39031:
39029:
39026:
39024:
39021:
39019:
39016:
39014:
39011:
39009:
39006:
39005:
39003:
39001:
39000:Topics (list)
38997:
38991:
38988:
38986:
38983:
38981:
38978:
38977:
38975:
38971:
38967:
38963:
38956:
38951:
38949:
38944:
38942:
38937:
38936:
38933:
38921:
38913:
38912:
38909:
38903:
38900:
38898:
38895:
38893:
38892:Weak topology
38890:
38888:
38885:
38883:
38880:
38878:
38875:
38874:
38872:
38868:
38861:
38857:
38854:
38852:
38849:
38847:
38844:
38842:
38839:
38837:
38834:
38832:
38829:
38827:
38824:
38822:
38819:
38817:
38816:Index theorem
38814:
38812:
38809:
38807:
38804:
38802:
38799:
38798:
38796:
38792:
38786:
38783:
38781:
38778:
38777:
38775:
38773:Open problems
38771:
38765:
38762:
38760:
38757:
38755:
38752:
38750:
38747:
38745:
38742:
38740:
38737:
38736:
38734:
38730:
38724:
38721:
38719:
38716:
38714:
38711:
38709:
38706:
38704:
38701:
38699:
38696:
38694:
38691:
38689:
38686:
38684:
38681:
38679:
38676:
38675:
38673:
38669:
38663:
38660:
38658:
38655:
38653:
38650:
38648:
38645:
38643:
38640:
38638:
38635:
38633:
38630:
38628:
38625:
38623:
38620:
38619:
38617:
38615:
38611:
38601:
38598:
38596:
38593:
38591:
38588:
38585:
38581:
38577:
38574:
38572:
38569:
38567:
38564:
38563:
38561:
38557:
38551:
38548:
38546:
38543:
38541:
38538:
38536:
38533:
38531:
38528:
38526:
38523:
38521:
38518:
38516:
38513:
38511:
38508:
38506:
38503:
38502:
38499:
38496:
38492:
38487:
38483:
38479:
38472:
38467:
38465:
38460:
38458:
38453:
38452:
38449:
38443:
38440:
38439:
38429:
38425:
38421:
38415:
38411:
38407:
38403:
38399:
38395:
38391:
38386:
38382:
38378:
38374:
38368:
38364:
38360:
38356:
38352:
38348:
38344:
38340:
38334:
38330:
38326:
38325:
38320:
38319:Rudin, Walter
38316:
38313:
38312:0-12-585050-6
38309:
38305:
38301:
38297:
38293:
38289:
38283:
38279:
38274:
38273:
38261:
38256:
38254:
38246:
38241:
38234:
38229:
38222:
38217:
38215:
38207:
38202:
38195:
38190:
38188:
38186:
38178:
38173:
38171:
38163:
38158:
38151:
38146:
38144:
38142:
38140:
38138:
38136:
38128:
38123:
38121:
38119:
38117:
38115:
38113:
38111:
38109:
38107:
38105:
38103:
38101:
38099:
38097:
38095:
38093:
38091:
38089:
38087:
38085:
38083:
38081:
38079:
38077:
38075:
38073:
38071:
38069:
38067:
38065:
38063:
38061:
38059:
38057:
38055:
38053:
38051:
38049:
38047:
38045:
38043:
38041:
38039:
38037:
38035:
38033:
38031:
38029:
38027:
38025:
38023:
38018:
37992:
37972:
37963:
37949:
37939:
37921:
37918:
37898:
37888:
37869:
37864:
37860:
37854:
37848:
37843:
37835:
37831:
37828:
37822:
37819:
37812:
37805:
37799:
37776:
37770:
37765:
37741:
37738:
37735:
37732:
37712:
37705:
37701:
37698:
37692:
37689:
37683:
37680:
37673:
37666:
37660:
37640:
37620:
37600:
37597:
37591:
37588:
37585:
37580:
37556:
37536:
37530:
37527:
37524:
37514:
37496:
37492:
37485:
37479:
37474:
37467:
37463:
37458:
37454:
37451:
37441:
37434:
37431:
37428:
37422:
37399:
37393:
37388:
37364:
37361:
37358:
37355:
37335:
37329:
37326:
37322:
37315:
37312:
37302:
37295:
37292:
37289:
37283:
37263:
37243:
37223:
37220:
37214:
37211:
37208:
37203:
37179:
37159:
37153:
37150:
37147:
37137:
37119:
37115:
37108:
37102:
37097:
37090:
37086:
37081:
37077:
37074:
37064:
37057:
37054:
37051:
37045:
37022:
37016:
37011:
36987:
36984:
36981:
36978:
36958:
36952:
36949:
36945:
36938:
36935:
36925:
36918:
36915:
36912:
36906:
36886:
36866:
36846:
36843:
36837:
36834:
36831:
36826:
36802:
36782:
36776:
36773:
36770:
36760:
36742:
36738:
36733:
36729:
36723:
36717:
36712:
36704:
36700:
36697:
36687:
36680:
36677:
36674:
36668:
36645:
36639:
36634:
36610:
36607:
36604:
36601:
36581:
36574:
36570:
36567:
36561:
36558:
36548:
36541:
36538:
36535:
36529:
36509:
36489:
36469:
36466:
36460:
36457:
36454:
36449:
36425:
36405:
36399:
36396:
36393:
36383:
36364:
36344:
36335:weak topology
36334:
36320:
36317:
36297:
36277:
36271:
36268:
36265:
36262:
36259:
36253:
36233:
36210:
36207:
36204:
36181:
36172:
36169:
36166:
36160:
36157:
36154:
36132:
36123:
36120:
36117:
36114:
36111:
36105:
36102:
36099:
36076:
36073:
36053:
36025:
36022:
36015:
36011:
36008:
36002:
35982:
35962:
35952:
35933:
35913:
35907:
35904:
35901:
35895:
35892:
35889:
35883:
35880:
35877:
35871:
35868:
35862:
35854:
35849:
35846:
35840:
35836:
35832:
35824:
35819:
35816:
35812:
35808:
35805:
35799:
35796:
35793:
35790:
35787:
35781:
35761:
35741:
35731:
35712:
35709:
35706:
35686:
35683:
35680:
35671:
35668:
35662:
35659:
35656:
35650:
35630:
35627:
35624:
35604:
35584:
35574:
35570:
35559:
35558:Weak topology
35556:
35554:
35551:
35545:
35542:
35539:
35536:
35534:
35531:
35528:
35525:
35522:
35519:
35516:
35513:
35510:
35507:
35501:
35500:Inner product
35498:
35495:
35492:
35490:
35489:Dual topology
35487:
35484:
35481:
35479:
35476:
35474:
35471:
35470:
35464:
35447:
35444:
35441:
35438:
35435:
35429:
35409:
35386:
35383:
35380:
35377:
35374:
35368:
35359:
35345:
35342:
35337:
35333:
35312:
35292:
35289:
35279:
35276:
35273:
35268:
35263:
35259:
35255:
35250:
35245:
35241:
35218:
35214:
35210:
35206:
35201:
35197:
35193:
35165:
35162:
35159:
35154:
35149:
35145:
35141:
35136:
35131:
35127:
35103:
35100:
35097:
35094:
35091:
35085:
35062:
35059:
35056:
35053:
35050:
35044:
35024:
35021:
35018:
34998:
34992:
34989:
34986:
34983:
34980:
34974:
34971:
34965:
34962:
34959:
34956:
34953:
34947:
34927:
34922:
34918:
34912:
34908:
34897:
34894:
34891:
34887:
34883:
34879:
34873:
34869:
34865:
34860:
34856:
34851:
34847:
34819:
34816:
34813:
34810:
34807:
34787:
34784:
34781:
34761:
34758:
34738:
34735:
34730:
34726:
34698:
34695:
34692:
34687:
34682:
34678:
34674:
34669:
34664:
34660:
34639:
34624:
34611:
34598:
34595:
34562:
34559:
34536:
34515:
34505:
34501:
34498:
34494:
34473:
34429:
34425:
34415:
34411:
34408:
34404:
34377:
34346:
34343:
34333:Suppose that
34324:
34306:
34303:
34283:
34263:
34255:
34240:
34237:
34217:
34214:
34211:
34191:
34171:
34151:
34143:
34139:
34135:
34134:
34133:
34119:
34109:
34096:
34093:
34070:
34067:
34064:
34061:
34058:
34052:
34032:
34012:
33968:
33948:
33925:
33922:
33919:
33916:
33913:
33894:
33892:
33889:
33886:(i.e. closed
33885:
33880:
33867:
33854:
33851:
33818:
33815:
33804:
33788:
33768:
33748:
33728:
33723:
33720:
33716:
33712:
33709:
33690:
33687:
33667:
33660:
33596:
33504:
33484:
33426:
33422:
33408:
33388:
33385:
33365:
33313:
33297:
33281:
33268:
33265:
33245:
33235:
33221:
33198:
33195:
33189:
33183:
33180:
33177:
33174:
33171:
33158:
33100:
33085:
33072:
33066:
33063:
33060:
33057:
33054:
33048:
33045:
33035:
33029:
33026:
33023:
33020:
33017:
33011:
32967:
32964:
32920:
32900:
32877:
32874:
32871:
32868:
32865:
32846:
32844:
32828:
32822:
32819:
32816:
32813:
32810:
32787:
32767:
32764:
32741:
32738:
32735:
32732:
32729:
32723:
32703:
32697:
32694:
32691:
32688:
32685:
32679:
32669:
32656:
32653:
32645:
32626:
32623:
32620:
32617:
32614:
32608:
32537:
32534:
32531:
32528:
32525:
32478:
32434:
32414:
32391:
32388:
32385:
32382:
32379:
32363:
32357:
32353:
32349:
32345:
32335:
32322:
32318:
32314:
32311:
32302:
32297:
32286:
32284:
32268:
32260:
32241:
32238:
32235:
32232:
32229:
32203:
32200:
32197:
32194:
32191:
32185:
32176:
32162:
32142:
32122:
32119:
32116:
32106:
32095:
32092:
32088:
32066:
32046:
32026:
32006:
31986:
31980:
31977:
31973:
31966:
31963:
31959:
31948:
31945:
31941:
31932:
31913:
31910:
31907:
31904:
31901:
31889:
31885:
31881:
31877:
31839:
31770:
31767:
31764:
31761:
31758:
31741:
31721:
31718:
31715:
31712:
31709:
31703:
31700:
31697:
31674:
31665:
31662:
31659:
31656:
31653:
31647:
31644:
31641:
31612:
31609:
31606:
31603:
31600:
31594:
31591:
31588:
31575:
31571:
31567:
31553:
31539:
31519:
31516:
31513:
31510:
31507:
31501:
31498:
31495:
31480:
31477:
31474:
31471:
31468:
31462:
31459:
31456:
31450:
31447:
31424:
31421:
31418:
31415:
31412:
31386:
31383:
31380:
31377:
31374:
31361:
31347:
31341:
31338:
31335:
31328:A linear map
31326:
31306:
31303:
31300:
31297:
31294:
31288:
31285:
31282:
31267:
31264:
31261:
31258:
31255:
31249:
31246:
31243:
31237:
31234:
31211:
31208:
31205:
31202:
31199:
31173:
31170:
31167:
31164:
31161:
31148:
31134:
31128:
31125:
31122:
31115:A linear map
31113:
31112:
31097:
31094:
31091:
31074:
31071:
31068:
31065:
31062:
31056:
31033:
31030:
31027:
31024:
31021:
31015:
31008:
30990:
30987:
30984:
30981:
30978:
30972:
30965:
30964:
30961:
30958:
30941:
30938:
30935:
30932:
30929:
30923:
30916:
30898:
30895:
30892:
30889:
30886:
30880:
30873:(or balanced
30855:
30852:
30849:
30846:
30843:
30837:
30830:
30829:
30826:
30823:
30806:
30803:
30800:
30797:
30794:
30788:
30781:
30763:
30760:
30757:
30754:
30751:
30745:
30738:
30737:
30734:
30731:
30729:
30712:
30709:
30706:
30703:
30700:
30694:
30687:
30685:
30666:
30663:
30660:
30657:
30654:
30648:
30641:
30640:
30637:
30634:
30631:
30614:
30611:
30608:
30605:
30602:
30596:
30573:
30570:
30567:
30564:
30561:
30555:
30548:
30533:
30525:
30506:
30503:
30500:
30497:
30494:
30488:
30467:
30459:
30458:
30454:
30451:
30448:
30432:
30422:
30408:
30407:
30386:
30383:
30380:
30377:
30374:
30368:
30361:endowed with
30348:
30326:
30322:
30296:
30293:
30290:
30284:
30280:
30260:
30252:
30249:
30246:
30243:
30240:
30234:
30230:
30209:
30206:
30180:
30177:
30174:
30171:
30168:
30162:
30136:
30110:
30107:
30104:
30094:
30074:
30066:
30063:
30060:
30057:
30054:
30044:
30023:
30003:
29980:
29977:
29974:
29971:
29968:
29952:
29951:
29950:
29949:
29946:
29944:
29928:
29925:
29922:
29919:
29916:
29889:
29886:
29859:
29856:
29853:
29850:
29842:
29814:
29785:
29745:
29737:
29720:
29716:
29713:
29710:
29707:
29697:
29694:
29691:
29686:
29682:
29678:
29674:
29653:
29645:
29629:
29596:
29582:
29538:
29529:
29526:
29512:
29478:
29468:
29455:
29452:
29429:
29426:
29423:
29420:
29417:
29411:
29342:
29339:
29336:
29333:
29330:
29318:
29316:
29312:
29308:
29302:
29290:is separable.
29277:
29257:
29249:
29235:
29231:
29226:
29222:
29219:
29210:
29205:
29201:
29198:
29189:
29184:
29163:
29143:
29123:
29115:
29113:is separable.
29099:
29094:
29090:
29087:
29078:
29073:
29069:
29066:
29057:
29052:
29043:
29027:
29019:
29016:
29000:
28996:
28991:
28987:
28984:
28975:
28970:
28966:
28963:
28954:
28949:
28928:
28925:
28905:
28897:
28881:
28873:
28859:
28855:
28850:
28846:
28843:
28834:
28829:
28825:
28822:
28813:
28808:
28787:
28766:
28761:
28757:
28754:
28745:
28740:
28736:
28733:
28724:
28719:
28698:
28678:
28675:
28655:
28652:
28649:
28642:is such that
28623:
28619:
28616:
28595:
28591:
28588:
28579:
28574:
28570:
28562:
28546:
28538:
28537:
28536:
28523:
28514:
28510:
28507:
28481:
28472:
28456:
28428:
28419:
28392:
28383:
28367:
28361:
28358:
28355:
28335:
28327:
28313:
28304:
28282:
28273:
28269:
28265:
28260:
28253:
28250:
28245:
28238:
28235:
28214:
28209:
28199:
28195:
28192:
28188:
28184:
28181:
28178:
28174:
28166:
28161:
28151:
28147:
28144:
28140:
28136:
28133:
28130:
28126:
28122:
28119:
28099:
28079:
28073:
28070:
28067:
28047:
28039:
28025:
28017:
28012:
28000:
27994:
27971:
27951:
27931:
27923:
27909:
27900:
27873:
27864:
27842:
27829:
27825:
27820:
27796:
27788:
27773:
27765:
27750:
27745:
27721:
27713:
27712:
27711:
27697:
27691:
27688:
27685:
27676:
27662:
27627:
27624:
27621:
27615:
27612:
27609:
27594:
27591:
27588:
27582:
27579:
27576:
27570:
27567:
27562:
27538:
27532:
27529:
27526:
27519:
27504:
27499:
27475:
27469:
27466:
27463:
27456:
27455:
27454:
27435:
27427:
27424:
27421:
27415:
27412:
27407:
27400:
27397:
27390:
27375:
27352:
27349:
27346:
27340:
27320:
27315:
27304:The range of
27303:
27282:
27279:
27276:
27270:
27267:
27264:
27249:
27246:
27243:
27237:
27234:
27231:
27225:
27222:
27215:
27214:
27213:
27199:
27193:
27190:
27187:
27164:
27161:
27158:
27132:
27129:
27126:
27116:Suppose that
27114:
27101:
27098:
27078:
27075:
27072:
27064:
27048:
27045:
27042:
27036:
27033:
27030:
27020:
27006:
27000:
26997:
26994:
26985:
26972:
26969:
26966:
26961:
26958:
26928:
26925:
26922:
26916:
26913:
26910:
26895:
26892:
26889:
26883:
26880:
26877:
26871:
26868:
26863:
26839:
26812:
26809:
26806:
26782:
26778:
26775:
26772:
26768:
26747:
26744:
26738:
26735:
26732:
26727:
26715:
26711:
26697:
26694:
26688:
26676:
26668:
26647:
26644:
26641:
26635:
26632:
26629:
26614:
26611:
26608:
26602:
26599:
26596:
26590:
26587:
26580:
26579:
26578:
26564:
26558:
26555:
26552:
26532:
26526:
26523:
26520:
26494:
26490:
26487:
26461:
26457:
26454:
26431:
26428:
26425:
26401:
26397:
26394:
26391:
26387:
26379:Suppose that
26372:
26359:
26350:
26298:
26278:
26274:
26269:
26266:
26263:
26259:
26255:
26251:
26248:
26204:
26182:
26167:
26157:
26154:
26135:
26131:
26120:
26116:
26112:
26109:
26106:
26096:
26092:
26087:
26083:
26062:
26046:
26025:
26019:
26015:
26011:
26008:
26005:
26000:
25996:
25991:
25987:
25961:
25958:
25936:
25926:
25923:
25920:
25917:
25908:
25895:
25892:
25889:
25886:
25871:
25865:
25853:
25849:
25843:
25836:
25827:
25823:
25813:
25792:
25789:
25786:
25783:
25780:
25770:
25760:
25756:
25750:
25744:
25740:
25736:
25732:
25727:
25718:
25714:
25704:
25700:
25697:
25693:
25671:
25662:
25658:
25648:
25627:
25624:
25615:
25611:
25607:
25598:
25594:
25584:
25564:
25555:
25551:
25542:
25521:
25512:
25499:
25495:
25492:
25487:
25480:
25471:
25444:
25423:
25413:
25399:
25393:
25390:
25387:
25367:
25363:
25353:
25349:
25346:
25342:
25320:
25310:
25306:
25303:
25299:
25284:
25270:
25250:
25230:
25210:
25187:
25178:
25157:
25137:
25117:
25114:
25094:
25086:
25067:
25064:
25061:
25058:
25055:
25029:
25026:
25022:
25015:
25009:
24999:
24998:
24997:
24996:
24982:
24962:
24942:
24934:
24915:
24903:
24899:
24895:
24885:
24881:
24878:
24874:
24850:
24847:
24844:
24818:
24815:
24812:
24809:
24806:
24783:
24775:
24759:
24736:
24733:
24729:
24722:
24716:
24696:
24676:
24656:
24644:
24638:
24624:
24614:
24594:
24590:
24581:
24572:
24549:
24545:
24536:
24520:
24512:
24509:
24487:
24479:
24475:
24459:
24433:
24430:
24427:
24421:
24418:
24415:
24386:
24359:
24355:
24352:
24342:
24328:
24319:
24315:
24312:
24286:
24283:
24280:
24274:
24271:
24268:
24245:
24242:
24222:
24196:
24175:
24166:
24149:
24137:
24124:
24103:
24083:
24080:
24077:
24050:
24041:
24037:
24029:
24002:
23993:
23989:
23984:
23981:
23960:
23955:
23945:
23941:
23938:
23934:
23930:
23927:
23924:
23920:
23899:
23890:
23881:
23865:
23844:
23839:
23835:
23832:
23823:
23818:
23814:
23811:
23802:
23797:
23776:
23767:
23765:
23764:Banach spaces
23759:
23740:
23737:
23734:
23731:
23728:
23722:
23715:
23701:
23693:
23671:
23668:
23665:
23662:
23659:
23653:
23650:
23647:
23630:
23615:
23605:
23601:
23598:
23594:
23590:
23570:
23550:
23529:
23519:
23515:
23512:
23508:
23504:
23478:
23457:
23450:Suppose that
23428:
23425:
23422:
23419:
23414:
23411:
23387:
23384:
23364:
23344:
23339:
23327:
23306:
23303:
23300:
23297:
23294:
23288:
23285:
23270:
23267:
23264:
23261:
23258:
23252:
23249:
23246:
23240:
23237:
23232:
23208:
23202:
23199:
23196:
23191:
23180:
23179:
23178:
23164:
23140:
23132:
23114:
23111:
23107:
23100:
23097:
23091:
23088:
23081:
23074:
23068:
23061:
23040:
23037:
23034:
23031:
23028:
23022:
23019:
23004:
23001:
22998:
22995:
22992:
22986:
22983:
22980:
22974:
22971:
22951:
22944:
22943:
22942:
22928:
22922:
22919:
22916:
22896:
22876:
22860:
22857:
22837:
22834:
22831:
22828:
22825:
22819:
22816:
22801:
22798:
22795:
22792:
22789:
22783:
22780:
22777:
22771:
22768:
22745:
22742:
22739:
22736:
22733:
22707:
22704:
22701:
22698:
22695:
22682:
22668:
22662:
22659:
22656:
22649:A linear map
22642:
22629:
22621:
22616:
22604:
22598:
22575:
22569:
22566:
22563:
22543:
22523:
22511:
22507:
22506:
22489:
22484:
22473:
22467:
22461:
22458:
22453:
22446:
22443:
22436:
22421:
22418:
22412:
22406:
22384:
22380:
22376:
22372:
22367:
22363:
22359:
22355:
22350:
22326:
22323:
22320:
22300:
22297:
22294:
22286:
22269:
22266:
22262:
22258:
22252:
22246:
22226:
22221:
22217:
22213:
22209:
22204:
22200:
22196:
22192:
22187:
22176:is such that
22163:
22160:
22157:
22149:
22132:
22128:
22124:
22120:
22115:
22111:
22107:
22103:
22098:
22074:
22071:
22068:
22065:
22045:
22042:
22036:
22030:
22022:
22006:
22001:
21997:
21993:
21987:
21984:
21979:
21975:
21970:
21962:
21957:
21952:
21941:
21935:
21925:
21924:
21910:
21907:
21899:
21881:
21877:
21856:
21853:
21850:
21842:
21826:
21823:
21818:
21814:
21809:
21801:
21796:
21792:
21787:
21784:
21780:
21776:
21770:
21746:
21743:
21737:
21734:
21730:
21725:
21722:
21718:
21714:
21708:
21684:
21681:
21675:
21672:
21667:
21664:
21660:
21639:
21633:
21630:
21627:
21622:
21598:
21592:
21589:
21586:
21578:
21564:
21561:
21556:
21549:
21546:
21541:
21534:
21528:
21525:
21522:
21514:
21490:
21487:
21481:
21478:
21472:
21469:
21466:
21458:
21434:
21431:
21425:
21422:
21419:
21416:
21413:
21393:
21387:
21384:
21381:
21376:
21352:
21346:
21343:
21340:
21295:
21292:
21289:
21286:
21283:
21272:
21258:
21255:
21252:
21249:
21244:
21241:
21217:
21212:
21188:
21183:
21171:
21157:
21153:
21148:
21144:
21141:
21138:
21135:
21132:
21128:
21124:
21121:
21118:
21114:
21093:
21070:
21064:
21061:
21056:
21049:
21046:
21038:
21022:
21016:
21013:
21010:
21005:
20994:
20993:
20992:
20978:
20972:
20969:
20966:
20961:
20937:
20931:
20928:
20925:
20880:
20877:
20874:
20871:
20868:
20842:
20839:
20836:
20833:
20830:
20813:
20799:
20796:
20790:
20771:
20768:
20762:
20743:
20740:
20734:
20715:
20712:
20706:
20697:
20684:
20681:
20678:
20675:
20654:
20647:
20641:
20636:
20629:
20626:
20622:
20618:
20615:
20609:
20606:
20600:
20594:
20588:
20568:
20564:
20557:
20551:
20546:
20539:
20535:
20530:
20526:
20523:
20517:
20514:
20507:
20500:
20494:
20471:
20465:
20460:
20436:
20433:
20430:
20427:
20407:
20402:
20390:
20370:
20367:
20364:
20361:
20358:
20332:
20329:
20326:
20323:
20320:
20297:
20289:
20285:
20282:
20269:
20263:
20260:
20257:
20252:
20228:
20222:
20216:
20211:
20187:
20164:
20161:
20157:
20150:
20147:
20141:
20138:
20131:
20124:
20118:
20098:
20095:
20092:
20072:
20069:
20066:
20039:
20036:
20033:
20030:
20024:
20021:
20017:
20010:
20004:
19998:
19995:
19991:
19984:
19961:
19958:
19955:
19952:
19946:
19943:
19936:
19929:
19923:
19917:
19911:
19908:
19901:
19894:
19888:
19868:
19862:
19859:
19855:
19848:
19845:
19839:
19836:
19829:
19822:
19816:
19809:
19806:
19784:
19763:
19740:
19737:
19733:
19726:
19720:
19700:
19680:
19673:
19672:
19671:
19667:
19663:
19646:
19626:
19620:
19617:
19611:
19605:
19599:
19593:
19565:
19562:
19556:
19553:
19546:
19539:
19533:
19513:
19510:
19507:
19504:
19495:
19481:
19475:
19472:
19469:
19424:
19421:
19418:
19415:
19412:
19386:
19383:
19380:
19377:
19374:
19361:
19357:
19353:
19338:
19325:
19322:
19299:
19296:
19293:
19290:
19287:
19281:
19273:
19257:
19234:
19231:
19228:
19217:
19201:
19181:
19161:
19141:
19118:
19115:
19112:
19109:
19106:
19091:
19072:
19069:
19066:
19063:
19060:
19054:
19046:
19027:
19024:
19021:
19018:
19015:
19009:
18989:
18969:
18949:
18941:
18927:
18924:
18916:
18898:
18894:
18870:
18867:
18864:
18861:
18858:
18852:
18832:
18825:
18820:
18816:
18815:
18802:
18799:
18776:
18773:
18770:
18767:
18764:
18758:
18738:
18733:
18730:
18726:
18705:
18702:
18693:
18690:
18688:
18674:
18671:
18663:
18644:
18641:
18638:
18635:
18632:
18626:
18606:
18583:
18580:
18577:
18574:
18571:
18565:
18545:
18537:
18536:balanced hull
18521:
18501:
18493:
18479:
18470:
18467:
18464:
18461:
18458:
18452:
18449:
18446:
18423:
18401:
18397:
18388:
18387:
18386:
18372:
18369:
18366:
18363:
18340:
18337:
18334:
18331:
18328:
18316:
18313:
18300:
18297:
18277:
18270:
18252:
18248:
18244:
18241:
18220:
18216:
18213:
18204:
18199:
18195:
18175:
18155:
18146:
18125:
18105:
18091:
18078:
18075:
18071:
18067:
18041:
18038:
18035:
18032:
18029:
18023:
18020:
18017:
18006:
17989:
17983:
17979:
17975:
17972:
17968:
17964:
17960:
17956:
17949:The topology
17947:
17934:
17928:
17925:
17922:
17916:
17907:
17904:
17901:
17898:
17895:
17862:
17858:
17854:
17851:
17847:
17843:
17840:
17837:
17833:
17829:
17808:
17804:
17800:
17796:
17793:
17788:
17784:
17780:
17777:
17773:
17769:
17765:
17744:
17741:
17721:
17714:Suppose that
17707:
17694:
17690:
17684:
17672:
17669:
17664:
17660:
17655:
17651:
17648:
17645:
17641:
17614:
17611:
17608:
17605:
17602:
17596:
17593:
17590:
17567:
17558:
17555:
17552:
17549:
17546:
17540:
17537:
17534:
17511:
17503:
17486:
17480:
17468:
17465:
17460:
17456:
17451:
17447:
17444:
17441:
17437:
17433:
17426:The topology
17424:
17411:
17405:
17402:
17399:
17393:
17386:
17380:
17376:
17372:
17369:
17366:
17363:
17359:
17328:
17324:
17319:
17315:
17312:
17309:
17306:
17301:
17289:
17268:
17263:
17259:
17255:
17250:
17246:
17224:
17220:
17215:
17211:
17190:
17184:
17172:
17169:
17164:
17160:
17155:
17151:
17148:
17145:
17141:
17131:
17118:
17109:
17106:
17103:
17100:
17097:
17091:
17088:
17085:
17062:
17054:
17038:
17015:
17012:
17009:
17006:
17003:
16997:
16977:
16974:
16971:
16968:
16945:
16942:
16939:
16936:
16933:
16907:
16904:
16901:
16898:
16895:
16872:
16852:
16845:Suppose that
16838:
16825:
16822:
16800:
16796:
16769:
16746:
16742:
16721:
16698:
16693:
16688:
16684:
16678:
16675:
16672:
16668:
16664:
16659:
16654:
16648:
16644:
16638:
16635:
16632:
16628:
16623:
16601:
16579:
16576:
16573:
16568:
16563:
16559:
16555:
16545:
16531:
16527:
16522:
16516:
16511:
16507:
16501:
16498:
16495:
16491:
16486:
16482:
16479:
16475:
16471:
16463:
16460:
16457:
16454:
16451:
16445:
16441:
16437:
16432:
16427:
16421:
16417:
16411:
16408:
16405:
16401:
16396:
16374:
16351:
16348:
16345:
16342:
16339:
16333:
16311:
16308:
16305:
16300:
16295:
16291:
16287:
16277:
16261:
16256:
16252:
16248:
16245:
16225:
16202:
16199:
16196:
16193:
16190:
16184:
16164:
16156:
16155:
16140:
16136:
16133:
16130:
16127:
16119:
16116:
16113:
16110:
16107:
16101:
16097:
16092:
16088:
16083:
16079:
16075:
16072:
16065:
16047:
16044:
16041:
16038:
16035:
16029:
16007:
16003:
15999:
15994:
15989:
15985:
15982:
15979:
15976:
15968:
15965:
15962:
15959:
15956:
15950:
15946:
15941:
15936:
15931:
15923:
15920:
15917:
15911:
15906:
15902:
15894:
15893:
15892:
15878:
15858:
15835:
15832:
15829:
15826:
15823:
15806:
15792:
15772:
15751:
15740:
15736:
15732:
15722:
15712:
15708:
15704:
15698:
15694:
15685:
15682:
15668:
15665:
15655:
15645:
15641:
15637:
15626:
15623:
15609:
15601:
15597:
15580:
15569:
15565:
15561:
15551:
15541:
15537:
15533:
15527:
15523:
15503:
15483:
15477:
15464:
15454:
15450:
15446:
15438:
15425:
15415:
15411:
15407:
15378:
15374:
15347:
15319:
15309:
15305:
15301:
15273:
15251:
15247:
15244:
15235:
15230:
15226:
15218:
15196:
15188:Moreover, if
15175:
15172:
15145:
15135:
15131:
15127:
15104:
15093:
15089:
15085:
15075:
15065:
15061:
15057:
15051:
15047:
15020:
15010:
15006:
15002:
14980:
14960:
14934:
14912:
14908:
14905:
14896:
14891:
14887:
14880:
14864:
14861:
14858:
14848:
14838:
14834:
14830:
14818:
14815:
14805:
14800:
14796:
14793:
14784:
14779:
14775:
14772:
14763:
14758:
14733:
14721:
14694:
14690:
14681:
14660:
14640:
14620:
14599:
14594:
14590:
14587:
14578:
14573:
14569:
14566:
14557:
14552:
14531:
14510:
14505:
14495:
14491:
14488:
14484:
14480:
14477:
14474:
14470:
14449:
14423:
14402:
14393:
14380:
14376:
14372:
14369:
14366:
14363:
14357:
14354:
14350:
14343:
14339:
14335:
14329:
14326:
14322:
14315:
14312:
14296:
14293:
14290:
14287:
14284:
14278:
14275:
14272:
14243:
14240:
14237:
14234:
14231:
14225:
14222:
14219:
14208:
14186:
14183:
14163:
14143:
14123:
14115:
14114:
14101:
14095:
14092:
14089:
14081:
14078:
14072:
14069:
14066:
14060:
14057:
14054:
14051:
14048:
14042:
14037:
14033:
14012:
14007:
14003:
13998:
13994:
13968:
13965:
13962:
13959:
13956:
13950:
13947:
13944:
13933:
13917:
13914:
13894:
13874:
13866:
13865:
13852:
13849:
13829:
13809:
13786:
13783:
13779:
13772:
13769:
13766:
13746:
13743:
13740:
13714:
13711:
13708:
13705:
13702:
13696:
13693:
13690:
13679:
13663:
13655:
13654:
13653:
13652:Furthermore,
13639:
13633:
13630:
13627:
13624:
13618:
13615:
13611:
13604:
13598:
13592:
13589:
13585:
13578:
13552:
13549:
13546:
13543:
13540:
13534:
13531:
13528:
13517:
13501:
13473:
13470:
13467:
13464:
13461:
13442:
13429:
13420:
13417:
13414:
13411:
13408:
13402:
13399:
13396:
13376:
13357:
13354:
13351:
13348:
13345:
13339:
13332:
13317:
13297:
13289:
13270:
13267:
13263:
13256:
13250:
13242:
13227:
13207:
13200:
13199:
13198:
13181:
13178:
13175:
13172:
13169:
13155:Hausdorffness
13152:
13139:
13133:
13130:
13127:
13124:
13118:
13115:
13112:
13106:
13100:
13089:
13086:
13083:
13077:
13052:
13049:
13046:
13043:
13031:
13020:
13017:
13014:
13008:
12973:
12970:
12967:
12964:
12961:
12955:
12935:
12915:
12901:
12888:
12882:
12879:
12876:
12873:
12870:
12864:
12856:
12837:
12834:
12831:
12828:
12825:
12819:
12796:
12793:
12790:
12787:
12784:
12761:
12741:
12718:
12715:
12712:
12709:
12706:
12694:
12673:
12670:
12667:
12662:
12657:
12653:
12649:
12639:
12616:
12613:
12610:
12605:
12600:
12596:
12592:
12570:
12564:
12561:
12558:
12552:
12545:converges to
12531:
12527:
12524:
12519:
12515:
12510:
12506:
12487:
12484:
12481:
12478:
12458:
12435:
12432:
12429:
12426:
12423:
12417:
12396:
12393:
12390:
12385:
12380:
12376:
12372:
12350:
12341:
12338:
12335:
12332:
12329:
12323:
12320:
12317:
12294:
12287:converges to
12272:
12269:
12266:
12261:
12256:
12252:
12248:
12226:
12201:
12198:
12195:
12192:
12189:
12183:
12176:
12161:
12158:
12155:
12150:
12145:
12141:
12137:
12115:
12112:
12104:
12086:
12083:
12080:
12075:
12070:
12066:
12062:
12040:
12037:
12034:
12014:
12011:
11991:
11971:
11960:
11957:
11954:
11948:
11940:
11934:
11926:
11922:
11893:
11890:
11885:
11881:
11872:
11853:
11850:
11847:
11844:
11841:
11835:
11828:The topology
11805:
11802:
11799:
11796:
11793:
11787:
11784:
11781:
11758:
11732:
11729:
11726:
11723:
11720:
11714:
11711:
11708:
11685:
11665:
11638:
11635:
11632:
11627:
11622:
11618:
11614:
11592:
11572:
11552:
11529:
11526:
11523:
11520:
11517:
11511:
11491:
11471:
11465:
11459:
11451:
11448:
11445:
11442:
11439:
11433:
11429:
11405:
11402:
11399:
11396:
11393:
11387:
11364:
11361:
11358:
11355:
11352:
11346:
11323:
11320:
11317:
11314:
11311:
11305:
11295:
11294:
11293:
11292:
11275:
11272:
11269:
11263:
11240:
11237:
11234:
11231:
11228:
11222:
11202:
11181:
11161:
11153:
11149:
11135:
11132:
11129:
11120:
11107:
11104:
11096:
11090:
11088:
11072:
11052:
11027:
11024:
11014:
11000:
10994:
10991:
10988:
10985:
10982:
10976:
10956:
10934:
10930:
10909:
10901:
10898:
10895:
10889:
10885:
10865:
10857:
10854:
10851:
10848:
10845:
10839:
10835:
10814:
10794:
10785:weak topology
10784:
10770:
10767:
10747:
10727:
10724:
10704:
10676:
10673:
10667:
10664:
10660:
10653:
10633:
10627:
10624:
10621:
10615:
10592:
10589:
10586:
10583:
10580:
10574:
10554:
10551:
10531:
10510:
10490:
10482:
10468:
10465:
10462:
10442:
10429:
10428:vector spaces
10410:
10407:
10404:
10401:
10398:
10388:Suppose that
10385:
10381:
10380:Weak topology
10374:Weak topology
10354:
10350:
10346:
10343:
10324:
10321:
10318:
10315:
10293:
10289:
10283:
10279:
10268:
10265:
10262:
10258:
10254:
10248:
10245:
10242:
10217:
10213:
10209:
10206:
10199:
10183:
10176:
10172:
10151:
10147:
10138:
10117:
10114:
10111:
10090:
10086:
10083:
10074:
10069:
10064:
10060:
10057:
10048:
10043:
10039:
10035:
10029:
10025:
10021:
10016:
10012:
10008:
10005:
10002:
9999:
9995:
9991:
9971:
9946:
9926:
9918:
9900:
9897:
9894:
9891:
9888:
9865:
9862:
9853:
9850:
9847:
9844:
9838:
9835:
9832:
9826:
9806:
9803:
9797:
9794:
9788:
9782:
9779:
9769:is such that
9756:
9733:
9725:
9721:
9717:
9714:
9695:
9689:
9681:
9677:
9673:
9670:
9651:
9645:
9642:
9639:
9636:
9628:
9614:
9603:
9600:
9597:
9591:
9588:
9585:
9582:
9579:
9570:
9564:
9561:
9558:
9555:
9552:
9549:
9546:
9540:
9535:
9531:
9523:Furthermore,
9510:
9507:
9487:
9467:
9464:
9444:
9421:
9418:
9415:
9412:
9409:
9386:
9381:
9377:
9371:
9367:
9363:
9358:
9354:
9348:
9344:
9340:
9336:
9331:
9325:
9321:
9317:
9312:
9308:
9304:
9299:
9295:
9290:
9286:
9282:
9276:
9272:
9268:
9263:
9259:
9254:
9249:
9245:
9225:
9222:
9219:
9215:
9209:
9205:
9201:
9196:
9192:
9188:
9183:
9179:
9174:
9165:
9162:
9158:
9152:
9148:
9144:
9139:
9135:
9130:
9109:
9104:
9094:
9091:
9072:
9067:
9057:
9054:
9046:
9045:
9039:
9024:
9017:
9014:
9011:
9005:
8997:
8992:
8989:
8985:
8961:
8958:
8955:
8949:
8943:
8940:
8937:
8931:
8898:
8893:
8890:
8887:
8884:
8875:
8861:
8840:
8836:
8832:
8806:
8784:
8759:
8734:
8731:
8728:
8700:
8678:
8675:
8667:
8646:
8624:
8621:
8601:
8598:
8590:
8585:
8582:
8579:
8576:
8566:
8560:
8557:
8549:
8545:
8541:
8537:
8516:
8513:
8487:
8484:
8481:
8475:
8472:
8462:Suppose that
8457:
8435:
8432:
8429:
8423:
8420:
8417:
8414:
8391:
8371:
8368:
8365:
8362:
8359:
8333:
8330:
8327:
8321:
8318:
8315:
8312:
8301:
8300:Hilbert space
8298:is a complex
8279:
8276:
8273:
8267:
8264:
8253:
8232:
8229:
8226:
8220:
8217:
8214:
8211:
8200:
8199:Hilbert space
8195:
8175:
8172:
8169:
8163:
8160:
8149:
8148:
8147:
8145:
8126:
8123:
8120:
8110:
8094:
8074:
8032:
8006:
8003:
8000:
7994:
7991:
7981:
7970:
7950:
7905:
7883:
7879:
7858:
7838:
7834:
7824:
7820:
7817:
7813:
7792:
7742:
7721:
7705:
7703:
7679:
7675:
7665:
7661:
7658:
7654:
7633:
7625:
7622:
7621:
7620:
7606:
7586:
7560:
7539:
7530:
7509:
7488:
7476:
7472:
7469:
7457:
7454:
7445:
7441:
7438:
7434:
7407:
7386:
7365:
7361:
7358:
7349:
7345:
7342:
7338:
7317:
7308:
7300:
7296:
7280:
7266:
7252:
7249:
7246:
7226:
7223:
7220:
7200:
7197:
7191:
7185:
7165:
7145:
7142:
7122:
7099:
7096:
7093:
7090:
7087:
7064:
7044:
7018:
6997:
6974:
6968:
6965:
6962:
6939:
6936:
6916:
6896:
6888:
6885:
6884:
6883:
6870:
6864:
6861:
6858:
6855:
6852:
6826:
6823:
6820:
6797:
6774:
6762:
6758:
6754:
6744:
6740:
6737:
6733:
6723:
6709:
6706:
6686:
6666:
6646:
6636:
6632:
6618:
6615:
6612:
6591:
6587:
6584:
6575:
6571:
6568:
6564:
6537:
6516:
6507:
6494:
6485:
6481:
6474:
6461:
6457:
6453:
6443:
6439:
6435:
6430:
6426:
6400:
6378:
6368:
6364:
6360:
6355:
6351:
6332:
6323:
6319:
6310:
6289:
6280:
6276:
6273:
6263:
6259:
6255:
6241:
6235:
6223:
6219:
6215:
6205:
6201:
6198:
6194:
6190:
6186:
6176:
6172:
6169:
6165:
6161:
6140:
6136:
6133:
6124:
6120:
6117:
6113:
6092:
6072:
6064:
6042:
6021:
6014:Suppose that
6007:
5994:
5988:
5985:
5982:
5979:
5976:
5952:
5946:
5943:
5940:
5928:
5925:
5922:
5919:
5916:
5912:
5902:
5885:
5879:
5876:
5853:
5847:
5844:
5821:
5818:
5815:
5812:
5809:
5786:
5782:
5776:
5773:
5770:
5758:
5755:
5752:
5749:
5746:
5742:
5721:
5718:
5715:
5692:
5689:
5686:
5683:
5680:
5667:
5653:
5633:
5613:
5610:
5590:
5567:
5564:
5561:
5558:
5555:
5545:Suppose that
5533:
5520:
5514:
5511:
5508:
5505:
5502:
5476:
5473:
5470:
5467:
5464:
5438:
5435:
5432:
5429:
5426:
5400:
5397:
5394:
5391:
5388:
5359:
5356:
5353:
5327:
5324:
5321:
5308:
5291:
5288:
5285:
5282:
5279:
5273:
5250:
5247:
5244:
5241:
5238:
5232:
5212:
5189:
5186:
5183:
5180:
5177:
5151:
5148:
5145:
5142:
5139:
5133:
5113:
5086:
5083:
5080:
5077:
5074:
5068:
5045:
5042:
5039:
5036:
5033:
5027:
5004:
5001:
4998:
4995:
4992:
4969:
4966:
4946:
4926:
4903:
4900:
4897:
4894:
4891:
4885:
4878:
4862:
4842:
4819:
4816:
4813:
4810:
4807:
4794:
4793:
4792:
4791:
4778:
4775:
4766:
4752:
4732:
4712:
4692:
4672:
4652:
4632:
4612:
4588:
4582:
4579:
4576:
4573:
4570:
4557:
4543:
4537:
4534:
4531:
4528:
4525:
4512:
4511:
4510:
4509:
4496:
4490:
4487:
4484:
4481:
4478:
4452:
4449:
4446:
4443:
4440:
4428:
4414:
4411:
4408:
4388:
4385:
4382:
4359:
4356:
4353:
4347:
4344:
4338:
4335:
4332:
4326:
4303:
4300:
4297:
4294:
4291:
4268:
4262:
4259:
4256:
4253:
4250:
4233:
4220:
4215:
4210:
4206:
4201:
4193:
4188:
4183:
4180:
4176:
4155:
4135:
4132:
4129:
4109:
4105:
4100:
4096:
4092:
4086:
4062:
4040:
4037:
4033:
4012:
4002:
3988:
3985:
3982:
3962:
3959:
3951:
3933:
3929:
3925:
3920:
3916:
3895:
3892:
3872:
3863:
3850:
3847:
3825:
3821:
3800:
3780:
3758:
3754:
3733:
3713:
3710:
3707:
3699:
3681:
3677:
3667:
3654:
3649:
3645:
3624:
3614:
3610:
3596:
3576:
3566:
3553:
3549:
3545:
3542:
3531:
3528:
3525:
3519:
3509:
3506:
3503:
3495:
3492:
3489:
3486:
3482:
3478:
3473:
3469:
3446:
3442:
3421:
3401:
3393:
3392:Symmetrically
3378:
3374:
3370:
3367:
3356:
3353:
3350:
3344:
3334:
3331:
3328:
3320:
3317:
3314:
3311:
3307:
3303:
3298:
3294:
3273:
3253:
3243:
3239:
3200:
3197:
3194:
3191:
3188:
3175:
3165:
3148:
3123:
3119:
3098:
3078:
3052:
3046:
3040:
3037:
3034:
3028:
3025:
3022:
3019:
3016:
3010:
3004:
3001:
2998:
2995:
2992:
2989:
2986:
2980:
2975:
2971:
2950:
2947:
2944:
2935:
2932:
2929:
2926:
2923:
2921:
2905:
2902:
2899:
2879:
2876:
2873:
2853:
2850:
2844:
2841:
2838:
2832:
2809:
2803:
2797:
2794:
2791:
2785:
2765:
2762:
2759:
2750:
2747:
2733:
2730:
2727:
2707:
2704:
2701:
2681:
2678:
2672:
2669:
2666:
2660:
2640:
2637:
2634:
2626:
2610:
2590:
2579:Orthogonality
2576:
2562:
2542:
2522:
2502:
2482:
2462:
2442:
2439:
2436:
2416:
2413:
2410:
2401:
2398:
2392:
2389:
2386:
2380:
2360:
2357:
2354:
2347:if for every
2340:
2326:
2306:
2295:Total subsets
2292:
2275:
2272:
2269:
2266:
2263:
2250:
2236:
2226:
2210:
2190:
2182:
2169:
2159:
2145:
2138:In this case
2121:
2118:
2115:
2095:
2092:
2086:
2083:
2080:
2074:
2054:
2051:
2048:
2028:
2000:
1997:
1991:
1988:
1984:
1977:
1957:
1954:
1951:
1948:
1928:
1925:
1922:
1902:
1899:
1893:
1890:
1886:
1879:
1872:is such that
1859:
1856:
1853:
1833:
1824:
1811:
1804:
1789:
1786:
1783:
1763:
1760:
1754:
1751:
1748:
1742:
1722:
1719:
1716:
1696:
1668:
1665:
1658:
1654:
1651:
1645:
1625:
1622:
1619:
1599:
1596:
1593:
1573:
1570:
1563:
1559:
1556:
1550:
1543:is such that
1530:
1527:
1524:
1504:
1495:
1482:
1475:
1474:
1473:
1471:
1455:
1448:
1447:bilinear form
1389:
1386:
1383:
1380:
1377:
1363:Dual pairings
1360:
1358:
1339:
1336:
1333:
1304:
1301:
1298:
1292:
1289:
1286:
1283:
1259:
1255:
1252:
1249:
1245:
1221:
1218:
1215:
1209:
1186:
1183:
1180:
1168:
1166:
1150:
1144:
1141:
1138:
1135:
1129:
1126:
1122:
1115:
1109:
1103:
1100:
1096:
1089:
1076:
1073:
1070:
1067:
1060:
1056:
1053:
1047:
1041:
1034:
1030:
1027:
1021:
1001:
993:
974:
971:
967:
960:
940:
932:
912:
908:
905:
899:
875:
869:
866:
863:
857:
848:
842:
823:
817:
811:
805:
802:
798:
791:
767:
764:
761:
758:
731:
728:
725:
719:
710:
704:
685:
679:
673:
666:
662:
659:
653:
629:
626:
623:
614:
591:
564:
537:
536:bilinear form
534:
530:
526:
504:
501:
498:
495:
492:
485:
447:
427:
407:
401:
398:
395:
389:
369:
363:
360:
357:
354:
351:
319:over a field
316:
308:
295:
293:
289:
285:
281:
280:
275:
270:
248:
245:
242:
239:
236:
229:
226:
188:
168:
160:
159:vector spaces
141:
138:
135:
132:
129:
97:
93:
89:
85:
81:
70:
67:
59:
49:
43:
41:
34:
25:
24:
19:
40231:Polynomially
40160:Grothendieck
40153:tame Fréchet
40103:Bornological
39963:Linear cone
39955:Convex cone
39930:Banach disks
39872:Sesquilinear
39727:Main results
39717:Vector space
39672:Completeness
39667:Banach space
39557:Mackey–Arens
39545:Main results
39426:
39402:
39345:Weak duality
39329:
39308:
39300:
39220:Orthogonally
38882:Balanced set
38856:Distribution
38794:Applications
38647:Krein–Milman
38632:Closed graph
38409:
38397:
38393:
38358:
38323:
38303:
38277:
38270:Bibliography
38240:
38228:
38201:
38157:
37938:
37887:
37513:
37136:
36759:
36382:
36357:(induced by
36066:ranges over
35951:
35730:
35573:
35360:
34631:
34326:
34321:
34111:
33896:
33881:
33424:
33314:space (over
33283:
33092:
32848:
32843:Mackey space
32671:
32359:
32355:
32352:Mackey space
32177:
31747:
31546:A subset of
31545:
31327:
31114:
31110:
31109:
30524:disked hulls
29947:
29841:directed set
29783:
29480:
29320:Throughout,
29319:
29304:
28668:is dense in
28448:
27677:
27654:
27452:
27115:
27063:open mapping
26986:
26831:
26713:
26378:
25909:
25463:; that is,
25290:
25202:
24648:
24642:
24167:
23768:
23636:
23449:
23156:
22869:Assume that
22862:
22858:
22648:
22515:
21896:denotes the
21106:is dense in
20820:Throughout,
20819:
20698:
20283:
20058:
19496:
19363:
19095:
18599:-closure of
18317:
18314:
18097:
17948:
17713:
17425:
17132:
16844:
16713:
15812:
15785:is equal to
14653:ranges over
14394:
14204:
13802:; if such a
13444:
13385:
13158:
12907:
12853:is strictly
12695:
12004:ranges over
11827:
11380:-converges,
11121:
11087:vector space
10807:(induced by
10717:ranges over
10387:
9122:and for all
8876:
8461:
8456:sesquilinear
7977:
7918:ranges over
7707:
7699:
7623:
7272:
6989:
6886:
6724:
6508:
6013:
5903:
5544:
5377:
5266:rather than
5105:
4767:
4604:
4429:
4239:
3864:
3668:
3567:
3246:of a subset
3177:
2937:of a subset
2924:
2583:The vectors
2582:
2298:
2137:
1405:is called a
1366:
1273:rather than
1169:
615:
563:real numbers
484:bilinear map
341:is a triple
306:
277:
271:
228:bilinear map
119:is a triple
91:
87:
83:
77:
62:
56:January 2022
53:
37:
40225:Quasinormed
40138:FK-AK space
40032:Linear span
40027:Convex hull
40012:Affine hull
39815:Almost open
39755:Hahn–Banach
39536:Ultrastrong
39519:Strong dual
39427:Dual system
39335:Duality gap
39330:Dual system
39214:Convex hull
38811:Heat kernel
38801:Hardy space
38708:Trace class
38622:Hahn–Banach
38584:Topological
38260:Trèves 2006
38233:Trèves 2006
38162:Trèves 2006
37962:is said to
35463:-bounded).
35325:(resp. and
32646:that cover
31687:bounded in
30341:all denote
27865:subsets of
27368:-closed in
22864:Proposition
20290:adjoint of
20284:called the
18718:denoted by
18007:induced by
13286:defines an
12638:orthonormal
11914:defined by
11174:induced by
10567:denoted by
10503:induced by
10170:in duality.
8924:defined by
8664:denote the
7297:(TVS) with
6639:. Clearly,
6061:denote the
5668:restriction
5666:. Then the
3286:is the set:
2934:annihilator
2920:analogously
1408:dual system
1202:instead of
525:called the
274:mathematics
84:dual system
80:mathematics
40340:Categories
40265:Stereotype
40123:(DF)-space
40118:Convenient
39857:Functional
39825:Continuous
39810:Linear map
39750:F. Riesz's
39692:Linear map
39467:Topologies
39422:Dual space
39258:Radial set
39228:Convex set
38990:Convex set
38744:C*-algebra
38559:Properties
38400:: 429–447.
38013:References
36194:or simply
35483:Dual space
34718:such that
34230:such that
33159:half-space
31886:consistent
31882:compatible
31111:Continuity
30196:we'd have
30155:(e.g. for
30128:or simply
29909:such that
29666:for which
29307:polar sets
29042:metrizable
29015:metrizable
26061:dual basis
25000:Convention
24405:such that
24215:such that
22510:real polar
20111:such that
19350:See also:
19341:Transposes
18619:; (e) the
18558:; (d) the
18534:; (c) the
18389:The polar
14633:" maps as
13759:such that
12774:such that
12217:-converges
11421:-bounded,
11256:or simply
10608:or simply
7624:Assumption
7502:for which
6887:Assumption
4725:" (resp, "
4645:" (resp, "
4025:, denoted
3950:real polar
3669:The polar
3168:Polar sets
2752:, written
2749:orthogonal
2627:, written
2625:orthogonal
2339:is called
2223:in duality
2067:such that
1735:such that
1638:, the map
1470:degenerate
1367:A pairing
953:and every
616:For every
225:degenerate
223:and a non-
40281:Uniformly
40240:Reflexive
40088:Barrelled
40084:Countably
39996:Symmetric
39894:Transpose
39594:Total set
39480:Dual norm
39447:Polar set
39243:Hypograph
38718:Unbounded
38713:Transpose
38671:Operators
38600:Separable
38595:Reflexive
38580:Algebraic
38566:Barrelled
38428:853623322
38408:(2006) .
38381:840278135
38296:144216834
37865:⋅
37813:⋅
37736:∈
37706:⋅
37690:⊆
37674:⋅
37595:→
37534:→
37464:⋅
37442:⋅
37359:∈
37323:⋅
37313:⊆
37303:⋅
37218:→
37157:→
37087:⋅
37065:⋅
36982:∈
36946:⋅
36936:⊆
36926:⋅
36841:→
36780:→
36734:⋅
36688:⋅
36605:∈
36575:⋅
36559:⊆
36549:⋅
36464:→
36403:→
36254:σ
36211:σ
36161:σ
36106:σ
36029:→
36016:⋅
35887:⟩
35875:⟨
35866:⟩
35858:¯
35844:⟨
35828:¯
35797:⊥
35684:∈
35628:∈
35577:A subset
35521:Polar set
35430:β
35369:σ
35343:∈
35338:∙
35290:∈
35285:∞
35246:∙
35211:≤
35171:∞
35132:∙
35086:β
35045:σ
35022:⊆
34975:τ
34948:σ
34903:∞
34888:∑
34874:∙
34861:∙
34823:→
34817:×
34704:∞
34665:∙
34510:′
34420:′
34382:′
34138:absorbing
34136:A closed
34053:σ
33888:absorbing
33724:∘
33721:∘
33358:) and if
33196:≤
33175:∈
33157:) then a
33049:τ
33046:⊆
33036:⊆
33012:σ
32724:σ
32680:τ
32642:-compact
32609:σ
32307:′
32283:reflexive
32186:σ
32112:′
31974:⋅
31929:if it is
31704:β
31648:τ
31595:σ
31502:β
31490:→
31463:β
31345:→
31289:τ
31277:→
31250:τ
31132:→
31057:β
30973:σ
30881:σ
30838:σ
30789:γ
30746:σ
30695:τ
30682:-compact
30649:σ
30556:σ
30489:σ
30449:Notation
30423:⊆
30369:σ
30327:σ
30285:σ
30235:σ
30210:σ
30204:Δ
30163:σ
30141:Δ
30099:Δ
30049:Δ
29963:Δ
29926:⊆
29920:∪
29890:∈
29860:∈
29698:∈
29687:∘
29620:-topology
29595:) or the
29412:σ
29215:′
29202:σ
29194:′
29083:′
29070:σ
29062:′
28980:′
28967:σ
28959:′
28896:separable
28839:′
28826:σ
28818:′
28750:′
28737:σ
28729:′
28653:
28628:′
28620:⊆
28584:′
28571:σ
28519:′
28511:⊆
28486:′
28424:′
28397:′
28365:→
28309:′
28278:′
28239:
28204:′
28185:σ
28171:→
28156:′
28137:σ
28077:→
27998:‖
27992:‖
27905:′
27878:′
27847:′
27839:→
27834:′
27695:→
27616:σ
27604:→
27583:σ
27536:→
27473:→
27436:⊥
27425:
27401:
27341:σ
27271:σ
27259:→
27238:σ
27197:→
27168:⟩
27156:⟨
27136:⟩
27124:⟨
27076:
27046:
27040:→
27004:→
26917:σ
26905:→
26884:σ
26816:⟩
26804:⟨
26742:→
26695:⊆
26681:#
26636:σ
26624:→
26603:σ
26562:→
26530:→
26499:#
26491:⊆
26466:#
26458:⊆
26435:⟩
26423:⟨
26355:#
26328:′
26173:→
26126:′
26110:…
26102:′
26079:′
26009:…
25890:∈
25858:′
25832:′
25818:#
25787:∈
25765:′
25723:′
25709:#
25667:′
25653:#
25625:∘
25620:′
25603:′
25589:#
25560:#
25552:∈
25547:′
25517:#
25509:→
25504:#
25476:#
25449:#
25397:→
25358:#
25315:#
25183:′
25023:⋅
25013:↦
24908:′
24890:′
24854:⟩
24842:⟨
24730:⋅
24720:↦
24599:#
24586:′
24555:′
24550:σ
24508:Hausdorff
24492:′
24422:σ
24391:#
24364:#
24356:≠
24324:#
24275:σ
24201:#
24142:′
24134:↦
24129:′
24081:∈
24056:#
24046:′
24033:→
24008:#
23998:′
23950:′
23931:σ
23895:′
23828:#
23815:σ
23807:#
23756:-complete
23723:σ
23694:say that
23654:σ
23629:-closed.
23610:#
23591:σ
23524:#
23505:σ
23483:#
23280:→
23253:σ
23206:→
23108:⋅
23098:⊆
23082:⋅
23014:→
22987:σ
22926:→
22811:→
22784:σ
22666:→
22602:‖
22596:‖
22573:→
22485:⊥
22447:
22419:⊆
22385:∘
22377:⊆
22368:∘
22324:⊆
22298:⊆
22270:∘
22267:∘
22259:⊆
22222:∘
22214:⊆
22205:∘
22161:⊆
22133:∘
22125:⊆
22116:∘
22069:⊆
22058:for some
22043:⊆
22002:∘
21985:−
21953:∘
21882:∘
21854:⊆
21824:−
21785:−
21741:→
21723:−
21697:which is
21679:→
21665:−
21637:→
21596:→
21550:∘
21526:∘
21485:→
21470:∘
21447:which is
21429:→
21417:∘
21391:→
21350:→
21125:σ
21050:
21037:injective
21020:→
20976:→
20935:→
20794:→
20766:→
20738:→
20710:→
20679:∈
20581:that is,
20536:⋅
20508:⋅
20431:∈
20286:transpose
20267:→
20158:⋅
20132:⋅
20096:∈
20070:∈
20037:∈
20018:⋅
19992:⋅
19959:∈
19937:⋅
19902:⋅
19856:⋅
19846:⊆
19830:⋅
19805:injective
19789:#
19734:⋅
19724:↦
19664:transpose
19597:↦
19569:→
19547:⋅
19508:∈
19479:→
19356:Transpose
19282:σ
19235:τ
19142:τ
19055:σ
19010:σ
18915:absorbing
18899:∘
18853:σ
18759:σ
18734:∘
18731:∘
18627:σ
18566:σ
18453:σ
18402:∘
18367:⊆
18267:for some
18253:∘
18245:⊆
18209:′
18196:σ
18151:′
18024:σ
17984:⊥
17957:σ
17914:↦
17868:→
17863:⊥
17855:×
17789:⊥
17710:Quotients
17665:⊥
17597:σ
17541:σ
17461:⊥
17434:σ
17391:↦
17381:⊥
17334:→
17329:⊥
17313:×
17264:⊥
17225:⊥
17165:⊥
17092:σ
16998:σ
16972:×
16841:Subspaces
16774:′
16747:⊥
16694:⊥
16676:∈
16669:⋂
16660:⊥
16636:∈
16629:⋃
16577:∈
16517:⊥
16499:∈
16492:⋃
16483:
16472:
16446:σ
16433:⊥
16409:∈
16402:⋂
16334:σ
16309:∈
16249:⊆
16185:σ
16134:
16128:
16102:σ
16076:⊆
16030:σ
15995:⊥
15983:
15977:
15951:σ
15932:⊥
15921:
15907:⊥
15746:′
15741:β
15728:′
15718:′
15713:β
15695:β
15684:reflexive
15661:′
15651:′
15646:β
15575:′
15570:β
15557:′
15547:′
15542:β
15524:β
15470:′
15460:′
15455:σ
15439:⊇
15431:′
15421:′
15416:β
15384:′
15379:β
15352:′
15325:′
15315:′
15310:σ
15278:′
15240:′
15227:σ
15201:′
15151:′
15141:′
15136:σ
15099:′
15094:σ
15081:′
15071:′
15066:σ
15048:β
15026:′
15016:′
15011:σ
14939:′
14901:′
14888:β
14854:′
14844:′
14839:σ
14811:′
14789:′
14776:σ
14768:′
14726:′
14699:′
14691:∈
14686:′
14583:′
14570:σ
14562:′
14500:′
14481:σ
14428:′
14370:∈
14351:⋅
14323:⋅
14308:′
14279:σ
14226:σ
14093:∈
14052:∈
14038:⊥
14008:⊥
13951:σ
13780:⋅
13744:∈
13697:σ
13631:∈
13612:⋅
13586:⋅
13535:σ
13514:Then the
13403:σ
13375:Hausdorff
13340:σ
13288:injection
13264:⋅
13254:↦
13131:∈
13047:∈
13035:∞
12956:σ
12908:A subset
12865:σ
12820:σ
12679:∞
12622:∞
12482:∈
12418:σ
12394:∈
12324:σ
12270:∈
12184:σ
12159:∈
12084:∈
12038:∈
11897:→
11836:σ
11788:σ
11715:σ
11686:σ
11644:∞
11512:σ
11460:
11434:σ
11388:σ
11347:σ
11306:σ
11264:σ
11223:σ
11133:⊆
10977:σ
10935:σ
10890:σ
10840:σ
10680:→
10661:⋅
10616:σ
10575:σ
10481:then the
10466:⊆
10355:β
10347:∈
10319:∈
10274:∞
10259:∑
10252:⟩
10240:⟨
10218:β
10198:beta dual
10156:#
10148:×
10143:#
10115:×
10079:′
10053:′
10030:∗
10022:⊗
10017:∗
10003:⊗
9863:μ
9848:∫
9734:μ
9690:μ
9649:∞
9604:∈
9562:⊥
9550:∈
9536:⊥
9220:∈
9163:∈
9021:⟩
9018:⋅
9012:⋅
9009:⟨
9001:¯
8965:⟩
8953:⟨
8907:→
8902:¯
8894:×
8841:⋅
8837:⊥
8833:⋅
8810:¯
8763:¯
8704:¯
8650:¯
8594:¯
8580:⊥
8564:→
8558:×
8546:⋅
8542:⊥
8538:⋅
8514:⋅
8491:⟩
8488:⋅
8482:⋅
8479:⟨
8439:⟩
8436:⋅
8430:⋅
8427:⟨
8363:
8337:⟩
8334:⋅
8328:⋅
8325:⟨
8283:⟩
8280:⋅
8274:⋅
8271:⟨
8236:⟩
8233:⋅
8227:⋅
8224:⟨
8179:⟩
8176:⋅
8170:⋅
8167:⟨
8130:⟩
8127:⋅
8121:⋅
8118:⟨
8010:⟩
8007:⋅
8001:⋅
7998:⟨
7955:#
7884:∘
7829:#
7747:#
7670:′
7565:′
7535:′
7481:′
7473:×
7450:′
7412:′
7354:#
7313:′
7224:∈
7023:#
6972:⟩
6960:⟨
6830:⟩
6818:⟨
6767:′
6749:′
6616:×
6580:#
6542:#
6490:′
6475:⋅
6466:′
6448:′
6436:⋅
6405:′
6373:′
6361:⋅
6328:#
6320:∈
6315:′
6285:#
6277:×
6264:canonical
6228:′
6210:′
6181:′
6129:#
6047:#
5944:×
5848:≠
5774:×
5719:×
5274:σ
5233:σ
5134:σ
5069:τ
5028:τ
4886:τ
4412:∈
4386:∈
4216:∘
4202:∘
4184:∘
4181:∘
4133:⊆
4101:⊥
4087:∘
4041:∘
4038:∘
4001:then the
3986:⊆
3934:⊥
3921:∘
3826:∘
3759:∘
3726:where if
3711:∈
3682:∘
3650:∘
3543:≤
3507:∈
3490:∈
3474:∘
3447:∘
3368:≤
3332:∈
3315:∈
3299:∘
3244:polar set
3174:Polar set
3124:⊥
3020:∈
3002:⊥
2990:∈
2976:⊥
2948:⊆
2903:∈
2877:∈
2763:⊥
2731:⊆
2705:⊆
2638:⊥
2414:∈
2358:∈
2299:A subset
2119:∈
2108:for each
2093:≠
2052:∈
2004:→
1985:⋅
1952:∈
1887:⋅
1857:∈
1787:∈
1776:for each
1761:≠
1720:∈
1672:→
1659:⋅
1623:∈
1564:⋅
1528:∈
1414:dual pair
1343:⟩
1340:⋅
1334:⋅
1331:⟨
1308:⟩
1305:⋅
1299:⋅
1296:⟨
1190:⟩
1178:⟨
1142:∈
1123:⋅
1097:⋅
1074:∈
1061:⋅
1035:⋅
968:⋅
913:⋅
851:↦
826:→
799:⋅
762:∈
713:↦
688:→
667:⋅
642:, define
627:∈
508:→
502:×
252:→
246:×
88:dual pair
40325:Category
40276:Strictly
40250:Schwartz
40190:LF-space
40185:LB-space
40143:FK-space
40113:Complete
40093:BK-space
40018:Relative
39965:(subset)
39957:(subset)
39884:Seminorm
39867:Bilinear
39529:operator
39502:operator
39267:Zonotope
39238:Epigraph
38920:Category
38732:Algebras
38614:Theorems
38571:Complete
38540:Schwartz
38486:glossary
38347:21163277
38321:(1991).
35699:implies
35467:See also
35233:for all
34516:⟩
34495:⟨
34426:⟩
34405:⟨
34142:balanced
33981:and let
33657:-closed
33427:entirely
32933:and let
32447:and let
30522:-closed
30222:so that
29953:Notation
29815:. When
29736:subbasis
29734:forms a
28500:and let
28022:‖
28005:‖
27065:, where
26783:⟩
26769:⟨
26402:⟩
26388:⟨
25771:⟩
25741:⟨
25733:⟩
25694:⟨
25364:⟩
25343:⟨
25321:⟩
25300:⟨
24896:⟩
24875:⟨
24571:complete
22626:‖
22609:‖
21869:and let
21273:Suppose
19497:For all
19462:and let
19274:of some
17282:) where
16885:and let
16157:Thus if
16063:-closed;
13243:The map
11565:or even
11152:topology
11015:entirely
10196:and its
10091:⟩
10070:⟨
10065:⟩
10044:⟨
9047:Suppose
8877:The map
7835:⟩
7814:⟨
7761:and let
7676:⟩
7655:⟨
7273:Suppose
7239:implies
7213:for all
6755:⟩
6734:⟨
6216:⟩
6195:⟨
5536:Examples
4375:for all
3615:prepolar
2866:for all
2429:implies
1970:the map
1260:⟩
1246:⟨
303:Pairings
40290:)
40238:)
40180:K-space
40165:Hilbert
40148:Fréchet
40133:F-space
40108:Brauner
40101:)
40086:)
40068:Asplund
40050:)
40020:)
39940:Bounded
39835:Compact
39820:Bounded
39757: (
39582:Subsets
39514:Mackey
39437:Duality
39403:Duality
39322:Duality
39224:Pseudo-
39198:Ursescu
39095:Pseudo-
39069:Concave
39048:Simplex
39028:Duality
38723:Unitary
38703:Nuclear
38688:Compact
38683:Bounded
38678:Adjoint
38652:Min–max
38545:Sobolev
38530:Nuclear
38520:Hilbert
38515:Fréchet
38480: (
35515:Pairing
34144:subset
33898:Theorem
33884:barrels
33285:Theorem
31570:(resp.
29044:, then
24866:(where
24689:and if
24537:, then
19270:is the
19045:bounded
15398:) then
12855:coarser
11093:on the
10104:places
9819:), and
9749:(where
7709:Theorem
6419:; i.e.
6260:natural
6258:or the
4003:bipolar
3773:and if
3138:equals
2229:), and
2183:places
1468:is non-
1445:if the
1420:duality
1417:, or a
780:define
588:or the
533:or its
311:pairing
279:duality
201:, over
94:over a
92:duality
40302:Webbed
40288:Quasi-
40210:Montel
40200:Mackey
40099:Ultra-
40078:Banach
39986:Radial
39950:Convex
39920:Affine
39862:Linear
39830:Closed
39654:(TVSs)
39407:linear
39305:, and
39276:Series
39193:Simons
39100:Quasi-
39090:Proper
39075:Closed
38698:Normal
38535:Orlicz
38525:Hölder
38505:Banach
38494:Spaces
38482:topics
38426:
38416:
38379:
38369:
38345:
38335:
38310:
38294:
38284:
33803:barrel
32350:, and
32261:. If
29945:at 0.
29525:, the
27061:is an
26987:A map
24116:(i.e.
21923:then:
21039:(i.e.
19881:where
19807:), and
19358:, and
19216:barrel
18385:then:
18269:barrel
17239:means
17133:Also,
16614:then
16387:then
15596:bidual
15481:
15475:
15442:
15436:
14025:where
13065:where
12363:A net
11298:: If "
8691:where
6810:) and
6154:where
4319:where
3698:convex
3238:, the
892:Every
482:and a
40260:Smith
40245:Riesz
40236:Semi-
40048:Quasi
40042:Polar
39497:polar
39133:Main
38510:Besov
37964:cover
35734:That
35565:Notes
34940:Then
33891:disks
33801:is a
33781:then
33401:then
33310:is a
32980:Then
32644:disks
31876:is a
31852:then
31440:) if
31227:) if
30684:disks
30016:then
29955:: If
29839:is a
29575:(and
28469:be a
27861:maps
26059:with
25130:that
25087:that
24935:that
24752:then
24615:every
24506:of a
24258:then
23912:then
23690:is a
22761:) if
22239:then
22087:then
19756:from
19660:'
19272:polar
19214:is a
18982:then
18168:then
17757:Then
17504:that
17055:that
16238:then
16177:is a
15219:than
15217:finer
13676:is a
13290:from
12857:than
12128:then
12101:is a
11195:(and
11150:weak
10524:(and
10430:over
9878:Then
9399:Then
8302:then
8201:then
8194:is a
7293:is a
7037:then
5343:with
3908:then
3071:Thus
2778:, if
2653:, if
2343:total
1915:then
1846:: if
1586:then
1517:: if
1423:over
990:is a
929:is a
460:over
96:field
90:or a
39879:Norm
39803:form
39791:Maps
39566:Maps
39492:Weak
39409:maps
39253:Lens
39207:Sets
39057:Maps
38964:and
38858:(or
38576:Dual
38424:OCLC
38414:ISBN
38377:OCLC
38367:ISBN
38343:OCLC
38333:ISBN
38308:ISBN
38292:OCLC
38282:ISBN
37792:is:
37653:and
37415:is:
37276:and
37038:is:
36899:and
36661:is:
36522:and
35358:).
34840:by
34774:Let
34632:Let
34215:>
34140:and
33903:Let
33659:disk
33453:and
33236:real
32855:Let
32369:Let
31884:(or
31808:and
31402:and
31189:and
30481:(or
30314:and
29714:>
29380:and
28898:and
28650:span
28449:Let
27944:and
27148:and
26796:and
26480:and
26415:and
25781:>
25685:is:
25334:and
24513:TVS
22909:and
22723:and
22536:and
22313:and
21843:Let
21333:and
20918:and
20858:and
20487:is
20348:and
19977:and
19526:let
19402:and
19364:Let
18817:The
18689:The
16788:and
16480:span
16131:span
15980:span
15918:span
14262:is
13451:Let
13032:<
12053:and
11585:and
11065:and
10382:and
10308:for
10130:and
9939:and
9919:Let
9646:<
9640:<
9629:Let
9480:but
9238:let
8637:Let
8196:real
7714:Let
5869:and
5626:and
4959:and
4855:and
4765:").
4401:and
2925:The
2892:and
2746:are
2720:and
2623:are
2603:and
2203:and
1411:, a
440:and
317:pair
181:and
82:, a
39307:(Hw
38363:GTM
37517:If
37140:If
36763:If
36386:If
36337:on
36290:If
35597:of
35037:is
34529:on
34442:If
34256:If
34164:of
34112:If
33805:in
33680:in
33336:or
33290:If
33258:on
33135:or
33093:If
32601:of
32287:not
31999:If
31748:If
31740:).
31566:is
31360:is
31147:is
29622:on
29531:on
29250:If
29116:If
29020:If
29013:is
28894:is
28874:If
28563:or
28559:is
28539:If
28328:If
28040:If
27924:If
27789:If
27766:If
27714:If
27678:If
27422:ker
27333:is
27023:if
26832:If
26342:of
26241:is
25910:If
25416:of
25170:by
24776:of
24649:If
24569:is
24378:of
24343:not
23769:If
23714:is
23637:If
23583:is
23157:If
22681:is
22516:If
22444:ker
22287:if
22150:if
22023:if
21900:of
21579:If
21047:ker
21035:is
20288:or
19803:is
19666:or
19218:in
19194:of
19096:If
19002:is
18917:in
18913:is
18845:is
18664:of
18538:of
18416:of
18318:If
18290:in
18188:is
18098:If
18060:on
17031:on
16961:to
16714:If
16546:If
16278:If
15871:of
15813:If
15765:on
15628:if
15118:on
14926:on
14713:to
14209:of
14156:or
13680:on
13656:If
13571:is
13518:of
13373:is
13159:If
12998:sup
12948:is
12928:of
12696:If
12583:If
12307:in
12239:if
12219:to
12105:in
12103:net
12027:If
11984:as
11869:is
11658:in
11154:on
11097:of
11091:not
11085:'s
10787:on
10740:If
10455:If
8668:of
8384:If
8360:dim
8254:If
8150:If
8142:is
8067:or
7969:).
7898:as
7552:If
7379:to
7265:).
6990:If
6605:to
6509:If
6262:or
6065:of
5966:by
5901:).
5799:If
5708:to
5670:of
5492:by
4919:on
4168:is
4005:of
3975:If
3952:of
3865:If
3617:of
3613:or
3589:of
3500:sup
3414:of
3325:sup
3266:of
3242:or
2963:is
2931:or
2319:of
2158:is
994:on
933:on
531:map
315:or
272:In
269:.
78:In
40342::
39299:(H
39297:,
39293:,
39289:,
39226:)
39222:,
39102:)
39080:K-
38484:–
38422:.
38398:18
38396:.
38392:.
38375:.
38361:.
38341:.
38331:.
38290:.
38252:^
38213:^
38184:^
38169:^
38134:^
38021:^
36377:).
35643:,
34884::=
32346:,
31888:)
31574:,
30546:)
30402:).
28236:Im
27571:::
27398:Im
27073:Im
27043:Im
26872:::
26716:,
26252::=
24900::=
20005::=
19918::=
19662:s
19354:,
16442:cl
16154:;
16098:cl
15947:cl
15891::
14336::=
14043::=
13599::=
13101::=
11941::=
11824:).
11430:cl
10255::=
10210::=
10173:A
9845::=
9718::=
9674::=
9541::=
9341::=
8950::=
8586::=
8372:0.
8095:0.
7978:A
7399:Ă—
5307:.
5102:).
4427:.
4345::=
4189::=
3479::=
3304::=
3164:.
3011::=
2981::=
2922:.
2575:.
2443:0.
2373:,
2291:.
2134:).
1802:);
1167:.
1110::=
1042::=
307:A
294:.
276:,
161:,
86:,
40286:(
40271:B
40269:(
40229:(
40097:(
40082:(
40046:(
40016:(
39766:)
39644:e
39637:t
39630:v
39395:e
39388:t
39381:v
39313:)
39311:)
39309:x
39303:)
39301:x
39285:(
39260:/
39218:(
39073:(
38954:e
38947:t
38940:v
38862:)
38586:)
38582:/
38578:(
38488:)
38470:e
38463:t
38456:v
38430:.
38383:.
38349:.
38314:.
38298:.
37993:S
37973:S
37950:S
37922:.
37919:X
37899:Y
37870:)
37861:,
37858:)
37855:z
37852:(
37849:H
37844:t
37836:(
37832:b
37829:=
37826:)
37823:z
37820:,
37817:)
37809:(
37806:H
37803:(
37800:c
37780:)
37777:z
37774:(
37771:H
37766:t
37742:,
37739:Z
37733:z
37713:.
37710:)
37702:,
37699:X
37696:(
37693:b
37687:)
37684:Z
37681:,
37678:)
37670:(
37667:H
37664:(
37661:c
37641:X
37621:Y
37601:,
37598:X
37592:Z
37589::
37586:H
37581:t
37557:H
37537:W
37531:Y
37528::
37525:H
37497:.
37493:)
37489:)
37486:x
37483:(
37480:H
37475:t
37468:,
37459:(
37455:b
37452:=
37449:)
37446:)
37438:(
37435:H
37432:,
37429:x
37426:(
37423:c
37403:)
37400:x
37397:(
37394:H
37389:t
37365:,
37362:X
37356:x
37336:.
37333:)
37330:Z
37327:,
37319:(
37316:c
37310:)
37307:)
37299:(
37296:H
37293:,
37290:X
37287:(
37284:b
37264:Z
37244:W
37224:,
37221:Q
37215:X
37212::
37209:H
37204:t
37180:H
37160:Y
37154:W
37151::
37148:H
37120:.
37116:)
37112:)
37109:w
37106:(
37103:H
37098:t
37091:,
37082:(
37078:b
37075:=
37072:)
37069:)
37061:(
37058:H
37055:,
37052:w
37049:(
37046:c
37026:)
37023:w
37020:(
37017:H
37012:t
36988:,
36985:W
36979:w
36959:.
36956:)
36953:Y
36950:,
36942:(
36939:b
36933:)
36930:)
36922:(
36919:H
36916:,
36913:W
36910:(
36907:c
36887:Y
36867:X
36847:,
36844:Y
36838:W
36835::
36832:H
36827:t
36803:H
36783:Z
36777:X
36774::
36771:H
36743:.
36739:)
36730:,
36727:)
36724:x
36721:(
36718:G
36713:t
36705:(
36701:c
36698:=
36695:)
36692:)
36684:(
36681:G
36678:,
36675:x
36672:(
36669:c
36649:)
36646:x
36643:(
36640:G
36635:t
36611:,
36608:X
36602:x
36582:.
36579:)
36571:,
36568:W
36565:(
36562:c
36556:)
36553:)
36545:(
36542:G
36539:,
36536:X
36533:(
36530:b
36510:W
36490:Z
36470:,
36467:W
36461:X
36458::
36455:G
36450:t
36426:G
36406:Y
36400:Z
36397::
36394:G
36365:X
36345:Y
36321:,
36318:X
36298:R
36278:.
36275:)
36272:b
36269:,
36266:R
36263:,
36260:Y
36257:(
36234:Y
36214:)
36208:,
36205:Y
36202:(
36182:,
36179:)
36176:)
36173:R
36170:,
36167:Y
36164:(
36158:,
36155:Y
36152:(
36133:,
36130:)
36127:)
36124:b
36121:,
36118:R
36115:,
36112:Y
36109:(
36103:,
36100:Y
36097:(
36077:.
36074:R
36054:x
36033:K
36026:Y
36023::
36020:)
36012:,
36009:x
36006:(
36003:b
35983:Y
35963:Y
35934:b
35914:,
35911:)
35908:y
35905:,
35902:x
35899:(
35896:b
35893:c
35890:=
35884:y
35881:,
35878:x
35872:c
35869:=
35863:y
35855:c
35850:,
35847:x
35841:=
35837:)
35833:y
35825:c
35820:,
35817:x
35813:(
35809:b
35806:=
35803:)
35800:y
35794:c
35791:,
35788:x
35785:(
35782:b
35762:c
35742:b
35725:.
35713:0
35710:=
35707:y
35687:S
35681:s
35672:0
35669:=
35666:)
35663:y
35660:,
35657:s
35654:(
35651:b
35631:Y
35625:y
35605:X
35585:S
35451:)
35448:b
35445:,
35442:X
35439:,
35436:X
35433:(
35410:X
35390:)
35387:b
35384:,
35381:X
35378:,
35375:X
35372:(
35346:X
35334:m
35313:i
35293:T
35280:1
35277:=
35274:i
35269:)
35264:i
35260:t
35256:(
35251:=
35242:t
35219:i
35215:m
35207:|
35202:i
35198:t
35194:|
35166:1
35163:=
35160:i
35155:)
35150:i
35146:m
35142:(
35137:=
35128:m
35107:)
35104:b
35101:,
35098:X
35095:,
35092:X
35089:(
35066:)
35063:b
35060:,
35057:X
35054:,
35051:X
35048:(
35025:X
35019:T
34999:.
34996:)
34993:b
34990:,
34987:X
34984:,
34981:X
34978:(
34972:=
34969:)
34966:b
34963:,
34960:X
34957:,
34954:X
34951:(
34928:.
34923:i
34919:s
34913:i
34909:r
34898:1
34895:=
34892:i
34880:)
34870:s
34866:,
34857:r
34852:(
34848:b
34827:K
34820:X
34814:X
34811::
34808:b
34788:X
34785:=
34782:Y
34762:.
34759:i
34739:0
34736:=
34731:i
34727:r
34699:1
34696:=
34693:i
34688:)
34683:i
34679:r
34675:(
34670:=
34661:r
34640:X
34612:.
34609:)
34604:L
34599:,
34596:X
34593:(
34573:)
34568:L
34563:,
34560:X
34557:(
34537:X
34506:X
34502:,
34499:X
34474:X
34452:L
34430:.
34416:X
34412:,
34409:X
34378:X
34357:)
34352:L
34347:,
34344:X
34341:(
34307:.
34304:X
34284:X
34264:X
34241:B
34238:r
34218:0
34212:r
34192:X
34172:X
34152:B
34120:X
34097:.
34094:Y
34074:)
34071:b
34068:,
34065:X
34062:,
34059:Y
34056:(
34033:X
34013:X
33991:T
33969:Y
33949:X
33929:)
33926:b
33923:,
33920:Y
33917:,
33914:X
33911:(
33868:.
33865:)
33860:L
33855:,
33852:X
33849:(
33829:)
33824:L
33819:,
33816:X
33813:(
33789:B
33769:X
33749:B
33729:.
33717:A
33713:=
33710:A
33691:,
33688:X
33668:A
33643:T
33619:L
33597:X
33575:T
33551:L
33527:T
33505:X
33485:X
33463:L
33439:T
33409:C
33389:,
33386:X
33366:C
33345:C
33323:R
33298:X
33269:.
33266:X
33246:f
33222:r
33202:}
33199:r
33193:)
33190:x
33187:(
33184:f
33181::
33178:X
33172:x
33169:{
33144:C
33122:R
33101:X
33073:.
33070:)
33067:b
33064:,
33061:Y
33058:,
33055:X
33052:(
33041:T
33033:)
33030:b
33027:,
33024:Y
33021:,
33018:X
33015:(
32990:T
32968:.
32965:X
32943:T
32921:Y
32901:X
32881:)
32878:b
32875:,
32872:Y
32869:,
32866:X
32863:(
32829:.
32826:)
32823:b
32820:,
32817:Y
32814:,
32811:X
32808:(
32788:X
32768:,
32765:Y
32745:)
32742:b
32739:,
32736:Y
32733:,
32730:X
32727:(
32704:,
32701:)
32698:b
32695:,
32692:Y
32689:,
32686:X
32683:(
32657:.
32654:Y
32630:)
32627:b
32624:,
32621:X
32618:,
32615:Y
32612:(
32587:G
32563:T
32541:)
32538:b
32535:,
32532:Y
32529:,
32526:X
32523:(
32501:T
32479:X
32457:T
32435:Y
32415:X
32395:)
32392:b
32389:,
32386:Y
32383:,
32380:X
32377:(
32364:I
32323:.
32319:)
32315:N
32312:,
32303:N
32298:(
32269:N
32245:)
32242:b
32239:,
32236:Y
32233:,
32230:X
32227:(
32207:)
32204:b
32201:,
32198:Y
32195:,
32192:X
32189:(
32163:X
32143:Y
32123:.
32120:Y
32117:=
32107:)
32101:T
32096:,
32093:X
32089:(
32067:X
32047:Y
32027:Y
32007:X
31987:.
31984:)
31981:Y
31978:,
31970:(
31967:b
31964:=
31960:)
31954:T
31949:,
31946:X
31942:(
31917:)
31914:b
31911:,
31908:Y
31905:,
31902:X
31899:(
31862:T
31840:X
31818:T
31795:K
31774:)
31771:b
31768:,
31765:Y
31762:,
31759:X
31756:(
31728:)
31725:)
31722:b
31719:,
31716:Y
31713:,
31710:X
31707:(
31701:,
31698:X
31695:(
31675:,
31672:)
31669:)
31666:b
31663:,
31660:Y
31657:,
31654:X
31651:(
31645:,
31642:X
31639:(
31619:)
31616:)
31613:b
31610:,
31607:Y
31604:,
31601:X
31598:(
31592:,
31589:X
31586:(
31554:X
31526:)
31523:)
31520:c
31517:,
31514:Z
31511:,
31508:W
31505:(
31499:,
31496:W
31493:(
31487:)
31484:)
31481:b
31478:,
31475:Y
31472:,
31469:X
31466:(
31460:,
31457:X
31454:(
31451::
31448:F
31428:)
31425:c
31422:,
31419:Z
31416:,
31413:W
31410:(
31390:)
31387:b
31384:,
31381:Y
31378:,
31375:X
31372:(
31348:W
31342:X
31339::
31336:F
31313:)
31310:)
31307:c
31304:,
31301:Z
31298:,
31295:W
31292:(
31286:,
31283:W
31280:(
31274:)
31271:)
31268:b
31265:,
31262:Y
31259:,
31256:X
31253:(
31247:,
31244:X
31241:(
31238::
31235:F
31215:)
31212:c
31209:,
31206:Z
31203:,
31200:W
31197:(
31177:)
31174:b
31171:,
31168:Y
31165:,
31162:X
31159:(
31135:W
31129:X
31126::
31123:F
31078:)
31075:b
31072:,
31069:Y
31066:,
31063:X
31060:(
31037:)
31034:b
31031:,
31028:Y
31025:,
31022:X
31019:(
31016:b
30994:)
30991:b
30988:,
30985:Y
30982:,
30979:X
30976:(
30945:)
30942:b
30939:,
30936:Y
30933:,
30930:X
30927:(
30924:c
30902:)
30899:b
30896:,
30893:Y
30890:,
30887:X
30884:(
30859:)
30856:b
30853:,
30850:Y
30847:,
30844:X
30841:(
30810:)
30807:b
30804:,
30801:Y
30798:,
30795:X
30792:(
30767:)
30764:b
30761:,
30758:Y
30755:,
30752:X
30749:(
30716:)
30713:b
30710:,
30707:Y
30704:,
30701:X
30698:(
30670:)
30667:b
30664:,
30661:Y
30658:,
30655:X
30652:(
30618:)
30615:b
30612:,
30609:Y
30606:,
30603:X
30600:(
30597:s
30577:)
30574:b
30571:,
30568:Y
30565:,
30562:X
30559:(
30534:X
30510:)
30507:b
30504:,
30501:Y
30498:,
30495:X
30492:(
30468:X
30433:X
30428:P
30418:G
30390:)
30387:b
30384:,
30381:Y
30378:,
30375:X
30372:(
30349:Y
30323:Y
30300:)
30297:X
30294:,
30291:Y
30288:(
30281:Y
30261:,
30256:)
30253:b
30250:,
30247:X
30244:,
30241:Y
30238:(
30231:Y
30207:=
30184:)
30181:b
30178:,
30175:X
30172:,
30169:Y
30166:(
30137:Y
30114:)
30111:X
30108:,
30105:Y
30102:(
30095:Y
30075:,
30070:)
30067:b
30064:,
30061:X
30058:,
30055:Y
30052:(
30045:Y
30024:Y
30004:Y
29984:)
29981:b
29978:,
29975:Y
29972:,
29969:X
29966:(
29929:K
29923:H
29917:G
29895:G
29887:K
29865:G
29857:K
29854:,
29851:G
29825:G
29796:G
29784:Y
29768:G
29746:Y
29721:}
29717:0
29711:r
29708:,
29703:G
29695:G
29692::
29683:G
29679:r
29675:{
29654:Y
29630:Y
29606:G
29583:b
29561:G
29539:Y
29513:X
29491:G
29456:.
29453:X
29433:)
29430:b
29427:,
29424:Y
29421:,
29418:X
29415:(
29390:G
29367:K
29346:)
29343:b
29340:,
29337:Y
29334:,
29331:X
29328:(
29278:X
29258:X
29236:.
29232:)
29227:)
29223:X
29220:,
29211:X
29206:(
29199:,
29190:X
29185:(
29164:X
29144:X
29124:X
29100:)
29095:)
29091:X
29088:,
29079:X
29074:(
29067:,
29058:X
29053:(
29028:X
29017:.
29001:,
28997:)
28992:)
28988:X
28985:,
28976:X
28971:(
28964:,
28955:X
28950:(
28929:,
28926:K
28906:K
28882:X
28860:.
28856:)
28851:)
28847:X
28844:,
28835:X
28830:(
28823:,
28814:X
28809:(
28788:K
28767:)
28762:)
28758:D
28755:,
28746:X
28741:(
28734:,
28725:X
28720:(
28699:K
28679:,
28676:X
28656:D
28624:X
28617:D
28596:)
28592:X
28589:,
28580:X
28575:(
28547:K
28524:.
28515:X
28508:K
28482:X
28457:X
28429:.
28420:Y
28393:X
28368:Y
28362:X
28359::
28356:F
28336:F
28314:.
28305:Y
28283:)
28274:Y
28270:(
28266:F
28261:t
28254:=
28251:F
28246:t
28215:)
28210:)
28200:Y
28196:,
28193:Y
28189:(
28182:,
28179:Y
28175:(
28167:)
28162:)
28152:X
28148:,
28145:X
28141:(
28134:,
28131:X
28127:(
28123::
28120:F
28100:F
28080:Y
28074:X
28071::
28068:F
28048:F
28026:.
28018:F
28013:t
28001:=
27995:F
27972:F
27952:Y
27932:X
27910:.
27901:X
27874:Y
27843:X
27830::
27826:F
27821:t
27797:F
27774:F
27751:F
27746:t
27722:F
27698:Y
27692:X
27689::
27686:F
27663:F
27634:)
27631:)
27628:X
27625:,
27622:Y
27619:(
27613:,
27610:Y
27607:(
27601:)
27598:)
27595:W
27592:,
27589:Z
27586:(
27580:,
27577:Z
27574:(
27568:F
27563:t
27539:W
27533:X
27530::
27527:F
27505:F
27500:t
27476:W
27470:X
27467::
27464:F
27432:)
27428:F
27419:(
27416:=
27413:F
27408:t
27388:;
27376:Y
27356:)
27353:X
27350:,
27347:Y
27344:(
27321:F
27316:t
27289:)
27286:)
27283:Z
27280:,
27277:W
27274:(
27268:,
27265:W
27262:(
27256:)
27253:)
27250:Y
27247:,
27244:X
27241:(
27235:,
27232:X
27229:(
27226::
27223:F
27200:W
27194:X
27191::
27188:F
27165:Z
27162:,
27159:W
27133:Y
27130:,
27127:X
27102:.
27099:g
27079:g
27049:g
27037:A
27034::
27031:g
27007:B
27001:A
26998::
26995:g
26973:F
26970:=
26967:F
26962:t
26959:t
26935:)
26932:)
26929:X
26926:,
26923:Y
26920:(
26914:,
26911:Y
26908:(
26902:)
26899:)
26896:W
26893:,
26890:Z
26887:(
26881:,
26878:Z
26875:(
26869:F
26864:t
26840:F
26813:Z
26810:,
26807:W
26779:Y
26776:,
26773:X
26748:,
26745:Y
26739:Z
26736::
26733:F
26728:t
26714:F
26698:Y
26692:)
26689:Z
26686:(
26677:F
26654:)
26651:)
26648:Z
26645:,
26642:W
26639:(
26633:,
26630:W
26627:(
26621:)
26618:)
26615:Y
26612:,
26609:X
26606:(
26600:,
26597:X
26594:(
26591::
26588:F
26565:W
26559:X
26556::
26553:F
26533:W
26527:X
26524::
26521:F
26495:W
26488:Z
26462:X
26455:Y
26432:Z
26429:,
26426:W
26398:Y
26395:,
26392:X
26360:.
26351:F
26322:E
26299:M
26279:,
26275:)
26270:j
26267:,
26264:i
26260:f
26256:(
26249:M
26227:E
26205:F
26183:n
26178:K
26168:n
26163:K
26158::
26155:F
26136:,
26132:}
26121:n
26117:e
26113:,
26107:,
26097:1
26093:e
26088:{
26084:=
26073:E
26047:X
26026:}
26020:n
26016:e
26012:,
26006:,
26001:1
25997:e
25992:{
25988:=
25983:E
25962:,
25959:n
25937:n
25932:K
25927:=
25924:Y
25921:=
25918:X
25896:.
25893:X
25887:x
25878:)
25875:)
25872:x
25869:(
25866:F
25863:(
25854:w
25850:=
25847:)
25844:x
25841:(
25837:)
25828:w
25824:(
25814:F
25793:,
25790:X
25784:x
25761:w
25757:,
25754:)
25751:x
25748:(
25745:F
25737:=
25728:)
25719:w
25715:(
25705:F
25701:,
25698:x
25672:)
25663:w
25659:(
25649:F
25628:F
25616:w
25612:=
25608:)
25599:w
25595:(
25585:F
25565:,
25556:W
25543:w
25522:.
25513:X
25500:W
25496::
25493:F
25488:t
25481:=
25472:F
25445:F
25424:F
25400:W
25394:X
25391::
25388:F
25368:,
25354:W
25350:,
25347:W
25311:X
25307:,
25304:X
25271:Y
25251:X
25231:X
25211:Y
25188:.
25179:X
25158:Y
25138:b
25118:,
25115:X
25095:Y
25071:)
25068:b
25065:,
25062:Y
25059:,
25056:X
25053:(
25033:)
25030:y
25027:,
25019:(
25016:b
25010:y
24983:b
24963:X
24943:Y
24919:)
24916:x
24913:(
24904:x
24886:x
24882:,
24879:x
24851:Z
24848:,
24845:X
24822:)
24819:b
24816:,
24813:Y
24810:,
24807:X
24804:(
24784:X
24760:Z
24740:)
24737:y
24734:,
24726:(
24723:b
24717:y
24697:Z
24677:Y
24657:X
24643:Y
24625:X
24595:X
24591:=
24582:X
24546:X
24521:X
24488:X
24460:Y
24440:)
24437:)
24434:Y
24431:,
24428:X
24425:(
24419:,
24416:X
24413:(
24387:X
24360:X
24353:Y
24329:.
24320:X
24316:=
24313:Y
24293:)
24290:)
24287:X
24284:,
24281:Y
24278:(
24272:,
24269:Y
24266:(
24246:,
24243:X
24223:Y
24197:X
24176:Y
24153:)
24150:z
24147:(
24138:z
24125:z
24104:z
24084:Z
24078:z
24051:)
24042:Z
24038:(
24030:Z
24003:)
23994:Z
23990:(
23985:=
23982:Z
23961:)
23956:)
23946:Z
23942:,
23939:Z
23935:(
23928:,
23925:Z
23921:(
23900:,
23891:Z
23866:Z
23845:)
23840:)
23836:X
23833:,
23824:X
23819:(
23812:,
23803:X
23798:(
23777:X
23744:)
23741:b
23738:,
23735:Y
23732:,
23729:X
23726:(
23702:X
23678:)
23675:)
23672:b
23669:,
23666:Y
23663:,
23660:X
23657:(
23651:,
23648:X
23645:(
23616:)
23606:X
23602:,
23599:X
23595:(
23571:X
23551:X
23530:)
23520:X
23516:,
23513:X
23509:(
23479:X
23458:X
23429:.
23426:F
23423:=
23420:F
23415:t
23412:t
23388:,
23385:W
23365:Z
23345:F
23340:t
23313:)
23310:)
23307:b
23304:,
23301:X
23298:,
23295:Y
23292:(
23289:,
23286:Y
23283:(
23277:)
23274:)
23271:c
23268:,
23265:W
23262:,
23259:Z
23256:(
23250:,
23247:Z
23244:(
23241::
23238:F
23233:t
23209:Y
23203:Z
23200::
23197:F
23192:t
23165:F
23141:F
23130:;
23118:)
23115:Y
23112:,
23104:(
23101:b
23095:)
23092:Z
23089:,
23086:)
23078:(
23075:F
23072:(
23069:c
23047:)
23044:)
23041:c
23038:,
23035:Z
23032:,
23029:W
23026:(
23023:,
23020:W
23017:(
23011:)
23008:)
23005:b
23002:,
22999:Y
22996:,
22993:X
22990:(
22984:,
22981:X
22978:(
22975::
22972:F
22952:F
22929:W
22923:X
22920::
22917:F
22897:Y
22877:X
22844:)
22841:)
22838:c
22835:,
22832:Z
22829:,
22826:W
22823:(
22820:,
22817:W
22814:(
22808:)
22805:)
22802:b
22799:,
22796:Y
22793:,
22790:X
22787:(
22781:,
22778:X
22775:(
22772::
22769:F
22749:)
22746:c
22743:,
22740:Z
22737:,
22734:W
22731:(
22711:)
22708:b
22705:,
22702:Y
22699:,
22696:X
22693:(
22669:W
22663:X
22660::
22657:F
22630:.
22622:F
22617:t
22605:=
22599:F
22576:Y
22570:X
22567::
22564:F
22544:Y
22524:X
22490:.
22481:]
22477:)
22474:X
22471:(
22468:F
22465:[
22462:=
22459:F
22454:t
22434:;
22422:T
22416:)
22413:S
22410:(
22407:F
22381:S
22373:)
22364:T
22360:(
22356:F
22351:t
22327:X
22321:S
22301:W
22295:T
22284:;
22263:T
22256:)
22253:S
22250:(
22247:F
22227:,
22218:S
22210:)
22201:T
22197:(
22193:F
22188:t
22164:W
22158:T
22147:;
22129:S
22121:)
22112:T
22108:(
22104:F
22099:t
22075:,
22072:W
22066:T
22046:T
22040:)
22037:S
22034:(
22031:F
22020:;
22007:)
21998:S
21994:(
21988:1
21980:)
21976:F
21971:t
21963:(
21958:=
21949:]
21945:)
21942:S
21939:(
21936:F
21933:[
21911:,
21908:A
21878:S
21857:X
21851:S
21827:1
21819:)
21815:F
21810:t
21802:(
21797:=
21793:)
21788:1
21781:F
21777:(
21771:t
21747:,
21744:Z
21738:Y
21735::
21731:)
21726:1
21719:F
21715:(
21709:t
21685:,
21682:X
21676:W
21673::
21668:1
21661:F
21640:Y
21634:Z
21631::
21628:F
21623:t
21599:W
21593:X
21590::
21587:F
21565:.
21562:F
21557:t
21547:E
21542:t
21535:=
21532:)
21529:E
21523:F
21520:(
21515:t
21491:,
21488:V
21482:Z
21479::
21476:)
21473:E
21467:F
21464:(
21459:t
21435:,
21432:W
21426:U
21423::
21420:E
21414:F
21394:V
21388:Y
21385::
21382:E
21377:t
21353:X
21347:U
21344::
21341:E
21320:K
21299:)
21296:a
21293:,
21290:V
21287:,
21284:U
21281:(
21259:.
21256:F
21253:=
21250:F
21245:t
21242:t
21218:F
21213:t
21189:F
21184:t
21158:.
21154:)
21149:)
21145:c
21142:,
21139:Z
21136:,
21133:W
21129:(
21122:,
21119:W
21115:(
21094:F
21074:}
21071:0
21068:{
21065:=
21062:F
21057:t
21023:Y
21017:Z
21014::
21011:F
21006:t
20979:Y
20973:Z
20970::
20967:F
20962:t
20938:W
20932:X
20929::
20926:F
20905:K
20884:)
20881:c
20878:,
20875:Z
20872:,
20869:W
20866:(
20846:)
20843:b
20840:,
20837:Y
20834:,
20831:X
20828:(
20800:,
20797:W
20791:Y
20772:,
20769:Y
20763:W
20744:,
20741:Z
20735:X
20716:,
20713:Y
20707:Z
20685:.
20682:X
20676:x
20655:)
20651:)
20648:z
20645:(
20642:F
20637:t
20630:,
20627:x
20623:(
20619:b
20616:=
20613:)
20610:z
20607:,
20604:)
20601:x
20598:(
20595:F
20592:(
20589:c
20569:,
20565:)
20561:)
20558:z
20555:(
20552:F
20547:t
20540:,
20531:(
20527:b
20524:=
20521:)
20518:z
20515:,
20512:)
20504:(
20501:F
20498:(
20495:c
20475:)
20472:z
20469:(
20466:F
20461:t
20437:,
20434:Z
20428:z
20408:F
20403:t
20374:)
20371:c
20368:,
20365:Z
20362:,
20359:W
20356:(
20336:)
20333:b
20330:,
20327:Y
20324:,
20321:X
20318:(
20298:F
20270:Y
20264:Z
20261::
20258:F
20253:t
20229:.
20226:)
20223:z
20220:(
20217:F
20212:t
20188:Y
20168:)
20165:y
20162:,
20154:(
20151:b
20148:=
20145:)
20142:z
20139:,
20136:)
20128:(
20125:F
20122:(
20119:c
20099:Y
20093:y
20073:Z
20067:z
20055:.
20043:}
20040:Y
20034:y
20031::
20028:)
20025:y
20022:,
20014:(
20011:b
20008:{
20002:)
19999:Y
19996:,
19988:(
19985:b
19965:}
19962:Z
19956:z
19953::
19950:)
19947:z
19944:,
19941:)
19933:(
19930:F
19927:(
19924:c
19921:{
19915:)
19912:Z
19909:,
19906:)
19898:(
19895:F
19892:(
19889:c
19869:,
19866:)
19863:Y
19860:,
19852:(
19849:b
19843:)
19840:Z
19837:,
19834:)
19826:(
19823:F
19820:(
19817:c
19785:X
19764:Y
19744:)
19741:y
19738:,
19730:(
19727:b
19721:y
19701:Y
19681:X
19647:F
19627:.
19624:)
19621:z
19618:,
19615:)
19612:x
19609:(
19606:F
19603:(
19600:c
19594:x
19573:K
19566:X
19563::
19560:)
19557:z
19554:,
19551:)
19543:(
19540:F
19537:(
19534:c
19514:,
19511:Z
19505:z
19482:W
19476:X
19473::
19470:F
19449:K
19428:)
19425:c
19422:,
19419:Z
19416:,
19413:W
19410:(
19390:)
19387:b
19384:,
19381:Y
19378:,
19375:X
19372:(
19326:.
19323:Y
19303:)
19300:b
19297:,
19294:X
19291:,
19288:Y
19285:(
19258:B
19238:)
19232:,
19229:X
19226:(
19202:X
19182:B
19162:X
19122:)
19119:b
19116:,
19113:Y
19110:,
19107:X
19104:(
19092:.
19088:-
19076:)
19073:b
19070:,
19067:Y
19064:,
19061:X
19058:(
19043:-
19031:)
19028:b
19025:,
19022:Y
19019:,
19016:X
19013:(
18990:A
18970:X
18950:Y
18928:.
18925:Y
18895:A
18874:)
18871:b
18868:,
18865:Y
18862:,
18859:X
18856:(
18833:A
18803:.
18800:A
18780:)
18777:b
18774:,
18771:Y
18768:,
18765:X
18762:(
18739:,
18727:A
18706:,
18703:A
18675:.
18672:A
18648:)
18645:b
18642:,
18639:Y
18636:,
18633:X
18630:(
18607:A
18587:)
18584:b
18581:,
18578:Y
18575:,
18572:X
18569:(
18546:A
18522:A
18502:A
18480:.
18477:)
18474:)
18471:b
18468:,
18465:X
18462:,
18459:Y
18456:(
18450:,
18447:Y
18444:(
18424:A
18398:A
18373:,
18370:X
18364:A
18344:)
18341:b
18338:,
18335:Y
18332:,
18329:X
18326:(
18301:.
18298:X
18278:B
18249:B
18242:H
18221:)
18217:X
18214:,
18205:X
18200:(
18176:H
18156:,
18147:X
18126:H
18106:X
18079:.
18076:M
18072:/
18068:X
18048:)
18045:)
18042:b
18039:,
18036:Y
18033:,
18030:X
18027:(
18021:,
18018:X
18015:(
17990:)
17980:M
17976:,
17973:M
17969:/
17965:X
17961:(
17935:.
17932:)
17929:y
17926:,
17923:x
17920:(
17917:b
17911:)
17908:y
17905:,
17902:M
17899:+
17896:x
17893:(
17872:K
17859:M
17852:M
17848:/
17844:X
17841::
17838:M
17834:/
17830:b
17809:)
17805:M
17801:/
17797:b
17794:,
17785:M
17781:,
17778:M
17774:/
17770:X
17766:(
17745:.
17742:X
17722:M
17695:.
17691:)
17685:M
17679:|
17673:b
17670:,
17661:M
17656:/
17652:Y
17649:,
17646:M
17642:(
17621:)
17618:)
17615:b
17612:,
17609:Y
17606:,
17603:X
17600:(
17594:,
17591:X
17588:(
17568:.
17565:)
17562:)
17559:b
17556:,
17553:Y
17550:,
17547:X
17544:(
17538:,
17535:X
17532:(
17512:M
17487:)
17481:M
17475:|
17469:b
17466:,
17457:M
17452:/
17448:Y
17445:,
17442:M
17438:(
17412:.
17409:)
17406:y
17403:,
17400:m
17397:(
17394:b
17387:)
17377:M
17373:+
17370:y
17367:,
17364:m
17360:(
17338:K
17325:M
17320:/
17316:Y
17310:M
17307::
17302:M
17296:|
17290:b
17269:)
17260:M
17256:(
17251:/
17247:Y
17221:M
17216:/
17212:Y
17191:)
17185:M
17179:|
17173:b
17170:,
17161:M
17156:/
17152:Y
17149:,
17146:M
17142:(
17119:.
17116:)
17113:)
17110:b
17107:,
17104:Y
17101:,
17098:X
17095:(
17089:,
17086:X
17083:(
17063:M
17039:M
17019:)
17016:b
17013:,
17010:Y
17007:,
17004:M
17001:(
16978:.
16975:Y
16969:M
16949:)
16946:b
16943:,
16940:Y
16937:,
16934:X
16931:(
16911:)
16908:b
16905:,
16902:Y
16899:,
16896:M
16893:(
16873:X
16853:M
16826:.
16823:X
16797:S
16770:X
16743:S
16722:X
16699:.
16689:i
16685:S
16679:I
16673:i
16665:=
16655:)
16649:i
16645:S
16639:I
16633:i
16624:(
16602:X
16580:I
16574:i
16569:)
16564:i
16560:S
16556:(
16532:.
16528:)
16523:)
16512:i
16508:S
16502:I
16496:i
16487:(
16476:(
16467:)
16464:b
16461:,
16458:X
16455:,
16452:Y
16449:(
16438:=
16428:)
16422:i
16418:S
16412:I
16406:i
16397:(
16375:X
16355:)
16352:b
16349:,
16346:Y
16343:,
16340:X
16337:(
16312:I
16306:i
16301:)
16296:i
16292:S
16288:(
16262:.
16253:S
16246:S
16226:X
16206:)
16203:b
16200:,
16197:Y
16194:,
16191:X
16188:(
16165:S
16141:)
16137:S
16123:)
16120:b
16117:,
16114:Y
16111:,
16108:X
16105:(
16093:(
16089:=
16080:S
16073:S
16051:)
16048:b
16045:,
16042:X
16039:,
16036:Y
16033:(
16004:S
16000:=
15990:)
15986:S
15972:)
15969:b
15966:,
15963:X
15960:,
15957:Y
15954:(
15942:(
15937:=
15928:)
15924:S
15915:(
15912:=
15903:S
15879:X
15859:S
15839:)
15836:b
15833:,
15830:Y
15827:,
15824:X
15821:(
15793:X
15773:X
15752:)
15737:X
15733:,
15723:)
15709:X
15705:(
15699:(
15669:X
15666:=
15656:)
15642:X
15638:(
15610:X
15581:)
15566:X
15562:,
15552:)
15538:X
15534:(
15528:(
15504:X
15484:X
15478:=
15465:)
15451:X
15447:(
15426:)
15412:X
15408:(
15375:X
15348:X
15320:)
15306:X
15302:(
15274:X
15252:)
15248:X
15245:,
15236:X
15231:(
15197:X
15176:.
15173:X
15146:)
15132:X
15128:(
15105:)
15090:X
15086:,
15076:)
15062:X
15058:(
15052:(
15021:)
15007:X
15003:(
14981:X
14961:X
14935:X
14913:)
14909:X
14906:,
14897:X
14892:(
14865:.
14862:X
14859:=
14849:)
14835:X
14831:(
14819:X
14816:=
14806:)
14801:)
14797:X
14794:,
14785:X
14780:(
14773:,
14764:X
14759:(
14737:)
14734:x
14731:(
14722:x
14695:X
14682:x
14661:X
14641:x
14621:x
14600:)
14595:)
14591:X
14588:,
14579:X
14574:(
14567:,
14558:X
14553:(
14532:X
14511:)
14506:)
14496:X
14492:,
14489:X
14485:(
14478:,
14475:X
14471:(
14450:X
14424:X
14403:X
14381:.
14377:}
14373:Y
14367:y
14364::
14361:)
14358:y
14355:,
14347:(
14344:b
14340:{
14333:)
14330:Y
14327:,
14319:(
14316:b
14313:=
14304:)
14300:)
14297:b
14294:,
14291:Y
14288:,
14285:X
14282:(
14276:,
14273:X
14270:(
14250:)
14247:)
14244:b
14241:,
14238:Y
14235:,
14232:X
14229:(
14223:,
14220:X
14217:(
14187:.
14184:X
14164:Y
14144:Y
14124:X
14102:.
14099:}
14096:X
14090:x
14082:0
14079:=
14076:)
14073:y
14070:,
14067:x
14064:(
14061:b
14058::
14055:Y
14049:y
14046:{
14034:X
14013:,
14004:X
13999:/
13995:Y
13975:)
13972:)
13969:b
13966:,
13963:Y
13960:,
13957:X
13954:(
13948:,
13945:X
13942:(
13918:.
13915:y
13895:Y
13875:X
13853:.
13850:Y
13830:X
13810:y
13790:)
13787:y
13784:,
13776:(
13773:b
13770:=
13767:f
13747:Y
13741:y
13721:)
13718:)
13715:b
13712:,
13709:Y
13706:,
13703:X
13700:(
13694:,
13691:X
13688:(
13664:f
13640:.
13637:}
13634:Y
13628:y
13625::
13622:)
13619:y
13616:,
13608:(
13605:b
13602:{
13596:)
13593:Y
13590:,
13582:(
13579:b
13559:)
13556:)
13553:b
13550:,
13547:Y
13544:,
13541:X
13538:(
13532:,
13529:X
13526:(
13502:.
13498:K
13477:)
13474:b
13471:,
13468:Y
13465:,
13462:X
13459:(
13430:.
13427:)
13424:)
13421:b
13418:,
13415:Y
13412:,
13409:X
13406:(
13400:,
13397:X
13394:(
13377:.
13361:)
13358:b
13355:,
13352:X
13349:,
13346:Y
13343:(
13330:;
13318:X
13298:Y
13274:)
13271:y
13268:,
13260:(
13257:b
13251:y
13240:;
13228:Y
13208:X
13185:)
13182:b
13179:,
13176:Y
13173:,
13170:X
13167:(
13140:.
13137:}
13134:S
13128:s
13125::
13122:)
13119:y
13116:,
13113:s
13110:(
13107:b
13104:{
13097:|
13093:)
13090:y
13087:,
13084:S
13081:(
13078:b
13074:|
13053:,
13050:Y
13044:y
13028:|
13024:)
13021:y
13018:,
13015:S
13012:(
13009:b
13005:|
12977:)
12974:b
12971:,
12968:Y
12965:,
12962:X
12959:(
12936:X
12916:S
12889:.
12886:)
12883:b
12880:,
12877:Y
12874:,
12871:X
12868:(
12841:)
12838:b
12835:,
12832:N
12829:,
12826:X
12823:(
12800:)
12797:b
12794:,
12791:N
12788:,
12785:X
12782:(
12762:Y
12742:N
12722:)
12719:b
12716:,
12713:Y
12710:,
12707:X
12704:(
12674:1
12671:=
12668:i
12663:)
12658:i
12654:x
12650:(
12617:1
12614:=
12611:i
12606:)
12601:i
12597:x
12593:(
12571:.
12568:)
12565:y
12562:,
12559:x
12556:(
12553:b
12532:)
12528:y
12525:,
12520:i
12516:x
12511:(
12507:b
12488:,
12485:Y
12479:y
12459:x
12439:)
12436:b
12433:,
12430:Y
12427:,
12424:X
12421:(
12397:I
12391:i
12386:)
12381:i
12377:x
12373:(
12351:.
12348:)
12345:)
12342:b
12339:,
12336:Y
12333:,
12330:X
12327:(
12321:,
12318:X
12315:(
12295:x
12273:I
12267:i
12262:)
12257:i
12253:x
12249:(
12227:x
12205:)
12202:b
12199:,
12196:Y
12193:,
12190:X
12187:(
12162:I
12156:i
12151:)
12146:i
12142:x
12138:(
12116:,
12113:X
12087:I
12081:i
12076:)
12071:i
12067:x
12063:(
12041:X
12035:x
12015:.
12012:Y
11992:y
11972:,
11968:|
11964:)
11961:y
11958:,
11955:x
11952:(
11949:b
11945:|
11938:)
11935:x
11932:(
11927:y
11923:p
11901:R
11894:X
11891::
11886:y
11882:p
11857:)
11854:b
11851:,
11848:Y
11845:,
11842:X
11839:(
11812:)
11809:)
11806:b
11803:,
11800:Y
11797:,
11794:X
11791:(
11785:,
11782:X
11779:(
11759:X
11739:)
11736:)
11733:b
11730:,
11727:X
11724:,
11721:Y
11718:(
11712:,
11709:Y
11706:(
11678:"
11666:Y
11639:1
11636:=
11633:i
11628:)
11623:i
11619:a
11615:(
11593:Y
11573:X
11553:b
11533:)
11530:b
11527:,
11524:Y
11521:,
11518:X
11515:(
11492:X
11472:,
11469:)
11466:S
11463:(
11455:)
11452:b
11449:,
11446:Y
11443:,
11440:X
11437:(
11409:)
11406:b
11403:,
11400:Y
11397:,
11394:X
11391:(
11368:)
11365:b
11362:,
11359:Y
11356:,
11353:X
11350:(
11327:)
11324:b
11321:,
11318:Y
11315:,
11312:X
11309:(
11279:)
11276:R
11273:,
11270:Y
11267:(
11244:)
11241:b
11238:,
11235:R
11232:,
11229:Y
11226:(
11203:b
11182:R
11162:Y
11136:X
11130:R
11108:.
11105:Y
11073:X
11053:,
11049:C
11028:,
11025:b
11001:.
10998:)
10995:b
10992:,
10989:S
10986:,
10983:X
10980:(
10957:X
10931:X
10910:,
10905:)
10902:S
10899:,
10896:X
10893:(
10886:X
10866:,
10861:)
10858:b
10855:,
10852:S
10849:,
10846:X
10843:(
10836:X
10815:Y
10795:X
10771:,
10768:Y
10748:S
10728:.
10725:S
10705:y
10684:K
10677:X
10674::
10671:)
10668:y
10665:,
10657:(
10654:b
10634:,
10631:)
10628:S
10625:,
10622:X
10619:(
10596:)
10593:b
10590:,
10587:S
10584:,
10581:X
10578:(
10555:,
10552:X
10532:b
10511:S
10491:X
10469:Y
10463:S
10443:.
10439:K
10414:)
10411:b
10408:,
10405:Y
10402:,
10399:X
10396:(
10351:X
10344:y
10325:,
10322:X
10316:x
10294:i
10290:y
10284:i
10280:x
10269:1
10266:=
10263:i
10249:y
10246:,
10243:x
10214:X
10207:Y
10184:X
10152:Y
10139:X
10118:Y
10112:X
10087:y
10084:,
10075:y
10061:x
10058:,
10049:x
10040:=
10036:)
10026:y
10013:x
10009:,
10006:y
10000:x
9996:(
9992:b
9972:.
9968:K
9947:Y
9927:X
9904:)
9901:b
9898:,
9895:Y
9892:,
9889:X
9886:(
9866:.
9859:d
9854:g
9851:f
9842:)
9839:g
9836:,
9833:f
9830:(
9827:b
9807:1
9804:=
9798:q
9795:1
9789:+
9783:p
9780:1
9757:q
9737:)
9731:(
9726:q
9722:L
9715:Y
9696:,
9693:)
9687:(
9682:p
9678:L
9671:X
9652:,
9643:p
9637:0
9615:.
9612:}
9608:R
9601:z
9598::
9595:)
9592:z
9589:,
9586:0
9583:,
9580:0
9577:(
9574:{
9571:=
9568:}
9565:y
9559:X
9556::
9553:Y
9547:y
9544:{
9532:X
9511:.
9508:X
9488:Y
9468:,
9465:Y
9445:X
9425:)
9422:b
9419:,
9416:Y
9413:,
9410:X
9407:(
9387:.
9382:2
9378:y
9372:1
9368:y
9364:+
9359:2
9355:x
9349:1
9345:x
9337:)
9332:)
9326:2
9322:z
9318:,
9313:2
9309:y
9305:,
9300:2
9296:x
9291:(
9287:,
9283:)
9277:1
9273:y
9269:,
9264:1
9260:x
9255:(
9250:(
9246:b
9226:,
9223:Y
9216:)
9210:2
9206:z
9202:,
9197:2
9193:y
9189:,
9184:2
9180:x
9175:(
9166:X
9159:)
9153:1
9149:y
9145:,
9140:1
9136:x
9131:(
9110:,
9105:3
9100:R
9095:=
9092:Y
9073:,
9068:2
9063:R
9058:=
9055:X
9025:)
9015:,
9006:,
8998:H
8993:,
8990:H
8986:(
8962:y
8959:,
8956:x
8947:)
8944:y
8941:,
8938:x
8935:(
8932:b
8911:C
8899:H
8891:H
8888::
8885:b
8862:H
8807:H
8785:H
8760:H
8738:)
8735:+
8732:,
8729:H
8726:(
8701:H
8679:,
8676:H
8647:H
8625:.
8622:H
8602:,
8599:x
8591:c
8583:x
8577:c
8567:H
8561:H
8554:C
8550::
8517:.
8494:)
8485:,
8476:,
8473:H
8470:(
8442:)
8433:,
8424:,
8421:H
8418:,
8415:H
8412:(
8392:H
8369:=
8366:H
8340:)
8331:,
8322:,
8319:H
8316:,
8313:H
8310:(
8286:)
8277:,
8268:,
8265:H
8262:(
8239:)
8230:,
8221:,
8218:H
8215:,
8212:H
8209:(
8182:)
8173:,
8164:,
8161:H
8158:(
8124:,
8075:H
8054:R
8033:H
8013:)
8004:,
7995:,
7992:H
7989:(
7951:X
7928:N
7906:N
7880:N
7859:X
7839:,
7825:X
7821:,
7818:X
7793:X
7771:N
7743:X
7722:X
7680:.
7666:X
7662:,
7659:X
7634:X
7607:X
7587:X
7561:X
7540:.
7531:X
7510:X
7489:)
7477:X
7470:X
7464:|
7458:c
7455:,
7446:X
7442:,
7439:X
7435:(
7408:X
7387:X
7366:)
7362:c
7359:,
7350:X
7346:,
7343:X
7339:(
7318:.
7309:X
7281:X
7253:0
7250:=
7247:x
7227:N
7221:n
7201:0
7198:=
7195:)
7192:x
7189:(
7186:n
7166:N
7146:,
7143:X
7123:N
7103:)
7100:c
7097:,
7094:N
7091:,
7088:X
7085:(
7065:N
7045:X
7019:X
6998:N
6975:.
6969:N
6966:,
6963:X
6940:,
6937:X
6917:N
6897:X
6871:.
6868:)
6865:c
6862:,
6859:N
6856:,
6853:X
6850:(
6827:N
6824:,
6821:X
6798:c
6778:)
6775:x
6772:(
6763:x
6759:=
6745:x
6741:,
6738:x
6710:.
6707:X
6687:N
6667:N
6647:X
6619:N
6613:X
6592:)
6588:c
6585:,
6576:X
6572:,
6569:X
6565:(
6538:X
6517:N
6495:.
6486:x
6482:=
6479:)
6471:(
6462:x
6458:=
6454:)
6444:x
6440:,
6431:(
6427:c
6401:x
6379:)
6369:x
6365:,
6356:(
6352:c
6333:,
6324:X
6311:x
6290:.
6281:X
6274:X
6242:,
6239:)
6236:x
6233:(
6224:x
6220:=
6206:x
6202:,
6199:x
6191:=
6187:)
6177:x
6173:,
6170:x
6166:(
6162:c
6141:)
6137:c
6134:,
6125:X
6121:,
6118:X
6114:(
6093:X
6073:X
6043:X
6022:X
5995:.
5992:)
5989:b
5986:,
5983:N
5980:,
5977:M
5974:(
5953:)
5947:N
5941:M
5935:|
5929:b
5926:,
5923:N
5920:,
5917:M
5913:(
5889:}
5886:0
5883:{
5880:=
5877:N
5857:}
5854:0
5851:{
5845:Y
5825:)
5822:b
5819:,
5816:Y
5813:,
5810:X
5807:(
5787:.
5783:)
5777:N
5771:M
5765:|
5759:b
5756:,
5753:N
5750:,
5747:M
5743:(
5722:N
5716:M
5696:)
5693:b
5690:,
5687:Y
5684:,
5681:X
5678:(
5654:Y
5634:N
5614:,
5611:X
5591:M
5571:)
5568:b
5565:,
5562:Y
5559:,
5556:X
5553:(
5521:.
5518:)
5515:b
5512:,
5509:X
5506:,
5503:Y
5500:(
5480:)
5477:d
5474:,
5471:X
5468:,
5465:Y
5462:(
5442:)
5439:d
5436:,
5433:X
5430:,
5427:Y
5424:(
5404:)
5401:b
5398:,
5395:Y
5392:,
5389:X
5386:(
5363:)
5360:X
5357:,
5354:Y
5351:(
5331:)
5328:Y
5325:,
5322:X
5319:(
5295:)
5292:d
5289:,
5286:X
5283:,
5280:Y
5277:(
5254:)
5251:b
5248:,
5245:X
5242:,
5239:Y
5236:(
5213:Y
5193:)
5190:d
5187:,
5184:X
5181:,
5178:Y
5175:(
5155:)
5152:b
5149:,
5146:Y
5143:,
5140:X
5137:(
5114:X
5090:)
5087:d
5084:,
5081:X
5078:,
5075:Y
5072:(
5049:)
5046:b
5043:,
5040:X
5037:,
5034:Y
5031:(
5008:)
5005:d
5002:,
4999:X
4996:,
4993:Y
4990:(
4970:,
4967:Y
4947:X
4927:X
4907:)
4904:b
4901:,
4898:Y
4895:,
4892:X
4889:(
4863:Y
4843:X
4823:)
4820:b
4817:,
4814:Y
4811:,
4808:X
4805:(
4779:.
4776:d
4753:X
4733:S
4713:X
4693:Y
4673:Y
4653:S
4633:Y
4613:X
4589:.
4586:)
4583:d
4580:,
4577:X
4574:,
4571:Y
4568:(
4544:,
4541:)
4538:b
4535:,
4532:Y
4529:,
4526:X
4523:(
4497:.
4494:)
4491:d
4488:,
4485:X
4482:,
4479:Y
4476:(
4456:)
4453:b
4450:,
4447:Y
4444:,
4441:X
4438:(
4415:Y
4409:y
4389:X
4383:x
4363:)
4360:y
4357:,
4354:x
4351:(
4348:b
4342:)
4339:x
4336:,
4333:y
4330:(
4327:d
4307:)
4304:d
4301:,
4298:X
4295:,
4292:Y
4289:(
4269:,
4266:)
4263:b
4260:,
4257:Y
4254:,
4251:X
4248:(
4221:.
4211:)
4207:B
4194:(
4177:B
4156:B
4136:Y
4130:B
4110:.
4106:)
4097:A
4093:(
4063:A
4034:A
4013:A
3989:X
3983:A
3963:.
3960:A
3930:A
3926:=
3917:A
3896:,
3893:X
3873:A
3851:.
3848:Y
3822:B
3801:X
3781:B
3755:B
3734:B
3714:Y
3708:0
3678:B
3655:.
3646:B
3625:B
3597:Y
3577:B
3554:.
3550:}
3546:1
3539:|
3535:)
3532:y
3529:,
3526:x
3523:(
3520:b
3516:|
3510:B
3504:y
3496::
3493:X
3487:x
3483:{
3470:B
3443:B
3422:Y
3402:B
3379:.
3375:}
3371:1
3364:|
3360:)
3357:y
3354:,
3351:x
3348:(
3345:b
3341:|
3335:A
3329:x
3321::
3318:Y
3312:y
3308:{
3295:A
3274:X
3254:A
3225:K
3204:)
3201:b
3198:,
3195:Y
3192:,
3189:X
3186:(
3152:}
3149:0
3146:{
3120:R
3099:X
3079:R
3059:}
3056:}
3053:0
3050:{
3047:=
3044:)
3041:y
3038:,
3035:R
3032:(
3029:b
3026::
3023:Y
3017:y
3014:{
3008:}
3005:y
2999:R
2996::
2993:Y
2987:y
2984:{
2972:R
2951:X
2945:R
2906:S
2900:s
2880:R
2874:r
2854:0
2851:=
2848:)
2845:s
2842:,
2839:r
2836:(
2833:b
2813:}
2810:0
2807:{
2804:=
2801:)
2798:S
2795:,
2792:R
2789:(
2786:b
2766:S
2760:R
2734:Y
2728:S
2708:X
2702:R
2682:0
2679:=
2676:)
2673:y
2670:,
2667:x
2664:(
2661:b
2641:y
2635:x
2611:y
2591:x
2563:Y
2543:X
2523:X
2503:Y
2483:X
2463:X
2440:=
2437:x
2417:S
2411:s
2402:0
2399:=
2396:)
2393:s
2390:,
2387:x
2384:(
2381:b
2361:X
2355:x
2327:Y
2307:S
2279:)
2276:b
2273:,
2270:Y
2267:,
2264:X
2261:(
2237:b
2211:Y
2191:X
2170:b
2146:b
2122:Y
2116:y
2096:0
2090:)
2087:y
2084:,
2081:x
2078:(
2075:b
2055:X
2049:x
2029:0
2008:K
2001:X
1998::
1995:)
1992:y
1989:,
1981:(
1978:b
1958:,
1955:Y
1949:y
1929:0
1926:=
1923:y
1903:0
1900:=
1897:)
1894:y
1891:,
1883:(
1880:b
1860:Y
1854:y
1834:Y
1812:X
1790:X
1784:x
1764:0
1758:)
1755:y
1752:,
1749:x
1746:(
1743:b
1723:Y
1717:y
1697:0
1676:K
1669:Y
1666::
1663:)
1655:,
1652:x
1649:(
1646:b
1626:X
1620:x
1600:0
1597:=
1594:x
1574:0
1571:=
1568:)
1560:,
1557:x
1554:(
1551:b
1531:X
1525:x
1505:X
1483:Y
1456:b
1432:K
1393:)
1390:b
1387:,
1384:Y
1381:,
1378:X
1375:(
1337:,
1311:)
1302:,
1293:,
1290:Y
1287:,
1284:X
1281:(
1256:Y
1253:,
1250:X
1225:)
1222:y
1219:,
1216:x
1213:(
1210:b
1187:y
1184:,
1181:x
1151:,
1148:}
1145:Y
1139:y
1136::
1133:)
1130:y
1127:,
1119:(
1116:b
1113:{
1107:)
1104:Y
1101:,
1093:(
1090:b
1080:}
1077:X
1071:x
1068::
1065:)
1057:,
1054:x
1051:(
1048:b
1045:{
1039:)
1031:,
1028:X
1025:(
1022:b
1002:X
978:)
975:y
972:,
964:(
961:b
941:Y
917:)
909:,
906:x
903:(
900:b
876:.
873:)
870:y
867:,
864:x
861:(
858:b
843:x
834:K
818:X
812::
809:)
806:y
803:,
795:(
792:b
768:,
765:Y
759:y
735:)
732:y
729:,
726:x
723:(
720:b
705:y
696:K
680:Y
674::
671:)
663:,
660:x
657:(
654:b
630:X
624:x
600:C
574:R
548:K
512:K
505:Y
499:X
496::
493:b
469:K
448:Y
428:X
408:,
405:)
402:Y
399:,
396:X
393:(
390:b
370:,
367:)
364:b
361:,
358:Y
355:,
352:X
349:(
328:K
256:K
249:Y
243:X
240::
237:b
210:K
189:Y
169:X
145:)
142:b
139:,
136:Y
133:,
130:X
127:(
106:K
69:)
63:(
58:)
54:(
44:.
20:.
Text is available under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License. Additional terms may apply.