1673:
1989:
1031:
1332:
1764:
774:
1668:{\displaystyle (\alpha X_{1}X_{2}^{2}+\beta X_{2}X_{3})\cdot (\gamma X_{2}X_{1}+\delta X_{1}^{4}X_{4})=\alpha \gamma X_{1}X_{2}^{3}X_{1}+\alpha \delta X_{1}X_{2}^{2}X_{1}^{4}X_{4}+\beta \gamma X_{2}X_{3}X_{2}X_{1}+\beta \delta X_{2}X_{3}X_{1}^{4}X_{4}}
1215:
1984:{\displaystyle \sum \limits _{k=0}^{\infty }\,\,\,\sum \limits _{i_{1},i_{2},\cdots ,i_{k}\in \left\lbrace 1,2,\cdots ,n\right\rbrace }a_{i_{1},i_{2},\cdots ,i_{k}}X_{i_{1}}X_{i_{2}}\cdots X_{i_{k}},}
240:
1026:{\displaystyle \left(X_{i_{1}}X_{i_{2}}\cdots X_{i_{l}}\right)\cdot \left(X_{j_{1}}X_{j_{2}}\cdots X_{j_{m}}\right)=X_{i_{1}}X_{i_{2}}\cdots X_{i_{l}}X_{j_{1}}X_{j_{2}}\cdots X_{j_{m}},}
2172:
2064:
532:
1128:
485:
448:
194:
1261:
637:
1159:
2413:
94:
2468:
630:
582:
204:
19:
This article is about free algebras in ring theory. For the more general free algebras in universal algebra, see
2105:
1997:
499:
2432:
2442:
1080:
623:
490:
2437:
340:
2405:
100:
461:
424:
115:
710:
575:
378:
328:
177:
670:
since its elements may be described as "polynomials" with non-commuting variables. Likewise, the
387:
121:
80:
544:
395:
346:
127:
2088:⟩ are often denoted as "non-commutative polynomials" in the "variables" (or "indeterminates")
2209:
1264:
1246:
1145:
758:
703:
2463:
268:
142:
2423:
8:
2377:
2281:
550:
358:
309:
254:
148:
134:
62:
30:
2070:
and all but finitely many of these elements are zero. This explains why the elements of
2323:
736:
563:
49:
2458:
2409:
2331:
604:
401:
166:
107:
2419:
2362:
2339:
2300:. For a more general coefficient ring, the same construction works if we take the
691:
655:
610:
596:
410:
352:
315:
88:
74:
764:
by defining a multiplication as follows: the product of two basis elements is the
2382:
2350:
2205:
671:
667:
372:
322:
160:
2367:
2308:
2289:
2254:
1137:
1040:-module elements is thus uniquely determined (because the multiplication in an
699:
416:
2404:. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. Vol. 137. Cambridge:
2452:
2346:
765:
557:
453:
68:
2387:
2327:
2297:
364:
260:
753:} (including the empty word, which is the unit of the free algebra). This
2372:
2301:
1688:
1680:
1272:
1229:
1133:
728:
695:
659:
651:
569:
280:
154:
36:
20:
334:
294:
199:
1070:⟩. This construction can easily be generalized to an arbitrary set
288:
274:
2319:
1210:{\displaystyle R\langle X\rangle :=\bigoplus _{w\in X^{\ast }}Rw}
172:
56:
1679:
The non-commutative polynomial ring may be identified with the
1224:-bilinear multiplication that is concatenation on words, where
2174:
are said to be "coefficients" of these polynomials, and the
2196:⟩ is called the "non-commutative polynomial algebra over
1326:, a concrete example of a product of two elements is
2108:
2000:
1767:
1335:
1249:
1162:
1083:
777:
502:
464:
427:
207:
180:
2241:More generally, one can construct the free algebra
16:
Free object in the category of associative algebras
2166:
2058:
1983:
1667:
1255:
1209:
1122:
1025:
526:
479:
442:
234:
188:
2399:
2450:
2402:Noncommutative rational series with applications
2430:
2204:indeterminates". Note that unlike in an actual
2400:Berstel, Jean; Reutenauer, Christophe (2011).
631:
1703:
1172:
1166:
1117:
1090:
235:{\displaystyle 0=\mathbb {Z} /1\mathbb {Z} }
1107:
638:
624:
2288:indeterminates can be constructed as the
2167:{\displaystyle a_{i_{1},i_{2},...,i_{k}}}
2059:{\displaystyle a_{i_{1},i_{2},...,i_{k}}}
1791:
1790:
1789:
1103:
527:{\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })}
504:
467:
430:
228:
215:
182:
2314:The construction of the free algebra on
2322:in nature and satisfies an appropriate
1758:⟩ can be written uniquely in the form:
2451:
1123:{\displaystyle X=\{X_{i}\,;\;i\in I\}}
666:is the noncommutative analogue of a
95:Free product of associative algebras
2269:can be defined as the free algebra
1793:
1769:
1740:⟩, it is clear that any element of
1708:Since the words over the alphabet {
13:
1784:
516:
14:
2480:
2257:. Since rings may be regarded as
1036:and the product of two arbitrary
583:Noncommutative algebraic geometry
480:{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}
443:{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}
1077:In short, for an arbitrary set
735:with a basis consisting of all
2326:. The free algebra functor is
1456:
1399:
1393:
1336:
521:
508:
1:
2393:
681:
768:of the corresponding words:
654:, especially in the area of
189:{\displaystyle \mathbb {Z} }
7:
2438:Encyclopedia of Mathematics
2356:
1691:of all finite words in the
1236:(i.e. words on the letters
341:Unique factorization domain
10:
2485:
2433:"Free associative algebra"
2406:Cambridge University Press
101:Tensor product of algebras
18:
2469:Free algebraic structures
1704:Contrast with polynomials
676:free commutative algebra
379:Formal power series ring
329:Integrally closed domain
2208:, the variables do not
1279:on 1 element, the word
1256:{\displaystyle \oplus }
388:Algebraic number theory
81:Total ring of fractions
2284:, the free algebra on
2168:
2060:
1985:
1788:
1669:
1257:
1211:
1124:
1027:
545:Noncommutative algebra
528:
481:
444:
396:Algebraic number field
347:Principal ideal domain
236:
190:
128:Frobenius endomorphism
2431:L.A. Bokut' (2001) ,
2334:from the category of
2169:
2061:
1986:
1768:
1670:
1263:denotes the external
1258:
1212:
1125:
1028:
674:may be regarded as a
529:
482:
445:
237:
191:
2106:
1998:
1765:
1333:
1247:
1160:
1081:
1052:-algebra is denoted
775:
551:Noncommutative rings
500:
462:
425:
269:Non-associative ring
205:
178:
135:Algebraic structures
2378:Noncommutative ring
2345:Free algebras over
1654:
1551:
1536:
1492:
1445:
1366:
1074:of indeterminates.
757:-module becomes an
739:over the alphabet {
310:Commutative algebra
149:Associative algebra
31:Algebraic structure
2324:universal property
2164:
2056:
1981:
1874:
1722:} form a basis of
1665:
1640:
1537:
1522:
1478:
1431:
1352:
1253:
1207:
1200:
1120:
1023:
564:Semiprimitive ring
524:
477:
440:
248:Related structures
232:
186:
122:Inner automorphism
108:Ring homomorphisms
2415:978-0-521-19022-0
2338:-algebras to the
2332:forgetful functor
1792:
1178:
1048:-bilinear). This
1044:-algebra must be
648:
647:
605:Geometric algebra
316:Commutative rings
167:Category of rings
2476:
2445:
2427:
2363:Cofree coalgebra
2351:free ideal rings
2340:category of sets
2173:
2171:
2170:
2165:
2163:
2162:
2161:
2160:
2136:
2135:
2123:
2122:
2066:are elements of
2065:
2063:
2062:
2057:
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2052:
2028:
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1956:
1955:
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1560:
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1391:
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1381:
1365:
1360:
1351:
1350:
1286:For example, in
1262:
1260:
1259:
1254:
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1214:
1213:
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798:
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796:
692:commutative ring
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633:
626:
611:Operator algebra
597:Clifford algebra
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531:
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484:
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447:
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441:
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438:
433:
411:Ring of integers
405:
402:Integers modulo
353:Euclidean domain
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239:
238:
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231:
223:
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193:
192:
187:
185:
89:Product of rings
75:Fractional ideal
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25:
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2483:
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2478:
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2225:does not equal
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2212:. For example,
2206:polynomial ring
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2102:; the elements
2100:
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2048:
2044:
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2019:
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1356:
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1330:
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668:polynomial ring
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323:Integral domain
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2358:
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2347:division rings
2290:tensor algebra
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