7581:
6980:
4181:
10176:
5311:
3556:
8737:
9552:
7576:{\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {\delta J}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}\phi ({\boldsymbol {r}})d{\boldsymbol {r}}&{}=\left\right]_{\epsilon =0}\\&{}=\left\,}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'|}}\,d{\boldsymbol {r}}d{\boldsymbol {r}}'\right)\right]_{\epsilon =0}\\&{}={\frac {1}{2}}\iint {\frac {\rho ({\boldsymbol {r}}')\phi ({\boldsymbol {r}})}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'|}}\,d{\boldsymbol {r}}d{\boldsymbol {r}}'+{\frac {1}{2}}\iint {\frac {\rho ({\boldsymbol {r}})\phi ({\boldsymbol {r}}')}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'|}}\,d{\boldsymbol {r}}d{\boldsymbol {r}}'\\\end{aligned}}}
4888:
667:
8417:
4176:{\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {\delta F}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}\,\phi ({\boldsymbol {r}})\,d{\boldsymbol {r}}&=\left_{\varepsilon =0}\\&=\int \left({\frac {\partial f}{\partial \rho }}\,\phi +{\frac {\partial f}{\partial \nabla \rho }}\cdot \nabla \phi \right)d{\boldsymbol {r}}\\&=\int \leftd{\boldsymbol {r}}\\&=\int \leftd{\boldsymbol {r}}\\&=\int \left({\frac {\partial f}{\partial \rho }}-\nabla \cdot {\frac {\partial f}{\partial \nabla \rho }}\right)\phi ({\boldsymbol {r}})\ d{\boldsymbol {r}}\,.\end{aligned}}}
10171:{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\delta F}{\delta \varphi (y)}}&{}=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {F-F}{\varepsilon }}\\&{}=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {e^{\int (\varphi (x)+\varepsilon \delta (x-y))g(x)dx}-e^{\int \varphi (x)g(x)dx}}{\varepsilon }}\\&{}=e^{\int \varphi (x)g(x)dx}\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {e^{\varepsilon \int \delta (x-y)g(x)dx}-1}{\varepsilon }}\\&{}=e^{\int \varphi (x)g(x)dx}\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {e^{\varepsilon g(y)}-1}{\varepsilon }}\\&{}=e^{\int \varphi (x)g(x)dx}g(y).\end{aligned}}}
13144:
280:
5306:{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\delta F}{\delta \rho }}&{}={\frac {\partial f}{\partial \rho }}-\nabla \cdot {\frac {\partial f}{\partial (\nabla \rho )}}+\nabla ^{(2)}\cdot {\frac {\partial f}{\partial \left(\nabla ^{(2)}\rho \right)}}+\dots +(-1)^{N}\nabla ^{(N)}\cdot {\frac {\partial f}{\partial \left(\nabla ^{(N)}\rho \right)}}\\&{}={\frac {\partial f}{\partial \rho }}+\sum _{i=1}^{N}(-1)^{i}\nabla ^{(i)}\cdot {\frac {\partial f}{\partial \left(\nabla ^{(i)}\rho \right)}}\ .\end{aligned}}}
8732:{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\delta T_{\mathrm {W} }}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}&={\frac {\partial t_{\mathrm {W} }}{\partial \rho }}-\nabla \cdot {\frac {\partial t_{\mathrm {W} }}{\partial \nabla \rho }}\\&=-{\frac {1}{8}}{\frac {\nabla \rho \cdot \nabla \rho }{\rho ^{2}}}-\left({\frac {1}{4}}{\frac {\nabla ^{2}\rho }{\rho }}-{\frac {1}{4}}{\frac {\nabla \rho \cdot \nabla \rho }{\rho ^{2}}}\right)\qquad {\text{where}}\ \ \nabla ^{2}=\nabla \cdot \nabla \ ,\end{aligned}}}
5998:
5703:
12874:
10685:
14090:
5708:
5397:
7779:
662:{\displaystyle {\begin{aligned}\delta J&=\int _{a}^{b}\left({\frac {\partial L}{\partial f}}\delta f(x)+{\frac {\partial L}{\partial f'}}{\frac {d}{dx}}\delta f(x)\right)\,dx\,\\&=\int _{a}^{b}\left({\frac {\partial L}{\partial f}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}\right)\delta f(x)\,dx\,+\,{\frac {\partial L}{\partial f'}}(b)\delta f(b)\,-\,{\frac {\partial L}{\partial f'}}(a)\delta f(a)\end{aligned}}}
8139:
6363:
6740:
4881:
10440:
12466:
13139:{\displaystyle \nabla ^{(2)}\cdot {\frac {\partial f}{\partial \left(\nabla ^{(2)}\rho \right)}}=\sum _{\alpha ,\beta =1}^{3}\ {\frac {\partial ^{\,2}}{\partial r_{\alpha }\,\partial r_{\beta }}}\ {\frac {\partial f}{\partial \rho _{\alpha \beta }}}\qquad {\text{where}}\ \ \rho _{\alpha \beta }\equiv {\frac {\partial ^{\,2}\rho }{\partial r_{\alpha }\,\partial r_{\beta }}}\ .}
6159:
7602:
6471:
9375:
4645:
5993:{\displaystyle \nabla ^{(i)}\cdot {\frac {\partial f}{\partial \left(\nabla ^{(i)}\rho \right)}}=\sum _{\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{i}=1}^{n}\ {\frac {\partial ^{\,i}}{\partial r_{\alpha _{1}}\,\partial r_{\alpha _{2}}\cdots \partial r_{\alpha _{i}}}}\ {\frac {\partial f}{\partial \rho _{\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{i}}}}\ .}
5698:{\displaystyle \left_{\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{i}}={\frac {\partial f}{\partial \rho _{\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{i}}}}\qquad \qquad {\text{where}}\quad \rho _{\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{i}}\equiv {\frac {\partial ^{\,i}\rho }{\partial r_{\alpha _{1}}\,\partial r_{\alpha _{2}}\cdots \partial r_{\alpha _{i}}}}\ ,}
8886:
4610:
7918:
8304:
12301:
7911:
12596:
6971:
12847:
4372:
10680:{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}}')}}\equiv {\frac {\delta F}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}}')}}&={\frac {\partial \ \ }{\partial \rho ({\boldsymbol {r}}')}}\,\\&=\delta ({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}').\end{aligned}}}
8408:
10418:
8996:
2792:
1374:
8742:
4434:
3188:
8155:
11298:
11098:
6358:{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\delta T_{\mathrm {TF} }}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}&=C_{\mathrm {F} }{\frac {\partial \rho ^{5/3}(\mathbf {r} )}{\partial \rho (\mathbf {r} )}}\\&={\frac {5}{3}}C_{\mathrm {F} }\rho ^{2/3}(\mathbf {r} )\,.\end{aligned}}}
7774:{\displaystyle \int {\frac {\delta J}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}\phi ({\boldsymbol {r}})d{\boldsymbol {r}}=\int \left(\int {\frac {\rho ({\boldsymbol {r}}')}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'|}}d{\boldsymbol {r}}'\right)\phi ({\boldsymbol {r}})d{\boldsymbol {r}}}
6735:{\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {\delta V}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}\ \phi ({\boldsymbol {r}})\ d{\boldsymbol {r}}&{}=\left_{\varepsilon =0}\\&{}=\int {\frac {1}{|{\boldsymbol {r}}|}}\,\phi ({\boldsymbol {r}})\ d{\boldsymbol {r}}\,.\end{aligned}}}
2979:
4876:{\displaystyle \left_{\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{i}}={\frac {\partial ^{\,i}}{\partial r_{\alpha _{1}}\partial r_{\alpha _{2}}\cdots \partial r_{\alpha _{i}}}}\qquad \qquad {\text{where}}\quad \alpha _{1},\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{i}=1,2,\cdots ,n\ .}
3516:
8134:{\displaystyle {\frac {\delta ^{2}J}{\delta \rho (\mathbf {r} ')\delta \rho (\mathbf {r} )}}={\frac {\partial }{\partial \rho (\mathbf {r} ')}}\left({\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)={\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}.}
3372:
7790:
11459:
12715:
11721:
4274:
6821:
12461:{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \nabla \rho }}={\frac {\partial f}{\partial \rho _{x}}}\mathbf {\hat {i}} +{\frac {\partial f}{\partial \rho _{y}}}\mathbf {\hat {j}} +{\frac {\partial f}{\partial \rho _{z}}}\mathbf {\hat {k}} \,,}
8309:
6464:
6123:
12287:
10871:
2633:
1193:
6836:
12471:
1871:
3001:
2223:
10308:
5382:
11105:
2810:
2524:
10876:
9370:{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{x}{\frac {\delta H}{\delta p(x)}}\,\phi (x)&{}=\left\right]_{\epsilon =0}\\&{}=\left\ \log\right]_{\varepsilon =0}\\&{}=-\sum _{x}\,\ \phi (x)\,.\end{aligned}}}
3423:
200:
8881:{\displaystyle {\frac {\delta T_{\mathrm {W} }}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}=\ \ \,{\frac {1}{8}}{\frac {\nabla \rho \cdot \nabla \rho }{\rho ^{2}}}-{\frac {1}{4}}{\frac {\nabla ^{2}\rho }{\rho }}\ .}
10281:
9454:
4605:{\displaystyle F=\int f({\boldsymbol {r}},\rho ({\boldsymbol {r}}),\nabla \rho ({\boldsymbol {r}}),\nabla ^{(2)}\rho ({\boldsymbol {r}}),\dots ,\nabla ^{(N)}\rho ({\boldsymbol {r}}))\,d{\boldsymbol {r}},}
1556:
285:
3207:
2130:
995:
2282:
10445:
9557:
9001:
8422:
8299:{\displaystyle T_{\mathrm {W} }={\frac {1}{8}}\int {\frac {\nabla \rho (\mathbf {r} )\cdot \nabla \rho (\mathbf {r} )}{\rho (\mathbf {r} )}}d\mathbf {r} =\int t_{\mathrm {W} }\ d\mathbf {r} \,,}
6985:
6476:
6164:
4893:
3561:
1198:
11562:
6745:
11312:
9545:
2366:
6383:
8991:
6027:
12210:
3547:
2325:
1618:
4424:
at the beginning of this section. For other functional forms, the definition of the functional derivative can be used as the starting point for its determination. (See the example
1986:
12683:
12654:
12625:
3384:
A formula to determine functional derivatives for a common class of functionals can be written as the integral of a function and its derivatives. This is a generalization of the
14208:
14126:
2058:
10735:
1772:
696:
In this section, the functional differential (or variation or first variation) is defined. Then the functional derivative is defined in terms of the functional differential.
2135:
1099:
1067:
11799:
11504:
7906:{\displaystyle {\frac {\delta J}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}=\int {\frac {\rho ({\boldsymbol {r}}')}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'|}}d{\boldsymbol {r}}'\,.}
903:
816:
1699:
1041:
1015:
12123:
12074:
12025:
11996:
11922:
11893:
11533:
4431:
The above equation for the functional derivative can be generalized to the case that includes higher dimensions and higher order derivatives. The functional would be,
1737:
1667:
1137:
857:
10730:
4245:
1442:
12591:{\displaystyle \rho _{x}={\frac {\partial \rho }{\partial x}}\,,\ \rho _{y}={\frac {\partial \rho }{\partial y}}\,,\ \rho _{z}={\frac {\partial \rho }{\partial z}}}
4265:
2564:
2544:
2029:
2009:
1957:
1937:
1757:
1422:
1181:
12842:{\displaystyle \left_{\alpha \beta }={\frac {\partial ^{\,2}}{\partial r_{\alpha }\,\partial r_{\beta }}}\qquad \qquad {\text{where}}\quad \alpha ,\beta =1,2,3\,.}
4367:{\displaystyle {\frac {\delta F}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}={\frac {\partial f}{\partial \rho }}-\nabla \cdot {\frac {\partial f}{\partial \nabla \rho }}}
12094:
12045:
11967:
11861:
11779:
11553:
2604:
2584:
2406:
2386:
1917:
1638:
1462:
1402:
1161:
877:
790:
770:
746:
722:
13420:, UWEE Tech Report, vol. UWEETR-2008-0001, Seattle, WA: Department of Electrical Engineering at the University of Washington, p. 7, archived from
8403:{\displaystyle t_{\mathrm {W} }\equiv {\frac {1}{8}}{\frac {\nabla \rho \cdot \nabla \rho }{\rho }}\qquad {\text{and}}\ \ \rho =\rho ({\boldsymbol {r}})\ .}
13412:
2461:
14119:
2787:{\displaystyle {\frac {\delta (\lambda F+\mu G)}{\delta \rho (x)}}=\lambda {\frac {\delta F}{\delta \rho (x)}}+\mu {\frac {\delta G}{\delta \rho (x)}},}
13979:
1369:{\displaystyle {\begin{aligned}\delta F&=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {F-F}{\varepsilon }}\\&=\left\right]_{\varepsilon =0}.\end{aligned}}}
6966:{\displaystyle J={\frac {1}{2}}\iint {\frac {\rho (\mathbf {r} )\rho (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,d\mathbf {r} d\mathbf {r} '\,.}
5324:
10183:
9380:
1467:
94:
13815:
3183:{\displaystyle {\frac {\delta F]}{\delta \rho (y)}}=\int dx{\frac {\delta F}{\delta G(x)}}_{G=G}\cdot {\frac {\delta G(x)}{\delta \rho (y)}}\ .}
14112:
13642:
10413:{\displaystyle \rho ({\boldsymbol {r}})=F=\int \rho ({\boldsymbol {r}}')\delta ({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}')\,d{\boldsymbol {r}}'.}
908:
10286:
4268:
13576:
13805:
8152:
proposed to add a gradient correction to the Thomas-Fermi kinetic energy functional to make it better suit a molecular electron cloud:
10290:
13932:
13787:
11293:{\displaystyle {\frac {\delta f^{N}(x)}{\delta f(y)}}=f'(f^{N-1}(x)){\frac {\delta f^{N-1}(x)}{\delta f(y)}}+\delta (f^{N-1}(x)-y)}
9466:
2974:{\displaystyle {\frac {\delta (FG)}{\delta \rho (x)}}={\frac {\delta F}{\delta \rho (x)}}G+F{\frac {\delta G}{\delta \rho (x)}}\,,}
14433:
14288:
13763:
8912:
14423:
2067:
11093:{\displaystyle {\frac {\delta f(f(f(x)))}{\delta f(y)}}=f'(f(f(x))(f'(f(x))\delta (x-y)+\delta (f(x)-y))+\delta (f(f(x))-y)}
1186:
However, this notion of functional differential is so strong it may not exist, and in those cases a weaker notion, like the
14180:
14213:
2228:
3511:{\displaystyle F=\int f({\boldsymbol {r}},\rho ({\boldsymbol {r}}),\nabla \rho ({\boldsymbol {r}}))\,d{\boldsymbol {r}},}
14559:
13655:
13586:
13461:
13384:
14247:
13744:
13635:
13549:
13503:
14014:
3367:{\displaystyle {\frac {\delta F}{\delta \rho (y)}}={\frac {\delta F}{\delta g}}\ {\frac {dg(\rho )}{d\rho (y)}}\ .}
2330:
14554:
14544:
14482:
14257:
13659:
14549:
14477:
14309:
13421:
12047:
is defined. Employing the particular form of the perturbation given by the delta function has the meaning that
3521:
2287:
14564:
13810:
13613:
8149:
1561:
1190:
is preferred. In many practical cases, the functional differential is defined as the directional derivative
14334:
14093:
13866:
13800:
13628:
13603:
14418:
1962:
14326:
13830:
13608:
12659:
12630:
12601:
11716:{\displaystyle {\frac {\delta F}{\delta \rho (y)}}=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {F-F}{\varepsilon }}.}
3385:
11866:
The definition given in a previous section is based on a relationship that holds for all test functions
2034:
14401:
14330:
14075:
14029:
13953:
13835:
6816:{\displaystyle {\frac {\delta V}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}={\frac {1}{|{\boldsymbol {r}}|}}\ .}
2614:
Like the derivative of a function, the functional derivative satisfies the following properties, where
11454:{\displaystyle {\frac {\delta f^{-1}(x)}{\delta f(y)}}=-{\frac {\delta (f^{-1}(x)-y)}{f'(f^{-1}(x))}}}
14472:
14385:
14314:
14070:
13886:
8904:
6021:
3405:
3397:
1072:
1046:
14406:
14293:
14139:
13922:
13820:
13723:
6459:{\displaystyle V=\int {\frac {\rho ({\boldsymbol {r}})}{|{\boldsymbol {r}}|}}\ d{\boldsymbol {r}}.}
749:
36:
11784:
11474:
6118:{\displaystyle T_{\mathrm {TF} }=C_{\mathrm {F} }\int \rho ^{5/3}(\mathbf {r} )\,d\mathbf {r} \,.}
4206:
14508:
14019:
13795:
13376:
12282:{\displaystyle {\frac {\delta {F}}{\delta \rho }}(x)\equiv {\frac {\delta {F}}{\delta \rho (x)}}}
882:
795:
14411:
14240:
14158:
14050:
13994:
13958:
13541:
13533:
6013:
1672:
1020:
1000:
51:
40:
20:
12099:
12050:
12001:
11972:
11898:
11869:
11509:
7599:
in the second term can be interchanged without changing the value of the integral. Therefore,
1704:
1643:
1104:
824:
14300:
14153:
14135:
13757:
10697:
4224:
3409:
3393:
1427:
24:
14218:
13753:
1140:
14428:
14342:
14283:
14175:
14033:
13559:
13513:
13471:
13452:, translated and edited by Richard A. Silverman (Revised English ed.), Mineola, N.Y.:
13394:
11925:
11469:
10294:
7781:
and the functional derivative of the electron-electron
Coulomb potential energy functional
4250:
3401:
2549:
2529:
2014:
1994:
1942:
1922:
1742:
1407:
1166:
685:
13620:
13567:
13540:, With a foreword by D. A. Bromley, Berlin–Heidelberg–New York: Springer-Verlag, pp.
13521:
13479:
13402:
10866:{\displaystyle {\frac {\delta f(f(x))}{\delta f(y)}}=f'(f(x))\delta (x-y)+\delta (f(x)-y)}
8:
14464:
14454:
14337:
14252:
13999:
13937:
13651:
8896:
6017:
1866:{\displaystyle \delta F=\int _{\Omega }{\frac {\delta F}{\delta \rho }}(x)\ \phi (x)\ dx}
1376:
Note that this notion of the functional differential can even be defined without a norm.
14518:
14104:
7583:
The first and second terms on the right hand side of the last equation are equal, since
14380:
14235:
14024:
13891:
13494:, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 310 (1st ed.), Berlin:
13453:
12079:
12030:
11934:
11928:. However, the latter is not a valid test function (it is not even a proper function).
11804:
11728:
11556:
11538:
4218:
2589:
2569:
2391:
2371:
2284:
are independent variables. Comparing the last two equations, the functional derivative
2218:{\displaystyle dF=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial F}{\partial \rho _{i}}}\ d\rho _{i},}
2061:
1902:
1623:
1447:
1387:
1187:
1146:
862:
775:
755:
731:
707:
14004:
13582:
13545:
13499:
13487:
13457:
13447:
13380:
10305:
A function can be written in the form of an integral like a functional. For example,
819:
3549:
that vanishes on the boundary of the region of integration, from a previous section
14523:
14370:
14360:
14262:
14223:
14009:
13927:
13896:
13876:
13861:
13856:
13851:
13563:
13517:
13475:
13398:
6830:
6377:
4186:
39:(a functional in this sense is a function that acts on functions) to a change in a
13688:
4214:
14498:
14375:
14365:
14190:
14185:
13871:
13825:
13773:
13768:
13739:
13555:
13509:
13495:
13467:
13390:
13364:
8900:
13698:
76:
that is arbitrarily small, and the resulting integrand is expanded in powers of
46:
In the calculus of variations, functionals are usually expressed in terms of an
14513:
14319:
14060:
13912:
13713:
13529:
13439:
4885:
An analogous application of the definition of the functional derivative yields
5377:{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \left(\nabla ^{(i)}\rho \right)}}}
14538:
14502:
14278:
14170:
14165:
14065:
13989:
13718:
13703:
13693:
13368:
2566:. This is analogous to vector calculus, where the inner product of a vector
14449:
14304:
14055:
13708:
13678:
13443:
725:
11931:
In the definition, the functional derivative describes how the functional
13984:
13974:
13881:
13683:
12027:
is not specified, but it should stretch over the whole interval on which
11781:
formally can be expanded as a series (or at least up to first order) in
14200:
13917:
13749:
2586:
with the gradient gives the directional derivative in the direction of
55:
13411:
Frigyik, Béla A.; Srivastava, Santosh; Gupta, Maya R. (January 2008),
6016:
of 1927 used a kinetic energy functional for a noninteracting uniform
2519:{\displaystyle \int {\frac {\delta F}{\delta \rho }}(x)\phi (x)\;dx}
14352:
47:
1939:(for example, if there are some boundary conditions imposed) then
12146:
3389:
4418:. This formula is for the case of the functional form given by
11463:
3404:(18th century). The first three examples below are taken from
11969:
changes as a result of a small change in the entire function
10689:
10276:{\displaystyle {\frac {\delta F}{\delta \varphi (y)}}=g(y)F.}
9449:{\displaystyle {\frac {\delta H}{\delta p(x)}}=-1-\log p(x).}
88:
in the first order term is called the functional derivative.
13375:. Vol. I (First English ed.). New York, New York:
11801:. The formula is however not mathematically rigorous, since
1551:{\displaystyle F=\int _{\Omega }L(x,\rho (x),D\rho (x))\,dx}
14209:
Differentiable vector–valued functions from
Euclidean space
13650:
195:{\displaystyle J=\int _{a}^{b}L(\,x,f(x),f'{(x)}\,)\,dx\ ,}
3198:
is an ordinary differentiable function (local functional)
14134:
13575:
Parr, R. G.; Yang, W. (1989). "Appendix A, Functionals".
13163:
13161:
11555:(this is a point of the whole functional derivative as a
6007:
4425:
13581:. New York: Oxford University Press. pp. 246–254.
13186:
8143:
2125:{\displaystyle F(\rho _{1},\rho _{2},\dots ,\rho _{n})}
13410:
13158:
11535:, for yielding the functional derivative at the point
10420:
Since the integrand does not depend on derivatives of
10300:
6367:
3388:: indeed, the functional derivative was introduced in
13199:
12877:
12718:
12662:
12633:
12604:
12474:
12304:
12298:
For a three-dimensional
Cartesian coordinate system,
12213:
12102:
12082:
12053:
12033:
12004:
11975:
11937:
11901:
11872:
11807:
11787:
11731:
11565:
11541:
11512:
11477:
11315:
11108:
10879:
10738:
10700:
10443:
10311:
10186:
9555:
9469:
9383:
8999:
8915:
8745:
8420:
8312:
8158:
7921:
7793:
7605:
6983:
6839:
6748:
6474:
6386:
6162:
6030:
5711:
5400:
5327:
4891:
4648:
4636:
components are partial derivative operators of order
4437:
4277:
4253:
4227:
3559:
3524:
3426:
3379:
3210:
3004:
2813:
2636:
2592:
2572:
2552:
2532:
2464:
2394:
2374:
2333:
2327:
has a role similar to that of the partial derivative
2290:
2231:
2138:
2070:
2037:
2017:
1997:
1965:
1945:
1925:
1905:
1775:
1745:
1707:
1675:
1646:
1626:
1564:
1470:
1450:
1430:
1410:
1390:
1196:
1169:
1149:
1107:
1075:
1049:
1023:
1003:
990:{\displaystyle F-F=\delta F+\epsilon \cdot \|\phi \|}
911:
885:
865:
827:
798:
778:
758:
734:
710:
283:
97:
13486:
13225:
13206:
13193:
13167:
12163:
12142:
4247:
on the boundary of the region of integration. Since
2388:
is like a continuous version of the summation index
2277:{\displaystyle \rho _{1},\rho _{2},\dots ,\rho _{n}}
11895:, so one might think that it should hold also when
10694:The functional derivative of the iterated function
2526:is regarded as the directional derivative at point
1384:In many applications, the domain of the functional
13980:Spectral theory of ordinary differential equations
13492:Calculus of Variations 1. The Lagrangian Formalism
13371:(1953). "Chapter IV. The Calculus of Variations".
13138:
12841:
12677:
12648:
12619:
12590:
12460:
12281:
12117:
12096:. Except for this point, there is no variation in
12088:
12068:
12039:
12019:
11990:
11961:
11916:
11887:
11855:
11793:
11773:
11715:
11547:
11527:
11498:
11453:
11292:
11092:
10865:
10724:
10679:
10412:
10275:
10170:
9539:
9448:
9369:
8985:
8880:
8731:
8402:
8298:
8133:
7905:
7773:
7575:
6965:
6815:
6734:
6468:Applying the definition of functional derivative,
6458:
6357:
6117:
5992:
5697:
5376:
5305:
4875:
4604:
4366:
4259:
4239:
4175:
3541:
3510:
3366:
3182:
2973:
2786:
2598:
2578:
2558:
2538:
2518:
2400:
2380:
2360:
2319:
2276:
2217:
2124:
2052:
2023:
2003:
1980:
1951:
1931:
1911:
1865:
1751:
1731:
1693:
1661:
1632:
1612:
1550:
1456:
1436:
1416:
1396:
1368:
1175:
1155:
1131:
1093:
1061:
1035:
1009:
989:
897:
871:
851:
810:
784:
764:
740:
716:
661:
194:
12669:
12640:
12611:
12448:
12406:
12364:
676:was rewritten as the derivative of the variation
14536:
13578:Density-Functional Theory of Atoms and Molecules
13528:
13348:
13316:
13297:
13284:
13232:
11924:is chosen to be a specific function such as the
11617:
10045:
9913:
9723:
9617:
1230:
13329:
13303:
13264:
13251:
12694:For example, for the case of three dimensions (
10285:This is particularly useful in calculating the
4271:to the last line, the functional derivative is
4207:derivative of a scalar with respect to a vector
13363:
13212:
13173:
12175:
14120:
13636:
9549:Using the delta function as a test function,
9540:{\displaystyle F=e^{\int \varphi (x)g(x)dx}.}
2361:{\displaystyle \partial F/\partial \rho _{i}}
13438:
13180:
12187:
12145:, p. 18, this notation is customary in
4267:is also an arbitrary function, applying the
1082:
1076:
1030:
1024:
984:
978:
13238:
11464:Using the delta function as a test function
4269:fundamental lemma of calculus of variations
70:is varied by adding to it another function
14127:
14113:
13643:
13629:
10690:Functional derivative of iterated function
6974:
2509:
2060:, and then this is similar in form to the
699:
13113:
13089:
13003:
12983:
12835:
12783:
12763:
12548:
12508:
12454:
10580:
10393:
9359:
9313:
9189:
9163:
9043:
8986:{\displaystyle H=-\sum _{x}p(x)\log p(x)}
8795:
8292:
7899:
7547:
7440:
7302:
7218:
7156:
7079:
6959:
6937:
6724:
6698:
6347:
6111:
6102:
5877:
5850:
5642:
5611:
4720:
4590:
4217:. The fourth line was obtained using the
4165:
4003:
3898:
3857:
3767:
3703:
3613:
3598:
3496:
2967:
1541:
605:
601:
551:
547:
540:
426:
419:
179:
175:
134:
14424:No infinite-dimensional Lebesgue measure
13933:Group algebra of a locally compact group
13574:
13336:
13323:
13310:
13271:
13258:
13245:
13219:
12685:are unit vectors along the x, y, z axes.
12195:
4213:The third line was obtained by use of a
3542:{\displaystyle \phi ({\boldsymbol {r}})}
2320:{\displaystyle \delta F/\delta \rho (x)}
1919:is restricted to only certain functions
1379:
14434:Structure theorem for Gaussian measures
11998:. The particular form of the change in
10659:
10650:
10619:
10610:
10592:
10566:
10520:
10481:
10461:
10399:
10382:
10373:
10355:
10319:
8776:
8455:
8387:
7891:
7870:
7861:
7842:
7815:
7767:
7756:
7736:
7715:
7706:
7687:
7658:
7647:
7630:
7561:
7552:
7531:
7522:
7503:
7488:
7454:
7445:
7424:
7415:
7400:
7382:
7316:
7307:
7286:
7277:
7255:
7230:
7208:
7188:
7040:
7029:
7012:
6975:definition of the functional derivative
6795:
6770:
6720:
6706:
6686:
6638:
6619:
6604:
6584:
6537:
6523:
6503:
6449:
6430:
6415:
6200:
5390:with respect to partial derivatives of
4595:
4580:
4541:
4508:
4488:
4474:
4451:
4299:
4161:
4147:
4061:
3961:
3815:
3708:
3660:
3618:
3606:
3588:
3532:
3501:
3486:
3466:
3452:
1988:continues to satisfy these conditions.
1613:{\displaystyle L(x,\rho (x),D\rho (x))}
1404:is a space of differentiable functions
879:defined by the condition that, for all
669:where the variation in the derivative,
14537:
13534:"Section 2.3 – Functional derivatives"
13414:Introduction to Functional Derivatives
6008:Thomas–Fermi kinetic energy functional
4185:The second line is obtained using the
1959:is restricted to functions such that
14310:infinite-dimensional Gaussian measure
14108:
13624:
3396:equation of the second kind from the
1701:. If this is the case and, moreover,
226:is varied by adding to it a function
91:For example, consider the functional
14181:Infinite-dimensional vector function
11506:in place of a generic test function
11468:In physics, it is common to use the
8144:Weizsäcker kinetic energy functional
7915:The second functional derivative is
2368:, where the variable of integration
1981:{\displaystyle \rho +\epsilon \phi }
12678:{\displaystyle \mathbf {\hat {k}} }
12649:{\displaystyle \mathbf {\hat {j}} }
12620:{\displaystyle \mathbf {\hat {i}} }
10301:Functional derivative of a function
6368:Coulomb potential energy functional
4426:Coulomb potential energy functional
13:
13168:Giaquinta & Hildebrandt (1996)
13114:
13100:
13085:
13034:
13026:
13004:
12990:
12979:
12917:
12908:
12900:
12879:
12784:
12770:
12759:
12725:
12579:
12571:
12539:
12531:
12499:
12491:
12426:
12418:
12384:
12376:
12342:
12334:
12319:
12316:
12308:
12143:Giaquinta & Hildebrandt (1996)
10555:
10544:
8854:
8818:
8809:
8758:
8716:
8710:
8698:
8661:
8652:
8618:
8577:
8568:
8533:
8530:
8522:
8513:
8504:
8492:
8484:
8475:
8437:
8350:
8341:
8319:
8275:
8219:
8199:
8165:
8000:
7996:
6312:
6266:
6232:
6223:
6182:
6179:
6064:
6040:
6037:
5938:
5930:
5901:
5878:
5857:
5846:
5751:
5742:
5734:
5713:
5705:and the tensor scalar product is,
5666:
5643:
5622:
5607:
5506:
5498:
5426:
5417:
5409:
5348:
5339:
5331:
5267:
5258:
5250:
5229:
5176:
5168:
5127:
5118:
5110:
5089:
5034:
5025:
5017:
4996:
4980:
4974:
4966:
4957:
4945:
4937:
4770:
4747:
4727:
4716:
4655:
4558:
4519:
4498:
4355:
4352:
4344:
4335:
4323:
4315:
4126:
4123:
4115:
4106:
4094:
4086:
4035:
4032:
4024:
4015:
3994:
3986:
3935:
3932:
3924:
3915:
3889:
3886:
3878:
3864:
3848:
3840:
3800:
3788:
3785:
3777:
3758:
3750:
3694:
3682:
3476:
3380:Determining functional derivatives
2345:
2334:
2180:
2172:
2053:{\displaystyle \phi =\delta \rho }
1805:
1739:can be written as the integral of
1491:
1431:
617:
609:
563:
555:
506:
498:
468:
460:
370:
362:
332:
324:
265:, then the change in the value of
14:
14576:
14248:Generalizations of the derivative
14214:Differentiation in Fréchet spaces
13596:
11559:is a component of the gradient):
2440:measures how much the functional
1017:is a real number that depends on
43:on which the functional depends.
14089:
14088:
14015:Topological quantum field theory
13207:Giaquinta & Hildebrandt 1996
13194:Giaquinta & Hildebrandt 1996
12871:, the tensor scalar product is,
12701:) and second order derivatives (
12666:
12637:
12608:
12445:
12403:
12361:
12164:Giaquinta & Hildebrandt 1996
8288:
8259:
8245:
8229:
8209:
8112:
8103:
8068:
8059:
8040:
8011:
7981:
7960:
6951:
6942:
6921:
6912:
6893:
6878:
6829:, Thomas and Fermi employed the
6376:, Thomas and Fermi employed the
6340:
6276:
6257:
6134:does not involve derivatives of
6107:
6095:
3408:(20th century), the fourth from
1759:times another function (denoted
16:Concept in calculus of variation
14483:Holomorphic functional calculus
13373:Methods of Mathematical Physics
13342:
13290:
13277:
13053:
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12807:
12801:
12800:
12688:
12292:
12201:
10424:, the functional derivative of
8685:
8414:for the functional derivative,
8362:
6147:, the functional derivative of
5559:
5553:
5552:
5315:In the last two equations, the
4800:
4794:
4793:
3550:
688:was used in these derivatives.
64:of a functional, if a function
14478:Continuous functional calculus
13490:; Hildebrandt, Stefan (1996),
12927:
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6882:
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6849:
6843:
6825:For the classical part of the
6800:
6790:
6774:
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6702:
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6600:
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6425:
6419:
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2500:
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1511:
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1480:
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1207:
1126:
1114:
1094:{\displaystyle \|\phi \|\to 0}
1085:
1062:{\displaystyle \epsilon \to 0}
1053:
966:
954:
942:
936:
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915:
846:
834:
652:
646:
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631:
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592:
583:
577:
537:
531:
411:
405:
353:
347:
232:, and the resulting integrand
176:
171:
165:
150:
144:
131:
107:
101:
1:
13811:Uniform boundedness principle
13532:; Reinhardt, Joachim (1996),
13357:
11863:is usually not even defined.
6827:electron-electron interaction
3392:within the derivation of the
2609:
691:
277:can be expressed as follows:
13349:Greiner & Reinhardt 1996
13298:Greiner & Reinhardt 1996
13285:Greiner & Reinhardt 1996
13233:Greiner & Reinhardt 1996
13152:
12076:is varied only in the point
11794:{\displaystyle \varepsilon }
11499:{\displaystyle \delta (x-y)}
8411:
6833:potential energy functional
6380:potential energy functional
2446:will change if the function
7:
13609:Encyclopedia of Mathematics
8410:Using a previously derived
6002:
5384:are partial derivatives of
4215:product rule for divergence
10:
14581:
13954:Invariant subspace problem
12857:For example, for the case
12176:Courant & Hilbert 1953
8890:
6374:electron-nucleus potential
3415:
898:{\displaystyle \phi \in B}
811:{\displaystyle \rho \in B}
14560:Topological vector spaces
14491:
14473:Borel functional calculus
14463:
14442:
14394:
14351:
14271:
14199:
14146:
14140:topological vector spaces
14084:
14043:
13967:
13946:
13905:
13844:
13786:
13732:
13674:
13667:
13379:, Inc. pp. 164–274.
11725:This works in cases when
8905:probability mass function
6024:of electronic structure:
6022:density-functional theory
5321:components of the tensor
3406:density functional theory
3398:principle of least action
2998:another functional, then
1694:{\displaystyle D\rho (x)}
1036:{\displaystyle \|\phi \|}
1010:{\displaystyle \epsilon }
259:is expanded in powers of
14407:Inverse function theorem
14294:Classical Wiener measure
13923:Spectrum of a C*-algebra
13181:Gelfand & Fomin 2000
12188:Gelfand & Fomin 2000
12128:
12118:{\displaystyle \rho (x)}
12069:{\displaystyle \rho (x)}
12020:{\displaystyle \rho (x)}
11991:{\displaystyle \rho (x)}
11917:{\displaystyle \phi (x)}
11888:{\displaystyle \phi (x)}
11528:{\displaystyle \phi (x)}
2452:is changed at the point
2031:, so we 'formally' have
1732:{\displaystyle \delta F}
1662:{\displaystyle \rho (x)}
1132:{\displaystyle \delta F}
852:{\displaystyle \delta F}
35:) relates a change in a
14509:Convenient vector space
14020:Noncommutative geometry
13604:"Functional derivative"
13377:Interscience Publishers
10725:{\displaystyle f(f(x))}
8903:is a functional of the
6125:Since the integrand of
4240:{\displaystyle \phi =0}
4221:and the condition that
3386:Euler–Lagrange equation
3204:, then this reduces to
1437:{\displaystyle \Omega }
700:Functional differential
14555:Differential operators
14545:Calculus of variations
14402:Cameron–Martin theorem
14159:Classical Wiener space
14076:Tomita–Takesaki theory
14051:Approximation property
13995:Calculus of variations
13449:Calculus of variations
13140:
12972:
12843:
12679:
12650:
12621:
12592:
12462:
12283:
12119:
12090:
12070:
12041:
12021:
11992:
11963:
11918:
11889:
11857:
11795:
11775:
11717:
11549:
11529:
11500:
11455:
11294:
11094:
10867:
10726:
10681:
10414:
10277:
10172:
9541:
9450:
9371:
8987:
8882:
8733:
8404:
8300:
8135:
7907:
7775:
7577:
6967:
6817:
6736:
6460:
6359:
6119:
6020:in a first attempt of
5994:
5839:
5699:
5378:
5307:
5208:
4877:
4606:
4368:
4261:
4241:
4177:
3543:
3512:
3368:
3184:
2975:
2788:
2600:
2580:
2560:
2540:
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2362:
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2278:
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2025:
2005:
1982:
1953:
1933:
1913:
1867:
1753:
1733:
1695:
1663:
1634:
1614:
1552:
1458:
1438:
1424:defined on some space
1418:
1398:
1370:
1177:
1157:
1133:
1095:
1063:
1037:
1011:
991:
899:
873:
853:
812:
786:
772:. The differential of
766:
742:
718:
663:
196:
33:variational derivative
21:calculus of variations
14550:Differential calculus
14419:Feldman–Hájek theorem
14231:Functional derivative
14154:Abstract Wiener space
14071:Banach–Mazur distance
14034:Generalized functions
13141:
12946:
12844:
12680:
12651:
12622:
12593:
12463:
12284:
12120:
12091:
12071:
12042:
12022:
11993:
11964:
11919:
11890:
11858:
11796:
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82:, the coefficient of
29:functional derivative
25:mathematical analysis
14565:Variational analysis
14343:Radonifying function
14284:Cylinder set measure
14176:Cylinder set measure
13816:Kakutani fixed-point
13801:Riesz representation
13337:Parr & Yang 1989
13326:, p. 248, Eq. A.11).
13324:Parr & Yang 1989
13311:Parr & Yang 1989
13272:Parr & Yang 1989
13259:Parr & Yang 1989
13246:Parr & Yang 1989
13220:Parr & Yang 1989
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12472:
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12211:
12196:Parr & Yang 1989
12190:, p. 11, § 3.2) and
12100:
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2546:in the direction of
2530:
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2458:. Hence the formula
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686:integration by parts
281:
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50:of functions, their
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14455:Covariance operator
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14338:measurable function
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14000:Functional calculus
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13938:Von Neumann algebra
13652:Functional analysis
13339:, p. 247, Eq. A.9).
13313:, p. 247, Eq. A.6).
13274:, p. 247, Eq. A.4).
13261:, p. 247, Eq. A.3).
13222:, p. 246, Eq. A.2).
8739:and the result is,
3420:Given a functional
2418:as the gradient of
1873:then this function
1669:and the derivative
1620:that may depend on
1043:in such a way that
451:
315:
127:
14412:Nash–Moser theorem
14289:Canonical Gaussian
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13724:Topological vector
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12207:Here the notation
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1101:. This means that
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2579:{\displaystyle v}
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820:linear functional
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13287:, p. 38, Eq. 6).
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