3532:
3068:
5569:
5653:
3527:{\displaystyle {\begin{aligned}\nabla _{X}Y&=\nabla _{X^{j}\partial _{j}}(Y^{k}\partial _{k})\\&=X^{j}\nabla _{j}(Y^{k}\partial _{k})\\&=X^{j}{\bigl (}\partial _{j}(Y^{k})\partial _{k}+Y^{k}\nabla _{j}\partial _{k}{\bigr )}\\&=X^{j}{\bigl (}\partial _{j}(Y^{k})\partial _{k}+Y^{k}\Gamma _{jk}^{l}\partial _{l}{\bigr )}\\&=X^{j}{\bigl (}\partial _{j}(Y^{l})+Y^{k}\Gamma _{jk}^{l}{\bigr )}\partial _{l}\end{aligned}}}
3930:
1544:
3666:
1993:
4517:
4213:
7481:
7628:
7001:
5552:
6611:
6367:
1280:
3925:{\displaystyle \partial _{i}{\bigl (}g(\partial _{j},\partial _{k}){\bigr )}=g(\nabla _{i}\partial _{j},\partial _{k})+g(\partial _{j},\nabla _{i}\partial _{k})=g(\Gamma _{ij}^{l}\partial _{l},\partial _{k})+g(\partial _{j},\Gamma _{ik}^{l}\partial _{l})}
134:
In 1869, Christoffel discovered that the components of the intrinsic derivative of a vector field, upon changing the coordinate system, transform as the components of a contravariant vector. This discovery was the real beginning of tensor analysis.
1107:
6193:
2371:
1714:
6058:
4047:
600:
5902:
177:
embedded in a "larger" ambient space. He interpreted the intrinsic derivative in the case of an embedded surface as the tangential component of the usual derivative in the ambient affine space. The Levi-Civita notions of
7365:
2608:
1248:
7694:
3635:
4939:
6089:
linear in the first variable. It is also a straightforward computation to show that this connection is torsion free. So all that needs to be proved here is that the formula above produces a vector field tangent to
3037:
7139:
2493:
4849:
5134:
7370:
6849:
2721:
6780:
6471:
6238:
5277:
4366:
5356:
4704:
4374:
248:
1698:
3073:
2847:
5023:
7252:
4275:
5644:
4062:
6658:
1539:{\displaystyle X{\bigl (}g(Y,Z){\bigr )}+Y{\bigl (}g(Z,X){\bigr )}-Z{\bigl (}g(Y,X){\bigr )}=g(\nabla _{X}Y+\nabla _{Y}X,Z)+g(\nabla _{X}Z-\nabla _{Z}X,Y)+g(\nabla _{Y}Z-\nabla _{Z}Y,X)}
7486:
5718:
5362:
5196:
791:
6466:
2908:
504:
6809:
4777:
2801:
6110:
4878:
2946:
7178:
4368:(or computes directly), the Koszul expression of the Levi-Civita connection derived above is equivalent to a definition of the Christoffel symbols in terms of the metric as
7045:
2169:
5941:
2874:
2726:
Hence the Koszul expression does, in fact, define a connection, and this connection is compatible with the metric and is torsion free, i.e. is a Levi-Civita connection.
677:
6721:
961:
6678:
3658:
3060:
2966:
2755:
2056:
1131:
947:
641:
182:
and parallel displacement of a vector along a curve make sense on an abstract
Riemannian manifold, even though the original motivation relied on a specific embedding
6844:
4851:
vanishes, the curve is called a geodesic of the covariant derivative. Formally, the condition can be restated as the vanishing of the pullback connection applied to
4580:
4550:
4313:
2201:
927:
1988:{\displaystyle g(\nabla _{X}Y,Z)={\tfrac {1}{2}}{\Big \{}X{\bigl (}g(Y,Z){\bigr )}+Y{\bigl (}g(Z,X){\bigr )}-Z{\bigl (}g(X,Y){\bigr )}+g(,Z)-g(,X)-g(,Y){\Big \}}}
95:
is often used for the Levi-Civita connection. The components (structure coefficients) of this connection with respect to a system of local coordinates are called
7633:
6698:
6414:
2221:
2139:
2119:
2099:
2079:
2036:
2016:
1272:
870:
850:
727:
707:
2229:
823:
7050:
3941:
512:
5826:
7257:
2499:
1139:
9293:
3543:
8484:
4886:
8188:
2974:
2729:
With minor variation, the same proof shows that there is a unique connection that is compatible with the metric and has prescribed torsion.
9288:
7737:
4944:
If the covariant derivative is the Levi-Civita connection of a certain metric, then the geodesics for the connection are precisely those
2377:
8575:
8351:
8201:
889:
77:
4788:
8599:
4975:
The images below show parallel transport induced by the Levi-Civita connection associated to two different
Riemannian metrics on the
9705:
8794:
5035:
4968:
between the tangent spaces at the points of the curve. If the connection is a Levi-Civita connection, then these isomorphisms are
2614:
8381:
8356:
6726:
5204:
4318:
9854:
4512:{\displaystyle \Gamma _{jk}^{l}={\tfrac {1}{2}}g^{lr}\left(\partial _{k}g_{rj}+\partial _{j}g_{rk}-\partial _{r}g_{jk}\right)}
8664:
8243:
5283:
4642:
8890:
185:
1556:
8943:
8471:
2806:
4981:
9889:
9568:
9227:
7183:
4224:
7784:
4208:{\displaystyle \nabla _{j}\partial _{k}-\nabla _{k}\partial _{j}=(\Gamma _{jk}^{l}-\Gamma _{kj}^{l})\partial _{l}==0.}
9997:
9348:
8216:
8181:
8115:
8089:
8000:
7835:
7476:{\displaystyle {\widehat {\nabla }}_{\partial _{z}}\partial _{z}=-{\frac {2{\bar {z}}\partial _{z}}{1+z{\bar {z}}}}.}
5577:
9770:
8992:
7623:{\displaystyle \mathrm {grad} _{Euc}(\gamma )=-(1+z{\bar {z}})^{-1}({\bar {z}}\partial _{z}+z\partial _{\bar {z}})}
6996:{\displaystyle {\hat {g}}({\widehat {\nabla }}_{X}Y,Y)=X(\gamma ){\hat {g}}(Y,Y)={\frac {1}{2}}X({\hat {g}}(Y,Y)).}
5547:{\displaystyle dr^{2}+d\theta ^{2}={\frac {(xdx+ydy)^{2}}{x^{2}+y^{2}}}+{\frac {(xdy-ydx)^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}}
4716:
6616:
6606:{\displaystyle {\widehat {\nabla }}_{X}Y=\nabla _{X}Y+X(\gamma )Y+Y(\gamma )X-g(X,Y)\mathrm {grad} _{g}(\gamma ).}
6362:{\displaystyle d_{m}f(X)={\bigl \langle }d_{m}Y(X),m{\bigr \rangle }+{\bigl \langle }Y(m),X(m){\bigr \rangle }=0.}
8975:
8584:
70:
5661:
5139:
732:
5735:
the unit circle. Indeed, in the first image, the vectors fall outside of the tangent space to the unit circle.
6423:
9621:
9553:
9187:
8594:
8143:
2879:
877:
609:
8133:
7696:
These relations, together with their complex conjugates, define the
Christoffel symbols for the two-sphere.
9992:
9646:
9172:
8895:
8669:
8278:
8174:
826:
457:
356:
6785:
9884:
9217:
8138:
5030:
4744:
2760:
2171:
as in the left hand side. By substituting the Koszul formula, one now checks that for all vector fields
454:. Vector fields act (by definition) as differential operators on smooth functions. In local coordinates
9695:
9515:
9222:
9192:
8900:
8856:
8837:
8604:
8548:
8299:
5198:. The first metric extends to the entire plane, but the second metric has a singularity at the origin:
281:
88:
62:
26:
4854:
2916:
9367:
8759:
8624:
8428:
7946:
7144:
9849:
7705:
9951:
9869:
9823:
9530:
9144:
9009:
8701:
8543:
8361:
8221:
7006:
2101:, the right hand side of the Koszul expression is linear over smooth functions in the vector field
311:
124:
116:
7015:
2144:
9921:
9608:
9525:
9495:
8841:
8811:
8735:
8725:
8681:
8511:
8464:
8407:
7873:
Brouwer, L. E. J. (1906). "The force field of the non-Euclidean spaces with negative curvature".
7780:
7010:
5026:
2852:
1102:{\displaystyle X{\bigl (}g(Y,Z){\bigr )}=(\nabla _{X}g)(Y,Z)+g(\nabla _{X}Y,Z)+g(Y,\nabla _{X}Z)}
112:
955:: To prove uniqueness, unravel the definition of the action of a connection on tensors to find
653:
9879:
9690:
8801:
8696:
8609:
8516:
8438:
8371:
8366:
8304:
343:
8433:
6703:
4552:
are the coefficients of the dual metric tensor, i.e. the entries of the inverse of the matrix
9961:
9916:
9396:
9341:
8831:
8826:
7900:
6663:
3643:
3045:
2951:
2740:
2041:
1116:
932:
684:
626:
253:
6814:
4555:
4525:
2141:, the right hand side uniquely defines some new vector field, which is suggestively denoted
9936:
9864:
9750:
9616:
9578:
9510:
9162:
9100:
8948:
8652:
8642:
8614:
8589:
8499:
8268:
7955:
7882:
6188:{\displaystyle {\bigl \langle }\left(\nabla _{X}Y\right)(m),m{\bigr \rangle }=0\qquad (1).}
4286:
2174:
900:
179:
92:
8150:
7758:
8:
9813:
9636:
9626:
9475:
9460:
9416:
9300:
8982:
8860:
8845:
8774:
8533:
8325:
8294:
8282:
8253:
8236:
8197:
8160:
8099:
4590:
The Levi-Civita connection (like any affine connection) also defines a derivative along
2911:
2366:{\displaystyle g(\nabla _{X}(Y_{1}+Y_{2}),Z)=g(\nabla _{X}Y_{1},Z)+g(\nabla _{X}Y_{2},Z)}
174:
96:
84:
30:
22:
9273:
7959:
7886:
9946:
9803:
9656:
9470:
9406:
9242:
9197:
9094:
8965:
8769:
8457:
8423:
8320:
8289:
8078:
8073:
7971:
7804:
7762:
7728:
6683:
6417:
6399:
4961:
2206:
2124:
2104:
2084:
2064:
2021:
2001:
1257:
855:
835:
712:
692:
155:
147:
120:
108:
34:
8779:
8330:
7141:
This exhibits the metric of the sphere as conformally flat, with the
Euclidean metric
796:
9941:
9710:
9685:
9500:
9411:
9391:
9177:
9157:
9152:
9059:
8970:
8784:
8764:
8619:
8558:
8335:
8111:
8085:
8006:
7996:
7975:
7831:
7808:
7766:
1705:
621:
66:
58:
54:
42:
6053:{\displaystyle \left(\nabla _{X}Y\right)(m)=d_{m}Y(X(m))+\langle X(m),Y(m)\rangle m}
9956:
9631:
9598:
9583:
9465:
9334:
9315:
9109:
9064:
8987:
8958:
8816:
8749:
8744:
8739:
8729:
8521:
8504:
8402:
8397:
8273:
8226:
7963:
7851:
7796:
7754:
7746:
4969:
151:
139:
4042:{\displaystyle \partial _{i}g_{jk}=\Gamma _{ij}^{l}g_{lk}+\Gamma _{ik}^{l}g_{jl}.}
595:{\displaystyle X(f)=X^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}f=X^{i}\partial _{i}f}
9926:
9874:
9818:
9798:
9700:
9588:
9455:
9426:
9258:
9167:
8997:
8953:
8719:
8231:
8166:
4976:
4726:
606:
170:
9966:
9931:
9828:
9661:
9651:
9641:
9563:
9535:
9520:
9505:
9421:
9124:
9049:
9019:
8917:
8910:
8850:
8821:
8691:
8686:
8647:
8103:
7823:
5748:
293:
46:
9911:
8155:
5897:{\bigl \langle }Y(m),m{\bigr \rangle }=0,\qquad \forall m\in \mathbf {S} ^{2}.
9986:
9903:
9808:
9720:
9593:
9310:
9134:
9129:
9114:
9104:
9054:
9031:
8905:
8865:
8806:
8754:
8553:
8258:
7785:"Ueber die Transformation der homogenen Differentialausdrücke zweiten Grades"
7360:{\displaystyle d\gamma =-(1+z{\bar {z}})^{-1}({\bar {z}}\,dz+z\,d{\bar {z}})}
4949:
2603:{\displaystyle g(\nabla _{X}Y,Z)+g(\nabla _{X}Z,Y)=X{\bigl (}g(Y,Z){\bigr )}}
1998:
holds. Hence, if a Levi-Civita connection exists, it must be unique, because
1243:{\displaystyle X{\bigl (}g(Y,Z){\bigr )}=g(\nabla _{X}Y,Z)+g(Y,\nabla _{X}Z)}
392:
143:
8010:
7800:
9971:
9775:
9760:
9725:
9573:
9558:
9237:
9232:
9074:
9041:
9014:
8922:
8563:
7922:
7689:{\displaystyle {\widehat {\nabla }}_{\partial _{z}}\partial _{\bar {z}}=0.}
4972:– that is, they preserve the inner products on the various tangent spaces.
4622:
3630:{\displaystyle (\nabla _{j}Y)^{l}=\partial _{j}Y^{l}+\Gamma _{jk}^{l}Y^{k}}
830:
257:
166:
7854:(1906). "Het krachtveld der niet-Euclidische, negatief gekromde ruimten".
80:
states that there is a unique connection that satisfies these properties.
9859:
9833:
9755:
9444:
9383:
9080:
9069:
9026:
8927:
8528:
7990:
6376:
In fact, this connection is the Levi-Civita connection for the metric on
5764:
4965:
162:
5561:
Parallel transports on the punctured plane under Levi-Civita connections
5025:. The curve the parallel transport is done along is the unit circle. In
4934:{\displaystyle \left(\gamma ^{*}\nabla \right){\dot {\gamma }}\equiv 0.}
2757:
be an affine connection on the tangent bundle. Choose local coordinates
9740:
9305:
9263:
9089:
9002:
8634:
8538:
8449:
8376:
7967:
7750:
7005:
As an application, consider again the unit sphere, but this time under
7905:
Verhandelingen der
Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam
5568:
3032:{\displaystyle \nabla _{j}\partial _{k}=\Gamma _{jk}^{l}\partial _{l}}
883:
391:
as arguments. In the former case the output is a number, the (pseudo-)
9715:
9666:
9119:
9084:
8789:
8676:
4945:
880:, and condition 2 is sometimes called symmetry, cf. Do Carmo's text.
7941:
7732:
7134:{\displaystyle g={\frac {4\,dz\,d{\bar {z}}}{(1+z{\bar {z}})^{2}}}.}
9745:
9730:
9283:
9278:
9268:
8659:
8480:
8248:
8080:
An introduction to differentiable manifolds and
Riemannian geometry
6468:, then the Levi-Civita connection transforms according to the rule
6388:. Indeed, one can check that this connection preserves the metric.
5652:
128:
50:
2488:{\displaystyle g(\nabla _{X}(fY),Z)=X(f)g(Y,Z)+fg(\nabla _{X}Y,Z)}
9439:
9401:
7903:(1918). "Die direkte Analysis zur neueren Relativiteitstheorie".
7828:
A Comprehensive introduction to differential geometry (Volume II)
6420:
is replaced by the conformally rescaled metric of the same class
4844:{\displaystyle \nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}{\dot {\gamma }}(t)}
9765:
9357:
8875:
6370:
1550:
By torsion-freeness, the right hand side is therefore equal to
2038:
is non degenerate, and the right hand side does not depend on
5129:{\displaystyle ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}=dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}}
4591:
6235:
is constant, hence its differential vanishes. In particular
123:
and explore the relationship of parallel transport with the
5727:
Warning: This is parallel transport on the punctured plane
9326:
4952:
that are parametrised proportionally to their arc length.
2716:{\displaystyle g(\nabla _{X}Y,Z)-g(\nabla _{Y}X,Z)=g(,Z).}
6775:{\displaystyle g^{ik}(\partial _{i}\gamma )\partial _{k}}
5272:{\displaystyle dr={\frac {xdx+ydy}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}
4361:{\displaystyle \partial _{j},\partial _{k},\partial _{l}}
3042:
The
Christoffel symbols conversely define the connection
8041:
5351:{\displaystyle d\theta ={\frac {xdy-ydx}{x^{2}+y^{2}}}}
2121:, not just real-linear. Hence by the non degeneracy of
6391:
4997:
4699:{\displaystyle D_{t}V=\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}V.}
4400:
1750:
7735:[The notion of parallelism on any manifold].
7636:
7489:
7373:
7260:
7186:
7147:
7053:
7018:
6852:
6817:
6788:
6729:
6706:
6686:
6666:
6619:
6474:
6426:
6402:
6241:
6113:
5944:
5664:
5580:
5365:
5286:
5207:
5142:
5038:
4984:
4889:
4857:
4791:
4747:
4645:
4558:
4528:
4377:
4321:
4289:
4227:
4065:
3944:
3669:
3646:
3546:
3071:
3048:
2977:
2954:
2919:
2882:
2855:
2809:
2763:
2743:
2617:
2502:
2380:
2232:
2209:
2177:
2147:
2127:
2107:
2087:
2067:
2061:
To prove existence, note that for given vector field
2044:
2024:
2004:
1717:
1559:
1283:
1260:
1142:
1119:
964:
935:
903:
858:
838:
799:
735:
715:
695:
656:
629:
515:
460:
243:{\displaystyle M^{n}\subset \mathbf {R} ^{n(n+1)/2}.}
188:
119:, used Christoffel's symbols to define the notion of
18:
Affine connection on the tangent bundle of a manifold
5785:
is naturally identified with the vector subspace of
1693:{\displaystyle 2g(\nabla _{X}Y,Z)-g(,Z)+g(,Y)+g(,X)}
8038:
7875:
Koninklijke
Akademie van Wetenschappen. Proceedings
6811:is torsion-free. To verify metricity, assume that
4964:along a curve with respect to a connection defines
2842:{\displaystyle \partial _{1},\ldots ,\partial _{n}}
884:
Fundamental theorem of (pseudo-)Riemannian geometry
8196:
8077:
7733:"Nozione di parallelismo in una varietà qualunque"
7688:
7622:
7475:
7359:
7246:
7172:
7133:
7039:
6995:
6838:
6803:
6774:
6715:
6692:
6672:
6652:
6605:
6460:
6408:
6361:
6187:
6052:
5896:
5712:
5638:
5546:
5350:
5271:
5190:
5128:
5018:{\displaystyle \mathbf {R} ^{2}\backslash \{0,0\}}
5017:
4933:
4872:
4843:
4771:
4698:
4574:
4544:
4511:
4360:
4307:
4269:
4207:
4041:
3924:
3652:
3629:
3526:
3054:
3031:
2960:
2940:
2902:
2868:
2841:
2795:
2749:
2715:
2602:
2487:
2365:
2215:
2195:
2163:
2133:
2113:
2093:
2073:
2050:
2030:
2010:
1987:
1692:
1538:
1266:
1242:
1125:
1101:
941:
921:
864:
844:
817:
785:
721:
701:
671:
635:
594:
498:
242:
7856:Koninklijke Akademie van Wetenschappen. Verslagen
7723:
7721:
7247:{\displaystyle \gamma =\ln(2)-\ln(1+z{\bar {z}})}
5738:
4270:{\displaystyle \Gamma _{jk}^{l}=\Gamma _{kj}^{l}}
2968:with respect to these coordinates are defined as
1980:
1763:
9984:
8098:
7789:Journal für die reine und angewandte Mathematik
5639:{\displaystyle ds^{2}=dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}}
7718:
876:Condition 1 above is sometimes referred to as
256:obtained analogous results. In the same year,
9342:
8465:
8182:
6348:
6314:
6304:
6269:
6161:
6116:
5856:
5831:
3721:
3682:
3505:
3441:
3414:
3330:
3303:
3227:
2595:
2570:
1874:
1849:
1836:
1811:
1798:
1773:
1390:
1365:
1352:
1327:
1314:
1289:
1173:
1148:
995:
970:
165:pointed out its importance for the case of a
8053:
7738:Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo
6653:{\displaystyle \mathrm {grad} _{g}(\gamma )}
6044:
6014:
5012:
5000:
381:can take up to two vectors or vector fields
7995:. Francis J. Flaherty. Boston: Birkhäuser.
7779:
7727:
407:. In the latter case, the inner product of
9349:
9335:
8472:
8458:
8352:Fundamental theorem of Riemannian geometry
8189:
8175:
8023:
5713:{\displaystyle ds^{2}=dr^{2}+d\theta ^{2}}
5191:{\displaystyle ds^{2}=dr^{2}+d\theta ^{2}}
890:Fundamental theorem of Riemannian geometry
786:{\displaystyle \nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X=}
107:The Levi-Civita connection is named after
78:fundamental theorem of Riemannian geometry
7338:
7325:
7154:
7073:
7066:
6096:. That is, we need to prove that for all
5029:, the metric on the left is the standard
4585:
9706:Covariance and contravariance of vectors
8479:
7925:(1918). "Gravitation und Elektrizitat".
7899:
7830:. Publish or Perish Press. p. 238.
6461:{\displaystyle {\hat {g}}=e^{2\gamma }g}
5791:consisting of all vectors orthogonal to
5731:the unit circle, not parallel transport
3062:on the coordinate neighbourhood because
8072:
7872:
7850:
6782:. Indeed, it is trivial to verify that
4280:is symmetric in its lower two indices.
2903:{\displaystyle \nabla _{\partial _{j}}}
1113:Hence one can write the condition that
252:In 1918, independently of Levi-Civita,
127:, thus developing the modern notion of
9985:
7822:
6078:satisfies the Leibniz identity and is
5658:This transport is given by the metric
5574:This transport is given by the metric
2732:
643:is called a Levi-Civita connection if
111:, although originally "discovered" by
9330:
8453:
8170:
7988:
4955:
499:{\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}
8108:Foundations of differential geometry
8026:Introduction to Riemannian manifolds
7989:Carmo, Manfredo Perdigão do (1992).
7939:
7921:
6804:{\displaystyle {\widehat {\nabla }}}
6074:It is straightforward to prove that
2803:with coordinate basis vector fields
929:has a unique Levi Civita connection
615:
371:. It is again a smooth vector field.
260:generalized Levi-Civita's results.
6392:Behaviour under conformal rescaling
5136:, while the metric on the right is
4772:{\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)}
2796:{\displaystyle x^{1},\ldots ,x^{n}}
13:
9569:Tensors in curvilinear coordinates
8156:PlanetMath: Levi-Civita Connection
7927:Sitzungsberichte Berliner Akademie
7664:
7652:
7641:
7601:
7585:
7501:
7498:
7495:
7492:
7435:
7401:
7389:
7378:
6872:
6792:
6763:
6747:
6631:
6628:
6625:
6622:
6581:
6578:
6575:
6572:
6501:
6479:
6127:
5951:
5871:
4905:
4793:
4779:is a vector field along the curve
4663:
4482:
4456:
4430:
4379:
4349:
4336:
4323:
4250:
4229:
4187:
4174:
4158:
4137:
4116:
4100:
4090:
4077:
4067:
4006:
3972:
3946:
3910:
3892:
3879:
3857:
3844:
3826:
3804:
3794:
3781:
3759:
3746:
3736:
3707:
3694:
3671:
3647:
3600:
3577:
3551:
3511:
3486:
3447:
3403:
3385:
3362:
3336:
3292:
3282:
3259:
3233:
3193:
3170:
3137:
3112:
3097:
3077:
3049:
3020:
3002:
2989:
2979:
2955:
2921:
2889:
2884:
2857:
2830:
2811:
2744:
2656:
2625:
2541:
2510:
2464:
2388:
2335:
2297:
2240:
2149:
2045:
1725:
1570:
1515:
1499:
1468:
1452:
1421:
1405:
1225:
1188:
1120:
1084:
1047:
1007:
936:
753:
737:
657:
630:
580:
547:
543:
14:
10009:
8151:MathWorld: Levi-Civita Connection
8126:
7009:, so that the metric (in complex
5797:. It follows that a vector field
897:Every pseudo-Riemannian manifold
6723:, in local coordinates given by
6660:is the gradient vector field of
6369:The equation (1) above follows.
6060:defines an affine connection on
5882:
5651:
5567:
4987:
4873:{\displaystyle {\dot {\gamma }}}
3660:is compatible with a metric iff
2941:{\displaystyle \Gamma _{jk}^{l}}
204:
8047:
8032:
8017:
7942:"Reine Infinitesimal geometrie"
7173:{\displaystyle dz\,d{\bar {z}}}
6172:
5870:
8512:Differentiable/Smooth manifold
8028:. Springer-Verlag. p. 22.
7982:
7933:
7915:
7893:
7866:
7844:
7815:
7773:
7673:
7617:
7610:
7578:
7569:
7557:
7550:
7532:
7523:
7517:
7461:
7428:
7354:
7348:
7319:
7310:
7298:
7291:
7273:
7241:
7235:
7217:
7205:
7199:
7164:
7116:
7109:
7091:
7083:
7031:
6987:
6984:
6972:
6966:
6957:
6938:
6926:
6920:
6911:
6905:
6896:
6865:
6859:
6833:
6821:
6759:
6743:
6647:
6641:
6597:
6591:
6567:
6555:
6543:
6537:
6525:
6519:
6433:
6343:
6337:
6328:
6322:
6293:
6287:
6261:
6255:
6179:
6173:
6150:
6144:
6041:
6035:
6026:
6020:
6008:
6005:
5999:
5993:
5974:
5968:
5845:
5839:
5532:
5505:
5494:
5469:
5426:
5401:
4838:
4832:
4815:
4809:
4766:
4760:
4685:
4679:
4196:
4170:
4154:
4112:
3919:
3875:
3866:
3822:
3813:
3777:
3768:
3732:
3716:
3690:
3564:
3547:
3469:
3456:
3358:
3345:
3255:
3242:
3202:
3179:
3146:
3123:
2707:
2698:
2686:
2683:
2674:
2652:
2643:
2621:
2590:
2578:
2559:
2537:
2528:
2506:
2482:
2460:
2448:
2436:
2430:
2424:
2415:
2406:
2397:
2384:
2360:
2331:
2322:
2293:
2284:
2275:
2249:
2236:
1975:
1966:
1954:
1951:
1942:
1933:
1921:
1918:
1909:
1900:
1888:
1885:
1869:
1857:
1831:
1819:
1793:
1781:
1743:
1721:
1687:
1678:
1666:
1663:
1654:
1645:
1633:
1630:
1621:
1612:
1600:
1597:
1588:
1566:
1533:
1495:
1486:
1448:
1439:
1401:
1385:
1373:
1347:
1335:
1309:
1297:
1237:
1215:
1206:
1184:
1168:
1156:
1096:
1074:
1065:
1043:
1034:
1022:
1019:
1003:
990:
978:
916:
904:
812:
800:
780:
768:
689:, i.e., for any vector fields
525:
519:
493:
461:
224:
212:
1:
9622:Exterior covariant derivative
9554:Tensor (intrinsic definition)
8066:
8043:. Academic Press. p. 61.
6229:, which is always 0. The map
5739:Example: the unit sphere in R
4636:its derivative is defined by
878:compatibility with the metric
448:defines a smooth function on
9647:Raising and lowering indices
8279:Raising and lowering indices
7483:With the Euclidean gradient
7040:{\displaystyle z,{\bar {z}}}
6846:is constant. In that case,
5916:the differential of the map
4283:As one checks by taking for
2164:{\displaystyle \nabla _{X}Y}
336:are smooth vector fields on
154:for the case of a space of
7:
9885:Gluon field strength tensor
9356:
9218:Classification of manifolds
8139:Encyclopedia of Mathematics
7699:
4315:, coordinate vector fields
2869:{\displaystyle \nabla _{j}}
263:
89:pseudo-Riemannian manifolds
10:
10014:
9696:Cartan formalism (physics)
9516:Penrose graphical notation
8300:Pseudo-Riemannian manifold
887:
672:{\displaystyle \nabla g=0}
282:pseudo-Riemannian manifold
173:, i.e., for the case of a
115:. Levi-Civita, along with
102:
27:pseudo-Riemannian geometry
9902:
9842:
9791:
9784:
9676:
9607:
9544:
9488:
9435:
9382:
9375:
9368:Glossary of tensor theory
9364:
9294:over commutative algebras
9251:
9210:
9143:
9040:
8936:
8883:
8874:
8710:
8633:
8572:
8492:
8429:Geometrization conjecture
8416:
8390:
8344:
8313:
8209:
8110:. John Wiley & Sons.
7947:Mathematische Zeitschrift
9998:Connection (mathematics)
9952:Gregorio Ricci-Curbastro
9824:Riemann curvature tensor
9531:Van der Waerden notation
9010:Riemann curvature tensor
8134:"Levi-Civita connection"
8039:Barrett O'Neill (1983).
7711:
7011:Fubini–Study coordinates
7007:stereographic projection
6716:{\displaystyle d\gamma }
6066:with vanishing torsion.
1133:preserves the metric as
433:on the manifold so that
312:pseudo-Riemannian metric
117:Gregorio Ricci-Curbastro
9922:Elwin Bruno Christoffel
9855:Angular momentum tensor
9526:Tetrad (index notation)
9496:Abstract index notation
8058:. Springer. p. 58.
7801:10.1515/crll.1869.70.46
6673:{\displaystyle \gamma }
5773:. The tangent space to
4594:, sometimes denoted by
3653:{\displaystyle \nabla }
3055:{\displaystyle \nabla }
2961:{\displaystyle \nabla }
2750:{\displaystyle \nabla }
2051:{\displaystyle \nabla }
1126:{\displaystyle \nabla }
942:{\displaystyle \nabla }
648:it preserves the metric
636:{\displaystyle \nabla }
427:is taken at all points
113:Elwin Bruno Christoffel
9736:Levi-Civita connection
8802:Manifold with boundary
8517:Differential structure
8439:Uniformization theorem
8372:Nash embedding theorem
8305:Riemannian volume form
8264:Levi-Civita connection
8161:Levi-Civita connection
7940:Weyl, Hermann (1918).
7901:Schouten, Jan Arnoldus
7706:Weitzenböck connection
7690:
7624:
7477:
7361:
7248:
7174:
7135:
7041:
6997:
6840:
6839:{\displaystyle g(Y,Y)}
6805:
6776:
6717:
6694:
6680:i.e. the vector field
6674:
6654:
6607:
6462:
6410:
6363:
6189:
6054:
5898:
5714:
5640:
5548:
5352:
5273:
5192:
5130:
5019:
4935:
4874:
4845:
4773:
4700:
4586:Derivative along curve
4576:
4575:{\displaystyle g_{kl}}
4546:
4545:{\displaystyle g^{ij}}
4513:
4362:
4309:
4271:
4218:i.e., if and only if
4209:
4043:
3926:
3654:
3631:
3528:
3056:
3033:
2962:
2942:
2904:
2870:
2843:
2797:
2751:
2717:
2604:
2489:
2367:
2217:
2197:
2165:
2135:
2115:
2095:
2075:
2052:
2032:
2012:
1989:
1694:
1540:
1268:
1244:
1127:
1103:
943:
923:
866:
846:
819:
787:
723:
703:
673:
637:
596:
500:
244:
39:Levi-Civita connection
9962:Jan Arnoldus Schouten
9917:Augustin-Louis Cauchy
9397:Differential geometry
8163:at the Manifold Atlas
8122:See Volume I pag. 158
8054:Arthur Besse (1987).
7781:Christoffel, Elwin B.
7691:
7625:
7478:
7362:
7249:
7175:
7136:
7042:
6998:
6841:
6806:
6777:
6718:
6695:
6675:
6655:
6608:
6463:
6411:
6364:
6190:
6055:
5899:
5809:can be seen as a map
5715:
5641:
5549:
5353:
5274:
5193:
5131:
5020:
4936:
4875:
4846:
4774:
4701:
4603:Given a smooth curve
4577:
4547:
4514:
4363:
4310:
4308:{\displaystyle X,Y,Z}
4272:
4210:
4052:An affine connection
4044:
3935:i.e., if and only if
3927:
3655:
3640:An affine connection
3632:
3529:
3057:
3034:
2963:
2943:
2905:
2871:
2844:
2798:
2752:
2718:
2605:
2490:
2368:
2218:
2198:
2196:{\displaystyle X,Y,Z}
2166:
2136:
2116:
2096:
2076:
2053:
2033:
2013:
1990:
1695:
1541:
1269:
1245:
1128:
1104:
944:
924:
922:{\displaystyle (M,g)}
867:
847:
820:
788:
724:
704:
674:
638:
597:
501:
254:Jan Arnoldus Schouten
245:
9937:Carl Friedrich Gauss
9870:stress–energy tensor
9865:Cauchy stress tensor
9617:Covariant derivative
9579:Antisymmetric tensor
9511:Multi-index notation
8949:Covariant derivative
8500:Topological manifold
8362:Gauss–Bonnet theorem
8269:Covariant derivative
8100:Kobayashi, Shoshichi
7634:
7487:
7371:
7258:
7184:
7145:
7051:
7016:
6850:
6815:
6786:
6727:
6704:
6684:
6664:
6617:
6472:
6424:
6400:
6239:
6111:
5942:
5827:
5662:
5578:
5363:
5284:
5205:
5140:
5036:
4982:
4887:
4855:
4789:
4745:
4643:
4556:
4526:
4375:
4319:
4287:
4225:
4063:
4056:is torsion free iff
3942:
3667:
3644:
3544:
3069:
3046:
2975:
2952:
2917:
2880:
2853:
2807:
2761:
2741:
2615:
2500:
2378:
2230:
2207:
2175:
2145:
2125:
2105:
2085:
2065:
2042:
2022:
2002:
1715:
1557:
1281:
1258:
1140:
1117:
962:
933:
901:
856:
836:
797:
733:
713:
693:
654:
627:
610:summation convention
513:
458:
186:
180:intrinsic derivative
93:covariant derivative
9993:Riemannian geometry
9814:Nonmetricity tensor
9669:(2nd-order tensors)
9637:Hodge star operator
9627:Exterior derivative
9476:Transport phenomena
9461:Continuum mechanics
9417:Multilinear algebra
8983:Exterior derivative
8585:Atiyah–Singer index
8534:Riemannian manifold
8434:Poincaré conjecture
8295:Riemannian manifold
8283:Musical isomorphism
8198:Riemannian geometry
8074:Boothby, William M.
8024:John M Lee (2018).
7992:Riemannian geometry
7960:1918MatZ....2..384W
7887:1906KNAB....9..116B
7729:Levi-Civita, Tullio
5936: —
4717:pullback connection
4395:
4266:
4245:
4153:
4132:
4022:
3988:
3908:
3842:
3616:
3502:
3401:
3018:
2937:
2912:Christoffel symbols
2733:Christoffel symbols
1254:By the symmetry of
506:, the action reads
175:Riemannian manifold
97:Christoffel symbols
31:Lorentzian geometry
29:(in particular the
9947:Tullio Levi-Civita
9890:Metric tensor (GR)
9804:Levi-Civita symbol
9657:Tensor contraction
9471:General relativity
9407:Euclidean geometry
9289:Secondary calculus
9243:Singularity theory
9198:Parallel transport
8966:De Rham cohomology
8605:Generalized Stokes
8424:General relativity
8367:Hopf–Rinow theorem
8314:Types of manifolds
8290:Parallel transport
8084:. Academic Press.
8056:Einstein manifolds
7968:10.1007/bf01199420
7751:10.1007/BF03014898
7686:
7620:
7473:
7357:
7244:
7170:
7131:
7037:
6993:
6836:
6801:
6772:
6713:
6690:
6670:
6650:
6603:
6458:
6406:
6359:
6185:
6072:
6050:
5934:
5823:, which satisfies
5710:
5636:
5544:
5348:
5269:
5188:
5126:
5015:
4962:parallel transport
4956:Parallel transport
4931:
4870:
4841:
4769:
4696:
4572:
4542:
4509:
4409:
4378:
4358:
4305:
4267:
4249:
4228:
4205:
4136:
4115:
4039:
4005:
3971:
3922:
3891:
3825:
3650:
3627:
3599:
3524:
3522:
3485:
3384:
3052:
3029:
3001:
2958:
2938:
2920:
2900:
2866:
2839:
2793:
2747:
2713:
2600:
2485:
2363:
2213:
2203:and all functions
2193:
2161:
2131:
2111:
2091:
2071:
2048:
2028:
2008:
1985:
1759:
1690:
1536:
1264:
1240:
1123:
1099:
939:
919:
862:
842:
815:
783:
719:
699:
669:
633:
592:
496:
240:
156:constant curvature
148:parallel transport
121:parallel transport
109:Tullio Levi-Civita
35:general relativity
9980:
9979:
9942:Hermann Grassmann
9898:
9897:
9850:Moment of inertia
9711:Differential form
9686:Affine connection
9501:Einstein notation
9484:
9483:
9412:Exterior calculus
9392:Coordinate system
9324:
9323:
9206:
9205:
8971:Differential form
8625:Whitney embedding
8559:Differential form
8447:
8446:
7852:Brouwer, L. E. J.
7676:
7647:
7613:
7581:
7553:
7468:
7464:
7431:
7384:
7351:
7322:
7294:
7238:
7167:
7126:
7112:
7086:
7034:
6969:
6952:
6923:
6878:
6862:
6798:
6693:{\displaystyle g}
6485:
6436:
6409:{\displaystyle g}
6201:that sends every
6195:Consider the map
6070:
5932:
5542:
5461:
5346:
5267:
5266:
5027:polar coordinates
4922:
4867:
4829:
4806:
4757:
4676:
4408:
2216:{\displaystyle f}
2134:{\displaystyle g}
2114:{\displaystyle Z}
2094:{\displaystyle Y}
2074:{\displaystyle X}
2031:{\displaystyle g}
2011:{\displaystyle Z}
1758:
1267:{\displaystyle g}
865:{\displaystyle Y}
845:{\displaystyle X}
722:{\displaystyle Y}
702:{\displaystyle X}
622:affine connection
616:Formal definition
561:
83:In the theory of
67:Riemannian metric
55:affine connection
43:affine connection
10005:
9957:Bernhard Riemann
9789:
9788:
9632:Exterior product
9599:Two-point tensor
9584:Symmetric tensor
9466:Electromagnetism
9380:
9379:
9351:
9344:
9337:
9328:
9327:
9316:Stratified space
9274:Fréchet manifold
8988:Interior product
8881:
8880:
8578:
8474:
8467:
8460:
8451:
8450:
8191:
8184:
8177:
8168:
8167:
8147:
8121:
8095:
8083:
8060:
8059:
8051:
8045:
8044:
8036:
8030:
8029:
8021:
8015:
8014:
7986:
7980:
7979:
7954:(3–4): 384–411.
7937:
7931:
7930:
7919:
7913:
7912:
7897:
7891:
7890:
7870:
7864:
7863:
7848:
7842:
7841:
7819:
7813:
7812:
7777:
7771:
7770:
7725:
7695:
7693:
7692:
7687:
7679:
7678:
7677:
7669:
7662:
7661:
7660:
7659:
7649:
7648:
7640:
7629:
7627:
7626:
7621:
7616:
7615:
7614:
7606:
7593:
7592:
7583:
7582:
7574:
7568:
7567:
7555:
7554:
7546:
7516:
7515:
7504:
7482:
7480:
7479:
7474:
7469:
7467:
7466:
7465:
7457:
7444:
7443:
7442:
7433:
7432:
7424:
7417:
7409:
7408:
7399:
7398:
7397:
7396:
7386:
7385:
7377:
7366:
7364:
7363:
7358:
7353:
7352:
7344:
7324:
7323:
7315:
7309:
7308:
7296:
7295:
7287:
7253:
7251:
7250:
7245:
7240:
7239:
7231:
7179:
7177:
7176:
7171:
7169:
7168:
7160:
7140:
7138:
7137:
7132:
7127:
7125:
7124:
7123:
7114:
7113:
7105:
7089:
7088:
7087:
7079:
7061:
7046:
7044:
7043:
7038:
7036:
7035:
7027:
7002:
7000:
6999:
6994:
6971:
6970:
6962:
6953:
6945:
6925:
6924:
6916:
6886:
6885:
6880:
6879:
6871:
6864:
6863:
6855:
6845:
6843:
6842:
6837:
6810:
6808:
6807:
6802:
6800:
6799:
6791:
6781:
6779:
6778:
6773:
6771:
6770:
6755:
6754:
6742:
6741:
6722:
6720:
6719:
6714:
6699:
6697:
6696:
6691:
6679:
6677:
6676:
6671:
6659:
6657:
6656:
6651:
6640:
6639:
6634:
6612:
6610:
6609:
6604:
6590:
6589:
6584:
6509:
6508:
6493:
6492:
6487:
6486:
6478:
6467:
6465:
6464:
6459:
6454:
6453:
6438:
6437:
6429:
6415:
6413:
6412:
6407:
6387:
6381:
6368:
6366:
6365:
6360:
6352:
6351:
6318:
6317:
6308:
6307:
6283:
6282:
6273:
6272:
6251:
6250:
6234:
6228:
6212:
6206:
6200:
6194:
6192:
6191:
6186:
6165:
6164:
6143:
6139:
6135:
6134:
6120:
6119:
6107:
6101:
6095:
6088:
6077:
6065:
6059:
6057:
6056:
6051:
5989:
5988:
5967:
5963:
5959:
5958:
5937:
5928:. Then we have:
5927:
5921:
5915:
5903:
5901:
5900:
5895:
5891:
5890:
5885:
5860:
5859:
5835:
5834:
5822:
5808:
5802:
5796:
5790:
5784:
5778:
5772:
5762:
5756:
5746:
5719:
5717:
5716:
5711:
5709:
5708:
5693:
5692:
5677:
5676:
5655:
5645:
5643:
5642:
5637:
5635:
5634:
5622:
5621:
5609:
5608:
5593:
5592:
5571:
5553:
5551:
5550:
5545:
5543:
5541:
5540:
5539:
5530:
5529:
5517:
5516:
5503:
5502:
5501:
5467:
5462:
5460:
5459:
5458:
5446:
5445:
5435:
5434:
5433:
5399:
5394:
5393:
5378:
5377:
5357:
5355:
5354:
5349:
5347:
5345:
5344:
5343:
5331:
5330:
5320:
5297:
5278:
5276:
5275:
5270:
5268:
5265:
5264:
5252:
5251:
5242:
5241:
5218:
5197:
5195:
5194:
5189:
5187:
5186:
5171:
5170:
5155:
5154:
5135:
5133:
5132:
5127:
5125:
5124:
5112:
5111:
5099:
5098:
5083:
5082:
5067:
5066:
5051:
5050:
5031:Euclidean metric
5024:
5022:
5021:
5016:
4996:
4995:
4990:
4940:
4938:
4937:
4932:
4924:
4923:
4915:
4912:
4908:
4904:
4903:
4879:
4877:
4876:
4871:
4869:
4868:
4860:
4850:
4848:
4847:
4842:
4831:
4830:
4822:
4819:
4818:
4808:
4807:
4799:
4784:
4778:
4776:
4775:
4770:
4759:
4758:
4750:
4737:
4724:
4714:
4705:
4703:
4702:
4697:
4689:
4688:
4678:
4677:
4669:
4655:
4654:
4635:
4629:
4620:
4608:
4599:
4581:
4579:
4578:
4573:
4571:
4570:
4551:
4549:
4548:
4543:
4541:
4540:
4518:
4516:
4515:
4510:
4508:
4504:
4503:
4502:
4490:
4489:
4477:
4476:
4464:
4463:
4451:
4450:
4438:
4437:
4423:
4422:
4410:
4401:
4394:
4389:
4367:
4365:
4364:
4359:
4357:
4356:
4344:
4343:
4331:
4330:
4314:
4312:
4311:
4306:
4276:
4274:
4273:
4268:
4265:
4260:
4244:
4239:
4214:
4212:
4211:
4206:
4195:
4194:
4182:
4181:
4166:
4165:
4152:
4147:
4131:
4126:
4108:
4107:
4098:
4097:
4085:
4084:
4075:
4074:
4055:
4048:
4046:
4045:
4040:
4035:
4034:
4021:
4016:
4001:
4000:
3987:
3982:
3967:
3966:
3954:
3953:
3931:
3929:
3928:
3923:
3918:
3917:
3907:
3902:
3887:
3886:
3865:
3864:
3852:
3851:
3841:
3836:
3812:
3811:
3802:
3801:
3789:
3788:
3767:
3766:
3754:
3753:
3744:
3743:
3725:
3724:
3715:
3714:
3702:
3701:
3686:
3685:
3679:
3678:
3659:
3657:
3656:
3651:
3636:
3634:
3633:
3628:
3626:
3625:
3615:
3610:
3595:
3594:
3585:
3584:
3572:
3571:
3559:
3558:
3533:
3531:
3530:
3525:
3523:
3519:
3518:
3509:
3508:
3501:
3496:
3484:
3483:
3468:
3467:
3455:
3454:
3445:
3444:
3438:
3437:
3422:
3418:
3417:
3411:
3410:
3400:
3395:
3383:
3382:
3370:
3369:
3357:
3356:
3344:
3343:
3334:
3333:
3327:
3326:
3311:
3307:
3306:
3300:
3299:
3290:
3289:
3280:
3279:
3267:
3266:
3254:
3253:
3241:
3240:
3231:
3230:
3224:
3223:
3208:
3201:
3200:
3191:
3190:
3178:
3177:
3168:
3167:
3152:
3145:
3144:
3135:
3134:
3122:
3121:
3120:
3119:
3110:
3109:
3085:
3084:
3061:
3059:
3058:
3053:
3038:
3036:
3035:
3030:
3028:
3027:
3017:
3012:
2997:
2996:
2987:
2986:
2967:
2965:
2964:
2959:
2947:
2945:
2944:
2939:
2936:
2931:
2909:
2907:
2906:
2901:
2899:
2898:
2897:
2896:
2875:
2873:
2872:
2867:
2865:
2864:
2848:
2846:
2845:
2840:
2838:
2837:
2819:
2818:
2802:
2800:
2799:
2794:
2792:
2791:
2773:
2772:
2756:
2754:
2753:
2748:
2722:
2720:
2719:
2714:
2664:
2663:
2633:
2632:
2609:
2607:
2606:
2601:
2599:
2598:
2574:
2573:
2549:
2548:
2518:
2517:
2494:
2492:
2491:
2486:
2472:
2471:
2396:
2395:
2372:
2370:
2369:
2364:
2353:
2352:
2343:
2342:
2315:
2314:
2305:
2304:
2274:
2273:
2261:
2260:
2248:
2247:
2222:
2220:
2219:
2214:
2202:
2200:
2199:
2194:
2170:
2168:
2167:
2162:
2157:
2156:
2140:
2138:
2137:
2132:
2120:
2118:
2117:
2112:
2100:
2098:
2097:
2092:
2080:
2078:
2077:
2072:
2057:
2055:
2054:
2049:
2037:
2035:
2034:
2029:
2017:
2015:
2014:
2009:
1994:
1992:
1991:
1986:
1984:
1983:
1878:
1877:
1853:
1852:
1840:
1839:
1815:
1814:
1802:
1801:
1777:
1776:
1767:
1766:
1760:
1751:
1733:
1732:
1699:
1697:
1696:
1691:
1578:
1577:
1545:
1543:
1542:
1537:
1523:
1522:
1507:
1506:
1476:
1475:
1460:
1459:
1429:
1428:
1413:
1412:
1394:
1393:
1369:
1368:
1356:
1355:
1331:
1330:
1318:
1317:
1293:
1292:
1273:
1271:
1270:
1265:
1249:
1247:
1246:
1241:
1233:
1232:
1196:
1195:
1177:
1176:
1152:
1151:
1132:
1130:
1129:
1124:
1108:
1106:
1105:
1100:
1092:
1091:
1055:
1054:
1015:
1014:
999:
998:
974:
973:
948:
946:
945:
940:
928:
926:
925:
920:
871:
869:
868:
863:
851:
849:
848:
843:
824:
822:
821:
818:{\displaystyle }
816:
792:
790:
789:
784:
761:
760:
745:
744:
728:
726:
725:
720:
708:
706:
705:
700:
678:
676:
675:
670:
642:
640:
639:
634:
601:
599:
598:
593:
588:
587:
578:
577:
562:
560:
559:
558:
542:
540:
539:
505:
503:
502:
497:
492:
491:
473:
472:
453:
447:
432:
426:
406:
400:
390:
380:
370:
364:
351:
341:
335:
319:
309:
301:
291:
279:
249:
247:
246:
241:
236:
235:
231:
207:
198:
197:
146:to consider the
140:L. E. J. Brouwer
10013:
10012:
10008:
10007:
10006:
10004:
10003:
10002:
9983:
9982:
9981:
9976:
9927:Albert Einstein
9894:
9875:Einstein tensor
9838:
9819:Ricci curvature
9799:Kronecker delta
9785:Notable tensors
9780:
9701:Connection form
9678:
9672:
9603:
9589:Tensor operator
9546:
9540:
9480:
9456:Computer vision
9449:
9431:
9427:Tensor calculus
9371:
9360:
9355:
9325:
9320:
9259:Banach manifold
9252:Generalizations
9247:
9202:
9139:
9036:
8998:Ricci curvature
8954:Cotangent space
8932:
8870:
8712:
8706:
8665:Exponential map
8629:
8574:
8568:
8488:
8478:
8448:
8443:
8412:
8391:Generalizations
8386:
8340:
8309:
8244:Exponential map
8205:
8195:
8132:
8129:
8118:
8104:Nomizu, Katsumi
8092:
8069:
8064:
8063:
8052:
8048:
8037:
8033:
8022:
8018:
8003:
7987:
7983:
7938:
7934:
7920:
7916:
7898:
7894:
7871:
7867:
7849:
7845:
7838:
7824:Spivak, Michael
7820:
7816:
7778:
7774:
7726:
7719:
7714:
7702:
7668:
7667:
7663:
7655:
7651:
7650:
7639:
7638:
7637:
7635:
7632:
7631:
7605:
7604:
7600:
7588:
7584:
7573:
7572:
7560:
7556:
7545:
7544:
7505:
7491:
7490:
7488:
7485:
7484:
7456:
7455:
7445:
7438:
7434:
7423:
7422:
7418:
7416:
7404:
7400:
7392:
7388:
7387:
7376:
7375:
7374:
7372:
7369:
7368:
7343:
7342:
7314:
7313:
7301:
7297:
7286:
7285:
7259:
7256:
7255:
7230:
7229:
7185:
7182:
7181:
7159:
7158:
7146:
7143:
7142:
7119:
7115:
7104:
7103:
7090:
7078:
7077:
7062:
7060:
7052:
7049:
7048:
7026:
7025:
7017:
7014:
7013:
6961:
6960:
6944:
6915:
6914:
6881:
6870:
6869:
6868:
6854:
6853:
6851:
6848:
6847:
6816:
6813:
6812:
6790:
6789:
6787:
6784:
6783:
6766:
6762:
6750:
6746:
6734:
6730:
6728:
6725:
6724:
6705:
6702:
6701:
6685:
6682:
6681:
6665:
6662:
6661:
6635:
6621:
6620:
6618:
6615:
6614:
6585:
6571:
6570:
6504:
6500:
6488:
6477:
6476:
6475:
6473:
6470:
6469:
6446:
6442:
6428:
6427:
6425:
6422:
6421:
6418:conformal class
6401:
6398:
6397:
6394:
6383:
6382:inherited from
6377:
6374:
6347:
6346:
6313:
6312:
6303:
6302:
6278:
6274:
6268:
6267:
6246:
6242:
6240:
6237:
6236:
6230:
6214:
6208:
6202:
6196:
6160:
6159:
6130:
6126:
6125:
6121:
6115:
6114:
6112:
6109:
6108:
6103:
6097:
6091:
6079:
6075:
6068:
6061:
5984:
5980:
5954:
5950:
5949:
5945:
5943:
5940:
5939:
5935:
5923:
5917:
5912:
5907:
5886:
5881:
5880:
5855:
5854:
5830:
5829:
5828:
5825:
5824:
5810:
5804:
5798:
5792:
5786:
5780:
5774:
5768:
5758:
5752:
5744:
5741:
5725:
5724:
5723:
5722:
5721:
5704:
5700:
5688:
5684:
5672:
5668:
5663:
5660:
5659:
5656:
5648:
5647:
5630:
5626:
5617:
5613:
5604:
5600:
5588:
5584:
5579:
5576:
5575:
5572:
5563:
5562:
5535:
5531:
5525:
5521:
5512:
5508:
5504:
5497:
5493:
5468:
5466:
5454:
5450:
5441:
5437:
5436:
5429:
5425:
5400:
5398:
5389:
5385:
5373:
5369:
5364:
5361:
5360:
5339:
5335:
5326:
5322:
5321:
5298:
5296:
5285:
5282:
5281:
5260:
5256:
5247:
5243:
5219:
5217:
5206:
5203:
5202:
5182:
5178:
5166:
5162:
5150:
5146:
5141:
5138:
5137:
5120:
5116:
5107:
5103:
5094:
5090:
5078:
5074:
5062:
5058:
5046:
5042:
5037:
5034:
5033:
4991:
4986:
4985:
4983:
4980:
4979:
4977:punctured plane
4958:
4914:
4913:
4899:
4895:
4894:
4890:
4888:
4885:
4884:
4859:
4858:
4856:
4853:
4852:
4821:
4820:
4798:
4797:
4796:
4792:
4790:
4787:
4786:
4780:
4749:
4748:
4746:
4743:
4742:
4741:In particular,
4729:
4727:pullback bundle
4719:
4710:
4668:
4667:
4666:
4662:
4650:
4646:
4644:
4641:
4640:
4631:
4625:
4610:
4604:
4595:
4588:
4563:
4559:
4557:
4554:
4553:
4533:
4529:
4527:
4524:
4523:
4522:where as usual
4495:
4491:
4485:
4481:
4469:
4465:
4459:
4455:
4443:
4439:
4433:
4429:
4428:
4424:
4415:
4411:
4399:
4390:
4382:
4376:
4373:
4372:
4352:
4348:
4339:
4335:
4326:
4322:
4320:
4317:
4316:
4288:
4285:
4284:
4261:
4253:
4240:
4232:
4226:
4223:
4222:
4190:
4186:
4177:
4173:
4161:
4157:
4148:
4140:
4127:
4119:
4103:
4099:
4093:
4089:
4080:
4076:
4070:
4066:
4064:
4061:
4060:
4053:
4027:
4023:
4017:
4009:
3993:
3989:
3983:
3975:
3959:
3955:
3949:
3945:
3943:
3940:
3939:
3913:
3909:
3903:
3895:
3882:
3878:
3860:
3856:
3847:
3843:
3837:
3829:
3807:
3803:
3797:
3793:
3784:
3780:
3762:
3758:
3749:
3745:
3739:
3735:
3720:
3719:
3710:
3706:
3697:
3693:
3681:
3680:
3674:
3670:
3668:
3665:
3664:
3645:
3642:
3641:
3621:
3617:
3611:
3603:
3590:
3586:
3580:
3576:
3567:
3563:
3554:
3550:
3545:
3542:
3541:
3521:
3520:
3514:
3510:
3504:
3503:
3497:
3489:
3479:
3475:
3463:
3459:
3450:
3446:
3440:
3439:
3433:
3429:
3420:
3419:
3413:
3412:
3406:
3402:
3396:
3388:
3378:
3374:
3365:
3361:
3352:
3348:
3339:
3335:
3329:
3328:
3322:
3318:
3309:
3308:
3302:
3301:
3295:
3291:
3285:
3281:
3275:
3271:
3262:
3258:
3249:
3245:
3236:
3232:
3226:
3225:
3219:
3215:
3206:
3205:
3196:
3192:
3186:
3182:
3173:
3169:
3163:
3159:
3150:
3149:
3140:
3136:
3130:
3126:
3115:
3111:
3105:
3101:
3100:
3096:
3089:
3080:
3076:
3072:
3070:
3067:
3066:
3047:
3044:
3043:
3023:
3019:
3013:
3005:
2992:
2988:
2982:
2978:
2976:
2973:
2972:
2953:
2950:
2949:
2932:
2924:
2918:
2915:
2914:
2892:
2888:
2887:
2883:
2881:
2878:
2877:
2860:
2856:
2854:
2851:
2850:
2833:
2829:
2814:
2810:
2808:
2805:
2804:
2787:
2783:
2768:
2764:
2762:
2759:
2758:
2742:
2739:
2738:
2735:
2659:
2655:
2628:
2624:
2616:
2613:
2612:
2594:
2593:
2569:
2568:
2544:
2540:
2513:
2509:
2501:
2498:
2497:
2467:
2463:
2391:
2387:
2379:
2376:
2375:
2348:
2344:
2338:
2334:
2310:
2306:
2300:
2296:
2269:
2265:
2256:
2252:
2243:
2239:
2231:
2228:
2227:
2208:
2205:
2204:
2176:
2173:
2172:
2152:
2148:
2146:
2143:
2142:
2126:
2123:
2122:
2106:
2103:
2102:
2086:
2083:
2082:
2066:
2063:
2062:
2043:
2040:
2039:
2023:
2020:
2019:
2003:
2000:
1999:
1979:
1978:
1873:
1872:
1848:
1847:
1835:
1834:
1810:
1809:
1797:
1796:
1772:
1771:
1762:
1761:
1749:
1728:
1724:
1716:
1713:
1712:
1573:
1569:
1558:
1555:
1554:
1518:
1514:
1502:
1498:
1471:
1467:
1455:
1451:
1424:
1420:
1408:
1404:
1389:
1388:
1364:
1363:
1351:
1350:
1326:
1325:
1313:
1312:
1288:
1287:
1282:
1279:
1278:
1259:
1256:
1255:
1228:
1224:
1191:
1187:
1172:
1171:
1147:
1146:
1141:
1138:
1137:
1118:
1115:
1114:
1087:
1083:
1050:
1046:
1010:
1006:
994:
993:
969:
968:
963:
960:
959:
934:
931:
930:
902:
899:
898:
892:
886:
857:
854:
853:
837:
834:
833:
798:
795:
794:
756:
752:
740:
736:
734:
731:
730:
714:
711:
710:
694:
691:
690:
655:
652:
651:
628:
625:
624:
618:
583:
579:
573:
569:
554:
550:
546:
541:
535:
531:
514:
511:
510:
487:
483:
468:
464:
459:
456:
455:
449:
434:
428:
425:
416:
408:
402:
396:
382:
376:
366:
360:
347:
342:, i. e. smooth
337:
323:
315:
305:
297:
287:
269:
266:
227:
208:
203:
202:
193:
189:
187:
184:
183:
171:Euclidean space
105:
19:
12:
11:
5:
10011:
10001:
10000:
9995:
9978:
9977:
9975:
9974:
9969:
9967:Woldemar Voigt
9964:
9959:
9954:
9949:
9944:
9939:
9934:
9932:Leonhard Euler
9929:
9924:
9919:
9914:
9908:
9906:
9904:Mathematicians
9900:
9899:
9896:
9895:
9893:
9892:
9887:
9882:
9877:
9872:
9867:
9862:
9857:
9852:
9846:
9844:
9840:
9839:
9837:
9836:
9831:
9829:Torsion tensor
9826:
9821:
9816:
9811:
9806:
9801:
9795:
9793:
9786:
9782:
9781:
9779:
9778:
9773:
9768:
9763:
9758:
9753:
9748:
9743:
9738:
9733:
9728:
9723:
9718:
9713:
9708:
9703:
9698:
9693:
9688:
9682:
9680:
9674:
9673:
9671:
9670:
9664:
9662:Tensor product
9659:
9654:
9652:Symmetrization
9649:
9644:
9642:Lie derivative
9639:
9634:
9629:
9624:
9619:
9613:
9611:
9605:
9604:
9602:
9601:
9596:
9591:
9586:
9581:
9576:
9571:
9566:
9564:Tensor density
9561:
9556:
9550:
9548:
9542:
9541:
9539:
9538:
9536:Voigt notation
9533:
9528:
9523:
9521:Ricci calculus
9518:
9513:
9508:
9506:Index notation
9503:
9498:
9492:
9490:
9486:
9485:
9482:
9481:
9479:
9478:
9473:
9468:
9463:
9458:
9452:
9450:
9448:
9447:
9442:
9436:
9433:
9432:
9430:
9429:
9424:
9422:Tensor algebra
9419:
9414:
9409:
9404:
9402:Dyadic algebra
9399:
9394:
9388:
9386:
9377:
9373:
9372:
9365:
9362:
9361:
9354:
9353:
9346:
9339:
9331:
9322:
9321:
9319:
9318:
9313:
9308:
9303:
9298:
9297:
9296:
9286:
9281:
9276:
9271:
9266:
9261:
9255:
9253:
9249:
9248:
9246:
9245:
9240:
9235:
9230:
9225:
9220:
9214:
9212:
9208:
9207:
9204:
9203:
9201:
9200:
9195:
9190:
9185:
9180:
9175:
9170:
9165:
9160:
9155:
9149:
9147:
9141:
9140:
9138:
9137:
9132:
9127:
9122:
9117:
9112:
9107:
9097:
9092:
9087:
9077:
9072:
9067:
9062:
9057:
9052:
9046:
9044:
9038:
9037:
9035:
9034:
9029:
9024:
9023:
9022:
9012:
9007:
9006:
9005:
8995:
8990:
8985:
8980:
8979:
8978:
8968:
8963:
8962:
8961:
8951:
8946:
8940:
8938:
8934:
8933:
8931:
8930:
8925:
8920:
8915:
8914:
8913:
8903:
8898:
8893:
8887:
8885:
8878:
8872:
8871:
8869:
8868:
8863:
8853:
8848:
8834:
8829:
8824:
8819:
8814:
8812:Parallelizable
8809:
8804:
8799:
8798:
8797:
8787:
8782:
8777:
8772:
8767:
8762:
8757:
8752:
8747:
8742:
8732:
8722:
8716:
8714:
8708:
8707:
8705:
8704:
8699:
8694:
8692:Lie derivative
8689:
8687:Integral curve
8684:
8679:
8674:
8673:
8672:
8662:
8657:
8656:
8655:
8648:Diffeomorphism
8645:
8639:
8637:
8631:
8630:
8628:
8627:
8622:
8617:
8612:
8607:
8602:
8597:
8592:
8587:
8581:
8579:
8570:
8569:
8567:
8566:
8561:
8556:
8551:
8546:
8541:
8536:
8531:
8526:
8525:
8524:
8519:
8509:
8508:
8507:
8496:
8494:
8493:Basic concepts
8490:
8489:
8477:
8476:
8469:
8462:
8454:
8445:
8444:
8442:
8441:
8436:
8431:
8426:
8420:
8418:
8414:
8413:
8411:
8410:
8408:Sub-Riemannian
8405:
8400:
8394:
8392:
8388:
8387:
8385:
8384:
8379:
8374:
8369:
8364:
8359:
8354:
8348:
8346:
8342:
8341:
8339:
8338:
8333:
8328:
8323:
8317:
8315:
8311:
8310:
8308:
8307:
8302:
8297:
8292:
8287:
8286:
8285:
8276:
8271:
8266:
8256:
8251:
8246:
8241:
8240:
8239:
8234:
8229:
8224:
8213:
8211:
8210:Basic concepts
8207:
8206:
8194:
8193:
8186:
8179:
8171:
8165:
8164:
8158:
8153:
8148:
8128:
8127:External links
8125:
8124:
8123:
8116:
8096:
8090:
8068:
8065:
8062:
8061:
8046:
8031:
8016:
8001:
7981:
7932:
7914:
7892:
7865:
7843:
7836:
7814:
7772:
7741:(in Italian).
7716:
7715:
7713:
7710:
7709:
7708:
7701:
7698:
7685:
7682:
7675:
7672:
7666:
7658:
7654:
7646:
7643:
7619:
7612:
7609:
7603:
7599:
7596:
7591:
7587:
7580:
7577:
7571:
7566:
7563:
7559:
7552:
7549:
7543:
7540:
7537:
7534:
7531:
7528:
7525:
7522:
7519:
7514:
7511:
7508:
7503:
7500:
7497:
7494:
7472:
7463:
7460:
7454:
7451:
7448:
7441:
7437:
7430:
7427:
7421:
7415:
7412:
7407:
7403:
7395:
7391:
7383:
7380:
7356:
7350:
7347:
7341:
7337:
7334:
7331:
7328:
7321:
7318:
7312:
7307:
7304:
7300:
7293:
7290:
7284:
7281:
7278:
7275:
7272:
7269:
7266:
7263:
7243:
7237:
7234:
7228:
7225:
7222:
7219:
7216:
7213:
7210:
7207:
7204:
7201:
7198:
7195:
7192:
7189:
7166:
7163:
7157:
7153:
7150:
7130:
7122:
7118:
7111:
7108:
7102:
7099:
7096:
7093:
7085:
7082:
7076:
7072:
7069:
7065:
7059:
7056:
7033:
7030:
7024:
7021:
6992:
6989:
6986:
6983:
6980:
6977:
6974:
6968:
6965:
6959:
6956:
6951:
6948:
6943:
6940:
6937:
6934:
6931:
6928:
6922:
6919:
6913:
6910:
6907:
6904:
6901:
6898:
6895:
6892:
6889:
6884:
6877:
6874:
6867:
6861:
6858:
6835:
6832:
6829:
6826:
6823:
6820:
6797:
6794:
6769:
6765:
6761:
6758:
6753:
6749:
6745:
6740:
6737:
6733:
6712:
6709:
6689:
6669:
6649:
6646:
6643:
6638:
6633:
6630:
6627:
6624:
6602:
6599:
6596:
6593:
6588:
6583:
6580:
6577:
6574:
6569:
6566:
6563:
6560:
6557:
6554:
6551:
6548:
6545:
6542:
6539:
6536:
6533:
6530:
6527:
6524:
6521:
6518:
6515:
6512:
6507:
6503:
6499:
6496:
6491:
6484:
6481:
6457:
6452:
6449:
6445:
6441:
6435:
6432:
6405:
6396:If the metric
6393:
6390:
6358:
6355:
6350:
6345:
6342:
6339:
6336:
6333:
6330:
6327:
6324:
6321:
6316:
6311:
6306:
6301:
6298:
6295:
6292:
6289:
6286:
6281:
6277:
6271:
6266:
6263:
6260:
6257:
6254:
6249:
6245:
6184:
6181:
6178:
6175:
6171:
6168:
6163:
6158:
6155:
6152:
6149:
6146:
6142:
6138:
6133:
6129:
6124:
6118:
6069:
6049:
6046:
6043:
6040:
6037:
6034:
6031:
6028:
6025:
6022:
6019:
6016:
6013:
6010:
6007:
6004:
6001:
5998:
5995:
5992:
5987:
5983:
5979:
5976:
5973:
5970:
5966:
5962:
5957:
5953:
5948:
5930:
5910:
5894:
5889:
5884:
5879:
5876:
5873:
5869:
5866:
5863:
5858:
5853:
5850:
5847:
5844:
5841:
5838:
5833:
5749:scalar product
5740:
5737:
5707:
5703:
5699:
5696:
5691:
5687:
5683:
5680:
5675:
5671:
5667:
5657:
5650:
5649:
5633:
5629:
5625:
5620:
5616:
5612:
5607:
5603:
5599:
5596:
5591:
5587:
5583:
5573:
5566:
5565:
5564:
5560:
5559:
5558:
5557:
5556:
5555:
5538:
5534:
5528:
5524:
5520:
5515:
5511:
5507:
5500:
5496:
5492:
5489:
5486:
5483:
5480:
5477:
5474:
5471:
5465:
5457:
5453:
5449:
5444:
5440:
5432:
5428:
5424:
5421:
5418:
5415:
5412:
5409:
5406:
5403:
5397:
5392:
5388:
5384:
5381:
5376:
5372:
5368:
5358:
5342:
5338:
5334:
5329:
5325:
5319:
5316:
5313:
5310:
5307:
5304:
5301:
5295:
5292:
5289:
5279:
5263:
5259:
5255:
5250:
5246:
5240:
5237:
5234:
5231:
5228:
5225:
5222:
5216:
5213:
5210:
5185:
5181:
5177:
5174:
5169:
5165:
5161:
5158:
5153:
5149:
5145:
5123:
5119:
5115:
5110:
5106:
5102:
5097:
5093:
5089:
5086:
5081:
5077:
5073:
5070:
5065:
5061:
5057:
5054:
5049:
5045:
5041:
5014:
5011:
5008:
5005:
5002:
4999:
4994:
4989:
4957:
4954:
4942:
4941:
4930:
4927:
4921:
4918:
4911:
4907:
4902:
4898:
4893:
4866:
4863:
4840:
4837:
4834:
4828:
4825:
4817:
4814:
4811:
4805:
4802:
4795:
4768:
4765:
4762:
4756:
4753:
4707:
4706:
4695:
4692:
4687:
4684:
4681:
4675:
4672:
4665:
4661:
4658:
4653:
4649:
4587:
4584:
4569:
4566:
4562:
4539:
4536:
4532:
4520:
4519:
4507:
4501:
4498:
4494:
4488:
4484:
4480:
4475:
4472:
4468:
4462:
4458:
4454:
4449:
4446:
4442:
4436:
4432:
4427:
4421:
4418:
4414:
4407:
4404:
4398:
4393:
4388:
4385:
4381:
4355:
4351:
4347:
4342:
4338:
4334:
4329:
4325:
4304:
4301:
4298:
4295:
4292:
4278:
4277:
4264:
4259:
4256:
4252:
4248:
4243:
4238:
4235:
4231:
4216:
4215:
4204:
4201:
4198:
4193:
4189:
4185:
4180:
4176:
4172:
4169:
4164:
4160:
4156:
4151:
4146:
4143:
4139:
4135:
4130:
4125:
4122:
4118:
4114:
4111:
4106:
4102:
4096:
4092:
4088:
4083:
4079:
4073:
4069:
4050:
4049:
4038:
4033:
4030:
4026:
4020:
4015:
4012:
4008:
4004:
3999:
3996:
3992:
3986:
3981:
3978:
3974:
3970:
3965:
3962:
3958:
3952:
3948:
3933:
3932:
3921:
3916:
3912:
3906:
3901:
3898:
3894:
3890:
3885:
3881:
3877:
3874:
3871:
3868:
3863:
3859:
3855:
3850:
3846:
3840:
3835:
3832:
3828:
3824:
3821:
3818:
3815:
3810:
3806:
3800:
3796:
3792:
3787:
3783:
3779:
3776:
3773:
3770:
3765:
3761:
3757:
3752:
3748:
3742:
3738:
3734:
3731:
3728:
3723:
3718:
3713:
3709:
3705:
3700:
3696:
3692:
3689:
3684:
3677:
3673:
3649:
3638:
3637:
3624:
3620:
3614:
3609:
3606:
3602:
3598:
3593:
3589:
3583:
3579:
3575:
3570:
3566:
3562:
3557:
3553:
3549:
3535:
3534:
3517:
3513:
3507:
3500:
3495:
3492:
3488:
3482:
3478:
3474:
3471:
3466:
3462:
3458:
3453:
3449:
3443:
3436:
3432:
3428:
3425:
3423:
3421:
3416:
3409:
3405:
3399:
3394:
3391:
3387:
3381:
3377:
3373:
3368:
3364:
3360:
3355:
3351:
3347:
3342:
3338:
3332:
3325:
3321:
3317:
3314:
3312:
3310:
3305:
3298:
3294:
3288:
3284:
3278:
3274:
3270:
3265:
3261:
3257:
3252:
3248:
3244:
3239:
3235:
3229:
3222:
3218:
3214:
3211:
3209:
3207:
3204:
3199:
3195:
3189:
3185:
3181:
3176:
3172:
3166:
3162:
3158:
3155:
3153:
3151:
3148:
3143:
3139:
3133:
3129:
3125:
3118:
3114:
3108:
3104:
3099:
3095:
3092:
3090:
3088:
3083:
3079:
3075:
3074:
3051:
3040:
3039:
3026:
3022:
3016:
3011:
3008:
3004:
3000:
2995:
2991:
2985:
2981:
2957:
2935:
2930:
2927:
2923:
2895:
2891:
2886:
2863:
2859:
2836:
2832:
2828:
2825:
2822:
2817:
2813:
2790:
2786:
2782:
2779:
2776:
2771:
2767:
2746:
2734:
2731:
2724:
2723:
2712:
2709:
2706:
2703:
2700:
2697:
2694:
2691:
2688:
2685:
2682:
2679:
2676:
2673:
2670:
2667:
2662:
2658:
2654:
2651:
2648:
2645:
2642:
2639:
2636:
2631:
2627:
2623:
2620:
2610:
2597:
2592:
2589:
2586:
2583:
2580:
2577:
2572:
2567:
2564:
2561:
2558:
2555:
2552:
2547:
2543:
2539:
2536:
2533:
2530:
2527:
2524:
2521:
2516:
2512:
2508:
2505:
2495:
2484:
2481:
2478:
2475:
2470:
2466:
2462:
2459:
2456:
2453:
2450:
2447:
2444:
2441:
2438:
2435:
2432:
2429:
2426:
2423:
2420:
2417:
2414:
2411:
2408:
2405:
2402:
2399:
2394:
2390:
2386:
2383:
2373:
2362:
2359:
2356:
2351:
2347:
2341:
2337:
2333:
2330:
2327:
2324:
2321:
2318:
2313:
2309:
2303:
2299:
2295:
2292:
2289:
2286:
2283:
2280:
2277:
2272:
2268:
2264:
2259:
2255:
2251:
2246:
2242:
2238:
2235:
2212:
2192:
2189:
2186:
2183:
2180:
2160:
2155:
2151:
2130:
2110:
2090:
2070:
2047:
2027:
2018:is arbitrary,
2007:
1996:
1995:
1982:
1977:
1974:
1971:
1968:
1965:
1962:
1959:
1956:
1953:
1950:
1947:
1944:
1941:
1938:
1935:
1932:
1929:
1926:
1923:
1920:
1917:
1914:
1911:
1908:
1905:
1902:
1899:
1896:
1893:
1890:
1887:
1884:
1881:
1876:
1871:
1868:
1865:
1862:
1859:
1856:
1851:
1846:
1843:
1838:
1833:
1830:
1827:
1824:
1821:
1818:
1813:
1808:
1805:
1800:
1795:
1792:
1789:
1786:
1783:
1780:
1775:
1770:
1765:
1757:
1754:
1748:
1745:
1742:
1739:
1736:
1731:
1727:
1723:
1720:
1702:
1701:
1689:
1686:
1683:
1680:
1677:
1674:
1671:
1668:
1665:
1662:
1659:
1656:
1653:
1650:
1647:
1644:
1641:
1638:
1635:
1632:
1629:
1626:
1623:
1620:
1617:
1614:
1611:
1608:
1605:
1602:
1599:
1596:
1593:
1590:
1587:
1584:
1581:
1576:
1572:
1568:
1565:
1562:
1548:
1547:
1535:
1532:
1529:
1526:
1521:
1517:
1513:
1510:
1505:
1501:
1497:
1494:
1491:
1488:
1485:
1482:
1479:
1474:
1470:
1466:
1463:
1458:
1454:
1450:
1447:
1444:
1441:
1438:
1435:
1432:
1427:
1423:
1419:
1416:
1411:
1407:
1403:
1400:
1397:
1392:
1387:
1384:
1381:
1378:
1375:
1372:
1367:
1362:
1359:
1354:
1349:
1346:
1343:
1340:
1337:
1334:
1329:
1324:
1321:
1316:
1311:
1308:
1305:
1302:
1299:
1296:
1291:
1286:
1263:
1252:
1251:
1239:
1236:
1231:
1227:
1223:
1220:
1217:
1214:
1211:
1208:
1205:
1202:
1199:
1194:
1190:
1186:
1183:
1180:
1175:
1170:
1167:
1164:
1161:
1158:
1155:
1150:
1145:
1122:
1111:
1110:
1098:
1095:
1090:
1086:
1082:
1079:
1076:
1073:
1070:
1067:
1064:
1061:
1058:
1053:
1049:
1045:
1042:
1039:
1036:
1033:
1030:
1027:
1024:
1021:
1018:
1013:
1009:
1005:
1002:
997:
992:
989:
986:
983:
980:
977:
972:
967:
938:
918:
915:
912:
909:
906:
888:Main article:
885:
882:
874:
873:
861:
841:
814:
811:
808:
805:
802:
782:
779:
776:
773:
770:
767:
764:
759:
755:
751:
748:
743:
739:
718:
698:
680:
668:
665:
662:
659:
632:
617:
614:
603:
602:
591:
586:
582:
576:
572:
568:
565:
557:
553:
549:
545:
538:
534:
530:
527:
524:
521:
518:
495:
490:
486:
482:
479:
476:
471:
467:
463:
421:
412:
373:
372:
353:
321:
303:
294:tangent bundle
285:
265:
262:
239:
234:
230:
226:
223:
220:
217:
214:
211:
206:
201:
196:
192:
169:immersed in a
142:was the first
104:
101:
47:tangent bundle
41:is the unique
17:
9:
6:
4:
3:
2:
10010:
9999:
9996:
9994:
9991:
9990:
9988:
9973:
9970:
9968:
9965:
9963:
9960:
9958:
9955:
9953:
9950:
9948:
9945:
9943:
9940:
9938:
9935:
9933:
9930:
9928:
9925:
9923:
9920:
9918:
9915:
9913:
9910:
9909:
9907:
9905:
9901:
9891:
9888:
9886:
9883:
9881:
9878:
9876:
9873:
9871:
9868:
9866:
9863:
9861:
9858:
9856:
9853:
9851:
9848:
9847:
9845:
9841:
9835:
9832:
9830:
9827:
9825:
9822:
9820:
9817:
9815:
9812:
9810:
9809:Metric tensor
9807:
9805:
9802:
9800:
9797:
9796:
9794:
9790:
9787:
9783:
9777:
9774:
9772:
9769:
9767:
9764:
9762:
9759:
9757:
9754:
9752:
9749:
9747:
9744:
9742:
9739:
9737:
9734:
9732:
9729:
9727:
9724:
9722:
9721:Exterior form
9719:
9717:
9714:
9712:
9709:
9707:
9704:
9702:
9699:
9697:
9694:
9692:
9689:
9687:
9684:
9683:
9681:
9675:
9668:
9665:
9663:
9660:
9658:
9655:
9653:
9650:
9648:
9645:
9643:
9640:
9638:
9635:
9633:
9630:
9628:
9625:
9623:
9620:
9618:
9615:
9614:
9612:
9610:
9606:
9600:
9597:
9595:
9594:Tensor bundle
9592:
9590:
9587:
9585:
9582:
9580:
9577:
9575:
9572:
9570:
9567:
9565:
9562:
9560:
9557:
9555:
9552:
9551:
9549:
9543:
9537:
9534:
9532:
9529:
9527:
9524:
9522:
9519:
9517:
9514:
9512:
9509:
9507:
9504:
9502:
9499:
9497:
9494:
9493:
9491:
9487:
9477:
9474:
9472:
9469:
9467:
9464:
9462:
9459:
9457:
9454:
9453:
9451:
9446:
9443:
9441:
9438:
9437:
9434:
9428:
9425:
9423:
9420:
9418:
9415:
9413:
9410:
9408:
9405:
9403:
9400:
9398:
9395:
9393:
9390:
9389:
9387:
9385:
9381:
9378:
9374:
9370:
9369:
9363:
9359:
9352:
9347:
9345:
9340:
9338:
9333:
9332:
9329:
9317:
9314:
9312:
9311:Supermanifold
9309:
9307:
9304:
9302:
9299:
9295:
9292:
9291:
9290:
9287:
9285:
9282:
9280:
9277:
9275:
9272:
9270:
9267:
9265:
9262:
9260:
9257:
9256:
9254:
9250:
9244:
9241:
9239:
9236:
9234:
9231:
9229:
9226:
9224:
9221:
9219:
9216:
9215:
9213:
9209:
9199:
9196:
9194:
9191:
9189:
9186:
9184:
9181:
9179:
9176:
9174:
9171:
9169:
9166:
9164:
9161:
9159:
9156:
9154:
9151:
9150:
9148:
9146:
9142:
9136:
9133:
9131:
9128:
9126:
9123:
9121:
9118:
9116:
9113:
9111:
9108:
9106:
9102:
9098:
9096:
9093:
9091:
9088:
9086:
9082:
9078:
9076:
9073:
9071:
9068:
9066:
9063:
9061:
9058:
9056:
9053:
9051:
9048:
9047:
9045:
9043:
9039:
9033:
9032:Wedge product
9030:
9028:
9025:
9021:
9018:
9017:
9016:
9013:
9011:
9008:
9004:
9001:
9000:
8999:
8996:
8994:
8991:
8989:
8986:
8984:
8981:
8977:
8976:Vector-valued
8974:
8973:
8972:
8969:
8967:
8964:
8960:
8957:
8956:
8955:
8952:
8950:
8947:
8945:
8942:
8941:
8939:
8935:
8929:
8926:
8924:
8921:
8919:
8916:
8912:
8909:
8908:
8907:
8906:Tangent space
8904:
8902:
8899:
8897:
8894:
8892:
8889:
8888:
8886:
8882:
8879:
8877:
8873:
8867:
8864:
8862:
8858:
8854:
8852:
8849:
8847:
8843:
8839:
8835:
8833:
8830:
8828:
8825:
8823:
8820:
8818:
8815:
8813:
8810:
8808:
8805:
8803:
8800:
8796:
8793:
8792:
8791:
8788:
8786:
8783:
8781:
8778:
8776:
8773:
8771:
8768:
8766:
8763:
8761:
8758:
8756:
8753:
8751:
8748:
8746:
8743:
8741:
8737:
8733:
8731:
8727:
8723:
8721:
8718:
8717:
8715:
8709:
8703:
8700:
8698:
8695:
8693:
8690:
8688:
8685:
8683:
8680:
8678:
8675:
8671:
8670:in Lie theory
8668:
8667:
8666:
8663:
8661:
8658:
8654:
8651:
8650:
8649:
8646:
8644:
8641:
8640:
8638:
8636:
8632:
8626:
8623:
8621:
8618:
8616:
8613:
8611:
8608:
8606:
8603:
8601:
8598:
8596:
8593:
8591:
8588:
8586:
8583:
8582:
8580:
8577:
8573:Main results
8571:
8565:
8562:
8560:
8557:
8555:
8554:Tangent space
8552:
8550:
8547:
8545:
8542:
8540:
8537:
8535:
8532:
8530:
8527:
8523:
8520:
8518:
8515:
8514:
8513:
8510:
8506:
8503:
8502:
8501:
8498:
8497:
8495:
8491:
8486:
8482:
8475:
8470:
8468:
8463:
8461:
8456:
8455:
8452:
8440:
8437:
8435:
8432:
8430:
8427:
8425:
8422:
8421:
8419:
8415:
8409:
8406:
8404:
8401:
8399:
8396:
8395:
8393:
8389:
8383:
8382:Schur's lemma
8380:
8378:
8375:
8373:
8370:
8368:
8365:
8363:
8360:
8358:
8357:Gauss's lemma
8355:
8353:
8350:
8349:
8347:
8343:
8337:
8334:
8332:
8329:
8327:
8324:
8322:
8319:
8318:
8316:
8312:
8306:
8303:
8301:
8298:
8296:
8293:
8291:
8288:
8284:
8280:
8277:
8275:
8272:
8270:
8267:
8265:
8262:
8261:
8260:
8259:Metric tensor
8257:
8255:
8254:Inner product
8252:
8250:
8247:
8245:
8242:
8238:
8235:
8233:
8230:
8228:
8225:
8223:
8220:
8219:
8218:
8215:
8214:
8212:
8208:
8203:
8199:
8192:
8187:
8185:
8180:
8178:
8173:
8172:
8169:
8162:
8159:
8157:
8154:
8152:
8149:
8145:
8141:
8140:
8135:
8131:
8130:
8119:
8117:0-470-49647-9
8113:
8109:
8105:
8101:
8097:
8093:
8091:0-12-116052-1
8087:
8082:
8081:
8075:
8071:
8070:
8057:
8050:
8042:
8035:
8027:
8020:
8012:
8008:
8004:
8002:0-8176-3490-8
7998:
7994:
7993:
7985:
7977:
7973:
7969:
7965:
7961:
7957:
7953:
7949:
7948:
7943:
7936:
7928:
7924:
7923:Weyl, Hermann
7918:
7910:
7906:
7902:
7896:
7888:
7884:
7880:
7876:
7869:
7861:
7857:
7853:
7847:
7839:
7837:0-914098-71-3
7833:
7829:
7825:
7818:
7810:
7806:
7802:
7798:
7795:(70): 46–70.
7794:
7790:
7786:
7782:
7776:
7768:
7764:
7760:
7756:
7752:
7748:
7744:
7740:
7739:
7734:
7730:
7724:
7722:
7717:
7707:
7704:
7703:
7697:
7683:
7680:
7670:
7656:
7644:
7607:
7597:
7594:
7589:
7575:
7564:
7561:
7547:
7541:
7538:
7535:
7529:
7526:
7520:
7512:
7509:
7506:
7470:
7458:
7452:
7449:
7446:
7439:
7425:
7419:
7413:
7410:
7405:
7393:
7381:
7345:
7339:
7335:
7332:
7329:
7326:
7316:
7305:
7302:
7288:
7282:
7279:
7276:
7270:
7267:
7264:
7261:
7232:
7226:
7223:
7220:
7214:
7211:
7208:
7202:
7196:
7193:
7190:
7187:
7161:
7155:
7151:
7148:
7128:
7120:
7106:
7100:
7097:
7094:
7080:
7074:
7070:
7067:
7063:
7057:
7054:
7028:
7022:
7019:
7012:
7008:
7003:
6990:
6981:
6978:
6975:
6963:
6954:
6949:
6946:
6941:
6935:
6932:
6929:
6917:
6908:
6902:
6899:
6893:
6890:
6887:
6882:
6875:
6856:
6830:
6827:
6824:
6818:
6795:
6767:
6756:
6751:
6738:
6735:
6731:
6710:
6707:
6687:
6667:
6644:
6636:
6600:
6594:
6586:
6564:
6561:
6558:
6552:
6549:
6546:
6540:
6534:
6531:
6528:
6522:
6516:
6513:
6510:
6505:
6497:
6494:
6489:
6482:
6455:
6450:
6447:
6443:
6439:
6430:
6419:
6403:
6389:
6386:
6380:
6373:
6372:
6356:
6353:
6340:
6334:
6331:
6325:
6319:
6309:
6299:
6296:
6290:
6284:
6279:
6275:
6264:
6258:
6252:
6247:
6243:
6233:
6226:
6222:
6218:
6211:
6205:
6199:
6182:
6176:
6169:
6166:
6156:
6153:
6147:
6140:
6136:
6131:
6122:
6106:
6100:
6094:
6086:
6082:
6067:
6064:
6047:
6038:
6032:
6029:
6023:
6017:
6011:
6002:
5996:
5990:
5985:
5981:
5977:
5971:
5964:
5960:
5955:
5946:
5929:
5926:
5922:at the point
5920:
5914:
5904:
5892:
5887:
5877:
5874:
5867:
5864:
5861:
5851:
5848:
5842:
5836:
5821:
5817:
5813:
5807:
5801:
5795:
5789:
5783:
5777:
5771:
5766:
5761:
5755:
5750:
5747:be the usual
5736:
5734:
5730:
5705:
5701:
5697:
5694:
5689:
5685:
5681:
5678:
5673:
5669:
5665:
5654:
5631:
5627:
5623:
5618:
5614:
5610:
5605:
5601:
5597:
5594:
5589:
5585:
5581:
5570:
5536:
5526:
5522:
5518:
5513:
5509:
5498:
5490:
5487:
5484:
5481:
5478:
5475:
5472:
5463:
5455:
5451:
5447:
5442:
5438:
5430:
5422:
5419:
5416:
5413:
5410:
5407:
5404:
5395:
5390:
5386:
5382:
5379:
5374:
5370:
5366:
5359:
5340:
5336:
5332:
5327:
5323:
5317:
5314:
5311:
5308:
5305:
5302:
5299:
5293:
5290:
5287:
5280:
5261:
5257:
5253:
5248:
5244:
5238:
5235:
5232:
5229:
5226:
5223:
5220:
5214:
5211:
5208:
5201:
5200:
5199:
5183:
5179:
5175:
5172:
5167:
5163:
5159:
5156:
5151:
5147:
5143:
5121:
5117:
5113:
5108:
5104:
5100:
5095:
5091:
5087:
5084:
5079:
5075:
5071:
5068:
5063:
5059:
5055:
5052:
5047:
5043:
5039:
5032:
5028:
5009:
5006:
5003:
4992:
4978:
4973:
4971:
4967:
4963:
4953:
4951:
4947:
4928:
4925:
4919:
4916:
4909:
4900:
4896:
4891:
4883:
4882:
4881:
4864:
4861:
4835:
4826:
4823:
4812:
4803:
4800:
4783:
4763:
4754:
4751:
4739:
4736:
4732:
4728:
4722:
4718:
4713:
4693:
4690:
4682:
4673:
4670:
4659:
4656:
4651:
4647:
4639:
4638:
4637:
4634:
4628:
4624:
4618:
4614:
4607:
4601:
4598:
4593:
4583:
4567:
4564:
4560:
4537:
4534:
4530:
4505:
4499:
4496:
4492:
4486:
4478:
4473:
4470:
4466:
4460:
4452:
4447:
4444:
4440:
4434:
4425:
4419:
4416:
4412:
4405:
4402:
4396:
4391:
4386:
4383:
4371:
4370:
4369:
4353:
4345:
4340:
4332:
4327:
4302:
4299:
4296:
4293:
4290:
4281:
4262:
4257:
4254:
4246:
4241:
4236:
4233:
4221:
4220:
4219:
4202:
4199:
4191:
4183:
4178:
4167:
4162:
4149:
4144:
4141:
4133:
4128:
4123:
4120:
4109:
4104:
4094:
4086:
4081:
4071:
4059:
4058:
4057:
4036:
4031:
4028:
4024:
4018:
4013:
4010:
4002:
3997:
3994:
3990:
3984:
3979:
3976:
3968:
3963:
3960:
3956:
3950:
3938:
3937:
3936:
3914:
3904:
3899:
3896:
3888:
3883:
3872:
3869:
3861:
3853:
3848:
3838:
3833:
3830:
3819:
3816:
3808:
3798:
3790:
3785:
3774:
3771:
3763:
3755:
3750:
3740:
3729:
3726:
3711:
3703:
3698:
3687:
3675:
3663:
3662:
3661:
3622:
3618:
3612:
3607:
3604:
3596:
3591:
3587:
3581:
3573:
3568:
3560:
3555:
3540:
3539:
3538:
3515:
3498:
3493:
3490:
3480:
3476:
3472:
3464:
3460:
3451:
3434:
3430:
3426:
3424:
3407:
3397:
3392:
3389:
3379:
3375:
3371:
3366:
3353:
3349:
3340:
3323:
3319:
3315:
3313:
3296:
3286:
3276:
3272:
3268:
3263:
3250:
3246:
3237:
3220:
3216:
3212:
3210:
3197:
3187:
3183:
3174:
3164:
3160:
3156:
3154:
3141:
3131:
3127:
3116:
3106:
3102:
3093:
3091:
3086:
3081:
3065:
3064:
3063:
3024:
3014:
3009:
3006:
2998:
2993:
2983:
2971:
2970:
2969:
2933:
2928:
2925:
2913:
2893:
2861:
2834:
2826:
2823:
2820:
2815:
2788:
2784:
2780:
2777:
2774:
2769:
2765:
2730:
2727:
2710:
2704:
2701:
2695:
2692:
2689:
2680:
2677:
2671:
2668:
2665:
2660:
2649:
2646:
2640:
2637:
2634:
2629:
2618:
2611:
2587:
2584:
2581:
2575:
2565:
2562:
2556:
2553:
2550:
2545:
2534:
2531:
2525:
2522:
2519:
2514:
2503:
2496:
2479:
2476:
2473:
2468:
2457:
2454:
2451:
2445:
2442:
2439:
2433:
2427:
2421:
2418:
2412:
2409:
2403:
2400:
2392:
2381:
2374:
2357:
2354:
2349:
2345:
2339:
2328:
2325:
2319:
2316:
2311:
2307:
2301:
2290:
2287:
2281:
2278:
2270:
2266:
2262:
2257:
2253:
2244:
2233:
2226:
2225:
2224:
2210:
2190:
2187:
2184:
2181:
2178:
2158:
2153:
2128:
2108:
2088:
2068:
2059:
2025:
2005:
1972:
1969:
1963:
1960:
1957:
1948:
1945:
1939:
1936:
1930:
1927:
1924:
1915:
1912:
1906:
1903:
1897:
1894:
1891:
1882:
1879:
1866:
1863:
1860:
1854:
1844:
1841:
1828:
1825:
1822:
1816:
1806:
1803:
1790:
1787:
1784:
1778:
1768:
1755:
1752:
1746:
1740:
1737:
1734:
1729:
1718:
1711:
1710:
1709:
1707:
1684:
1681:
1675:
1672:
1669:
1660:
1657:
1651:
1648:
1642:
1639:
1636:
1627:
1624:
1618:
1615:
1609:
1606:
1603:
1594:
1591:
1585:
1582:
1579:
1574:
1563:
1560:
1553:
1552:
1551:
1530:
1527:
1524:
1519:
1511:
1508:
1503:
1492:
1489:
1483:
1480:
1477:
1472:
1464:
1461:
1456:
1445:
1442:
1436:
1433:
1430:
1425:
1417:
1414:
1409:
1398:
1395:
1382:
1379:
1376:
1370:
1360:
1357:
1344:
1341:
1338:
1332:
1322:
1319:
1306:
1303:
1300:
1294:
1284:
1277:
1276:
1275:
1261:
1234:
1229:
1221:
1218:
1212:
1209:
1203:
1200:
1197:
1192:
1181:
1178:
1165:
1162:
1159:
1153:
1143:
1136:
1135:
1134:
1093:
1088:
1080:
1077:
1071:
1068:
1062:
1059:
1056:
1051:
1040:
1037:
1031:
1028:
1025:
1016:
1011:
1000:
987:
984:
981:
975:
965:
958:
957:
956:
954:
950:
913:
910:
907:
896:
891:
881:
879:
859:
839:
832:
831:vector fields
828:
809:
806:
803:
777:
774:
771:
765:
762:
757:
749:
746:
741:
716:
696:
688:
686:
681:
666:
663:
660:
649:
646:
645:
644:
623:
613:
611:
608:
589:
584:
574:
570:
566:
563:
555:
551:
536:
532:
528:
522:
516:
509:
508:
507:
488:
484:
480:
477:
474:
469:
465:
452:
445:
441:
437:
431:
424:
420:
415:
411:
405:
399:
394:
393:inner product
389:
385:
379:
369:
363:
358:
354:
350:
345:
340:
334:
330:
326:
322:
318:
313:
308:
304:
300:
295:
290:
286:
283:
277:
273:
268:
267:
261:
259:
255:
250:
237:
232:
228:
221:
218:
215:
209:
199:
194:
190:
181:
176:
172:
168:
164:
159:
157:
153:
149:
145:
144:mathematician
141:
136:
132:
130:
126:
122:
118:
114:
110:
100:
98:
94:
90:
86:
81:
79:
74:
72:
68:
64:
60:
56:
52:
48:
44:
40:
36:
32:
28:
24:
16:
9972:Hermann Weyl
9776:Vector space
9761:Pseudotensor
9735:
9726:Fiber bundle
9679:abstractions
9574:Mixed tensor
9559:Tensor field
9366:
9238:Moving frame
9233:Morse theory
9223:Gauge theory
9182:
9015:Tensor field
8944:Closed/Exact
8923:Vector field
8891:Distribution
8832:Hypercomplex
8827:Quaternionic
8564:Vector field
8522:Smooth atlas
8417:Applications
8345:Main results
8263:
8137:
8107:
8079:
8055:
8049:
8040:
8034:
8025:
8019:
7991:
7984:
7951:
7945:
7935:
7926:
7917:
7908:
7904:
7895:
7878:
7874:
7868:
7859:
7855:
7846:
7827:
7817:
7792:
7788:
7775:
7742:
7736:
7004:
6395:
6384:
6378:
6375:
6231:
6224:
6220:
6216:
6209:
6203:
6197:
6104:
6098:
6092:
6084:
6080:
6073:
6062:
5938:The formula
5931:
5924:
5918:
5908:
5905:
5819:
5815:
5811:
5805:
5799:
5793:
5787:
5781:
5775:
5769:
5759:
5753:
5742:
5732:
5728:
5726:
4974:
4966:isomorphisms
4960:In general,
4959:
4943:
4781:
4740:
4734:
4730:
4720:
4711:
4708:
4632:
4626:
4623:vector field
4616:
4612:
4605:
4602:
4596:
4589:
4521:
4282:
4279:
4217:
4051:
3934:
3639:
3536:
3041:
2736:
2728:
2725:
2060:
1997:
1703:
1549:
1253:
1112:
952:
951:
894:
893:
875:
682:
647:
619:
604:
450:
443:
439:
435:
429:
422:
418:
413:
409:
403:
397:
387:
383:
377:
374:
367:
361:
348:
338:
332:
328:
324:
316:
306:
298:
288:
275:
271:
258:Hermann Weyl
251:
167:hypersurface
160:
137:
133:
106:
82:
75:
38:
20:
15:
9912:Élie Cartan
9860:Spin tensor
9834:Weyl tensor
9792:Mathematics
9756:Multivector
9547:definitions
9445:Engineering
9384:Mathematics
9183:Levi-Civita
9173:Generalized
9145:Connections
9095:Lie algebra
9027:Volume form
8928:Vector flow
8901:Pushforward
8896:Lie bracket
8795:Lie algebra
8760:G-structure
8549:Pushforward
8529:Submanifold
7881:: 116–133.
7745:: 173–205.
7254:. We have
5779:at a point
5765:unit sphere
4785:itself. If
827:Lie bracket
375:The metric
357:Lie bracket
163:Levi-Civita
9987:Categories
9741:Linear map
9609:Operations
9306:Stratifold
9264:Diffeology
9060:Associated
8861:Symplectic
8846:Riemannian
8775:Hyperbolic
8702:Submersion
8610:Hopf–Rinow
8544:Submersion
8539:Smooth map
8377:Ricci flow
8326:Hyperbolic
8067:References
7929:: 465–480.
7759:46.1125.02
7630:, we have
5906:Denote as
4970:orthogonal
4709:Formally,
2849:and write
1704:Thus, the
607:Einstein's
280:denotes a
85:Riemannian
23:Riemannian
9880:EM tensor
9716:Dimension
9667:Transpose
9188:Principal
9163:Ehresmann
9120:Subbundle
9110:Principal
9085:Fibration
9065:Cotangent
8937:Covectors
8790:Lie group
8770:Hermitian
8713:manifolds
8682:Immersion
8677:Foliation
8615:Noether's
8600:Frobenius
8595:De Rham's
8590:Darboux's
8481:Manifolds
8321:Hermitian
8274:Signature
8237:Sectional
8217:Curvature
8144:EMS Press
7976:186232500
7809:122999847
7767:122088291
7674:¯
7665:∂
7653:∂
7645:^
7642:∇
7611:¯
7602:∂
7586:∂
7579:¯
7562:−
7551:¯
7530:−
7521:γ
7462:¯
7436:∂
7429:¯
7414:−
7402:∂
7390:∂
7382:^
7379:∇
7367:, and so
7349:¯
7320:¯
7303:−
7292:¯
7271:−
7265:γ
7236:¯
7215:
7209:−
7197:
7188:γ
7165:¯
7110:¯
7084:¯
7032:¯
6967:^
6921:^
6909:γ
6876:^
6873:∇
6860:^
6796:^
6793:∇
6764:∂
6757:γ
6748:∂
6711:γ
6700:-dual to
6668:γ
6645:γ
6595:γ
6550:−
6541:γ
6523:γ
6502:∇
6483:^
6480:∇
6451:γ
6434:^
6128:∇
6045:⟩
6015:⟨
5952:∇
5878:∈
5872:∀
5702:θ
5628:θ
5482:−
5387:θ
5309:−
5291:θ
5180:θ
5118:θ
4998:∖
4946:geodesics
4926:≡
4920:˙
4917:γ
4906:∇
4901:∗
4897:γ
4865:˙
4862:γ
4827:˙
4824:γ
4804:˙
4801:γ
4794:∇
4755:˙
4752:γ
4674:˙
4671:γ
4664:∇
4483:∂
4479:−
4457:∂
4431:∂
4380:Γ
4350:∂
4337:∂
4324:∂
4251:Γ
4230:Γ
4188:∂
4175:∂
4159:∂
4138:Γ
4134:−
4117:Γ
4101:∂
4091:∇
4087:−
4078:∂
4068:∇
4007:Γ
3973:Γ
3947:∂
3911:∂
3893:Γ
3880:∂
3858:∂
3845:∂
3827:Γ
3805:∂
3795:∇
3782:∂
3760:∂
3747:∂
3737:∇
3708:∂
3695:∂
3672:∂
3648:∇
3601:Γ
3578:∂
3552:∇
3537:that is,
3512:∂
3487:Γ
3448:∂
3404:∂
3386:Γ
3363:∂
3337:∂
3293:∂
3283:∇
3260:∂
3234:∂
3194:∂
3171:∇
3138:∂
3113:∂
3098:∇
3078:∇
3050:∇
3021:∂
3003:Γ
2990:∂
2980:∇
2956:∇
2922:Γ
2890:∂
2885:∇
2858:∇
2831:∂
2824:…
2812:∂
2778:…
2745:∇
2657:∇
2647:−
2626:∇
2542:∇
2511:∇
2465:∇
2389:∇
2336:∇
2298:∇
2241:∇
2150:∇
2046:∇
1946:−
1913:−
1842:−
1726:∇
1592:−
1571:∇
1516:∇
1512:−
1500:∇
1469:∇
1465:−
1453:∇
1422:∇
1406:∇
1358:−
1226:∇
1189:∇
1121:∇
1085:∇
1048:∇
1008:∇
937:∇
754:∇
750:−
738:∇
658:∇
631:∇
612:is used.
581:∂
548:∂
544:∂
478:…
200:⊂
161:In 1917,
138:In 1906,
125:curvature
91:the term
59:preserves
9746:Manifold
9731:Geodesic
9489:Notation
9284:Orbifold
9279:K-theory
9269:Diffiety
8993:Pullback
8807:Oriented
8785:Kenmotsu
8765:Hadamard
8711:Types of
8660:Geodesic
8485:Glossary
8336:Kenmotsu
8249:Geodesic
8202:Glossary
8106:(1963).
8076:(1986).
8011:24667701
7911:(6): 95.
7862:: 75–94.
7826:(1999).
7783:(1869).
7731:(1917).
7700:See also
7180:, with
6349:⟩
6315:⟨
6305:⟩
6270:⟨
6162:⟩
6117:⟨
5857:⟩
5832:⟨
5814: :
1708:formula
793:, where
729:we have
650:, i.e.,
344:sections
264:Notation
129:holonomy
51:manifold
9843:Physics
9677:Related
9440:Physics
9358:Tensors
9228:History
9211:Related
9125:Tangent
9103:)
9083:)
9050:Adjoint
9042:Bundles
9020:density
8918:Torsion
8884:Vectors
8876:Tensors
8859:)
8844:)
8840:,
8838:Pseudo−
8817:Poisson
8750:Finsler
8745:Fibered
8740:Contact
8738:)
8730:Complex
8728:)
8697:Section
8403:Hilbert
8398:Finsler
8146:, 2001
7956:Bibcode
7883:Bibcode
5763:be the
4948:of the
4725:on the
4715:is the
895:Theorem
829:of the
825:is the
685:torsion
355:is the
310:is the
292:is the
103:History
73:-free.
71:torsion
69:and is
63:pseudo-
57:) that
45:on the
37:), the
9771:Vector
9766:Spinor
9751:Matrix
9545:Tensor
9193:Vector
9178:Koszul
9158:Cartan
9153:Affine
9135:Vector
9130:Tensor
9115:Spinor
9105:Normal
9101:Stable
9055:Affine
8959:bundle
8911:bundle
8857:Almost
8780:Kähler
8736:Almost
8726:Almost
8720:Closed
8620:Sard's
8576:(list)
8331:Kähler
8227:Scalar
8222:tensor
8114:
8088:
8009:
7999:
7974:
7834:
7807:
7765:
7757:
7047:) is:
6613:where
6371:Q.E.D.
5757:. Let
4950:metric
4630:along
4621:and a
4592:curves
2910:. The
1706:Koszul
683:it is
605:where
152:vector
53:(i.e.
9691:Basis
9376:Scope
9301:Sheaf
9075:Fiber
8851:Rizza
8822:Prime
8653:Local
8643:Curve
8505:Atlas
8232:Ricci
7972:S2CID
7805:S2CID
7763:S2CID
7712:Notes
6416:in a
6071:Proof
5933:Lemma
5745:⟨ , ⟩
5729:along
953:Proof
687:-free
150:of a
61:the (
49:of a
9168:Form
9070:Dual
9003:flow
8866:Tame
8842:Sub−
8755:Flat
8635:Maps
8112:ISBN
8086:ISBN
8007:OCLC
7997:ISBN
7832:ISBN
7821:See
7793:1869
5743:Let
2876:for
2737:Let
2081:and
852:and
709:and
401:and
365:and
87:and
76:The
9090:Jet
7964:doi
7797:doi
7755:JFM
7747:doi
6223:),
6213:to
6207:in
6102:in
5803:on
5767:in
5751:on
4609:on
2948:of
2058:.
620:An
395:of
359:of
346:of
314:of
296:of
33:of
25:or
21:In
9989::
9081:Co
8142:,
8136:,
8102:;
8005:.
7970:.
7962:.
7950:.
7944:.
7909:12
7907:.
7877:.
7860:15
7858:.
7803:.
7791:.
7787:.
7761:.
7753:.
7743:42
7720:^
7684:0.
7212:ln
7194:ln
6357:0.
5818:→
5733:on
4929:0.
4880::
4738:.
4735:TM
4723:*∇
4615:,
4600:.
4582:.
4203:0.
2223:,
1274:,
949:.
442:,
417:,
386:,
349:TM
331:,
327:,
289:TM
274:,
158:.
131:.
99:.
9350:e
9343:t
9336:v
9099:(
9079:(
8855:(
8836:(
8734:(
8724:(
8487:)
8483:(
8473:e
8466:t
8459:v
8281:/
8204:)
8200:(
8190:e
8183:t
8176:v
8120:.
8094:.
8013:.
7978:.
7966::
7958::
7952:2
7889:.
7885::
7879:9
7840:.
7811:.
7799::
7769:.
7749::
7681:=
7671:z
7657:z
7618:)
7608:z
7598:z
7595:+
7590:z
7576:z
7570:(
7565:1
7558:)
7548:z
7542:z
7539:+
7536:1
7533:(
7527:=
7524:)
7518:(
7513:c
7510:u
7507:E
7502:d
7499:a
7496:r
7493:g
7471:.
7459:z
7453:z
7450:+
7447:1
7440:z
7426:z
7420:2
7411:=
7406:z
7394:z
7355:)
7346:z
7340:d
7336:z
7333:+
7330:z
7327:d
7317:z
7311:(
7306:1
7299:)
7289:z
7283:z
7280:+
7277:1
7274:(
7268:=
7262:d
7242:)
7233:z
7227:z
7224:+
7221:1
7218:(
7206:)
7203:2
7200:(
7191:=
7162:z
7156:d
7152:z
7149:d
7129:.
7121:2
7117:)
7107:z
7101:z
7098:+
7095:1
7092:(
7081:z
7075:d
7071:z
7068:d
7064:4
7058:=
7055:g
7029:z
7023:,
7020:z
6991:.
6988:)
6985:)
6982:Y
6979:,
6976:Y
6973:(
6964:g
6958:(
6955:X
6950:2
6947:1
6942:=
6939:)
6936:Y
6933:,
6930:Y
6927:(
6918:g
6912:)
6906:(
6903:X
6900:=
6897:)
6894:Y
6891:,
6888:Y
6883:X
6866:(
6857:g
6834:)
6831:Y
6828:,
6825:Y
6822:(
6819:g
6768:k
6760:)
6752:i
6744:(
6739:k
6736:i
6732:g
6708:d
6688:g
6648:)
6642:(
6637:g
6632:d
6629:a
6626:r
6623:g
6601:.
6598:)
6592:(
6587:g
6582:d
6579:a
6576:r
6573:g
6568:)
6565:Y
6562:,
6559:X
6556:(
6553:g
6547:X
6544:)
6538:(
6535:Y
6532:+
6529:Y
6526:)
6520:(
6517:X
6514:+
6511:Y
6506:X
6498:=
6495:Y
6490:X
6456:g
6448:2
6444:e
6440:=
6431:g
6404:g
6385:R
6379:S
6354:=
6344:)
6341:m
6338:(
6335:X
6332:,
6329:)
6326:m
6323:(
6320:Y
6310:+
6300:m
6297:,
6294:)
6291:X
6288:(
6285:Y
6280:m
6276:d
6265:=
6262:)
6259:X
6256:(
6253:f
6248:m
6244:d
6232:f
6227:⟩
6225:m
6221:m
6219:(
6217:Y
6215:⟨
6210:S
6204:m
6198:f
6183:.
6180:)
6177:1
6174:(
6170:0
6167:=
6157:m
6154:,
6151:)
6148:m
6145:(
6141:)
6137:Y
6132:X
6123:(
6105:S
6099:m
6093:S
6087:)
6085:S
6083:(
6081:C
6076:∇
6063:S
6048:m
6042:)
6039:m
6036:(
6033:Y
6030:,
6027:)
6024:m
6021:(
6018:X
6012:+
6009:)
6006:)
6003:m
6000:(
5997:X
5994:(
5991:Y
5986:m
5982:d
5978:=
5975:)
5972:m
5969:(
5965:)
5961:Y
5956:X
5947:(
5925:m
5919:Y
5913:Y
5911:m
5909:d
5893:.
5888:2
5883:S
5875:m
5868:,
5865:0
5862:=
5852:m
5849:,
5846:)
5843:m
5840:(
5837:Y
5820:R
5816:S
5812:Y
5806:S
5800:Y
5794:m
5788:R
5782:m
5776:S
5770:R
5760:S
5754:R
5720:.
5706:2
5698:d
5695:+
5690:2
5686:r
5682:d
5679:=
5674:2
5670:s
5666:d
5646:.
5632:2
5624:d
5619:2
5615:r
5611:+
5606:2
5602:r
5598:d
5595:=
5590:2
5586:s
5582:d
5554:.
5537:2
5533:)
5527:2
5523:y
5519:+
5514:2
5510:x
5506:(
5499:2
5495:)
5491:x
5488:d
5485:y
5479:y
5476:d
5473:x
5470:(
5464:+
5456:2
5452:y
5448:+
5443:2
5439:x
5431:2
5427:)
5423:y
5420:d
5417:y
5414:+
5411:x
5408:d
5405:x
5402:(
5396:=
5391:2
5383:d
5380:+
5375:2
5371:r
5367:d
5341:2
5337:y
5333:+
5328:2
5324:x
5318:x
5315:d
5312:y
5306:y
5303:d
5300:x
5294:=
5288:d
5262:2
5258:y
5254:+
5249:2
5245:x
5239:y
5236:d
5233:y
5230:+
5227:x
5224:d
5221:x
5215:=
5212:r
5209:d
5184:2
5176:d
5173:+
5168:2
5164:r
5160:d
5157:=
5152:2
5148:s
5144:d
5122:2
5114:d
5109:2
5105:r
5101:+
5096:2
5092:r
5088:d
5085:=
5080:2
5076:y
5072:d
5069:+
5064:2
5060:x
5056:d
5053:=
5048:2
5044:s
5040:d
5013:}
5010:0
5007:,
5004:0
5001:{
4993:2
4988:R
4910:)
4892:(
4839:)
4836:t
4833:(
4816:)
4813:t
4810:(
4782:γ
4767:)
4764:t
4761:(
4733:*
4731:γ
4721:γ
4712:D
4694:.
4691:V
4686:)
4683:t
4680:(
4660:=
4657:V
4652:t
4648:D
4633:γ
4627:V
4619:)
4617:g
4613:M
4611:(
4606:γ
4597:D
4568:l
4565:k
4561:g
4538:j
4535:i
4531:g
4506:)
4500:k
4497:j
4493:g
4487:r
4474:k
4471:r
4467:g
4461:j
4453:+
4448:j
4445:r
4441:g
4435:k
4426:(
4420:r
4417:l
4413:g
4406:2
4403:1
4397:=
4392:l
4387:k
4384:j
4354:l
4346:,
4341:k
4333:,
4328:j
4303:Z
4300:,
4297:Y
4294:,
4291:X
4263:l
4258:j
4255:k
4247:=
4242:l
4237:k
4234:j
4200:=
4197:]
4192:k
4184:,
4179:j
4171:[
4168:=
4163:l
4155:)
4150:l
4145:j
4142:k
4129:l
4124:k
4121:j
4113:(
4110:=
4105:j
4095:k
4082:k
4072:j
4054:∇
4037:.
4032:l
4029:j
4025:g
4019:l
4014:k
4011:i
4003:+
3998:k
3995:l
3991:g
3985:l
3980:j
3977:i
3969:=
3964:k
3961:j
3957:g
3951:i
3920:)
3915:l
3905:l
3900:k
3897:i
3889:,
3884:j
3876:(
3873:g
3870:+
3867:)
3862:k
3854:,
3849:l
3839:l
3834:j
3831:i
3823:(
3820:g
3817:=
3814:)
3809:k
3799:i
3791:,
3786:j
3778:(
3775:g
3772:+
3769:)
3764:k
3756:,
3751:j
3741:i
3733:(
3730:g
3727:=
3722:)
3717:)
3712:k
3704:,
3699:j
3691:(
3688:g
3683:(
3676:i
3623:k
3619:Y
3613:l
3608:k
3605:j
3597:+
3592:l
3588:Y
3582:j
3574:=
3569:l
3565:)
3561:Y
3556:j
3548:(
3516:l
3506:)
3499:l
3494:k
3491:j
3481:k
3477:Y
3473:+
3470:)
3465:l
3461:Y
3457:(
3452:j
3442:(
3435:j
3431:X
3427:=
3415:)
3408:l
3398:l
3393:k
3390:j
3380:k
3376:Y
3372:+
3367:k
3359:)
3354:k
3350:Y
3346:(
3341:j
3331:(
3324:j
3320:X
3316:=
3304:)
3297:k
3287:j
3277:k
3273:Y
3269:+
3264:k
3256:)
3251:k
3247:Y
3243:(
3238:j
3228:(
3221:j
3217:X
3213:=
3203:)
3198:k
3188:k
3184:Y
3180:(
3175:j
3165:j
3161:X
3157:=
3147:)
3142:k
3132:k
3128:Y
3124:(
3117:j
3107:j
3103:X
3094:=
3087:Y
3082:X
3025:l
3015:l
3010:k
3007:j
2999:=
2994:k
2984:j
2934:l
2929:k
2926:j
2894:j
2862:j
2835:n
2827:,
2821:,
2816:1
2789:n
2785:x
2781:,
2775:,
2770:1
2766:x
2711:.
2708:)
2705:Z
2702:,
2699:]
2696:Y
2693:,
2690:X
2687:[
2684:(
2681:g
2678:=
2675:)
2672:Z
2669:,
2666:X
2661:Y
2653:(
2650:g
2644:)
2641:Z
2638:,
2635:Y
2630:X
2622:(
2619:g
2596:)
2591:)
2588:Z
2585:,
2582:Y
2579:(
2576:g
2571:(
2566:X
2563:=
2560:)
2557:Y
2554:,
2551:Z
2546:X
2538:(
2535:g
2532:+
2529:)
2526:Z
2523:,
2520:Y
2515:X
2507:(
2504:g
2483:)
2480:Z
2477:,
2474:Y
2469:X
2461:(
2458:g
2455:f
2452:+
2449:)
2446:Z
2443:,
2440:Y
2437:(
2434:g
2431:)
2428:f
2425:(
2422:X
2419:=
2416:)
2413:Z
2410:,
2407:)
2404:Y
2401:f
2398:(
2393:X
2385:(
2382:g
2361:)
2358:Z
2355:,
2350:2
2346:Y
2340:X
2332:(
2329:g
2326:+
2323:)
2320:Z
2317:,
2312:1
2308:Y
2302:X
2294:(
2291:g
2288:=
2285:)
2282:Z
2279:,
2276:)
2271:2
2267:Y
2263:+
2258:1
2254:Y
2250:(
2245:X
2237:(
2234:g
2211:f
2191:Z
2188:,
2185:Y
2182:,
2179:X
2159:Y
2154:X
2129:g
2109:Z
2089:Y
2069:X
2026:g
2006:Z
1981:}
1976:)
1973:Y
1970:,
1967:]
1964:Z
1961:,
1958:X
1955:[
1952:(
1949:g
1943:)
1940:X
1937:,
1934:]
1931:Z
1928:,
1925:Y
1922:[
1919:(
1916:g
1910:)
1907:Z
1904:,
1901:]
1898:Y
1895:,
1892:X
1889:[
1886:(
1883:g
1880:+
1875:)
1870:)
1867:Y
1864:,
1861:X
1858:(
1855:g
1850:(
1845:Z
1837:)
1832:)
1829:X
1826:,
1823:Z
1820:(
1817:g
1812:(
1807:Y
1804:+
1799:)
1794:)
1791:Z
1788:,
1785:Y
1782:(
1779:g
1774:(
1769:X
1764:{
1756:2
1753:1
1747:=
1744:)
1741:Z
1738:,
1735:Y
1730:X
1722:(
1719:g
1700:.
1688:)
1685:X
1682:,
1679:]
1676:Z
1673:,
1670:Y
1667:[
1664:(
1661:g
1658:+
1655:)
1652:Y
1649:,
1646:]
1643:Z
1640:,
1637:X
1634:[
1631:(
1628:g
1625:+
1622:)
1619:Z
1616:,
1613:]
1610:Y
1607:,
1604:X
1601:[
1598:(
1595:g
1589:)
1586:Z
1583:,
1580:Y
1575:X
1567:(
1564:g
1561:2
1546:.
1534:)
1531:X
1528:,
1525:Y
1520:Z
1509:Z
1504:Y
1496:(
1493:g
1490:+
1487:)
1484:Y
1481:,
1478:X
1473:Z
1462:Z
1457:X
1449:(
1446:g
1443:+
1440:)
1437:Z
1434:,
1431:X
1426:Y
1418:+
1415:Y
1410:X
1402:(
1399:g
1396:=
1391:)
1386:)
1383:X
1380:,
1377:Y
1374:(
1371:g
1366:(
1361:Z
1353:)
1348:)
1345:X
1342:,
1339:Z
1336:(
1333:g
1328:(
1323:Y
1320:+
1315:)
1310:)
1307:Z
1304:,
1301:Y
1298:(
1295:g
1290:(
1285:X
1262:g
1250:.
1238:)
1235:Z
1230:X
1222:,
1219:Y
1216:(
1213:g
1210:+
1207:)
1204:Z
1201:,
1198:Y
1193:X
1185:(
1182:g
1179:=
1174:)
1169:)
1166:Z
1163:,
1160:Y
1157:(
1154:g
1149:(
1144:X
1109:.
1097:)
1094:Z
1089:X
1081:,
1078:Y
1075:(
1072:g
1069:+
1066:)
1063:Z
1060:,
1057:Y
1052:X
1044:(
1041:g
1038:+
1035:)
1032:Z
1029:,
1026:Y
1023:(
1020:)
1017:g
1012:X
1004:(
1001:=
996:)
991:)
988:Z
985:,
982:Y
979:(
976:g
971:(
966:X
917:)
914:g
911:,
908:M
905:(
872:.
860:Y
840:X
813:]
810:Y
807:,
804:X
801:[
781:]
778:Y
775:,
772:X
769:[
766:=
763:X
758:Y
747:Y
742:X
717:Y
697:X
679:.
667:0
664:=
661:g
590:f
585:i
575:i
571:X
567:=
564:f
556:i
552:x
537:i
533:X
529:=
526:)
523:f
520:(
517:X
494:)
489:n
485:x
481:,
475:,
470:1
466:x
462:(
451:M
446:)
444:Y
440:X
438:(
436:g
430:p
423:p
419:Y
414:p
410:X
404:Y
398:X
388:Y
384:X
378:g
368:Y
362:X
352:.
339:M
333:Z
329:Y
325:X
320:.
317:M
307:g
302:.
299:M
284:.
278:)
276:g
272:M
270:(
238:.
233:2
229:/
225:)
222:1
219:+
216:n
213:(
210:n
205:R
195:n
191:M
65:)
Text is available under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License. Additional terms may apply.