6719:
5545:
6037:
5069:
6714:{\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {F} }(x_{1},x_{2},x_{3})={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{3}}}\\{\dfrac {\partial y_{2}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{2}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{2}}{\partial x_{3}}}\\{\dfrac {\partial y_{3}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{3}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{3}}{\partial x_{3}}}\\{\dfrac {\partial y_{4}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{4}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{4}}{\partial x_{3}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&5\\0&8x_{2}&-2\\x_{3}\cos x_{1}&0&\sin x_{1}\end{bmatrix}}.}
5540:{\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {F} }(\rho ,\varphi ,\theta )={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial \rho }}&{\dfrac {\partial x}{\partial \varphi }}&{\dfrac {\partial x}{\partial \theta }}\\{\dfrac {\partial y}{\partial \rho }}&{\dfrac {\partial y}{\partial \varphi }}&{\dfrac {\partial y}{\partial \theta }}\\{\dfrac {\partial z}{\partial \rho }}&{\dfrac {\partial z}{\partial \varphi }}&{\dfrac {\partial z}{\partial \theta }}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin \varphi \cos \theta &\rho \cos \varphi \cos \theta &-\rho \sin \varphi \sin \theta \\\sin \varphi \sin \theta &\rho \cos \varphi \sin \theta &\rho \sin \varphi \cos \theta \\\cos \varphi &-\rho \sin \varphi &0\end{bmatrix}}.}
1605:
1221:
9065:
2963:
1600:{\displaystyle \mathbf {J_{f}} ={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\nabla ^{\mathrm {T} }f_{1}\\\vdots \\\nabla ^{\mathrm {T} }f_{m}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}}
4724:
4274:
4504:
4032:
7211:
2591:
5823:
4719:{\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {F} }(r,\varphi )={\begin{bmatrix}{\frac {\partial x}{\partial r}}&{\frac {\partial x}{\partial \varphi }}\\{\frac {\partial y}{\partial r}}&{\frac {\partial y}{\partial \varphi }}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \varphi &-r\sin \varphi \\\sin \varphi &r\cos \varphi \end{bmatrix}}}
3898:
2929:
6921:
2438:
3016:
sends a small square (left, in red) to a distorted parallelogram (right, in red). The
Jacobian at a point gives the best linear approximation of the distorted parallelogram near that point (right, in translucent white), and the Jacobian determinant gives the ratio of the area of the approximating
4269:{\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {f} }(x,y)={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial y}}\\{\dfrac {\partial f_{2}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial f_{2}}{\partial y}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2xy&x^{2}\\5&\cos y\end{bmatrix}}}
7626:
at the stationary point. Specifically, if the eigenvalues all have real parts that are negative, then the system is stable near the stationary point. If any eigenvalue has a real part that is positive, then the point is unstable. If the largest real part of the eigenvalues is zero, the
Jacobian
5619:
5062:
3493:
6032:
3363:
6916:
3717:
4872:
2820:
4941:
4500:
2287:
At each point where a function is differentiable, its
Jacobian matrix can also be thought of as describing the amount of "stretching", "rotating" or "transforming" that the function imposes locally near that point. For example, if
2347:
If a function is differentiable at a point, its differential is given in coordinates by the
Jacobian matrix. However a function does not need to be differentiable for its Jacobian matrix to be defined, since only its first-order
5849:
7206:{\displaystyle {\begin{vmatrix}0&5&0\\8x_{1}&-2x_{3}\cos(x_{2}x_{3})&-2x_{2}\cos(x_{2}x_{3})\\0&x_{3}&x_{2}\end{vmatrix}}=-8x_{1}{\begin{vmatrix}5&0\\x_{3}&x_{2}\end{vmatrix}}=-40x_{1}x_{2}.}
1818:
2586:{\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} )=\mathbf {J} _{\mathbf {f} }(\mathbf {p} )(\mathbf {x} -\mathbf {p} )+o(\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \|)\quad ({\text{as }}\mathbf {x} \to \mathbf {p} ),}
3370:
2770:
3254:
4369:
6748:
3548:
variables. It asserts that, if the
Jacobian determinant is a non-zero constant (or, equivalently, that it does not have any complex zero), then the function is invertible and its inverse is a polynomial function.
5818:{\displaystyle \iiint _{\mathbf {F} (U)}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{U}f(\rho \sin \varphi \cos \theta ,\rho \sin \varphi \sin \theta ,\rho \cos \varphi )\,\rho ^{2}\sin \varphi \,d\rho \,d\varphi \,d\theta .}
3174:
of a function over a region within its domain. To accommodate for the change of coordinates the magnitude of the
Jacobian determinant arises as a multiplicative factor within the integral. This is because the
7604:
7466:
3014:
4737:
7340:
1216:
125:
6753:
5854:
4946:
4431:
2217:
1644:
2280:-valued function in several variables, which in turn generalizes the derivative of a scalar-valued function of a single variable. In other words, the Jacobian matrix of a scalar-valued
2156:
7510:
7371:
4021:
4426:
1711:
3893:{\displaystyle \mathbf {f} \left({\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\right)={\begin{bmatrix}f_{1}(x,y)\\f_{2}(x,y)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x^{2}y\\5x+\sin y\end{bmatrix}}.}
3958:
7539:
2924:{\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {g} \circ \mathbf {f} }(\mathbf {x} )=\mathbf {J} _{\mathbf {g} }(\mathbf {f} (\mathbf {x} ))\mathbf {J} _{\mathbf {f} }(\mathbf {x} )}
7393:
7624:
7416:
1668:
8017:
Liu, Shuangzhe; Trenkler, Götz; Kollo, Tõnu; von Rosen, Dietrich; Baksalary, Oskar Maria (2023). "Professor Heinz
Neudecker and matrix differential calculus".
4279:
2651:
3595:
of the
Jacobian matrix is not maximal. This means that the rank at the critical point is lower than the rank at some neighbour point. In other words, let
5057:{\displaystyle {\begin{aligned}x&=\rho \sin \varphi \cos \theta ;\\y&=\rho \sin \varphi \sin \theta ;\\z&=\rho \cos \varphi .\end{aligned}}}
5577:
is the volume for a rectangular differential volume element (because the volume of a rectangular prism is the product of its sides), we can interpret
8723:
5604:. Unlike rectangular differential volume element's volume, this differential volume element's volume is not a constant, and varies with coordinates (
3488:{\displaystyle \det(\mathbf {J} _{\mathbf {f} ^{-1}}(\mathbf {p} ))={\frac {1}{\det(\mathbf {J} _{\mathbf {f} }(\mathbf {f} ^{-1}(\mathbf {p} )))}}}
1716:
7851:
3167:
2092:
6027:{\displaystyle {\begin{aligned}y_{1}&=x_{1}\\y_{2}&=5x_{3}\\y_{3}&=4x_{2}^{2}-2x_{3}\\y_{4}&=x_{3}\sin x_{1}\end{aligned}}}
221:
9111:
8937:
8156:
7734:
7560:
3358:{\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {f} ^{-1}}(\mathbf {p} )={\mathbf {J} _{\mathbf {f} }^{-1}(\mathbf {f} ^{-1}(\mathbf {p} ))},}
7421:
2969:
9028:
6911:{\displaystyle {\begin{aligned}y_{1}&=5x_{2}\\y_{2}&=4x_{1}^{2}-2\sin(x_{2}x_{3})\\y_{3}&=x_{2}x_{3}\end{aligned}}}
7901:
7874:
8947:
8713:
7297:
3065:
487:
462:
3963:
1170:
2284:
is (the transpose of) its gradient and the gradient of a scalar-valued function of a single variable is its derivative.
7829:
2378:
7772:
3905:
963:
526:
44:
8094:
8068:
7968:
7943:
482:
200:
4867:{\displaystyle \iint _{\mathbf {F} (A)}f(x,y)\,dx\,dy=\iint _{A}f(r\cos \varphi ,r\sin \varphi )\,r\,dr\,d\varphi .}
2177:
467:
1828:
9126:
9101:
7869:. International Series in Operations Research & Management Science. Cham, Switzerland: Springer. p. 53.
1610:
477:
452:
134:
9106:
8295:
8121:
2129:
585:
532:
413:
7636:
8512:
8149:
7471:
7345:
3558:
3205:
2248:
of a single variable, the
Jacobian matrix has a single entry; this entry is the derivative of the function
239:
211:
322:
8587:
8116:
7550:
5601:
4901:
4882:
4394:
3517:
1691:
836:
444:
282:
254:
7663:. The Jacobian is also used in random matrices, moments, local sensitivity and statistical diagnostics.
8743:
8265:
7682:
3537:
is related to global invertibility in the case of a polynomial function, that is a function defined by
3114:
2642:. This approximation specializes to the approximation of a scalar function of a single variable by its
1885:
707:
671:
448:
327:
216:
206:
7515:
2782:
of a scalar-valued function of several variables may too be regarded as its "first-order derivative".
8847:
8718:
8632:
7986:"Matrix differential calculus with applications in the multivariate linear model and its diagnostics"
471:
307:
8952:
8842:
8550:
8230:
7660:
3217:
3094:
2261:
1081:
606:
166:
20:
7376:
8987:
8916:
8798:
8658:
8255:
8142:
7984:
Liu, Shuangzhe; Leiva, Victor; Zhuang, Dan; Ma, Tiefeng; Figueroa-Zúñiga, Jorge I. (March 2022).
4379:
3578:
2611:
1906:
1065:
920:
712:
601:
8857:
8440:
8245:
3612:
2946:
The
Jacobian of the gradient of a scalar function of several variables has a special name: the
1049:
956:
885:
846:
730:
666:
590:
8111:
8056:
9116:
8803:
8540:
8390:
8385:
8220:
8195:
8190:
8082:
7931:
3592:
2398:
2281:
930:
596:
367:
312:
273:
179:
4495:{\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\cos \varphi ;\\y&=r\sin \varphi .\end{aligned}}}
3058:
The Jacobian determinant at a given point gives important information about the behavior of
8997:
8355:
8185:
8165:
3526:. In other words, if the Jacobian determinant is not zero at a point, then the function is
2418:
2277:
1949:
1053:
935:
915:
841:
510:
429:
403:
317:
1076:. Both the matrix and (if applicable) the determinant are often referred to simply as the
1064:, that is, when the function takes the same number of variables as input as the number of
8:
9018:
8992:
8570:
8375:
8365:
7652:
7396:
3534:
3225:
2080:
1854:
910:
880:
870:
757:
611:
408:
264:
147:
142:
7742:
7707:
implies, but is not implied by, the existence of all first-order partial derivatives at
9069:
9023:
9013:
8967:
8962:
8891:
8827:
8693:
8430:
8425:
8360:
8350:
8215:
8052:
8030:
7609:
7401:
2778:" of a vector-valued function of several variables. In particular, this means that the
2615:
2349:
1878:
is another displacement vector, that is the best linear approximation of the change of
1653:
1057:
875:
778:
762:
702:
697:
692:
656:
537:
456:
362:
357:
161:
156:
2962:
9121:
9080:
9064:
8867:
8862:
8852:
8832:
8793:
8788:
8617:
8612:
8597:
8592:
8583:
8578:
8525:
8420:
8370:
8315:
8285:
8280:
8260:
8250:
8210:
8090:
8078:
8064:
8034:
7964:
7939:
7897:
7870:
7845:
3221:
3201:
3171:
3160:
2951:
2643:
2088:
2087:
invertibility). The Jacobian determinant also appears when changing the variables in
949:
783:
561:
439:
392:
249:
244:
2814:
9075:
9043:
8972:
8911:
8906:
8886:
8822:
8728:
8698:
8683:
8663:
8602:
8555:
8530:
8520:
8491:
8410:
8405:
8380:
8310:
8290:
8200:
8180:
8022:
7997:
7542:
7291:
2064:
2001:
1832:
1025:
987:
793:
687:
661:
522:
434:
398:
8668:
8773:
8708:
8688:
8673:
8653:
8637:
8535:
8466:
8456:
8415:
8300:
8270:
7891:
7672:
3124:
3104:
977:
925:
798:
752:
747:
634:
547:
492:
9033:
8977:
8957:
8942:
8901:
8778:
8738:
8703:
8627:
8566:
8545:
8486:
8476:
8461:
8395:
8340:
8330:
8325:
8235:
8026:
8002:
7985:
7677:
4734:. This can be used to transform integrals between the two coordinate systems:
3188:
3134:
2947:
1862:
808:
616:
383:
3055:. The Jacobian determinant is sometimes simply referred to as "the Jacobian".
2272:
The Jacobian of a vector-valued function in several variables generalizes the
1813:{\displaystyle {\frac {\partial (f_{1},..,f_{m})}{\partial (x_{1},..,x_{n})}}}
1106:
is a function such that each of its first-order partial derivatives exists on
9095:
9038:
8896:
8837:
8768:
8758:
8753:
8678:
8607:
8481:
8471:
8400:
8320:
8305:
8240:
8128:
7821:
7656:
7648:
5616:). It can be used to transform integrals between the two coordinate systems:
3044:
2258:
1858:
1061:
788:
552:
302:
259:
7764:
7635:
A square system of coupled nonlinear equations can be solved iteratively by
8921:
8878:
8783:
8496:
8435:
8345:
8225:
7546:
3245:
function. That is, the Jacobian matrix of the inverse function at a point
2245:
2120:
542:
287:
6105:
8763:
8733:
8501:
8335:
8205:
6723:
This example shows that the Jacobian matrix need not be a square matrix.
5548:
3048:
2032:
1069:
905:
16:
Matrix of all first-order partial derivatives of a vector-valued function
4364:{\displaystyle \det(\mathbf {J} _{\mathbf {f} }(x,y))=2xy\cos y-5x^{2}.}
8814:
8275:
7554:
7553:, the behavior of the system near a stationary point is related to the
3541:
3074:
2775:
2362:
2124:
1976:
651:
575:
297:
292:
196:
7936:
Dynamical Systems: Differential Equations, Maps, and Chaotic Behaviour
2765:{\displaystyle f(x)-f(p)=f'(p)(x-p)+o(x-p)\quad ({\text{as }}x\to p).}
9048:
8622:
7735:"Jacobian - Definition of Jacobian in English by Oxford Dictionaries"
3602:
1821:
580:
570:
7639:. This method uses the Jacobian matrix of the system of equations.
5116:
3197:-volume of a parallelepiped is the determinant of its edge vectors.
8982:
7795:
7273:
to that object, one will get a resulting object with approximately
2779:
2273:
2165:
1647:
646:
388:
345:
34:
8134:
7277:
times the volume of the original one, with orientation reversed.
7263:. Intuitively, if one starts with a tiny object around the point
7240:
4876:
4545:
3150:
2051:. It carries important information about the local behavior of
7796:"Jacobian pronunciation: How to pronounce Jacobian in English"
4073:
7599:{\displaystyle \mathbf {J} _{F}\left(\mathbf {x} _{0}\right)}
1679:, is denoted in various ways; other common notations include
7961:
Differential Equations, Dynamical Systems and Linear Algebra
7461:{\displaystyle F\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}
4373:
3200:
The Jacobian can also be used to determine the stability of
3009:{\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}
2312:
is used to smoothly transform an image, the Jacobian matrix
2158:; this row vector of all first-order partial derivatives of
3644:, a point is critical if the Jacobian determinant is zero.
3498:
If the Jacobian is continuous and nonsingular at the point
1011:
1008:
1002:
993:
7627:
matrix does not allow for an evaluation of the stability.
2774:
In this sense, the Jacobian may be regarded as a kind of "
1028:
990:
8089:(Second ed.). New York: Springer. pp. 412–420.
8016:
1040:
1037:
1031:
19:"Jacobian matrix" redirects here. For the operator, see
7642:
8063:(Third ed.). Berlin: Springer. pp. 305–330.
8057:"Comparative Statics and the Correspondence Principle"
7126:
6930:
6584:
5353:
4652:
4216:
3841:
3768:
3735:
2073:
if and only if the Jacobian determinant is nonzero at
1407:
1333:
1245:
1173:
7612:
7563:
7518:
7474:
7424:
7404:
7379:
7348:
7335:{\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=F(\mathbf {x} )}
7300:
6924:
6751:
6533:
6495:
6457:
6417:
6379:
6341:
6301:
6263:
6225:
6185:
6147:
6109:
6040:
5852:
5622:
5316:
5292:
5268:
5242:
5218:
5194:
5168:
5144:
5120:
5072:
4944:
4740:
4507:
4429:
4282:
4172:
4141:
4108:
4077:
4035:
3966:
3908:
3720:
3373:
3257:
3208:
by approximating behavior near an equilibrium point.
2972:
2823:
2654:
2441:
2180:
2132:
1719:
1694:
1656:
1613:
1554:
1511:
1454:
1411:
1287:
1249:
1224:
1211:{\textstyle {\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}}
1014:
999:
47:
1673:
The Jacobian matrix, whose entries are functions of
1005:
996:
7618:
7598:
7533:
7504:
7460:
7410:
7387:
7365:
7334:
7205:
6910:
6713:
6026:
5817:
5539:
5066:The Jacobian matrix for this coordinate change is
5056:
4866:
4718:
4494:
4363:
4268:
4015:
3952:
3892:
3487:
3357:
3008:
2923:
2764:
2585:
2211:
2150:
1812:
1705:
1662:
1638:
1599:
1210:
119:
2332:, describes how the image in the neighborhood of
9093:
7983:
4283:
3427:
3374:
120:{\displaystyle \int _{a}^{b}f'(t)\,dt=f(b)-f(a)}
7929:
7916:Joel Hass, Christopher Heil, and Maurice Weir.
7243:invertible everywhere except near points where
3166:The Jacobian determinant is used when making a
7938:. London: Chapman & Hall. pp. 77–81.
7864:
3097:. Furthermore, if the Jacobian determinant at
8150:
8077:
7221:reverses orientation near those points where
4877:Example 3: spherical-Cartesian transformation
3017:parallelogram to that of the original square.
2212:{\displaystyle \mathbf {J} _{f}=\nabla ^{T}f}
957:
7850:: CS1 maint: multiple names: authors list (
2549:
2533:
7958:
7918:Thomas' Calculus Early Transcendentals, 14e
1639:{\displaystyle \nabla ^{\mathrm {T} }f_{i}}
8724:Fundamental (linear differential equation)
8157:
8143:
3143:gives us the factor by which the function
2614:that approaches zero much faster than the
1820:. Some authors define the Jacobian as the
964:
950:
8131:A more technical explanation of Jacobians
8085:(1985). "Transformations and Jacobians".
8001:
7448:
7433:
6731:The Jacobian determinant of the function
5805:
5798:
5791:
5771:
5682:
5675:
5668:
4854:
4847:
4843:
4787:
4780:
4374:Example 2: polar-Cartesian transformation
2996:
2981:
1915:. This means that the function that maps
80:
8051:
7930:Arrowsmith, D. K.; Place, C. M. (1992).
7867:An Introduction to computational science
7865:Holder, Allen; Eichholz, Joseph (2019).
2961:
2093:substitution rule for multiple variables
2031:, the Jacobian matrix is square, so its
9029:Matrix representation of conic sections
7959:Hirsch, Morris; Smale, Stephen (1974).
3159:; this is why it occurs in the general
3043:to itself and the Jacobian matrix is a
2957:
2151:{\displaystyle \nabla ^{\mathrm {T} }f}
1136:as output. Then the Jacobian matrix of
488:Differentiating under the integral sign
9094:
7889:
7373:is the (component-wise) derivative of
3516:is invertible when restricted to some
3191:in the new coordinate system, and the
8138:
7505:{\displaystyle F(\mathbf {x} _{0})=0}
7366:{\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}}
4728:The Jacobian determinant is equal to
2123:, the Jacobian matrix reduces to the
1646:is the transpose (row vector) of the
7832:from the original on 3 November 2017
7775:from the original on 1 December 2017
7713:, and hence is a stronger condition.
7647:The Jacobian serves as a linearized
7643:Regression and least squares fitting
7285:
7239:have the same sign; the function is
5832:The Jacobian matrix of the function
4016:{\displaystyle f_{2}(x,y)=5x+\sin y}
3066:continuously differentiable function
2785:Composable differentiable functions
1080:in literature. They are named after
3064:near that point. For instance, the
2257:These concepts are named after the
1706:{\displaystyle \nabla \mathbf {f} }
13:
8164:
8045:
7893:Differential Geometry of Manifolds
7630:
6551:
6536:
6513:
6498:
6475:
6460:
6435:
6420:
6397:
6382:
6359:
6344:
6319:
6304:
6281:
6266:
6243:
6228:
6203:
6188:
6165:
6150:
6127:
6112:
5327:
5319:
5303:
5295:
5279:
5271:
5253:
5245:
5229:
5221:
5205:
5197:
5179:
5171:
5155:
5147:
5131:
5123:
4627:
4619:
4605:
4597:
4581:
4573:
4559:
4551:
4190:
4175:
4159:
4144:
4126:
4111:
4095:
4080:
3611:; then a point is critical if all
3552:
2267:
2197:
2139:
2134:
1766:
1723:
1695:
1620:
1615:
1572:
1557:
1529:
1514:
1472:
1457:
1429:
1414:
1375:
1370:
1342:
1337:
1300:
1290:
1262:
1252:
1192:
1177:
29:Part of a series of articles about
14:
9138:
9112:Generalizations of the derivative
8104:
3953:{\displaystyle f_{1}(x,y)=x^{2}y}
3206:systems of differential equations
1847:is differentiable. In detail, if
1122:as input and produces the vector
9063:
7990:Journal of Multivariate Analysis
7793:
7582:
7566:
7534:{\displaystyle \mathbf {x} _{0}}
7521:
7483:
7381:
7353:
7325:
7305:
6049:
6043:
5629:
5081:
5075:
4747:
4516:
4510:
4297:
4291:
4276:and the Jacobian determinant is
4044:
4038:
3722:
3601:be the maximal dimension of the
3469:
3452:
3441:
3435:
3408:
3389:
3382:
3365:and the Jacobian determinant is
3341:
3324:
3305:
3299:
3286:
3267:
3260:
2914:
2904:
2898:
2886:
2878:
2868:
2862:
2850:
2840:
2832:
2826:
2573:
2565:
2545:
2537:
2517:
2509:
2498:
2488:
2482:
2470:
2462:
2451:
2443:
2183:
1699:
1294:
1256:
1231:
1227:
1024:
986:
8931:Used in science and engineering
8010:
7977:
7952:
5600:as the volume of the spherical
3137:of the Jacobian determinant at
3087:if the Jacobian determinant at
2954:" of the function in question.
2738:
2555:
8174:Explicitly constrained entries
7923:
7910:
7890:Lovett, Stephen (2019-12-16).
7883:
7858:
7819:
7813:
7787:
7757:
7727:
7695:
7493:
7478:
7443:
7329:
7321:
7060:
7037:
7010:
6987:
6860:
6837:
6094:
6055:
5768:
5705:
5665:
5647:
5639:
5633:
5105:
5087:
4840:
4810:
4777:
4765:
4757:
4751:
4534:
4522:
4318:
4315:
4303:
4286:
4062:
4050:
3989:
3977:
3931:
3919:
3822:
3810:
3793:
3781:
3479:
3476:
3473:
3465:
3447:
3430:
3415:
3412:
3404:
3377:
3348:
3345:
3337:
3319:
3290:
3282:
3241:is the Jacobian matrix of the
2991:
2918:
2910:
2893:
2890:
2882:
2874:
2854:
2846:
2756:
2750:
2739:
2735:
2723:
2714:
2702:
2699:
2693:
2679:
2673:
2664:
2658:
2577:
2569:
2556:
2552:
2530:
2521:
2505:
2502:
2494:
2474:
2466:
2455:
2447:
2219:. Specializing further, when
2057:. In particular, the function
2035:is a well-defined function of
1804:
1769:
1761:
1726:
1112:. This function takes a point
114:
108:
99:
93:
77:
71:
1:
8948:Fundamental (computer vision)
7739:Oxford Dictionaries - English
7720:
7280:
3224:of the Jacobian matrix of an
2282:function in several variables
2067:in a neighborhood of a point
1087:
414:Integral of inverse functions
7765:"the definition of jacobian"
7388:{\displaystyle \mathbf {x} }
6726:
5827:
4916:), is given by the function
4405:), is given by the function
3652:
1052:of several variables is the
7:
8714:Duplication and elimination
8513:eigenvalues or eigenvectors
8117:Encyclopedia of Mathematics
7932:"The Linearization Theorem"
7666:
5602:differential volume element
4023:and the Jacobian matrix of
3647:
2950:, which in a sense is the "
1155:, is defined such that its
837:Calculus on Euclidean space
255:Logarithmic differentiation
10:
9143:
8647:With specific applications
8276:Discrete Fourier Transform
8027:10.1007/s00362-023-01499-w
8003:10.1016/j.jmva.2021.104849
7683:Pushforward (differential)
3605:contained in the image of
3556:
3211:
3133:reverses orientation. The
18:
9057:
9006:
8938:Cabibbo–Kobayashi–Maskawa
8930:
8876:
8812:
8646:
8565:Satisfying conditions on
8564:
8510:
8449:
8173:
7896:. CRC Press. p. 16.
3093:is non-zero. This is the
2083:for a related problem of
1824:of the form given above.
571:Summand limit (term test)
7920:. Pearson, 2018, p. 959.
7688:
7661:non-linear least squares
4881:The transformation from
4378:The transformation from
3218:inverse function theorem
3187:element is in general a
3095:inverse function theorem
2262:Carl Gustav Jacob Jacobi
2164:is the transpose of the
1082:Carl Gustav Jacob Jacobi
250:Implicit differentiation
240:Differentiation notation
167:Inverse function theorem
21:Jacobi matrix (operator)
8296:Generalized permutation
7551:Hartman–Grobman theorem
7468:is differentiable. If
3579:differentiable function
3047:. We can then form its
2352:are required to exist.
1056:of all its first-order
713:Helmholtz decomposition
9127:Differential operators
9102:Multivariable calculus
9070:Mathematics portal
8083:Morrey, Charles B. Jr.
7620:
7600:
7535:
7506:
7462:
7412:
7389:
7367:
7336:
7215:From this we see that
7207:
6912:
6715:
6028:
5819:
5541:
5058:
4868:
4720:
4496:
4365:
4270:
4017:
3954:
3894:
3657:Consider the function
3489:
3359:
3018:
3010:
2925:
2776:first-order derivative
2766:
2646:of degree one, namely
2587:
2246:scalar-valued function
2213:
2152:
2121:scalar-valued function
1814:
1707:
1664:
1640:
1601:
1212:
1072:is referred to as the
1060:. When this matrix is
1050:vector-valued function
847:Limit of distributions
667:Directional derivative
323:Faà di Bruno's formula
121:
9107:Differential calculus
8087:Intermediate Calculus
7826:mathworld.wolfram.com
7820:W., Weisstein, Eric.
7701:Differentiability at
7621:
7601:
7536:
7507:
7463:
7413:
7390:
7368:
7337:
7208:
6913:
6716:
6029:
5820:
5542:
5059:
4902:Cartesian coordinates
4883:spherical coordinates
4869:
4721:
4497:
4395:Cartesian coordinates
4366:
4271:
4018:
3955:
3895:
3591:is a point where the
3490:
3360:
3011:
2965:
2926:
2767:
2588:
2399:linear transformation
2214:
2153:
2063:has a differentiable
1841:at every point where
1815:
1708:
1665:
1641:
1602:
1213:
931:Mathematical analysis
842:Generalized functions
527:arithmetico-geometric
368:Leibniz integral rule
122:
7610:
7561:
7516:
7472:
7422:
7402:
7395:with respect to the
7377:
7346:
7298:
6922:
6749:
6038:
5850:
5620:
5070:
4942:
4738:
4505:
4427:
4280:
4033:
3964:
3906:
3718:
3371:
3255:
3053:Jacobian determinant
2970:
2958:Jacobian determinant
2821:
2652:
2439:
2433:, in the sense that
2419:linear approximation
2397:. In this case, the
2178:
2130:
2043:Jacobian determinant
1950:linear approximation
1827:The Jacobian matrix
1717:
1692:
1654:
1611:
1222:
1171:
1074:Jacobian determinant
936:Nonstandard analysis
404:Lebesgue integration
274:Rules and identities
45:
9019:Linear independence
8266:Diagonally dominant
8053:Gandolfo, Giancarlo
7397:evolution parameter
6824:
5956:
3535:Jacobian conjecture
3318:
3226:invertible function
3168:change of variables
3149:expands or shrinks
3037:is a function from
2350:partial derivatives
2081:Jacobian conjecture
1855:displacement vector
1068:of its output, its
1058:partial derivatives
607:Cauchy condensation
409:Contour integration
135:Fundamental theorem
62:
9024:Matrix exponential
9014:Jordan normal form
8848:Fisher information
8719:Euclidean distance
8633:Totally unimodular
8079:Protter, Murray H.
8019:Statistical Papers
7745:on 1 December 2017
7616:
7606:, the Jacobian of
7596:
7531:
7502:
7458:
7408:
7385:
7363:
7332:
7203:
7165:
7096:
6908:
6906:
6810:
6711:
6702:
6570:
6566:
6528:
6490:
6450:
6412:
6374:
6334:
6296:
6258:
6218:
6180:
6142:
6024:
6022:
5942:
5815:
5537:
5528:
5339:
5335:
5311:
5287:
5261:
5237:
5213:
5187:
5163:
5139:
5054:
5052:
4864:
4716:
4710:
4638:
4492:
4490:
4361:
4266:
4260:
4202:
4198:
4167:
4134:
4103:
4013:
3950:
3890:
3881:
3827:
3750:
3630:In the case where
3528:locally invertible
3485:
3355:
3297:
3170:when evaluating a
3019:
3006:
2921:
2762:
2583:
2381:is represented by
2209:
2148:
2089:multiple integrals
1810:
1703:
1660:
1636:
1597:
1591:
1587:
1544:
1487:
1444:
1393:
1319:
1315:
1277:
1208:
779:Partial derivative
708:generalized Stokes
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