542:
1840:
4914:
2353:
7895:
6077:
5236:
8066:
6225:
7653:
6404:
8443:
8298:
4433:
5885:
4833:
5328:
5072:
8802:
7139:
6616:
7029:
7942:
7360:
2750:
1051:
6499:
5502:
5418:
5817:
5760:
5703:
5646:
5877:
1465:
530:
2267:
6081:
1304:
397:
7890:{\displaystyle H_{m+n-1}(F)\xrightarrow {i_{*}} H_{m+n-1}(E)\xrightarrow {f_{*}} H_{m+n-1}(B)\xrightarrow {\tau } H_{m+n-2}(F)\xrightarrow {i^{*}} \cdots \xrightarrow {f_{*}} H_{1}(B)\to 0.}
1514:
4709:
1245:
334:
228:
2037:
2000:
748:
9156:
5534:
6290:
2163:
5064:
2942:
1615:
5569:
1678:
4515:
4068:
3852:
1914:
1830:
1784:
1738:
1348:
1109:
3597:
3190:
1197:
458:
177:
4210:
3098:
2559:
279:
8108:
4111:
3232:
2889:
1545:
7365:
Fibrations do not yield long exact sequences in homology, as they do in homotopy. But under certain conditions, fibrations provide exact sequences in homology. For a fibration
6668:
3691:
3644:
8302:
2606:
6783:
6740:
4554:
3785:
3367:
3142:
9045:
8649:
8483:
8163:
7395:
7189:
4962:
4884:
4623:
4152:
3982:
3942:
3887:
3819:
3750:
2790:
2466:
2108:
2076:
1385:
1147:
917:
838:
791:
587:
96:
7935:
3413:
9181:
9070:
7645:
7571:
7461:
4343:
3025:
2498:
7613:
7539:
6072:{\displaystyle \cdots \rightarrow \pi _{n}(S^{1},x_{0})\rightarrow \pi _{n}(S^{3},x_{0})\rightarrow \pi _{n}(S^{2},b_{0})\rightarrow \pi _{n-1}(S^{1},x_{0})\rightarrow }
4999:
4035:
3488:
2398:
With the pathspace construction, any continuous mapping can be extended to a fibration by enlarging its domain to a homotopy equivalent space. This fibration is called
9006:
7497:
6809:
6697:
4673:
3436:
2307:
1966:
1940:
8944:
4574:
4295:
943:
873:
8600:
6919:
4178:
3514:
3309:
3051:
2843:
2524:
687:
7242:
6892:
6865:
6838:
6282:
6255:
4650:
4266:
3259:
2969:
2817:
2430:
2384:
4239:
8151:
7418:
7212:
3545:
3332:
2644:
610:
9090:
8964:
8924:
8898:
8831:
8574:
8554:
8526:
8503:
8128:
4904:
4749:
4729:
4456:
4335:
4315:
4002:
3907:
3714:
3279:
2993:
2347:
2327:
1864:
1564:
654:
630:
417:
120:
8675:
4757:
5231:{\displaystyle \cdots \rightarrow \pi _{n}(F,x_{0})\rightarrow \pi _{n}(E,x_{0})\rightarrow \pi _{n}(B,b_{0})\rightarrow \pi _{n-1}(F,x_{0})\rightarrow }
5240:
8680:
7034:
4920:
The bottom row is a sequence of fibrations and the vertical mappings are weak homotopy equivalences. Principal fibrations play an important role in
6511:
8061:{\displaystyle H_{k}(\Omega S^{n})={\begin{cases}\mathbb {Z} &\exists q\in \mathbb {Z} \colon k=q(n-1)\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}.}
6927:
7250:
2653:
948:
6420:
7159:
connects the (co-)homology of the total space and the fiber with the (co-)homology of the base space of a fibration. For a fibration
5423:
5339:
5766:
5709:
5652:
5595:
5829:
1400:
463:
2168:
9372:
9237:
6220:{\displaystyle \cdots \rightarrow \pi _{1}(S^{1},x_{0})\rightarrow \pi _{1}(S^{3},x_{0})\rightarrow \pi _{1}(S^{2},b_{0}).}
3910:
1250:
343:
9449:
9409:
9296:
1470:
4678:
1202:
284:
185:
6399:{\displaystyle 0\rightarrow \pi _{i}(S^{3})\rightarrow \pi _{i}(S^{2})\rightarrow \pi _{i-1}(S^{1})\rightarrow 0.}
2005:
1971:
692:
9102:
5507:
2113:
5004:
2894:
1569:
6921:
are contractible to a point. Further the short exact sequences split and there are families of isomorphisms:
5539:
1630:
4461:
4040:
3824:
1873:
1789:
1743:
1697:
1309:
1076:
3552:
3147:
1152:
422:
132:
4183:
3056:
2532:
233:
9522:
9517:
9401:
8438:{\displaystyle \cdots \to H^{q}(E)\xrightarrow {i^{*}} H^{q}(F)\to H^{q-n+1}(F)\to H^{q+1}(E)\to \cdots }
8074:
4268:
in the base space, is a fibration. Specifically it is the pullback fibration of the pathspace fibration
4077:
3198:
2855:
1519:
9441:
9288:
8293:{\displaystyle \cdots \to H_{q}(F)\xrightarrow {i_{*}} H_{q}(E)\to H_{q-n}(F)\to H_{q-1}(F)\to \cdots }
6624:
3649:
3602:
2564:
6745:
6702:
4520:
3755:
3337:
3103:
99:
9018:
8605:
8456:
7983:
7368:
7162:
4935:
4857:
4579:
4428:{\displaystyle \cdots \to F_{j}\to F_{i}\xrightarrow {j} F_{p}\xrightarrow {i} E\xrightarrow {p} B.}
4116:
3955:
3915:
3860:
3792:
3723:
2759:
2439:
2081:
2049:
1358:
1120:
877:
811:
764:
560:
69:
7907:
3372:
1070:
9164:
9053:
7618:
7544:
7430:
7156:
2998:
2471:
7576:
7502:
4971:
4007:
9392:
3454:
8969:
7466:
6788:
6673:
4655:
3418:
2276:
1945:
1919:
9317:
9229:
9192:
8929:
6414:
4559:
4271:
2846:
1618:
922:
849:
8579:
6897:
4157:
3493:
3284:
3030:
2822:
2503:
666:
9093:
8533:
7220:
6870:
6843:
6816:
6410:
6260:
6233:
4628:
4244:
4071:
3237:
2947:
2795:
2433:
2408:
2362:
9161:
Here the Euler characteristics of the base space and the fiber are defined over the field
4215:
8:
9469:
9048:
5823:
3517:
535:
46:
8133:
7400:
7194:
3527:
3314:
2611:
592:
9334:
9075:
8949:
8909:
8836:
8807:
8559:
8539:
8511:
8506:
8488:
8113:
4889:
4828:{\displaystyle \cdots \Omega ^{2}B\to \Omega F\to \Omega E\to \Omega B\to F\to E\to B.}
4734:
4714:
4441:
4320:
4300:
3987:
3892:
3717:
3699:
3264:
2978:
2332:
2312:
1849:
1549:
639:
615:
402:
105:
39:
28:
8654:
9488:
9445:
9415:
9405:
9368:
9292:
9233:
7425:
7149:
4842:, there also exists a sequence of cofibrations. These two sequences are known as the
2753:
1391:
50:
9360:
9326:
7901:
4921:
541:
35:
5323:{\displaystyle \cdots \rightarrow \pi _{0}(F,x_{0})\rightarrow \pi _{0}(E,x_{0}).}
9433:
7215:
2527:
2270:
7647:
hold, an exact sequence exists (also known under the name Serre exact sequence):
1394:
and
Hausdorff base space satisfies the homotopy lifting property for all spaces.
8797:{\displaystyle h_{*}\colon H_{*}(F_{\omega (0)},R)\to H_{*}(F_{\omega (1)},R),}
7421:
5578:
4965:
4843:
3521:
2972:
1625:
1115:
842:
9364:
7152:
are important tools in algebraic topology for computing (co-)homology groups.
7134:{\displaystyle \pi _{i}(S^{8})\cong \pi _{i}(S^{15})\oplus \pi _{i-1}(S^{7}).}
1397:
An example of a fibration which is not a fiber bundle is given by the mapping
9511:
9492:
9315:; Thom, René (1958). "Quasifaserungen und Unendliche Symmetrische Produkte".
9312:
9280:
9221:
8154:
6611:{\displaystyle \pi _{i}(S^{2})\cong \pi _{i}(S^{3})\oplus \pi _{i-1}(S^{1}).}
2647:
9419:
7024:{\displaystyle \pi _{i}(S^{4})\cong \pi _{i}(S^{7})\oplus \pi _{i-1}(S^{3})}
9388:
5582:
5334:
3234:, an important example of the pathspace fibration emerges. The total space
1353:
24:
6502:
4839:
1839:
1054:
9338:
3439:
794:
7355:{\displaystyle H_{k}(B;G_{q}(F))\cong E_{k,q}^{2}\implies G_{k+q}(E).}
4913:
2745:{\displaystyle E_{f}=\{(a,\gamma )\in A\times B^{I}|\gamma (0)=f(a)\}}
7214:
where the base space is a path connected CW-complex, and an additive
2352:
9330:
8335:
8196:
7849:
7829:
7788:
7740:
7692:
4413:
4400:
4380:
1046:{\displaystyle p_{*}\colon \pi _{i}(E,p^{-1}(b),e)\to \pi _{i}(B,b)}
5586:
1680:
is a non-trivial fiber bundle and, specifically, a Serre fibration.
127:
4751:
is again a homotopy equivalence and iteration yields the sequence:
8529:
6494:{\displaystyle \phi \colon \pi _{i-1}(S^{1})\to \pi _{i}(S^{2})}
6230:
This sequence splits into short exact sequences, as the fiber
5497:{\displaystyle \pi _{n}(E,x_{0})\rightarrow \pi _{n}(B,b_{0})}
5413:{\displaystyle \pi _{n}(F,x_{0})\rightarrow \pi _{n}(E,x_{0})}
5812:{\displaystyle S^{7}\hookrightarrow S^{15}\rightarrow S^{8}.}
1968:
are homotopic, by fibration homomorphisms, to the identities
1387:
satisfies the homotopy lifting property for every CW-complex.
5755:{\displaystyle S^{3}\hookrightarrow S^{7}\rightarrow S^{4},}
5698:{\displaystyle S^{1}\hookrightarrow S^{3}\rightarrow S^{2},}
5641:{\displaystyle S^{0}\hookrightarrow S^{1}\rightarrow S^{1},}
8051:
5872:{\displaystyle S^{1}\hookrightarrow S^{3}\rightarrow S^{2}}
4317:. This procedure can now be applied again to the fibration
1460:{\displaystyle i^{*}\colon X^{I^{k}}\to X^{\partial I^{k}}}
525:{\displaystyle {\tilde {h}}_{0}={\tilde {h}}|_{X\times 0}.}
4927:
3821:
is very similar to itself. More precisely, the inclusion
2262:{\displaystyle f^{*}(E)=\{(a,e)\in A\times E|f(a)=p(e)\}}
3195:
For the special case of the inclusion of the base point
1111:
is a fibration. That is, trivial bundles are fibrations.
589:
satisfying the homotopy lifting property for all spaces
3752:
is fiber homotopy equivalent to the product fibration
3415:
consists of all closed paths. The fiber is denoted by
9167:
9105:
9078:
9056:
9021:
8972:
8952:
8932:
8912:
8839:
8810:
8683:
8657:
8608:
8582:
8562:
8542:
8514:
8491:
8459:
8305:
8166:
8136:
8116:
8077:
7945:
7910:
7904:
or to compute the homology of loopspaces of the form
7656:
7621:
7579:
7547:
7505:
7469:
7433:
7403:
7371:
7253:
7223:
7197:
7165:
7037:
6930:
6900:
6873:
6846:
6819:
6791:
6748:
6705:
6676:
6627:
6514:
6423:
6293:
6263:
6236:
6084:
5888:
5832:
5769:
5712:
5655:
5598:
5542:
5510:
5426:
5342:
5243:
5075:
5007:
4974:
4938:
4892:
4860:
4760:
4737:
4717:
4681:
4658:
4631:
4582:
4562:
4523:
4464:
4444:
4346:
4323:
4303:
4274:
4247:
4218:
4186:
4160:
4119:
4080:
4043:
4010:
3990:
3958:
3918:
3895:
3863:
3827:
3795:
3758:
3726:
3702:
3652:
3605:
3555:
3530:
3496:
3457:
3421:
3375:
3340:
3317:
3287:
3267:
3240:
3201:
3150:
3106:
3059:
3033:
3001:
2981:
2950:
2897:
2858:
2825:
2798:
2762:
2656:
2614:
2567:
2535:
2506:
2474:
2442:
2411:
2365:
2335:
2315:
2279:
2171:
2116:
2084:
2052:
2008:
1974:
1948:
1922:
1876:
1852:
1792:
1746:
1700:
1633:
1572:
1552:
1522:
1473:
1403:
1361:
1312:
1253:
1205:
1155:
1123:
1079:
951:
925:
880:
852:
814:
767:
695:
669:
642:
618:
595:
563:
466:
425:
405:
346:
287:
236:
188:
135:
108:
72:
9175:
9150:
9084:
9064:
9039:
9000:
8958:
8938:
8918:
8892:
8825:
8796:
8669:
8643:
8594:
8568:
8548:
8520:
8497:
8477:
8437:
8292:
8145:
8122:
8102:
8060:
7929:
7889:
7639:
7607:
7565:
7533:
7491:
7455:
7412:
7389:
7354:
7236:
7206:
7183:
7133:
7023:
6913:
6886:
6859:
6832:
6803:
6777:
6734:
6691:
6662:
6610:
6493:
6398:
6276:
6249:
6219:
6071:
5871:
5811:
5754:
5697:
5640:
5563:
5528:
5496:
5412:
5322:
5230:
5058:
4993:
4956:
4898:
4878:
4827:
4743:
4723:
4703:
4667:
4644:
4617:
4568:
4548:
4509:
4450:
4427:
4329:
4309:
4289:
4260:
4233:
4204:
4172:
4146:
4105:
4062:
4029:
3996:
3976:
3936:
3901:
3881:
3846:
3813:
3779:
3744:
3708:
3685:
3638:
3591:
3539:
3508:
3482:
3430:
3407:
3361:
3334:and is called path space. The pathspace fibration
3326:
3303:
3273:
3253:
3226:
3184:
3136:
3092:
3045:
3019:
2987:
2963:
2936:
2883:
2837:
2811:
2784:
2744:
2638:
2600:
2553:
2518:
2492:
2460:
2424:
2378:
2341:
2321:
2301:
2261:
2157:
2102:
2070:
2031:
1994:
1960:
1934:
1908:
1858:
1824:
1778:
1732:
1672:
1609:
1558:
1539:
1508:
1459:
1379:
1342:
1298:
1239:
1191:
1141:
1103:
1045:
937:
911:
867:
832:
785:
742:
681:
648:
624:
604:
581:
524:
452:
411:
391:
328:
273:
222:
171:
114:
90:
7900:This sequence can be used, for example, to prove
4846:or the sequences of fibrations and cofibrations.
1617:is the space of all continuous mappings with the
1149:is a fibration. Specifically, for every homotopy
793:satisfying the homotopy lifting property for all
340:there exists a (not necessarily unique) homotopy
9509:
9477:. Department of Mathematics, Indiana University.
3369:maps each path to its endpoint, hence the fiber
2852:The pathspace fibration is given by the mapping
1299:{\displaystyle {\tilde {h}}\colon X\times \to E}
392:{\displaystyle {\tilde {h}}\colon X\times \to E}
9359:(in German) (2nd ed.). Springer Spektrum.
5504:are the induced homomorphisms of the inclusion
1509:{\displaystyle i\colon \partial I^{k}\to I^{k}}
800:Every Hurewicz fibration is a Serre fibration.
9275:
9273:
9271:
9269:
557:(also called Hurewicz fibration) is a mapping
9267:
9265:
9263:
9261:
9259:
9257:
9255:
9253:
9251:
9249:
9216:
9214:
9212:
9210:
9208:
4704:{\displaystyle \Omega B\hookrightarrow F_{i}}
2468:between topological spaces consists of pairs
1689:
1240:{\displaystyle {\tilde {h}}_{0}\colon X\to E}
329:{\displaystyle h_{0}=p\circ {\tilde {h}}_{0}}
223:{\displaystyle {\tilde {h}}_{0}\colon X\to E}
9354:
9350:
9348:
5585:whose fiber, total space and base space are
4912:
2739:
2670:
2351:
2256:
2194:
2032:{\displaystyle \operatorname {Id} _{E_{1}}.}
1838:
1604:
1586:
540:
61:
9494:The Topology of Fiber Bundles Lecture Notes
9463:
9461:
9426:
4337:and so on. This leads to a long sequence:
1995:{\displaystyle \operatorname {Id} _{E_{2}}}
743:{\displaystyle F_{b}=p^{-1}(b)\subseteq E.}
9246:
9205:
9151:{\displaystyle \chi (E)=\chi (B)\chi (F).}
8528:with a unit, there exists a contravariant
7323:
7319:
5529:{\displaystyle i\colon F\hookrightarrow E}
4070:of the fiber into the homotopy fiber is a
1060:Every Serre fibration is a quasifibratio.
761:(also called weak fibration) is a mapping
9467:
9345:
9169:
9058:
8153:there exist exact sequences (also called
8003:
7987:
5826:of homotopy groups of the hopf fibration
4910:, if there exists a commutative diagram:
3909:and contractible total space, there is a
2349:yield the following commutative diagram:
2158:{\displaystyle p_{f}\colon f^{*}(E)\to A}
1530:
9481:
9458:
9432:
9311:
5059:{\displaystyle x_{0}\in F=p^{-1}(b_{0})}
2937:{\displaystyle p(a,\gamma )=\gamma (1).}
1870:if in addition a fibration homomorphism
1610:{\displaystyle X^{A}=\{f\colon A\to X\}}
9305:
9279:
9220:
9010:
5564:{\displaystyle p\colon E\rightarrow B.}
3789:The pathspace fibration of a fibration
1740:between total spaces of two fibrations
1673:{\displaystyle S^{1}\to S^{3}\to S^{2}}
9510:
9394:A Concise Course in Algebraic Topology
9381:
4964:there exists a long exact sequence of
4928:Long exact sequence of homotopy groups
4849:
4510:{\displaystyle e_{0}\in p^{-1}(b_{0})}
4063:{\displaystyle F\hookrightarrow F_{p}}
3847:{\displaystyle E\hookrightarrow E_{p}}
2393:
1909:{\displaystyle g\colon E_{2}\to E_{1}}
1825:{\displaystyle p_{2}\colon E_{2}\to B}
1779:{\displaystyle p_{1}\colon E_{1}\to B}
1733:{\displaystyle f\colon E_{1}\to E_{2}}
1343:{\displaystyle p\circ {\tilde {h}}=h.}
1104:{\displaystyle p\colon B\times F\to B}
9487:
9355:Laures, Gerd; Szymik, Markus (2014).
3592:{\displaystyle f\colon \times A\to B}
3185:{\displaystyle \gamma (1)=b_{0}\in B}
2041:
1247:there exists a uniquely defined lift
1192:{\displaystyle h\colon X\times \to B}
453:{\displaystyle h=p\circ {\tilde {h}}}
182:for every mapping (also called lift)
172:{\displaystyle h\colon X\times \to B}
56:
34:Fibrations are used, for example, in
9468:Davis, James F.; Kirk, Paul (1991).
8071:For the special case of a fibration
7144:
6699:so there exist isomorphisms between
4838:Due to the duality of fibration and
4205:{\displaystyle \gamma \colon I\to B}
3093:{\displaystyle \gamma \colon \to B,}
2819:describes the space of all mappings
2554:{\displaystyle \gamma \colon I\to B}
274:{\displaystyle h|_{X\times 0}=h_{0}}
9471:Lecture Notes in Algebraic Topology
9387:
9092:and path connected base space, the
1836:if the following diagram commutes:
13:
8103:{\displaystyle p\colon E\to S^{n}}
7993:
7959:
7911:
7244:there exists a spectral sequence:
4798:
4789:
4780:
4765:
4682:
4659:
4106:{\displaystyle i\colon F_{p}\to E}
3925:
3422:
3227:{\displaystyle i\colon b_{0}\to B}
2884:{\displaystyle p\colon E_{f}\to B}
1540:{\displaystyle k\in \mathbb {N} ,}
1480:
1442:
752:
45:In this article, all mappings are
14:
9534:
6663:{\displaystyle \pi _{i-1}(S^{1})}
5573:
3947:
3686:{\displaystyle f_{1}^{*}(E)\to A}
3639:{\displaystyle f_{0}^{*}(E)\to A}
1684:
803:
8448:
3854:is a fiber homotopy equivalence.
2601:{\displaystyle \gamma (0)=f(a),}
9096:of the total space is given by:
8157:) for homology and cohomology:
7499:and in addition the conditions
7420:where base space and fiber are
6778:{\displaystyle \pi _{i}(S^{3})}
6735:{\displaystyle \pi _{i}(S^{2})}
4549:{\displaystyle (e_{0},\gamma )}
3780:{\displaystyle B\times F\to B.}
3362:{\displaystyle p\colon PB\to B}
3137:{\displaystyle \gamma (0)=f(a)}
1916:exists, such that the mappings
945:holds that the induced mapping
27:and plays an important role in
9142:
9136:
9130:
9124:
9115:
9109:
9040:{\displaystyle p\colon E\to B}
9031:
8983:
8976:
8884:
8879:
8873:
8857:
8851:
8840:
8820:
8814:
8788:
8777:
8771:
8760:
8747:
8744:
8733:
8727:
8716:
8694:
8687:
8664:
8658:
8644:{\displaystyle H_{*}(F_{b},R)}
8638:
8619:
8478:{\displaystyle p\colon E\to B}
8469:
8429:
8426:
8420:
8401:
8398:
8392:
8367:
8364:
8358:
8328:
8322:
8309:
8284:
8281:
8275:
8256:
8253:
8247:
8228:
8225:
8219:
8189:
8183:
8170:
8087:
8031:
8019:
7972:
7956:
7881:
7878:
7872:
7822:
7816:
7781:
7775:
7733:
7727:
7685:
7679:
7596:
7590:
7522:
7516:
7486:
7480:
7450:
7444:
7390:{\displaystyle p\colon E\to B}
7381:
7346:
7340:
7320:
7292:
7289:
7283:
7264:
7184:{\displaystyle p\colon E\to B}
7175:
7125:
7112:
7090:
7077:
7061:
7048:
7018:
7005:
6983:
6970:
6954:
6941:
6772:
6759:
6729:
6716:
6657:
6644:
6602:
6589:
6567:
6554:
6538:
6525:
6488:
6475:
6462:
6459:
6446:
6390:
6387:
6374:
6355:
6352:
6339:
6326:
6323:
6310:
6297:
6211:
6185:
6172:
6169:
6143:
6130:
6127:
6101:
6088:
6066:
6063:
6037:
6018:
6015:
5989:
5976:
5973:
5947:
5934:
5931:
5905:
5892:
5856:
5843:
5793:
5780:
5736:
5723:
5679:
5666:
5622:
5609:
5552:
5520:
5491:
5472:
5459:
5456:
5437:
5407:
5388:
5375:
5372:
5353:
5314:
5295:
5282:
5279:
5260:
5247:
5225:
5222:
5203:
5184:
5181:
5162:
5149:
5146:
5127:
5114:
5111:
5092:
5079:
5053:
5040:
4957:{\displaystyle p\colon E\to B}
4948:
4879:{\displaystyle p\colon E\to B}
4870:
4816:
4810:
4804:
4795:
4786:
4777:
4688:
4618:{\displaystyle p(e_{0})=b_{0}}
4599:
4586:
4543:
4524:
4504:
4491:
4363:
4350:
4281:
4228:
4222:
4196:
4147:{\displaystyle i(e,\gamma )=e}
4135:
4123:
4097:
4047:
3977:{\displaystyle p\colon E\to B}
3968:
3937:{\displaystyle F\to \Omega B.}
3922:
3882:{\displaystyle p\colon E\to B}
3873:
3831:
3814:{\displaystyle p\colon E\to B}
3805:
3768:
3745:{\displaystyle p\colon E\to B}
3736:
3693:are fiber homotopy equivalent.
3677:
3674:
3668:
3630:
3627:
3621:
3583:
3574:
3562:
3477:
3471:
3402:
3389:
3353:
3218:
3160:
3154:
3131:
3125:
3116:
3110:
3081:
3078:
3066:
3014:
3002:
2928:
2922:
2913:
2901:
2875:
2829:
2785:{\displaystyle A\times B^{I},}
2736:
2730:
2721:
2715:
2708:
2685:
2673:
2633:
2621:
2592:
2586:
2577:
2571:
2545:
2487:
2475:
2461:{\displaystyle f\colon A\to B}
2452:
2296:
2290:
2253:
2247:
2238:
2232:
2225:
2209:
2197:
2188:
2182:
2149:
2146:
2140:
2103:{\displaystyle f\colon A\to B}
2094:
2071:{\displaystyle p\colon E\to B}
2062:
1893:
1832:with the same base space is a
1816:
1770:
1717:
1657:
1644:
1598:
1493:
1434:
1380:{\displaystyle p\colon E\to B}
1371:
1325:
1290:
1287:
1275:
1260:
1231:
1213:
1183:
1180:
1168:
1142:{\displaystyle p\colon E\to B}
1133:
1095:
1040:
1028:
1015:
1012:
1003:
997:
975:
912:{\displaystyle e\in p^{-1}(b)}
906:
900:
833:{\displaystyle p\colon E\to B}
824:
786:{\displaystyle p\colon E\to B}
777:
728:
722:
582:{\displaystyle p\colon E\to B}
573:
503:
495:
474:
444:
383:
380:
368:
353:
314:
242:
214:
196:
163:
160:
148:
91:{\displaystyle p\colon E\to B}
82:
1:
9438:The Topology of Fibre Bundles
9198:
7930:{\displaystyle \Omega S^{n}:}
7157:Leray-Serre spectral sequence
3445:
3408:{\displaystyle p^{-1}(b_{0})}
16:Concept in algebraic topology
9176:{\displaystyle \mathbb {K} }
9065:{\displaystyle \mathbb {K} }
9015:For an orientable fibration
548:
23:generalizes the notion of a
7:
9402:University of Chicago Press
9186:
8576:-modules, which assigns to
7640:{\displaystyle 0<q<n}
7566:{\displaystyle 0<p<m}
7456:{\displaystyle \pi _{1}(B)}
6284:is contractible to a point:
4731:into the homotopy fiber of
3020:{\displaystyle (a,\gamma )}
2493:{\displaystyle (a,\gamma )}
1063:
31:, a branch of mathematics.
10:
9539:
9442:Princeton University Press
9289:Cambridge University Press
8556:to the category of graded
8110:where the base space is a
7608:{\displaystyle H_{q}(F)=0}
7534:{\displaystyle H_{p}(B)=0}
6409:This short exact sequence
4994:{\displaystyle b_{0}\in B}
4030:{\displaystyle b_{0}\in B}
2995:and consists of the pairs
1868:fiber homotopy equivalence
1690:Fiber homotopy equivalence
9365:10.1007/978-3-662-45953-9
3911:weak homotopy equivalence
3483:{\displaystyle p^{-1}(b)}
3311:This space is denoted by
3261:consists of all paths in
2436:for a continuous mapping
1467:induced by the inclusion
100:homotopy lifting property
62:Homotopy lifting property
9230:McGraw-Hill Book Company
9001:{\displaystyle h_{*}=1.}
8505:and a fixed commutative
7492:{\displaystyle H_{*}(F)}
6804:{\displaystyle i\geq 3.}
6692:{\displaystyle i\geq 3,}
4668:{\displaystyle \Omega B}
3599:the pullback fibrations
3431:{\displaystyle \Omega B}
2302:{\displaystyle f^{*}(E)}
1961:{\displaystyle g\circ f}
1935:{\displaystyle f\circ g}
1566:a topological space and
8939:{\displaystyle \omega }
8926:if for any closed path
8833:is a homotopy class in
4569:{\displaystyle \gamma }
4290:{\displaystyle PB\to B}
2273:and the projections of
938:{\displaystyle i\geq 0}
868:{\displaystyle b\in B,}
9500:. Stanford University.
9177:
9159:
9152:
9086:
9066:
9041:
9002:
8960:
8940:
8920:
8902:A fibration is called
8894:
8827:
8798:
8671:
8651:and to the path class
8645:
8596:
8595:{\displaystyle b\in B}
8570:
8550:
8522:
8499:
8479:
8446:
8439:
8294:
8147:
8124:
8104:
8069:
8062:
7931:
7898:
7891:
7641:
7609:
7567:
7535:
7493:
7457:
7414:
7391:
7356:
7238:
7208:
7185:
7142:
7135:
7025:
6915:
6914:{\displaystyle S^{15}}
6888:
6861:
6834:
6805:
6779:
6736:
6693:
6664:
6619:
6612:
6495:
6407:
6400:
6278:
6251:
6228:
6221:
6073:
5873:
5820:
5813:
5756:
5699:
5642:
5565:
5530:
5498:
5414:
5331:
5324:
5232:
5060:
4995:
4958:
4932:For a Serre fibration
4917:
4900:
4880:
4836:
4829:
4745:
4725:
4705:
4669:
4652:, i.e. the loop space
4646:
4619:
4570:
4550:
4517:consists of the pairs
4511:
4452:
4436:
4429:
4331:
4311:
4291:
4262:
4235:
4206:
4174:
4173:{\displaystyle e\in E}
4148:
4107:
4064:
4031:
3998:
3978:
3938:
3903:
3883:
3848:
3815:
3781:
3746:
3710:
3687:
3640:
3593:
3541:
3510:
3509:{\displaystyle b\in B}
3484:
3432:
3409:
3363:
3328:
3305:
3304:{\displaystyle b_{0}.}
3275:
3255:
3228:
3186:
3138:
3094:
3047:
3046:{\displaystyle a\in A}
3021:
2989:
2965:
2938:
2885:
2839:
2838:{\displaystyle I\to B}
2813:
2786:
2746:
2640:
2602:
2555:
2520:
2519:{\displaystyle a\in A}
2494:
2462:
2426:
2390:or induced fibration.
2380:
2356:
2343:
2323:
2303:
2263:
2165:is a fibration, where
2159:
2104:
2072:
2033:
1996:
1962:
1936:
1910:
1860:
1843:
1834:fibration homomorphism
1826:
1780:
1734:
1674:
1611:
1560:
1541:
1510:
1461:
1390:A fiber bundle with a
1381:
1344:
1300:
1241:
1193:
1143:
1105:
1073:onto the first factor
1047:
939:
913:
869:
834:
787:
744:
683:
682:{\displaystyle b\in B}
650:
626:
606:
583:
545:
538:shows the situation:
526:
454:
413:
393:
330:
275:
224:
173:
116:
92:
9318:Annals of Mathematics
9193:Approximate fibration
9178:
9153:
9098:
9087:
9067:
9042:
9003:
8966:the following holds:
8961:
8941:
8921:
8895:
8828:
8799:
8672:
8646:
8597:
8571:
8551:
8523:
8500:
8480:
8440:
8295:
8159:
8148:
8125:
8105:
8063:
7938:
7932:
7892:
7649:
7642:
7610:
7568:
7536:
7494:
7458:
7415:
7392:
7357:
7239:
7237:{\displaystyle G_{*}}
7209:
7186:
7136:
7026:
6923:
6916:
6889:
6887:{\displaystyle S^{7}}
6862:
6860:{\displaystyle S^{7}}
6835:
6833:{\displaystyle S^{3}}
6806:
6780:
6737:
6694:
6665:
6613:
6507:
6496:
6401:
6286:
6279:
6277:{\displaystyle S^{3}}
6252:
6250:{\displaystyle S^{1}}
6222:
6074:
5881:
5874:
5814:
5757:
5700:
5643:
5591:
5566:
5531:
5499:
5415:
5325:
5233:
5068:
5061:
4996:
4959:
4916:
4901:
4881:
4830:
4753:
4746:
4726:
4706:
4670:
4647:
4645:{\displaystyle b_{0}}
4620:
4571:
4551:
4512:
4453:
4430:
4339:
4332:
4312:
4292:
4263:
4261:{\displaystyle b_{0}}
4236:
4207:
4175:
4149:
4108:
4065:
4032:
3999:
3979:
3939:
3904:
3884:
3849:
3816:
3782:
3747:
3720:, then the fibration
3711:
3688:
3641:
3594:
3542:
3511:
3485:
3433:
3410:
3364:
3329:
3306:
3276:
3256:
3254:{\displaystyle E_{i}}
3229:
3187:
3139:
3095:
3048:
3022:
2990:
2966:
2964:{\displaystyle F_{f}}
2939:
2886:
2847:compact-open topology
2840:
2814:
2812:{\displaystyle B^{I}}
2787:
2747:
2641:
2603:
2556:
2521:
2495:
2463:
2427:
2425:{\displaystyle E_{f}}
2381:
2379:{\displaystyle p_{f}}
2355:
2344:
2324:
2304:
2264:
2160:
2105:
2073:
2034:
1997:
1963:
1937:
1911:
1861:
1842:
1827:
1781:
1735:
1675:
1619:compact-open topology
1612:
1561:
1542:
1511:
1462:
1382:
1345:
1301:
1242:
1194:
1144:
1106:
1048:
940:
914:
870:
835:
788:
745:
684:
651:
627:
607:
584:
544:
527:
455:
414:
394:
331:
276:
225:
174:
117:
93:
9165:
9103:
9094:Euler characteristic
9076:
9054:
9019:
9011:Euler characteristic
8970:
8950:
8930:
8910:
8837:
8808:
8681:
8655:
8606:
8580:
8560:
8540:
8534:fundamental groupoid
8512:
8489:
8457:
8303:
8164:
8134:
8114:
8075:
7943:
7908:
7654:
7619:
7577:
7545:
7503:
7467:
7431:
7401:
7369:
7251:
7221:
7195:
7163:
7035:
6928:
6898:
6871:
6844:
6817:
6789:
6746:
6703:
6674:
6625:
6621:The homotopy groups
6512:
6421:
6291:
6261:
6234:
6082:
5886:
5830:
5767:
5710:
5653:
5596:
5540:
5508:
5424:
5340:
5241:
5073:
5005:
4972:
4936:
4890:
4858:
4758:
4735:
4715:
4679:
4656:
4629:
4580:
4560:
4521:
4462:
4442:
4344:
4321:
4301:
4272:
4245:
4234:{\displaystyle p(e)}
4216:
4184:
4158:
4117:
4078:
4072:homotopy equivalence
4041:
4008:
3988:
3956:
3916:
3893:
3861:
3825:
3793:
3756:
3724:
3700:
3650:
3603:
3553:
3528:
3494:
3455:
3419:
3373:
3338:
3315:
3285:
3265:
3238:
3199:
3148:
3104:
3057:
3031:
2999:
2979:
2948:
2895:
2856:
2823:
2796:
2760:
2654:
2612:
2565:
2561:with starting point
2533:
2504:
2472:
2440:
2409:
2363:
2333:
2313:
2277:
2169:
2114:
2082:
2050:
2006:
1972:
1946:
1920:
1874:
1850:
1790:
1744:
1698:
1631:
1570:
1550:
1520:
1471:
1401:
1359:
1310:
1251:
1203:
1153:
1121:
1077:
949:
923:
878:
850:
812:
765:
693:
667:
640:
616:
593:
561:
464:
423:
403:
344:
285:
234:
186:
133:
106:
70:
9357:Grundkurs Topologie
8346:
8207:
8130:-sphere with fiber
7860:
7840:
7792:
7751:
7703:
7318:
5824:long exact sequence
5536:and the projection
4850:Principal fibration
4417:
4404:
4384:
3667:
3620:
3518:homotopy equivalent
2971:is also called the
2434:pathspace fibration
2400:pathspace fibration
2394:Pathspace fibration
536:commutative diagram
9523:Topological spaces
9518:Algebraic topology
9285:Algebraic Topology
9226:Algebraic Topology
9173:
9148:
9082:
9062:
9037:
8998:
8956:
8936:
8916:
8890:
8823:
8794:
8667:
8641:
8592:
8566:
8546:
8518:
8495:
8475:
8435:
8290:
8146:{\displaystyle F,}
8143:
8120:
8100:
8058:
8050:
7927:
7902:Hurewicz's theorem
7887:
7637:
7605:
7563:
7531:
7489:
7463:acts trivially on
7453:
7413:{\displaystyle F,}
7410:
7387:
7352:
7298:
7234:
7207:{\displaystyle F,}
7204:
7181:
7150:Spectral sequences
7131:
7021:
6911:
6884:
6857:
6830:
6813:Analog the fibers
6801:
6775:
6732:
6689:
6660:
6608:
6491:
6396:
6274:
6247:
6217:
6069:
5869:
5809:
5752:
5695:
5638:
5561:
5526:
5494:
5410:
5320:
5228:
5056:
4991:
4968:. For base points
4954:
4918:
4896:
4876:
4825:
4741:
4721:
4701:
4665:
4642:
4615:
4566:
4546:
4507:
4448:
4425:
4327:
4307:
4287:
4258:
4231:
4202:
4170:
4144:
4103:
4060:
4027:
3994:
3974:
3934:
3899:
3879:
3844:
3811:
3777:
3742:
3706:
3696:If the base space
3683:
3653:
3636:
3606:
3589:
3540:{\displaystyle B.}
3537:
3506:
3480:
3428:
3405:
3359:
3327:{\displaystyle PB}
3324:
3301:
3271:
3251:
3224:
3182:
3134:
3090:
3043:
3017:
2985:
2961:
2934:
2881:
2835:
2809:
2782:
2742:
2639:{\displaystyle I=}
2636:
2598:
2551:
2516:
2490:
2458:
2422:
2388:pullback fibration
2376:
2357:
2339:
2319:
2299:
2259:
2155:
2100:
2068:
2046:Given a fibration
2042:Pullback fibration
2029:
1992:
1958:
1932:
1906:
1856:
1844:
1822:
1776:
1730:
1670:
1607:
1556:
1537:
1506:
1457:
1377:
1340:
1296:
1237:
1189:
1139:
1101:
1043:
935:
909:
865:
830:
783:
740:
679:
646:
622:
605:{\displaystyle X.}
602:
579:
546:
522:
450:
409:
389:
326:
271:
220:
169:
112:
88:
57:Formal definitions
51:topological spaces
40:obstruction theory
29:algebraic topology
9374:978-3-662-45952-2
9239:978-0-387-90646-1
9222:Spanier, Edwin H.
9085:{\displaystyle F}
8959:{\displaystyle B}
8919:{\displaystyle R}
8893:{\displaystyle .}
8826:{\displaystyle h}
8677:the homomorphism
8569:{\displaystyle R}
8549:{\displaystyle B}
8521:{\displaystyle R}
8498:{\displaystyle F}
8347:
8208:
8123:{\displaystyle n}
8046:
7861:
7841:
7793:
7752:
7704:
7426:fundamental group
7145:Spectral sequence
5066:this is given by:
4899:{\displaystyle F}
4744:{\displaystyle i}
4724:{\displaystyle i}
4451:{\displaystyle i}
4418:
4405:
4385:
4330:{\displaystyle i}
4310:{\displaystyle p}
3997:{\displaystyle F}
3902:{\displaystyle F}
3709:{\displaystyle B}
3274:{\displaystyle B}
2988:{\displaystyle f}
2754:subspace topology
2342:{\displaystyle E}
2322:{\displaystyle A}
1859:{\displaystyle f}
1559:{\displaystyle X}
1328:
1263:
1216:
649:{\displaystyle E}
625:{\displaystyle B}
498:
477:
447:
412:{\displaystyle h}
356:
317:
199:
115:{\displaystyle X}
49:mappings between
36:Postnikov systems
9530:
9502:
9501:
9499:
9485:
9479:
9478:
9476:
9465:
9456:
9455:
9434:Steenrod, Norman
9430:
9424:
9423:
9399:
9385:
9379:
9378:
9352:
9343:
9342:
9309:
9303:
9302:
9277:
9244:
9243:
9218:
9182:
9180:
9179:
9174:
9172:
9157:
9155:
9154:
9149:
9091:
9089:
9088:
9083:
9071:
9069:
9068:
9063:
9061:
9046:
9044:
9043:
9038:
9007:
9005:
9004:
8999:
8991:
8990:
8965:
8963:
8962:
8957:
8945:
8943:
8942:
8937:
8925:
8923:
8922:
8917:
8899:
8897:
8896:
8891:
8883:
8882:
8861:
8860:
8832:
8830:
8829:
8824:
8803:
8801:
8800:
8795:
8781:
8780:
8759:
8758:
8737:
8736:
8715:
8714:
8702:
8701:
8676:
8674:
8673:
8670:{\displaystyle }
8668:
8650:
8648:
8647:
8642:
8631:
8630:
8618:
8617:
8601:
8599:
8598:
8593:
8575:
8573:
8572:
8567:
8555:
8553:
8552:
8547:
8527:
8525:
8524:
8519:
8504:
8502:
8501:
8496:
8484:
8482:
8481:
8476:
8453:For a fibration
8444:
8442:
8441:
8436:
8419:
8418:
8391:
8390:
8357:
8356:
8345:
8344:
8331:
8321:
8320:
8299:
8297:
8296:
8291:
8274:
8273:
8246:
8245:
8218:
8217:
8206:
8205:
8192:
8182:
8181:
8152:
8150:
8149:
8144:
8129:
8127:
8126:
8121:
8109:
8107:
8106:
8101:
8099:
8098:
8067:
8065:
8064:
8059:
8054:
8053:
8047:
8044:
8006:
7990:
7971:
7970:
7955:
7954:
7936:
7934:
7933:
7928:
7923:
7922:
7896:
7894:
7893:
7888:
7871:
7870:
7859:
7858:
7845:
7839:
7838:
7825:
7815:
7814:
7784:
7774:
7773:
7750:
7749:
7736:
7726:
7725:
7702:
7701:
7688:
7678:
7677:
7646:
7644:
7643:
7638:
7614:
7612:
7611:
7606:
7589:
7588:
7572:
7570:
7569:
7564:
7540:
7538:
7537:
7532:
7515:
7514:
7498:
7496:
7495:
7490:
7479:
7478:
7462:
7460:
7459:
7454:
7443:
7442:
7419:
7417:
7416:
7411:
7396:
7394:
7393:
7388:
7361:
7359:
7358:
7353:
7339:
7338:
7317:
7312:
7282:
7281:
7263:
7262:
7243:
7241:
7240:
7235:
7233:
7232:
7213:
7211:
7210:
7205:
7190:
7188:
7187:
7182:
7140:
7138:
7137:
7132:
7124:
7123:
7111:
7110:
7089:
7088:
7076:
7075:
7060:
7059:
7047:
7046:
7030:
7028:
7027:
7022:
7017:
7016:
7004:
7003:
6982:
6981:
6969:
6968:
6953:
6952:
6940:
6939:
6920:
6918:
6917:
6912:
6910:
6909:
6893:
6891:
6890:
6885:
6883:
6882:
6866:
6864:
6863:
6858:
6856:
6855:
6839:
6837:
6836:
6831:
6829:
6828:
6810:
6808:
6807:
6802:
6784:
6782:
6781:
6776:
6771:
6770:
6758:
6757:
6741:
6739:
6738:
6733:
6728:
6727:
6715:
6714:
6698:
6696:
6695:
6690:
6670:are trivial for
6669:
6667:
6666:
6661:
6656:
6655:
6643:
6642:
6617:
6615:
6614:
6609:
6601:
6600:
6588:
6587:
6566:
6565:
6553:
6552:
6537:
6536:
6524:
6523:
6500:
6498:
6497:
6492:
6487:
6486:
6474:
6473:
6458:
6457:
6445:
6444:
6405:
6403:
6402:
6397:
6386:
6385:
6373:
6372:
6351:
6350:
6338:
6337:
6322:
6321:
6309:
6308:
6283:
6281:
6280:
6275:
6273:
6272:
6256:
6254:
6253:
6248:
6246:
6245:
6226:
6224:
6223:
6218:
6210:
6209:
6197:
6196:
6184:
6183:
6168:
6167:
6155:
6154:
6142:
6141:
6126:
6125:
6113:
6112:
6100:
6099:
6078:
6076:
6075:
6070:
6062:
6061:
6049:
6048:
6036:
6035:
6014:
6013:
6001:
6000:
5988:
5987:
5972:
5971:
5959:
5958:
5946:
5945:
5930:
5929:
5917:
5916:
5904:
5903:
5878:
5876:
5875:
5870:
5868:
5867:
5855:
5854:
5842:
5841:
5818:
5816:
5815:
5810:
5805:
5804:
5792:
5791:
5779:
5778:
5761:
5759:
5758:
5753:
5748:
5747:
5735:
5734:
5722:
5721:
5704:
5702:
5701:
5696:
5691:
5690:
5678:
5677:
5665:
5664:
5647:
5645:
5644:
5639:
5634:
5633:
5621:
5620:
5608:
5607:
5581:are a family of
5570:
5568:
5567:
5562:
5535:
5533:
5532:
5527:
5503:
5501:
5500:
5495:
5490:
5489:
5471:
5470:
5455:
5454:
5436:
5435:
5419:
5417:
5416:
5411:
5406:
5405:
5387:
5386:
5371:
5370:
5352:
5351:
5329:
5327:
5326:
5321:
5313:
5312:
5294:
5293:
5278:
5277:
5259:
5258:
5237:
5235:
5234:
5229:
5221:
5220:
5202:
5201:
5180:
5179:
5161:
5160:
5145:
5144:
5126:
5125:
5110:
5109:
5091:
5090:
5065:
5063:
5062:
5057:
5052:
5051:
5039:
5038:
5017:
5016:
5000:
4998:
4997:
4992:
4984:
4983:
4963:
4961:
4960:
4955:
4922:Postnikov towers
4905:
4903:
4902:
4897:
4885:
4883:
4882:
4877:
4834:
4832:
4831:
4826:
4773:
4772:
4750:
4748:
4747:
4742:
4730:
4728:
4727:
4722:
4711:of the fiber of
4710:
4708:
4707:
4702:
4700:
4699:
4675:. The inclusion
4674:
4672:
4671:
4666:
4651:
4649:
4648:
4643:
4641:
4640:
4624:
4622:
4621:
4616:
4614:
4613:
4598:
4597:
4575:
4573:
4572:
4567:
4555:
4553:
4552:
4547:
4536:
4535:
4516:
4514:
4513:
4508:
4503:
4502:
4490:
4489:
4474:
4473:
4457:
4455:
4454:
4449:
4434:
4432:
4431:
4426:
4409:
4396:
4395:
4394:
4376:
4375:
4374:
4362:
4361:
4336:
4334:
4333:
4328:
4316:
4314:
4313:
4308:
4296:
4294:
4293:
4288:
4267:
4265:
4264:
4259:
4257:
4256:
4240:
4238:
4237:
4232:
4211:
4209:
4208:
4203:
4179:
4177:
4176:
4171:
4153:
4151:
4150:
4145:
4112:
4110:
4109:
4104:
4096:
4095:
4069:
4067:
4066:
4061:
4059:
4058:
4036:
4034:
4033:
4028:
4020:
4019:
4003:
4001:
4000:
3995:
3983:
3981:
3980:
3975:
3952:For a fibration
3943:
3941:
3940:
3935:
3908:
3906:
3905:
3900:
3888:
3886:
3885:
3880:
3857:For a fibration
3853:
3851:
3850:
3845:
3843:
3842:
3820:
3818:
3817:
3812:
3786:
3784:
3783:
3778:
3751:
3749:
3748:
3743:
3715:
3713:
3712:
3707:
3692:
3690:
3689:
3684:
3666:
3661:
3645:
3643:
3642:
3637:
3619:
3614:
3598:
3596:
3595:
3590:
3546:
3544:
3543:
3538:
3515:
3513:
3512:
3507:
3489:
3487:
3486:
3481:
3470:
3469:
3437:
3435:
3434:
3429:
3414:
3412:
3411:
3406:
3401:
3400:
3388:
3387:
3368:
3366:
3365:
3360:
3333:
3331:
3330:
3325:
3310:
3308:
3307:
3302:
3297:
3296:
3281:which starts at
3280:
3278:
3277:
3272:
3260:
3258:
3257:
3252:
3250:
3249:
3233:
3231:
3230:
3225:
3217:
3216:
3191:
3189:
3188:
3183:
3175:
3174:
3143:
3141:
3140:
3135:
3099:
3097:
3096:
3091:
3052:
3050:
3049:
3044:
3026:
3024:
3023:
3018:
2994:
2992:
2991:
2986:
2970:
2968:
2967:
2962:
2960:
2959:
2943:
2941:
2940:
2935:
2890:
2888:
2887:
2882:
2874:
2873:
2845:and carries the
2844:
2842:
2841:
2836:
2818:
2816:
2815:
2810:
2808:
2807:
2791:
2789:
2788:
2783:
2778:
2777:
2751:
2749:
2748:
2743:
2711:
2706:
2705:
2666:
2665:
2645:
2643:
2642:
2637:
2607:
2605:
2604:
2599:
2560:
2558:
2557:
2552:
2525:
2523:
2522:
2517:
2499:
2497:
2496:
2491:
2467:
2465:
2464:
2459:
2431:
2429:
2428:
2423:
2421:
2420:
2405:The total space
2385:
2383:
2382:
2377:
2375:
2374:
2348:
2346:
2345:
2340:
2328:
2326:
2325:
2320:
2308:
2306:
2305:
2300:
2289:
2288:
2268:
2266:
2265:
2260:
2228:
2181:
2180:
2164:
2162:
2161:
2156:
2139:
2138:
2126:
2125:
2109:
2107:
2106:
2101:
2077:
2075:
2074:
2069:
2038:
2036:
2035:
2030:
2025:
2024:
2023:
2022:
2001:
1999:
1998:
1993:
1991:
1990:
1989:
1988:
1967:
1965:
1964:
1959:
1941:
1939:
1938:
1933:
1915:
1913:
1912:
1907:
1905:
1904:
1892:
1891:
1865:
1863:
1862:
1857:
1831:
1829:
1828:
1823:
1815:
1814:
1802:
1801:
1785:
1783:
1782:
1777:
1769:
1768:
1756:
1755:
1739:
1737:
1736:
1731:
1729:
1728:
1716:
1715:
1679:
1677:
1676:
1671:
1669:
1668:
1656:
1655:
1643:
1642:
1616:
1614:
1613:
1608:
1582:
1581:
1565:
1563:
1562:
1557:
1546:
1544:
1543:
1538:
1533:
1515:
1513:
1512:
1507:
1505:
1504:
1492:
1491:
1466:
1464:
1463:
1458:
1456:
1455:
1454:
1453:
1433:
1432:
1431:
1430:
1413:
1412:
1386:
1384:
1383:
1378:
1349:
1347:
1346:
1341:
1330:
1329:
1321:
1305:
1303:
1302:
1297:
1265:
1264:
1256:
1246:
1244:
1243:
1238:
1224:
1223:
1218:
1217:
1209:
1198:
1196:
1195:
1190:
1148:
1146:
1145:
1140:
1110:
1108:
1107:
1102:
1052:
1050:
1049:
1044:
1027:
1026:
996:
995:
974:
973:
961:
960:
944:
942:
941:
936:
918:
916:
915:
910:
899:
898:
874:
872:
871:
866:
839:
837:
836:
831:
792:
790:
789:
784:
749:
747:
746:
741:
721:
720:
705:
704:
689:is the subspace
688:
686:
685:
680:
655:
653:
652:
647:
631:
629:
628:
623:
611:
609:
608:
603:
588:
586:
585:
580:
531:
529:
528:
523:
518:
517:
506:
500:
499:
491:
485:
484:
479:
478:
470:
459:
457:
456:
451:
449:
448:
440:
418:
416:
415:
410:
398:
396:
395:
390:
358:
357:
349:
335:
333:
332:
327:
325:
324:
319:
318:
310:
297:
296:
280:
278:
277:
272:
270:
269:
257:
256:
245:
229:
227:
226:
221:
207:
206:
201:
200:
192:
178:
176:
175:
170:
121:
119:
118:
113:
97:
95:
94:
89:
19:The notion of a
9538:
9537:
9533:
9532:
9531:
9529:
9528:
9527:
9508:
9507:
9506:
9505:
9497:
9489:Cohen, Ralph L.
9486:
9482:
9474:
9466:
9459:
9452:
9431:
9427:
9412:
9397:
9386:
9382:
9375:
9353:
9346:
9331:10.2307/1970005
9310:
9306:
9299:
9278:
9247:
9240:
9219:
9206:
9201:
9189:
9168:
9166:
9163:
9162:
9104:
9101:
9100:
9077:
9074:
9073:
9057:
9055:
9052:
9051:
9020:
9017:
9016:
9013:
8986:
8982:
8971:
8968:
8967:
8951:
8948:
8947:
8931:
8928:
8927:
8911:
8908:
8907:
8869:
8865:
8847:
8843:
8838:
8835:
8834:
8809:
8806:
8805:
8767:
8763:
8754:
8750:
8723:
8719:
8710:
8706:
8697:
8693:
8682:
8679:
8678:
8656:
8653:
8652:
8626:
8622:
8613:
8609:
8607:
8604:
8603:
8581:
8578:
8577:
8561:
8558:
8557:
8541:
8538:
8537:
8513:
8510:
8509:
8490:
8487:
8486:
8458:
8455:
8454:
8451:
8408:
8404:
8374:
8370:
8352:
8348:
8340:
8336:
8316:
8312:
8304:
8301:
8300:
8263:
8259:
8235:
8231:
8213:
8209:
8201:
8197:
8177:
8173:
8165:
8162:
8161:
8135:
8132:
8131:
8115:
8112:
8111:
8094:
8090:
8076:
8073:
8072:
8049:
8048:
8043:
8041:
8035:
8034:
8002:
7991:
7986:
7979:
7978:
7966:
7962:
7950:
7946:
7944:
7941:
7940:
7918:
7914:
7909:
7906:
7905:
7866:
7862:
7854:
7850:
7834:
7830:
7798:
7794:
7757:
7753:
7745:
7741:
7709:
7705:
7697:
7693:
7661:
7657:
7655:
7652:
7651:
7620:
7617:
7616:
7584:
7580:
7578:
7575:
7574:
7546:
7543:
7542:
7510:
7506:
7504:
7501:
7500:
7474:
7470:
7468:
7465:
7464:
7438:
7434:
7432:
7429:
7428:
7402:
7399:
7398:
7370:
7367:
7366:
7328:
7324:
7313:
7302:
7277:
7273:
7258:
7254:
7252:
7249:
7248:
7228:
7224:
7222:
7219:
7218:
7216:homology theory
7196:
7193:
7192:
7164:
7161:
7160:
7147:
7119:
7115:
7100:
7096:
7084:
7080:
7071:
7067:
7055:
7051:
7042:
7038:
7036:
7033:
7032:
7012:
7008:
6993:
6989:
6977:
6973:
6964:
6960:
6948:
6944:
6935:
6931:
6929:
6926:
6925:
6905:
6901:
6899:
6896:
6895:
6878:
6874:
6872:
6869:
6868:
6851:
6847:
6845:
6842:
6841:
6824:
6820:
6818:
6815:
6814:
6790:
6787:
6786:
6766:
6762:
6753:
6749:
6747:
6744:
6743:
6723:
6719:
6710:
6706:
6704:
6701:
6700:
6675:
6672:
6671:
6651:
6647:
6632:
6628:
6626:
6623:
6622:
6596:
6592:
6577:
6573:
6561:
6557:
6548:
6544:
6532:
6528:
6519:
6515:
6513:
6510:
6509:
6482:
6478:
6469:
6465:
6453:
6449:
6434:
6430:
6422:
6419:
6418:
6413:because of the
6381:
6377:
6362:
6358:
6346:
6342:
6333:
6329:
6317:
6313:
6304:
6300:
6292:
6289:
6288:
6268:
6264:
6262:
6259:
6258:
6241:
6237:
6235:
6232:
6231:
6205:
6201:
6192:
6188:
6179:
6175:
6163:
6159:
6150:
6146:
6137:
6133:
6121:
6117:
6108:
6104:
6095:
6091:
6083:
6080:
6079:
6057:
6053:
6044:
6040:
6025:
6021:
6009:
6005:
5996:
5992:
5983:
5979:
5967:
5963:
5954:
5950:
5941:
5937:
5925:
5921:
5912:
5908:
5899:
5895:
5887:
5884:
5883:
5863:
5859:
5850:
5846:
5837:
5833:
5831:
5828:
5827:
5800:
5796:
5787:
5783:
5774:
5770:
5768:
5765:
5764:
5743:
5739:
5730:
5726:
5717:
5713:
5711:
5708:
5707:
5686:
5682:
5673:
5669:
5660:
5656:
5654:
5651:
5650:
5629:
5625:
5616:
5612:
5603:
5599:
5597:
5594:
5593:
5579:Hopf fibrations
5576:
5541:
5538:
5537:
5509:
5506:
5505:
5485:
5481:
5466:
5462:
5450:
5446:
5431:
5427:
5425:
5422:
5421:
5401:
5397:
5382:
5378:
5366:
5362:
5347:
5343:
5341:
5338:
5337:
5308:
5304:
5289:
5285:
5273:
5269:
5254:
5250:
5242:
5239:
5238:
5216:
5212:
5191:
5187:
5175:
5171:
5156:
5152:
5140:
5136:
5121:
5117:
5105:
5101:
5086:
5082:
5074:
5071:
5070:
5047:
5043:
5031:
5027:
5012:
5008:
5006:
5003:
5002:
4979:
4975:
4973:
4970:
4969:
4966:homotopy groups
4937:
4934:
4933:
4930:
4891:
4888:
4887:
4859:
4856:
4855:
4852:
4844:Puppe sequences
4768:
4764:
4759:
4756:
4755:
4736:
4733:
4732:
4716:
4713:
4712:
4695:
4691:
4680:
4677:
4676:
4657:
4654:
4653:
4636:
4632:
4630:
4627:
4626:
4609:
4605:
4593:
4589:
4581:
4578:
4577:
4576:is a path from
4561:
4558:
4557:
4531:
4527:
4522:
4519:
4518:
4498:
4494:
4482:
4478:
4469:
4465:
4463:
4460:
4459:
4443:
4440:
4439:
4390:
4386:
4370:
4366:
4357:
4353:
4345:
4342:
4341:
4322:
4319:
4318:
4302:
4299:
4298:
4273:
4270:
4269:
4252:
4248:
4246:
4243:
4242:
4217:
4214:
4213:
4212:is a path from
4185:
4182:
4181:
4159:
4156:
4155:
4118:
4115:
4114:
4091:
4087:
4079:
4076:
4075:
4054:
4050:
4042:
4039:
4038:
4015:
4011:
4009:
4006:
4005:
4004:and base point
3989:
3986:
3985:
3957:
3954:
3953:
3950:
3917:
3914:
3913:
3894:
3891:
3890:
3862:
3859:
3858:
3838:
3834:
3826:
3823:
3822:
3794:
3791:
3790:
3757:
3754:
3753:
3725:
3722:
3721:
3701:
3698:
3697:
3662:
3657:
3651:
3648:
3647:
3615:
3610:
3604:
3601:
3600:
3554:
3551:
3550:
3549:For a homotopy
3529:
3526:
3525:
3495:
3492:
3491:
3462:
3458:
3456:
3453:
3452:
3448:
3420:
3417:
3416:
3396:
3392:
3380:
3376:
3374:
3371:
3370:
3339:
3336:
3335:
3316:
3313:
3312:
3292:
3288:
3286:
3283:
3282:
3266:
3263:
3262:
3245:
3241:
3239:
3236:
3235:
3212:
3208:
3200:
3197:
3196:
3170:
3166:
3149:
3146:
3145:
3105:
3102:
3101:
3058:
3055:
3054:
3032:
3029:
3028:
3000:
2997:
2996:
2980:
2977:
2976:
2955:
2951:
2949:
2946:
2945:
2896:
2893:
2892:
2869:
2865:
2857:
2854:
2853:
2824:
2821:
2820:
2803:
2799:
2797:
2794:
2793:
2773:
2769:
2761:
2758:
2757:
2707:
2701:
2697:
2661:
2657:
2655:
2652:
2651:
2613:
2610:
2609:
2566:
2563:
2562:
2534:
2531:
2530:
2505:
2502:
2501:
2473:
2470:
2469:
2441:
2438:
2437:
2416:
2412:
2410:
2407:
2406:
2396:
2370:
2366:
2364:
2361:
2360:
2334:
2331:
2330:
2314:
2311:
2310:
2284:
2280:
2278:
2275:
2274:
2224:
2176:
2172:
2170:
2167:
2166:
2134:
2130:
2121:
2117:
2115:
2112:
2111:
2083:
2080:
2079:
2051:
2048:
2047:
2044:
2018:
2014:
2013:
2009:
2007:
2004:
2003:
1984:
1980:
1979:
1975:
1973:
1970:
1969:
1947:
1944:
1943:
1921:
1918:
1917:
1900:
1896:
1887:
1883:
1875:
1872:
1871:
1851:
1848:
1847:
1810:
1806:
1797:
1793:
1791:
1788:
1787:
1764:
1760:
1751:
1747:
1745:
1742:
1741:
1724:
1720:
1711:
1707:
1699:
1696:
1695:
1692:
1687:
1664:
1660:
1651:
1647:
1638:
1634:
1632:
1629:
1628:
1577:
1573:
1571:
1568:
1567:
1551:
1548:
1547:
1529:
1521:
1518:
1517:
1500:
1496:
1487:
1483:
1472:
1469:
1468:
1449:
1445:
1441:
1437:
1426:
1422:
1421:
1417:
1408:
1404:
1402:
1399:
1398:
1360:
1357:
1356:
1320:
1319:
1311:
1308:
1307:
1255:
1254:
1252:
1249:
1248:
1219:
1208:
1207:
1206:
1204:
1201:
1200:
1199:and every lift
1154:
1151:
1150:
1122:
1119:
1118:
1078:
1075:
1074:
1066:
1022:
1018:
988:
984:
969:
965:
956:
952:
950:
947:
946:
924:
921:
920:
891:
887:
879:
876:
875:
851:
848:
847:
846:, if for every
813:
810:
809:
806:
766:
763:
762:
759:Serre fibration
755:
753:Serre fibration
713:
709:
700:
696:
694:
691:
690:
668:
665:
664:
641:
638:
637:
617:
614:
613:
594:
591:
590:
562:
559:
558:
551:
507:
502:
501:
490:
489:
480:
469:
468:
467:
465:
462:
461:
439:
438:
424:
421:
420:
404:
401:
400:
348:
347:
345:
342:
341:
320:
309:
308:
307:
292:
288:
286:
283:
282:
265:
261:
246:
241:
240:
235:
232:
231:
202:
191:
190:
189:
187:
184:
183:
134:
131:
130:
107:
104:
103:
71:
68:
67:
64:
59:
17:
12:
11:
5:
9536:
9526:
9525:
9520:
9504:
9503:
9480:
9457:
9450:
9425:
9410:
9380:
9373:
9344:
9325:(2): 239–281.
9313:Dold, Albrecht
9304:
9297:
9281:Hatcher, Allen
9245:
9238:
9203:
9202:
9200:
9197:
9196:
9195:
9188:
9185:
9171:
9147:
9144:
9141:
9138:
9135:
9132:
9129:
9126:
9123:
9120:
9117:
9114:
9111:
9108:
9081:
9060:
9036:
9033:
9030:
9027:
9024:
9012:
9009:
8997:
8994:
8989:
8985:
8981:
8978:
8975:
8955:
8935:
8915:
8889:
8886:
8881:
8878:
8875:
8872:
8868:
8864:
8859:
8856:
8853:
8850:
8846:
8842:
8822:
8819:
8816:
8813:
8793:
8790:
8787:
8784:
8779:
8776:
8773:
8770:
8766:
8762:
8757:
8753:
8749:
8746:
8743:
8740:
8735:
8732:
8729:
8726:
8722:
8718:
8713:
8709:
8705:
8700:
8696:
8692:
8689:
8686:
8666:
8663:
8660:
8640:
8637:
8634:
8629:
8625:
8621:
8616:
8612:
8591:
8588:
8585:
8565:
8545:
8517:
8494:
8474:
8471:
8468:
8465:
8462:
8450:
8447:
8434:
8431:
8428:
8425:
8422:
8417:
8414:
8411:
8407:
8403:
8400:
8397:
8394:
8389:
8386:
8383:
8380:
8377:
8373:
8369:
8366:
8363:
8360:
8355:
8351:
8343:
8339:
8334:
8330:
8327:
8324:
8319:
8315:
8311:
8308:
8289:
8286:
8283:
8280:
8277:
8272:
8269:
8266:
8262:
8258:
8255:
8252:
8249:
8244:
8241:
8238:
8234:
8230:
8227:
8224:
8221:
8216:
8212:
8204:
8200:
8195:
8191:
8188:
8185:
8180:
8176:
8172:
8169:
8155:Wang sequences
8142:
8139:
8119:
8097:
8093:
8089:
8086:
8083:
8080:
8057:
8052:
8042:
8040:
8037:
8036:
8033:
8030:
8027:
8024:
8021:
8018:
8015:
8012:
8009:
8005:
8001:
7998:
7995:
7992:
7989:
7985:
7984:
7982:
7977:
7974:
7969:
7965:
7961:
7958:
7953:
7949:
7926:
7921:
7917:
7913:
7886:
7883:
7880:
7877:
7874:
7869:
7865:
7857:
7853:
7848:
7844:
7837:
7833:
7828:
7824:
7821:
7818:
7813:
7810:
7807:
7804:
7801:
7797:
7791:
7787:
7783:
7780:
7777:
7772:
7769:
7766:
7763:
7760:
7756:
7748:
7744:
7739:
7735:
7732:
7729:
7724:
7721:
7718:
7715:
7712:
7708:
7700:
7696:
7691:
7687:
7684:
7681:
7676:
7673:
7670:
7667:
7664:
7660:
7636:
7633:
7630:
7627:
7624:
7604:
7601:
7598:
7595:
7592:
7587:
7583:
7562:
7559:
7556:
7553:
7550:
7530:
7527:
7524:
7521:
7518:
7513:
7509:
7488:
7485:
7482:
7477:
7473:
7452:
7449:
7446:
7441:
7437:
7422:path connected
7409:
7406:
7386:
7383:
7380:
7377:
7374:
7363:
7362:
7351:
7348:
7345:
7342:
7337:
7334:
7331:
7327:
7322:
7316:
7311:
7308:
7305:
7301:
7297:
7294:
7291:
7288:
7285:
7280:
7276:
7272:
7269:
7266:
7261:
7257:
7231:
7227:
7203:
7200:
7180:
7177:
7174:
7171:
7168:
7146:
7143:
7130:
7127:
7122:
7118:
7114:
7109:
7106:
7103:
7099:
7095:
7092:
7087:
7083:
7079:
7074:
7070:
7066:
7063:
7058:
7054:
7050:
7045:
7041:
7020:
7015:
7011:
7007:
7002:
6999:
6996:
6992:
6988:
6985:
6980:
6976:
6972:
6967:
6963:
6959:
6956:
6951:
6947:
6943:
6938:
6934:
6908:
6904:
6881:
6877:
6854:
6850:
6827:
6823:
6800:
6797:
6794:
6774:
6769:
6765:
6761:
6756:
6752:
6731:
6726:
6722:
6718:
6713:
6709:
6688:
6685:
6682:
6679:
6659:
6654:
6650:
6646:
6641:
6638:
6635:
6631:
6607:
6604:
6599:
6595:
6591:
6586:
6583:
6580:
6576:
6572:
6569:
6564:
6560:
6556:
6551:
6547:
6543:
6540:
6535:
6531:
6527:
6522:
6518:
6501:and there are
6490:
6485:
6481:
6477:
6472:
6468:
6464:
6461:
6456:
6452:
6448:
6443:
6440:
6437:
6433:
6429:
6426:
6395:
6392:
6389:
6384:
6380:
6376:
6371:
6368:
6365:
6361:
6357:
6354:
6349:
6345:
6341:
6336:
6332:
6328:
6325:
6320:
6316:
6312:
6307:
6303:
6299:
6296:
6271:
6267:
6244:
6240:
6216:
6213:
6208:
6204:
6200:
6195:
6191:
6187:
6182:
6178:
6174:
6171:
6166:
6162:
6158:
6153:
6149:
6145:
6140:
6136:
6132:
6129:
6124:
6120:
6116:
6111:
6107:
6103:
6098:
6094:
6090:
6087:
6068:
6065:
6060:
6056:
6052:
6047:
6043:
6039:
6034:
6031:
6028:
6024:
6020:
6017:
6012:
6008:
6004:
5999:
5995:
5991:
5986:
5982:
5978:
5975:
5970:
5966:
5962:
5957:
5953:
5949:
5944:
5940:
5936:
5933:
5928:
5924:
5920:
5915:
5911:
5907:
5902:
5898:
5894:
5891:
5866:
5862:
5858:
5853:
5849:
5845:
5840:
5836:
5808:
5803:
5799:
5795:
5790:
5786:
5782:
5777:
5773:
5751:
5746:
5742:
5738:
5733:
5729:
5725:
5720:
5716:
5694:
5689:
5685:
5681:
5676:
5672:
5668:
5663:
5659:
5637:
5632:
5628:
5624:
5619:
5615:
5611:
5606:
5602:
5575:
5574:Hopf fibration
5572:
5560:
5557:
5554:
5551:
5548:
5545:
5525:
5522:
5519:
5516:
5513:
5493:
5488:
5484:
5480:
5477:
5474:
5469:
5465:
5461:
5458:
5453:
5449:
5445:
5442:
5439:
5434:
5430:
5409:
5404:
5400:
5396:
5393:
5390:
5385:
5381:
5377:
5374:
5369:
5365:
5361:
5358:
5355:
5350:
5346:
5319:
5316:
5311:
5307:
5303:
5300:
5297:
5292:
5288:
5284:
5281:
5276:
5272:
5268:
5265:
5262:
5257:
5253:
5249:
5246:
5227:
5224:
5219:
5215:
5211:
5208:
5205:
5200:
5197:
5194:
5190:
5186:
5183:
5178:
5174:
5170:
5167:
5164:
5159:
5155:
5151:
5148:
5143:
5139:
5135:
5132:
5129:
5124:
5120:
5116:
5113:
5108:
5104:
5100:
5097:
5094:
5089:
5085:
5081:
5078:
5055:
5050:
5046:
5042:
5037:
5034:
5030:
5026:
5023:
5020:
5015:
5011:
4990:
4987:
4982:
4978:
4953:
4950:
4947:
4944:
4941:
4929:
4926:
4895:
4875:
4872:
4869:
4866:
4863:
4851:
4848:
4824:
4821:
4818:
4815:
4812:
4809:
4806:
4803:
4800:
4797:
4794:
4791:
4788:
4785:
4782:
4779:
4776:
4771:
4767:
4763:
4740:
4720:
4698:
4694:
4690:
4687:
4684:
4664:
4661:
4639:
4635:
4612:
4608:
4604:
4601:
4596:
4592:
4588:
4585:
4565:
4545:
4542:
4539:
4534:
4530:
4526:
4506:
4501:
4497:
4493:
4488:
4485:
4481:
4477:
4472:
4468:
4447:
4424:
4421:
4416:
4412:
4408:
4403:
4399:
4393:
4389:
4383:
4379:
4373:
4369:
4365:
4360:
4356:
4352:
4349:
4326:
4306:
4286:
4283:
4280:
4277:
4255:
4251:
4230:
4227:
4224:
4221:
4201:
4198:
4195:
4192:
4189:
4169:
4166:
4163:
4143:
4140:
4137:
4134:
4131:
4128:
4125:
4122:
4102:
4099:
4094:
4090:
4086:
4083:
4074:. The mapping
4057:
4053:
4049:
4046:
4037:the inclusion
4026:
4023:
4018:
4014:
3993:
3973:
3970:
3967:
3964:
3961:
3949:
3948:Puppe sequence
3946:
3945:
3944:
3933:
3930:
3927:
3924:
3921:
3898:
3878:
3875:
3872:
3869:
3866:
3855:
3841:
3837:
3833:
3830:
3810:
3807:
3804:
3801:
3798:
3787:
3776:
3773:
3770:
3767:
3764:
3761:
3741:
3738:
3735:
3732:
3729:
3705:
3694:
3682:
3679:
3676:
3673:
3670:
3665:
3660:
3656:
3635:
3632:
3629:
3626:
3623:
3618:
3613:
3609:
3588:
3585:
3582:
3579:
3576:
3573:
3570:
3567:
3564:
3561:
3558:
3547:
3536:
3533:
3522:path component
3505:
3502:
3499:
3479:
3476:
3473:
3468:
3465:
3461:
3447:
3444:
3438:and is called
3427:
3424:
3404:
3399:
3395:
3391:
3386:
3383:
3379:
3358:
3355:
3352:
3349:
3346:
3343:
3323:
3320:
3300:
3295:
3291:
3270:
3248:
3244:
3223:
3220:
3215:
3211:
3207:
3204:
3181:
3178:
3173:
3169:
3165:
3162:
3159:
3156:
3153:
3133:
3130:
3127:
3124:
3121:
3118:
3115:
3112:
3109:
3089:
3086:
3083:
3080:
3077:
3074:
3071:
3068:
3065:
3062:
3042:
3039:
3036:
3016:
3013:
3010:
3007:
3004:
2984:
2973:homotopy fiber
2958:
2954:
2933:
2930:
2927:
2924:
2921:
2918:
2915:
2912:
2909:
2906:
2903:
2900:
2880:
2877:
2872:
2868:
2864:
2861:
2834:
2831:
2828:
2806:
2802:
2781:
2776:
2772:
2768:
2765:
2741:
2738:
2735:
2732:
2729:
2726:
2723:
2720:
2717:
2714:
2710:
2704:
2700:
2696:
2693:
2690:
2687:
2684:
2681:
2678:
2675:
2672:
2669:
2664:
2660:
2635:
2632:
2629:
2626:
2623:
2620:
2617:
2597:
2594:
2591:
2588:
2585:
2582:
2579:
2576:
2573:
2570:
2550:
2547:
2544:
2541:
2538:
2515:
2512:
2509:
2489:
2486:
2483:
2480:
2477:
2457:
2454:
2451:
2448:
2445:
2419:
2415:
2395:
2392:
2386:is called the
2373:
2369:
2359:The fibration
2338:
2318:
2298:
2295:
2292:
2287:
2283:
2258:
2255:
2252:
2249:
2246:
2243:
2240:
2237:
2234:
2231:
2227:
2223:
2220:
2217:
2214:
2211:
2208:
2205:
2202:
2199:
2196:
2193:
2190:
2187:
2184:
2179:
2175:
2154:
2151:
2148:
2145:
2142:
2137:
2133:
2129:
2124:
2120:
2110:, the mapping
2099:
2096:
2093:
2090:
2087:
2078:and a mapping
2067:
2064:
2061:
2058:
2055:
2043:
2040:
2028:
2021:
2017:
2012:
1987:
1983:
1978:
1957:
1954:
1951:
1931:
1928:
1925:
1903:
1899:
1895:
1890:
1886:
1882:
1879:
1855:
1821:
1818:
1813:
1809:
1805:
1800:
1796:
1775:
1772:
1767:
1763:
1759:
1754:
1750:
1727:
1723:
1719:
1714:
1710:
1706:
1703:
1691:
1688:
1686:
1685:Basic concepts
1683:
1682:
1681:
1667:
1663:
1659:
1654:
1650:
1646:
1641:
1637:
1626:Hopf fibration
1622:
1606:
1603:
1600:
1597:
1594:
1591:
1588:
1585:
1580:
1576:
1555:
1536:
1532:
1528:
1525:
1503:
1499:
1495:
1490:
1486:
1482:
1479:
1476:
1452:
1448:
1444:
1440:
1436:
1429:
1425:
1420:
1416:
1411:
1407:
1395:
1388:
1376:
1373:
1370:
1367:
1364:
1350:
1339:
1336:
1333:
1327:
1324:
1318:
1315:
1295:
1292:
1289:
1286:
1283:
1280:
1277:
1274:
1271:
1268:
1262:
1259:
1236:
1233:
1230:
1227:
1222:
1215:
1212:
1188:
1185:
1182:
1179:
1176:
1173:
1170:
1167:
1164:
1161:
1158:
1138:
1135:
1132:
1129:
1126:
1112:
1100:
1097:
1094:
1091:
1088:
1085:
1082:
1065:
1062:
1042:
1039:
1036:
1033:
1030:
1025:
1021:
1017:
1014:
1011:
1008:
1005:
1002:
999:
994:
991:
987:
983:
980:
977:
972:
968:
964:
959:
955:
934:
931:
928:
908:
905:
902:
897:
894:
890:
886:
883:
864:
861:
858:
855:
843:quasifibration
829:
826:
823:
820:
817:
805:
804:Quasifibration
802:
782:
779:
776:
773:
770:
754:
751:
739:
736:
733:
730:
727:
724:
719:
716:
712:
708:
703:
699:
678:
675:
672:
645:
636:and the space
621:
601:
598:
578:
575:
572:
569:
566:
550:
547:
534:The following
521:
516:
513:
510:
505:
497:
494:
488:
483:
476:
473:
446:
443:
437:
434:
431:
428:
408:
388:
385:
382:
379:
376:
373:
370:
367:
364:
361:
355:
352:
338:
337:
323:
316:
313:
306:
303:
300:
295:
291:
268:
264:
260:
255:
252:
249:
244:
239:
219:
216:
213:
210:
205:
198:
195:
180:
168:
165:
162:
159:
156:
153:
150:
147:
144:
141:
138:
111:
98:satisfies the
87:
84:
81:
78:
75:
63:
60:
58:
55:
15:
9:
6:
4:
3:
2:
9535:
9524:
9521:
9519:
9516:
9515:
9513:
9496:
9495:
9490:
9484:
9473:
9472:
9464:
9462:
9453:
9451:0-691-08055-0
9447:
9443:
9439:
9435:
9429:
9421:
9417:
9413:
9411:0-226-51182-0
9407:
9403:
9396:
9395:
9390:
9384:
9376:
9370:
9366:
9362:
9358:
9351:
9349:
9340:
9336:
9332:
9328:
9324:
9320:
9319:
9314:
9308:
9300:
9298:0-521-79160-X
9294:
9290:
9286:
9282:
9276:
9274:
9272:
9270:
9268:
9266:
9264:
9262:
9260:
9258:
9256:
9254:
9252:
9250:
9241:
9235:
9231:
9227:
9223:
9217:
9215:
9213:
9211:
9209:
9204:
9194:
9191:
9190:
9184:
9158:
9145:
9139:
9133:
9127:
9121:
9118:
9112:
9106:
9097:
9095:
9079:
9050:
9034:
9028:
9025:
9022:
9008:
8995:
8992:
8987:
8979:
8973:
8953:
8933:
8913:
8905:
8900:
8887:
8876:
8870:
8866:
8862:
8854:
8848:
8844:
8817:
8811:
8791:
8785:
8782:
8774:
8768:
8764:
8755:
8751:
8741:
8738:
8730:
8724:
8720:
8711:
8707:
8703:
8698:
8690:
8684:
8661:
8635:
8632:
8627:
8623:
8614:
8610:
8589:
8586:
8583:
8563:
8543:
8535:
8531:
8515:
8508:
8492:
8472:
8466:
8463:
8460:
8449:Orientability
8445:
8432:
8423:
8415:
8412:
8409:
8405:
8395:
8387:
8384:
8381:
8378:
8375:
8371:
8361:
8353:
8349:
8341:
8337:
8332:
8325:
8317:
8313:
8306:
8287:
8278:
8270:
8267:
8264:
8260:
8250:
8242:
8239:
8236:
8232:
8222:
8214:
8210:
8202:
8198:
8193:
8186:
8178:
8174:
8167:
8158:
8156:
8140:
8137:
8117:
8095:
8091:
8084:
8081:
8078:
8068:
8055:
8038:
8028:
8025:
8022:
8016:
8013:
8010:
8007:
7999:
7996:
7980:
7975:
7967:
7963:
7951:
7947:
7937:
7924:
7919:
7915:
7903:
7897:
7884:
7875:
7867:
7863:
7855:
7851:
7846:
7842:
7835:
7831:
7826:
7819:
7811:
7808:
7805:
7802:
7799:
7795:
7789:
7785:
7778:
7770:
7767:
7764:
7761:
7758:
7754:
7746:
7742:
7737:
7730:
7722:
7719:
7716:
7713:
7710:
7706:
7698:
7694:
7689:
7682:
7674:
7671:
7668:
7665:
7662:
7658:
7648:
7634:
7631:
7628:
7625:
7622:
7602:
7599:
7593:
7585:
7581:
7560:
7557:
7554:
7551:
7548:
7528:
7525:
7519:
7511:
7507:
7483:
7475:
7471:
7447:
7439:
7435:
7427:
7423:
7407:
7404:
7384:
7378:
7375:
7372:
7349:
7343:
7335:
7332:
7329:
7325:
7314:
7309:
7306:
7303:
7299:
7295:
7286:
7278:
7274:
7270:
7267:
7259:
7255:
7247:
7246:
7245:
7229:
7225:
7217:
7201:
7198:
7178:
7172:
7169:
7166:
7158:
7153:
7151:
7141:
7128:
7120:
7116:
7107:
7104:
7101:
7097:
7093:
7085:
7081:
7072:
7068:
7064:
7056:
7052:
7043:
7039:
7013:
7009:
7000:
6997:
6994:
6990:
6986:
6978:
6974:
6965:
6961:
6957:
6949:
6945:
6936:
6932:
6922:
6906:
6902:
6879:
6875:
6852:
6848:
6825:
6821:
6811:
6798:
6795:
6792:
6767:
6763:
6754:
6750:
6724:
6720:
6711:
6707:
6686:
6683:
6680:
6677:
6652:
6648:
6639:
6636:
6633:
6629:
6618:
6605:
6597:
6593:
6584:
6581:
6578:
6574:
6570:
6562:
6558:
6549:
6545:
6541:
6533:
6529:
6520:
6516:
6506:
6504:
6483:
6479:
6470:
6466:
6454:
6450:
6441:
6438:
6435:
6431:
6427:
6424:
6417:homomorphism
6416:
6412:
6406:
6393:
6382:
6378:
6369:
6366:
6363:
6359:
6347:
6343:
6334:
6330:
6318:
6314:
6305:
6301:
6294:
6285:
6269:
6265:
6242:
6238:
6227:
6214:
6206:
6202:
6198:
6193:
6189:
6180:
6176:
6164:
6160:
6156:
6151:
6147:
6138:
6134:
6122:
6118:
6114:
6109:
6105:
6096:
6092:
6085:
6058:
6054:
6050:
6045:
6041:
6032:
6029:
6026:
6022:
6010:
6006:
6002:
5997:
5993:
5984:
5980:
5968:
5964:
5960:
5955:
5951:
5942:
5938:
5926:
5922:
5918:
5913:
5909:
5900:
5896:
5889:
5880:
5864:
5860:
5851:
5847:
5838:
5834:
5825:
5819:
5806:
5801:
5797:
5788:
5784:
5775:
5771:
5762:
5749:
5744:
5740:
5731:
5727:
5718:
5714:
5705:
5692:
5687:
5683:
5674:
5670:
5661:
5657:
5648:
5635:
5630:
5626:
5617:
5613:
5604:
5600:
5590:
5588:
5584:
5583:fiber bundles
5580:
5571:
5558:
5555:
5549:
5546:
5543:
5523:
5517:
5514:
5511:
5486:
5482:
5478:
5475:
5467:
5463:
5451:
5447:
5443:
5440:
5432:
5428:
5402:
5398:
5394:
5391:
5383:
5379:
5367:
5363:
5359:
5356:
5348:
5344:
5336:
5335:homomorphisms
5330:
5317:
5309:
5305:
5301:
5298:
5290:
5286:
5274:
5270:
5266:
5263:
5255:
5251:
5244:
5217:
5213:
5209:
5206:
5198:
5195:
5192:
5188:
5176:
5172:
5168:
5165:
5157:
5153:
5141:
5137:
5133:
5130:
5122:
5118:
5106:
5102:
5098:
5095:
5087:
5083:
5076:
5067:
5048:
5044:
5035:
5032:
5028:
5024:
5021:
5018:
5013:
5009:
4988:
4985:
4980:
4976:
4967:
4951:
4945:
4942:
4939:
4925:
4923:
4915:
4911:
4909:
4893:
4873:
4867:
4864:
4861:
4847:
4845:
4841:
4835:
4822:
4819:
4813:
4807:
4801:
4792:
4783:
4774:
4769:
4761:
4752:
4738:
4718:
4696:
4692:
4685:
4662:
4637:
4633:
4610:
4606:
4602:
4594:
4590:
4583:
4563:
4540:
4537:
4532:
4528:
4499:
4495:
4486:
4483:
4479:
4475:
4470:
4466:
4458:over a point
4445:
4438:The fiber of
4435:
4422:
4419:
4414:
4410:
4406:
4401:
4397:
4391:
4387:
4381:
4377:
4371:
4367:
4358:
4354:
4347:
4338:
4324:
4304:
4284:
4278:
4275:
4253:
4249:
4225:
4219:
4199:
4193:
4190:
4187:
4167:
4164:
4161:
4141:
4138:
4132:
4129:
4126:
4120:
4100:
4092:
4088:
4084:
4081:
4073:
4055:
4051:
4044:
4024:
4021:
4016:
4012:
3991:
3971:
3965:
3962:
3959:
3931:
3928:
3919:
3912:
3896:
3876:
3870:
3867:
3864:
3856:
3839:
3835:
3828:
3808:
3802:
3799:
3796:
3788:
3774:
3771:
3765:
3762:
3759:
3739:
3733:
3730:
3727:
3719:
3703:
3695:
3680:
3671:
3663:
3658:
3654:
3633:
3624:
3616:
3611:
3607:
3586:
3580:
3577:
3571:
3568:
3565:
3559:
3556:
3548:
3534:
3531:
3523:
3519:
3503:
3500:
3497:
3474:
3466:
3463:
3459:
3450:
3449:
3443:
3441:
3425:
3397:
3393:
3384:
3381:
3377:
3356:
3350:
3347:
3344:
3341:
3321:
3318:
3298:
3293:
3289:
3268:
3246:
3242:
3221:
3213:
3209:
3205:
3202:
3193:
3179:
3176:
3171:
3167:
3163:
3157:
3151:
3128:
3122:
3119:
3113:
3107:
3087:
3084:
3075:
3072:
3069:
3063:
3060:
3040:
3037:
3034:
3011:
3008:
3005:
2982:
2974:
2956:
2952:
2931:
2925:
2919:
2916:
2910:
2907:
2904:
2898:
2878:
2870:
2866:
2862:
2859:
2850:
2848:
2832:
2826:
2804:
2800:
2779:
2774:
2770:
2766:
2763:
2755:
2733:
2727:
2724:
2718:
2712:
2702:
2698:
2694:
2691:
2688:
2682:
2679:
2676:
2667:
2662:
2658:
2649:
2648:unit interval
2630:
2627:
2624:
2618:
2615:
2595:
2589:
2583:
2580:
2574:
2568:
2548:
2542:
2539:
2536:
2529:
2513:
2510:
2507:
2484:
2481:
2478:
2455:
2449:
2446:
2443:
2435:
2417:
2413:
2403:
2401:
2391:
2389:
2371:
2367:
2354:
2350:
2336:
2316:
2293:
2285:
2281:
2272:
2250:
2244:
2241:
2235:
2229:
2221:
2218:
2215:
2212:
2206:
2203:
2200:
2191:
2185:
2177:
2173:
2152:
2143:
2135:
2131:
2127:
2122:
2118:
2097:
2091:
2088:
2085:
2065:
2059:
2056:
2053:
2039:
2026:
2019:
2015:
2010:
1985:
1981:
1976:
1955:
1952:
1949:
1929:
1926:
1923:
1901:
1897:
1888:
1884:
1880:
1877:
1869:
1853:
1841:
1837:
1835:
1819:
1811:
1807:
1803:
1798:
1794:
1773:
1765:
1761:
1757:
1752:
1748:
1725:
1721:
1712:
1708:
1704:
1701:
1665:
1661:
1652:
1648:
1639:
1635:
1627:
1623:
1620:
1601:
1595:
1592:
1589:
1583:
1578:
1574:
1553:
1534:
1526:
1523:
1501:
1497:
1488:
1484:
1477:
1474:
1450:
1446:
1438:
1427:
1423:
1418:
1414:
1409:
1405:
1396:
1393:
1389:
1374:
1368:
1365:
1362:
1355:
1351:
1337:
1334:
1331:
1322:
1316:
1313:
1293:
1284:
1281:
1278:
1272:
1269:
1266:
1257:
1234:
1228:
1225:
1220:
1210:
1186:
1177:
1174:
1171:
1165:
1162:
1159:
1156:
1136:
1130:
1127:
1124:
1117:
1113:
1098:
1092:
1089:
1086:
1083:
1080:
1072:
1068:
1067:
1061:
1058:
1056:
1037:
1034:
1031:
1023:
1019:
1009:
1006:
1000:
992:
989:
985:
981:
978:
970:
966:
962:
957:
953:
932:
929:
926:
903:
895:
892:
888:
884:
881:
862:
859:
856:
853:
845:
844:
827:
821:
818:
815:
801:
798:
796:
780:
774:
771:
768:
760:
750:
737:
734:
731:
725:
717:
714:
710:
706:
701:
697:
676:
673:
670:
663:
659:
643:
635:
619:
599:
596:
576:
570:
567:
564:
556:
543:
539:
537:
532:
519:
514:
511:
508:
492:
486:
481:
471:
441:
435:
432:
429:
426:
406:
386:
377:
374:
371:
365:
362:
359:
350:
321:
311:
304:
301:
298:
293:
289:
266:
262:
258:
253:
250:
247:
237:
217:
211:
208:
203:
193:
181:
166:
157:
154:
151:
145:
142:
139:
136:
129:
125:
124:
123:
109:
101:
85:
79:
76:
73:
54:
52:
48:
43:
41:
37:
32:
30:
26:
22:
9493:
9483:
9470:
9437:
9428:
9393:
9383:
9356:
9322:
9316:
9307:
9284:
9225:
9160:
9099:
9014:
8903:
8901:
8452:
8160:
8070:
7939:
7899:
7650:
7364:
7154:
7148:
6924:
6812:
6620:
6508:
6503:isomorphisms
6408:
6287:
6229:
5882:
5821:
5763:
5706:
5649:
5592:
5577:
5332:
5069:
4931:
4919:
4907:
4854:A fibration
4853:
4837:
4754:
4437:
4340:
3951:
3718:contractible
3194:
2851:
2752:carries the
2650:. The space
2404:
2399:
2397:
2387:
2358:
2045:
1867:
1846:The mapping
1845:
1833:
1693:
1354:fiber bundle
1059:
841:
807:
799:
795:CW-complexes
758:
756:
661:
657:
633:
554:
552:
533:
339:
102:for a space
65:
44:
33:
25:fiber bundle
20:
18:
9072:with fiber
8602:the module
8485:with fiber
7397:with fiber
7191:with fiber
4886:with fiber
4840:cofibration
3984:with fiber
3889:with fiber
3451:The fibers
1392:paracompact
1055:isomorphism
658:total space
9512:Categories
9199:References
8904:orientable
6415:suspension
4906:is called
3446:Properties
3440:loop space
3053:and paths
2944:The fiber
1694:A mapping
1071:projection
840:is called
808:A mapping
662:fiber over
656:is called
634:base space
632:is called
612:The space
126:for every
66:A mapping
47:continuous
9389:May, J.P.
9134:χ
9122:χ
9107:χ
9047:over the
9032:→
9026::
8988:∗
8980:ω
8934:ω
8871:ω
8849:ω
8818:ω
8769:ω
8756:∗
8748:→
8725:ω
8712:∗
8704::
8699:∗
8691:ω
8662:ω
8615:∗
8587:∈
8532:from the
8470:→
8464::
8433:⋯
8430:→
8402:→
8379:−
8368:→
8342:∗
8310:→
8307:⋯
8288:⋯
8285:→
8268:−
8257:→
8240:−
8229:→
8203:∗
8171:→
8168:⋯
8088:→
8082::
8045:otherwise
8026:−
8008::
8000:∈
7994:∃
7960:Ω
7912:Ω
7882:→
7856:∗
7843:⋯
7836:∗
7809:−
7790:τ
7768:−
7747:∗
7720:−
7699:∗
7672:−
7476:∗
7436:π
7382:→
7376::
7321:⟹
7296:≅
7230:∗
7176:→
7170::
7105:−
7098:π
7094:⊕
7069:π
7065:≅
7040:π
6998:−
6991:π
6987:⊕
6962:π
6958:≅
6933:π
6796:≥
6751:π
6708:π
6681:≥
6637:−
6630:π
6582:−
6575:π
6571:⊕
6546:π
6542:≅
6517:π
6467:π
6463:→
6439:−
6432:π
6428::
6425:ϕ
6391:→
6367:−
6360:π
6356:→
6331:π
6327:→
6302:π
6298:→
6177:π
6173:→
6135:π
6131:→
6093:π
6089:→
6086:⋯
6067:→
6030:−
6023:π
6019:→
5981:π
5977:→
5939:π
5935:→
5897:π
5893:→
5890:⋯
5857:→
5844:↪
5794:→
5781:↪
5737:→
5724:↪
5680:→
5667:↪
5623:→
5610:↪
5553:→
5547::
5521:↪
5515::
5464:π
5460:→
5429:π
5380:π
5376:→
5345:π
5287:π
5283:→
5252:π
5248:→
5245:⋯
5226:→
5196:−
5189:π
5185:→
5154:π
5150:→
5119:π
5115:→
5084:π
5080:→
5077:⋯
5033:−
5019:∈
4986:∈
4949:→
4943::
4908:principal
4871:→
4865::
4817:→
4811:→
4805:→
4799:Ω
4796:→
4790:Ω
4787:→
4781:Ω
4778:→
4766:Ω
4762:⋯
4689:↪
4683:Ω
4660:Ω
4564:γ
4541:γ
4484:−
4476:∈
4364:→
4351:→
4348:⋯
4282:→
4197:→
4191::
4188:γ
4165:∈
4133:γ
4098:→
4085::
4048:↪
4022:∈
3969:→
3963::
3926:Ω
3923:→
3874:→
3868::
3832:↪
3806:→
3800::
3769:→
3763:×
3737:→
3731::
3678:→
3664:∗
3631:→
3617:∗
3584:→
3578:×
3560::
3520:for each
3501:∈
3464:−
3423:Ω
3382:−
3354:→
3345::
3219:→
3206::
3177:∈
3152:γ
3108:γ
3082:→
3064::
3061:γ
3038:∈
3012:γ
2920:γ
2911:γ
2876:→
2863::
2830:→
2767:×
2713:γ
2695:×
2689:∈
2683:γ
2569:γ
2546:→
2540::
2537:γ
2511:∈
2485:γ
2453:→
2447::
2286:∗
2219:×
2213:∈
2178:∗
2150:→
2136:∗
2128::
2095:→
2089::
2063:→
2057::
1953:∘
1927:∘
1894:→
1881::
1817:→
1804::
1771:→
1758::
1718:→
1705::
1658:→
1645:→
1599:→
1593::
1527:∈
1494:→
1481:∂
1478::
1443:∂
1435:→
1415::
1410:∗
1372:→
1366::
1326:~
1317:∘
1291:→
1273:×
1267::
1261:~
1232:→
1226::
1214:~
1184:→
1166:×
1160::
1134:→
1128::
1096:→
1090:×
1084::
1020:π
1016:→
990:−
967:π
963::
958:∗
930:≥
893:−
885:∈
857:∈
825:→
819::
778:→
772::
732:⊆
715:−
674:∈
574:→
568::
555:fibration
549:Fibration
512:×
496:~
475:~
445:~
436:∘
384:→
366:×
360::
354:~
315:~
305:∘
251:×
215:→
209::
197:~
164:→
146:×
140::
83:→
77::
21:fibration
9491:(1998).
9436:(1951).
9420:41266205
9391:(1999).
9283:(2001).
9224:(1966).
9187:See also
8333:→
8194:→
7847:→
7827:→
7786:→
7738:→
7690:→
4411:→
4398:→
4378:→
4154:, where
2271:pullback
1116:covering
1064:Examples
399:lifting
230:lifting
128:homotopy
9339:1970005
8530:functor
5879:yields:
5587:spheres
3192:holds.
2646:is the
2432:of the
2269:is the
460:) with
9448:
9418:
9408:
9371:
9337:
9295:
9287:. NY:
9236:
8804:where
7424:, the
6411:splits
4556:where
4297:along
3100:where
2792:where
2608:where
1516:where
1352:Every
1114:Every
1053:is an
660:. The
419:(i.e.
281:(i.e.
9498:(PDF)
9475:(PDF)
9398:(PDF)
9335:JSTOR
9049:field
8906:over
4113:with
3490:over
3027:with
2891:with
2528:paths
2500:with
2309:onto
1866:is a
1306:with
9446:ISBN
9416:OCLC
9406:ISBN
9369:ISBN
9293:ISBN
9234:ISBN
8507:ring
7632:<
7626:<
7615:for
7573:and
7558:<
7552:<
7541:for
7155:The
7031:and
6867:and
6785:for
6742:and
5822:The
5420:and
5333:The
5001:and
4180:and
3646:and
3516:are
3144:and
2526:and
2329:and
2002:and
1942:and
1786:and
1624:The
1069:The
919:and
122:if:
9361:doi
9327:doi
8946:in
8536:of
6894:in
6840:in
6257:in
4625:to
4241:to
3716:is
3524:of
2975:of
2756:of
797:.
179:and
38:or
9514::
9460:^
9444:.
9440:.
9414:.
9404:.
9400:.
9367:.
9347:^
9333:.
9323:67
9321:.
9291:.
9248:^
9232:.
9228:.
9207:^
9183:.
8996:1.
7885:0.
7086:15
6907:15
6799:3.
6394:0.
5789:15
4924:.
3442:.
2849:.
2402:.
2011:Id
1977:Id
1057:.
757:A
553:A
53:.
42:.
9454:.
9422:.
9377:.
9363::
9341:.
9329::
9301:.
9242:.
9170:K
9146:.
9143:)
9140:F
9137:(
9131:)
9128:B
9125:(
9119:=
9116:)
9113:E
9110:(
9080:F
9059:K
9035:B
9029:E
9023:p
8993:=
8984:]
8977:[
8974:h
8954:B
8914:R
8888:.
8885:]
8880:)
8877:1
8874:(
8867:F
8863:,
8858:)
8855:0
8852:(
8845:F
8841:[
8821:]
8815:[
8812:h
8792:,
8789:)
8786:R
8783:,
8778:)
8775:1
8772:(
8765:F
8761:(
8752:H
8745:)
8742:R
8739:,
8734:)
8731:0
8728:(
8721:F
8717:(
8708:H
8695:]
8688:[
8685:h
8665:]
8659:[
8639:)
8636:R
8633:,
8628:b
8624:F
8620:(
8611:H
8590:B
8584:b
8564:R
8544:B
8516:R
8493:F
8473:B
8467:E
8461:p
8427:)
8424:E
8421:(
8416:1
8413:+
8410:q
8406:H
8399:)
8396:F
8393:(
8388:1
8385:+
8382:n
8376:q
8372:H
8365:)
8362:F
8359:(
8354:q
8350:H
8338:i
8329:)
8326:E
8323:(
8318:q
8314:H
8282:)
8279:F
8276:(
8271:1
8265:q
8261:H
8254:)
8251:F
8248:(
8243:n
8237:q
8233:H
8226:)
8223:E
8220:(
8215:q
8211:H
8199:i
8190:)
8187:F
8184:(
8179:q
8175:H
8141:,
8138:F
8118:n
8096:n
8092:S
8085:E
8079:p
8056:.
8039:0
8032:)
8029:1
8023:n
8020:(
8017:q
8014:=
8011:k
8004:Z
7997:q
7988:Z
7981:{
7976:=
7973:)
7968:n
7964:S
7957:(
7952:k
7948:H
7925::
7920:n
7916:S
7879:)
7876:B
7873:(
7868:1
7864:H
7852:f
7832:i
7823:)
7820:F
7817:(
7812:2
7806:n
7803:+
7800:m
7796:H
7782:)
7779:B
7776:(
7771:1
7765:n
7762:+
7759:m
7755:H
7743:f
7734:)
7731:E
7728:(
7723:1
7717:n
7714:+
7711:m
7707:H
7695:i
7686:)
7683:F
7680:(
7675:1
7669:n
7666:+
7663:m
7659:H
7635:n
7629:q
7623:0
7603:0
7600:=
7597:)
7594:F
7591:(
7586:q
7582:H
7561:m
7555:p
7549:0
7529:0
7526:=
7523:)
7520:B
7517:(
7512:p
7508:H
7487:)
7484:F
7481:(
7472:H
7451:)
7448:B
7445:(
7440:1
7408:,
7405:F
7385:B
7379:E
7373:p
7350:.
7347:)
7344:E
7341:(
7336:q
7333:+
7330:k
7326:G
7315:2
7310:q
7307:,
7304:k
7300:E
7293:)
7290:)
7287:F
7284:(
7279:q
7275:G
7271:;
7268:B
7265:(
7260:k
7256:H
7226:G
7202:,
7199:F
7179:B
7173:E
7167:p
7129:.
7126:)
7121:7
7117:S
7113:(
7108:1
7102:i
7091:)
7082:S
7078:(
7073:i
7062:)
7057:8
7053:S
7049:(
7044:i
7019:)
7014:3
7010:S
7006:(
7001:1
6995:i
6984:)
6979:7
6975:S
6971:(
6966:i
6955:)
6950:4
6946:S
6942:(
6937:i
6903:S
6880:7
6876:S
6853:7
6849:S
6826:3
6822:S
6793:i
6773:)
6768:3
6764:S
6760:(
6755:i
6730:)
6725:2
6721:S
6717:(
6712:i
6687:,
6684:3
6678:i
6658:)
6653:1
6649:S
6645:(
6640:1
6634:i
6606:.
6603:)
6598:1
6594:S
6590:(
6585:1
6579:i
6568:)
6563:3
6559:S
6555:(
6550:i
6539:)
6534:2
6530:S
6526:(
6521:i
6505::
6489:)
6484:2
6480:S
6476:(
6471:i
6460:)
6455:1
6451:S
6447:(
6442:1
6436:i
6388:)
6383:1
6379:S
6375:(
6370:1
6364:i
6353:)
6348:2
6344:S
6340:(
6335:i
6324:)
6319:3
6315:S
6311:(
6306:i
6295:0
6270:3
6266:S
6243:1
6239:S
6215:.
6212:)
6207:0
6203:b
6199:,
6194:2
6190:S
6186:(
6181:1
6170:)
6165:0
6161:x
6157:,
6152:3
6148:S
6144:(
6139:1
6128:)
6123:0
6119:x
6115:,
6110:1
6106:S
6102:(
6097:1
6064:)
6059:0
6055:x
6051:,
6046:1
6042:S
6038:(
6033:1
6027:n
6016:)
6011:0
6007:b
6003:,
5998:2
5994:S
5990:(
5985:n
5974:)
5969:0
5965:x
5961:,
5956:3
5952:S
5948:(
5943:n
5932:)
5927:0
5923:x
5919:,
5914:1
5910:S
5906:(
5901:n
5865:2
5861:S
5852:3
5848:S
5839:1
5835:S
5807:.
5802:8
5798:S
5785:S
5776:7
5772:S
5750:,
5745:4
5741:S
5732:7
5728:S
5719:3
5715:S
5693:,
5688:2
5684:S
5675:3
5671:S
5662:1
5658:S
5636:,
5631:1
5627:S
5618:1
5614:S
5605:0
5601:S
5589::
5559:.
5556:B
5550:E
5544:p
5524:E
5518:F
5512:i
5492:)
5487:0
5483:b
5479:,
5476:B
5473:(
5468:n
5457:)
5452:0
5448:x
5444:,
5441:E
5438:(
5433:n
5408:)
5403:0
5399:x
5395:,
5392:E
5389:(
5384:n
5373:)
5368:0
5364:x
5360:,
5357:F
5354:(
5349:n
5318:.
5315:)
5310:0
5306:x
5302:,
5299:E
5296:(
5291:0
5280:)
5275:0
5271:x
5267:,
5264:F
5261:(
5256:0
5223:)
5218:0
5214:x
5210:,
5207:F
5204:(
5199:1
5193:n
5182:)
5177:0
5173:b
5169:,
5166:B
5163:(
5158:n
5147:)
5142:0
5138:x
5134:,
5131:E
5128:(
5123:n
5112:)
5107:0
5103:x
5099:,
5096:F
5093:(
5088:n
5054:)
5049:0
5045:b
5041:(
5036:1
5029:p
5025:=
5022:F
5014:0
5010:x
4989:B
4981:0
4977:b
4952:B
4946:E
4940:p
4894:F
4874:B
4868:E
4862:p
4823:.
4820:B
4814:E
4808:F
4802:B
4793:E
4784:F
4775:B
4770:2
4739:i
4719:i
4697:i
4693:F
4686:B
4663:B
4638:0
4634:b
4611:0
4607:b
4603:=
4600:)
4595:0
4591:e
4587:(
4584:p
4544:)
4538:,
4533:0
4529:e
4525:(
4505:)
4500:0
4496:b
4492:(
4487:1
4480:p
4471:0
4467:e
4446:i
4423:.
4420:B
4415:p
4407:E
4402:i
4392:p
4388:F
4382:j
4372:i
4368:F
4359:j
4355:F
4325:i
4305:p
4285:B
4279:B
4276:P
4254:0
4250:b
4229:)
4226:e
4223:(
4220:p
4200:B
4194:I
4168:E
4162:e
4142:e
4139:=
4136:)
4130:,
4127:e
4124:(
4121:i
4101:E
4093:p
4089:F
4082:i
4056:p
4052:F
4045:F
4025:B
4017:0
4013:b
3992:F
3972:B
3966:E
3960:p
3932:.
3929:B
3920:F
3897:F
3877:B
3871:E
3865:p
3840:p
3836:E
3829:E
3809:B
3803:E
3797:p
3775:.
3772:B
3766:F
3760:B
3740:B
3734:E
3728:p
3704:B
3681:A
3675:)
3672:E
3669:(
3659:1
3655:f
3634:A
3628:)
3625:E
3622:(
3612:0
3608:f
3587:B
3581:A
3575:]
3572:1
3569:,
3566:0
3563:[
3557:f
3535:.
3532:B
3504:B
3498:b
3478:)
3475:b
3472:(
3467:1
3460:p
3426:B
3403:)
3398:0
3394:b
3390:(
3385:1
3378:p
3357:B
3351:B
3348:P
3342:p
3322:B
3319:P
3299:.
3294:0
3290:b
3269:B
3247:i
3243:E
3222:B
3214:0
3210:b
3203:i
3180:B
3172:0
3168:b
3164:=
3161:)
3158:1
3155:(
3132:)
3129:a
3126:(
3123:f
3120:=
3117:)
3114:0
3111:(
3088:,
3085:B
3079:]
3076:1
3073:,
3070:0
3067:[
3041:A
3035:a
3015:)
3009:,
3006:a
3003:(
2983:f
2957:f
2953:F
2932:.
2929:)
2926:1
2923:(
2917:=
2914:)
2908:,
2905:a
2902:(
2899:p
2879:B
2871:f
2867:E
2860:p
2833:B
2827:I
2805:I
2801:B
2780:,
2775:I
2771:B
2764:A
2740:}
2737:)
2734:a
2731:(
2728:f
2725:=
2722:)
2719:0
2716:(
2709:|
2703:I
2699:B
2692:A
2686:)
2680:,
2677:a
2674:(
2671:{
2668:=
2663:f
2659:E
2634:]
2631:1
2628:,
2625:0
2622:[
2619:=
2616:I
2596:,
2593:)
2590:a
2587:(
2584:f
2581:=
2578:)
2575:0
2572:(
2549:B
2543:I
2514:A
2508:a
2488:)
2482:,
2479:a
2476:(
2456:B
2450:A
2444:f
2418:f
2414:E
2372:f
2368:p
2337:E
2317:A
2297:)
2294:E
2291:(
2282:f
2257:}
2254:)
2251:e
2248:(
2245:p
2242:=
2239:)
2236:a
2233:(
2230:f
2226:|
2222:E
2216:A
2210:)
2207:e
2204:,
2201:a
2198:(
2195:{
2192:=
2189:)
2186:E
2183:(
2174:f
2153:A
2147:)
2144:E
2141:(
2132:f
2123:f
2119:p
2098:B
2092:A
2086:f
2066:B
2060:E
2054:p
2027:.
2020:1
2016:E
1986:2
1982:E
1956:f
1950:g
1930:g
1924:f
1902:1
1898:E
1889:2
1885:E
1878:g
1854:f
1820:B
1812:2
1808:E
1799:2
1795:p
1774:B
1766:1
1762:E
1753:1
1749:p
1726:2
1722:E
1713:1
1709:E
1702:f
1666:2
1662:S
1653:3
1649:S
1640:1
1636:S
1621:.
1605:}
1602:X
1596:A
1590:f
1587:{
1584:=
1579:A
1575:X
1554:X
1535:,
1531:N
1524:k
1502:k
1498:I
1489:k
1485:I
1475:i
1451:k
1447:I
1439:X
1428:k
1424:I
1419:X
1406:i
1375:B
1369:E
1363:p
1338:.
1335:h
1332:=
1323:h
1314:p
1294:E
1288:]
1285:1
1282:,
1279:0
1276:[
1270:X
1258:h
1235:E
1229:X
1221:0
1211:h
1187:B
1181:]
1178:1
1175:,
1172:0
1169:[
1163:X
1157:h
1137:B
1131:E
1125:p
1099:B
1093:F
1087:B
1081:p
1041:)
1038:b
1035:,
1032:B
1029:(
1024:i
1013:)
1010:e
1007:,
1004:)
1001:b
998:(
993:1
986:p
982:,
979:E
976:(
971:i
954:p
933:0
927:i
907:)
904:b
901:(
896:1
889:p
882:e
863:,
860:B
854:b
828:B
822:E
816:p
781:B
775:E
769:p
738:.
735:E
729:)
726:b
723:(
718:1
711:p
707:=
702:b
698:F
677:B
671:b
644:E
620:B
600:.
597:X
577:B
571:E
565:p
520:.
515:0
509:X
504:|
493:h
487:=
482:0
472:h
442:h
433:p
430:=
427:h
407:h
387:E
381:]
378:1
375:,
372:0
369:[
363:X
351:h
336:)
322:0
312:h
302:p
299:=
294:0
290:h
267:0
263:h
259:=
254:0
248:X
243:|
238:h
218:E
212:X
204:0
194:h
167:B
161:]
158:1
155:,
152:0
149:[
143:X
137:h
110:X
86:B
80:E
74:p
Text is available under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License. Additional terms may apply.
