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17:
1174:
and by inspection of the definition (recognizing that each factor in the product over the primes is a cyclotomic polynomial of
1004:
1094:
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2534:
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can also be shown to be integer-valued multiplicative functions.
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215:
Jordan's totient function is a generalization of Euler's
2589:"Yet Another Generalization of Euler's Totient Function"
2433:
All of these formulas are from
Andrica and Piticari in
2564:"On some extensions of Jordan's arithmetic functions"
1925:
1891:
1871:
1727:
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Holden, Matthew; Orrison, Michael; Vrable, Michael.
142:
of positive integers that are less than or equal to
2049:The first two formulas were discovered by Jordan.
2038:
1907:
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66:
2734:
2149:Multiplicative functions defined by ratios are J
2586:
2558:
2424:in external links. The formula is Gegenbauer's.
2529:. Dordrecht: Kluwer Academic. pp. 32–36.
2628:
2524:
2450:
1326:{\displaystyle {\frac {J_{2k}(n)}{J_{k}(n)}}}
2486:
1260:{\displaystyle {\frac {J_{k}(n)}{J_{1}(n)}}}
535:{\displaystyle \sum _{d|n}J_{k}(d)=n^{k}.\,}
675:{\displaystyle J_{k}(n)=\mu (n)\star n^{k}}
2635:
2621:
2525:Sándor, Jozsef; Crstici, Borislav (2004).
94:is a positive integer, is a function of a
1459:
748:and the Dirichlet generating function of
597:
531:
411:
2457:History of the Theory of Numbers, Vol. I
546:which may be written in the language of
27:A function in mathematics, number theory
1204:), the arithmetic functions defined by
601:{\displaystyle J_{k}(n)\star 1=n^{k}\,}
14:
2735:
2616:
442:ranges through the prime divisors of
2642:
2434:
24:
2492:Problems in Analytic Number Theory
25:
2759:
2552:
2411:Sándor & Crstici (2004) p.106
1950:
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255:. The function is named after
242:
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55:
13:
1:
2496:Graduate Texts in Mathematics
2444:
689:Dirichlet generating function
466:
262:
2568:Acta Universitatis Apulensis
2527:Handbook of number theory II
287:, Jordan's totient function
118:, that equals the number of
7:
2688:(reduced totient function)
2052:
803:{\displaystyle \zeta (s-k)}
741:{\displaystyle 1/\zeta (s)}
10:
2764:
2562:; Piticari, Mihai (2004).
267:For each positive integer
2668:Jordan's totient function
2648:
36:Jordan's totient function
2748:Multiplicative functions
2653:Euler's totient function
2398:
2332:Examples of the ratios J
988:{\displaystyle J_{k}(n)}
318:and may be evaluated as
248:{\displaystyle J_{1}(n)}
67:{\displaystyle J_{k}(n)}
2722:Sparsely totient number
2717:Highly cototient number
219:, which is the same as
162:and that together with
18:Jordan totient function
2058:Explicit lists in the
2040:
2010:
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