3344:
131:
3243:. Next, each 1 (activated) point in the binary image of the template is treated as a point in a set, the "shape" of the template. Similarly, an area of the binary target image is treated as a set of points. The algorithm then tries to minimize the Hausdorff distance between the template and some area of the target image. The area in the target image with the minimal Hausdorff distance to the template, can be considered the best candidate for locating the template in the target. In
1327:
987:
61:
Informally, two sets are close in the
Hausdorff distance if every point of either set is close to some point of the other set. The Hausdorff distance is the longest distance someone can be forced to travel by an adversary who chooses a point in one of the two sets, from where they then must travel to
980:
1322:{\displaystyle {\begin{aligned}d_{H}(X,Y)&=\sup _{w\in M}\left|\inf _{x\in X}d(w,x)-\inf _{y\in Y}d(w,y)\right|\\&=\sup _{w\in X\cup Y}\left|\inf _{x\in X}d(w,x)-\inf _{y\in Y}d(w,y)\right|\\&=\sup _{w\in M}|d(w,X)-d(w,Y)|,\end{aligned}}}
413:
2962:
710:
1597:
3703:
Bîrsan, Temistocle; Tiba, Dan (2006), "One hundred years since the introduction of the set distance by
Dimitrie Pompeiu", in Ceragioli, Francesca; Dontchev, Asen; Futura, Hitoshi; Marti, Kurt; Pandolfi, Luciano (eds.),
879:
3219:
1806:
2055:
2015:
1726:
2765:
2645:
992:
1529:
279:
1399:
535:
3550:
3096:
1862:
2242:
2190:
2134:
459:
435:
120:
1895:
624:
3614:
3582:
1946:
1622:
1479:
814:
770:
730:
587:
619:
3338:
232:
206:
2532:
1972:
561:
3350:
176:
2081:
3292:
3272:
1642:
1439:
1419:
874:
854:
834:
790:
750:
272:
252:
2776:
1537:
3247:
the
Hausdorff distance is used to measure the difference between two different representations of the same 3D object particularly when generating
3235:, the Hausdorff distance can be used to find a given template in an arbitrary target image. The template and image are often pre-processed via an
3925:
A short tutorial on how to compute and visualize the
Hausdorff distance between two triangulated 3D surfaces using the open source tool
62:
the other set. In other words, it is the greatest of all the distances from a point in one set to the closest point in the other set.
3125:
1737:
975:{\displaystyle d_{H}(X,Y):=\inf\{\varepsilon \geq 0\mid X\subseteq Y_{\varepsilon }{\text{ and }}Y\subseteq X_{\varepsilon }\}.}
3809:
2020:
1980:
1650:
3727:
3248:
2687:
2567:
3922:
1484:
3853:
3768:
3687:
3709:
3479:
2499:
The definition of the
Hausdorff distance can be derived by a series of natural extensions of the distance function
1332:
468:
3493:
3068:
3933:
1814:
3916:
2197:
2151:
2095:
408:{\displaystyle d_{\mathrm {H} }(X,Y):=\max \left\{\,\sup _{x\in X}d(x,Y),\ \sup _{y\in Y}d(X,y)\,\right\},}
444:
420:
78:
67:
3845:
1867:
72:
3587:
3555:
1900:
3947:
3883:
1605:
1452:
799:
755:
715:
566:
3869:
Cignoni, P.; Rocchini, C.; Scopigno, R. (1998). "Metro: Measuring Error on
Simplified Surfaces".
595:
3301:
211:
185:
3878:
3671:
3634:
3754:
2439:
71:, first published in 1914, although a very close relative appeared in the doctoral thesis of
2502:
1951:
540:
3737:
149:
2957:{\textstyle d(\{1,7\},\{3,6\})=\sup\{d(1,\{3,6\}),d(7,\{3,6\})\}=\sup\{d(1,3),d(7,6)\}=2.}
705:{\displaystyle X_{\varepsilon }:=\bigcup _{x\in X}\{z\in M\mid d(z,x)\leq \varepsilon \},}
8:
3629:
3005:
2060:
3644:
2666:
Define a (not-necessarily-symmetric) "distance" function between any two non-empty sets
3896:
3277:
3257:
2406:
1627:
1592:{\displaystyle X\subseteq Y_{\varepsilon }\ {\mbox{and}}\ Y\subseteq X_{\varepsilon }.}
1424:
1404:
859:
839:
819:
793:
775:
735:
257:
237:
3952:
3849:
3764:
3723:
3683:
3244:
2469:
3900:
3820:
3888:
3837:
3713:
55:
3343:
50:
subsets of a metric space into a metric space in its own right. It is named after
3733:
3419:
3232:
51:
134:
Components of the calculation of the
Hausdorff distance between the green curve
3675:
3639:
3236:
3941:
3760:
3750:
3649:
3366:
3352:
47:
44:
3892:
3718:
130:
3240:
179:
40:
3795:
3783:
2145:
20:
3295:
3457:
438:
3926:
462:
75:
in 1906, in his study of the space of all continuous curves from
3482:
is a related idea: measuring the distance of two metric spaces
36:
3214:{\displaystyle d_{\mathrm {H} }(X,Y)=\max\{d(X,Y),d(Y,X)\}\,.}
3810:"Completeness and total boundedness of the Hausdorff metric"
1602:
For instance, consider the metric space of the real numbers
65:
This distance was first introduced by
Hausdorff in his book
3395:
A measure for the dissimilarity of two shapes is given by
1801:{\displaystyle X:=(0,1]\quad {\mbox{and}}\quad Y:=[-1,0).}
2050:{\displaystyle Y\subseteq {\overline {X_{\varepsilon }}}}
2010:{\displaystyle X\subseteq {\overline {Y_{\varepsilon }}}}
3923:
Using MeshLab to measure difference between two surfaces
1721:{\displaystyle d(x,y):=|y-x|,\quad x,y\in \mathbb {R} .}
3868:
2371:
has a non-empty interior, then there exists a constant
2779:
1764:
1561:
3590:
3558:
3496:
3467:
to itself. This distance measures how far the shapes
3304:
3280:
3260:
3128:
3071:
2690:
2570:
2505:
2200:
2154:
2098:
2063:
2023:
1983:
1954:
1903:
1870:
1817:
1740:
1653:
1630:
1608:
1540:
1487:
1455:
1427:
1407:
1335:
990:
882:
862:
842:
822:
802:
778:
758:
738:
718:
627:
598:
592:
An equivalent definition is as follows. For each set
569:
543:
471:
447:
423:
282:
260:
240:
214:
188:
152:
81:
2760:{\displaystyle d(X,Y)=\sup\{d(x,Y)\mid x\in X\}.\ }
2640:{\displaystyle d(x,Y)=\inf\{d(x,y)\mid y\in Y\}.\ }
3608:
3576:
3544:
3332:
3294:is the land-surface of Earth, then by finding the
3286:
3266:
3213:
3112:. However, we can create a metric by defining the
3090:
2956:
2759:
2639:
2526:
2236:
2184:
2128:
2075:
2049:
2009:
1966:
1940:
1889:
1856:
1800:
1720:
1636:
1616:
1591:
1524:{\displaystyle d_{\mathrm {H} }(X,Y)=\varepsilon }
1523:
1473:
1433:
1413:
1393:
1321:
974:
868:
848:
828:
808:
784:
764:
744:
724:
704:
613:
581:
555:
529:
453:
429:
407:
266:
246:
226:
200:
170:
114:
3939:
3159:
2900:
2825:
2712:
2592:
1358:
1248:
1199:
1162:
1135:
1086:
1049:
1028:
911:
494:
363:
323:
313:
3670:
2542:Define a distance function between any point
3251:for efficient display of complex 3D models.
3204:
3162:
2945:
2903:
2894:
2888:
2876:
2855:
2843:
2828:
2816:
2804:
2798:
2786:
2748:
2715:
2628:
2595:
1394:{\displaystyle d(w,X):=\inf _{x\in X}d(w,x)}
966:
914:
696:
657:
530:{\displaystyle d(a,B):=\inf _{b\in B}d(a,b)}
3545:{\displaystyle d_{\mathrm {H} }(I(M),J(N))}
3917:Hausdorff distance between convex polygons
3702:
3091:{\displaystyle X\subseteq {\overline {Y}}}
3882:
3807:
3717:
3414:be two compact figures in a metric space
3207:
1857:{\displaystyle d_{\mathrm {H} }(X,Y)=1\ }
1711:
1610:
396:
321:
102:
43:are from each other. It turns the set of
16:Distance between two metric-space subsets
3836:
3817:MIT Undergraduate Journal of Mathematics
3342:
1401:is the smallest distance from the point
836:). Then, the Hausdorff distance between
129:
3749:
3008:property from the distance function in
2375: > 0, such that every set
2237:{\displaystyle d_{\mathrm {H} }(X,Y)=0}
3940:
3666:
3664:
2420:) of all non-empty compact subsets of
712:which is the set of all points within
2185:{\displaystyle d_{\mathrm {H} }(X,Y)}
2129:{\displaystyle d_{\mathrm {H} }(X,Y)}
1449:It is not true for arbitrary subsets
537:quantifies the distance from a point
182:. For each pair of non-empty subsets
3932:MATLAB code for Hausdorff distance:
2326:) is the distance between the point
2057: ; in particular it is true if
454:{\displaystyle \operatorname {inf} }
430:{\displaystyle \operatorname {sup} }
115:{\displaystyle \to \mathbb {R} ^{3}}
3796:Hausdorff Distance and Intersection
3661:
3390:
3347:Oceanic pole of inaccessibility at
13:
3503:
3135:
2480:) depends only on the topology of
2207:
2161:
2105:
1824:
1494:
289:
14:
3964:
3910:
3397:Hausdorff distance up to isometry
2330:and the closest point in the set
1890:{\displaystyle X\nsubseteq Y_{1}}
234:, the Hausdorff distance between
3706:System Modeling and Optimization
3682:. Springer-Verlag. p. 117.
3784:Diameter and Hausdorff Distance
3552:among all isometric embeddings
3378:Oceanic Pole of Inaccessibility
3226:
3040:) is not always symmetric, and
2534:in the underlying metric space
1770:
1762:
1697:
1644:induced by the absolute value,
3862:
3830:
3801:
3789:
3777:
3743:
3696:
3616:into some common metric space
3609:{\displaystyle J\colon N\to L}
3600:
3577:{\displaystyle I\colon M\to L}
3568:
3539:
3536:
3530:
3521:
3515:
3509:
3327:
3315:
3201:
3189:
3180:
3168:
3153:
3141:
2942:
2930:
2921:
2909:
2891:
2867:
2858:
2834:
2819:
2783:
2733:
2721:
2706:
2694:
2613:
2601:
2586:
2574:
2521:
2509:
2379:whose Hausdorff distance from
2225:
2213:
2179:
2167:
2123:
2111:
1941:{\displaystyle Y_{1}=[-2,1)\ }
1932:
1917:
1842:
1830:
1792:
1777:
1759:
1747:
1690:
1676:
1669:
1657:
1512:
1500:
1388:
1376:
1351:
1339:
1308:
1304:
1292:
1283:
1271:
1264:
1229:
1217:
1192:
1180:
1116:
1104:
1079:
1067:
1017:
1005:
905:
893:
687:
675:
524:
512:
487:
475:
393:
381:
353:
341:
307:
295:
165:
153:
97:
94:
82:
1:
3655:
3274:is the surface of Earth, and
2494:
2394:On the set of all subsets of
2086:
125:
3480:Gromov–Hausdorff convergence
3083:
2042:
2002:
1617:{\displaystyle \mathbb {R} }
1474:{\displaystyle X,Y\subset M}
809:{\displaystyle \varepsilon }
765:{\displaystyle \varepsilon }
725:{\displaystyle \varepsilon }
582:{\displaystyle B\subseteq X}
7:
3623:
2192:is guaranteed to be finite.
614:{\displaystyle X\subset M,}
10:
3969:
3710:Kluwer Academic Publishers
3475:are from being isometric.
3333:{\displaystyle d_{H}(X,Y)}
227:{\displaystyle Y\subset M}
201:{\displaystyle X\subset M}
33:Pompeiu–Hausdorff distance
3708:, vol. 199, Boston:
3490:by taking the infimum of
2136:may be infinite. If both
1444:
68:Grundzüge der Mengenlehre
3808:Henrikson, Jeff (1999).
3893:10.1111/1467-8659.00236
3871:Computer Graphics Forum
3819:: 69–80. Archived from
3719:10.1007/0-387-33006-2_4
3672:Rockafellar, R. Tyrrell
2457:is compact, then so is
2263:and any non-empty sets
35:, measures how far two
3635:Kuratowski convergence
3610:
3578:
3546:
3387:
3340:is around 2,704.8 km.
3334:
3288:
3268:
3215:
3110:({3,6}, {1,3,6,7}) = 0
3103:({1,3,6,7}, {3,6}) = 2
3092:
2958:
2761:
2641:
2550:and any non-empty set
2528:
2527:{\displaystyle d(x,y)}
2252:have the same closure.
2238:
2186:
2130:
2077:
2051:
2011:
1968:
1967:{\displaystyle 1\in X}
1942:
1891:
1858:
1802:
1722:
1638:
1624:with the usual metric
1618:
1593:
1525:
1475:
1435:
1415:
1395:
1323:
976:
870:
850:
830:
810:
786:
766:
752:(sometimes called the
746:
726:
706:
615:
583:
557:
556:{\displaystyle a\in X}
531:
455:
431:
409:
268:
248:
228:
202:
172:
143:
116:
3848:. pp. Ch. II.6.
3611:
3579:
3547:
3346:
3335:
3289:
3269:
3216:
3093:
3065:(It does imply that
2959:
2762:
2642:
2529:
2239:
2187:
2131:
2078:
2052:
2012:
1969:
1943:
1892:
1859:
1803:
1723:
1639:
1619:
1594:
1526:
1476:
1436:
1416:
1396:
1324:
977:
871:
851:
831:
811:
787:
767:
747:
727:
707:
616:
584:
558:
532:
456:
432:
410:
269:
249:
229:
203:
173:
171:{\displaystyle (M,d)}
133:
117:
3763:. pp. 280–281.
3680:Variational Analysis
3588:
3556:
3494:
3463:of the metric space
3437:) is the infimum of
3367:49.0273°S 123.4345°W
3302:
3278:
3258:
3126:
3069:
3055:does not imply that
2777:
2688:
2568:
2503:
2484:, not on the metric
2363:If the intersection
2198:
2152:
2096:
2061:
2021:
1981:
1977:But it is true that
1952:
1901:
1868:
1815:
1738:
1651:
1628:
1606:
1538:
1485:
1453:
1425:
1405:
1333:
988:
880:
860:
840:
820:
800:
776:
756:
736:
716:
625:
596:
567:
541:
469:
465:operator, and where
445:
421:
280:
258:
238:
212:
186:
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