2195:
3733:
3123:
1582:
2190:{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\varphi (n)&=&\varphi (p_{1}^{k_{1}})\,\varphi (p_{2}^{k_{2}})\cdots \varphi (p_{r}^{k_{r}})\\&=&p_{1}^{k_{1}}\left(1-{\frac {1}{p_{1}}}\right)p_{2}^{k_{2}}\left(1-{\frac {1}{p_{2}}}\right)\cdots p_{r}^{k_{r}}\left(1-{\frac {1}{p_{r}}}\right)\\&=&p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}\cdots p_{r}^{k_{r}}\left(1-{\frac {1}{p_{1}}}\right)\left(1-{\frac {1}{p_{2}}}\right)\cdots \left(1-{\frac {1}{p_{r}}}\right)\\&=&n\left(1-{\frac {1}{p_{1}}}\right)\left(1-{\frac {1}{p_{2}}}\right)\cdots \left(1-{\frac {1}{p_{r}}}\right).\end{array}}}
3728:{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\varphi (10)&=&\gcd(1,10)\cos {\tfrac {2\pi }{10}}+\gcd(2,10)\cos {\tfrac {4\pi }{10}}+\gcd(3,10)\cos {\tfrac {6\pi }{10}}+\cdots +\gcd(10,10)\cos {\tfrac {20\pi }{10}}\\&=&1\cdot ({\tfrac {{\sqrt {5}}+1}{4}})+2\cdot ({\tfrac {{\sqrt {5}}-1}{4}})+1\cdot (-{\tfrac {{\sqrt {5}}-1}{4}})+2\cdot (-{\tfrac {{\sqrt {5}}+1}{4}})+5\cdot (-1)\\&&+\ 2\cdot (-{\tfrac {{\sqrt {5}}+1}{4}})+1\cdot (-{\tfrac {{\sqrt {5}}-1}{4}})+2\cdot ({\tfrac {{\sqrt {5}}-1}{4}})+1\cdot ({\tfrac {{\sqrt {5}}+1}{4}})+10\cdot (1)\\&=&4.\end{array}}}
4312:
4651:
3981:
4323:
5477:
4307:{\displaystyle {\tfrac {1}{20}},\,{\tfrac {2}{20}},\,{\tfrac {3}{20}},\,{\tfrac {4}{20}},\,{\tfrac {5}{20}},\,{\tfrac {6}{20}},\,{\tfrac {7}{20}},\,{\tfrac {8}{20}},\,{\tfrac {9}{20}},\,{\tfrac {10}{20}},\,{\tfrac {11}{20}},\,{\tfrac {12}{20}},\,{\tfrac {13}{20}},\,{\tfrac {14}{20}},\,{\tfrac {15}{20}},\,{\tfrac {16}{20}},\,{\tfrac {17}{20}},\,{\tfrac {18}{20}},\,{\tfrac {19}{20}},\,{\tfrac {20}{20}}.}
47:
4646:{\displaystyle {\tfrac {1}{20}},\,{\tfrac {1}{10}},\,{\tfrac {3}{20}},\,{\tfrac {1}{5}},\,{\tfrac {1}{4}},\,{\tfrac {3}{10}},\,{\tfrac {7}{20}},\,{\tfrac {2}{5}},\,{\tfrac {9}{20}},\,{\tfrac {1}{2}},\,{\tfrac {11}{20}},\,{\tfrac {3}{5}},\,{\tfrac {13}{20}},\,{\tfrac {7}{10}},\,{\tfrac {3}{4}},\,{\tfrac {4}{5}},\,{\tfrac {17}{20}},\,{\tfrac {9}{10}},\,{\tfrac {19}{20}},\,{\tfrac {1}{1}}}
7522:
5454:
8306:
7905:
9980:
10294:
5207:
7279:
8505:
The following property, which is part of the « folklore » (i.e., apparently unpublished as a specific result: see the introduction of this article in which it is stated as having « long been known ») has important consequences. For instance it rules out uniform distribution of the
6575:
8073:
8080:
7689:
12776:
has been translated from Latin into
English and German. The German edition includes all of Gauss's papers on number theory: all the proofs of quadratic reciprocity, the determination of the sign of the Gauss sum, the investigations into biquadratic reciprocity, and unpublished notes.
2409:
7683:
6460:
11554:
6758:
9791:
4980:
9685:
10806:
2880:
817:
7273:
7019:
2712:
10153:
2577:
1282:
9769:
2414:
In words: the distinct prime factors of 20 are 2 and 5; half of the twenty integers from 1 to 20 are divisible by 2, leaving ten; a fifth of those are divisible by 5, leaving eight numbers coprime to 20; these are: 1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19.
8906:
8464:
9072:
10540:
is a natural number which is not a totient number. Every odd integer exceeding 1 is trivially a nontotient. There are also infinitely many even nontotients, and indeed every positive integer has a multiple which is an even nontotient.
7517:{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\varphi (k)={\tfrac {1}{2}}\left(1+\sum _{k=1}^{n}\mu (k)\left\lfloor {\frac {n}{k}}\right\rfloor ^{2}\right)={\frac {3}{\pi ^{2}}}n^{2}+O\left(n(\log n)^{\frac {2}{3}}(\log \log n)^{\frac {4}{3}}\right)}
7140:
2986:
10399:
9377:
10657:
10091:
5449:{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (20)&=\mu (1)\cdot 20+\mu (2)\cdot 10+\mu (4)\cdot 5+\mu (5)\cdot 4+\mu (10)\cdot 2+\mu (20)\cdot 1\\&=1\cdot 20-1\cdot 10+0\cdot 5-1\cdot 4+1\cdot 2+0\cdot 1=8.\end{aligned}}}
8301:{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{\varphi (k)}}={\frac {315\,\zeta (3)}{2\pi ^{4}}}\left(\log n+\gamma -\sum _{p{\text{ prime}}}{\frac {\log p}{p^{2}-p+1}}\right)+O\left({\frac {(\log n)^{\frac {2}{3}}}{n}}\right)}
7900:{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {\varphi (k)}{k}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\mu (k)}{k}}\left\lfloor {\frac {n}{k}}\right\rfloor ={\frac {6}{\pi ^{2}}}n+O\left((\log n)^{\frac {2}{3}}(\log \log n)^{\frac {4}{3}}\right)}
6833:
6469:
7912:
9471:
604:
10483:
9257:
3118:
3051:
2262:
1511:
11837:, Acta Academiae Scientarum Imperialis Petropolitinae, vol. 4, (1784), pp. 18–30, or Opera Omnia, Series 1, volume 4, pp. 105–115. (The work was presented at the Saint-Petersburg Academy on October 9, 1775).
909:
7529:
6645:
10158:
6294:
5212:
627:
11415:
As stated in the main article, if there is a single counterexample to this conjecture, there must be infinitely many counterexamples, and the smallest one has at least ten billion digits in base 10.
6349:
11769:(1763), 74–104. (The work was presented at the Saint-Petersburg Academy on October 15, 1759. A work with the same title was presented at the Berlin Academy on June 8, 1758). Available on-line in:
11433:
9570:
9181:
9975:{\displaystyle \varphi (1)+\varphi (2)+\cdots +\varphi (n)={\frac {3n^{2}}{\pi ^{2}}}+O\left(n(\log n)^{\frac {2}{3}}(\log \log n)^{\frac {4}{3}}\right)\quad {\text{as }}n\rightarrow \infty ,}
5200:
2421:
375:
introduced the function in 1763. However, he did not at that time choose any specific symbol to denote it. In a 1784 publication, Euler studied the function further, choosing the Greek letter
6653:
5143:
9997:. By a combination of van der Corput's and Vinogradov's methods, H.-Q. Liu (On Euler's function.Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A 146 (2016), no. 4, 769–775) improved the error term to
6075:
4864:
9581:
5965:
3810:
10682:
2752:
358:
7147:
992:
6343:
10289:{\displaystyle {\begin{aligned}\lim \inf {\frac {\varphi (n+1)}{\varphi (n)}}&=0\quad {\text{and}}\\\lim \sup {\frac {\varphi (n+1)}{\varphi (n)}}&=\infty .\end{aligned}}}
8741:
6936:
2600:
2249:
1139:
9696:
8640:
5075:
8944:
8533:
137:
5033:
8804:
8340:
166:
8715:
8959:
8579:
8689:
8765:
8660:
8603:
8553:
7049:
933:
2891:
11673:
10955:, apply it again to the resulting totient, and so on, until the number 1 is reached, and add together the resulting sequence of numbers; if the sum equals
10313:
9296:
10554:
12861:
Dickson, Leonard Eugene, "History Of The Theory Of
Numbers", vol 1, chapter 5 "Euler's Function, Generalizations; Farey Series", Chelsea Publishing 1952
10003:
6570:{\displaystyle \varphi (2m)={\begin{cases}2\varphi (m)&{\text{ if }}m{\text{ is even}}\\\varphi (m)&{\text{ if }}m{\text{ is odd}}\end{cases}}}
13305:
8068:{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {k}{\varphi (k)}}={\frac {315\,\zeta (3)}{2\pi ^{4}}}n-{\frac {\log n}{2}}+O\left((\log n)^{\frac {2}{3}}\right)}
8768:
6764:
224:
are the six numbers 1, 2, 4, 5, 7 and 8. They are all relatively prime to 9, but the other three numbers in this range, 3, 6, and 9 are not, since
9398:
529:
11022:, and only five are known: 3, 5, 17, 257, and 65537. Fermat and Gauss knew of these. Nobody has been able to prove whether there are any more.
10414:
9202:
10951:
A perfect totient number is an integer that is equal to the sum of its iterated totients. That is, we apply the totient function to a number
11061:
3056:
2404:{\displaystyle \varphi (20)=\varphi (2^{2}5)=20\,(1-{\tfrac {1}{2}})\,(1-{\tfrac {1}{5}})=20\cdot {\tfrac {1}{2}}\cdot {\tfrac {4}{5}}=8.}
11366:
10930:
2994:
13323:
7678:{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\varphi (k)={\frac {3}{\pi ^{2}}}n^{2}+O\left(n(\log n)^{\frac {2}{3}}(\log \log n)^{\frac {1}{3}}\right)}
1421:
822:
11641:
11048:
6111:
5470:
315:
308:
13056:
6581:
12030:
6455:{\displaystyle \varphi (mn)=\varphi (m)\varphi (n)\cdot {\frac {d}{\varphi (d)}}\quad {\text{where }}d=\operatorname {gcd} (m,n)}
6241:
17:
11549:{\displaystyle {\frac {n}{\varphi (n)}}<e^{\gamma }\log \log n+{\frac {e^{\gamma }(4+\gamma -\log 4\pi )}{\sqrt {\log n}}}}
13174:
13069:
12751:
12478:
12307:
389:, and which have no common divisor with it". This definition varies from the current definition for the totient function at
11801:(... aequalis sit multitudini numerorum ipso N minorum, qui simul ad eum sint primi, ...), which is the phi function, φ(N).
9525:
9133:
6092:
9778:. Ribenboim says "The method of proof is interesting, in that the inequality is shown first under the assumption that the
6753:{\displaystyle \varphi (\operatorname {lcm} (m,n))\cdot \varphi (\operatorname {gcd} (m,n))=\varphi (m)\cdot \varphi (n)}
12958:
Untersuchungen uber hohere
Arithmetik (Disquisitiones Arithmeticae & other papers on number theory) (Second edition)
11629:
4975:{\displaystyle \varphi (n)=\sum _{d\mid n}\mu \left(d\right)\cdot {\frac {n}{d}}=n\sum _{d\mid n}{\frac {\mu (d)}{d}},}
9680:{\displaystyle \varphi (n)>{\frac {n}{e^{\gamma }\;\log \log n+{\frac {3}{\log \log n}}}}\quad {\text{for }}n>2}
5148:
13473:
13360:
13230:
13196:
13148:
13030:
12997:
12965:
12944:
12845:
12815:
10801:{\displaystyle {\Big \vert }\{n:\varphi (n)\leq x\}{\Big \vert }={\frac {\zeta (2)\zeta (3)}{\zeta (6)}}\cdot x+R(x)}
5968:
2875:{\displaystyle \varphi (n)={\mathcal {F}}\{\mathbf {x} \}=\sum \limits _{k=1}^{n}\gcd(k,n)e^{-2\pi i{\frac {k}{n}}}.}
1408:
6026:
5093:
812:{\displaystyle \varphi (n)=p_{1}^{k_{1}-1}(p_{1}{-}1)\,p_{2}^{k_{2}-1}(p_{2}{-}1)\cdots p_{r}^{k_{r}-1}(p_{r}{-}1),}
13140:
5923:
3761:
8747:
This is an elementary consequence of the fact that the sum of the reciprocals of the primes congruent to 1 modulo
7268:{\displaystyle \sum _{1\leq k\leq n-1 \atop gcd(k,n)=1}\!\!k={\tfrac {1}{2}}n\varphi (n)\quad {\text{for }}n>1}
11624:
12290:
Ribenboim (1989). "How are the Prime
Numbers Distributed? §I.C The Distribution of Values of Euler's Function".
328:
938:
10118:
13284:
11007:
is a power of an odd prime number the formula for the totient says its totient can be a power of two only if
9481:
8315:
7014:{\displaystyle {\frac {\varphi (n)}{n}}={\frac {\varphi (\operatorname {rad} (n))}{\operatorname {rad} (n)}}}
6300:
2707:{\displaystyle {\mathcal {F}}\{\mathbf {x} \}=\sum \limits _{k=1}^{n}x_{k}\cdot e^{{-2\pi i}{\frac {mk}{n}}}}
2204:
8329:
6210:. The owner of the private key knows the factorization, since an RSA private key is constructed by choosing
13393:
13291:
455:
8720:
2572:{\displaystyle \varphi (20)=\varphi (2^{2}5^{1})=2^{2-1}(2{-}1)\,5^{1-1}(5{-}1)=2\cdot 1\cdot 1\cdot 4=8.}
1587:
1277:{\displaystyle \varphi \left(p^{k}\right)=p^{k}-p^{k-1}=p^{k-1}(p-1)=p^{k}\left(1-{\tfrac {1}{p}}\right).}
13468:
13279:
12772:
11249:
10983:
3950:
413:
13314:
11654:
10912:
9990:
9764:{\displaystyle \varphi (n)<{\frac {n}{e^{\gamma }\log \log n}}\quad {\text{for infinitely many }}n.}
6085:
3735:
Unlike the Euler product and the divisor sum formula, this one does not require knowing the factors of
2587:
2210:
13274:
3824:
618:
11936:
1111:
6496:
3949:, the formula follows. Equivalently, the formula can be derived by the same argument applied to the
13222:
12397:
8608:
5038:
8914:
8901:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}}
8459:{\displaystyle \sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,n)=1}}\!\!\!\!\gcd(k-1,n)=\varphi (n)d(n),}
4832:
fractions with denominator 5, etc. Thus the set of twenty fractions is split into subsets of size
13488:
13447:
13442:
13097:
13061:
11941:
11634:
8509:
4994:
3958:
2591:
265:
188:
113:
5000:
4683:. The fractions with 20 as denominator are those with numerators relatively prime to 20, namely
13483:
10946:
10908:
10304:
9067:{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)q^{n}}{1-q^{n}}}={\frac {q}{(1-q)^{2}}}}
6165:
435:
11921:
142:
13437:
13353:
12875:
11612:
10977:
8795:
8694:
7039:
7031:
6836:
6227:
13320:
13214:
8558:
12987:
12953:
12928:
12912:
11833:
9509:
6107:
304:
13240:
13206:
13158:
13040:
13007:
12920:
12855:
12719:
12669:
12496:
12428:
12038:
10672:
If counted accordingly to multiplicity, the number of totient numbers up to a given limit
8665:
7135:{\displaystyle \sum _{d\mid n}{\frac {\mu ^{2}(d)}{\varphi (d)}}={\frac {n}{\varphi (n)}}}
8:
13411:
13215:
12936:
11786:
11607:
11578:
912:
12121:
Pollack, P. (2023), "Two problems on the distribution of
Carmichael's lambda function",
4855:
2203:
An alternative proof that does not require the multiplicative property instead uses the
12900:
12807:
12456:
12130:
12053:
11424:
9779:
9775:
8750:
8645:
8588:
8538:
6003:
918:
361:
319:
4990:
3128:
2981:{\displaystyle \varphi (n)=\sum \limits _{k=1}^{n}\gcd(k,n)\cos {\tfrac {2\pi k}{n}}.}
13333:
13226:
13192:
13170:
13144:
13121:
13101:
13065:
13026:
12993:
12961:
12940:
12892:
12841:
12811:
12801:
12793:
12747:
12707:
12657:
12484:
12474:
12416:
12303:
10394:{\displaystyle \left\{{\frac {\varphi (n+1)}{\varphi (n)}},\;\;n=1,2,\ldots \right\}}
9372:{\displaystyle {\frac {6}{\pi ^{2}}}<{\frac {\varphi (n)\sigma (n)}{n^{2}}}<1,}
13478:
13346:
13236:
13202:
13154:
13036:
13003:
12916:
12884:
12851:
12715:
12665:
12492:
12466:
12424:
12406:
12295:
12258:
12140:
12101:
12068:
12034:
11617:
10652:{\displaystyle {\frac {x}{\log x}}e^{{\big (}C+o(1){\big )}(\log \log \log x)^{2}}}
10300:
9274:
8780:
8471:
6125:
6017:
1561:
corresponds to the empty product.) Repeatedly using the multiplicative property of
99:
11306:
exists, it must be odd, square-free, and divisible by at least seven primes (i.e.
10086:{\displaystyle O\left(n(\log n)^{\frac {2}{3}}(\log \log n)^{\frac {1}{3}}\right)}
13327:
13309:
13188:
13132:
13022:
12908:
12829:
12797:
12246:
11770:
11072:
9090:
Both of these are proved by elementary series manipulations and the formulae for
6121:
12470:
12299:
13014:
12982:
12575:
12022:
11895:
11868:
are seen in the literature. These are two forms of the lower-case Greek letter
10097:
9986:
8950:
5090:. This formula may also be derived from the product formula by multiplying out
372:
323:
39:
12626:
Cohen, Graeme L.; Hagis, Peter Jr. (1980). "On the number of prime factors of
12106:
12089:
11758:
11033:
is a product of distinct Fermat primes and any power of 2. The first few such
6828:{\textstyle \operatorname {lcm} (m,n)\cdot \operatorname {gcd} (m,n)=m\cdot n}
13462:
13117:
12974:
12896:
12837:
12711:
12661:
12488:
12420:
12263:
11649:
9994:
3968:
The formula can also be derived from elementary arithmetic. For example, let
3739:. However, it does involve the calculation of the greatest common divisor of
87:
12072:
11062:
Prime number theorem § Prime number theorem for arithmetic progressions
9262:
These two formulae can be proved by using little more than the formulae for
13432:
13051:
12978:
12411:
12392:
11274:
11041:
2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30, 32, 34, 40,... (sequence
11019:
11018:
is a power of 2. The primes that are one more than a power of 2 are called
9466:{\displaystyle \lim \inf {\frac {\varphi (n)}{n}}\log \log n=e^{-\gamma }.}
3842:
1539:
610:
599:{\displaystyle \varphi (n)=n\prod _{p\mid n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right),}
489:
13249:
13183:
Sándor, József; Mitrinović, Dragoslav S.; Crstici, Borislav, eds. (2006),
10104:
stands for a quantity that is bounded by a constant times the function of
13047:
12744:
Equivalents of the
Riemann Hypothesis, Volume One: Arithmetic Equivalents
10478:{\displaystyle \left\{{\frac {\varphi (n)}{n}},\;\;n=1,2,\ldots \right\}}
6203:
5909:
9252:{\displaystyle {\frac {\varphi (n)}{n^{1-\delta }}}\rightarrow \infty .}
13427:
10536:
417:, although Gauss did not use parentheses around the argument and wrote
12904:
12145:
12029:. Mathematische Forschungsberichte (in German). Vol. 16. Berlin:
12825:
11592:
10405:
10119:
the probability of two randomly chosen numbers being relatively prime
1093:
13292:
Euler's Phi
Function and the Chinese Remainder Theorem — proof that
11765:(New Memoirs of the Saint-Petersburg Imperial Academy of Sciences),
3113:{\displaystyle \cos {\tfrac {2\pi }{5}}={\tfrac {{\sqrt {5}}-1}{4}}}
13338:
13315:
Euler's totient function calculator in JavaScript — up to 20 digits
13250:"The Fourier transform of functions of the greatest common divisor"
12888:
12836:, MIT Press Series in the Foundations of Computing, Cambridge, MA:
12135:
11055:
10915:. Indeed, each multiplicity that occurs, does so infinitely often.
3904:
3046:{\displaystyle \cos {\tfrac {\pi }{5}}={\tfrac {{\sqrt {5}}+1}{4}}}
207:
12461:
11912:
J. J. Sylvester (1879) "On certain ternary cubic-form equations",
2251:, excluding the sets of integers divisible by the prime divisors.
484:. It counts the number of positive integers less than or equal to
13105:
11216:
The security of an RSA system would be compromised if the number
3975:
and consider the positive fractions up to 1 with denominator 20:
1506:{\displaystyle n=p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}\cdots p_{r}^{k_{r}},}
1061:
13125:
11763:
9290:
In fact, during the proof of the second formula, the inequality
6230:
we have the guarantee that no one else knows the factorization.
904:{\displaystyle n=p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}\cdots p_{r}^{k_{r}}}
11077:
Setting up an RSA system involves choosing large prime numbers
11785:, series 1, volume 2 (Leipzig, Germany, B. G. Teubner, 1915),
10096:(this is currently the best known estimate of this type). The
5476:
13021:, Problem Books in Mathematics (3rd ed.), New York, NY:
12294:(2nd ed.). New York: Springer-Verlag. pp. 172–175.
8500:
6640:{\displaystyle \varphi \left(n^{m}\right)=n^{m-1}\varphi (n)}
408:
10408:
in the positive real numbers. They also proved that the set
9989:, its proof exploiting estimates on exponential sums due to
997:
The proof of these formulae depends on two important facts.
12604:
Gauss, DA, art. 366. This list is the last sentence in the
11834:
Speculationes circa quasdam insignes proprietates numerorum
11043:
6563:
6289:{\displaystyle a\mid b\implies \varphi (a)\mid \varphi (b)}
5465:
46:
12247:"Approximate formulas for some functions of prime numbers"
12222:, thm.7) and Mertens' third theorem is all that is needed.
10907:
solutions; this result had previously been conjectured by
3841:
is also equal to the number of possible generators of the
1117:
11869:
10992:-gon can be constructed with straightedge and compass if
107:
32:
13321:
The Euler
Totient, the Möbius, and the Divisor Functions
13182:
12933:
12834:
Algorithmic Number Theory (Vol I: Efficient Algorithms)
12027:
Weylsche Exponentialsummen in der neueren Zahlentheorie
11920: : 357-393; Sylvester coins the term "totient" on
11137:(the "encryption key") are released to the public, and
8767:
diverges, which itself is a corollary of the proof of
7320:
7224:
6767:
5151:
5096:
4632:
4616:
4600:
4584:
4568:
4552:
4536:
4520:
4504:
4488:
4472:
4456:
4440:
4424:
4408:
4392:
4376:
4360:
4344:
4328:
4290:
4274:
4258:
4242:
4226:
4210:
4194:
4178:
4162:
4146:
4130:
4114:
4098:
4082:
4066:
4050:
4034:
4018:
4002:
3986:
3747:, which suffices to provide the factorization anyway.
3664:
3625:
3586:
3544:
3472:
3430:
3388:
3349:
3313:
3263:
3219:
3175:
3087:
3067:
3020:
3005:
2956:
2384:
2369:
2345:
2320:
1255:
11436:
10685:
10557:
10417:
10316:
10156:
10006:
9794:
9699:
9584:
9565:{\displaystyle \lim \inf {\frac {\varphi (n)}{n}}=0.}
9528:
9401:
9299:
9205:
9176:{\displaystyle \lim \sup {\frac {\varphi (n)}{n}}=1,}
9136:
8962:
8917:
8807:
8753:
8723:
8697:
8668:
8648:
8611:
8591:
8561:
8541:
8512:
8343:
8083:
7915:
7692:
7532:
7282:
7150:
7052:
6939:
6656:
6584:
6472:
6352:
6303:
6244:
6214:
as the product of two (randomly chosen) large primes
6146:
is the (public) encryption exponent, is the function
6029:
5926:
5210:
5041:
5003:
4867:
4326:
3984:
3764:
3126:
3059:
2997:
2894:
2755:
2603:
2424:
2265:
2213:
2200:
This gives both versions of Euler's product formula.
1585:
1424:
1142:
941:
921:
825:
630:
532:
499:
396:
but is otherwise the same. The now-standard notation
367:
331:
145:
116:
12973:
12447:
Ford, Kevin (1998). "The distribution of totients".
11029:-gon has a straightedge-and-compass construction if
10500:
is a value of Euler's totient function: that is, an
13112:Pettofrezzo, Anthony J.; Byrkit, Donald R. (1970),
10108:inside the parentheses (which is small compared to
1402:
1000:
94:counts the positive integers up to a given integer
12865:Ford, Kevin (1999), "The number of solutions of φ(
12087:
11933:
11809:
11807:
11761:" (An arithmetic theorem proved by a new method),
11548:
10800:
10651:
10544:The number of totient numbers up to a given limit
10477:
10393:
10288:
10085:
9974:
9782:is true, secondly under the contrary assumption."
9763:
9679:
9564:
9465:
9371:
9251:
9175:
9066:
8938:
8900:
8759:
8735:
8709:
8683:
8654:
8634:
8597:
8573:
8547:
8527:
8458:
8300:
8067:
7899:
7677:
7516:
7267:
7134:
7013:
6827:
6752:
6639:
6569:
6454:
6337:
6288:
6069:
5959:
5448:
5194:
5137:
5069:
5027:
4974:
4645:
4306:
3804:
3727:
3112:
3045:
2980:
2874:
2706:
2571:
2403:
2243:
2189:
1505:
1276:
986:
927:
903:
811:
598:
352:
160:
131:
13254:Electronic Journal of Combinatorial Number Theory
13111:
11732:
11708:
10725:
10688:
9109:In the words of Hardy & Wright, the order of
8401:
8400:
8399:
8398:
7216:
7215:
5195:{\textstyle \sum _{d\mid n}{\frac {\mu (d)}{d}}.}
27:Number of integers coprime to and not exceeding n
13460:
12792:
12322:Sándor, Mitrinović & Crstici (2006) pp.24–25
12244:
11793:as the number of integers that are smaller than
11231:could be efficiently computed without factoring
11056:Prime number theorem for arithmetic progressions
10228:
10225:
10164:
10161:
9532:
9529:
9405:
9402:
9140:
9137:
8402:
8352:
4849:dividing 20. A similar argument applies for any
3288:
3238:
3194:
3150:
2931:
2822:
442:for this function, so it is also referred to as
12245:Rosser, J. Barkley; Schoenfeld, Lowell (1962).
11804:
11759:Theoremata arithmetica nova methodo demonstrata
10911:, and it had been obtained as a consequence of
10534:is the number of solutions to this equation. A
5138:{\textstyle \prod _{p\mid n}(1-{\frac {1}{p}})}
1294:is a prime number, the only possible values of
172:. In other words, it is the number of integers
12960:, translated by Maser, H., New York: Chelsea,
12746:(First ed.). Cambridge University Press.
11192:. Euler's Theorem can be used to show that if
10142:
8769:Dirichlet's theorem on arithmetic progressions
6124:is based on this theorem: it implies that the
6070:{\displaystyle a^{\varphi (n)}\equiv 1\mod n.}
13354:
13212:
12992:(2nd ed.), Reading, MA: Addison-Wesley,
12935:, translated by Clarke, Arthur A., New York:
11900:A History Of Mathematical Notations Volume II
11375:with the property that for all other numbers
10608:
10583:
7037:(the product of all distinct primes dividing
5960:{\displaystyle \varphi (n)\geq {\sqrt {n/2}}}
3805:{\displaystyle \sum _{d\mid n}\varphi (d)=n,}
12360:Sándor, Mitrinović & Crstici (2006) p.16
11779:Leonhardi Euleri Commentationes Arithmeticae
10720:
10693:
6164:, the (private) decryption exponent, is the
5916:other than one, and attained if and only if
4656:These twenty fractions are all the positive
3815:where the sum is over all positive divisors
2786:
2778:
2619:
2611:
2238:
2214:
13046:
12824:
12442:
12440:
12438:
12331:
12231:
12219:
12206:
12194:
12182:
12170:
12158:
11995:
5920:is a prime number. A simple lower bound is
2418:The alternative formula uses only integers:
1060:be the sets of positive integers which are
31:"φ(n)" redirects here. For other uses, see
13361:
13347:
13213:Sándor, Jozsef; Crstici, Borislav (2004).
13078:Liu, H.-Q. (2016), "On Euler's function",
12683:Hagis, Peter Jr. (1988). "On the equation
12625:
12017:
12015:
12013:
11630:Generalizations of Fermat's little theorem
11360:
11335:. Further, Hagis showed that if 3 divides
10940:
10448:
10447:
10364:
10363:
9616:
9519:goes to infinity, this formula shows that
8501:Divisibility by any fixed positive integer
6258:
6254:
5473:) are shown in the table and graph below:
518:
353:{\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }
206:of this form are sometimes referred to as
13131:
12526:
12524:
12460:
12410:
12368:
12366:
12289:
12285:
12283:
12262:
12144:
12134:
12105:
11277:asked if there are any composite numbers
8135:
7967:
6060:
6059:
4858:applied to the divisor sum formula gives
4630:
4614:
4598:
4582:
4566:
4550:
4534:
4518:
4502:
4486:
4470:
4454:
4438:
4422:
4406:
4390:
4374:
4358:
4342:
4288:
4272:
4256:
4240:
4224:
4208:
4192:
4176:
4160:
4144:
4128:
4112:
4096:
4080:
4064:
4048:
4032:
4016:
4000:
2505:
2334:
2309:
1640:
987:{\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots ,p_{r}}
698:
504:There are several formulae for computing
346:
333:
13164:
13094:Elementary Introduction to Number Theory
13057:An Introduction to the Theory of Numbers
12741:
12435:
12356:
12354:
12344:
12342:
12340:
11991:
11989:
11745:
11642:Multiplicative group of integers modulo
11367:Carmichael's totient function conjecture
11141:(the "decryption key") is kept private.
10931:Carmichael's totient function conjecture
10307:strengthened this, proving that the set
9508:Proving this does not quite require the
6112:multiplicative group of integers modulo
5475:
4676:≤ 1 whose denominators are the divisors
3755:The property established by Gauss, that
385:for "the multitude of numbers less than
309:multiplicative group of integers modulo
253:the only integer in the range from 1 to
45:
13247:
13221:. Dordrecht: Kluwer Academic. pp.
13167:The early mathematics of Leonhard Euler
12384:
12316:
12120:
12083:
12081:
12054:"The scientific work of Arnold Walfisz"
12051:
12031:VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften
12021:
12010:
11954:
11409:
11317:). In 1980 Cohen and Hagis proved that
11066:
10933:is the statement that there is no such
8911:where the left-hand side converges for
8774:
6338:{\displaystyle m\mid \varphi (a^{m}-1)}
1118:Value of phi for a prime power argument
609:where the product is over the distinct
106:. It is written using the Greek letter
61:. The points on the top line represent
14:
13461:
12726:
12570:satisfies certain conditions then the
12521:
12363:
12280:
11902:. Open Court Publishing Company. §409.
11894:
11427:is true if and only if the inequality
11243:
10117:This result can be used to prove that
8535:in the arithmetic progressions modulo
5967:, which is rather loose: in fact, the
3823:, can be proven in several ways. (See
13342:
12952:
12927:
12682:
12557:Gauss, DA. The 7th § is arts. 336–366
12542:
12533:
12512:
12503:
12390:
12375:
12351:
12337:
11986:
11418:
11144:A message, represented by an integer
10846:It is known that the multiplicity of
6226:is publicly disclosed, and given the
6194:without knowing the factorization of
3743:and every positive integer less than
13368:
13137:The New Book of Prime Number Records
13091:
12864:
12446:
12078:
11720:
11696:
11371:This states that there is no number
11238:
11220:could be efficiently factored or if
10871:
8736:{\displaystyle x\rightarrow \infty }
6198:is thus the difficulty of computing
2581:
1393:numbers are all relatively prime to
360:). It is also used for defining the
13077:
13013:
12990:: a foundation for computer science
11302:In 1933 he proved that if any such
9774:The second inequality was shown by
8323:
5897:In the graph at right the top line
4825:fractions with denominator 10, and
2911:
2802:
2635:
24:
13019:Unsolved Problems in Number Theory
12803:Handbook of Mathematical Functions
12007:Dineva (in external refs), prop. 1
10889:: that is, for which the equation
10491:
10276:
9966:
9243:
8979:
8918:
8824:
8730:
7156:
6228:difficulty to factor large numbers
5997:
2773:
2606:
500:Computing Euler's totient function
368:History, terminology, and notation
25:
13500:
13334:Summing Up The Euler Phi Function
13267:
13080:Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A
12574:-gon can be constructed. In 1837
12548:Sándor & Crstici (2004) p.228
12539:Sándor & Crstici (2004) p.229
12381:Sándor & Crstici (2004) p.230
10866:
8585:For every fixed positive integer
6233:
6206:which can be solved by factoring
2885:The real part of this formula is
2244:{\displaystyle \{1,2,\ldots ,n\}}
1409:fundamental theorem of arithmetic
12784:are of the form Gauss, DA, art.
12292:The Book of Prime Number Records
10504:for which there is at least one
10488:is dense in the interval (0,1).
5971:of the graph is proportional to
4818:fractions. Similarly, there are
2782:
2615:
1403:Proof of Euler's product formula
1377:such multiples not greater than
1001:Phi is a multiplicative function
458:is a generalization of Euler's.
12735:
12676:
12619:
12610:
12598:
12589:
12586:must satisfy Gauss's conditions
12560:
12551:
12451:. Developments in Mathematics.
12325:
12271:
12237:
12225:
12212:
12200:
12188:
12176:
12164:
12152:
12114:
12090:"On an error term of Landau II"
12088:Sitaramachandrarao, R. (1985).
12045:
12001:
11977:
11968:
11959:
11948:
11927:
11914:American Journal of Mathematics
11906:
11888:
11875:
11840:
11825:
11655:Totient summatory function (𝛷)
10966:
10215:
9954:
9785:For the average order, we have
9749:
9662:
8794:may be written in terms of the
8334:In 1965 P. Kesava Menon proved
7250:
6419:
6055:
5463:The first 100 values (sequence
12277:Bach & Shallit, thm. 8.8.7
11974:Gauss, DA art. 39, arts. 52-54
11816:
11774:
11751:
11738:
11733:Pettofrezzo & Byrkit (1970
11726:
11714:
11709:Pettofrezzo & Byrkit (1970
11702:
11690:
11666:
11529:
11502:
11452:
11446:
10874:proved that for every integer
10795:
10789:
10771:
10765:
10757:
10751:
10745:
10739:
10711:
10705:
10638:
10613:
10603:
10597:
10435:
10429:
10354:
10348:
10340:
10328:
10263:
10257:
10249:
10237:
10199:
10193:
10185:
10173:
10064:
10045:
10031:
10018:
9963:
9935:
9916:
9902:
9889:
9840:
9834:
9819:
9813:
9804:
9798:
9709:
9703:
9594:
9588:
9547:
9541:
9420:
9414:
9344:
9338:
9332:
9326:
9240:
9218:
9212:
9155:
9149:
9104:
9052:
9039:
8996:
8990:
8927:
8921:
8892:
8886:
8878:
8866:
8841:
8835:
8727:
8678:
8672:
8629:
8623:
8616:
8522:
8516:
8450:
8444:
8438:
8432:
8423:
8405:
8367:
8355:
8274:
8261:
8145:
8139:
8120:
8114:
8046:
8033:
7977:
7971:
7952:
7946:
7878:
7859:
7845:
7832:
7771:
7765:
7726:
7720:
7656:
7637:
7623:
7610:
7563:
7557:
7495:
7476:
7462:
7449:
7372:
7366:
7313:
7307:
7247:
7241:
7202:
7190:
7126:
7120:
7102:
7096:
7088:
7082:
7005:
6999:
6988:
6985:
6979:
6970:
6952:
6946:
6810:
6798:
6786:
6774:
6747:
6741:
6732:
6726:
6717:
6714:
6702:
6693:
6684:
6681:
6669:
6660:
6634:
6628:
6542:
6536:
6511:
6505:
6485:
6476:
6449:
6437:
6413:
6407:
6392:
6386:
6380:
6374:
6365:
6356:
6332:
6313:
6283:
6277:
6268:
6262:
6255:
6183:. The difficulty of computing
6044:
6038:
5936:
5930:
5458:
5348:
5342:
5327:
5321:
5306:
5300:
5285:
5279:
5264:
5258:
5243:
5237:
5224:
5218:
5180:
5174:
5132:
5113:
5058:
5045:
5013:
5007:
4960:
4954:
4877:
4871:
3790:
3784:
3750:
3705:
3699:
3687:
3660:
3648:
3621:
3609:
3579:
3567:
3537:
3516:
3507:
3495:
3465:
3453:
3423:
3411:
3384:
3372:
3345:
3303:
3291:
3253:
3241:
3209:
3197:
3165:
3153:
3140:
3134:
2946:
2934:
2904:
2898:
2837:
2825:
2795:
2789:
2765:
2759:
2628:
2622:
2536:
2522:
2502:
2488:
2466:
2443:
2434:
2428:
2356:
2335:
2331:
2310:
2300:
2284:
2275:
2269:
1703:
1678:
1669:
1644:
1637:
1612:
1599:
1593:
1227:
1215:
803:
782:
748:
727:
695:
674:
640:
634:
542:
536:
268:, meaning that if two numbers
264:Euler's totient function is a
217:For example, the totatives of
155:
149:
126:
120:
13:
1:
12764:
12218:In fact Chebyshev's theorem (
11822:Graham et al. p. 133 note 111
11789:. On page 531, Euler defines
11177:It is decrypted by computing
10963:is a perfect totient number.
8635:{\displaystyle q|\varphi (n)}
8493:is the number of divisors of
5480:Graph of the first 100 values
5070:{\displaystyle \mu (p^{k})=0}
3827:for notational conventions.)
2205:inclusion-exclusion principle
1418:there is a unique expression
994:are distinct prime numbers).
624:An equivalent formulation is
50:The first thousand values of
13217:Handbook of number theory II
12582:-gon is constructible, then
12578:proved the converse, if the
11783:Leonhardi Euleri Opera Omnia
11159:, is encrypted by computing
10988:Gauss proves that a regular
10971:
8939:{\displaystyle \Re (s)>2}
6870:distinct odd prime factors,
6761:Compare this to the formula
4317:Put them into lowest terms:
3951:multiplicative group of the
202:is equal to 1. The integers
76:is a prime number, which is
7:
13414:(reduced totient function)
13280:Encyclopedia of Mathematics
13185:Handbook of number theory I
13096:(2nd ed.), Lexington:
12773:Disquisitiones Arithmeticae
12471:10.1007/978-1-4757-4507-8_8
12300:10.1007/978-1-4684-0507-1_5
11883:Disquisitiones Arithmeticae
11625:Duffin–Schaeffer conjecture
11601:
10982:In the last section of the
10922:is known with multiplicity
10143:Ratio of consecutive values
8528:{\displaystyle \varphi (n)}
1321:, and the only way to have
423:. Thus, it is often called
414:Disquisitiones Arithmeticae
276:are relatively prime, then
132:{\displaystyle \varphi (n)}
10:
13505:
13248:Schramm, Wolfgang (2008),
13165:Sandifer, Charles (2007),
13139:(3rd ed.), New York:
13060:(Fifth ed.), Oxford:
11674:"Euler's totient function"
11613:Dedekind psi function (𝜓)
11364:
11247:
11110:, and finding two numbers
11070:
11059:
10975:
10944:
10881:there is a totient number
10147:In 1950 Somayajulu proved
9190:goes to infinity, for all
8327:
6001:
5028:{\displaystyle \mu (p)=-1}
3927:is generated by precisely
3830:One proof is to note that
2588:discrete Fourier transform
2254:
303:. This function gives the
29:
13394:Jordan's totient function
13374:
13332:Plytage, Loomis, Polhill
13114:Elements of Number Theory
12107:10.1216/RMJ-1985-15-2-579
11983:Graham et al. pp. 134-135
11937:Oxford English Dictionary
10856:infinitely often for any
9752:for infinitely many
8316:Euler–Mascheroni constant
3892:. Since every element of
3884:is a generator for every
3855: ; specifically, if
1112:Chinese remainder theorem
226:gcd(9, 3) = gcd(9, 6) = 3
168:, and may also be called
13474:Multiplicative functions
13379:Euler's totient function
13092:Long, Calvin T. (1972),
12742:Broughan, Kevin (2017).
12518:Sándor et al (2006) p.21
12509:Sándor et al (2006) p.22
12398:Journal of Number Theory
11797:and relatively prime to
11660:
11250:Lehmer's totient problem
4811:; by definition this is
1076:, respectively, so that
444:Euler's totient function
161:{\displaystyle \phi (n)}
92:Euler's totient function
38:Not to be confused with
13448:Sparsely totient number
13443:Highly cototient number
13098:D. C. Heath and Company
13062:Oxford University Press
12821:. See paragraph 24.3.2.
12391:Zhang, Mingzhi (1993).
12332:Hardy & Wright 1979
12232:Hardy & Wright 1979
12220:Hardy & Wright 1979
12207:Hardy & Wright 1979
12195:Hardy & Wright 1979
12183:Hardy & Wright 1979
12171:Hardy & Wright 1979
12159:Hardy & Wright 1979
12073:10.4064/aa-10-3-227-237
11996:Hardy & Wright 1979
11942:Oxford University Press
11635:Highly composite number
11608:Carmichael function (λ)
11361:Carmichael's conjecture
10941:Perfect totient numbers
10913:Schinzel's hypothesis H
9575:In fact, more is true.
8953:generating function is
8710:{\displaystyle n\leq x}
6202:: this is known as the
6086:Fermat's little theorem
6080:The special case where
4995:multiplicative function
1383:. Therefore, the other
1092:, etc. Then there is a
519:Euler's product formula
488:that have at least one
379:to denote it: he wrote
266:multiplicative function
189:greatest common divisor
12412:10.1006/jnth.1993.1014
12264:10.1215/ijm/1255631807
12094:Rocky Mountain J. Math
11550:
10947:Perfect totient number
10802:
10653:
10479:
10395:
10290:
10087:
9976:
9765:
9681:
9566:
9467:
9373:
9253:
9177:
9068:
8983:
8940:
8902:
8828:
8761:
8737:
8711:
8685:
8662:, meaning for all but
8656:
8636:
8599:
8575:
8574:{\displaystyle q>1}
8549:
8529:
8460:
8302:
8104:
8069:
7936:
7901:
7758:
7713:
7679:
7553:
7518:
7362:
7303:
7269:
7136:
7015:
6829:
6754:
6641:
6571:
6456:
6339:
6290:
6166:multiplicative inverse
6071:
5961:
5481:
5450:
5196:
5139:
5071:
5029:
4976:
4647:
4308:
3806:
3729:
3114:
3047:
2982:
2930:
2876:
2821:
2708:
2654:
2594:, evaluated at 1. Let
2573:
2405:
2245:
2191:
1507:
1278:
988:
929:
905:
813:
600:
354:
239:. As another example,
162:
133:
83:
18:Euler totient function
13438:Highly totient number
12954:Gauss, Carl Friedrich
12929:Gauss, Carl Friedrich
12876:Annals of Mathematics
12616:Ribenboim, pp. 36–37.
11551:
11011:is a first power and
10978:Constructible polygon
10811:where the error term
10803:
10654:
10480:
10396:
10291:
10088:
9977:
9766:
9682:
9567:
9468:
9374:
9254:
9178:
9069:
8963:
8941:
8903:
8808:
8796:Riemann zeta function
8762:
8738:
8712:
8686:
8657:
8642:holds for almost all
8637:
8600:
8576:
8550:
8530:
8461:
8303:
8084:
8070:
7916:
7902:
7738:
7693:
7680:
7533:
7519:
7342:
7283:
7270:
7137:
7016:
6837:least common multiple
6830:
6755:
6642:
6572:
6457:
6340:
6291:
6084:is prime is known as
6072:
5962:
5479:
5451:
5197:
5140:
5072:
5030:
4977:
4648:
4309:
3825:Arithmetical function
3807:
3730:
3115:
3048:
2983:
2910:
2877:
2801:
2709:
2634:
2574:
2406:
2246:
2192:
1508:
1279:
989:
930:
906:
814:
619:Arithmetical function
617:. (For notation, see
601:
362:RSA encryption system
355:
163:
134:
49:
13116:, Englewood Cliffs:
12988:Concrete Mathematics
12052:Lomadse, G. (1964),
11618:Divisor function (σ)
11593:product of the first
11434:
11067:The RSA cryptosystem
11003:is a power of 2. If
10815:is of order at most
10683:
10555:
10530:of a totient number
10415:
10314:
10154:
10004:
9792:
9697:
9582:
9526:
9510:prime number theorem
9399:
9297:
9275:divisor sum function
9203:
9134:
9077:which converges for
8960:
8915:
8805:
8775:Generating functions
8751:
8721:
8695:
8684:{\displaystyle o(x)}
8666:
8646:
8609:
8589:
8559:
8539:
8510:
8341:
8081:
7913:
7690:
7530:
7280:
7148:
7050:
6937:
6765:
6654:
6582:
6470:
6350:
6301:
6242:
6027:
6008:This states that if
5924:
5208:
5149:
5094:
5039:
5001:
4865:
4681:= 1, 2, 4, 5, 10, 20
4324:
3982:
3907:, and each subgroup
3762:
3124:
3057:
2995:
2892:
2753:
2601:
2422:
2263:
2211:
1583:
1565:and the formula for
1422:
1140:
939:
919:
823:
628:
530:
425:Euler's phi function
329:
170:Euler's phi function
143:
114:
13412:Carmichael function
11244:Lehmer's conjecture
10918:However, no number
9120:is "always 'nearly
5505:
3903:generates a cyclic
2991:For example, using
2586:The totient is the
2207:applied to the set
1962:
1937:
1915:
1850:
1792:
1737:
1702:
1668:
1636:
1499:
1474:
1452:
1005:This means that if
913:prime factorization
900:
875:
853:
781:
726:
673:
13469:Modular arithmetic
13326:2021-01-16 at the
13308:2021-02-28 at the
13275:"Totient function"
12808:Dover Publications
12780:References to the
12595:Gauss, DA, art 366
11546:
11425:Riemann hypothesis
11419:Riemann hypothesis
11299:. None are known.
10798:
10649:
10475:
10391:
10286:
10284:
10083:
9972:
9780:Riemann hypothesis
9776:Jean-Louis Nicolas
9761:
9677:
9562:
9463:
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9249:
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