1911:
1421:
5580:
1906:{\displaystyle {\begin{aligned}\left\|r_{n}\right\|&=\left\|b-Ax_{n}\right\|\\&=\left\|b-A(x_{0}+Q_{n}y_{n})\right\|\\&=\left\|r_{0}-AQ_{n}y_{n}\right\|\\&=\left\|\beta q_{1}-AQ_{n}y_{n}\right\|\\&=\left\|\beta q_{1}-Q_{n+1}{\tilde {H}}_{n}y_{n}\right\|\\&=\left\|Q_{n+1}(\beta e_{1}-{\tilde {H}}_{n}y_{n})\right\|\\&=\left\|\beta e_{1}-{\tilde {H}}_{n}y_{n}\right\|\end{aligned}}}
5177:
5324:
4946:
4366:
3455:
4617:
5575:{\displaystyle {\begin{aligned}\left\|{\tilde {H}}_{n}y_{n}-\beta e_{1}\right\|&=\left\|{\tilde {R}}_{n}y_{n}-\beta \Omega _{n}e_{1}\right\|\\&=\left\|{\begin{bmatrix}R_{n}\\0\end{bmatrix}}y_{n}-{\begin{bmatrix}g_{n}\\\gamma _{n}\end{bmatrix}}\right\|.\end{aligned}}}
2947:
3569:
The shortcomings of GMRES and restarted GMRES are addressed by the recycling of Krylov subspace in the GCRO type methods such as GCROT and GCRODR. Recycling of Krylov subspaces in GMRES can also speed up convergence when sequences of linear systems need to be solved.
4863:
3612:. These also work with a three-term recurrence relation (hence, without optimality) and they can even terminate prematurely without achieving convergence. The idea behind these methods is to choose the generating polynomials of the iteration sequence suitably.
4500:
4170:
360:
4215:
3214:
3270:
4709:
4505:
5172:{\displaystyle {\begin{aligned}\left\|{\tilde {H}}_{n}y_{n}-\beta e_{1}\right\|&=\left\|\Omega _{n}({\tilde {H}}_{n}y_{n}-\beta e_{1})\right\|\\&=\left\|{\tilde {R}}_{n}y_{n}-\beta \Omega _{n}e_{1}\right\|.\end{aligned}}}
3615:
None of these three classes is the best for all matrices; there are always examples in which one class outperforms the other. Therefore, multiple solvers are tried in practice to see which one is the best for a given problem.
5296:
2775:
3994:
4714:
3724:
3919:
4374:
3601:. These use a three-term recurrence relation, but they do not attain the minimum residual, and hence the residual does not decrease monotonically for these methods. Convergence is not even guaranteed.
58:
method due to Paige and
Saunders in 1975. The MINRES method requires that the matrix is symmetric, but has the advantage that it only requires handling of three vectors. GMRES is a special case of the
4938:
4037:
2215:
202:
3075:
5329:
4951:
1426:
1351:
723:
1982:
889:
3590:. It can be shown that there is no Krylov subspace method for general matrices, which is given by a short recurrence relation and yet minimizes the norms of the residuals, as GMRES does.
3035:
2991:
791:
1050:
5645:
5217:
2406:
1008:
7220:
Amritkar, Amit; de
Sturler, Eric; Świrydowicz, Katarzyna; Tafti, Danesh; Ahuja, Kapil (2015). "Recycling Krylov subspaces for CFD applications and a new hybrid recycling solver".
945:
593:
4622:
3566:) or Restarted GMRES. For non-positive definite matrices, this method may suffer from stagnation in convergence as the restarted subspace is often close to the earlier subspace.
2064:
1131:
3594:
2021:
3848:
3760:
1232:
3250:
645:
409:
2766:
442:
2340:
5222:
4361:{\displaystyle {\begin{bmatrix}\Omega _{n}&0\\0&1\end{bmatrix}}{\tilde {H}}_{n+1}={\begin{bmatrix}R_{n}&r_{n+1}\\0&\rho \\0&\sigma \end{bmatrix}}}
508:
475:
186:
2473:
2443:
5672:
4021:
3649:
2604:
2561:
2307:
2277:
2137:
2090:
1416:
1378:
1189:
1162:
1077:
818:
134:
102:
2525:
540:
1258:
3059:
2496:
2246:
2110:
1278:
3924:
3450:{\displaystyle {\frac {\|r_{n}\|}{\|b\|}}\leq \inf _{p\in P_{n}}\|p(A)\|\leq \kappa _{2}(V)\inf _{p\in P_{n}}\max _{\lambda \in \sigma (A)}|p(\lambda )|,\,}
4034:
The QR decomposition can be updated cheaply from one iteration to the next, because the
Hessenberg matrices differ only by a row of zeros and a column:
7454:
3654:
7206:
4612:{\displaystyle c_{n}={\frac {\rho }{\sqrt {\rho ^{2}+\sigma ^{2}}}}\quad {\text{and}}\quad s_{n}={\frac {\sigma }{\sqrt {\rho ^{2}+\sigma ^{2}}}}.}
3853:
7359:
Eisenstat, Stanley C.; Elman, Howard C.; Schultz, Martin H. (1983). "Variational
Iterative Methods for Nonsymmetric Systems of Linear Equations".
3586:
method is the minimal residual method (MinRes) of Paige and
Saunders. Unlike the unsymmetric case, the MinRes method is given by a three-term
2142:
7575:
1287:
7600:
2631:
and hence the GMRES method arrives at the exact solution. However, the idea is that after a small number of iterations (relative to
2942:{\displaystyle \|r_{n}\|\leq \left(1-{\frac {\lambda _{\min }^{2}(1/2(A^{T}+A))}{\lambda _{\max }(A^{T}A)}}\right)^{n/2}\|r_{0}\|,}
1916:
7595:
7447:
7132:
Paige and
Saunders, "Solution of Sparse Indefinite Systems of Linear Equations", SIAM J. Numer. Anal., vol 12, page 617 (1975)
3921:
The triangular matrix has one more row than it has columns, so its bottom row consists of zero. Hence, it can be decomposed as
3609:
3517:
All these inequalities bound only the residuals instead of the actual error, that is, the distance between the current iterate
2647:
This does not happen in general. Indeed, a theorem of
Greenbaum, Pták and Strakoš states that for every nonincreasing sequence
7349:
7330:
7305:
7190:
4868:
5589:
7387:
4858:{\displaystyle \Omega _{n+1}{\tilde {H}}_{n+1}={\begin{bmatrix}R_{n}&r_{n+1}\\0&r_{n+1,n+1}\\0&0\end{bmatrix}}}
2026:
2710:
is the residual defined above. In particular, it is possible to find a matrix for which the residual stays constant for
2218:
653:
7621:
7554:
7440:
3605:
7399:"Numerical Simulation of Multiphase Multicomponent Flow in Porous Media: Efficiency Analysis of Newton-Based Method"
4495:{\displaystyle G_{n}={\begin{bmatrix}I_{n}&0&0\\0&c_{n}&s_{n}\\0&-s_{n}&c_{n}\end{bmatrix}}}
2717:
In practice, though, GMRES often performs well. This can be proven in specific situations. If the symmetric part of
7585:
823:
2996:
2952:
7512:
4165:{\displaystyle {\tilde {H}}_{n+1}={\begin{bmatrix}{\tilde {H}}_{n}&h_{n+1}\\0&h_{n+2,n+1}\end{bmatrix}},}
736:
3479:
1013:
355:{\displaystyle K_{n}=K_{n}(A,r_{0})=\operatorname {span} \,\{r_{0},Ar_{0},A^{2}r_{0},\ldots ,A^{n-1}r_{0}\}.\,}
3209:{\displaystyle \|r_{n}\|\leq \left({\frac {\kappa _{2}(A)^{2}-1}{\kappa _{2}(A)^{2}}}\right)^{n/2}\|r_{0}\|.}
1384:). Note that, for symmetric matrices, a symmetric tri-diagonal matrix is actually achieved, resulting in the
596:
40:
7397:
Imankulov, Timur; Lebedev, Danil; Matkerim, Bazargul; Daribayev, Beimbet; Kassymbek, Nurislam (2021-10-08).
5182:
2348:
950:
7544:
107:
897:
545:
7074:
3598:
1090:
1991:
7498:
32:
3817:
3729:
1201:
7549:
3219:
601:
365:
7463:
4212:, augmented with zeroes and a row with multiplicative identity, yields almost a triangular matrix:
2769:
2724:
414:
2606:. Since every subspace is contained in the next subspace, the residual does not increase. After
2312:
7508:
480:
447:
159:
4704:{\displaystyle \Omega _{n+1}=G_{n}{\begin{bmatrix}\Omega _{n}&0\\0&1\end{bmatrix}}.}
2448:
2418:
7503:
7239:
5650:
3999:
3627:
3495:
2582:
2534:
2285:
2255:
2115:
2068:
1394:
1356:
1167:
1140:
1055:
796:
81:
3549:
is the iteration number. Therefore, the method is sometimes restarted after a number, say
2501:
516:
8:
7482:
7148:
Solveurs performants pour l'optimisation sous contraintes en identification de paramètres
7096:"GMRES: A Generalized Minimal Residual Algorithm for Solving Nonsymmetric Linear Systems"
3587:
1237:
726:
7243:
7255:
7229:
7200:
3044:
2481:
2231:
2095:
1263:
28:
7420:
7376:
7345:
7326:
7301:
7186:
7115:
4943:
Given the QR decomposition, the minimization problem is easily solved by noting that
3812:
3794:
3579:
1281:
730:
141:
44:
7518:
7410:
7390:
Templates for the
Solution of Linear Systems: Building Blocks for Iterative Methods
7368:
7278:
7259:
7247:
7153:
Efficient solvers for constrained optimization in parameter identification problems
7107:
3782:
3502:. Roughly speaking, this says that fast convergence occurs when the eigenvalues of
3253:
3069:
62:
method developed by Peter Pulay in 1980. DIIS is applicable to non-linear systems.
24:
7559:
5291:{\displaystyle {\tilde {g}}_{n}={\begin{bmatrix}g_{n}\\\gamma _{n}\end{bmatrix}}}
4369:
3583:
3535:
196:
36:
7477:
5963:% Note: this is not the beta scalar in section "The method" above but
2714: − 1 iterations, and only drops to zero at the last iteration.
2475:
1985:
71:
7282:
7251:
7185:. Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics. Theorem 35.2.
7615:
7523:
7424:
7380:
7119:
3511:
2528:
54:
and Martin H. Schultz in 1986. It is a generalization and improvement of the
7095:
6594:% Applying Givens Rotation to H col %
7432:
7300:. Texts in Applied Mathematics (3rd ed.). New York: Springer. §8.7.2.
7415:
7398:
7146:
4368:
This would be triangular if σ is zero. To remedy this, one needs the
51:
6035:% eliminate the last element in H ith row and update the rotation matrix
3989:{\displaystyle {\tilde {R}}_{n}={\begin{bmatrix}R_{n}\\0\end{bmatrix}},}
6597:%---------------------------------------------------------------------%
6591:%---------------------------------------------------------------------%
3038:
7539:
4206:). This implies that premultiplying the Hessenberg matrix with Ω
7372:
7111:
7234:
7219:
7133:
7396:
7275:
Recycling Krylov subspace methods for sequences of linear systems
6272:% if threshold is not reached, k = m at this point (and not m+1)
3719:{\displaystyle \left\|{\tilde {H}}_{n}y_{n}-\beta e_{1}\right\|.}
104:. Denote the (square) system of linear equations to be solved by
7590:
7580:
3534:
Like other iterative methods, GMRES is usually combined with a
1385:
55:
1191:, which is determined via minimizing the residue as described
3914:{\displaystyle \Omega _{n}{\tilde {H}}_{n}={\tilde {R}}_{n}.}
2139:
can be found by minimizing the
Euclidean norm of the residual
16:
Method for numerical solution of certain systems of equations
3770:
matrix, hence it gives an over-constrained linear system of
7168:, Thm 3.3. NB all results for GCR also hold for GMRES, cf.
6380:% Arnoldi Function %
59:
35:. The method approximates the solution by the vector in a
2579:
th iterate minimizes the residual in the Krylov subspace
1353:
an equality which is used to simplify the calculation of
4933:{\textstyle r_{n+1,n+1}={\sqrt {\rho ^{2}+\sigma ^{2}}}}
2644:
is already a good approximation to the exact solution.
2210:{\displaystyle r_{n}={\tilde {H}}_{n}y_{n}-\beta e_{1}.}
3562:
as initial guess. The resulting method is called GMRES(
6444:% Modified Gram-Schmidt, keeping the Hessenberg matrix
6383:%----------------------------------------------------%
6377:%----------------------------------------------------%
5682:
5525:
5479:
5253:
4871:
4767:
4660:
4396:
4295:
4224:
4074:
3955:
1381:
1192:
7358:
7165:
5653:
5592:
5327:
5225:
5185:
4949:
4717:
4625:
4508:
4377:
4218:
4040:
4002:
3927:
3856:
3820:
3732:
3657:
3630:
3273:
3222:
3078:
3047:
2999:
2955:
2778:
2727:
2585:
2537:
2504:
2484:
2451:
2421:
2351:
2315:
2288:
2258:
2234:
2145:
2118:
2098:
2071:
2029:
1994:
1919:
1424:
1397:
1359:
1290:
1266:
1240:
1204:
1170:
1143:
1093:
1058:
1016:
953:
900:
826:
799:
739:
656:
604:
548:
519:
483:
450:
417:
368:
205:
162:
110:
84:
7100:
SIAM Journal on
Scientific and Statistical Computing
3619:
3624:One part of the GMRES method is to find the vector
5666:
5639:
5574:
5290:
5211:
5171:
4932:
4857:
4703:
4611:
4494:
4360:
4164:
4015:
3988:
3913:
3842:
3754:
3718:
3643:
3449:
3244:
3208:
3053:
3029:
2985:
2941:
2760:
2598:
2563:floating-point operations must be computed at the
2555:
2519:
2490:
2467:
2437:
2400:
2334:
2301:
2271:
2240:
2209:
2131:
2104:
2084:
2058:
2015:
1976:
1905:
1410:
1372:
1345:
1272:
1252:
1226:
1183:
1156:
1125:
1071:
1044:
1002:
939:
883:
812:
785:
717:
639:
587:
534:
502:
469:
436:
403:
354:
180:
128:
96:
3466:denotes the set of polynomials of degree at most
7613:
6955:%%----Calculate the Givens rotation matrix----%%
3573:
3397:
3374:
3311:
2874:
2818:
1346:{\displaystyle AQ_{n}=Q_{n+1}{\tilde {H}}_{n}\,}
718:{\displaystyle r_{0},Ar_{0},\ldots A^{n-1}r_{0}}
2411:repeat if the residual is not yet small enough.
2092:being the first trial residual vector (usually
7181:Trefethen, Lloyd N.; Bau, David, III. (1997).
7448:
7295:
6820:% update the next sin cos values for rotation
1977:{\displaystyle e_{1}=(1,0,0,\ldots ,0)^{T}\,}
884:{\displaystyle q_{1}=\|r_{0}\|_{2}^{-1}r_{0}}
7462:
7320:
7205:: CS1 maint: multiple names: authors list (
7180:
5586:that minimizes this expression is given by
3348:
3333:
3301:
3295:
3290:
3277:
3200:
3187:
3092:
3079:
3030:{\displaystyle \lambda _{\mathrm {max} }(M)}
2986:{\displaystyle \lambda _{\mathrm {min} }(M)}
2933:
2920:
2792:
2779:
2531:. In addition to the matrix-vector product,
2415:At every iteration, a matrix-vector product
2329:
2316:
2049:
2036:
854:
840:
411:is the initial error given an initial guess
345:
258:
169:
163:
91:
85:
7342:Iterative Methods for Sparse Linear Systems
7169:
7093:
7039:% see http://www.netlib.org/eispack/comqr.f
3529:
786:{\displaystyle q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n}\,}
21:generalized minimal residual method (GMRES)
7455:
7441:
7321:Meister, Andreas; Vömel, Christof (2005).
3604:The third class is formed by methods like
3582:for symmetric matrices. The corresponding
7414:
7233:
7094:Saad, Youcef; Schultz, Martin H. (1986).
3538:method in order to speed up convergence.
3446:
3072:and positive definite, then we even have
2052:
1997:
1973:
1342:
1137:-th approximation of the solution (i.e.,
1045:{\displaystyle y_{n}\in \mathbb {R} ^{n}}
1032:
782:
595:that minimizes the Euclidean norm of the
513:GMRES approximates the exact solution of
351:
257:
1382:§ Solving the least squares problem
7586:Basic Linear Algebra Subprograms (BLAS)
7393:, 2nd Edition, SIAM, Philadelphia, 1994
7296:Stoer, Josef; Bulirsch, Roland (2002).
3593:Another class of methods builds on the
3506:are clustered away from the origin and
31:solution of an indefinite nonsymmetric
7614:
5640:{\displaystyle y_{n}=R_{n}^{-1}g_{n}.}
5212:{\displaystyle \beta \Omega _{n}e_{1}}
2401:{\displaystyle x_{n}=x_{0}+Q_{n}y_{n}}
1003:{\displaystyle x_{n}=x_{0}+Q_{n}y_{n}}
7436:
3578:The Arnoldi iteration reduces to the
3541:The cost of the iterations grow as O(
2228:This yields the GMRES method. On the
7344:(2nd ed.). Philadelphia: SIAM.
7339:
7272:
7144:
3781:The minimum can be computed using a
1198:The Arnoldi process also constructs
940:{\displaystyle x_{n}\in x_{0}+K_{n}}
733:is used to find orthonormal vectors
588:{\displaystyle x_{n}\in x_{0}+K_{n}}
7166:Eisenstat, Elman & Schultz 1983
5683:Regular GMRES (MATLAB / GNU Octave)
4619:With this Givens rotation, we form
2478:for general dense matrices of size
2445:must be computed. This costs about
2059:{\displaystyle \beta =\|r_{0}\|\,,}
1164:) is reduced to finding the vector
1126:{\displaystyle q_{1},\ldots ,q_{n}}
13:
7361:SIAM Journal on Numerical Analysis
7323:Numerik linearer Gleichungssysteme
7298:Introduction to Numerical Analysis
5966:% the beta scalar multiplied by e1
5697:A, b, x, max_iterations, threshold
5435:
5190:
5138:
5022:
4719:
4664:
4627:
4228:
3858:
3267:is not positive definite, we have
3012:
3009:
3006:
2968:
2965:
2962:
2016:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}
152:. Furthermore, it is assumed that
50:The GMRES method was developed by
14:
7633:
4031:(thus square) triangular matrix.
3620:Solving the least squares problem
7222:Journal of Computational Physics
3843:{\displaystyle {\tilde {R}}_{n}}
3755:{\displaystyle {\tilde {H}}_{n}}
3037:denote the smallest and largest
1227:{\displaystyle {\tilde {H}}_{n}}
729:, so instead of this basis, the
7134:https://doi.org/10.1137/0712047
5677:
4560:
4554:
3478:is the matrix appearing in the
2498:, but the cost can decrease to
7289:
7266:
7213:
7174:
7159:
7138:
7126:
7087:
5561:
5470:
5455:
5406:
5395:
5383:
5344:
5333:
5233:
5158:
5109:
5098:
5083:
5079:
5041:
5031:
5017:
5005:
4966:
4955:
4741:
4269:
4084:
4048:
3935:
3896:
3874:
3828:
3740:
3709:
3670:
3659:
3439:
3435:
3429:
3422:
3416:
3410:
3370:
3364:
3345:
3339:
3245:{\displaystyle \kappa _{2}(A)}
3239:
3233:
3157:
3150:
3123:
3116:
3024:
3018:
2980:
2974:
2895:
2879:
2864:
2861:
2842:
2828:
2747:
2728:
2570:
2550:
2541:
2514:
2508:
2166:
1964:
1933:
1895:
1872:
1845:
1830:
1826:
1804:
1778:
1758:
1743:
1720:
1677:
1662:
1618:
1603:
1562:
1547:
1543:
1507:
1494:
1479:
1455:
1443:
1430:
1330:
1212:
1133:. In other words, finding the
640:{\displaystyle r_{n}=b-Ax_{n}}
404:{\displaystyle r_{0}=b-Ax_{0}}
248:
229:
1:
7080:
5732:% use x as the initial vector
3595:unsymmetric Lanczos iteration
3574:Comparison with other solvers
65:
47:is used to find this vector.
6095:% update the residual vector
4865:is a triangular matrix with
7:
7155:] (Thesis) (in French).
7075:Biconjugate gradient method
7068:
5804:% initialize the 1D vectors
3263:In the general case, where
2761:{\displaystyle (A^{T}+A)/2}
2673:= 0, one can find a matrix
1984:is the first vector in the
437:{\displaystyle x_{0}\neq 0}
10:
7638:
7499:System of linear equations
2614:is the size of the matrix
156:is normalized, i.e., that
33:system of linear equations
7568:
7550:Cache-oblivious algorithm
7532:
7491:
7470:
7283:10.14279/depositonce-4147
7252:10.1016/j.jcp.2015.09.040
2476:floating-point operations
2335:{\displaystyle \|r_{n}\|}
7622:Numerical linear algebra
7601:General purpose software
7464:Numerical linear algebra
7183:Numerical Linear Algebra
5686:
3530:Extensions of the method
3526:and the exact solution.
2279:with the Arnoldi method;
1418:are orthonormal, we have
7170:Saad & Schultz 1986
7018:% sn = cs * v2 / v1;
6862:% eliminate H(i + 1, i)
6603:= apply_givens_rotation
3260:in the Euclidean norm.
793:which form a basis for
503:{\displaystyle x_{0}=0}
470:{\displaystyle r_{0}=b}
181:{\displaystyle \|b\|=1}
7145:Nifa, Naoufal (2017).
7015:% cs = abs(v1) / t;
6613:% apply for ith column
6275:% calculate the result
5668:
5641:
5576:
5292:
5213:
5173:
4934:
4859:
4705:
4613:
4496:
4362:
4166:
4017:
3990:
3915:
3844:
3756:
3720:
3645:
3553:, of iterations, with
3480:spectral decomposition
3451:
3246:
3210:
3055:
3031:
2987:
2943:
2762:
2677:such that the ‖
2600:
2557:
2521:
2492:
2469:
2468:{\displaystyle 2m^{2}}
2439:
2438:{\displaystyle Aq_{n}}
2402:
2336:
2303:
2273:
2242:
2211:
2133:
2106:
2086:
2060:
2017:
1978:
1907:
1412:
1374:
1347:
1274:
1254:
1228:
1185:
1158:
1127:
1073:
1046:
1004:
941:
894:Therefore, the vector
885:
814:
787:
719:
641:
589:
536:
504:
471:
438:
405:
356:
182:
130:
98:
7596:Specialized libraries
7509:Matrix multiplication
7504:Matrix decompositions
7416:10.3390/fluids6100355
7325:. Wiesbaden: Vieweg.
6041:apply_givens_rotation
5669:
5667:{\displaystyle g_{n}}
5642:
5577:
5293:
5214:
5174:
4935:
4860:
4706:
4614:
4497:
4363:
4167:
4018:
4016:{\displaystyle R_{n}}
3991:
3916:
3845:
3757:
3721:
3646:
3644:{\displaystyle y_{n}}
3452:
3247:
3211:
3056:
3032:
2988:
2944:
2763:
2601:
2599:{\displaystyle K_{n}}
2558:
2556:{\displaystyle O(nm)}
2522:
2493:
2470:
2440:
2403:
2337:
2304:
2302:{\displaystyle y_{n}}
2274:
2272:{\displaystyle q_{n}}
2243:
2212:
2134:
2132:{\displaystyle x_{n}}
2107:
2087:
2085:{\displaystyle r_{0}}
2061:
2018:
1979:
1908:
1413:
1411:{\displaystyle Q_{n}}
1375:
1373:{\displaystyle y_{n}}
1348:
1275:
1255:
1229:
1186:
1184:{\displaystyle y_{n}}
1159:
1157:{\displaystyle x_{n}}
1128:
1074:
1072:{\displaystyle Q_{n}}
1047:
1005:
942:
886:
815:
813:{\displaystyle K_{n}}
788:
720:
642:
590:
537:
505:
472:
439:
406:
357:
183:
131:
129:{\displaystyle Ax=b.}
99:
97:{\displaystyle \|v\|}
7277:(Ph.D.). TU Berlin.
7273:Gaul, André (2014).
5674:are easy to update.
5651:
5590:
5325:
5223:
5183:
5179:Denoting the vector
4947:
4869:
4715:
4623:
4506:
4375:
4216:
4038:
4000:
3925:
3854:
3818:
3789: + 1)-by-(
3730:
3655:
3628:
3597:, in particular the
3510:is not too far from
3271:
3220:
3076:
3045:
2997:
2953:
2776:
2725:
2583:
2535:
2520:{\displaystyle O(m)}
2502:
2482:
2449:
2419:
2349:
2313:
2286:
2256:
2232:
2219:linear least squares
2143:
2116:
2096:
2069:
2027:
1992:
1917:
1422:
1395:
1357:
1288:
1264:
1238:
1202:
1168:
1141:
1091:
1056:
1014:
951:
898:
824:
797:
737:
654:
602:
546:
535:{\displaystyle Ax=b}
517:
481:
448:
415:
366:
203:
199:for this problem is
160:
108:
82:
19:In mathematics, the
7483:Numerical stability
7244:2015JCoPh.303..222A
5647:Again, the vectors
5623:
3807: + 1)-by-
3766: + 1)-by-
3588:recurrence relation
2827:
2618:, the Krylov space
1391:Because columns of
1253:{\displaystyle n+1}
870:
5855:%e1 = zeros(n, 1);
5664:
5637:
5606:
5572:
5570:
5554:
5501:
5288:
5282:
5209:
5169:
5167:
4930:
4855:
4849:
4701:
4692:
4609:
4492:
4486:
4358:
4352:
4256:
4162:
4153:
4013:
3986:
3977:
3911:
3840:
3752:
3716:
3641:
3447:
3420:
3395:
3332:
3242:
3206:
3051:
3027:
2983:
2939:
2813:
2758:
2610:iterations, where
2596:
2553:
2517:
2488:
2465:
2435:
2398:
2332:
2299:
2269:
2238:
2207:
2129:
2102:
2082:
2056:
2013:
1974:
1903:
1901:
1408:
1370:
1343:
1270:
1250:
1224:
1181:
1154:
1123:
1069:
1042:
1000:
947:can be written as
937:
881:
853:
810:
783:
727:linearly dependent
725:might be close to
715:
637:
585:
532:
500:
467:
434:
401:
352:
178:
126:
94:
7609:
7608:
7388:Dongarra et al.,
7351:978-0-89871-534-7
7340:Saad, Y. (2003).
7332:978-3-528-13135-7
7307:978-0-387-95452-3
7192:978-0-89871-361-9
6961:= givens_rotation
5409:
5347:
5236:
5112:
5044:
4969:
4928:
4744:
4604:
4603:
4558:
4552:
4551:
4272:
4087:
4051:
3938:
3899:
3877:
3831:
3813:triangular matrix
3795:orthogonal matrix
3774:+1 equations for
3743:
3673:
3580:Lanczos iteration
3396:
3373:
3310:
3305:
3167:
3054:{\displaystyle M}
2899:
2770:positive definite
2491:{\displaystyle m}
2241:{\displaystyle n}
2169:
2105:{\displaystyle b}
1875:
1807:
1723:
1333:
1282:Hessenberg matrix
1273:{\displaystyle n}
1215:
1087:matrix formed by
820:. In particular,
731:Arnoldi iteration
140:is assumed to be
45:Arnoldi iteration
7629:
7519:Matrix splitting
7457:
7450:
7443:
7434:
7433:
7428:
7418:
7384:
7355:
7336:
7312:
7311:
7293:
7287:
7286:
7270:
7264:
7263:
7237:
7217:
7211:
7210:
7204:
7196:
7178:
7172:
7163:
7157:
7156:
7142:
7136:
7130:
7124:
7123:
7091:
7064:
7061:
7058:
7055:
7052:
7049:
7046:
7043:
7040:
7037:
7034:
7031:
7028:
7025:
7022:
7019:
7016:
7013:
7010:
7006:
7003:
7000:
6996:
6993:
6990:
6987:
6984:
6981:
6978:
6975:
6972:
6969:
6965:
6962:
6959:
6956:
6953:
6950:
6947:
6944:
6941:
6938:
6935:
6932:
6929:
6926:
6923:
6920:
6917:
6914:
6911:
6908:
6905:
6902:
6899:
6896:
6893:
6890:
6887:
6884:
6881:
6878:
6875:
6872:
6869:
6866:
6863:
6860:
6857:
6854:
6851:
6848:
6845:
6842:
6839:
6836:
6833:
6830:
6827:
6824:
6821:
6818:
6815:
6812:
6809:
6806:
6803:
6800:
6797:
6794:
6791:
6788:
6785:
6782:
6779:
6776:
6773:
6770:
6767:
6764:
6761:
6758:
6755:
6752:
6749:
6746:
6743:
6740:
6737:
6734:
6731:
6728:
6725:
6722:
6719:
6716:
6713:
6710:
6707:
6704:
6701:
6698:
6695:
6692:
6689:
6686:
6683:
6680:
6677:
6674:
6671:
6668:
6665:
6662:
6659:
6656:
6653:
6650:
6647:
6644:
6641:
6638:
6635:
6632:
6629:
6626:
6623:
6620:
6617:
6614:
6611:
6607:
6604:
6601:
6598:
6595:
6592:
6589:
6586:
6583:
6580:
6577:
6574:
6571:
6568:
6565:
6562:
6559:
6556:
6553:
6550:
6547:
6544:
6541:
6538:
6535:
6532:
6529:
6526:
6523:
6520:
6517:
6514:
6511:
6508:
6505:
6502:
6499:
6496:
6493:
6490:
6487:
6484:
6481:
6478:
6475:
6472:
6469:
6466:
6463:
6460:
6457:
6454:
6451:
6448:
6445:
6442:
6439:
6436:
6433:
6430:
6427:
6424:
6421:
6418:
6415:
6412:
6409:
6406:
6403:
6400:
6397:
6393:
6390:
6387:
6384:
6381:
6378:
6375:
6372:
6369:
6366:
6363:
6360:
6357:
6354:
6351:
6348:
6345:
6342:
6339:
6336:
6333:
6330:
6327:
6324:
6321:
6318:
6315:
6312:
6309:
6306:
6303:
6300:
6297:
6294:
6291:
6288:
6285:
6282:
6279:
6276:
6273:
6270:
6267:
6264:
6261:
6258:
6255:
6252:
6249:
6246:
6243:
6240:
6237:
6234:
6231:
6230:% save the error
6228:
6225:
6222:
6219:
6216:
6213:
6210:
6207:
6204:
6201:
6198:
6195:
6192:
6189:
6186:
6183:
6180:
6177:
6174:
6171:
6168:
6165:
6162:
6159:
6156:
6153:
6150:
6147:
6144:
6141:
6138:
6135:
6132:
6129:
6126:
6123:
6120:
6117:
6114:
6111:
6108:
6105:
6102:
6099:
6096:
6093:
6090:
6087:
6084:
6081:
6078:
6075:
6072:
6069:
6066:
6063:
6060:
6057:
6054:
6051:
6048:
6045:
6042:
6039:
6036:
6033:
6030:
6027:
6024:
6021:
6018:
6015:
6012:
6009:
6006:
6003:
6000:
5997:
5994:
5991:
5988:
5985:
5982:
5979:
5976:
5973:
5970:
5967:
5964:
5961:
5958:
5955:
5952:
5949:
5946:
5943:
5940:
5937:
5934:
5931:
5928:
5925:
5922:
5919:
5916:
5913:
5910:
5907:
5904:
5901:
5898:
5895:
5892:
5889:
5886:
5883:
5880:
5877:
5874:
5871:
5868:
5865:
5862:
5859:
5856:
5853:
5850:
5847:
5844:
5841:
5838:
5835:
5832:
5829:
5826:
5823:
5820:
5817:
5814:
5811:
5808:
5805:
5802:
5799:
5796:
5793:
5790:
5787:
5784:
5781:
5778:
5775:
5772:
5769:
5766:
5763:
5760:
5757:
5754:
5751:
5748:
5745:
5742:
5739:
5736:
5733:
5730:
5727:
5724:
5721:
5718:
5715:
5712:
5709:
5706:
5703:
5700:
5696:
5693:
5690:
5673:
5671:
5670:
5665:
5663:
5662:
5646:
5644:
5643:
5638:
5633:
5632:
5622:
5614:
5602:
5601:
5581:
5579:
5578:
5573:
5571:
5564:
5560:
5559:
5558:
5551:
5550:
5537:
5536:
5516:
5515:
5506:
5505:
5491:
5490:
5462:
5458:
5454:
5453:
5452:
5443:
5442:
5427:
5426:
5417:
5416:
5411:
5410:
5402:
5386:
5382:
5381:
5380:
5365:
5364:
5355:
5354:
5349:
5348:
5340:
5297:
5295:
5294:
5289:
5287:
5286:
5279:
5278:
5265:
5264:
5244:
5243:
5238:
5237:
5229:
5218:
5216:
5215:
5210:
5208:
5207:
5198:
5197:
5178:
5176:
5175:
5170:
5168:
5161:
5157:
5156:
5155:
5146:
5145:
5130:
5129:
5120:
5119:
5114:
5113:
5105:
5090:
5086:
5082:
5078:
5077:
5062:
5061:
5052:
5051:
5046:
5045:
5037:
5030:
5029:
5008:
5004:
5003:
5002:
4987:
4986:
4977:
4976:
4971:
4970:
4962:
4939:
4937:
4936:
4931:
4929:
4927:
4926:
4914:
4913:
4904:
4899:
4898:
4864:
4862:
4861:
4856:
4854:
4853:
4834:
4833:
4797:
4796:
4779:
4778:
4758:
4757:
4746:
4745:
4737:
4733:
4732:
4710:
4708:
4707:
4702:
4697:
4696:
4672:
4671:
4654:
4653:
4641:
4640:
4618:
4616:
4615:
4610:
4605:
4602:
4601:
4589:
4588:
4579:
4575:
4570:
4569:
4559:
4556:
4553:
4550:
4549:
4537:
4536:
4527:
4523:
4518:
4517:
4501:
4499:
4498:
4493:
4491:
4490:
4483:
4482:
4471:
4470:
4449:
4448:
4437:
4436:
4408:
4407:
4387:
4386:
4367:
4365:
4364:
4359:
4357:
4356:
4325:
4324:
4307:
4306:
4286:
4285:
4274:
4273:
4265:
4261:
4260:
4236:
4235:
4171:
4169:
4168:
4163:
4158:
4157:
4150:
4149:
4113:
4112:
4095:
4094:
4089:
4088:
4080:
4065:
4064:
4053:
4052:
4044:
4022:
4020:
4019:
4014:
4012:
4011:
3995:
3993:
3992:
3987:
3982:
3981:
3967:
3966:
3946:
3945:
3940:
3939:
3931:
3920:
3918:
3917:
3912:
3907:
3906:
3901:
3900:
3892:
3885:
3884:
3879:
3878:
3870:
3866:
3865:
3849:
3847:
3846:
3841:
3839:
3838:
3833:
3832:
3824:
3793: + 1)
3783:QR decomposition
3761:
3759:
3758:
3753:
3751:
3750:
3745:
3744:
3736:
3725:
3723:
3722:
3717:
3712:
3708:
3707:
3706:
3691:
3690:
3681:
3680:
3675:
3674:
3666:
3651:which minimizes
3650:
3648:
3647:
3642:
3640:
3639:
3456:
3454:
3453:
3448:
3442:
3425:
3419:
3394:
3393:
3392:
3363:
3362:
3331:
3330:
3329:
3306:
3304:
3293:
3289:
3288:
3275:
3254:condition number
3251:
3249:
3248:
3243:
3232:
3231:
3215:
3213:
3212:
3207:
3199:
3198:
3186:
3185:
3181:
3172:
3168:
3166:
3165:
3164:
3149:
3148:
3138:
3131:
3130:
3115:
3114:
3104:
3091:
3090:
3061:, respectively.
3060:
3058:
3057:
3052:
3036:
3034:
3033:
3028:
3017:
3016:
3015:
2992:
2990:
2989:
2984:
2973:
2972:
2971:
2948:
2946:
2945:
2940:
2932:
2931:
2919:
2918:
2914:
2905:
2901:
2900:
2898:
2891:
2890:
2878:
2877:
2867:
2854:
2853:
2838:
2826:
2821:
2811:
2791:
2790:
2767:
2765:
2764:
2759:
2754:
2740:
2739:
2687:
2627:is the whole of
2605:
2603:
2602:
2597:
2595:
2594:
2562:
2560:
2559:
2554:
2526:
2524:
2523:
2518:
2497:
2495:
2494:
2489:
2474:
2472:
2471:
2466:
2464:
2463:
2444:
2442:
2441:
2436:
2434:
2433:
2407:
2405:
2404:
2399:
2397:
2396:
2387:
2386:
2374:
2373:
2361:
2360:
2341:
2339:
2338:
2333:
2328:
2327:
2309:which minimizes
2308:
2306:
2305:
2300:
2298:
2297:
2278:
2276:
2275:
2270:
2268:
2267:
2247:
2245:
2244:
2239:
2221:problem of size
2216:
2214:
2213:
2208:
2203:
2202:
2187:
2186:
2177:
2176:
2171:
2170:
2162:
2155:
2154:
2138:
2136:
2135:
2130:
2128:
2127:
2111:
2109:
2108:
2103:
2091:
2089:
2088:
2083:
2081:
2080:
2065:
2063:
2062:
2057:
2048:
2047:
2022:
2020:
2019:
2014:
2012:
2011:
2000:
1983:
1981:
1980:
1975:
1972:
1971:
1929:
1928:
1912:
1910:
1909:
1904:
1902:
1898:
1894:
1893:
1892:
1883:
1882:
1877:
1876:
1868:
1861:
1860:
1837:
1833:
1829:
1825:
1824:
1815:
1814:
1809:
1808:
1800:
1793:
1792:
1777:
1776:
1750:
1746:
1742:
1741:
1740:
1731:
1730:
1725:
1724:
1716:
1712:
1711:
1693:
1692:
1669:
1665:
1661:
1660:
1659:
1650:
1649:
1634:
1633:
1610:
1606:
1602:
1601:
1600:
1591:
1590:
1575:
1574:
1554:
1550:
1546:
1542:
1541:
1532:
1531:
1519:
1518:
1486:
1482:
1478:
1477:
1476:
1446:
1442:
1441:
1417:
1415:
1414:
1409:
1407:
1406:
1379:
1377:
1376:
1371:
1369:
1368:
1352:
1350:
1349:
1344:
1341:
1340:
1335:
1334:
1326:
1322:
1321:
1303:
1302:
1284:which satisfies
1279:
1277:
1276:
1271:
1259:
1257:
1256:
1251:
1233:
1231:
1230:
1225:
1223:
1222:
1217:
1216:
1208:
1190:
1188:
1187:
1182:
1180:
1179:
1163:
1161:
1160:
1155:
1153:
1152:
1132:
1130:
1129:
1124:
1122:
1121:
1103:
1102:
1078:
1076:
1075:
1070:
1068:
1067:
1051:
1049:
1048:
1043:
1041:
1040:
1035:
1026:
1025:
1009:
1007:
1006:
1001:
999:
998:
989:
988:
976:
975:
963:
962:
946:
944:
943:
938:
936:
935:
923:
922:
910:
909:
890:
888:
887:
882:
880:
879:
869:
861:
852:
851:
836:
835:
819:
817:
816:
811:
809:
808:
792:
790:
789:
784:
781:
780:
762:
761:
749:
748:
724:
722:
721:
716:
714:
713:
704:
703:
682:
681:
666:
665:
646:
644:
643:
638:
636:
635:
614:
613:
594:
592:
591:
586:
584:
583:
571:
570:
558:
557:
541:
539:
538:
533:
509:
507:
506:
501:
493:
492:
476:
474:
473:
468:
460:
459:
443:
441:
440:
435:
427:
426:
410:
408:
407:
402:
400:
399:
378:
377:
361:
359:
358:
353:
344:
343:
334:
333:
309:
308:
299:
298:
286:
285:
270:
269:
247:
246:
228:
227:
215:
214:
187:
185:
184:
179:
135:
133:
132:
127:
103:
101:
100:
95:
25:iterative method
7637:
7636:
7632:
7631:
7630:
7628:
7627:
7626:
7612:
7611:
7610:
7605:
7564:
7560:Multiprocessing
7528:
7524:Sparse problems
7487:
7466:
7461:
7431:
7373:10.1137/0720023
7352:
7333:
7316:
7315:
7308:
7294:
7290:
7271:
7267:
7218:
7214:
7198:
7197:
7193:
7179:
7175:
7164:
7160:
7143:
7139:
7131:
7127:
7112:10.1137/0907058
7092:
7088:
7083:
7071:
7066:
7065:
7062:
7059:
7056:
7053:
7050:
7047:
7044:
7041:
7038:
7035:
7032:
7029:
7026:
7023:
7020:
7017:
7014:
7011:
7008:
7004:
7001:
6998:
6994:
6991:
6988:
6985:
6982:
6979:
6976:
6973:
6971:% if (v1 == 0)
6970:
6967:
6963:
6960:
6957:
6954:
6951:
6948:
6945:
6942:
6939:
6936:
6933:
6930:
6927:
6924:
6921:
6918:
6915:
6912:
6909:
6906:
6903:
6900:
6897:
6894:
6891:
6888:
6885:
6882:
6879:
6876:
6873:
6870:
6867:
6864:
6861:
6858:
6855:
6852:
6849:
6846:
6843:
6840:
6837:
6834:
6831:
6828:
6826:givens_rotation
6825:
6822:
6819:
6816:
6813:
6810:
6807:
6804:
6801:
6798:
6795:
6792:
6789:
6786:
6783:
6780:
6777:
6774:
6771:
6768:
6765:
6762:
6759:
6756:
6753:
6750:
6747:
6744:
6741:
6738:
6735:
6732:
6729:
6726:
6723:
6720:
6717:
6714:
6711:
6708:
6705:
6702:
6699:
6696:
6693:
6690:
6687:
6684:
6681:
6678:
6675:
6672:
6669:
6666:
6663:
6660:
6657:
6654:
6651:
6648:
6645:
6642:
6639:
6636:
6633:
6630:
6627:
6624:
6621:
6618:
6615:
6612:
6609:
6605:
6602:
6599:
6596:
6593:
6590:
6587:
6584:
6581:
6578:
6575:
6572:
6569:
6566:
6563:
6560:
6557:
6554:
6551:
6548:
6545:
6542:
6539:
6536:
6533:
6530:
6527:
6524:
6521:
6518:
6515:
6512:
6509:
6506:
6503:
6500:
6497:
6494:
6491:
6488:
6485:
6482:
6479:
6476:
6473:
6470:
6467:
6464:
6461:
6458:
6455:
6452:
6449:
6446:
6443:
6440:
6437:
6434:
6431:
6428:
6425:
6423:% Krylov Vector
6422:
6419:
6416:
6413:
6410:
6407:
6404:
6401:
6398:
6395:
6391:
6388:
6385:
6382:
6379:
6376:
6373:
6370:
6367:
6364:
6361:
6358:
6355:
6352:
6349:
6346:
6343:
6340:
6337:
6334:
6331:
6328:
6325:
6322:
6319:
6316:
6313:
6310:
6307:
6304:
6301:
6298:
6295:
6292:
6289:
6286:
6283:
6280:
6277:
6274:
6271:
6268:
6265:
6262:
6259:
6256:
6253:
6250:
6247:
6244:
6241:
6238:
6235:
6232:
6229:
6226:
6223:
6220:
6217:
6214:
6211:
6208:
6205:
6202:
6199:
6196:
6193:
6190:
6187:
6184:
6181:
6178:
6175:
6172:
6169:
6166:
6163:
6160:
6157:
6154:
6151:
6148:
6145:
6142:
6139:
6136:
6133:
6130:
6127:
6124:
6121:
6118:
6115:
6112:
6109:
6106:
6103:
6100:
6097:
6094:
6091:
6088:
6085:
6082:
6079:
6076:
6073:
6070:
6067:
6064:
6061:
6058:
6055:
6052:
6049:
6046:
6043:
6040:
6037:
6034:
6031:
6028:
6025:
6022:
6019:
6016:
6013:
6010:
6007:
6004:
6001:
5998:
5995:
5992:
5989:
5986:
5983:
5980:
5977:
5974:
5971:
5968:
5965:
5962:
5959:
5956:
5953:
5950:
5947:
5944:
5941:
5938:
5935:
5932:
5929:
5926:
5923:
5920:
5917:
5914:
5911:
5908:
5905:
5902:
5899:
5896:
5893:
5890:
5887:
5884:
5881:
5878:
5875:
5872:
5869:
5866:
5863:
5860:
5857:
5854:
5851:
5848:
5845:
5842:
5839:
5836:
5833:
5830:
5827:
5824:
5821:
5818:
5815:
5812:
5809:
5806:
5803:
5800:
5797:
5794:
5791:
5788:
5785:
5782:
5779:
5776:
5773:
5770:
5767:
5764:
5761:
5758:
5755:
5752:
5749:
5746:
5743:
5740:
5737:
5734:
5731:
5728:
5725:
5722:
5719:
5716:
5713:
5710:
5707:
5704:
5701:
5698:
5694:
5691:
5688:
5685:
5680:
5658:
5654:
5652:
5649:
5648:
5628:
5624:
5615:
5610:
5597:
5593:
5591:
5588:
5587:
5569:
5568:
5553:
5552:
5546:
5542:
5539:
5538:
5532:
5528:
5521:
5520:
5511:
5507:
5500:
5499:
5493:
5492:
5486:
5482:
5475:
5474:
5473:
5469:
5460:
5459:
5448:
5444:
5438:
5434:
5422:
5418:
5412:
5401:
5400:
5399:
5398:
5394:
5387:
5376:
5372:
5360:
5356:
5350:
5339:
5338:
5337:
5336:
5332:
5328:
5326:
5323:
5322:
5316:
5306:
5281:
5280:
5274:
5270:
5267:
5266:
5260:
5256:
5249:
5248:
5239:
5228:
5227:
5226:
5224:
5221:
5220:
5203:
5199:
5193:
5189:
5184:
5181:
5180:
5166:
5165:
5151:
5147:
5141:
5137:
5125:
5121:
5115:
5104:
5103:
5102:
5101:
5097:
5088:
5087:
5073:
5069:
5057:
5053:
5047:
5036:
5035:
5034:
5025:
5021:
5020:
5016:
5009:
4998:
4994:
4982:
4978:
4972:
4961:
4960:
4959:
4958:
4954:
4950:
4948:
4945:
4944:
4922:
4918:
4909:
4905:
4903:
4876:
4872:
4870:
4867:
4866:
4848:
4847:
4842:
4836:
4835:
4811:
4807:
4805:
4799:
4798:
4786:
4782:
4780:
4774:
4770:
4763:
4762:
4747:
4736:
4735:
4734:
4722:
4718:
4716:
4713:
4712:
4691:
4690:
4685:
4679:
4678:
4673:
4667:
4663:
4656:
4655:
4649:
4645:
4630:
4626:
4624:
4621:
4620:
4597:
4593:
4584:
4580:
4574:
4565:
4561:
4555:
4545:
4541:
4532:
4528:
4522:
4513:
4509:
4507:
4504:
4503:
4485:
4484:
4478:
4474:
4472:
4466:
4462:
4457:
4451:
4450:
4444:
4440:
4438:
4432:
4428:
4426:
4420:
4419:
4414:
4409:
4403:
4399:
4392:
4391:
4382:
4378:
4376:
4373:
4372:
4370:Givens rotation
4351:
4350:
4345:
4339:
4338:
4333:
4327:
4326:
4314:
4310:
4308:
4302:
4298:
4291:
4290:
4275:
4264:
4263:
4262:
4255:
4254:
4249:
4243:
4242:
4237:
4231:
4227:
4220:
4219:
4217:
4214:
4213:
4211:
4205:
4191:
4180:
4152:
4151:
4127:
4123:
4121:
4115:
4114:
4102:
4098:
4096:
4090:
4079:
4078:
4077:
4070:
4069:
4054:
4043:
4042:
4041:
4039:
4036:
4035:
4007:
4003:
4001:
3998:
3997:
3976:
3975:
3969:
3968:
3962:
3958:
3951:
3950:
3941:
3930:
3929:
3928:
3926:
3923:
3922:
3902:
3891:
3890:
3889:
3880:
3869:
3868:
3867:
3861:
3857:
3855:
3852:
3851:
3834:
3823:
3822:
3821:
3819:
3816:
3815:
3802:
3746:
3735:
3734:
3733:
3731:
3728:
3727:
3702:
3698:
3686:
3682:
3676:
3665:
3664:
3663:
3662:
3658:
3656:
3653:
3652:
3635:
3631:
3629:
3626:
3625:
3622:
3584:Krylov subspace
3576:
3561:
3536:preconditioning
3532:
3525:
3465:
3438:
3421:
3400:
3388:
3384:
3377:
3358:
3354:
3325:
3321:
3314:
3294:
3284:
3280:
3276:
3274:
3272:
3269:
3268:
3227:
3223:
3221:
3218:
3217:
3194:
3190:
3177:
3173:
3160:
3156:
3144:
3140:
3139:
3126:
3122:
3110:
3106:
3105:
3103:
3099:
3098:
3086:
3082:
3077:
3074:
3073:
3046:
3043:
3042:
3005:
3004:
3000:
2998:
2995:
2994:
2961:
2960:
2956:
2954:
2951:
2950:
2927:
2923:
2910:
2906:
2886:
2882:
2873:
2869:
2868:
2849:
2845:
2834:
2822:
2817:
2812:
2810:
2803:
2799:
2798:
2786:
2782:
2777:
2774:
2773:
2750:
2735:
2731:
2726:
2723:
2722:
2709:
2696:
2686:
2678:
2672:
2663:
2653:
2643:
2626:
2590:
2586:
2584:
2581:
2580:
2573:
2567:-th iteration.
2536:
2533:
2532:
2529:sparse matrices
2503:
2500:
2499:
2483:
2480:
2479:
2459:
2455:
2450:
2447:
2446:
2429:
2425:
2420:
2417:
2416:
2392:
2388:
2382:
2378:
2369:
2365:
2356:
2352:
2350:
2347:
2346:
2323:
2319:
2314:
2311:
2310:
2293:
2289:
2287:
2284:
2283:
2263:
2259:
2257:
2254:
2253:
2248:-th iteration:
2233:
2230:
2229:
2198:
2194:
2182:
2178:
2172:
2161:
2160:
2159:
2150:
2146:
2144:
2141:
2140:
2123:
2119:
2117:
2114:
2113:
2097:
2094:
2093:
2076:
2072:
2070:
2067:
2066:
2043:
2039:
2028:
2025:
2024:
2001:
1996:
1995:
1993:
1990:
1989:
1967:
1963:
1924:
1920:
1918:
1915:
1914:
1900:
1899:
1888:
1884:
1878:
1867:
1866:
1865:
1856:
1852:
1848:
1844:
1835:
1834:
1820:
1816:
1810:
1799:
1798:
1797:
1788:
1784:
1766:
1762:
1761:
1757:
1748:
1747:
1736:
1732:
1726:
1715:
1714:
1713:
1701:
1697:
1688:
1684:
1680:
1676:
1667:
1666:
1655:
1651:
1645:
1641:
1629:
1625:
1621:
1617:
1608:
1607:
1596:
1592:
1586:
1582:
1570:
1566:
1565:
1561:
1552:
1551:
1537:
1533:
1527:
1523:
1514:
1510:
1497:
1493:
1484:
1483:
1472:
1468:
1458:
1454:
1447:
1437:
1433:
1429:
1425:
1423:
1420:
1419:
1402:
1398:
1396:
1393:
1392:
1364:
1360:
1358:
1355:
1354:
1336:
1325:
1324:
1323:
1311:
1307:
1298:
1294:
1289:
1286:
1285:
1265:
1262:
1261:
1239:
1236:
1235:
1218:
1207:
1206:
1205:
1203:
1200:
1199:
1175:
1171:
1169:
1166:
1165:
1148:
1144:
1142:
1139:
1138:
1117:
1113:
1098:
1094:
1092:
1089:
1088:
1063:
1059:
1057:
1054:
1053:
1036:
1031:
1030:
1021:
1017:
1015:
1012:
1011:
994:
990:
984:
980:
971:
967:
958:
954:
952:
949:
948:
931:
927:
918:
914:
905:
901:
899:
896:
895:
875:
871:
862:
857:
847:
843:
831:
827:
825:
822:
821:
804:
800:
798:
795:
794:
776:
772:
757:
753:
744:
740:
738:
735:
734:
709:
705:
693:
689:
677:
673:
661:
657:
655:
652:
651:
631:
627:
609:
605:
603:
600:
599:
579:
575:
566:
562:
553:
549:
547:
544:
543:
518:
515:
514:
488:
484:
482:
479:
478:
455:
451:
449:
446:
445:
422:
418:
416:
413:
412:
395:
391:
373:
369:
367:
364:
363:
339:
335:
323:
319:
304:
300:
294:
290:
281:
277:
265:
261:
242:
238:
223:
219:
210:
206:
204:
201:
200:
197:Krylov subspace
161:
158:
157:
109:
106:
105:
83:
80:
79:
68:
37:Krylov subspace
17:
12:
11:
5:
7635:
7625:
7624:
7607:
7606:
7604:
7603:
7598:
7593:
7588:
7583:
7578:
7572:
7570:
7566:
7565:
7563:
7562:
7557:
7552:
7547:
7542:
7536:
7534:
7530:
7529:
7527:
7526:
7521:
7516:
7506:
7501:
7495:
7493:
7489:
7488:
7486:
7485:
7480:
7478:Floating point
7474:
7472:
7468:
7467:
7460:
7459:
7452:
7445:
7437:
7430:
7429:
7394:
7385:
7367:(2): 345–357.
7356:
7350:
7337:
7331:
7317:
7314:
7313:
7306:
7288:
7265:
7212:
7191:
7173:
7158:
7137:
7125:
7106:(3): 856–869.
7085:
7084:
7082:
7079:
7078:
7077:
7070:
7067:
5726:max_iterations
5687:
5684:
5681:
5679:
5676:
5661:
5657:
5636:
5631:
5627:
5621:
5618:
5613:
5609:
5605:
5600:
5596:
5567:
5563:
5557:
5549:
5545:
5541:
5540:
5535:
5531:
5527:
5526:
5524:
5519:
5514:
5510:
5504:
5498:
5495:
5494:
5489:
5485:
5481:
5480:
5478:
5472:
5468:
5465:
5463:
5461:
5457:
5451:
5447:
5441:
5437:
5433:
5430:
5425:
5421:
5415:
5408:
5405:
5397:
5393:
5390:
5388:
5385:
5379:
5375:
5371:
5368:
5363:
5359:
5353:
5346:
5343:
5335:
5331:
5330:
5312:
5302:
5285:
5277:
5273:
5269:
5268:
5263:
5259:
5255:
5254:
5252:
5247:
5242:
5235:
5232:
5206:
5202:
5196:
5192:
5188:
5164:
5160:
5154:
5150:
5144:
5140:
5136:
5133:
5128:
5124:
5118:
5111:
5108:
5100:
5096:
5093:
5091:
5089:
5085:
5081:
5076:
5072:
5068:
5065:
5060:
5056:
5050:
5043:
5040:
5033:
5028:
5024:
5019:
5015:
5012:
5010:
5007:
5001:
4997:
4993:
4990:
4985:
4981:
4975:
4968:
4965:
4957:
4953:
4952:
4925:
4921:
4917:
4912:
4908:
4902:
4897:
4894:
4891:
4888:
4885:
4882:
4879:
4875:
4852:
4846:
4843:
4841:
4838:
4837:
4832:
4829:
4826:
4823:
4820:
4817:
4814:
4810:
4806:
4804:
4801:
4800:
4795:
4792:
4789:
4785:
4781:
4777:
4773:
4769:
4768:
4766:
4761:
4756:
4753:
4750:
4743:
4740:
4731:
4728:
4725:
4721:
4700:
4695:
4689:
4686:
4684:
4681:
4680:
4677:
4674:
4670:
4666:
4662:
4661:
4659:
4652:
4648:
4644:
4639:
4636:
4633:
4629:
4608:
4600:
4596:
4592:
4587:
4583:
4578:
4573:
4568:
4564:
4548:
4544:
4540:
4535:
4531:
4526:
4521:
4516:
4512:
4489:
4481:
4477:
4473:
4469:
4465:
4461:
4458:
4456:
4453:
4452:
4447:
4443:
4439:
4435:
4431:
4427:
4425:
4422:
4421:
4418:
4415:
4413:
4410:
4406:
4402:
4398:
4397:
4395:
4390:
4385:
4381:
4355:
4349:
4346:
4344:
4341:
4340:
4337:
4334:
4332:
4329:
4328:
4323:
4320:
4317:
4313:
4309:
4305:
4301:
4297:
4296:
4294:
4289:
4284:
4281:
4278:
4271:
4268:
4259:
4253:
4250:
4248:
4245:
4244:
4241:
4238:
4234:
4230:
4226:
4225:
4223:
4207:
4196:
4185:
4176:
4161:
4156:
4148:
4145:
4142:
4139:
4136:
4133:
4130:
4126:
4122:
4120:
4117:
4116:
4111:
4108:
4105:
4101:
4097:
4093:
4086:
4083:
4076:
4075:
4073:
4068:
4063:
4060:
4057:
4050:
4047:
4010:
4006:
3985:
3980:
3974:
3971:
3970:
3965:
3961:
3957:
3956:
3954:
3949:
3944:
3937:
3934:
3910:
3905:
3898:
3895:
3888:
3883:
3876:
3873:
3864:
3860:
3837:
3830:
3827:
3798:
3749:
3742:
3739:
3715:
3711:
3705:
3701:
3697:
3694:
3689:
3685:
3679:
3672:
3669:
3661:
3638:
3634:
3621:
3618:
3575:
3572:
3557:
3531:
3528:
3521:
3461:
3445:
3441:
3437:
3434:
3431:
3428:
3424:
3418:
3415:
3412:
3409:
3406:
3403:
3399:
3391:
3387:
3383:
3380:
3376:
3372:
3369:
3366:
3361:
3357:
3353:
3350:
3347:
3344:
3341:
3338:
3335:
3328:
3324:
3320:
3317:
3313:
3309:
3303:
3300:
3297:
3292:
3287:
3283:
3279:
3241:
3238:
3235:
3230:
3226:
3205:
3202:
3197:
3193:
3189:
3184:
3180:
3176:
3171:
3163:
3159:
3155:
3152:
3147:
3143:
3137:
3134:
3129:
3125:
3121:
3118:
3113:
3109:
3102:
3097:
3094:
3089:
3085:
3081:
3050:
3041:of the matrix
3026:
3023:
3020:
3014:
3011:
3008:
3003:
2982:
2979:
2976:
2970:
2967:
2964:
2959:
2938:
2935:
2930:
2926:
2922:
2917:
2913:
2909:
2904:
2897:
2894:
2889:
2885:
2881:
2876:
2872:
2866:
2863:
2860:
2857:
2852:
2848:
2844:
2841:
2837:
2833:
2830:
2825:
2820:
2816:
2809:
2806:
2802:
2797:
2794:
2789:
2785:
2781:
2757:
2753:
2749:
2746:
2743:
2738:
2734:
2730:
2705:
2692:
2682:
2668:
2658:
2651:
2639:
2635:), the vector
2622:
2593:
2589:
2572:
2569:
2552:
2549:
2546:
2543:
2540:
2516:
2513:
2510:
2507:
2487:
2462:
2458:
2454:
2432:
2428:
2424:
2413:
2412:
2409:
2395:
2391:
2385:
2381:
2377:
2372:
2368:
2364:
2359:
2355:
2343:
2331:
2326:
2322:
2318:
2296:
2292:
2280:
2266:
2262:
2237:
2206:
2201:
2197:
2193:
2190:
2185:
2181:
2175:
2168:
2165:
2158:
2153:
2149:
2126:
2122:
2101:
2079:
2075:
2055:
2051:
2046:
2042:
2038:
2035:
2032:
2010:
2007:
2004:
1999:
1986:standard basis
1970:
1966:
1962:
1959:
1956:
1953:
1950:
1947:
1944:
1941:
1938:
1935:
1932:
1927:
1923:
1897:
1891:
1887:
1881:
1874:
1871:
1864:
1859:
1855:
1851:
1847:
1843:
1840:
1838:
1836:
1832:
1828:
1823:
1819:
1813:
1806:
1803:
1796:
1791:
1787:
1783:
1780:
1775:
1772:
1769:
1765:
1760:
1756:
1753:
1751:
1749:
1745:
1739:
1735:
1729:
1722:
1719:
1710:
1707:
1704:
1700:
1696:
1691:
1687:
1683:
1679:
1675:
1672:
1670:
1668:
1664:
1658:
1654:
1648:
1644:
1640:
1637:
1632:
1628:
1624:
1620:
1616:
1613:
1611:
1609:
1605:
1599:
1595:
1589:
1585:
1581:
1578:
1573:
1569:
1564:
1560:
1557:
1555:
1553:
1549:
1545:
1540:
1536:
1530:
1526:
1522:
1517:
1513:
1509:
1506:
1503:
1500:
1496:
1492:
1489:
1487:
1485:
1481:
1475:
1471:
1467:
1464:
1461:
1457:
1453:
1450:
1448:
1445:
1440:
1436:
1432:
1428:
1427:
1405:
1401:
1367:
1363:
1339:
1332:
1329:
1320:
1317:
1314:
1310:
1306:
1301:
1297:
1293:
1269:
1249:
1246:
1243:
1221:
1214:
1211:
1178:
1174:
1151:
1147:
1120:
1116:
1112:
1109:
1106:
1101:
1097:
1066:
1062:
1039:
1034:
1029:
1024:
1020:
997:
993:
987:
983:
979:
974:
970:
966:
961:
957:
934:
930:
926:
921:
917:
913:
908:
904:
878:
874:
868:
865:
860:
856:
850:
846:
842:
839:
834:
830:
807:
803:
779:
775:
771:
768:
765:
760:
756:
752:
747:
743:
712:
708:
702:
699:
696:
692:
688:
685:
680:
676:
672:
669:
664:
660:
634:
630:
626:
623:
620:
617:
612:
608:
582:
578:
574:
569:
565:
561:
556:
552:
542:by the vector
531:
528:
525:
522:
499:
496:
491:
487:
466:
463:
458:
454:
433:
430:
425:
421:
398:
394:
390:
387:
384:
381:
376:
372:
350:
347:
342:
338:
332:
329:
326:
322:
318:
315:
312:
307:
303:
297:
293:
289:
284:
280:
276:
273:
268:
264:
260:
256:
253:
250:
245:
241:
237:
234:
231:
226:
222:
218:
213:
209:
177:
174:
171:
168:
165:
125:
122:
119:
116:
113:
93:
90:
87:
74:of any vector
72:Euclidean norm
67:
64:
15:
9:
6:
4:
3:
2:
7634:
7623:
7620:
7619:
7617:
7602:
7599:
7597:
7594:
7592:
7589:
7587:
7584:
7582:
7579:
7577:
7574:
7573:
7571:
7567:
7561:
7558:
7556:
7553:
7551:
7548:
7546:
7543:
7541:
7538:
7537:
7535:
7531:
7525:
7522:
7520:
7517:
7514:
7510:
7507:
7505:
7502:
7500:
7497:
7496:
7494:
7490:
7484:
7481:
7479:
7476:
7475:
7473:
7469:
7465:
7458:
7453:
7451:
7446:
7444:
7439:
7438:
7435:
7426:
7422:
7417:
7412:
7408:
7404:
7400:
7395:
7392:
7391:
7386:
7382:
7378:
7374:
7370:
7366:
7362:
7357:
7353:
7347:
7343:
7338:
7334:
7328:
7324:
7319:
7318:
7309:
7303:
7299:
7292:
7284:
7280:
7276:
7269:
7261:
7257:
7253:
7249:
7245:
7241:
7236:
7231:
7227:
7223:
7216:
7208:
7202:
7194:
7188:
7184:
7177:
7171:
7167:
7162:
7154:
7150:
7149:
7141:
7135:
7129:
7121:
7117:
7113:
7109:
7105:
7101:
7097:
7090:
7086:
7076:
7073:
7072:
6005:% run arnoldi
5675:
5659:
5655:
5634:
5629:
5625:
5619:
5616:
5611:
5607:
5603:
5598:
5594:
5585:
5565:
5555:
5547:
5543:
5533:
5529:
5522:
5517:
5512:
5508:
5502:
5496:
5487:
5483:
5476:
5466:
5464:
5449:
5445:
5439:
5431:
5428:
5423:
5419:
5413:
5403:
5391:
5389:
5377:
5373:
5369:
5366:
5361:
5357:
5351:
5341:
5320:
5315:
5310:
5305:
5301:
5283:
5275:
5271:
5261:
5257:
5250:
5245:
5240:
5230:
5204:
5200:
5194:
5186:
5162:
5152:
5148:
5142:
5134:
5131:
5126:
5122:
5116:
5106:
5094:
5092:
5074:
5070:
5066:
5063:
5058:
5054:
5048:
5038:
5026:
5013:
5011:
4999:
4995:
4991:
4988:
4983:
4979:
4973:
4963:
4941:
4923:
4919:
4915:
4910:
4906:
4900:
4895:
4892:
4889:
4886:
4883:
4880:
4877:
4873:
4850:
4844:
4839:
4830:
4827:
4824:
4821:
4818:
4815:
4812:
4808:
4802:
4793:
4790:
4787:
4783:
4775:
4771:
4764:
4759:
4754:
4751:
4748:
4738:
4729:
4726:
4723:
4698:
4693:
4687:
4682:
4675:
4668:
4657:
4650:
4646:
4642:
4637:
4634:
4631:
4606:
4598:
4594:
4590:
4585:
4581:
4576:
4571:
4566:
4562:
4546:
4542:
4538:
4533:
4529:
4524:
4519:
4514:
4510:
4487:
4479:
4475:
4467:
4463:
4459:
4454:
4445:
4441:
4433:
4429:
4423:
4416:
4411:
4404:
4400:
4393:
4388:
4383:
4379:
4371:
4353:
4347:
4342:
4335:
4330:
4321:
4318:
4315:
4311:
4303:
4299:
4292:
4287:
4282:
4279:
4276:
4266:
4257:
4251:
4246:
4239:
4232:
4221:
4210:
4203:
4199:
4195:
4189:
4184:
4179:
4175:
4159:
4154:
4146:
4143:
4140:
4137:
4134:
4131:
4128:
4124:
4118:
4109:
4106:
4103:
4099:
4091:
4081:
4071:
4066:
4061:
4058:
4055:
4045:
4032:
4030:
4026:
4008:
4004:
3983:
3978:
3972:
3963:
3959:
3952:
3947:
3942:
3932:
3908:
3903:
3893:
3886:
3881:
3871:
3862:
3835:
3825:
3814:
3810:
3806:
3801:
3796:
3792:
3788:
3784:
3779:
3777:
3773:
3769:
3765:
3747:
3737:
3713:
3703:
3699:
3695:
3692:
3687:
3683:
3677:
3667:
3636:
3632:
3617:
3613:
3611:
3607:
3602:
3600:
3596:
3591:
3589:
3585:
3581:
3571:
3567:
3565:
3560:
3556:
3552:
3548:
3544:
3539:
3537:
3527:
3524:
3520:
3515:
3513:
3509:
3505:
3501:
3497:
3493:
3489:
3485:
3481:
3477:
3473:
3469:
3464:
3460:
3443:
3432:
3426:
3413:
3407:
3404:
3401:
3389:
3385:
3381:
3378:
3367:
3359:
3355:
3351:
3342:
3336:
3326:
3322:
3318:
3315:
3307:
3298:
3285:
3281:
3266:
3261:
3259:
3255:
3236:
3228:
3224:
3203:
3195:
3191:
3182:
3178:
3174:
3169:
3161:
3153:
3145:
3141:
3135:
3132:
3127:
3119:
3111:
3107:
3100:
3095:
3087:
3083:
3071:
3067:
3062:
3048:
3040:
3021:
3001:
2977:
2957:
2936:
2928:
2924:
2915:
2911:
2907:
2902:
2892:
2887:
2883:
2870:
2858:
2855:
2850:
2846:
2839:
2835:
2831:
2823:
2814:
2807:
2804:
2800:
2795:
2787:
2783:
2771:
2755:
2751:
2744:
2741:
2736:
2732:
2720:
2715:
2713:
2708:
2704:
2700:
2695:
2691:
2685:
2681:
2676:
2671:
2667:
2661:
2657:
2650:
2645:
2642:
2638:
2634:
2630:
2625:
2621:
2617:
2613:
2609:
2591:
2587:
2578:
2568:
2566:
2547:
2544:
2538:
2530:
2511:
2505:
2485:
2477:
2460:
2456:
2452:
2430:
2426:
2422:
2410:
2393:
2389:
2383:
2379:
2375:
2370:
2366:
2362:
2357:
2353:
2344:
2324:
2320:
2294:
2290:
2281:
2264:
2260:
2251:
2250:
2249:
2235:
2226:
2224:
2220:
2204:
2199:
2195:
2191:
2188:
2183:
2179:
2173:
2163:
2156:
2151:
2147:
2124:
2120:
2099:
2077:
2073:
2053:
2044:
2040:
2033:
2030:
2008:
2005:
2002:
1987:
1968:
1960:
1957:
1954:
1951:
1948:
1945:
1942:
1939:
1936:
1930:
1925:
1921:
1889:
1885:
1879:
1869:
1862:
1857:
1853:
1849:
1841:
1839:
1821:
1817:
1811:
1801:
1794:
1789:
1785:
1781:
1773:
1770:
1767:
1763:
1754:
1752:
1737:
1733:
1727:
1717:
1708:
1705:
1702:
1698:
1694:
1689:
1685:
1681:
1673:
1671:
1656:
1652:
1646:
1642:
1638:
1635:
1630:
1626:
1622:
1614:
1612:
1597:
1593:
1587:
1583:
1579:
1576:
1571:
1567:
1558:
1556:
1538:
1534:
1528:
1524:
1520:
1515:
1511:
1504:
1501:
1498:
1490:
1488:
1473:
1469:
1465:
1462:
1459:
1451:
1449:
1438:
1434:
1403:
1399:
1389:
1387:
1383:
1365:
1361:
1337:
1327:
1318:
1315:
1312:
1308:
1304:
1299:
1295:
1291:
1283:
1267:
1247:
1244:
1241:
1219:
1209:
1196:
1194:
1176:
1172:
1149:
1145:
1136:
1118:
1114:
1110:
1107:
1104:
1099:
1095:
1086:
1082:
1064:
1060:
1037:
1027:
1022:
1018:
995:
991:
985:
981:
977:
972:
968:
964:
959:
955:
932:
928:
924:
919:
915:
911:
906:
902:
892:
876:
872:
866:
863:
858:
848:
844:
837:
832:
828:
805:
801:
777:
773:
769:
766:
763:
758:
754:
750:
745:
741:
732:
728:
710:
706:
700:
697:
694:
690:
686:
683:
678:
674:
670:
667:
662:
658:
648:
632:
628:
624:
621:
618:
615:
610:
606:
598:
580:
576:
572:
567:
563:
559:
554:
550:
529:
526:
523:
520:
511:
497:
494:
489:
485:
464:
461:
456:
452:
431:
428:
423:
419:
396:
392:
388:
385:
382:
379:
374:
370:
348:
340:
336:
330:
327:
324:
320:
316:
313:
310:
305:
301:
295:
291:
287:
282:
278:
274:
271:
266:
262:
254:
251:
243:
239:
235:
232:
224:
220:
216:
211:
207:
198:
194:
189:
175:
172:
166:
155:
151:
147:
143:
139:
123:
120:
117:
114:
111:
88:
77:
73:
63:
61:
57:
53:
48:
46:
42:
39:with minimal
38:
34:
30:
26:
22:
7471:Key concepts
7406:
7402:
7389:
7364:
7360:
7341:
7322:
7297:
7291:
7274:
7268:
7225:
7221:
7215:
7182:
7176:
7161:
7152:
7147:
7140:
7128:
7103:
7099:
7089:
6977:% sn = 1;
6974:% cs = 0;
6608:h, cs, sn, k
5678:Example code
5583:
5318:
5313:
5308:
5303:
5299:
4942:
4208:
4201:
4197:
4193:
4187:
4182:
4177:
4173:
4033:
4028:
4024:
3808:
3804:
3799:
3790:
3786:
3780:
3775:
3771:
3767:
3763:
3623:
3614:
3603:
3592:
3577:
3568:
3563:
3558:
3554:
3550:
3546:
3542:
3540:
3533:
3522:
3518:
3516:
3507:
3503:
3499:
3491:
3487:
3483:
3475:
3471:
3467:
3462:
3458:
3264:
3262:
3257:
3252:denotes the
3065:
3063:
2718:
2716:
2711:
2706:
2702:
2698:
2693:
2689:
2683:
2679:
2674:
2669:
2665:
2659:
2655:
2648:
2646:
2640:
2636:
2632:
2628:
2623:
2619:
2615:
2611:
2607:
2576:
2574:
2564:
2414:
2227:
2222:
1390:
1197:
1134:
1084:
1080:
893:
650:The vectors
649:
512:
192:
190:
153:
149:
145:
137:
136:The matrix
75:
69:
49:
20:
18:
7409:(10): 355.
5582:The vector
3785:: find an (
3599:BiCG method
2688:‖ =
2571:Convergence
70:Denote the
52:Yousef Saad
7513:algorithms
7235:1501.03358
7081:References
5321:, this is
5311:and γ
3850:such that
3778:unknowns.
3726:Note that
3039:eigenvalue
2721:, that is
2252:calculate
2217:This is a
2112:). Hence,
444:. Clearly
142:invertible
66:The method
7540:CPU cache
7425:2311-5521
7381:0036-1429
7201:cite book
7120:0196-5204
6389:= arnoldi
6254:threshold
5617:−
5544:γ
5518:−
5436:Ω
5432:β
5429:−
5407:~
5370:β
5367:−
5345:~
5272:γ
5234:~
5191:Ω
5187:β
5139:Ω
5135:β
5132:−
5110:~
5067:β
5064:−
5042:~
5023:Ω
4992:β
4989:−
4967:~
4920:σ
4907:ρ
4742:~
4720:Ω
4665:Ω
4628:Ω
4595:σ
4582:ρ
4577:σ
4543:σ
4530:ρ
4525:ρ
4460:−
4348:σ
4336:ρ
4270:~
4229:Ω
4085:~
4049:~
3936:~
3897:~
3875:~
3859:Ω
3829:~
3741:~
3696:β
3693:−
3671:~
3545:), where
3512:normality
3494:) is the
3474:(0) = 1,
3433:λ
3408:σ
3405:∈
3402:λ
3382:∈
3356:κ
3352:≤
3349:‖
3334:‖
3319:∈
3308:≤
3302:‖
3296:‖
3291:‖
3278:‖
3225:κ
3201:‖
3188:‖
3142:κ
3133:−
3108:κ
3096:≤
3093:‖
3080:‖
3070:symmetric
3002:λ
2958:λ
2934:‖
2921:‖
2871:λ
2815:λ
2808:−
2796:≤
2793:‖
2780:‖
2330:‖
2317:‖
2282:find the
2192:β
2189:−
2167:~
2050:‖
2037:‖
2031:β
1955:…
1873:~
1863:−
1850:β
1805:~
1795:−
1782:β
1721:~
1695:−
1682:β
1636:−
1623:β
1577:−
1502:−
1463:−
1331:~
1213:~
1108:…
1028:∈
912:∈
864:−
855:‖
841:‖
767:…
698:−
687:…
622:−
560:∈
429:≠
386:−
328:−
314:…
170:‖
164:‖
92:‖
86:‖
29:numerical
7616:Category
7569:Software
7533:Hardware
7492:Problems
7069:See also
6958:function
6600:function
6386:function
5689:function
5562:‖
5471:‖
5456:‖
5396:‖
5384:‖
5334:‖
5317:∈
5307:∈
5159:‖
5099:‖
5084:‖
5018:‖
5006:‖
4956:‖
4711:Indeed,
3803:and an (
3710:‖
3660:‖
3610:BiCGSTAB
3496:spectrum
2701:, where
2697:for all
2662:−1
2345:compute
1896:‖
1846:‖
1831:‖
1759:‖
1744:‖
1678:‖
1663:‖
1619:‖
1604:‖
1563:‖
1548:‖
1495:‖
1480:‖
1456:‖
1444:‖
1431:‖
1388:method.
1052:, where
597:residual
144:of size
41:residual
27:for the
7260:2933274
7240:Bibcode
7228:: 222.
6980:% else
6394:A, Q, k
6011:arnoldi
5692:= gmres
4192:, ...,
3762:is an (
2772:, then
2654:, ...,
1079:is the
7591:LAPACK
7581:MATLAB
7423:
7403:Fluids
7379:
7348:
7329:
7304:
7258:
7189:
7118:
7060:% end
6966:v1, v2
6224:b_norm
5975:r_norm
5957:r_norm
5918:r_norm
5798:b_norm
5759:b_norm
5708:length
4502:where
4172:where
4023:is an
3996:where
3811:upper
3797:Ω
3486:, and
3457:where
3216:where
2949:where
1913:where
1386:MINRES
1280:upper
1234:, an (
362:where
56:MINRES
43:. The
23:is an
7576:ATLAS
7256:S2CID
7230:arXiv
7151:[
6465:'
6260:break
6251:<=
6248:error
6191:error
5864:zeros
5837:zeros
5813:zeros
5777:error
5298:with
3470:with
2768:, is
2023:, and
1380:(see
1260:)-by-
1193:below
1010:with
7555:SIMD
7421:ISSN
7377:ISSN
7346:ISBN
7327:ISBN
7302:ISBN
7207:link
7187:ISBN
7116:ISSN
6989:sqrt
6901:sn_k
6880:cs_k
6811:temp
6640:temp
6546:norm
6317:beta
6203:beta
6179:beta
6149:beta
6137:beta
6098:beta
5969:beta
5924:norm
5783:norm
5765:norm
4027:-by-
3608:and
2993:and
2575:The
2527:for
1083:-by-
255:span
195:-th
191:The
148:-by-
60:DIIS
7545:TLB
7411:doi
7369:doi
7279:doi
7248:doi
7226:303
7108:doi
7063:end
6952:end
6946:0.0
6859:));
6817:end
6616:for
6588:end
6522:end
6513:(:,
6474:(:,
6426:for
6414:(:,
6374:end
6350:(:,
6269:end
6266:end
6197:abs
5987:for
5939:(:,
5219:by
4557:and
4200:+1,
4181:= (
4178:n+1
3606:CGS
3498:of
3482:of
3398:max
3375:inf
3312:inf
3256:of
3068:is
3064:If
2875:max
2819:min
1988:of
477:if
78:by
7618::
7419:.
7405:.
7401:.
7375:.
7365:20
7363:.
7254:.
7246:.
7238:.
7224:.
7203:}}
7199:{{
7114:.
7102:.
7098:.
7048:v2
7042:sn
7027:v1
7021:cs
7012:);
7005:v2
6995:v1
6922:);
6841:),
6793:);
6763:cs
6733:sn
6706:);
6676:sn
6646:cs
6585:);
6555:);
6519:);
6480:);
6420:);
6332:);
6242:if
6218:))
6188:);
6164:cs
6146:);
6122:sn
6092:);
6083:sn
6077:cs
6074:),
6032:);
5981:e1
5933:);
5888:e1
5885:);
5858:e1
5852:);
5831:cs
5828:);
5807:sn
5774:);
5717:);
4940:.
4204:+1
4190:+1
4186:1,
3514:.
2664:,
2225:.
1195:.
891:.
647:.
510:.
188:.
76:v
7515:)
7511:(
7456:e
7449:t
7442:v
7427:.
7413::
7407:6
7383:.
7371::
7354:.
7335:.
7310:.
7285:.
7281::
7262:.
7250::
7242::
7232::
7209:)
7195:.
7122:.
7110::
7104:7
7057:;
7054:t
7051:/
7045:=
7036:;
7033:t
7030:/
7024:=
7009:2
7007:^
7002:+
6999:2
6997:^
6992:(
6986:=
6983:t
6968:)
6964:(
6949:;
6943:=
6940:)
6937:1
6934:+
6931:k
6928:(
6925:h
6919:1
6916:+
6913:k
6910:(
6907:h
6904:*
6898:+
6895:)
6892:k
6889:(
6886:h
6883:*
6877:=
6874:)
6871:k
6868:(
6865:h
6856:1
6853:+
6850:k
6847:(
6844:h
6838:k
6835:(
6832:h
6829:(
6823:=
6814:;
6808:=
6805:)
6802:i
6799:(
6796:h
6790:1
6787:+
6784:i
6781:(
6778:h
6775:*
6772:)
6769:i
6766:(
6760:+
6757:)
6754:i
6751:(
6748:h
6745:*
6742:)
6739:i
6736:(
6730:-
6727:=
6724:)
6721:1
6718:+
6715:i
6712:(
6709:h
6703:1
6700:+
6697:i
6694:(
6691:h
6688:*
6685:)
6682:i
6679:(
6673:+
6670:)
6667:i
6664:(
6661:h
6658:*
6655:)
6652:i
6649:(
6643:=
6637:1
6634:-
6631:k
6628::
6625:1
6622:=
6619:i
6610:)
6606:(
6582:1
6579:+
6576:k
6573:(
6570:h
6567:/
6564:q
6561:=
6558:q
6552:q
6549:(
6543:=
6540:)
6537:1
6534:+
6531:k
6528:(
6525:h
6516:i
6510:Q
6507:*
6504:)
6501:i
6498:(
6495:h
6492:-
6489:q
6486:=
6483:q
6477:i
6471:Q
6468:*
6462:q
6459:=
6456:)
6453:i
6450:(
6447:h
6441:k
6438::
6435:1
6432:=
6429:i
6417:k
6411:Q
6408:*
6405:A
6402:=
6399:q
6396:)
6392:(
6371:;
6368:y
6365:*
6362:)
6359:k
6356::
6353:1
6347:Q
6344:+
6341:x
6338:=
6335:x
6329:k
6326::
6323:1
6320:(
6314:\
6311:)
6308:k
6305::
6302:1
6299:,
6296:k
6293::
6290:1
6287:(
6284:H
6281:=
6278:y
6263:;
6257:)
6245:(
6239:;
6236:=
6233:e
6227:;
6221:/
6215:1
6212:+
6209:k
6206:(
6200:(
6194:=
6185:k
6182:(
6176:*
6173:)
6170:k
6167:(
6161:=
6158:)
6155:k
6152:(
6143:k
6140:(
6134:*
6131:)
6128:k
6125:(
6119:-
6116:=
6113:)
6110:1
6107:+
6104:k
6101:(
6089:k
6086:,
6080:,
6071:k
6068:,
6065:1
6062:+
6059:k
6056::
6053:1
6050:(
6047:H
6044:(
6038:=
6029:k
6026:,
6023:Q
6020:,
6017:A
6014:(
6008:=
6002:m
5999::
5996:1
5993:=
5990:k
5984:;
5978:*
5972:=
5960:;
5954:/
5951:r
5948:=
5945:)
5942:1
5936:Q
5930:r
5927:(
5921:=
5915:;
5912:=
5909:e
5906:;
5903:1
5900:=
5897:)
5894:1
5891:(
5882:1
5879:,
5876:1
5873:+
5870:m
5867:(
5861:=
5849:1
5846:,
5843:m
5840:(
5834:=
5825:1
5822:,
5819:m
5816:(
5810:=
5801:;
5795:/
5792:)
5789:r
5786:(
5780:=
5771:b
5768:(
5762:=
5756:;
5753:x
5750:*
5747:A
5744:-
5741:b
5738:=
5735:r
5729:;
5723:=
5720:m
5714:A
5711:(
5705:=
5702:n
5699:)
5695:(
5660:n
5656:g
5635:.
5630:n
5626:g
5620:1
5612:n
5608:R
5604:=
5599:n
5595:y
5584:y
5566:.
5556:]
5548:n
5534:n
5530:g
5523:[
5513:n
5509:y
5503:]
5497:0
5488:n
5484:R
5477:[
5467:=
5450:1
5446:e
5440:n
5424:n
5420:y
5414:n
5404:R
5392:=
5378:1
5374:e
5362:n
5358:y
5352:n
5342:H
5319:R
5314:n
5309:R
5304:n
5300:g
5284:]
5276:n
5262:n
5258:g
5251:[
5246:=
5241:n
5231:g
5205:1
5201:e
5195:n
5163:.
5153:1
5149:e
5143:n
5127:n
5123:y
5117:n
5107:R
5095:=
5080:)
5075:1
5071:e
5059:n
5055:y
5049:n
5039:H
5032:(
5027:n
5014:=
5000:1
4996:e
4984:n
4980:y
4974:n
4964:H
4924:2
4916:+
4911:2
4901:=
4896:1
4893:+
4890:n
4887:,
4884:1
4881:+
4878:n
4874:r
4851:]
4845:0
4840:0
4831:1
4828:+
4825:n
4822:,
4819:1
4816:+
4813:n
4809:r
4803:0
4794:1
4791:+
4788:n
4784:r
4776:n
4772:R
4765:[
4760:=
4755:1
4752:+
4749:n
4739:H
4730:1
4727:+
4724:n
4699:.
4694:]
4688:1
4683:0
4676:0
4669:n
4658:[
4651:n
4647:G
4643:=
4638:1
4635:+
4632:n
4607:.
4599:2
4591:+
4586:2
4572:=
4567:n
4563:s
4547:2
4539:+
4534:2
4520:=
4515:n
4511:c
4488:]
4480:n
4476:c
4468:n
4464:s
4455:0
4446:n
4442:s
4434:n
4430:c
4424:0
4417:0
4412:0
4405:n
4401:I
4394:[
4389:=
4384:n
4380:G
4354:]
4343:0
4331:0
4322:1
4319:+
4316:n
4312:r
4304:n
4300:R
4293:[
4288:=
4283:1
4280:+
4277:n
4267:H
4258:]
4252:1
4247:0
4240:0
4233:n
4222:[
4209:n
4202:n
4198:n
4194:h
4188:n
4183:h
4174:h
4160:,
4155:]
4147:1
4144:+
4141:n
4138:,
4135:2
4132:+
4129:n
4125:h
4119:0
4110:1
4107:+
4104:n
4100:h
4092:n
4082:H
4072:[
4067:=
4062:1
4059:+
4056:n
4046:H
4029:n
4025:n
4009:n
4005:R
3984:,
3979:]
3973:0
3964:n
3960:R
3953:[
3948:=
3943:n
3933:R
3909:.
3904:n
3894:R
3887:=
3882:n
3872:H
3863:n
3836:n
3826:R
3809:n
3805:n
3800:n
3791:n
3787:n
3776:n
3772:n
3768:n
3764:n
3748:n
3738:H
3714:.
3704:1
3700:e
3688:n
3684:y
3678:n
3668:H
3637:n
3633:y
3564:k
3559:k
3555:x
3551:k
3547:n
3543:n
3523:n
3519:x
3508:A
3504:A
3500:A
3492:A
3490:(
3488:σ
3484:A
3476:V
3472:p
3468:n
3463:n
3459:P
3444:,
3440:|
3436:)
3430:(
3427:p
3423:|
3417:)
3414:A
3411:(
3390:n
3386:P
3379:p
3371:)
3368:V
3365:(
3360:2
3346:)
3343:A
3340:(
3337:p
3327:n
3323:P
3316:p
3299:b
3286:n
3282:r
3265:A
3258:A
3240:)
3237:A
3234:(
3229:2
3204:.
3196:0
3192:r
3183:2
3179:/
3175:n
3170:)
3162:2
3158:)
3154:A
3151:(
3146:2
3136:1
3128:2
3124:)
3120:A
3117:(
3112:2
3101:(
3088:n
3084:r
3066:A
3049:M
3025:)
3022:M
3019:(
3013:x
3010:a
3007:m
2981:)
2978:M
2975:(
2969:n
2966:i
2963:m
2937:,
2929:0
2925:r
2916:2
2912:/
2908:n
2903:)
2896:)
2893:A
2888:T
2884:A
2880:(
2865:)
2862:)
2859:A
2856:+
2851:T
2847:A
2843:(
2840:2
2836:/
2832:1
2829:(
2824:2
2805:1
2801:(
2788:n
2784:r
2756:2
2752:/
2748:)
2745:A
2742:+
2737:T
2733:A
2729:(
2719:A
2712:m
2707:n
2703:r
2699:n
2694:n
2690:a
2684:n
2680:r
2675:A
2670:m
2666:a
2660:m
2656:a
2652:1
2649:a
2641:n
2637:x
2633:m
2629:R
2624:m
2620:K
2616:A
2612:m
2608:m
2592:n
2588:K
2577:n
2565:n
2551:)
2548:m
2545:n
2542:(
2539:O
2515:)
2512:m
2509:(
2506:O
2486:m
2461:2
2457:m
2453:2
2431:n
2427:q
2423:A
2408:;
2394:n
2390:y
2384:n
2380:Q
2376:+
2371:0
2367:x
2363:=
2358:n
2354:x
2342:;
2325:n
2321:r
2295:n
2291:y
2265:n
2261:q
2236:n
2223:n
2205:.
2200:1
2196:e
2184:n
2180:y
2174:n
2164:H
2157:=
2152:n
2148:r
2125:n
2121:x
2100:b
2078:0
2074:r
2054:,
2045:0
2041:r
2034:=
2009:1
2006:+
2003:n
1998:R
1969:T
1965:)
1961:0
1958:,
1952:,
1949:0
1946:,
1943:0
1940:,
1937:1
1934:(
1931:=
1926:1
1922:e
1890:n
1886:y
1880:n
1870:H
1858:1
1854:e
1842:=
1827:)
1822:n
1818:y
1812:n
1802:H
1790:1
1786:e
1779:(
1774:1
1771:+
1768:n
1764:Q
1755:=
1738:n
1734:y
1728:n
1718:H
1709:1
1706:+
1703:n
1699:Q
1690:1
1686:q
1674:=
1657:n
1653:y
1647:n
1643:Q
1639:A
1631:1
1627:q
1615:=
1598:n
1594:y
1588:n
1584:Q
1580:A
1572:0
1568:r
1559:=
1544:)
1539:n
1535:y
1529:n
1525:Q
1521:+
1516:0
1512:x
1508:(
1505:A
1499:b
1491:=
1474:n
1470:x
1466:A
1460:b
1452:=
1439:n
1435:r
1404:n
1400:Q
1366:n
1362:y
1338:n
1328:H
1319:1
1316:+
1313:n
1309:Q
1305:=
1300:n
1296:Q
1292:A
1268:n
1248:1
1245:+
1242:n
1220:n
1210:H
1177:n
1173:y
1150:n
1146:x
1135:n
1119:n
1115:q
1111:,
1105:,
1100:1
1096:q
1085:n
1081:m
1065:n
1061:Q
1038:n
1033:R
1023:n
1019:y
996:n
992:y
986:n
982:Q
978:+
973:0
969:x
965:=
960:n
956:x
933:n
929:K
925:+
920:0
916:x
907:n
903:x
877:0
873:r
867:1
859:2
849:0
845:r
838:=
833:1
829:q
806:n
802:K
778:n
774:q
770:,
764:,
759:2
755:q
751:,
746:1
742:q
711:0
707:r
701:1
695:n
691:A
684:,
679:0
675:r
671:A
668:,
663:0
659:r
633:n
629:x
625:A
619:b
616:=
611:n
607:r
581:n
577:K
573:+
568:0
564:x
555:n
551:x
530:b
527:=
524:x
521:A
498:0
495:=
490:0
486:x
465:b
462:=
457:0
453:r
432:0
424:0
420:x
397:0
393:x
389:A
383:b
380:=
375:0
371:r
349:.
346:}
341:0
337:r
331:1
325:n
321:A
317:,
311:,
306:0
302:r
296:2
292:A
288:,
283:0
279:r
275:A
272:,
267:0
263:r
259:{
252:=
249:)
244:0
240:r
236:,
233:A
230:(
225:n
221:K
217:=
212:n
208:K
193:n
176:1
173:=
167:b
154:b
150:m
146:m
138:A
124:.
121:b
118:=
115:x
112:A
89:v
Text is available under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License. Additional terms may apply.