3090:
4174:
3892:
209:
7931:
8202:
8464:
968:
4129:
6155:
3178:
3074:
7723:
1298:
7622:
5700:
1123:
5082:
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3658:
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5585:
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1574:
1550:
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8252:
6402:
4563:
5485:
5365:
6688:
4897:
3954:
2328:
7926:{\displaystyle {\mathfrak {o}}(2l+1,F)=\{x\in {\mathfrak {gl}}(2l+1,F)|sx=-x^{t}s,s={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&I_{l}\\0&I_{l}&0\end{pmatrix}}\}}
7124:
8289:
8021:
7717:
7501:
2739:
2500:
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6907:
6864:
6824:
6708:
6517:
6175:
5720:
5556:
5439:
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9053:
7375:
7308:
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7209:
7189:
7144:
6976:
6927:
6887:
6844:
6804:
6337:
6295:
6264:
5459:
5339:
2045:
1897:
5204:
4403:
1059:
4447:
1033:
9073:
7352:
6315:
4972:
4707:
4659:
4639:
4242:
2521:
2349:
2106:
1835:
2957:
8208:
7633:
1243:
3117:
7507:
8778:
5625:
1080:
626:
5001:
7168:
674:
8197:{\displaystyle {\mathfrak {sp}}(2l,F)=\{x\in {\mathfrak {gl}}(2l,F)|sx=-x^{t}s,s={\begin{pmatrix}0&I_{l}\\-I_{l}&0\end{pmatrix}}\}}
2135:
1902:
8459:{\displaystyle {\mathfrak {o}}(2l,F)=\{x\in {\mathfrak {gl}}(2l,F)|sx=-x^{t}s,s={\begin{pmatrix}0&I_{l}\\I_{l}&0\end{pmatrix}}\}}
679:
5490:
1579:
6981:
6713:
5370:
1731:
669:
664:
3499:
4578:
3553:
3467:
484:
1235:
631:
7040:
4255:
1978:
5803:
9237:
2612:
1070:
779:
2354:
963:{\displaystyle \langle \beta ,\alpha \rangle ={\frac {(\beta ,\alpha )}{(\alpha ,\alpha )}}\,\forall \alpha ,\beta \in E.}
9021:, a real vector space on which a root system is defined, when the hyperplanes orthogonal to the root vectors are removed.
6204:
9259:
2242:
9215:
9194:
9170:
9153:
9139:
3441:
33:
9180:
8577:
6557:
6015:
2526:
1164:
5934:
5312:
2893:
1632:
841:
6624:
4124:{\displaystyle \kappa (x,y):={\textrm {Tr}}({\textrm {ad}}\,x\,{\textrm {ad}}\,y)\ \forall x,y\in {\mathfrak {g}}}
2818:
8869:
3782:
2078:
1665:
641:
5761:
3864:
is a closed convex cone in the Lie algebra of a connected Lie group that is invariant under inner automorphisms.
6342:
4662:
2862:
6150:{\displaystyle {\mathfrak {g_{\alpha }}}:=\{x\in {\mathfrak {g}}|=\alpha (h)x\,\forall h\in {\mathfrak {h}}\}}
5590:
6592:
6525:
3692:
1440:
636:
616:
8625:
1840:
1737:
1132:
5185:
581:
489:
3309:
1370:
3675:
3275:
1303:
9028:
gives in closed form the characters of the irreducible complex representations of the simple Lie groups.
5890:
5725:
9186:
8691:
7223:
is a connected Lie group that is not abelian which does not have nontrivial connected normal subgroups.
6464:
6436:
4618:
4139:
3681:
3211:
621:
8792:
7944:
7640:
7424:
6410:
5861:
5561:
3753:
3240:
8845:
8821:
8744:
8601:
7267:
6180:
5991:
5967:
5943:
5240:
5216:
4977:
4716:
4668:
4592:
4203:
4011:
3729:
3430:
3285:
3183:
2965:
2898:
2744:
2111:
1796:
1772:
1638:
1555:
1531:
801:
8215:
6381:
5211:
5100:
4458:
3898:
3493:
3452:
3397:
2841:
772:
256:
5464:
5344:
6666:
4799:
4184:
4156:
3907:
3364:
1490:
3069:{\displaystyle D^{0}{\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}},D^{n}{\mathfrak {g}}=D^{n-1}{\mathfrak {g}}}
36:. Because of the lack of other options, the glossary also includes some generalizations such as
9148:, Second printing, revised. Graduate Texts in Mathematics, 9. Springer-Verlag, New York, 1978.
9025:
8573:
8566:
7417:
7191:, there exists a unique (up to a choice of a base) semisimple Lie algebra whose root system is
7102:
3850:
3486:
2810:
576:
539:
507:
494:
8258:
7990:
7686:
7470:
2717:
9264:
9110:
Editorial note: the definition of a nilpotent element in a general Lie algebra seems unclear.
8665:
7380:
7317:
7273:
6932:
6892:
6849:
6809:
6693:
6493:
6160:
5705:
5541:
5424:
5288:
4789:
3987:
3872:
3861:
3705:
3205:
608:
276:
9223:
8576:, an element is semisimple if its image under the adjoint representation is semisimple; see
4913:
351:
341:
331:
321:
9078:
9038:
8595:
8560:
7360:
7293:
7233:
7194:
7174:
7129:
6961:
6912:
6872:
6829:
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4322:
3352:
8:
4782:
3723:
3084:
1. Eugene
Borisovich Dynkin (1924 – 2014), a Soviet and American mathematician
1038:
994:
765:
753:
594:
424:
4414:
1000:
9058:
8589:
7937:
7337:
7263:(a simple Lie group is simply laced when its Dynkin diagram is without multiple edges).
7260:
7227:
6300:
4957:
4765:
4692:
4644:
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2091:
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515:
2922:
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9190:
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2233:
2067:
1526:
1429:
1417:
987:
589:
552:
9246:
J.-P. Serre, "Lie algebras and Lie groups", Benjamin (1965) (Translated from French)
3842:
Unlike in ring theory, there is no distinguishability of left ideal and right ideal.
704:
442:
8540:
8527:
8514:
8501:
8488:
7220:
5300:
4584:
3419:
3386:
3360:
3356:
3348:
3344:
3336:
which is not necessarily a homomorphism but satisfies a certain universal property.
2814:
2799:
1483:
1364:
1293:{\displaystyle {\textrm {ad}}:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})}
724:
404:
396:
388:
380:
372:
305:
286:
246:
3173:{\displaystyle 0\to {\mathfrak {g}}'\to {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}''\to 0}
32:. For the topics in the representation theory of Lie groups and Lie algebras, see
9203:
9165:, Republication of the 1962 original. Dover Publications, Inc., New York, 1979.
9158:
8975:
5281:
4793:
4566:
4450:
3998:
3957:
3096:
2830:
2806:
2051:
709:
462:
447:
218:
7617:{\displaystyle {\mathfrak {sl}}(l+1,F)=\{x\in {\mathfrak {gl}}(l+1,F)|Tr(x)=0\}}
5134:
4944:
4161:
3699:
3668:
2875:
1476:
729:
547:
452:
7154:
10. dual of a root system: synonymous to "inverse of a root system"
5695:{\displaystyle \Phi ^{+}(\gamma )=\{\alpha \in \Phi |(\alpha ,\gamma )>0\}}
2239:
2. The center of a Lie algebra is the centralizer of itself :
1519:
714:
9253:
9127:
5174:
5152:
5111:
2869:
1876:
1118:{\displaystyle \operatorname {Ad} :G\to \operatorname {GL} ({\mathfrak {g}})}
831:
437:
266:
37:
9014:
9007:
8989:
4005:
2826:
1469:
734:
719:
520:
502:
432:
21:
7310:
is called a set of simple roots if it satisfies the following conditions:
5077:{\displaystyle N_{\mathfrak {g}}(K):=\{x\in {\mathfrak {g}}|\subseteq K\}}
9075:
which is generated by reflections through hyperplanes normal to roots of
7230:
is a Lie algebra that is non abelian and has only two ideals, itself and
6272:
4710:
4406:
4197:
4173:
3089:
1458:
560:
476:
200:
29:
9055:
is a (necessarily finite) group of orthogonal linear transformations of
7151:
9. base of a root system: synonymous to "set of simple roots"
2962:
2. A derived series is a sequence of ideals of a Lie algebra
9176:
9032:
6781:
4180:
3695:, stating the highest weights classify the irreducible representations.
699:
565:
457:
25:
1367:: Any finite-dimensional Lie algebra is isomorphic to a subalgebra of
43:
8947:
7625:
7397:
with coefficients that are either all nonnegative or all nonpositive.
5269:
4190:
2822:
2217:{\displaystyle C_{\mathfrak {g}}(X):=\{x\in {\mathfrak {g}}|=\{0\}\}}
1968:{\displaystyle (\langle \alpha _{i},\alpha _{j}\rangle )_{i,j=1}^{n}}
196:
2821:
are integers. Chevalley used these bases to construct analogues of
2503:(or upper central series) is a sequence of ideals of a Lie algebra
2331:(or lower central series) is a sequence of ideals of a Lie algebra
17:
6317:
is called a root system if it satisfies the following conditions:
5531:{\displaystyle (\gamma ,\alpha )>0\,\forall \gamma \in \Delta }
1621:{\displaystyle N_{\mathfrak {g}}({\mathfrak {h}})={\mathfrak {h}}}
7030:{\displaystyle \alpha ^{v}={\frac {2\alpha }{(\alpha ,\alpha )}}}
6766:{\displaystyle S_{\alpha }(x)=x-\langle x,\alpha \rangle \alpha }
5411:{\displaystyle (\gamma ,\alpha )\neq 0\,\forall \gamma \in \Phi }
656:
4193:
is a group that has a compatible structure of a smooth manifold.
3543:{\displaystyle \phi :{\mathfrak {g}}_{1}\to {\mathfrak {g}}_{2}}
5318:
2. A regular element with respect to a root system.
3671:, (1923 – 1983), an Indian American mathematician and physicist
2851:
1161:
is the differential at the identity element of the conjugation
3891:
9208:
Lie Groups: an approach through invariants and representation
3653:{\displaystyle \phi ()=\,\forall x,y\in {\mathfrak {g}}_{1}.}
7126:
is again a root system and have the identical Weyl group as
6958:
8. inverse of a root system: Given a root system
2070:, a distinguished element of a universal enveloping algebra.
8569:
is a nonzero Lie algebra that has no nonzero abelian ideal.
208:
7090:{\displaystyle \Phi ^{v}=\{\alpha ^{v}|\alpha \in \Phi \}}
4308:{\displaystyle \forall a,b\in F,x,y,z\in {\mathfrak {g}}}
2020:{\displaystyle \Delta =\{\alpha _{1}\ldots \alpha _{n}\}}
1660:
9017:
is one of the connected components of the complement in
5851:{\displaystyle \alpha ',\alpha ''\in \Phi ^{+}(\gamma )}
5237:
is the largest (i.e., unique maximal) solvable ideal of
2707:{\displaystyle C_{n+1}(L)=\pi _{n}^{-1}(Z(L/C_{n}(L)))}
9146:
Introduction to Lie
Algebras and Representation Theory
8408:
8143:
7848:
4032:
is a symmetric, associative, bilinear form defined by
2986:
obtained by repeatedly taking derived algebras; i.e.,
9081:
9061:
9041:
8872:
8848:
8824:
8795:
8747:
8694:
8668:
8628:
8604:
8298:
8261:
8218:
8030:
7993:
7947:
7726:
7689:
7643:
7510:
7473:
7427:
7383:
7363:
7340:
7320:
7296:
7276:
7236:
7197:
7177:
7132:
7105:
7043:
6984:
6964:
6935:
6915:
6895:
6875:
6852:
6832:
6812:
6792:
6716:
6696:
6669:
6627:
6595:
6560:
6528:
6496:
6467:
6439:
6413:
6384:
6345:
6325:
6303:
6283:
6252:
6207:
6183:
6163:
6055:
6018:
5994:
5970:
5946:
5893:
5864:
5806:
5764:
5728:
5708:
5628:
5593:
5564:
5544:
5493:
5467:
5447:
5427:
5373:
5347:
5327:
5243:
5219:
5004:
4980:
4960:
4916:
4802:
4719:
4695:
4671:
4647:
4627:
4595:
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4417:
4325:
4258:
4230:
4206:
4038:
4014:
3910:
3785:
3756:
3732:
3556:
3502:
3312:
3288:
3243:
3214:
3186:
3120:
2992:
2968:
2925:
2901:
2747:
2720:
2615:
2529:
2509:
2357:
2337:
2245:
2138:
2114:
2094:
2033:
1981:
1905:
1885:
1843:
1823:
1799:
1775:
1740:
1668:
1641:
1582:
1558:
1534:
1373:
1306:
1246:
1167:
1135:
1083:
1041:
1003:
881:
844:
804:
2490:{\displaystyle C^{0}(L)=L,\,C^{1}(L)=,\,C^{n+1}(L)=}
7405:
5. Classification of simple Lie algebras
6690:is the reflection through the hyperplane normal to
6237:{\displaystyle {\mathfrak {g_{\alpha }}}\neq \{0\}}
9087:
9067:
9047:
8926:
8858:
8834:
8810:
8757:
8733:
8680:
8654:
8614:
8458:
8283:
8246:
8196:
8015:
7978:
7925:
7711:
7674:
7616:
7495:
7458:
7389:
7369:
7346:
7326:
7302:
7282:
7248:
7203:
7183:
7171:states that, given a (finite reduced) root system
7138:
7118:
7089:
7029:
6970:
6941:
6921:
6901:
6881:
6858:
6838:
6818:
6798:
6765:
6702:
6682:
6655:
6613:
6578:
6546:
6511:
6482:
6453:
6425:
6396:
6370:
6331:
6309:
6289:
6258:
6236:
6193:
6169:
6149:
6041:
6004:
5980:
5956:
5915:
5879:
5850:
5792:
5750:
5714:
5694:
5614:
5579:
5550:
5530:
5479:
5453:
5433:
5410:
5359:
5333:
5253:
5229:
5076:
4990:
4966:
4932:
4891:
4729:
4701:
4681:
4653:
4633:
4605:
4557:
4441:
4397:
4307:
4236:
4216:
4123:
4024:
3948:
3834:
3771:
3742:
3652:
3542:
3489:is a group homomorphism that is also a smooth map.
3328:
3298:
3258:
3229:
3196:
3172:
3068:
2978:
2951:
2911:
2783:
2733:
2706:
2601:
2515:
2489:
2343:
2312:
2216:
2124:
2100:
2039:
2019:
1967:
1891:
1864:
1829:
1809:
1785:
1761:
1719:
1651:
1620:
1568:
1544:
1393:
1346:
1292:
1220:
1153:
1117:
1053:
1027:
962:
862:
822:
2313:{\displaystyle Z(L):=\{x\in {\mathfrak {g}}|=0\}}
9251:
1443:is a linear automorphism preserving the bracket.
627:Representation theory of semisimple Lie algebras
2865:(1907 – 2003), a British-born Canadian geometer
2232:1. The center of a Lie group is the
6579:{\displaystyle \langle \alpha ,\beta \rangle }
6042:{\displaystyle \alpha \in {\mathfrak {h}}^{*}}
4252:) , which satisfies the following conditions:
2602:{\displaystyle C_{0}(L)=\{0\},\,C_{1}(L)=Z(L)}
2072:
1221:{\displaystyle c_{g}:G\to G,x\mapsto gxg^{-1}}
9232:], translated by Jones, G. A., Springer,
6929:which is a linear combination of elements of
6846:which is a linear combination of elements of
5887:is the set of all indecomposable elements of
5622:. It can be determined in following way: let
863:{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }
773:
8453:
8327:
8191:
8062:
7920:
7761:
7611:
7545:
7243:
7237:
7084:
7057:
6757:
6745:
6656:{\displaystyle S_{\alpha }(\beta )\in \Phi }
6573:
6561:
6231:
6225:
6144:
6073:
5689:
5651:
5071:
5029:
2558:
2552:
2307:
2261:
2211:
2208:
2202:
2163:
2014:
1988:
1935:
1909:
894:
882:
857:
845:
8927:{\displaystyle \subseteq {\mathfrak {g'}}.}
8578:Semisimple Lie algebra#Jordan decomposition
6869:5. Negative root of root system
6786:4. Positive root of root system
5587:such that the previous condition holds for
3835:{\displaystyle \subseteq {\mathfrak {g'}}.}
2835:
1720:{\displaystyle \kappa ({\mathfrak {g}},)=0}
1401:for some finite-dimensional vector space V.
5793:{\displaystyle \alpha =\alpha '+\alpha ''}
4906:of a semisimple Lie algebra is an element
2088:2. The centralizer of a subset
1413:is a particular type of Kac–Moody algebra.
780:
766:
665:Particle physics and representation theory
207:
6447:
6371:{\displaystyle {\textrm {span}}(\Phi )=E}
6127:
5515:
5395:
4089:
4081:
4077:
3920:
3617:
2564:
2427:
2386:
938:
9118:
7097:is called the inverse of a root system.
5615:{\displaystyle \Delta =\Delta (\gamma )}
4172:
3890:
3866:
3854:
3468:Group analysis of differential equations
3088:
2959:. It is a subalgebra (in fact an ideal).
990:is a Lie group that is an abelian group.
7377:is a linear combination of elements of
6614:{\displaystyle \alpha ,\beta \in \Phi }
6547:{\displaystyle \alpha ,\beta \in \Phi }
5558:there exist a unique set of base roots
4796:as an ideal; i.e., some power is zero:
3904:2. Given a binary operation
1817:is semisimple and the underlying field
1236:adjoint representation of a Lie algebra
632:Representations of classical Lie groups
9252:
9225:Algèbres de Lie semi-simples complexes
8964:2. maximal toral subalgebra
8655:{\displaystyle D^{n}{\mathfrak {g}}=0}
6889:with respect to a set of simple roots
6806:with respect to a set of simple roots
4244:with a binary operation (called the
4001:(1847 – 1923), a German mathematician.
3901:(1804 – 1851), a German mathematician.
3445:
1865:{\displaystyle \kappa (\cdot ,\cdot )}
1762:{\displaystyle \kappa (\cdot ,\cdot )}
1154:{\displaystyle \operatorname {Ad} (g)}
9010:(1885 – 1955), a German mathematician
2802:(1909 – 1984), a French mathematician
1576:is a nilpotent subalgebra satisfying
1522:(1869 – 1951), a French mathematician
1071:adjoint representation of a Lie group
8866:if it is closed under bracket, i.e.
4579:Lie group–Lie algebra correspondence
3981:
3329:{\displaystyle {\mathfrak {g}}\to G}
1472:(1923 – 2003), a Swiss mathematician
1394:{\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{V}}
485:Lie group–Lie algebra correspondence
9175:
9123:, Éléments de Mathématique, Hermann
8912:
8894:
8879:
8851:
8827:
8799:
8750:
8723:
8713:
8700:
8641:
8607:
8341:
8338:
8301:
8076:
8073:
8036:
8033:
7775:
7772:
7729:
7559:
7556:
7516:
7513:
6246:The set of all roots is denoted by
6211:
6186:
6139:
6084:
6059:
6028:
5997:
5973:
5949:
5303:, a group generated by reflections.
5246:
5222:
5040:
5011:
4983:
4910:such that the adjoint endomorphism
4863:
4853:
4834:
4821:
4808:
4722:
4689:. Then there exists an element of
4674:
4598:
4300:
4209:
4116:
4017:
3820:
3806:
3792:
3760:
3735:
3636:
3529:
3512:
3375:
3315:
3291:
3247:
3218:
3189:
3155:
3144:
3130:
3061:
3035:
3015:
3005:
2971:
2941:
2931:
2904:
2293:
2272:
2174:
2145:
2117:
1802:
1778:
1732:Cartan criterion for semisimplicity
1700:
1690:
1677:
1644:
1613:
1600:
1589:
1561:
1537:
1380:
1377:
1347:{\displaystyle {\textrm {ad}}(x)y=}
1282:
1272:
1269:
1259:
1107:
20:for the terminology applied in the
13:
9082:
9042:
7384:
7364:
7321:
7297:
7277:
7198:
7178:
7133:
7107:
7081:
7045:
6965:
6936:
6916:
6896:
6876:
6853:
6833:
6813:
6793:
6650:
6608:
6541:
6477:
6420:
6391:
6356:
6326:
6284:
6253:
6128:
5916:{\displaystyle \Phi ^{+}(\gamma )}
5895:
5865:
5830:
5751:{\displaystyle \Phi ^{+}(\gamma )}
5730:
5660:
5630:
5600:
5594:
5565:
5525:
5516:
5448:
5428:
5405:
5396:
5328:
4259:
4099:
3883:
3618:
3268:
2886:
2034:
1982:
1886:
939:
870:denotes the rescaled inner product
14:
9276:
9221:
9182:Infinite dimensional Lie algebras
8781:of a compact connected Lie group.
8734:{\displaystyle D{\mathfrak {g}}=}
6483:{\displaystyle c\alpha \in \Phi }
6454:{\displaystyle c\in \mathbb {R} }
5461:, there exists a regular element
3661:
3230:{\displaystyle {\mathfrak {g}}''}
2321:
1486:is a maximal solvable subalgebra.
34:Glossary of representation theory
8811:{\displaystyle {\mathfrak {g'}}}
7979:{\displaystyle C_{l}\ (l\geq 2)}
7675:{\displaystyle B_{l}\ (l\geq 1)}
7459:{\displaystyle A_{l}\ (l\geq 1)}
6426:{\displaystyle \alpha \in \Phi }
5935:root of a semisimple Lie algebra
5880:{\displaystyle \Delta (\gamma )}
5580:{\displaystyle \Delta (\gamma )}
5313:regular element of a Lie algebra
4661:be a nonzero finite dimensional
4613:be a finite-dimensional complex
3772:{\displaystyle {\mathfrak {g'}}}
3259:{\displaystyle {\mathfrak {g}}'}
2894:derived algebra of a Lie algebra
1633:Cartan criterion for solvability
1238:is a Lie algebra representation
9230:Complex Semisimple Lie Algebras
9134:, 1st edition, Springer, 2006.
8859:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
8835:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
8758:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
8741:denotes the derived algebra of
8615:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
6266: ; it forms a root system.
6194:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
6005:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
5981:{\displaystyle {\mathfrak {h}}}
5957:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
5254:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
5230:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
4991:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
4754:
4730:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
4682:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
4606:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
4217:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
4025:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
3743:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
3479:
3299:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
3197:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
2979:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
2912:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
2784:{\displaystyle L\to L/C_{n}(L)}
2125:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
1810:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
1786:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
1652:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
1569:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
1545:{\displaystyle {\mathfrak {h}}}
1433:
823:{\displaystyle (\cdot ,\cdot )}
183:
46:
9104:
9035:: Weyl group of a root system
8903:
8873:
8728:
8708:
8365:
8361:
8346:
8321:
8306:
8247:{\displaystyle D_{l}(l\geq 1)}
8241:
8229:
8100:
8096:
8081:
8056:
8041:
7973:
7961:
7805:
7801:
7780:
7755:
7734:
7669:
7657:
7602:
7596:
7586:
7582:
7564:
7539:
7521:
7453:
7441:
7071:
7021:
7009:
6949:with nonpositive coefficients.
6866:with nonnegative coefficients.
6733:
6727:
6644:
6638:
6359:
6353:
6121:
6115:
6106:
6094:
6090:
5910:
5904:
5874:
5868:
5845:
5839:
5745:
5739:
5680:
5668:
5664:
5645:
5639:
5609:
5603:
5574:
5568:
5538:, conversely for each regular
5506:
5494:
5386:
5374:
5062:
5050:
5046:
5023:
5017:
4880:
4877:
4874:
4868:
4848:
4829:
4816:
4803:
4546:
4537:
4525:
4522:
4516:
4507:
4495:
4492:
4486:
4477:
4465:
4462:
4430:
4418:
4392:
4380:
4371:
4359:
4350:
4326:
4093:
4067:
4054:
4042:
3940:
3924:
3911:
3811:
3786:
3614:
3611:
3605:
3596:
3590:
3584:
3578:
3575:
3563:
3560:
3523:
3423:
3390:
3338:
3320:
3164:
3149:
3139:
3124:
2946:
2926:
2778:
2772:
2751:
2701:
2698:
2695:
2689:
2668:
2662:
2638:
2632:
2596:
2590:
2581:
2575:
2546:
2540:
2484:
2481:
2475:
2456:
2450:
2444:
2421:
2409:
2403:
2397:
2374:
2368:
2298:
2282:
2278:
2255:
2249:
2196:
2184:
2180:
2157:
2151:
1939:
1906:
1859:
1847:
1756:
1744:
1708:
1705:
1685:
1672:
1605:
1595:
1341:
1329:
1320:
1314:
1287:
1277:
1264:
1196:
1184:
1148:
1142:
1112:
1102:
1093:
1016:
1004:
932:
920:
915:
903:
817:
805:
680:Galilean group representations
675:Poincaré group representations
1:
9097:
8783:
8553:
6397:{\displaystyle 0\notin \Phi }
5964:be a semisimple Lie algebra,
5421:For each set of simple roots
5293:
5156:
4954:The normalizer of a subspace
4948:
4558:{\displaystyle ,z]+,x]+,y]=0}
3693:theorem of the highest weight
3442:Generalized Kac–Moody algebra
1441:automorphism of a Lie algebra
670:Lorentz group representations
637:Theorem of the highest weight
178:
9132:Introduction to Lie Algebras
8842:is called the subalgebra of
5480:{\displaystyle \gamma \in E}
5360:{\displaystyle \gamma \in E}
5274:
5186:quantized enveloping algebra
5179:
5127:
5104:
4940:is a nilpotent endomorphism.
4775:
4150:
3108:
2792:
2741:is the natural homomorphism
2027:is a set of simple roots of
1837:has characteristic 0 , then
45:
7:
9222:Serre, Jean-Pierre (2000),
8582:
6683:{\displaystyle S_{\alpha }}
5145:
4892:{\displaystyle \dots ]]]=0}
4133:
3949:{\displaystyle :V^{2}\to V}
3676:Harish-Chandra homomorphism
3434:
2817:with the property that all
2079:Clebsch–Gordan coefficients
2074:Clebsch–Gordan coefficients
1422:
997:is a Lie algebra such that
10:
9281:
9187:Cambridge University Press
9121:Groupes et Algèbres de Lie
8772:
5988:be a Cartan subalgebra of
5305:
5197:
5168:
5115:
5093:
4619:algebraically closed field
4140:Kirillov character formula
3991:
3685:
3682:Harish-Chandra isomorphism
3456:
2855:
2061:
1063:
980:
622:Lie algebra representation
9260:Glossaries of mathematics
7213:
7119:{\displaystyle \Phi ^{v}}
4792:is a Lie algebra that is
3431:Generalized Cartan matrix
3401:
3078:
2845:
2329:descending central series
2226:
2082:
1512:
1494:
1403:
798:Throughout the glossary,
53:
8952:
8767:
8472:Exceptional Lie algebras
8284:{\displaystyle 2l^{2}+l}
8016:{\displaystyle 2l^{2}-l}
7712:{\displaystyle 2l^{2}+l}
7496:{\displaystyle l^{2}+2l}
7162:
6955:7. short root
5212:radical of a Lie algebra
5101:maximal compact subgroup
4709:which is a simultaneous
3899:Carl Gustav Jacob Jacobi
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3983:Kac–Moody algebra
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9185:(3rd ed.).
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