27:
6003:
12014:
5535:
11771:
13527:
5998:{\displaystyle {\begin{aligned}G(x,s)&={\frac {1}{\left(\gamma -\alpha \right)^{2}}}\Theta (x-s)e^{-\gamma (x-s)}-{\frac {1}{\left(\gamma -\alpha \right)^{2}}}\Theta (x-s)e^{-\alpha (x-s)}+{\frac {1}{\gamma -\alpha }}\Theta (x-s)\left(x-s\right)e^{-\alpha (x-s)}\\&=\int \Theta (x-s_{1})\left(x-s_{1}\right)e^{-\alpha (x-s_{1})}\Theta (s_{1}-s)e^{-\gamma (s_{1}-s)}\,ds_{1}.\end{aligned}}}
16202:
3123:, which is called an advanced Green's function. In such cases, any linear combination of the two Green's functions is also a valid Green's function. The terminology advanced and retarded is especially useful when the variable x corresponds to time. In such cases, the solution provided by the use of the retarded Green's function depends only on the past sources and is
12009:{\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {A} &=\nabla \cdot \left(\varphi \,\nabla \psi \;-\;\psi \,\nabla \varphi \right)\\&=(\nabla \varphi )\cdot (\nabla \psi )\;+\;\varphi \,\nabla ^{2}\psi \;-\;(\nabla \varphi )\cdot (\nabla \psi )\;-\;\psi \nabla ^{2}\varphi \\&=\varphi \,\nabla ^{2}\psi \;-\;\psi \,\nabla ^{2}\varphi .\end{aligned}}}
12167:
13152:
15762:
13300:
13957:
13679:
3127:
whereas the solution provided by the use of the advanced Green's function depends only on the future sources and is acausal. In these problems, it is often the case that the causal solution is the physically important one. The use of advanced and retarded Green's function is especially common for the
3070:
Green's function is not necessarily unique since the addition of any solution of the homogeneous equation to one Green's function results in another Green's function. Therefore if the homogeneous equation has nontrivial solutions, multiple Green's functions exist. In some cases, it is possible to
13296:
remains. If the problem is to solve a
Neumann boundary value problem, it might seem logical to choose Green's function so that its normal derivative vanishes on the bounding surface. However, application of Gauss's theorem to the differential equation defining the Green's function yields
2181:
12025:
12301:
14116:
15607:
14947:
7988:
8210:
12860:
12880:
4365:
11685:
13816:
12670:
4011:
16639:
5404:
16197:{\displaystyle {\begin{aligned}G(x,y,x_{0},y_{0})={\dfrac {1}{2\pi }}&\left&\left.{}+\ln {\sqrt {\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y+y_{0}\right)^{2}}}-\ln {\sqrt {\left(x+x_{0}\right)^{2}+\left(y+y_{0}\right)^{2}}}\,\right].\end{aligned}}}
13714:
is the average value of the potential on the surface. This number is not known in general, but is often unimportant, as the goal is often to obtain the electric field given by the gradient of the potential, rather than the potential itself.
13522:{\displaystyle \int _{S}\nabla 'G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\cdot d{\hat {\boldsymbol {\sigma }}}'=\int _{V}\nabla '^{2}G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\,d^{3}\mathbf {x} '=\int _{V}\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')\,d^{3}\mathbf {x} '=1\,,}
4227:
13560:
3687:
13264:
14756:
7651:
8406:
5530:
2495:
2317:
13827:
11178:
10726:
9775:
8805:
15442:
8720:
9352:
9035:
10337:
9441:
2030:
9186:
15449:
7464:
7034:
3764:
11735:
6795:
1337:
13820:
Supposing that the bounding surface goes out to infinity and plugging in this expression for the Green's function finally yields the standard expression for electric potential in terms of electric charge density as
7164:
6927:
6688:
14807:
13980:
12186:
5078:
4693:
3780:
3517:
7387:
16749:
14504:
8621:
15290:
7089:
6850:
14221:
5540:
2983:
15767:
11605:
1494:
2584:
155:
12162:{\displaystyle \int _{V}\left(\varphi \,\nabla ^{2}\psi -\psi \,\nabla ^{2}\varphi \right)dV=\int _{S}\left(\varphi \,\nabla \psi -\psi \nabla \,\varphi \right)\cdot d{\hat {\boldsymbol {\sigma }}}.}
9244:
9093:
8482:
3775:
280:
7815:
6565:
11505:
8870:
13985:
11776:
11029:
2440:
2262:
16329:
8120:
5252:
14351:
13725:
12770:
11089:
10578:
9997:
8927:
8551:
2862:
16272:
12338:
7809:
7753:
6426:
13712:
11565:
10638:
10249:
9686:
1999:
7556:
7506:
6102:
1572:
15101:
14570:
11766:
8114:
849:
7246:
6614:
6154:
4852:
16905:
10189:
9937:
7299:
6510:
3512:
1065:
6960:
6721:
4942:
14639:
6464:
3209:
14644:
7690:
5207:
9626:
7197:
6374:
3507:
345:
4237:
10039:
8255:
8026:
15173:
15141:
1164:
774:
13147:{\displaystyle \varphi (\mathbf {x} )=-\int _{V}G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\,\rho (\mathbf {x} ')\,d^{3}\mathbf {x} '+\int _{S}\left\cdot d{\hat {\boldsymbol {\sigma }}}'.}
4117:
3380:
3048:
2435:
2257:
930:
3149:
to find the units a Green's function must have is an important sanity check on any Green's function found through other means. A quick examination of the defining equation,
621:
4975:
1639:
15664:
15193:
4494:
2021:
1821:
16236:
8068:
6030:
15351:
13719:
450:
193:
16989:
2809:
2777:
2728:
68:
14799:
6304:
6264:
6224:
5142:
4388:
966:
and/or other externally imposed criteria will give a unique Green's function. Green's functions may be categorized, by the type of boundary conditions satisfied, by a
14263:
12329:
6184:
4888:
3121:
3095:
539:
472:
17234:
17191:
16819:
16784:
14599:
14530:
14379:
4728:
2657:
2619:
2392:
2352:
1372:
16943:
15346:
15319:
15007:
14979:
5105:
4569:
4541:
16848:
7570:
2430:
2212:
582:
508:
17048:
17016:
15037:
14405:
3458:
2250:
16292:
13952:{\displaystyle \varphi (\mathbf {x} )=\int _{V}{\dfrac {\rho (\mathbf {x} ')}{4\pi \varepsilon \left|\mathbf {x} -\mathbf {x} '\right|}}\,d^{3}\mathbf {x} '\,.}
8282:
8275:
5453:
5448:
5428:
5247:
5227:
4998:
4775:
4749:
4514:
4451:
3433:
3412:
3289:
3269:
3249:
3229:
2697:
2677:
1901:
1754:
1404:
1218:
1092:
420:
396:
16324:
11103:
10651:
13674:{\displaystyle \int _{S}\varphi (\mathbf {x} ')\,\nabla 'G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\cdot d{\hat {\boldsymbol {\sigma }}}'=\langle \varphi \rangle _{S}}
13207:
9700:
8737:
8627:
5003:
4575:
17592:
Boundary
Element Method (for some idea on how Green's functions may be used with the boundary element method for solving potential problems numerically)
14410:
9250:
8933:
15198:
10263:
9366:
9099:
7401:
6966:
3693:
1409:
11692:
6727:
6005:
While the example presented is tractable analytically, it illustrates a process that works when the integral is not trivial (for example, when
2500:
7100:
6863:
6624:
17608:
8071:
368:
17093:
6307:
3129:
1872:
1067:
This definition does not significantly change any of the properties of Green's function due to the evenness of the Dirac delta function.
691:
14131:
7305:
14268:
6267:
2176:{\displaystyle \mathbf {D} u={\begin{bmatrix}\alpha _{1}u'(0)+\beta _{1}u(0)\\\alpha _{2}u'(\ell )+\beta _{2}u(\ell )\end{bmatrix}}\,.}
17586:
16644:
13162:
if the value or normal derivative is known on a bounding surface, then the value of the function inside the volume is known everywhere
8565:
15602:{\displaystyle G(x,s)={\begin{cases}-{\frac {\cos ks}{k}}\sin kx,&x<s,\\-{\frac {\sin ks}{k}}\cos kx,&s<x.\end{cases}}}
17066:
7039:
6800:
1910:
1504:
17088:
15042:
14942:{\displaystyle G(x,s)={\begin{cases}c_{2}\sin kx,&{\text{for }}x<s,\\c_{3}\cos kx,&{\text{for }}s<x.\end{cases}}}
7983:{\displaystyle {\frac {-e^{-ikr}}{4\pi r}}=i{\sqrt {\frac {k}{32\pi r}}}H_{1/2}^{(2)}(kr)=i{\frac {k}{4\pi }}\,h_{0}^{(2)}(kr)}
3061:
790:
659:
17350:
Chapter 5 contains a very readable account of using Green's functions to solve boundary value problems in electrostatics.
9200:
9049:
8427:
17491:
17383:
17292:
17266:
14111:{\displaystyle {\begin{aligned}Lu&=u''+k^{2}u=f(x)\\u(0)&=0,\quad u\left({\tfrac {\pi }{2k}}\right)=0.\end{aligned}}}
1007:
12296:{\displaystyle LG(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')=\nabla ^{2}G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')=\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ').}
6520:
17594:
8205:{\displaystyle {\frac {1}{4\pi }}{\frac {\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}\right\|^{3}}}}
3152:
15195:
goes to zero. Note that we only integrate the second derivative as the remaining term will be continuous by construction.
11184:
8811:
10732:
2878:
8029:
5450:
space. This process yields identities that relate integrals of Green's functions and sums of the same. For example, if
694:, even those that do not fit the mathematical definition. In quantum field theory, Green's functions take the roles of
11034:
10343:
9942:
8884:
1109:
17425:
17406:
17364:
17341:
15105:
One can ensure proper discontinuity in the first derivative by integrating the defining differential equation (i.e.,
8488:
3294:
2819:
883:
16241:
12742:
is specified on the bounding surface of the volume (Dirichlet boundary conditions), or (2) the normal derivative of
11680:{\displaystyle \int _{V}\nabla \cdot \mathbf {A} \,dV=\int _{S}\mathbf {A} \cdot d{\hat {\boldsymbol {\sigma }}}\,.}
6854:
73:
7769:
7695:
6380:
13684:
11510:
10583:
10194:
9631:
17664:
17644:
7511:
7470:
6040:
The following table gives an overview of Green's functions of frequently appearing differential operators, where
4006:{\displaystyle {\begin{aligned}]&=]^{-2},\\]&=]]^{3},\ {\text{and}}\\]&=]^{-1}]^{-1}.\end{aligned}}}
17649:
17133:
14535:
13269:
If the problem is to solve a
Dirichlet boundary value problem, the Green's function should be chosen such that
11743:
8091:
6044:
5407:
4947:
7203:
6571:
4783:
17659:
17654:
17519:
14837:
10045:
9781:
7258:
6470:
6109:
648:
198:
16853:
6932:
6693:
4898:
17196:
16634:{\displaystyle f(x)=\sum _{m=0}^{n-1}{\frac {(x-a)^{m}}{m!}}\left_{x=a}+\int _{a}^{b}\left\left_{x=s}ds\,.}
15738:
14604:
12717:
11570:
11094:
6436:
5399:{\displaystyle {\widehat {G}}(k_{x},k_{s})={\frac {\delta (k_{x}-k_{s})}{\prod _{i=1}^{N}(ik_{x}-z_{i})}}.}
4360:{\displaystyle G(x,x')=\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {\Psi _{n}^{\dagger }(x)\Psi _{n}(x')}{\lambda _{n}}},}
4093: ) that is complete, then it is possible to construct a Green's function from these eigenvectors and
1757:
644:
551:
7657:
5153:
3097:, which is called a retarded Green's function, and another Green's function that is nonvanishing only for
17514:
17257:
Cole, K.D.; Beck, J.V.; Haji-Sheikh, A.; Litkouhi, B. (2011). "Methods for obtaining Green's functions".
13811:{\displaystyle G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')=-{\frac {1}{4\pi \left|\mathbf {x} -\mathbf {x} '\right|}}.}
12855:{\displaystyle \int _{V}\varphi (\mathbf {x} ')\,\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')\,d^{3}\mathbf {x} '}
9447:
7169:
6341:
3474:
285:
17378:. Oxford science publications. Oxford : New York: Clarendon Press ; Oxford University Press.
17113:
15749:
13974:
12713:
10011:
8220:
7993:
1904:
1841:
1830:
1766:. Aside from the difficulties of finding a Green's function for a particular operator, the integral in
971:
967:
740:
15146:
15114:
12665:{\displaystyle \int _{V}\leftd^{3}\mathbf {x} '=\int _{S}\left\cdot d{\hat {\boldsymbol {\sigma }}}'.}
4754:
750:
10642:
10254:
10002:
9691:
8418:
4894:
A further identity follows for differential operators that are scalar polynomials of the derivative,
2996:
1004:
The Green's function as used in physics is usually defined with the opposite sign, instead. That is,
17509:
15479:
7565:
590:
17627:
4953:
1826:
1593:
958:
is non-trivial, then the Green's function is not unique. However, in practice, some combination of
949:
875:. This property of a Green's function can be exploited to solve differential equations of the form
687:
15178:
7396:
4456:
2004:
1791:
17448:
An Essay on the
Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism
16209:
15667:
15637:
8035:
6187:
6008:
4418:
547:
8077:
3682:{\displaystyle {\begin{aligned}]&=]^{-2},\\]&=],\ {\text{and}}\\]&=].\end{aligned}}}
426:
19:
This article is about the classical approach to Green's functions. For a modern discussion, see
17545:
16948:
8732:
3769:
2787:
2738:
2706:
1852:
975:
160:
14763:
5111:
4373:
17451:
17153:
17103:
14751:{\displaystyle G\left({\tfrac {\pi }{2k}},s\right)=c_{3}\cdot 0+c_{4}\cdot 1=0,\quad c_{4}=0}
14242:
13963:
12690:
12675:
12332:
12308:
11588:
7646:{\displaystyle \nabla _{\text{3D}}^{2}=\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2}+\partial _{z}^{2}}
6273:
6233:
6193:
4860:
4402:
The general study of Green's function written in the above form, and its relationship to the
4111:
4021:
3100:
3074:
1095:
1071:
994:
722:
518:
457:
372:
17204:
17161:
16789:
16754:
14578:
14509:
14358:
6160:
4698:
2627:
2589:
2362:
2322:
1342:
17565:
17470:
17083:
16910:
15324:
15297:
14985:
14957:
12874:
5083:
4977:
4547:
4519:
3146:
1780:
1772:
may be quite difficult to evaluate. However the method gives a theoretically exact result.
1724:
872:
667:
652:
475:
20:
16824:
8414:
8401:{\displaystyle -\left(2\pi \right)^{-n/2}\left({\frac {k}{r}}\right)^{n/2-1}K_{n/2-1}(kr)}
5525:{\displaystyle L=\left(\partial _{x}+\gamma \right)\left(\partial _{x}+\alpha \right)^{2}}
2406:
2188:
558:
484:
8:
17118:
17027:
16995:
15016:
14384:
2215:
1856:
33:
17474:
4222:{\displaystyle \delta (x-x')=\sum _{n=0}^{\infty }\Psi _{n}^{\dagger }(x)\Psi _{n}(x').}
3440:
2490:{\displaystyle {\begin{aligned}Lu&=f\\\mathbf {D} u&=\mathbf {0} \end{aligned}}}
2312:{\displaystyle {\begin{aligned}Lu&=f\\\mathbf {D} u&=\mathbf {0} \end{aligned}}}
2222:
16277:
13183:
12019:
11599:
11595:
8260:
7764:
5433:
5413:
5232:
5212:
4983:
4760:
4734:
4499:
4436:
4399:
to each side of this equation results in the completeness relation, which was assumed.
3418:
3385:
3274:
3254:
3234:
3214:
2682:
2662:
2024:
1886:
1739:
1389:
1103:
1077:
986:
963:
405:
381:
16297:
13541:′) cannot vanish on the surface, because it must integrate to 1 on the surface.
11173:{\displaystyle \partial _{t}^{2}+2\gamma \partial _{t}-c^{2}\,\nabla _{\text{3D}}^{2}}
10721:{\displaystyle \partial _{t}^{2}+2\gamma \partial _{t}-c^{2}\,\nabla _{\text{2D}}^{2}}
1846:
17615:
17581:
17528:
17487:
17460:
17421:
17402:
17379:
17360:
17337:
17288:
17262:
17123:
17078:
13157:
5147:
4422:
3145:
While it does not uniquely fix the form the Green's function will take, performing a
1167:
998:
990:
17531:
13259:{\displaystyle \nabla \varphi (\mathbf {x} ')\cdot d{\hat {\boldsymbol {\sigma }}}'}
9770:{\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}-\nabla _{\text{2D}}^{2}+\mu ^{2}}
8800:{\displaystyle \square ={\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}-\nabla _{\text{3D}}^{2}}
17464:
17072:
17061:
15437:{\displaystyle c_{2}=-{\frac {\cos ks}{k}}\quad ;\quad c_{3}=-{\frac {\sin ks}{k}}}
14123:
The Green's function for the linear operator at hand is defined as the solution to
13293:
8715:{\displaystyle {\frac {1}{2\pi c{\sqrt {c^{2}t^{2}-\rho ^{2}}}}}\Theta (t-\rho /c)}
8410:
7757:
4414:
364:
17598:
17128:
13198:
6314:) appears in the first column, the retarded (causal) Green's function is listed.
6227:
4407:
1864:
1834:
1179:
744:
679:
17591:
1851:
The primary use of Green's functions in mathematics is to solve non-homogeneous
17603:
17435:
17376:
Elements of Green's functions and propagation: potentials, diffusion, and waves
13544:
The simplest form the normal derivative can take is that of a constant, namely
13168:
9347:{\displaystyle \left({\frac {1}{4\pi kt}}\right)^{3/2}\Theta (t)e^{-r^{2}/4kt}}
9030:{\displaystyle \left({\frac {1}{4\pi kt}}\right)^{1/2}\Theta (t)e^{-x^{2}/4kt}}
4403:
3461:
630:
26:
17399:
Handbook of Linear
Partial Differential Equations for Engineers and Scientists
12183:
for the
Laplacian. The defining property of the Green's function still holds,
10332:{\displaystyle \partial _{t}^{2}+2\gamma \partial _{t}-c^{2}\partial _{x}^{2}}
9436:{\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}-\partial _{x}^{2}+\mu ^{2}}
647:, who first developed the concept in the 1820s. In the modern study of linear
375:
defined on a domain with specified initial conditions or boundary conditions.
17638:
17285:
Physik mit
Bleistift: das analytische Handwerkszeug des Naturwissenschaftlers
17021:
13557:
is the surface area of the surface. The surface term in the solution becomes
9181:{\displaystyle \left({\frac {1}{4\pi kt}}\right)\Theta (t)e^{-\rho ^{2}/4kt}}
8875:
8725:
8556:
8081:
4413:
There are several other methods for finding Green's functions, including the
982:
675:
641:
17469:. London, UK / San Rafael, CA: IoP Science (UK) / Morgan and Claypool (US).
3251:
but also on the number and units of the space of which the position vectors
7459:{\displaystyle \nabla _{\text{2D}}^{2}=\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2}}
7029:{\displaystyle \Theta (t)e^{-\gamma t}\,{\frac {\sinh(\omega t)}{\omega }}}
4030:
3759:{\displaystyle L=\square ={\tfrac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}-\nabla ^{2}}
671:
11730:{\displaystyle \mathbf {A} =\varphi \,\nabla \psi -\psi \,\nabla \varphi }
6790:{\displaystyle \Theta (t)e^{-\gamma t}\,{\frac {\sin(\omega t)}{\omega }}}
1756:
admits a Green's function. A Green's function can also be thought of as a
1332:{\displaystyle \int LG(x,s)\,f(s)\,ds=\int \delta (x-s)\,f(s)\,ds=f(x)\,.}
17623:
16238:, and all three are elements of the real numbers. Then, for any function
4094:
511:
352:
17555:
17569:
17559:
17549:
17108:
17098:
7159:{\displaystyle \partial _{t}^{2}+2\gamma \partial _{t}+\omega _{0}^{2}}
6922:{\displaystyle \partial _{t}^{2}+2\gamma \partial _{t}+\omega _{0}^{2}}
6683:{\displaystyle \partial _{t}^{2}+2\gamma \partial _{t}+\omega _{0}^{2}}
3065:
2868:
1860:
695:
683:
1166:
In this case, Green's function is the same as the impulse response of
633:, the solution is a sum of Green's functions as well, by linearity of
17536:
15734:
13718:
With no boundary conditions, the Green's function for the
Laplacian (
12176:
11584:
9357:
9191:
9040:
3465:
1723:. For this reason, the Green's function is also sometimes called the
17575:
12753:
is specified on the bounding surface (Neumann boundary conditions).
1713:
is also known. The problem now lies in finding the Green's function
17576:
Introduction to the
Keldysh Nonequilibrium Green Function Technique
5073:{\displaystyle L=\prod _{i=1}^{N}\left(\partial _{x}-z_{i}\right),}
4688:{\displaystyle G(x,s)=\int G_{2}(x,s_{1})\,G_{1}(s_{1},s)\,ds_{1}.}
1847:
Green's functions for solving inhomogeneous boundary value problems
959:
14265:, then the delta function gives zero, and the general solution is
13292:
is on the bounding surface. Thus only one of the two terms in the
11583:
Green's functions for linear differential operators involving the
7382:{\displaystyle \left(x-s\right)\Theta (x-s)+x\alpha (s)+\beta (s)}
651:, Green's functions are studied largely from the point of view of
13201:
663:
16:
Impulse response of an inhomogeneous linear differential operator
16744:{\displaystyle G(x,s)={\frac {(x-s)^{n-1}}{(n-1)!}}\Theta (x-s)}
14499:{\displaystyle G(0,s)=c_{1}\cdot 1+c_{2}\cdot 0=0,\quad c_{1}=0}
8616:{\displaystyle \partial _{t}^{2}-c^{2}\,\nabla _{\text{2D}}^{2}}
17357:
Handbook of Exact
Solutions for Ordinary Differential Equations
3124:
17359:(2nd ed.). Boca Raton, FL: Chapman & Hall/CRC Press.
15285:{\displaystyle c_{3}\cdot (-k\sin ks)-c_{2}\cdot (k\cos ks)=1}
17526:
7084:{\displaystyle \omega ={\sqrt {\gamma ^{2}-\omega _{0}^{2}}}}
6845:{\displaystyle \omega ={\sqrt {\omega _{0}^{2}-\gamma ^{2}}}}
195:
is linear, then one can superpose them to build the solution
17256:
16012:
16003:
15595:
14935:
2621:
is a Green's function satisfying the following conditions:
1489:{\displaystyle L\left(\int G(x,s)\,f(s)\,ds\right)=f(x)\,.}
4980:, guarantees that the polynomial can be factored, putting
4730:
to be the representation of the right operator inverse of
3055:
17466:
Infinite-Space Dyadic Green Functions in Electromagnetism
13973:
Find the Green function for the following problem, whose
12731:
everywhere inside a volume where either (1) the value of
2579:{\displaystyle u(x)=\int _{0}^{\ell }f(s)\,G(x,s)\,ds\,,}
1666:. This process relies upon the linearity of the operator
13720:
Green's function for the three-variable Laplace equation
9239:{\displaystyle \partial _{t}-k\,\nabla _{\text{3D}}^{2}}
9088:{\displaystyle \partial _{t}-k\,\nabla _{\text{2D}}^{2}}
8477:{\displaystyle \partial _{t}^{2}-c^{2}\partial _{x}^{2}}
3071:
find one Green's function that is nonvanishing only for
997:
is a key concept with important links to the concept of
17075:– the analog of a Green's function in signal processing
16856:
15640:
14657:
14615:
14546:
14078:
12720:
boundary conditions. In other words, we can solve for
11578:
6560:{\displaystyle \left(\partial _{t}+\gamma \right)^{2}}
6276:
6236:
6196:
6163:
6112:
6047:
3710:
2050:
1709:
is known, this integration cannot be performed unless
288:
201:
163:
76:
36:
17207:
17164:
17030:
16998:
16951:
16913:
16827:
16792:
16757:
16647:
16332:
16300:
16280:
16244:
16212:
15818:
15765:
15452:
15354:
15327:
15300:
15201:
15181:
15149:
15117:
15045:
15019:
14988:
14960:
14810:
14766:
14647:
14607:
14581:
14538:
14512:
14413:
14387:
14361:
14271:
14245:
14134:
13983:
13859:
13830:
13728:
13687:
13563:
13303:
13210:
12883:
12773:
12341:
12311:
12189:
12028:
11774:
11746:
11695:
11608:
11513:
11187:
11106:
11037:
10735:
10654:
10586:
10346:
10266:
10197:
10048:
10014:
9945:
9784:
9703:
9634:
9450:
9369:
9253:
9203:
9102:
9052:
8936:
8887:
8814:
8740:
8630:
8568:
8491:
8430:
8285:
8263:
8223:
8123:
8094:
8038:
7996:
7818:
7772:
7698:
7660:
7573:
7514:
7473:
7404:
7308:
7261:
7206:
7172:
7103:
7042:
6969:
6935:
6866:
6803:
6730:
6696:
6627:
6574:
6523:
6473:
6439:
6383:
6344:
6011:
5538:
5456:
5436:
5416:
5255:
5235:
5215:
5156:
5114:
5086:
5006:
4986:
4956:
4901:
4863:
4786:
4763:
4737:
4701:
4578:
4550:
4522:
4502:
4459:
4439:
4376:
4289:
4240:
4120:
3778:
3696:
3515:
3477:
3443:
3421:
3388:
3297:
3277:
3257:
3237:
3217:
3155:
3103:
3077:
2999:
2881:
2822:
2790:
2741:
2709:
2685:
2665:
2630:
2592:
2503:
2438:
2409:
2365:
2325:
2260:
2225:
2191:
2033:
2007:
1955:
1921:
1913:
1907:
operator, a linear differential operator of the form
1889:
1794:
1742:
1596:
1507:
1412:
1392:
1345:
1221:
1112:
1080:
1010:
886:
793:
753:
593:
561:
521:
487:
460:
429:
408:
384:
70:
to a differential equation subject to a point source
16294:-th derivative that is integrable over the interval
15294:
The two (dis)continuity equations can be solved for
11500:{\displaystyle {\frac {e^{-\gamma t}}{20\pi }}\left}
8865:{\displaystyle {\frac {\delta (t-{r}/{c})}{4\pi r}}}
17458:
17392:
Textbook on Green's function with worked-out steps.
12018:Plugging this into the divergence theorem produces
11024:{\displaystyle {\frac {e^{-\gamma t}}{4\pi }}\left}
4695:The above identity follows immediately from taking
981:Green's functions are also useful tools in solving
629:, and realizing that, since the source is a sum of
17228:
17185:
17152:In technical jargon "regular" means that only the
17042:
17020:Also, compare the above equation to the form of a
17010:
16983:
16937:
16899:
16842:
16813:
16778:
16743:
16633:
16318:
16286:
16266:
16230:
16196:
15658:
15601:
15436:
15340:
15313:
15284:
15187:
15167:
15135:
15095:
15031:
15001:
14973:
14941:
14793:
14750:
14633:
14593:
14564:
14524:
14498:
14399:
14373:
14345:
14257:
14216:{\displaystyle G''(x,s)+k^{2}G(x,s)=\delta (x-s).}
14215:
14110:
13951:
13810:
13706:
13673:
13521:
13258:
13146:
12854:
12664:
12323:
12295:
12161:
12008:
11760:
11729:
11679:
11559:
11499:
11172:
11083:
11023:
10720:
10632:
10572:
10331:
10243:
10183:
10033:
9991:
9931:
9769:
9680:
9620:
9435:
9346:
9238:
9180:
9087:
9029:
8921:
8864:
8799:
8714:
8615:
8545:
8476:
8400:
8269:
8249:
8204:
8108:
8062:
8020:
7982:
7803:
7747:
7684:
7645:
7550:
7500:
7458:
7381:
7293:
7240:
7191:
7158:
7083:
7028:
6954:
6921:
6844:
6789:
6715:
6682:
6608:
6559:
6504:
6458:
6420:
6368:
6298:
6258:
6218:
6178:
6148:
6096:
6024:
5997:
5524:
5442:
5422:
5406:The fraction can then be split into a sum using a
5398:
5241:
5221:
5201:
5136:
5099:
5072:
4992:
4969:
4936:
4882:
4846:
4769:
4743:
4722:
4687:
4563:
4535:
4516:can be constructed from the Green's functions for
4508:
4488:
4445:
4382:
4359:
4221:
4005:
3758:
3681:
3501:
3452:
3427:
3406:
3374:
3283:
3263:
3243:
3223:
3203:
3115:
3089:
3042:
2978:{\displaystyle G'(s_{0+},s)-G'(s_{0-},s)=1/p(s)\,}
2977:
2856:
2803:
2771:
2722:
2691:
2671:
2651:
2613:
2578:
2489:
2424:
2386:
2346:
2311:
2244:
2206:
2175:
2015:
1993:
1895:
1815:
1748:
1633:
1566:
1488:
1398:
1366:
1331:
1158:
1086:
1059:
924:
843:
768:
615:
576:
533:
502:
466:
444:
414:
390:
339:
274:
187:
149:
62:
16751:, is not unique. How is the equation modified if
14346:{\displaystyle G(x,s)=c_{1}\cos kx+c_{2}\sin kx.}
1102:, then the Green's function can be taken to be a
17636:
17441:. Mathematics Series. Wadsworth and Brooks/Cole.
17401:. Boca Raton, FL: Chapman & Hall/CRC Press.
17287:(4. Aufl ed.). Frankfurt am Main: Deutsch.
11084:{\displaystyle u={\sqrt {c^{2}t^{2}-\rho ^{2}}}}
10573:{\displaystyle {\frac {1}{2}}e^{-\gamma t}\left}
9992:{\displaystyle u={\sqrt {c^{2}t^{2}-\rho ^{2}}}}
8922:{\displaystyle \partial _{t}-k\partial _{x}^{2}}
1692:, can be determined by the integration given in
17354:
17325:Mathematical Methods in Science and Engineering
15013:Ensuring continuity in the Green's function at
13266:as the normal component of the electric field.
13156:This form expresses the well-known property of
12674:Using this expression, it is possible to solve
11768:and apply the product rule for the ∇ operator,
8546:{\displaystyle {\frac {1}{2c}}\Theta (t-|x/c|)}
2857:{\displaystyle \mathbf {D} G(x,s)=\mathbf {0} }
150:{\textstyle {\hat {L}}(x)G(x,x')=\delta (x-x')}
16267:{\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }
12171:Suppose that the linear differential operator
11587:may be readily put to use using the second of
4428:
3291:are elements. This leads to the relationship:
1660:and the source term on the right-hand side in
640:Green's functions are named after the British
17415:
7804:{\displaystyle \nabla _{\text{3D}}^{2}+k^{2}}
7748:{\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}
6421:{\displaystyle {\frac {t^{n}}{n!}}\Theta (t)}
6035:
1859:, Green's functions are also usually used as
1654:through knowledge of the Green's function in
16641:The Green's function in the above equation,
13707:{\displaystyle \langle \varphi \rangle _{S}}
13695:
13688:
13662:
13655:
11560:{\displaystyle u={\sqrt {c^{2}t^{2}-r^{2}}}}
10633:{\displaystyle u={\sqrt {c^{2}t^{2}-x^{2}}}}
10244:{\displaystyle u={\sqrt {c^{2}t^{2}-r^{2}}}}
9681:{\displaystyle u={\sqrt {c^{2}t^{2}-x^{2}}}}
8072:spherical Hankel function of the second kind
3135:
1994:{\displaystyle L={\dfrac {d}{dx}}\left+q(x)}
1825:and a superposition of the solution on each
7551:{\displaystyle \rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}
7501:{\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\ln \rho }
6308:modified Bessel function of the second kind
5532:then one form for its Green's function is:
4100:"Complete" means that the set of functions
3130:inhomogeneous electromagnetic wave equation
17546:Green's function for differential operator
17484:Handbook of Green's functions and matrices
17420:(2nd ed.). New York: W. A. Benjamin.
12179:, ∇, and that there is a Green's function
11981:
11977:
11933:
11929:
11901:
11897:
11879:
11875:
11822:
11818:
11594:To derive Green's theorem, begin with the
6268:modified Bessel function of the first kind
6097:{\textstyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}
2319:is "regular", i.e., the only solution for
1829:. Such an integral equation is known as a
1775:This can be thought of as an expansion of
1567:{\displaystyle u(x)=\int G(x,s)\,f(s)\,ds}
481:the solution of the initial-value problem
16627:
16260:
16252:
16181:
15446:So Green's function for this problem is:
15096:{\displaystyle c_{2}\sin ks=c_{3}\cos ks}
14565:{\displaystyle s\neq {\tfrac {\pi }{2k}}}
13945:
13924:
13593:
13515:
13488:
13427:
13085:
13019:
12961:
12941:
12831:
12803:
12601:
12533:
12451:
12433:
12129:
12113:
12067:
12047:
11985:
11963:
11883:
11826:
11811:
11761:{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} }
11720:
11707:
11673:
11630:
11154:
10702:
9220:
9069:
8597:
8109:{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} }
7946:
7250:1D critically damped harmonic oscillator
6998:
6759:
5974:
4668:
4635:
3039:
2974:
2800:
2719:
2572:
2565:
2546:
2241:
2169:
1627:
1557:
1544:
1482:
1455:
1442:
1325:
1303:
1290:
1259:
1246:
1152:
1053:
970:. Also, Green's functions in general are
918:
890:
844:{\displaystyle L\,G(x,s)=\delta (s-x)\,,}
837:
797:
756:
260:
17416:Mathews, Jon; Walker, Robert L. (1970).
17396:
17261:. Taylor and Francis. pp. 101–148.
15709:and let the subset be the quarter-plane
7241:{\displaystyle \Theta (t)e^{-\gamma t}t}
6609:{\displaystyle \Theta (t)te^{-\gamma t}}
6149:{\textstyle \rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}
4847:{\displaystyle C=(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}}
4406:formed by the eigenvectors, is known as
4015:
1374:is linear and acts only on the variable
398:is a linear differential operator, then
275:{\textstyle u(x)=\int f(x')G(x,x')\,dx'}
25:
17481:
17307:
17259:Heat Conduction Using Green's Functions
16900:{\textstyle {\frac {d^{n}g}{dx^{n}}}=0}
13639:
13359:
13243:
13128:
12646:
12147:
11664:
10184:{\displaystyle {\frac {1}{4\pi }}\left}
9932:{\displaystyle {\frac {1}{4\pi }}\left}
7294:{\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}}
6505:{\displaystyle \Theta (t)e^{-\gamma t}}
3056:Advanced and retarded Green's functions
1060:{\displaystyle LG(x,s)=\delta (x-s)\,.}
17637:
17616:"George Green & Green's Functions"
17450:. Nottingham, England: T. Wheelhouse.
17373:
17355:Polyanin, A.D.; Zaitsev, V.F. (2003).
17282:
15759:. Then the X10Y20 Green's function is
6955:{\displaystyle \gamma >\omega _{0}}
6716:{\displaystyle \gamma <\omega _{0}}
4937:{\displaystyle L=P_{N}(\partial _{x})}
4856:is represented by its matrix elements
3414:is defined as, "the physical units of
701:
17609:MIT video lecture on Green's function
17566:Green functions and conformal mapping
17527:
17445:
17439:Fourier Analysis and its Applications
17331:
17322:
14634:{\displaystyle x={\tfrac {\pi }{2k}}}
12767:inside the region. Then the integral
6459:{\displaystyle \partial _{t}+\gamma }
3204:{\displaystyle LG(x,s)=\delta (x-s),}
1406:outside of the integration, yielding
1211:, and then integrate with respect to
1184:Loosely speaking, if such a function
552:linear ordinary differential equation
17336:. New York, NY: Dover Publications.
17312:. John Wiley & Sons. p. 39.
17089:Green's function in many-body theory
14125:
12873:due to the defining property of the
12756:Suppose the problem is to solve for
7685:{\displaystyle -{\frac {1}{4\pi r}}}
6032:is the operator in the polynomial).
5410:before Fourier transforming back to
5202:{\displaystyle LG(x,s)=\delta (x-s)}
3509:and time is the only variable then:
1498:
877:
784:
17434:
17334:The Classical Electromagnetic Field
15611:
14804:To summarize the results thus far:
11579:Green's functions for the Laplacian
9621:{\displaystyle {\frac {1}{2}}\left}
7192:{\displaystyle \gamma =\omega _{0}}
6369:{\displaystyle \partial _{t}^{n+1}}
3772:, and space has 3 dimensions then:
3502:{\displaystyle L=\partial _{t}^{2}}
3062:Green's function (many-body theory)
2403:There is one and only one solution
1168:linear time-invariant system theory
340:{\textstyle {\hat {L}}(x)u(x)=f(x)}
13:
17613:
17308:Jackson, John David (1998-08-14).
16723:
16543:
13595:
13386:
13315:
13211:
13087:
13021:
12604:
12536:
12437:
12224:
12126:
12114:
12069:
12049:
11987:
11965:
11938:
11920:
11905:
11885:
11866:
11851:
11827:
11812:
11797:
11779:
11747:
11721:
11708:
11619:
11351:
11156:
11132:
11108:
10846:
10704:
10680:
10656:
10426:
10315:
10292:
10268:
10118:
9885:
9740:
9722:
9560:
9406:
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9298:
9222:
9205:
9132:
9071:
9054:
8981:
8905:
8889:
8783:
8765:
8686:
8599:
8570:
8507:
8460:
8432:
8225:
8095:
8030:Hankel function of the second kind
7774:
7629:
7611:
7593:
7575:
7442:
7424:
7406:
7328:
7207:
7129:
7105:
7093:1D overdamped harmonic oscillator
6970:
6892:
6868:
6855:1D underdamped harmonic oscillator
6731:
6653:
6629:
6575:
6531:
6474:
6441:
6406:
6346:
6164:
6013:
5914:
5828:
5750:
5683:
5601:
5496:
5469:
5040:
4958:
4922:
4317:
4293:
4283:
4193:
4169:
4163:
3747:
3729:
3485:
1643:Thus, one may obtain the function
14:
17676:
17502:
13529:meaning the normal derivative of
10034:{\displaystyle \square +\mu ^{2}}
8250:{\displaystyle \nabla ^{2}-k^{2}}
8021:{\displaystyle H_{\alpha }^{(2)}}
2254:Further suppose that the problem
1833:, the study of which constitutes
15168:{\displaystyle x=s+\varepsilon }
15136:{\displaystyle x=s-\varepsilon }
14801:is skipped for similar reasons.
13937:
13907:
13898:
13870:
13838:
13789:
13780:
13745:
13736:
13618:
13609:
13582:
13501:
13477:
13468:
13440:
13416:
13407:
13338:
13329:
13222:
13102:
13074:
13065:
13044:
13035:
13008:
12974:
12950:
12930:
12921:
12891:
12844:
12820:
12811:
12792:
12620:
12590:
12581:
12560:
12551:
12522:
12488:
12460:
12422:
12413:
12392:
12383:
12365:
12331:in Green's second identity, see
12279:
12270:
12249:
12240:
12209:
12200:
11786:
11754:
11737:and substitute into Gauss' law.
11697:
11651:
11626:
8179:
8170:
8152:
8143:
8102:
4390:represents complex conjugation.
3231:depend not only on the units of
2850:
2824:
2479:
2464:
2301:
2286:
2035:
2009:
1675:In other words, the solution of
1159:{\displaystyle G(x,s)=G(x-s)\,.}
769:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
422:is the solution of the equation
17418:Mathematical methods of physics
15396:
15392:
14731:
14479:
14069:
3375:{\displaystyle ]=]^{-1}]^{-1},}
3043:{\displaystyle G(x,s)=G(s,x)\,}
1382:on the variable of integration
925:{\displaystyle L\,u(x)=f(x)\,.}
690:, to refer to various types of
17301:
17275:
17250:
17217:
17211:
17174:
17168:
17146:
16961:
16955:
16932:
16920:
16837:
16831:
16808:
16796:
16773:
16761:
16738:
16726:
16714:
16702:
16685:
16672:
16663:
16651:
16558:
16546:
16534:
16522:
16505:
16492:
16391:
16378:
16342:
16336:
16313:
16301:
16256:
15811:
15773:
15468:
15456:
15273:
15255:
15236:
15215:
14954:The next task is to determine
14826:
14814:
14782:
14770:
14429:
14417:
14287:
14275:
14207:
14195:
14186:
14174:
14155:
14143:
14053:
14047:
14037:
14031:
13878:
13865:
13842:
13834:
13753:
13732:
13642:
13626:
13605:
13590:
13577:
13485:
13464:
13424:
13403:
13362:
13346:
13325:
13246:
13230:
13217:
13131:
13110:
13097:
13082:
13061:
13052:
13031:
13016:
13003:
12958:
12945:
12938:
12917:
12895:
12887:
12828:
12807:
12800:
12787:
12649:
12628:
12615:
12598:
12577:
12568:
12547:
12530:
12517:
12468:
12455:
12430:
12409:
12400:
12379:
12373:
12360:
12287:
12266:
12257:
12236:
12217:
12196:
12150:
11926:
11917:
11911:
11902:
11872:
11863:
11857:
11848:
11667:
11369:
11354:
11315:
11300:
10864:
10849:
10834:
10819:
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10450:
10442:
10429:
10420:
10405:
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10381:
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10121:
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9912:
9903:
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9863:
9848:
9834:
9822:
9610:
9601:
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9576:
9563:
9546:
9531:
9522:
9507:
9307:
9301:
9141:
9135:
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8984:
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8536:
8520:
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7370:
7361:
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7210:
7017:
7008:
6979:
6973:
6778:
6769:
6740:
6734:
6584:
6578:
6483:
6477:
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6293:
6287:
6253:
6247:
6213:
6207:
6173:
6167:
5969:
5950:
5936:
5917:
5909:
5890:
5850:
5831:
5810:
5798:
5765:
5753:
5724:
5712:
5698:
5686:
5642:
5630:
5616:
5604:
5558:
5546:
5408:partial fraction decomposition
5387:
5358:
5332:
5306:
5294:
5268:
5196:
5184:
5175:
5163:
5131:
5125:
4950:, combined with the fact that
4948:fundamental theorem of algebra
4931:
4918:
4803:
4793:
4717:
4705:
4665:
4646:
4632:
4613:
4594:
4582:
4337:
4326:
4313:
4307:
4261:
4244:
4213:
4202:
4189:
4183:
4141:
4124:
3984:
3980:
3972:
3969:
3957:
3953:
3945:
3942:
3932:
3929:
3923:
3920:
3896:
3892:
3884:
3881:
3878:
3875:
3867:
3864:
3854:
3851:
3842:
3839:
3820:
3816:
3808:
3805:
3795:
3792:
3786:
3783:
3669:
3666:
3658:
3655:
3645:
3642:
3636:
3633:
3615:
3612:
3604:
3601:
3591:
3588:
3579:
3576:
3557:
3553:
3545:
3542:
3532:
3529:
3523:
3520:
3401:
3398:
3392:
3389:
3357:
3353:
3344:
3341:
3329:
3325:
3319:
3316:
3310:
3307:
3301:
3298:
3195:
3183:
3174:
3162:
3036:
3024:
3015:
3003:
2971:
2965:
2948:
2926:
2912:
2890:
2843:
2831:
2760:
2748:
2646:
2634:
2608:
2596:
2562:
2550:
2543:
2537:
2513:
2507:
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2413:
2375:
2369:
2335:
2329:
2238:
2226:
2201:
2195:
2158:
2152:
2133:
2127:
2102:
2096:
2077:
2071:
1988:
1982:
1951:
1945:
1871:is often further used for any
1810:
1798:
1624:
1618:
1609:
1603:
1590:is a solution to the equation
1554:
1548:
1541:
1529:
1517:
1511:
1479:
1473:
1452:
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1355:
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1256:
1250:
1243:
1231:
1188:can be found for the operator
1149:
1137:
1128:
1116:
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1029:
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909:
900:
894:
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822:
813:
801:
649:partial differential equations
616:{\displaystyle LG=\delta _{s}}
334:
328:
319:
313:
307:
301:
295:
257:
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234:
223:
211:
205:
182:
176:
170:
157:and the differential operator
144:
127:
118:
101:
95:
89:
83:
57:
40:
1:
17587:Tutorial on Green's functions
17243:
17069:– defined on graphs and grids
15624:and let the subset be all of
4970:{\displaystyle \partial _{x}}
4496:then the Green's function of
4433:If the differential operator
3128:analysis of solutions of the
1634:{\displaystyle Lu(x)=f(x)\,.}
1386:), one may take the operator
1173:
17327:. Wiley. Chapters 18 and 19.
17140:
15739:Dirichlet boundary condition
15659:{\textstyle {\frac {d}{dx}}}
15188:{\displaystyle \varepsilon }
14601:, the boundary condition at
14381:, the boundary condition at
13204:, and the normal derivative
11571:relativistic heat conduction
11095:relativistic heat conduction
4489:{\displaystyle L=L_{1}L_{2}}
2016:{\displaystyle \mathbf {D} }
1878:
1816:{\displaystyle \delta (x-s)}
1200:for the Green's function by
7:
17515:Encyclopedia of Mathematics
17134:Multiscale Green's function
17054:
16231:{\displaystyle a<x<b}
15107:
14229:
8063:{\displaystyle h_{0}^{(2)}}
6025:{\displaystyle \nabla ^{2}}
4429:Combining Green's functions
4231:Then the following holds,
1768:
1727:associated to the operator
1719:
1694:
1677:
1662:
1656:
1580:
1196:
1194:, then, if we multiply the
938:
857:
662:, the term is also used in
10:
17681:
17486:. Southampton: WIT Press.
17114:Volterra integral equation
17067:Discrete Green's functions
15750:Neumann boundary condition
13968:
13961:
6036:Table of Green's functions
4755:invertible linear operator
4046:(i.e., a set of functions
3059:
2398:
1842:Volterra integral equation
1839:
1831:Fredholm integral equation
1177:
993:, Green's function of the
445:{\displaystyle LG=\delta }
188:{\textstyle {\hat {L}}(x)}
30:If one knows the solution
18:
17310:Classical Electrodynamics
17281:some examples taken from
16984:{\displaystyle g(x)=-x/2}
15684:is a Green's function of
8419:Screened Poisson equation
4753:analogous to how for the
3136:Finding Green's functions
2804:{\displaystyle s\neq 0\,}
2772:{\displaystyle LG(x,s)=0}
2723:{\displaystyle x\neq s\,}
17628:University of Nottingham
17582:Green's Function Library
17374:Barton, Gabriel (1989).
17283:Schulz, Hermann (2001).
15175:and taking the limit as
14794:{\displaystyle G(0,s)=0}
6299:{\textstyle K_{\nu }(z)}
6259:{\textstyle I_{\nu }(z)}
6219:{\textstyle J_{\nu }(z)}
5137:{\displaystyle P_{N}(z)}
4383:{\displaystyle \dagger }
4110:satisfies the following
3211:shows that the units of
3140:
688:statistical field theory
17482:Şeremet, V. D. (2003).
17397:Polyanin, A.D. (2002).
17332:Eyges, Leonard (1972).
15668:Heaviside step function
14258:{\displaystyle x\neq s}
13975:Green's function number
12324:{\displaystyle \psi =G}
6334:Example of application
6188:Heaviside step function
6179:{\textstyle \Theta (t)}
4883:{\displaystyle C_{i,j}}
4419:separation of variables
3116:{\displaystyle s\geq x}
3090:{\displaystyle s\leq x}
1853:boundary value problems
968:Green's function number
548:superposition principle
534:{\displaystyle G\ast f}
467:{\displaystyle \delta }
17665:Schwartz distributions
17645:Differential equations
17230:
17229:{\displaystyle f(x)=0}
17187:
17186:{\displaystyle u(x)=0}
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17012:
16985:
16939:
16901:
16844:
16815:
16814:{\displaystyle G(x,s)}
16780:
16779:{\displaystyle g(x-s)}
16745:
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16374:
16320:
16288:
16268:
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16198:
15660:
15603:
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15342:
15315:
15286:
15189:
15169:
15137:
15097:
15033:
15003:
14975:
14943:
14795:
14752:
14635:
14595:
14594:{\displaystyle x>s}
14566:
14526:
14525:{\displaystyle x<s}
14500:
14401:
14375:
14374:{\displaystyle x<s}
14347:
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14112:
13953:
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13675:
13523:
13260:
13182:is interpreted as the
13148:
12856:
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10643:telegrapher's equation
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4393:Applying the operator
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476:Dirac's delta function
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64:
17650:Generalized functions
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14218:
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13962:Further information:
13954:
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13676:
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13284:vanishes when either
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10246:
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10003:Klein–Gordon equation
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9934:
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9683:
9623:
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5209:with respect to both
5204:
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5075:
5013:
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4511:
4491:
4448:
4385:
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4147:
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2023:be the vector-valued
2018:
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1818:
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1339:Because the operator
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618:
579:
536:
505:
469:
447:
417:
402:the Green's function
393:
373:differential operator
342:
282:for a general source
277:
190:
152:
65:
29:
17660:Mathematical physics
17655:Equations of physics
17323:Bayin, S.S. (2006).
17205:
17162:
17094:Correlation function
17084:Fundamental solution
17028:
16996:
16949:
16911:
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3147:dimensional analysis
3101:
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