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2801:
7996:
5250:{\displaystyle {\begin{aligned}&(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},x_{n+1},\ldots )+(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n},y_{n+1},\ldots )\\={}&(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},\ldots ,x_{n}+y_{n},x_{n+1}+y_{n+1},\ldots ),\\&\lambda \cdot \left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},x_{n+1},\ldots \right)\\={}&(\lambda x_{1},\lambda x_{2},\ldots ,\lambda x_{n},\lambda x_{n+1},\ldots ).\end{aligned}}}
12108:
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7807:
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17563:
28675:
12722:
9156:
1267:
of the straight line between the two points. In many situations, the
Euclidean distance is appropriate for capturing the actual distances in a given space. In contrast, consider taxi drivers in a grid street plan who should measure distance not in terms of the length of the straight line to their
24641:
30257:
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18187:
12953:
12577:
4466:
7783:
13602:
104:. Because of their key role in the mathematical analysis of measure and probability spaces, Lebesgue spaces are used also in the theoretical discussion of problems in physics, statistics, economics, finance, engineering, and other disciplines.
9030:
5969:
24508:
7991:{\displaystyle \|x\|_{\infty }\equiv \inf\{C\in \mathbb {R} _{\geq 0}:|x_{i}|\leq C{\text{ for all }}i\in I\}={\begin{cases}\sup \operatorname {range} |x|&{\text{if }}X\neq \varnothing ,\\0&{\text{if }}X=\varnothing .\end{cases}}}
29999:
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16954:
19563:
10023:
35088:
33359:, Mathematics and its Applications (East European Series), vol. 29 (Translated from the Polish by Ewa Bednarczuk ed.), Dordrecht; Warsaw: D. Reidel Publishing Co.; PWN—Polish Scientific Publishers, pp. xvi+524,
17151:
8425:
1873:
10647:
32929:
19228:
2112:") between two points is never shorter than the length of the line segment between them (the Euclidean or "as the crow flies" distance). Formally, this means that the Euclidean norm of any vector is bounded by its 1-norm:
12380:
17809:
4198:
30551:
33106:(a concept he introduced), then these two constructions are, respectively, canonically TVS-isomorphic with the spaces of Bochner and Pettis integral functions mentioned earlier; in short, they are indistinguishable.
32859:
17881:
14912:
6857:
26470:
24456:
are first proved for continuous and compactly supported functions (sometimes for step functions), then extended by density to all functions. For example, it is proved this way that translations are continuous on
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18063:
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The space of sequences has a natural vector space structure by applying addition and scalar multiplication coordinate by coordinate. Explicitly, the vector sum and the scalar action for infinite
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12103:{\displaystyle {\mathcal {N}}\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;\{f:f=0\ \mu {\text{-almost everywhere}}\}=\{f\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu ):\|f\|_{p}=0\}\qquad \forall \ p.}
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13879:{\displaystyle L^{p}(S,\mu )~~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~~{\mathcal {L}}^{p}(S,\mu )/{\mathcal {N}}~=~\{f+{\mathcal {N}}:f\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\mu )\}.}
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6913:
6566:
6499:
6382:
5651:
5628:
5546:
5277:
4583:
4499:
4348:
3756:
3700:
3456:
2600:
2513:
2493:
2360:
2280:
2260:
2207:
2187:
2011:
1936:
1655:
1635:
1612:
1592:
1415:
1363:
1290:
1226:
1206:
1012:
917:
897:
793:
16477:
7207:
9151:{\displaystyle \|f\|_{\infty }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\inf\{C\in \mathbb {R} _{\geq 0}:|f(s)|\leq C{\text{ for almost every }}s\}.}
6758:
37619:
26611:: it admits a complete translation-invariant metric with respect to which the vector space operations are continuous. It is the prototypical example of an
26370:
18554:
37960:
36023:
20441:
19466:
9975:
34975:
29589:
29200:
24636:{\displaystyle \forall f\in L^{p}\left(\mathbb {R} ^{d}\right):\quad \left\|\tau _{t}f-f\right\|_{p}\to 0,\quad {\text{as }}\mathbb {R} ^{d}\ni t\to 0,}
39615:
39240:
38294:
37697:
36764:
30252:{\displaystyle \|f\|_{L^{p}}^{p}=\int |f(x)|^{p}d\mu (x)\geq \int _{\{|f(x)|>t\}}t^{p}+\int _{\{|f(x)|\leq t\}}|f|^{p}\geq t^{p}\mu (\{|f|>t\}),}
17988:
32864:
10531:
38939:
37714:
36781:
19107:
16290:
27875:{\displaystyle V_{\varepsilon }={\Bigl \{}f:\mu {\bigl (}\{x:|f(x)|>\varepsilon \}{\bigr )}<\varepsilon {\Bigr \}},\qquad \varepsilon >0.}
12288:
6235:
25458:
17886:
9346:{\displaystyle \|f\|_{\infty }~=~{\begin{cases}\operatorname {esssup} |f|&{\text{if }}\mu (S)>0,\\0&{\text{if }}\mu (S)=0.\end{cases}}}
4353:
899:-norms (every vector from the origin to the unit circle has a length of one, the length being calculated with length-formula of the corresponding
28986:
22726:
17756:
3243:
3104:
39451:
38416:
29448:
23161:
27057:
The situation of having no linear functionals is highly undesirable for the purposes of doing analysis. In the case of the
Lebesgue measure on
19658:
37948:
32794:
17818:
14841:
39278:
39235:
16682:
8547:{\displaystyle \|f\|_{p}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(\int _{S}|f|^{p}\;\mathrm {d} \mu \right)^{1/p}<\infty .}
25868:
32726:
4501:
by a positive constant does not change the "norm". Despite these defects as a mathematical norm, the non-zero counting "norm" has uses in
2518:
25077:
10657:
26037:
39441:
38349:
31969:
25782:
14464:
13607:
31306:
16418:
15544:
with pointwise multiplication and conjugation. For many measure spaces, including all sigma-finite ones, it is in fact a commutative
32425:
14995:
39568:
39423:
38321:
37022:
36881:
36581:
30737:{\displaystyle \||f|\|_{L^{p,\infty }}=\sup _{0<\mu (E)<\infty }\mu (E)^{-1/r+1/p}\left(\int _{E}|f|^{r}\,d\mu \right)^{1/r}}
22907:
32658:
13377:
6469:
space is obtained—as seen below—by considering vectors, not only with finitely or countably-infinitely many components, but with "
39399:
37955:
37787:
35654:
33658:
32260:
32165:
31916:
26616:
16211:
15499:, but sometimes these terms are reserved for functions that are square-integrable in some other sense, such as in the sense of a
7056:
1950:
20988:
20600:
15144:
In general, this process cannot be reversed: there is no consistent way to define a "canonical" representative of each coset of
10133:
38668:
29860:
26255:
14924:
14301:
37537:
33811:
18878:{\displaystyle r_{n}~=~2^{n/p}\,t_{n}~{\text{ and }}\quad f_{n}~=~{\frac {f}{r_{n}}}\,\mathbf {1} _{(t_{n+1}<f\leq t_{n})}}
2115:
38610:
37368:
36300:
36271:
36237:
36067:
36037:
36005:
35852:
33445:
33339:
31836:
24646:
19663:
19036:
12862:{\displaystyle (f+{\mathcal {N}})+(g+{\mathcal {N}})\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;(f+g)+{\mathcal {N}}}
7453:{\displaystyle \langle \left(x_{i}\right)_{i},\left(y_{n}\right)_{i}\rangle _{\ell ^{2}}~=~\sum _{i}x_{i}{\overline {y_{i}}}}
28327:
24810:
23813:{\displaystyle F\subseteq A\subseteq U\subseteq V\quad {\text{and}}\quad \mu (U)-\mu (F)=\mu (U\setminus F)<\varepsilon }
38426:
36908:
36229:
29918:
28398:
27160:
whenever possible, as this has quite a few linear functionals: enough to distinguish points from one another. However, the
19402:
13061:{\displaystyle L^{p}(S,\,\mu )~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\mathcal {L}}^{p}(S,\mu )/{\mathcal {N}}.}
38509:
34243:
32596:
32371:
31561:{\displaystyle \|u\|_{L^{p}(S,w\,\mathrm {d} \mu )}\equiv \left(\int _{S}w(x)|u(x)|^{p}\,\mathrm {d} \mu (x)\right)^{1/p}}
28733:
22342:
22246:
37976:
37529:
36713:
36364:
35644:{\displaystyle \left({\tfrac {1}{2}}|f|+{\tfrac {1}{2}}|g|\right)^{p}\leq {\tfrac {1}{2}}|f|^{p}+{\tfrac {1}{2}}|g|^{p},}
34768:
34619:
27754:
27585:
22441:
on any finite set. In both cases the embedding is continuous, in that the identity operator is a bounded linear map from
18888:
13285:
12392:
7162:
494:
39291:
37315:
36639:
31842:
20376:
20241:
16795:
13073:
9457:
6744:{\displaystyle \ell ^{p}(I)=\left\{(x_{i})_{i\in I}\in \mathbb {K} ^{I}:\sum _{i\in I}|x_{i}|^{p}<+\infty \right\},}
37709:
36776:
35185:
28682:
26757:
vector does not possess a fundamental system of convex neighborhoods. Specifically, this is true if the measure space
22831:
20680:
18192:
14107:
8907:
39380:
39271:
38150:
37933:
36695:
36167:
36127:
36086:
33523:
33372:
33176:
32788:
32188:
27582:
14193:
14055:
12727:
165:
39098:
33709:
18965:
9816:
4265:—whose quotation marks warn that this function is not a proper norm—is the number of non-zero entries of the vector
3614:
topological vector space. Beyond this qualitative statement, a quantitative way to measure the lack of convexity of
39650:
38745:
38068:
37911:
37666:
37656:
35093:
34876:
33905:
31109:
28934:
11655:
10258:
34701:
31748:
31600:
31359:
28289:
is complete. However, as mentioned above, scalar multiplication is continuous with respect to this metric only if
24868:
17701:
14758:
12241:
12113:
11076:
10835:
10400:
9749:
8267:
926:
39295:
38598:
38534:
38085:
37466:
37375:
37139:
33275:
32300:
25228:
21890:
19233:
18361:
17653:
17203:
13700:
12235:
38379:
34395:
31651:
25675:
17307:
38872:
38790:
38593:
38272:
38051:
36675:
36655:
31002:
25565:
21968:
18672:
13477:
12524:{\displaystyle f+{\mathcal {N}}\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;\{f+h:h\in {\mathcal {N}}\}}
2287:
546:
36995:
24460:
24308:
24256:
22202:
22199:
need not decay at all but no blow-up is allowed. The precise technical result is the following. Suppose that
13962:
8684:
5468:{\displaystyle \|x\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\cdots +|x_{n}|^{p}+|x_{n+1}|^{p}+\cdots \right)^{1/p}}
3356:
39446:
38969:
38631:
38409:
38364:
38354:
37704:
37651:
37545:
37451:
36771:
36705:
36609:
36492:
36326:
34443:
24414:
18290:
18182:{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\|f\|_{p}^{p}~\leq ~\sum _{n\in \mathbb {Z} }r_{n}^{p}~\leq ~2\|f\|_{p}^{p}\,,}
15872:
10919:
5998:
2603:
32129:
28178:
27054:
does contain non-trivial convex open sets, it fails to have enough of them to give a base for the topology.
25265:
24118:
23411:
23294:
21176:
15060:
8844:
39760:
39729:
39502:
39436:
39264:
38466:
38456:
38384:
38311:
38187:
37856:
37570:
37550:
37514:
37438:
37158:
36874:
27574:
27254:
26894:
21754:
13155:
13119:
12948:{\displaystyle s(f+{\mathcal {N}})\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;(sf)+{\mathcal {N}}.}
9667:
38461:
32997:
28229:
23828:
20690:
14805:
8206:
6330:
39466:
38804:
38794:
38394:
37780:
37692:
37471:
37433:
37385:
36759:
36629:
36321:
34940:
34164:
34062:
34030:
33748:
33170:
33039:
31163:
30930:
29161:
27476:
27438:
23568:
23043:
20291:
19588:
16631:
15616:
14430:
14233:
14163:
10771:
5551:
397:
359:
321:
36154:, London Mathematical Society Lecture Note Series, vol. 89, Cambridge: Cambridge University Press,
34302:
33998:
31709:
28292:
26143:
24201:
23823:
23655:
22437:
Neither condition holds for the real line with the
Lebesgue measure while both conditions holds for the
20886:
19897:
19865:
18524:
17958:
17575:
17008:
16583:
16535:
11512:
9943:
9558:
7778:{\displaystyle \ell ^{\infty }(I)=\{x\in \mathbb {K} ^{I}:\sup \operatorname {range} |x|<+\infty \},}
7124:
6571:
2051:
39711:
39665:
39589:
39471:
39163:
38965:
38627:
38441:
38334:
38329:
38224:
38197:
38162:
38014:
37907:
37597:
37565:
37555:
37476:
37443:
37074:
36983:
36723:
36665:
36522:
35784:
32648:
32294:
30961:
28508:
27396:
27060:
26512:
26475:
24722:
21718:
21634:
21545:
21102:
20513:
20150:
15487:
15450:
The additional inner product structure allows for a richer theory, with applications to, for instance,
7547:
7508:
3549:
2810:
619:
241:
34366:
29343:
28851:
28117:
27591:
27514:
27216:
27000:
25329:
23261:
23080:
21670:
20334:
17607:
16009:
14670:
14005:
13597:{\displaystyle \|f+{\mathcal {N}}\|_{p}\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;\|f\|_{p}.}
8164:
6938:
5484:
4701:
3493:
2849:
2612:
1967:
1272:, which takes into account that streets are either orthogonal or parallel to each other. The class of
1023:
853:
39706:
39522:
39021:
38921:
38615:
38588:
38571:
38389:
38234:
37903:
37614:
37519:
37295:
37223:
36728:
36660:
36288:
36228:. International Series in Pure and Applied Mathematics. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY:
35416:
33955:
33870:
33164:
32961:
32652:
32552:
31300:
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21904:
21894:
20684:
15702:
13666:
8993:
6752:
6208:
4293:
37604:
36680:
36316:
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33785:
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29720:
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20594:
20560:
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17166:
16963:
16763:
15147:
14725:
13341:
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12160:
11895:
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10734:
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38158:
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37898:
37687:
37133:
37064:
36754:
36733:
36670:
35966:
35286:
33134:
32720:
29300:
29099:
28082:
27432:
23940:
23366:
22051:
22009:
19301:
16085:
15930:
15833:
15761:
14918:
14628:
14490:
13893:
11732:
9161:
8241:
7463:
7268:
5964:{\displaystyle 1^{p}+{\frac {1}{2^{p}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{p}}}+{\frac {1}{(n+1)^{p}}}+\cdots ,}
3617:
3581:
1728:
542:
462:
101:
37000:
32526:
31792:
28047:
27701:
27119:
26332:
25968:
25367:
24166:
More precisely, one can use bounded continuous functions that vanish outside one of the open sets
23606:
23542:
22093:
21182:
20845:
20182:
20068:
16185:
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14532:
8379:
8357:
8035:
6862:
6512:
3705:
3065:
2641:
1938:-norms and maximum norm as defined above indeed satisfy the properties of a "length function" (or
742:
39765:
39655:
39431:
39060:
38823:
38404:
38344:
37456:
37214:
37174:
36867:
36535:
36357:
30519:
27161:
26578:
25402:
25050:
24930:
24778:
22175:
21852:
21581:
21509:
21399:
21151:
21066:
20961:
20921:
20805:
20770:
20739:
20114:
15607:
15551:
15513:
11778:
11544:
11424:
11240:
11174:
10803:
9813:-norms are stated only for non-negative real-valued functions. Consider for example the identity
9398:
2417:
1668:
1231:
205:
of a solution's vector of parameter values (i.e. the sum of its absolute values), or its squared
39172:
35139:
26970:
25743:
21931:
13441:
8559:
7659:
7297:
5772:
5610:
is then defined as the set of all infinite sequences of real (or complex) numbers such that the
4661:
4625:
4592:
3796:
3761:
798:
39770:
39750:
39686:
39630:
39594:
38446:
38359:
38140:
38056:
37892:
37886:
37773:
37739:
37639:
37461:
37183:
37029:
36685:
36614:
36507:
36487:
34328:
34208:
33079:
32500:
29194:
27362:
27335:
27030:
26943:
26622:
26479:
25024:
24253:
is the
Lebesgue measure. The space of continuous and compactly supported functions is dense in
19363:
16368:
15648:
15243:
10028:
9613:
8806:
7065:
7007:
6474:
6414:
6387:
6303:
5802:
5656:
5586:
4237:
4207:
4043:
4013:
3986:
3945:
3461:
2212:
665:
435:
122:
38686:
36032:. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Vol. 343. Berlin, Heidelberg: Springer.
35367:
33218:
32938:
32044:
31818:
28791:
28488:
28027:
26835:
26649:
26011:
25174:
17275:
17243:
4296:
3649:
2391:
1892:
1318:
44:
39393:
39230:
39225:
38700:
38648:
38605:
38529:
38482:
38219:
37881:
37848:
37821:
37300:
37253:
37248:
37243:
37085:
36968:
36926:
36512:
36404:
33281:
32234:
32109:
30899:
30780:
30747:
30479:
29759:
29533:
29420:
28960:
27552:
26884:
26832:, §1.47). As a particular consequence, there are no nonzero continuous linear functionals on
26783:
26201:
26005:
24065:
23491:
22172:
but must decay sufficiently fast toward infinity. On the other hand, continuous functions in
21819:
21374:
20839:
20058:{\displaystyle \|f\|_{p}^{p}~=~p\,\int _{0}^{\infty }t^{p-1}\mu (|f|>t)\,\mathrm {d} t\,,}
19624:
19330:
14460:
10054:
9891:
7503:
7291:
6751:
where convergence on the right means that only countably many summands are nonzero (see also
6032:
6004:
5829:
5762:{\displaystyle \left(1,{\frac {1}{2}},\ldots ,{\frac {1}{n}},{\frac {1}{n+1}},\ldots \right)}
3211:
defines a subadditive function at the cost of losing absolute homogeneity. It does define an
2878:
2449:
2365:
1949:
the length of the vector is positive homogeneous with respect to multiplication by a scalar (
555:
39389:
38519:
30835:
30447:{\displaystyle \|f\|_{L^{p}}\geq \sup _{t>0}t\;\mu (\{|f|>t\})^{1/p}=\|f\|_{L^{p,w}}.}
29394:
28363:
28235:
28152:
27306:
27173:
26117:
24169:
23336:
18642:
16144:
15171:
14571:
9917:
6300:
if the right-hand side is finite, or the left-hand side is infinite. Thus, we will consider
4231:-normed space is studied in functional analysis, probability theory, and harmonic analysis.
3831:
1292:-norms generalizes these two examples and has an abundance of applications in many parts of
584:
39669:
39168:
38374:
38369:
38080:
37964:
37870:
37609:
37575:
37483:
37193:
37148:
36990:
36913:
36690:
36576:
36461:
36281:
36177:
33603:
33382:
32269:
32082:
31573:
31080:
30861:
29690:
28458:
28265:
27632:
27403:
27092:
26551:
26485:
26301:
26258:
neighborhood of the origin; in other words, this space is locally bounded, just like every
26230:
25201:
25147:
23405:
23234:
22556:
22550:
22525:
22498:
22471:
22444:
22128:
21825:
21435:
19785:
19758:
19722:
17160:
16058:
15806:
15675:
15582:
15461:
15328:
15301:
15270:
15110:
14601:
14373:
14267:
11029:
10913:
10651:
8109:
8071:
7647:{\displaystyle \langle f,g\rangle _{L^{2}}=\int _{X}f(x){\overline {g(x)}}\,\mathrm {d} x.}
6445:
5478:
4653:
4502:
4478:
4289:
3522:
3059:
2024:
1701:
1371:
715:
638:
274:
247:
208:
179:
172:
140:
39256:
35445:
34609:{\displaystyle {\begin{aligned}(f+g)(x)&=f(x)+g(x),\\(sf)(x)&=sf(x)\end{aligned}}}
31192:
30809:
30459:
28017:{\displaystyle d(f,g)=\int _{S}\varphi {\bigl (}|f(x)-g(x)|{\bigr )}\,\mathrm {d} \mu (x)}
27677:
27657:
27342:
24754:
24356:
24236:
23015:
21465:
15737:
7095:
5481:
on the right is not always convergent, so for example, the sequence made up of only ones,
1956:
the length of the sum of two vectors is no larger than the sum of lengths of the vectors (
8:
39635:
39573:
39287:
39011:
38812:
38769:
38583:
38306:
38036:
37843:
37592:
37582:
37428:
37392:
37218:
36947:
36904:
36846:
36634:
36517:
36456:
36425:
35318:
34850:
31703:
30262:
29790:
28907:
27627:
24772:
24385:
24033:{\displaystyle \int _{S}|\mathbf {1} _{A}-\varphi |\,\mathrm {d} \mu <\varepsilon \,.}
22990:
22716:{\displaystyle \ \|\mathbf {1} f^{p}\|_{1}\leq \|\mathbf {1} \|_{q/(q-p)}\|f^{p}\|_{q/p}}
21608:
17197:
16769:
15545:
14296:
13191:
11846:
11817:
11629:
11583:
11033:
10765:
10232:
10080:
8656:
8312:
8158:
5974:
2014:
1957:
1567:{\displaystyle \|x\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dotsb +|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}.}
1179:{\displaystyle \|x\|_{2}=\left({x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}+\dotsb +{x_{n}}^{2}\right)^{1/2}.}
632:
97:
20:
38957:
37270:
35344:
34827:
34678:
32348:
29566:
28913:
28811:
23632:
18512:{\displaystyle \|f\|_{p}^{p}~=~\sum _{n\in \mathbb {Z} }r_{n}^{p}\,\|f_{n}\|_{p}^{p}\,.}
16525:{\displaystyle {\tfrac {1}{\infty }}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~0}
15441:{\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{S}f(x){\overline {g(x)}}\,\mathrm {d} \mu (x)}
11872:
11007:
10110:
9535:
9510:
8782:
7258:{\displaystyle \|\mathbf {x} \|_{2}={\sqrt {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle }}}
4268:
3935:{\displaystyle C_{p}(n)=n^{{\tfrac {1}{p}}-1}\to \infty ,\quad {\text{as }}n\to \infty }
3218:
3051:{\displaystyle \|x\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\cdots +|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}}
2772:{\displaystyle \|x\|_{p}\leq \|x\|_{r}\leq n^{{\frac {1}{r}}-{\frac {1}{p}}}\|x\|_{p}~.}
692:
39775:
39660:
39527:
39245:
39156:
38779:
38749:
38566:
38524:
38131:
38041:
37986:
37833:
37744:
37504:
37489:
37188:
37069:
37047:
36816:
36718:
36624:
36571:
36497:
36430:
36350:
36208:
35474:
34748:
34361:
33591:
33286:
33254:
33085:
32214:
32194:
32170:
31896:
31353:
31058:
30938:
30290:
29796:
29513:
29278:
29141:
29079:
28940:
28889:
28537:
the definition of the fundamental system of neighborhoods could be modified as follows
27887:
27736:
26760:
26740:
26720:
26700:
25545:
25438:
25435:
can be defined as above: it is the quotient vector space of those measurable functions
25030:
25006:
24986:
24966:
24910:
24098:
24045:
23920:
23900:
23880:
23860:
23704:
23684:
23515:
23464:
23330:
23141:
23121:
22583:
22412:
22316:
22155:
21801:
21485:
21379:
20221:
19812:
19568:
19281:
19101:
18341:
18270:
18250:
16845:
16124:
16038:
15989:
15969:
15910:
15786:
14470:
14406:
14035:
13938:
13887:
13261:
13237:
13217:
12554:
12534:
12386:
and it is the subject of this article. We begin by defining the quotient vector space.
12231:
11932:
11758:
11609:
11492:
11404:
11384:
11360:
11336:
11283:
11220:
11214:
11123:
10987:
10511:
10491:
10471:
10451:
10376:
10352:
10332:
9796:
9729:
9593:
9437:
9378:
9358:
9200:
9194:
8973:
8953:
8746:
8628:
8608:
8588:
8405:
8337:
8317:
8136:
8003:
7788:
7034:
6987:
6967:
6918:
6898:
6551:
6484:
6367:
6198:{\displaystyle \|x\|_{\infty }=\sup(|x_{1}|,|x_{2}|,\dotsc ,|x_{n}|,|x_{n+1}|,\ldots )}
5636:
5613:
5531:
5262:
4568:
4514:
4506:
4484:
4474:
4333:
3741:
3685:
3441:
2585:
2498:
2478:
2345:
2265:
2245:
2192:
2172:
2109:
1996:
1939:
1921:
1695:
1640:
1620:
1597:
1577:
1400:
1348:
1275:
1211:
1191:
997:
902:
882:
778:
739:
or any
Hilbert space, one sees that every Hilbert space is isometrically isomorphic to
311:
134:
39057:
39018:
36333:
39640:
38926:
38399:
38180:
38123:
38103:
37661:
37397:
37358:
37353:
37260:
37178:
36963:
36936:
36604:
36296:
36267:
36243:
36233:
36223:
36212:
36163:
36123:
36082:
36063:
36043:
36033:
36001:
33519:
33441:
33386:
33368:
33335:
33327:
31742:
31290:{\displaystyle \nu (A)\equiv \int _{A}w(x)\,\mathrm {d} \mu (x),\qquad A\in \Sigma ,}
30934:
23485:
16949:{\displaystyle \sup _{\|g\|_{q}\leq 1}\,\int _{S}|fg|\,\mathrm {d} \mu ~<~\infty }
15455:
12571:
11840:
8648:
4522:
4518:
628:
307:
26777:
contains an infinite family of disjoint measurable sets of finite positive measure.
25074:
since it is possible to construct an infinite-dimensional closed vector subspace of
19558:{\displaystyle f_{n}={\frac {1}{r_{n}}}\,f\,\mathbf {1} _{(t_{n+1}<f\leq t_{n})}}
18521:
An atomic decomposition can be explicitly given by first defining for every integer
10448:
when addition and scalar multiplication are defined pointwise. That the sum of two
10018:{\displaystyle \infty /r\;{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\;\infty }
8161:, where functions which agree almost everywhere are identified. More generally, let
39645:
39563:
39532:
39512:
39497:
39492:
39487:
38556:
38551:
38539:
38451:
38436:
38299:
38239:
38214:
38145:
38135:
37998:
37678:
37587:
37363:
37348:
37338:
37323:
37290:
37285:
37275:
37153:
37128:
36943:
36806:
36745:
36566:
36466:
36421:
36409:
36200:
36155:
36055:
36019:
35083:{\displaystyle \|f+g\|_{p}^{p}\leq 2^{p-1}\left(\|f\|_{p}^{p}+\|g\|_{p}^{p}\right)}
33583:
33360:
33158:
33143: – N-th root of the arithmetic mean of the given numbers raised to the power n
32252:
26888:
25192:
22438:
22430:
21849:
for more details. If we assume the axiom of choice, this space is much bigger than
17146:{\displaystyle \|f\|_{p}~=~\sup _{\|g\|_{q}\leq 1}\,\int _{S}fg\,\mathrm {d} \mu .}
15755:
15576:
15500:
8029:
4729:
4526:
1868:{\displaystyle \|x\|_{\infty }=\max \left\{|x_{1}|,|x_{2}|,\dotsc ,|x_{n}|\right\}}
1658:
1301:
1269:
176:
118:
69:
39324:
37943:
39507:
39461:
39409:
39404:
39375:
38576:
38561:
38487:
38289:
38282:
38249:
38209:
38175:
38167:
38095:
38063:
37928:
37860:
37754:
37734:
37509:
37407:
37402:
37380:
37238:
37203:
37123:
37017:
36277:
36173:
36115:
35179:
33599:
33378:
32932:
32263:
32256:
27570:
22824:
The constant appearing in the above inequality is optimal, in the sense that the
20955:
20108:
15104:
10642:{\textstyle \|f+g\|_{p}^{p}\leq 2^{p-1}\left(\|f\|_{p}^{p}+\|g\|_{p}^{p}\right),}
9793:
if and only if its absolute value does. Because of this, many formulas involving
7052:
39334:
33149:
32994:
is not complete so a completion is constructed which, after being quotiented by
32924:{\displaystyle L^{p}(\Omega ,\Sigma ,\mu ){\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }E}
28730:, with the topology of local convergence in measure, is isomorphic to the space
39696:
39548:
39349:
39146:
39094:
38754:
38620:
38267:
38257:
37876:
37828:
37644:
37499:
37494:
37305:
37280:
37233:
37163:
37143:
37103:
37093:
36890:
36619:
36435:
36027:
34158:
32591:
27695:
24353:
this space is the linear span of indicator functions of bounded intervals when
22334:
21898:
21886:
19223:{\displaystyle (t_{n+1}<f\leq t_{n}):=\{s\in S:t_{n+1}<f(s)\leq t_{n}\}.}
15731:
15451:
15229:
8764:
8399:
8154:
4741:
4560:
3611:
1050:
315:
233:
61:
40:
33364:
33140:
12375:{\textstyle {\mathcal {N}}=\{f\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu ):\|f\|_{p}=0\}.}
39744:
39701:
39625:
39354:
39339:
39329:
39151:
38764:
38718:
38653:
38504:
38499:
38492:
38113:
38046:
38019:
37838:
37811:
37749:
37412:
37333:
37328:
37228:
37198:
37168:
37118:
37113:
37108:
37098:
37012:
36931:
36831:
36826:
36811:
36801:
36502:
36416:
36391:
36184:
36159:
36047:
36015:
33323:
33116:
33103:
31698:
But they are the natural framework for several results in harmonic analysis (
30956:
29715:
23509:
22825:
21459:
is onto, as composition of two onto isometries, and this proves reflexivity.
17812:
15907:
is the space of all sequences indexed by the integers, and when defining the
15295:
15138:
8200:
8021:
7157:
4693:
4585:-norm can be extended to vectors that have an infinite number of components (
4068:
3098:
624:
77:
36247:
33390:
20802:. With this (isometric) isomorphism in mind, it is usual to say simply that
39691:
39344:
39314:
38663:
38658:
38118:
38108:
37981:
37971:
37816:
37796:
37343:
37265:
37005:
36588:
36387:
36255:
36219:
36147:
33511:
33122:
30886:
26259:
23482:
21503:
20799:
17804:{\displaystyle \left(\operatorname {supp} f_{n}\right)_{n\in \mathbb {Z} }}
14424:
10445:
7059:
6439:
4262:
4193:{\displaystyle (x_{n})\mapsto \sum _{n}2^{-n}{\frac {|x_{n}|}{1+|x_{n}|}},}
3351:
3347:
2018:
1018:
847:
93:
53:
37042:
33420:
Long colimits of topological groups I: Continuous maps and homeomorphisms.
25668:
does not satisfy the triangle inequality in this case, and defines only a
22600:
has finite measure, one can make the following explicit calculation using
20683:
of Hölder's inequality. It is also possible to show (for example with the
3097:
however, the resulting function does not define a norm, because it is not
39620:
39610:
39517:
39319:
38952:
38868:
38774:
38759:
38739:
38713:
38678:
38229:
38192:
37865:
37208:
36263:
33128:
31812:
27152:
25196:
20795:
15538:
6509:
In complete analogy to the preceding definition one can define the space
1313:
1293:
1015:
843:
27:
32854:{\displaystyle L^{p}(\Omega ,\Sigma ,\mu ){\widehat {\otimes }}_{\pi }E}
27588:. Moreover, this topology is isometric to global convergence in measure
17876:{\displaystyle \mu \left(\operatorname {supp} f_{n}\right)\leq 2^{n+1},}
16141:
is the cardinality of an arbitrary
Hilbertian basis for this particular
14907:{\displaystyle \left({\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu ),\|\cdot \|_{p}\right)}
4529:, is a valid distance, since homogeneity is not required for distances.
1754:
It turns out that this limit is equivalent to the following definition:
39553:
39385:
38708:
38689: ((cs, lcs)-closed, (cs, bcs)-complete, (lower) ideally convex, (H
38673:
38514:
38262:
38024:
37052:
36841:
36532:
36204:
33595:
33292:
32266:
that are (each in their own way) a natural generalization of the usual
25669:
22090:
can be more spread out. Consider the
Lebesgue measure on the half line
20065:
where the integration is with respect to the usual
Lebesgue measure on
15541:
14915:
4510:
3490:
around the origin in this metric is "concave", the topology defined on
2017:. Moreover, it turns out that this space is complete, thus making it a
1878:
37765:
33494:
33492:
33490:
33488:
33486:
33484:
33459:
33457:
17698:
of non-negative real numbers and a sequence of non-negative functions
8743:
is measurable and has measure zero. Similarly, a measurable function
8133:
space may be defined as a space of measurable functions for which the
6852:{\displaystyle \|x\|_{p}=\left(\sum _{i\in I}|x_{i}|^{p}\right)^{1/p}}
838:
38784:
38029:
37993:
37034:
36978:
36973:
36836:
36821:
27213:
The vector space of (equivalence classes of) measurable functions on
26465:{\displaystyle {\Big \|}|u|+|v|{\Big \|}_{p}\geq \|u\|_{p}+\|v\|_{p}}
25262:
is the probability measure that results from dividing it by its mass
22429:
does not contain sets of non-zero but arbitrarily small measure (the
22048:
contains functions that are more locally singular, while elements of
18628:{\displaystyle t_{n}=\inf\{t\in \mathbb {R} :\mu (f>t)<2^{n}\}}
6546:
4465:
1594:
is a rational number with an even numerator in its reduced form, and
36188:
33587:
32780:{\displaystyle L^{p}(\Omega ,\Sigma ,\mu )\otimes _{\varepsilon }E.}
32647:
is then endowed with a locally convex topology that turns it into a
30456:
Under the convention that two functions are equal if they are equal
20503:{\displaystyle f\mapsto \kappa _{p}(g)(f)=\int fg\,\mathrm {d} \mu }
38934:
38860:
38820:
38723:
38546:
37059:
36476:
36445:
33481:
33454:
27473:
This is because scalar multiplication is continuous if and only if
25137:{\displaystyle L^{1}\left(S^{1},{\tfrac {1}{2\pi }}\lambda \right)}
23533:
22333:
does not contain sets of finite but arbitrarily large measure (any
21846:
20676:
16957:
12194:
11926:
11178:
11037:
7290:
This inner product can expressed in terms of the norm by using the
6478:
6050:
4737:
4586:
240:, encourage sparse solutions (where the many parameters are zero).
29678:{\displaystyle \|f\|_{p,w}=\sup _{t>0}~t\lambda _{f}^{1/p}(t).}
29266:{\displaystyle \lambda _{f}(t)\leq {\frac {\|f\|_{p}^{p}}{t^{p}}}}
26413:
26376:
4532:
164:
metrics, and measures of central tendency can be characterized as
38855:
37938:
36859:
33469:
33332:
Statistical
Learning with Sparsity: The Lasso and Generalizations
27578:
26612:
26608:
18636:
18053:{\displaystyle \|f_{n}\|_{\infty }~\leq ~2^{-{\tfrac {n}{p}}}\,,}
15927:-norm on such a space, one sums over all the integers. The space
9024:
4082:
4078:
3212:
2804:
2108:
The grid distance or rectilinear distance (sometimes called the "
1297:
32022:{\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{n},w\,\mathrm {d} \lambda ).}
13656:{\displaystyle f+{\mathcal {N}}\mapsto \|f+{\mathcal {N}}\|_{p}}
33298:
31345:{\displaystyle w={\tfrac {\mathrm {d} \nu }{\mathrm {d} \mu }}}
16467:{\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}={\tfrac {1}{r}}}
2475:
For the opposite direction, the following relation between the
1617:
The
Euclidean norm from above falls into this class and is the
175:, "L1 penalty" and "L2 penalty" refer to penalizing either the
130:
32490:{\displaystyle f_{1}\otimes e_{1}+\cdots +f_{n}\otimes e_{n},}
23408:, the vector space of integrable simple functions is dense in
16351:{\displaystyle \|f\|_{\infty }=\lim _{p\to \infty }\|f\|_{p}.}
15050:{\displaystyle g\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )\mapsto \{g\}}
12764:
when vector addition and scalar multiplication are defined by
1614:
is drawn from the set of real numbers, or one of its subsets.
689:
are both Hilbert spaces. In fact, by choosing a Hilbert basis
36029:
Fourier Analysis and Nonlinear Partial Differential Equations
27753:
function admits for the convergence in measure the following
15100:
13372:
12446:
6293:{\displaystyle \|x\|_{\infty }=\lim _{p\to \infty }\|x\|_{p}}
4469:
An animated gif of p-norms 0.1 through 2 with a step of 0.05.
2602:
of the underlying vector space and follows directly from the
237:
16:
Function spaces generalizing finite-dimensional p norm spaces
36342:
32712:{\displaystyle L^{p}(\Omega ,\Sigma ,\mu )\otimes _{\pi }E,}
25533:{\displaystyle N_{p}(f)=\int _{S}|f|^{p}\,d\mu <\infty .}
21063:
be the corresponding linear isometry. Consider the map from
17948:{\displaystyle f~=~\sum _{n\in \mathbb {Z} }r_{n}\,f_{n}\,,}
13431:{\displaystyle f+{\mathcal {N}}=\{f+h:h\in {\mathcal {N}}\}}
4525:. Despite not being a norm, the associated metric, known as
4456:{\displaystyle |x_{1}|^{0}+|x_{2}|^{0}+\cdots +|x_{n}|^{0}.}
4081:
of sequences has a complete metric topology provided by the
39286:
35774:{\displaystyle (|f|+|g|)^{p}\leq 2^{p-1}(|f|^{p}+|g|^{p}).}
33699:{\displaystyle \sup \operatorname {range} |x|<+\infty .}
33616:
33614:
33612:
31959:{\displaystyle L^{p}(\mathbf {T} ,w\,\mathrm {d} \lambda )}
29067:{\displaystyle \lambda _{f}(t)=\mu \{x\in S:|f(x)|>t\}.}
28482:
is in general not locally bounded, and not locally convex.
22815:{\displaystyle \ \|f\|_{p}\leq \mu (S)^{1/p-1/q}\|f\|_{q}.}
20111:(the Banach space of all continuous linear functionals) of
16280:{\displaystyle f\in L^{\infty }(S,\mu )\cap L^{q}(S,\mu ),}
9339:
7984:
3339:{\displaystyle d_{p}(x,y)=\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|^{p}}
3204:{\displaystyle |x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dotsb +|x_{n}|^{p}}
126:
35963:
The desired inequality follows by integrating both sides.
33322:
29501:{\displaystyle \lambda _{f}(t)\leq {\frac {C^{p}}{t^{p}}}}
23224:{\displaystyle f=\sum _{j=1}^{n}a_{j}\mathbf {1} _{A_{j}}}
21889:
proved that there are relatively consistent extensions of
21056:{\displaystyle \kappa _{q}:L^{p}(\mu )\to L^{q}(\mu )^{*}}
20668:{\displaystyle \kappa _{p}:L^{q}(\mu )\to L^{p}(\mu )^{*}}
16055:-norm as defined above. As any Hilbert space, every space
11140:-th power integrable functions together with the function
10222:{\displaystyle \|\,|f|\,\|_{p}^{r}=\|\,|f|^{r}\,\|_{p/r}.}
7004:
is countably infinite, this is exactly the sequence space
2800:
32787:
In general, neither of these space are complete so their
31597:-spaces, the weighted spaces have nothing special, since
28324:. To see this, consider the Lebesgue measurable function
24095:
of open sets that have finite measure, then the space of
14985:{\displaystyle \left(L^{p}(S,\mu ),\|\cdot \|_{p}\right)}
14362:{\displaystyle \left(L^{p}(S,\mu ),\|\cdot \|_{p}\right)}
12955:
This particular quotient vector space will be denoted by
34483:
Explicitly, the vector space operations are defined by:
33852:{\displaystyle \sup \operatorname {range} |x|=-\infty .}
33609:
33555:
Villani, Alfonso (1985), "Another note on the inclusion
32251:
in a number of ways. One way is to define the spaces of
27203:
26008:; the verification is similar to the familiar case when
15107:, the same normed space and so they may both be called "
14052:
that was chosen to represent the coset, meaning that if
36189:"Untersuchungen über Systeme integrierbarer Funktionen"
35956:{\displaystyle |f+g|^{p}\leq 2^{p-1}(|f|^{p}+|g|^{p}).}
33154:
Pages displaying short descriptions of redirect targets
33152: – Type of continuity of a complex-valued function
33145:
Pages displaying short descriptions of redirect targets
19712:{\displaystyle t\in \mathbb {R} \mapsto \mu (|f|>t)}
19093:{\displaystyle \mathbf {1} _{(t_{n+1}<f\leq t_{n})}}
35607:
35572:
35533:
35505:
35421:
34931:
33633:
33631:
33629:
33357:
Functional analysis and control theory: Linear systems
31317:
28636:
28353:{\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }
26114:
form a local base at the origin for this topology, as
25233:
25110:
24858:{\displaystyle L^{\infty }(\mu )\subseteq L^{p}(\mu )}
20302:
20261:
20246:
19593:
18068:
18033:
16815:
16800:
16753:{\displaystyle \|fg\|_{r}~\leq ~\|f\|_{p}\,\|g\|_{q}.}
16505:
16482:
16453:
16438:
16423:
13749:
13563:
13000:
12908:
12822:
12637:
12478:
12291:
11973:
11036:, and non-negativity are the defining properties of a
10534:
10000:
9062:
8457:
3889:
2821:
514:
499:
39175:
39101:
39063:
39024:
38972:
38875:
38826:
36538:
35969:
35855:
35787:
35657:
35497:
35477:
35448:
35419:
35370:
35347:
35321:
35289:
35188:
35142:
35096:
34978:
34943:
34879:
34853:
34830:
34771:
34751:
34704:
34681:
34622:
34489:
34446:
34398:
34369:
34331:
34305:
34246:
34211:
34167:
34130:
34097:
34065:
34033:
34001:
33958:
33908:
33873:
33814:
33788:
33751:
33712:
33661:
33257:
33221:
33179:
33173: – Function which is integratable on its domain
33088:
33042:
33000:
32964:
32941:
32931:(this is analogous to how the space of scalar-valued
32867:
32797:
32729:
32661:
32599:
32555:
32529:
32503:
32428:
32374:
32351:
32303:
32272:
32237:
32217:
32197:
32173:
32132:
32085:
32047:
31972:
31919:
31899:
31845:
31821:
31795:
31751:
31712:
31654:
31603:
31576:
31413:
31362:
31309:
31215:
31195:
31166:
31112:
31083:
31061:
31005:
30964:
30902:
30864:
30838:
30812:
30783:
30750:
30554:
30522:
30482:
30462:
30313:
30293:
30265:
30002:
29987:{\displaystyle L^{p}(S,\mu )\subset L^{p,w}(S,\mu ).}
29921:
29863:
29819:
29799:
29762:
29723:
29693:
29592:
29569:
29536:
29516:
29451:
29423:
29397:
29346:
29303:
29281:
29203:
29164:
29144:
29102:
29082:
28989:
28963:
28943:
28916:
28892:
28854:
28814:
28794:
28736:
28685:
28543:
28511:
28491:
28461:
28448:{\displaystyle \lim _{c\rightarrow 0}d(cf,0)=\infty }
28401:
28366:
28330:
28295:
28268:
28238:
28181:
28155:
28120:
28085:
28050:
28030:
27910:
27890:
27762:
27739:
27704:
27680:
27660:
27635:
27594:
27555:
27517:
27479:
27441:
27406:
27365:
27345:
27309:
27257:
27219:
27176:
27122:
27095:
27063:
27033:
27003:
26973:
26946:
26897:
26891:
on the natural numbers (producing the sequence space
26838:
26786:
26763:
26743:
26723:
26703:
26652:
26625:
26581:
26554:
26515:
26488:
26373:
26335:
26304:
26268:
26233:
26204:
26146:
26120:
26040:
26014:
25971:
25958:{\displaystyle d_{p}(f,g)=N_{p}(f-g)=\|f-g\|_{p}^{p}}
25871:
25785:
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36062:, Elements of mathematics, Berlin: Springer-Verlag,
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32415:{\displaystyle L^{p}(\Omega ,\Sigma ,\mu )\otimes E}
28781:{\displaystyle L^{0}(\mathbb {R} ^{n},g\,\lambda ),}
28044:
is bounded continuous concave and non-decreasing on
26140:
ranges over the positive reals. These balls satisfy
23512:, i.e., the smallest 𝜎–algebra of subsets of
22402:{\displaystyle L^{p}(S,\mu )\subseteq L^{q}(S,\mu )}
22306:{\displaystyle L^{q}(S,\mu )\subseteq L^{p}(S,\mu )}
2573:{\displaystyle \|x\|_{1}\leq {\sqrt {n}}\|x\|_{2}~.}
34817:{\displaystyle f,g\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}
34668:{\displaystyle f,g\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}
33626:
32791:are constructed, which are respectively denoted by
31913:such that the Hilbert transform remains bounded on
24115:–integrable continuous functions is dense in
19809:-norm (given below) and can be used to express the
14802:happens to be a norm (which happens if and only if
10724:{\displaystyle \|f+g\|_{p}\leq \|f\|_{p}+\|g\|_{p}}
8098:
3942:shows that the infinite-dimensional sequence space
39616:Spectral theory of ordinary differential equations
39203:
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23283:
23250:
23223:
23150:
23130:
23107:
23067:
23024:
23005:
22979:
22896:
22814:
22715:
22592:
22572:
22541:
22514:
22487:
22460:
22421:
22401:
22325:
22305:
22232:
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22144:
22117:
22082:
22040:
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21920:
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21810:
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21705:
21659:
21623:
21597:
21570:
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21474:
21451:
21424:
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21055:
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20910:
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20786:
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20728:
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20502:
20430:
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20280:
20230:
20210:
20171:
20139:
20092:
20057:
19934:
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19854:
19821:
19801:
19774:
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19711:
19646:
19613:
19577:
19557:
19455:
19391:
19352:
19319:
19290:
19270:
19222:
19092:
19025:
18955:{\displaystyle \mu (f>t)=\mu (\{s:f(s)>t\})}
18954:
18877:
18716:
18661:
18627:
18544:
18511:
18398:
18350:
18330:
18279:
18259:
18239:
18181:
18052:
17978:
17947:
17875:
17803:
17741:
17690:
17638:
17596:
17557:
17337:
17296:
17264:
17232:
17200:, can be generalized: If the measurable function
17188:
17145:
17045:
16997:
16948:
16854:
16834:
16784:
16752:
16671:
16620:
16572:
16524:
16466:
16407:
16350:
16279:
16200:
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16113:
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16027:
15998:
15978:
15958:
15919:
15899:
15861:
15822:
15795:
15775:
15746:
15722:
15691:
15664:
15637:
15598:
15567:
15529:
15477:
15440:
15344:
15325:spaces. In the complex case, the inner product on
15317:
15286:
15259:
15220:
15190:
15160:
15126:
15091:
15049:
14984:
14906:
14830:
14794:
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14712:
14659:
14617:
14590:
14560:
14521:
14479:
14451:
14415:
14389:
14361:
14283:
14252:
14222:
14182:
14152:
14096:
14044:
14024:
13994:
13947:
13924:
13878:
13691:
13655:
13596:
13512:
13466:
13430:
13363:
13331:{\displaystyle f\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu ),}
13330:
13270:
13246:
13226:
13206:
13180:
13144:
13108:
13060:
12947:
12861:
12756:
12716:
12563:
12543:
12523:
12438:{\displaystyle f\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu ),}
12437:
12374:
12277:
12222:
12178:
12149:
12102:
11941:
11917:
11884:
11861:
11832:
11806:
11767:
11747:
11718:
11644:
11618:
11598:
11572:
11533:
11501:
11481:
11452:
11413:
11393:
11369:
11345:
11325:
11292:
11268:
11229:
11205:
11165:
11132:
11112:
11065:
11019:
10996:
10976:
10904:
10871:
10824:
10792:
10756:
10723:
10641:
10520:
10500:
10480:
10460:
10436:
10385:
10361:
10341:
10321:
10247:
10221:
10122:
10099:
10069:
10043:
10017:
9964:
9932:
9906:
9880:
9805:
9785:
9738:
9718:
9656:
9602:
9582:
9547:
9522:
9499:
9446:
9426:
9387:
9367:
9345:
9209:
9185:
9150:
9015:
8982:
8962:
8942:
8896:
8831:
8794:
8755:
8735:
8671:
8637:
8617:
8597:
8577:
8546:
8414:
8390:
8368:
8346:
8326:
8303:
8256:
8230:
8191:
8145:
8125:
8087:
8060:
8012:
7990:
7797:
7777:
7677:
7646:
7538:
7494:
7452:
7316:
7282:
7257:
7189:{\displaystyle \langle \,\cdot ,\,\cdot \rangle ,}
7188:
7148:
7113:
7081:
7043:
7023:
6996:
6976:
6956:
6927:
6907:
6887:
6851:
6743:
6592:
6560:
6537:
6493:
6461:
6430:
6403:
6376:
6354:
6319:
6292:
6224:
6197:
6041:
6019:
5989:
5963:
5847:
5818:
5791:
5761:
5672:
5645:
5622:
5602:
5575:
5540:
5520:
5467:
5271:
5249:
4720:
4680:
4644:
4611:
4577:
4493:
4455:
4342:
4321:
4280:
4253:
4223:
4192:
4059:
4029:
4002:
3961:
3934:
3846:
3820:
3785:
3750:
3730:
3694:
3674:
3638:
3602:
3570:
3538:
3511:
3482:
3450:
3428:
3393:
3338:
3230:
3203:
3089:
3050:
2896:
2867:
2834:
2771:
2665:
2630:
2594:
2572:
2507:
2487:
2464:
2438:
2406:
2380:
2354:
2334:
2274:
2254:
2234:
2201:
2181:
2159:
2087:
2040:
2005:
1985:
1930:
1910:
1867:
1746:
1717:
1684:
1649:
1629:
1606:
1586:
1566:
1409:
1387:
1357:
1336:
1284:
1259:
1220:
1200:
1178:
1041:
1006:
986:
911:
891:
871:
827:
817:
787:
767:
731:
704:
681:
654:
603:
573:
534:{\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1.}
533:
483:
451:
424:
386:
348:
290:
263:
224:
195:
156:
36146:
34290:
33548:
31886:{\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{n},\lambda ).}
28833:
27854:
27778:
27300:
26615:that, for most reasonable measure spaces, is not
22987:the case of equality being achieved exactly when
20431:{\displaystyle \kappa _{p}(g)\in L^{p}(\mu )^{*}}
20281:{\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1}
16835:{\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1}
13109:{\displaystyle f+{\mathcal {N}}=g+{\mathcal {N}}}
9500:{\displaystyle f\in {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}
8970:that are bounded almost everywhere (by some real
244:uses a penalty term that is a combination of the
39742:
35276:{\displaystyle F(tx+(1-t)y)\leq tF(x)+(1-t)F(y)}
33815:
33713:
33662:
33036:is isometrically isomorphic to the Banach space
30598:
30341:
29619:
28723:{\displaystyle L^{0}(\mathbb {R} ^{n},\lambda )}
28403:
28197:
25858:{\displaystyle N_{p}(f+g)\leq N_{p}(f)+N_{p}(g)}
22897:{\displaystyle I:L^{q}(S,\mu )\to L^{p}(S,\mu )}
18571:
18240:{\displaystyle (r_{n}f_{n})_{n\in \mathbb {Z} }}
17086:
16870:
16314:
14598:Depending on the author, the subscript notation
14153:{\displaystyle \|{\mathcal {C}}\|_{p}=\|f\|_{p}}
12574:. The set of all cosets, typically denoted by
10879:is closed under scalar multiplication is due to
9076:
8943:{\displaystyle {\mathcal {L}}^{\infty }(S,\mu )}
8422:-th power has a finite integral, or in symbols:
7914:
7830:
7738:
6259:
6079:
1780:
36136:
36095:
35090:can be deduced from the fact that the function
33206:{\displaystyle \left(L_{\text{loc}}^{1}\right)}
14223:{\displaystyle {\mathcal {C}}=f+{\mathcal {N}}}
14097:{\displaystyle {\mathcal {C}}\in L^{p}(S,\mu )}
12757:{\displaystyle 0+{\mathcal {N}}={\mathcal {N}}}
11217:because there might exist measurable functions
65:
39128:{\displaystyle S\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}
33738:{\displaystyle \sup \operatorname {range} |x|}
33348:
29753:so this notation is also used to denote them.
19659:complementary cumulative distribution function
19026:{\displaystyle (f>t):=\{s\in S:f(s)>t\}}
18189:and where moreover, the sequence of functions
15510:If we use complex-valued functions, the space
9881:{\displaystyle \|f\|_{p}^{r}=\|f^{r}\|_{p/r},}
43:defined using a natural generalization of the
39272:
39236:Mathematical formulation of quantum mechanics
37781:
36875:
36358:
36150:; Peck, N. Tenney; Roberts, James W. (1984),
36122:, Pearson Education, Inc., pp. 253–257,
35995:
35129:{\displaystyle F:[0,\infty )\to \mathbb {R} }
34916:{\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu ).}
33945:{\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu ),}
33518:(2nd ed.), New Delhi: Tata McGraw-Hill,
31153:{\displaystyle L^{p}(S,w\,\mathrm {d} \mu ),}
27991:
27947:
27841:
27794:
26542:
22980:{\displaystyle \|I\|_{q,p}=\mu (S)^{1/p-1/q}}
22549:in the second. (This is a consequence of the
13663:defines a map, which will also be denoted by
11719:{\displaystyle \|f\|_{p}^{p}=\||f|^{p}\|_{1}}
10322:{\displaystyle \|f\|_{p}^{p}=\||f|^{p}\|_{1}}
5477:Here, a complication arises, namely that the
301:
37620:Riesz–Markov–Kakutani representation theorem
36096:Dunford, Nelson; Schwartz, Jacob T. (1958),
35996:Adams, Robert A.; Fournier, John F. (2003),
35061:
35054:
35037:
35030:
34992:
34979:
34738:{\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}
34415:
34399:
34138:
34131:
34105:
34098:
33881:
33874:
33438:Inequalities: A Journey into Linear Analysis
33014:
33007:
32972:
32965:
31782:{\displaystyle L^{p}(\mathbf {T} ,\lambda )}
31641:{\displaystyle L^{p}(S,w\,\mathrm {d} \mu )}
31421:
31414:
31400:{\displaystyle L^{p}(S,w\,\mathrm {d} \mu )}
30572:
30555:
30419:
30412:
30388:
30366:
30321:
30314:
30240:
30218:
30174:
30143:
30120:
30089:
30010:
30003:
29896:
29889:
29871:
29864:
29600:
29593:
29236:
29229:
29058:
29015:
27836:
27799:
26453:
26446:
26434:
26427:
26276:
26269:
26101:
26054:
25941:
25928:
25649:
25642:
25576:
25569:
24900:{\displaystyle V\subseteq L^{\infty }(\mu )}
22918:
22911:
22800:
22793:
22740:
22733:
22696:
22682:
22653:
22644:
22632:
22613:
21897:+ "Every subset of the real numbers has the
20593:is well defined and continuous follows from
19956:
19949:
19843:
19836:
19214:
19155:
19020:
18987:
18946:
18919:
18622:
18574:
18491:
18477:
18420:
18413:
18308:
18294:
18161:
18154:
18086:
18079:
18006:
17992:
17742:{\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {Z} },}
17177:
17170:
17097:
17090:
17067:
17060:
16881:
16874:
16738:
16731:
16721:
16714:
16696:
16686:
16336:
16329:
16301:
16294:
15371:
15359:
15086:
15080:
15044:
15038:
14968:
14961:
14890:
14883:
14825:
14819:
14795:{\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}
14736:
14729:
14345:
14338:
14141:
14134:
14122:
14111:
13983:
13966:
13870:
13816:
13677:
13670:
13644:
13627:
13582:
13575:
13544:
13527:
13498:
13481:
13452:
13445:
13425:
13397:
13352:
13345:
13214:almost everywhere; if this is the case then
12708:
12654:
12518:
12490:
12366:
12351:
12344:
12302:
12278:{\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}
12211:
12204:
12150:{\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}
12084:
12069:
12062:
12020:
12014:
11985:
11906:
11899:
11789:
11782:
11707:
11683:
11666:
11659:
11555:
11548:
11435:
11428:
11314:
11307:
11251:
11244:
11194:
11187:
11154:
11147:
11113:{\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}
11054:
11047:
10965:
10958:
10933:
10923:
10893:
10886:
10872:{\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}
10745:
10738:
10712:
10705:
10693:
10686:
10674:
10661:
10617:
10610:
10593:
10586:
10548:
10535:
10437:{\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}
10310:
10286:
10269:
10262:
10199:
10173:
10156:
10137:
9858:
9844:
9827:
9820:
9786:{\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}
9707:
9690:
9678:
9671:
9571:
9562:
9409:
9402:
9231:
9224:
9142:
9079:
9041:
9034:
9004:
8997:
8891:
8848:
8730:
8688:
8436:
8429:
8304:{\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}
7900:
7833:
7818:
7811:
7769:
7714:
7570:
7557:
7388:
7331:
7250:
7234:
7220:
7211:
7180:
7166:
7137:
7128:
6769:
6762:
6281:
6274:
6246:
6239:
6232:of all bounded sequences. It turns out that
6067:
6060:
5293:
5286:
3969:defined below, is no longer locally convex.
2918:
2911:
2754:
2747:
2705:
2698:
2686:
2679:
2555:
2548:
2529:
2522:
2323:
2316:
2298:
2291:
2223:
2216:
2145:
2138:
2126:
2119:
2097:
2079:
2055:
1768:
1761:
1574:The absolute value bars can be dropped when
1431:
1424:
1248:
1235:
1067:
1060:
987:{\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}
236:). Techniques which use an L1 penalty, like
36076:
34299:For example, if a non-empty measurable set
32338:{\displaystyle L^{p}(\Omega ,\Sigma ,\mu )}
25255:{\displaystyle {\tfrac {1}{2\pi }}\lambda }
24411:Several properties of general functions in
19782:also appears in the definition of the weak
19271:{\displaystyle (t_{n})_{n\in \mathbb {Z} }}
18399:{\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {Z} }}
17691:{\displaystyle (r_{n})_{n\in \mathbb {Z} }}
17233:{\displaystyle F:M\times N\to \mathbb {R} }
14423:-th power integrable functions and it is a
10800:(the triangle inequality does not hold for
8068:is just a special case of the more general
39279:
39265:
37788:
37774:
37715:Vitale's random Brunn–Minkowski inequality
36882:
36868:
36782:Vitale's random Brunn–Minkowski inequality
36365:
36351:
36287:
34433:{\displaystyle \|\mathbf {1} _{N}\|_{p}=0}
33440:. Cambridge University Press. p. 54.
32115:
31691:{\displaystyle L^{p}(S,\mathrm {d} \nu ).}
30359:
27884:The topology can be defined by any metric
26478:, which are in turn used to establish the
25733:{\displaystyle (a+b)^{p}\leq a^{p}+b^{p},}
23822:It follows that there exists a continuous
23603:It can be proved that for every Borel set
17338:{\displaystyle 1\leq p\leq q\leq \infty ,}
16173:
15504:
14032:is independent of the particular function
13574:
13553:
12919:
12898:
12833:
12812:
12489:
12468:
11984:
11963:
10011:
9990:
9746:) and so a measurable function belongs to
9375:is a measurable function that is equal to
8507:
6895:becomes a Banach space. In the case where
4292:by omitting the quotation marks. Defining
1657:-norm is the norm that corresponds to the
1188:The Euclidean distance between two points
39111:
38911:{\displaystyle B_{p,q}^{s}(\mathbb {R} )}
38901:
35122:
34903:
34807:
34728:
34658:
33978:
33932:
33538:
33137: – Theorem on operator interpolation
32031:
32004:
31988:
31944:
31861:
31626:
31521:
31447:
31385:
31253:
31170:
31135:
31048:{\displaystyle w:S\to [a,\infty ),a>0}
30708:
29908:{\displaystyle \|f\|_{p,w}\leq \|f\|_{p}}
28768:
28752:
28701:
28514:
28346:
28338:
27996:
27066:
25628:{\displaystyle \|f\|_{p}=N_{p}(f)^{1/p},}
25514:
24608:
24537:
24479:
24433:
24327:
24275:
24213:
24062:can be covered by an increasing sequence
24026:
24011:
21999:{\displaystyle 1\leq p<q\leq \infty ,}
20491:
20051:
20042:
19982:
19674:
19504:
19500:
19262:
18824:
18768:
18717:{\displaystyle \mu (f>t_{n})<2^{n}}
18584:
18535:
18505:
18476:
18455:
18390:
18231:
18175:
18121:
18046:
17969:
17941:
17930:
17914:
17795:
17730:
17682:
17368:
17226:
17131:
17114:
16925:
16898:
16730:
16182:As in the discrete case, if there exists
16015:
15890:
15803:with the counting measure, the resulting
15783:More generally, if one considers any set
15766:
15713:
15420:
15028:
14873:
14785:
13513:{\displaystyle \|f+{\mathcal {N}}\|_{p},}
13318:
12981:
12425:
12334:
12268:
12140:
12052:
11103:
10862:
10427:
10197:
10176:
10154:
10140:
9776:
9569:
9565:
9490:
9090:
8384:
8362:
8294:
7844:
7725:
7632:
7176:
7169:
7135:
7131:
6944:
6668:
4200:which is discussed by Stefan Rolewicz in
3712:
3555:
3499:
3365:
3215:, though, which is homogeneous of degree
2855:
2618:
2582:This inequality depends on the dimension
2335:{\displaystyle \|x\|_{p+a}\leq \|x\|_{p}}
1973:
1029:
859:
795:as above), i.e., a Hilbert space of type
377:
339:
39569:Group algebra of a locally compact group
36114:
36054:
33541:Handbook of Analysis and its Foundations
33354:
33167: – Statistical optimality criterion
31893:Muckenhoupt's theorem describes weights
31699:
30890:
30510:
24498:{\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{d}),}
24346:{\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{d});}
24294:{\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{d}).}
22233:{\displaystyle 0<p<q\leq \infty .}
14463:, a result that is sometimes called the
13995:{\displaystyle \|f+{\mathcal {N}}\|_{p}}
8736:{\displaystyle \{s\in S:f(s)\neq g(s)\}}
5680:grows larger. For example, the sequence
4652:the space of sequences whose series are
4549:
4464:
3394:{\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},d_{p})}
2799:
2160:{\displaystyle \|x\|_{2}\leq \|x\|_{1}.}
837:
581:the Fourier transform does not map into
73:
39087:
39001:{\displaystyle L^{\lambda ,p}(\Omega )}
37795:
36137:Hewitt, Edwin; Stromberg, Karl (1965),
34468:{\displaystyle \mathbf {1} _{N}\neq 0.}
33554:
33435:
33131: – Concept within complex analysis
25312:
24705:{\displaystyle (\tau _{t}f)(x)=f(x-t).}
24449:{\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{d})}
23040:Throughout this section we assume that
21885:except in some trivial cases. However,
18331:{\displaystyle \|f_{n}\|_{p}^{p}\leq 2}
17567:
15900:{\displaystyle \ell ^{p}(\mathbb {Z} )}
13254:are identified in the quotient space.
10977:{\displaystyle \|sf\|_{p}=|s|\|f\|_{p}}
8950:is the set of all measurable functions
6481:instead of a sum is used to define the
3758:-unit ball contains the convex hull of
2788:
627:are central to many applications, from
39743:
39241:Ordinary Differential Equations (ODEs)
38355:Banach–Steinhaus (Uniform boundedness)
33402:
33304: – Measure in functional analysis
33278: – Periodicity computation method
33161: – Square root of the mean square
32191:), it is possible to define spaces of
32157:{\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,\mu )}
31835:the Lebesgue measure; the (nonlinear)
28221:{\displaystyle \varphi (t)=\min(t,1).}
27303:). By definition, it contains all the
26967:are exactly those that are bounded on
26887:is the zero space. In the case of the
25303:{\displaystyle \lambda (S^{1})=2\pi .}
25027:, it is crucial that the vector space
24159:{\displaystyle L^{p}(S,\Sigma ,\mu ).}
23452:{\displaystyle L^{p}(S,\Sigma ,\mu ).}
23322:{\displaystyle {\mathbf {1} }_{A_{j}}}
21794:can be identified with bounded signed
20736:can be expressed this way: i.e., that
18287:). These inequalities guarantee that
17650:, meaning that there exist a sequence
16960:is taken over the closed unit ball of
15092:{\displaystyle g+{\mathcal {N}}=\{g\}}
14467:). When the underlying measure space
8897:{\displaystyle \{s\in S:|f(s)|>C\}}
8841:, if the (necessarily) measurable set
7055:Banach space which can be seen as the
3546:is the usual vector space topology of
1698:(or uniform norm) is the limit of the
712:i.e., a maximal orthonormal subset of
39260:
37769:
36863:
36346:
36254:
36218:
36183:
36120:Classical and Modern Fourier Analysis
36105:
34124:is guaranteed to be a norm (although
33637:
33620:
33510:
30944:
27394:), this mode of convergence is named
27333:and is equipped with the topology of
27292:{\displaystyle L^{0}(S,\Sigma ,\mu )}
27197:
26940:), the bounded linear functionals on
26933:{\displaystyle L^{p}(\mu )=\ell ^{p}}
26829:
26780:The only nonempty convex open set in
26697:every open convex set containing the
25776:
25023:). In this theorem, which is due to
21787:{\displaystyle L^{\infty }(\mu )^{*}}
13181:{\displaystyle f-g\in {\mathcal {N}}}
13145:{\displaystyle g\in f+{\mathcal {N}}}
12531:consists of all measurable functions
12382:This normed quotient space is called
11626:is finite then this follows from the
10649:although it is also a consequence of
9719:{\displaystyle \|f\|_{p}=\||f|\|_{p}}
7156:-norm is even induced by a canonical
4010:norm and another function called the
1964:Abstractly speaking, this means that
1946:only the zero vector has zero length,
81:
37728:Applications & related
36795:Applications & related
36230:McGraw-Hill Science/Engineering/Math
33251:spaces over a locally compact group
33029:{\displaystyle \ker \|\cdot \|_{p},}
32523:may be identified with the function
32259:functions, and then endow them with
29789:-norm is not a true norm, since the
23850:{\displaystyle 0\leq \varphi \leq 1}
20729:{\displaystyle G\in L^{p}(\mu )^{*}}
16766:, is in some sense optimal since if
16082:is linearly isometric to a suitable
15137:The above definitions generalize to
14831:{\displaystyle {\mathcal {N}}=\{0\}}
8231:{\displaystyle 1\leq p\leq \infty .}
7031:defined above. For uncountable sets
6355:{\displaystyle 1\leq p\leq \infty .}
68:, III.3), although according to the
36714:Marcinkiewicz interpolation theorem
36000:(Second ed.), Academic Press,
34965:{\displaystyle 1\leq p<\infty ,}
34189:{\displaystyle 0<p\leq \infty ,}
34084:{\displaystyle 1\leq p\leq \infty }
34052:{\displaystyle 1\leq p\leq \infty }
33767:{\displaystyle X\neq \varnothing .}
33071:{\displaystyle L^{p}(\Omega ,\mu )}
32651:, the most common of which are the
31182:{\displaystyle w\,\mathrm {d} \mu }
30931:Marcinkiewicz interpolation theorem
30476:almost everywhere, then the spaces
29186:{\displaystyle 1\leq p<\infty ,}
27755:fundamental system of neighborhoods
27586:metrizable topological vector space
27504:{\displaystyle \mu (S)<\infty .}
27466:{\displaystyle \mu (S)<\infty .}
27209:, the space of measurable functions
26997:namely those given by sequences in
24714:
24301:Similarly, the space of integrable
23596:{\displaystyle \mu (V)<\infty .}
23068:{\displaystyle 1\leq p<\infty .}
21432:into its bidual. Moreover, the map
20324:{\displaystyle q={\tfrac {p}{p-1}}}
19614:{\displaystyle {\tfrac {1}{r_{n}}}}
16862:is a measurable function such that
16672:{\displaystyle fg\in L^{r}(S,\mu )}
15638:{\displaystyle 1\leq p\leq \infty }
14452:{\displaystyle 1\leq p\leq \infty }
14253:{\displaystyle f\in {\mathcal {C}}}
14183:{\displaystyle f\in {\mathcal {C}}}
12234:(defined shortly) on the canonical
10793:{\displaystyle 1\leq p\leq \infty }
6935:elements, this construction yields
6504:
5576:{\displaystyle 1\leq p<\infty .}
4040:The mathematical definition of the
425:{\displaystyle L^{p}(\mathbf {T} )}
387:{\displaystyle L^{q}(\mathbb {R} )}
349:{\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}
13:
39069:
39030:
38992:
38836:
36889:
36640:Symmetric decreasing rearrangement
36544:
35112:
34956:
34883:
34787:
34708:
34638:
34318:{\displaystyle N\neq \varnothing }
34272:
34180:
34078:
34046:
34020:{\displaystyle 0<p\leq \infty }
34014:
33912:
33843:
33690:
33499:Bahouri, Chemin & Danchin 2011
33476:Bahouri, Chemin & Danchin 2011
33464:Bahouri, Chemin & Danchin 2011
33295: – Space of bounded sequences
33056:
32942:
32887:
32881:
32817:
32811:
32749:
32743:
32681:
32675:
32619:
32613:
32530:
32422:are finite sums of simple tensors
32394:
32388:
32323:
32317:
32238:
32142:
32136:
32006:
31946:
31734:{\displaystyle 1<p<\infty ,}
31725:
31702:); they appear for example in the
31675:
31628:
31523:
31449:
31387:
31331:
31321:
31281:
31255:
31172:
31137:
31027:
30974:
30933:, which has broad applications to
30806:this expression defines a norm if
30623:
30587:
29735:
29177:
28864:
28485:For the infinite Lebesgue measure
28442:
28317:{\displaystyle \mu (S)<\infty }
28311:
28060:
27998:
27714:
27604:
27527:
27495:
27457:
27277:
27229:
27009:
26528:
26191:{\displaystyle B_{r}=r^{1/p}B_{1}}
25524:
25342:
25059:
24883:
24819:
24791:
24738:
24512:
24226:{\displaystyle S=\mathbb {R} ^{d}}
24141:
24013:
23674:{\displaystyle \varepsilon >0,}
23616:
23587:
23495:
23434:
23278:
23093:
23059:
23035:
22224:
22184:
22106:
21990:
21913:
21763:
21727:
21643:
21554:
20911:{\displaystyle 1<p<\infty ,}
20902:
20493:
20166:
20081:
20044:
19993:
19935:{\displaystyle f\in L^{p}(S,\mu )}
19887:{\displaystyle 1\leq p<\infty }
19881:
19311:
18545:{\displaystyle n\in \mathbb {Z} ,}
18010:
17979:{\displaystyle n\in \mathbb {Z} ,}
17597:{\displaystyle 1\leq p<\infty }
17591:
17329:
17133:
17046:{\displaystyle f\in L^{p}(S,\mu )}
16943:
16927:
16621:{\displaystyle g\in L^{q}(S,\mu )}
16573:{\displaystyle f\in L^{p}(S,\mu )}
16487:
16399:
16324:
16305:
16226:
16195:
15632:
15560:
15522:
15493:quadratically integrable functions
15422:
15210:
15153:
15072:
15008:
14853:
14811:
14765:
14446:
14245:
14215:
14199:
14175:
14116:
14061:
14017:
13977:
13844:
13827:
13802:
13769:
13638:
13619:
13538:
13492:
13420:
13389:
13298:
13278:-norm on the quotient vector space
13173:
13137:
13101:
13085:
13050:
13017:
12937:
12890:
12854:
12804:
12782:
12749:
12739:
12682:
12665:
12617:
12584:
12513:
12463:
12405:
12314:
12294:
12248:
12170:
12120:
12088:
12032:
11958:
11742:
11534:{\displaystyle 0<p\leq \infty }
11528:
11473:
11083:
10842:
10787:
10528:-th power integrable follows from
10407:
10051:). The non-negativity requirement
10038:
10012:
9979:
9965:{\displaystyle 0<p\leq \infty }
9959:
9756:
9648:
9583:{\displaystyle \|\,\cdot \,\|_{p}}
9470:
9235:
9045:
9008:
8920:
8914:
8569:
8538:
8509:
8274:
8251:
8222:
8177:
7822:
7766:
7697:
7669:
7634:
7521:
7149:{\displaystyle \|\,\cdot \,\|_{2}}
6730:
6593:{\displaystyle 1\leq p<\infty }
6587:
6346:
6269:
6250:
6217:
6071:
6036:
5567:
4710:
4481:. For example, scaling the vector
3929:
3911:
2088:{\displaystyle \{1,2,\ldots ,n\}.}
1772:
1738:
1677:
543:Riesz–Thorin interpolation theorem
92:spaces form an important class of
14:
39787:
38733:Subsets / set operations
38510:Differentiation in Fréchet spaces
36309:
35842:{\displaystyle |f+g|\leq |f|+|g|}
35182:, which by definition means that
34312:
33795:
33758:
33119: – Type of topological space
31837:Hardy–Littlewood maximal operator
30992:{\displaystyle (S,\Sigma ,\mu ).}
29793:fails to hold. Nevertheless, for
28530:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}
27082:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}
26534:{\displaystyle 1<p<\infty }
26474:This result may be used to prove
24744:{\displaystyle 0<p<\infty }
23947:
23795:
21744:{\displaystyle L^{\infty }(\mu )}
21660:{\displaystyle L^{\infty }(\mu )}
21571:{\displaystyle L^{\infty }(\mu )}
21141:{\displaystyle L^{p}(\mu )^{**},}
20548:{\displaystyle f\in L^{p}(\mu ).}
20172:{\displaystyle 1<p<\infty }
19450:
18406:being pairwise disjoint implies
17304:are measure spaces) then for all
16121:where the cardinality of the set
15099:); in other words, they will be,
12724:forms a vector space with origin
12110:This set is a vector subspace of
11775:is any measurable function, then
11333:is a norm if and only if no such
7975:
7949:
7539:{\displaystyle (X,\Sigma ,\mu ),}
4539:-norm in infinite dimensions and
3571:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}
3101:. On the other hand, the formula
2835:{\displaystyle p={\tfrac {2}{3}}}
1268:destination, but in terms of the
923:The Euclidean length of a vector
613:
166:solutions to variational problems
39725:
39724:
39651:Topological quantum field theory
37657:Lebesgue differentiation theorem
37538:Carathéodory's extension theorem
34449:
34404:
34385:{\displaystyle \mathbf {1} _{N}}
34372:
31934:
31797:
31766:
29384:{\displaystyle L^{p,w}(S,\mu ),}
28879:{\displaystyle (S,\Sigma ,\mu )}
28142:{\displaystyle \varphi (t)>0}
27619:{\displaystyle (S,\Sigma ,\nu )}
27542:{\displaystyle (S,\Sigma ,\mu )}
27359:is a probability measure (i.e.,
27244:{\displaystyle (S,\Sigma ,\mu )}
27020:{\displaystyle \ell ^{\infty }.}
25542:As before, we may introduce the
25357:{\displaystyle (S,\Sigma ,\mu )}
24198:This applies in particular when
23990:
23301:
23284:{\displaystyle A_{j}\in \Sigma }
23204:
23108:{\displaystyle (S,\Sigma ,\mu )}
22648:
22617:
22580:spaces.) Indeed, if the domain
21706:{\displaystyle L^{1}(\mu )^{*}.}
20794:is onto and isometric, it is an
20675:is a linear mapping which is an
20366:{\displaystyle g\in L^{q}(\mu )}
19507:
19042:
18827:
17639:{\displaystyle f\in L^{p}(\mu )}
16028:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
15235:
14713:{\displaystyle L^{1/p}(S,\mu ).}
14025:{\displaystyle f+{\mathcal {N}}}
13188:), which happens if and only if
11949:). So denote this common set by
8192:{\displaystyle (S,\Sigma ,\mu )}
7273:
7246:
7238:
7215:
6957:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
5521:{\displaystyle (1,1,1,\ldots ),}
4721:{\displaystyle \ell ^{\infty },}
4619:This contains as special cases:
4234:Another function was called the
3512:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
2868:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
2631:{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}
1986:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
1042:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
872:{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
415:
76:) they were first introduced by
39038:{\displaystyle \ell ^{\infty }}
36077:DiBenedetto, Emmanuele (2002),
35435:{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}
34745:into a vector space because if
34477:
33988:{\displaystyle L^{p}(S,\,\mu )}
33896:{\displaystyle \|\cdot \|_{p},}
33545:See Sections 14.77 and 27.44–47
33532:
33504:
33405:Elements of Functional Analysis
33276:Least-squares spectral analysis
32987:{\displaystyle \|\cdot \|_{p},}
32583:{\displaystyle x\mapsto ef(x).}
32293:topology. Another way involves
31274:
28910:with real or complex values on
27862:
27654:The description is easier when
27301:Kalton, Peck & Roberts 1984
26227:which in particular shows that
24600:
24554:
23755:
23749:
21921:{\displaystyle \ell ^{\infty }}
21542:is isometrically isomorphic to
21179:(or adjoint) of the inverse of
20331:). This isomorphism associates
20179:has a natural isomorphism with
19278:is decreasing and converges to
18962:denotes the measure of the set
18787:
15723:{\displaystyle S=\mathbb {N} )}
13692:{\displaystyle \|\cdot \|_{p},}
12087:
10468:-th power integrable functions
10077:can be removed by substituting
9016:{\displaystyle \|f\|_{\infty }}
6225:{\displaystyle \ell ^{\infty }}
4037:"norm" (with quotation marks).
3917:
2414:(In fact this remains true for
545:, and is made precise with the
107:
21:Sequence space § ℓp spaces
39198:
39179:
38995:
38989:
38905:
38897:
38839:
38833:
38427:Lomonosov's invariant subspace
38350:Banach–Schauder (open mapping)
35947:
35937:
35928:
35914:
35905:
35901:
35872:
35857:
35835:
35827:
35819:
35811:
35803:
35789:
35765:
35755:
35746:
35732:
35723:
35719:
35691:
35686:
35678:
35670:
35662:
35658:
35628:
35619:
35593:
35584:
35553:
35545:
35525:
35517:
35396:
35388:
35380:
35372:
35270:
35264:
35258:
35246:
35240:
35234:
35222:
35216:
35204:
35192:
35152:
35146:
35118:
35115:
35103:
34907:
34894:
34811:
34798:
34732:
34719:
34662:
34649:
34599:
34593:
34577:
34571:
34568:
34559:
34549:
34543:
34534:
34528:
34515:
34509:
34506:
34494:
34341:
34335:
34262:
34254:
34221:
34215:
34199:
34150:{\displaystyle \|\cdot \|_{p}}
34117:{\displaystyle \|\cdot \|_{p}}
33982:
33969:
33936:
33923:
33861:
33833:
33825:
33801:{\displaystyle X=\varnothing }
33776:
33731:
33723:
33680:
33672:
33649:
33429:
33412:
33407:(2nd ed.), Cambridge: CUP
33396:
33316:
33238:
33232:
33125: – Type of function space
33065:
33053:
32896:
32878:
32826:
32808:
32758:
32740:
32690:
32672:
32628:
32610:
32574:
32568:
32559:
32533:
32403:
32385:
32332:
32314:
32151:
32133:
32064:
32058:
32013:
31983:
31953:
31930:
31877:
31856:
31776:
31762:
31682:
31665:
31635:
31614:
31536:
31530:
31511:
31506:
31500:
31493:
31489:
31483:
31456:
31435:
31394:
31373:
31268:
31262:
31250:
31244:
31225:
31219:
31144:
31123:
31055:be a measurable function. The
31030:
31018:
31015:
30983:
30965:
30698:
30689:
30638:
30631:
30617:
30611:
30567:
30559:
30392:
30378:
30370:
30363:
30243:
30230:
30222:
30215:
30189:
30180:
30164:
30160:
30154:
30147:
30110:
30106:
30100:
30093:
30078:
30072:
30056:
30051:
30045:
30038:
29978:
29966:
29944:
29932:
29851:{\displaystyle L^{p}(S,\mu ),}
29842:
29830:
29746:{\displaystyle L^{p,\infty },}
29669:
29663:
29468:
29462:
29375:
29363:
29326:
29314:
29220:
29214:
29125:
29113:
29048:
29044:
29038:
29031:
29006:
29000:
28873:
28855:
28834:Generalizations and extensions
28772:
28747:
28717:
28696:
28628:
28620:
28604:
28600:
28594:
28587:
28436:
28421:
28410:
28376:
28370:
28342:
28305:
28299:
28212:
28200:
28191:
28185:
28130:
28124:
28095:
28089:
28063:
28051:
28011:
28005:
27985:
27981:
27975:
27966:
27960:
27953:
27926:
27914:
27826:
27822:
27816:
27809:
27717:
27705:
27613:
27595:
27536:
27518:
27489:
27483:
27451:
27445:
27375:
27369:
27286:
27268:
27238:
27220:
27151:it is common to work with the
26914:
26908:
26867:
26864:
26852:
26849:
26815:
26812:
26800:
26797:
26717:function is unbounded for the
26681:
26678:
26666:
26663:
26406:
26398:
26390:
26382:
26288:{\displaystyle \|\cdot \|_{p}}
26092:
26086:
26004:The resulting metric space is
25988:
25982:
25922:
25910:
25894:
25882:
25852:
25846:
25830:
25824:
25808:
25796:
25692:
25679:
25661:{\displaystyle \|\cdot \|_{p}}
25605:
25598:
25504:
25495:
25478:
25472:
25422:
25416:
25351:
25333:
25285:
25272:
24950:
24944:
24894:
24888:
24852:
24846:
24830:
24824:
24794:
24782:
24696:
24684:
24675:
24669:
24666:
24650:
24624:
24591:
24581:
24557:
24489:
24474:
24443:
24428:
24337:
24322:
24285:
24270:
24150:
24132:
24082:
24069:
24007:
23984:
23801:
23789:
23780:
23774:
23765:
23759:
23581:
23575:
23443:
23425:
23102:
23084:
22946:
22939:
22891:
22879:
22866:
22863:
22851:
22762:
22755:
22677:
22665:
22396:
22384:
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22356:
22300:
22288:
22272:
22260:
22109:
22097:
22077:
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22035:
22023:
21872:
21866:
21775:
21768:
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21732:
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21654:
21648:
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21529:
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21413:
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21024:
21021:
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20935:
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20859:
20825:
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20710:
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20649:
20636:
20633:
20627:
20586:{\displaystyle \kappa _{p}(g)}
20580:
20574:
20539:
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20476:
20470:
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20419:
20412:
20396:
20390:
20360:
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20021:
20017:
19929:
19917:
19855:{\displaystyle \|\cdot \|_{p}}
19735:
19727:
19706:
19696:
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19684:
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17365:
17358:
17353:
17291:
17279:
17259:
17247:
17222:
17189:{\displaystyle \|\cdot \|_{p}}
17040:
17028:
16998:{\displaystyle L^{q}(S,\mu ),}
16989:
16977:
16921:
16910:
16666:
16654:
16615:
16603:
16567:
16555:
16402:
16390:
16321:
16271:
16259:
16243:
16231:
16105:
16099:
15950:
15944:
15894:
15886:
15853:
15847:
15717:
15435:
15429:
15411:
15405:
15396:
15390:
15161:{\displaystyle {\mathcal {N}}}
15035:
15032:
15019:
14955:
14943:
14877:
14864:
14789:
14776:
14748:{\displaystyle \|\cdot \|_{p}}
14704:
14692:
14654:
14642:
14552:
14546:
14516:
14504:
14332:
14320:
14091:
14079:
13919:
13907:
13867:
13855:
13792:
13780:
13731:
13719:
13624:
13364:{\displaystyle \|\cdot \|_{p}}
13322:
13309:
13040:
13028:
12985:
12972:
12929:
12920:
12895:
12879:
12846:
12834:
12809:
12793:
12787:
12771:
12705:
12693:
12607:
12595:
12429:
12416:
12338:
12325:
12272:
12259:
12223:{\displaystyle \|\cdot \|_{p}}
12179:{\displaystyle p\leq \infty .}
12144:
12131:
12056:
12043:
11918:{\displaystyle \|\cdot \|_{p}}
11696:
11687:
11482:{\displaystyle p\leq \infty .}
11326:{\displaystyle \|\cdot \|_{p}}
11206:{\displaystyle \|\cdot \|_{p}}
11166:{\displaystyle \|\cdot \|_{p}}
11107:
11094:
11066:{\displaystyle \|\cdot \|_{p}}
10954:
10946:
10905:{\displaystyle \|\cdot \|_{p}}
10866:
10853:
10757:{\displaystyle \|\cdot \|_{p}}
10431:
10418:
10393:-th power integrable functions
10299:
10290:
10187:
10178:
10150:
10142:
10093:
10085:
9780:
9767:
9702:
9694:
9664:are always the same (that is,
9651:
9639:
9636:
9626:
9618:
9494:
9481:
9327:
9321:
9292:
9286:
9272:
9264:
9174:
9168:
9124:
9120:
9114:
9107:
8937:
8925:
8881:
8877:
8871:
8864:
8819:
8811:
8727:
8721:
8712:
8706:
8497:
8488:
8298:
8285:
8186:
8168:
8055:
8049:
7932:
7924:
7876:
7861:
7756:
7748:
7708:
7702:
7623:
7617:
7608:
7602:
7530:
7512:
7489:
7477:
6882:
6876:
6820:
6804:
6714:
6698:
6648:
6634:
6623:
6617:
6532:
6526:
6266:
6192:
6182:
6161:
6153:
6138:
6124:
6109:
6101:
6086:
6082:
5940:
5927:
5512:
5488:
5430:
5408:
5394:
5378:
5358:
5342:
5328:
5312:
5237:
5155:
5048:
4920:
4904:
4834:
4828:
4758:
4440:
4424:
4404:
4388:
4374:
4358:
4180:
4165:
4152:
4137:
4107:
4104:
4091:
3926:
3908:
3877:
3871:
3702:such that the scalar multiple
3669:
3663:
3429:{\displaystyle \ell _{n}^{p}.}
3388:
3360:
3326:
3297:
3269:
3257:
3191:
3175:
3155:
3139:
3125:
3109:
3019:
3003:
2983:
2967:
2953:
2937:
1856:
1841:
1827:
1812:
1804:
1789:
1735:
1532:
1516:
1496:
1480:
1466:
1450:
981:
936:
762:
756:
419:
411:
381:
373:
343:
335:
298:norm of the parameter vector.
19:For the sequence space ℓ, see
1:
39447:Uniform boundedness principle
36610:Convergence almost everywhere
36372:
35989:
35976:{\displaystyle \blacksquare }
35308:{\displaystyle 0\leq t\leq 1}
33543:, London: Academic Press Inc.
33424:Topology and its Applications
33418:Rafael Dahmen, Gábor Lukács:
30896:A major result that uses the
29332:{\displaystyle L^{p}(S,\mu )}
29131:{\displaystyle L^{p}(S,\mu )}
28107:{\displaystyle \varphi (0)=0}
24751:is any positive real number,
23959:{\displaystyle S\setminus U,}
23397:{\displaystyle j=1,\dots ,n.}
22083:{\displaystyle L^{q}(S,\mu )}
22041:{\displaystyle L^{p}(S,\mu )}
21960:
19585:(in particular, the division
19320:{\displaystyle n\to \infty .}
16114:{\displaystyle \ell ^{2}(I),}
15959:{\displaystyle \ell ^{p}(n),}
15862:{\displaystyle \ell ^{p}(S).}
15776:{\displaystyle \mathbb {N} .}
15672:spaces are a special case of
14921:to the normed quotient space
14660:{\displaystyle L^{p}(S,\mu )}
14522:{\displaystyle L^{p}(S,\mu )}
13925:{\displaystyle L^{p}(S,\mu )}
11843:. Since the right hand side (
11748:{\displaystyle p\leq \infty }
10229:Note in particular that when
9193:then this is the same as the
9186:{\displaystyle \mu (S)\neq 0}
8904:has measure zero. The space
8257:{\displaystyle p\neq \infty }
8102:spaces and Lebesgue integrals
7495:{\displaystyle L^{2}(X,\mu )}
7283:{\displaystyle \mathbf {x} .}
6438:together with this norm is a
3972:
3639:{\displaystyle \ell _{n}^{p}}
3603:{\displaystyle \ell _{n}^{p}}
1747:{\displaystyle p\to \infty .}
1307:
541:This is a consequence of the
484:{\displaystyle 1\leq p\leq 2}
137:, can be defined in terms of
112:
38312:Singular value decomposition
33426:Nr. 270, 2020. Example 2.14
33330:; Wainwright, M. J. (2015).
32542:{\displaystyle \Omega \to E}
32368:Element of the vector space
31966:and the maximal operator on
31804:{\displaystyle \mathbf {T} }
28262:Under this metric the space
28072:{\displaystyle [0,\infty ),}
27726:{\displaystyle (S,\Sigma ),}
27575:local convergence in measure
27144:{\displaystyle 0<p<1,}
26737:-quasi-norm; therefore, the
26361:{\displaystyle u,v\in L^{p}}
26327:reverse Minkowski inequality
25997:{\displaystyle L^{p}(\mu ).}
25392:{\displaystyle 0<p<1,}
23622:{\displaystyle A\in \Sigma }
23558:{\displaystyle V\subseteq S}
22118:{\displaystyle (0,\infty ).}
21373:This map coincides with the
21202:{\displaystyle \kappa _{p}:}
20874:{\displaystyle L^{p}(\mu ).}
20211:{\displaystyle L^{q}(\mu ),}
20093:{\displaystyle (0,\infty ).}
19755:that was used to define the
16201:{\displaystyle q<\infty }
15415:
15221:{\displaystyle L^{\infty },}
14561:{\displaystyle L^{p}(\mu ),}
13474:denote this unique value by
9136: for almost every
8391:{\displaystyle \mathbb {R} }
8369:{\displaystyle \mathbb {C} }
8061:{\displaystyle \ell ^{p}(I)}
7627:
7445:
6888:{\displaystyle \ell ^{p}(I)}
6538:{\displaystyle \ell ^{p}(I)}
6205:and the corresponding space
3731:{\displaystyle C\,B_{n}^{p}}
3090:{\displaystyle 0<p<1;}
2666:{\displaystyle 0<r<p:}
768:{\displaystyle \ell ^{2}(E)}
56:. They are sometimes called
7:
39077:{\displaystyle L^{\infty }}
38845:{\displaystyle ba(\Sigma )}
38714:Radially convex/Star-shaped
37710:Prékopa–Leindler inequality
36777:Prékopa–Leindler inequality
36630:Locally integrable function
36552:{\displaystyle L^{\infty }}
36322:Encyclopedia of Mathematics
36295:, Oxford University Press,
33171:Locally integrable function
33109:
32295:topological tensor products
32041:One may also define spaces
30777:-norm. Further in the case
30541:{\displaystyle 0<r<p}
30287:and taking the supremum in
29530:for this inequality is the
29295:is said to be in the space
26600:{\displaystyle 0<p<1}
25428:{\displaystyle L^{p}(\mu )}
25067:{\displaystyle L^{\infty }}
24956:{\displaystyle L^{p}(\mu )}
24907:is a vector subspace, then
24800:{\displaystyle (S,\Sigma )}
24382:of bounded rectangles when
22192:{\displaystyle L^{\infty }}
21891:Zermelo–Fraenkel set theory
21878:{\displaystyle L^{1}(\mu )}
21598:{\displaystyle \kappa _{1}}
21535:{\displaystyle L^{1}(\mu )}
21425:{\displaystyle L^{p}(\mu )}
21168:{\displaystyle \kappa _{q}}
21092:{\displaystyle L^{p}(\mu )}
20978:{\displaystyle \kappa _{p}}
20947:{\displaystyle L^{p}(\mu )}
20831:{\displaystyle L^{q}(\mu )}
20787:{\displaystyle \kappa _{p}}
20756:{\displaystyle \kappa _{p}}
20140:{\displaystyle L^{p}(\mu )}
15568:{\displaystyle L^{\infty }}
15530:{\displaystyle L^{\infty }}
15488:square-integrable functions
11807:{\displaystyle \|f\|_{p}=0}
11573:{\displaystyle \|f\|_{p}=0}
11453:{\displaystyle \|f\|_{p}=0}
11269:{\displaystyle \|f\|_{p}=0}
10825:{\displaystyle 0<p<1}
10255:is finite then the formula
9427:{\displaystyle \|f\|_{p}=0}
7548:square-integrable functions
6471:arbitrarily many components
4074:Theory of Linear Operations
2609:In general, for vectors in
2439:{\displaystyle 0<p<1}
2021:. This Banach space is the
1685:{\displaystyle L^{\infty }}
1260:{\displaystyle \|x-y\|_{2}}
310:for the real line (or, for
117:In statistics, measures of
66:Dunford & Schwartz 1958
10:
39792:
39590:Invariant subspace problem
39204:{\displaystyle W(X,L^{p})}
37652:Lebesgue's density theorem
36523:Square-integrable function
36262:(3rd ed.), New York:
36139:Real and abstract analysis
36110:, New York: Academic Press
36098:Linear operators, volume I
35171:{\displaystyle F(t)=t^{p}}
33436:Garling, D. J. H. (2007).
32649:topological tensor product
32077:on a manifold, called the
28838:
28808:–integrable density
27397:convergence in probability
26990:{\displaystyle \ell ^{1},}
25768:{\displaystyle a,b\geq 0,}
25144:(that is even a subset of
25003:was chosen independent of
23117:integrable simple function
21951:{\displaystyle \ell ^{1}.}
13467:{\displaystyle \|f\|_{p};}
13338:the value of the seminorm
11073:is a seminorm and the set
8585:recall that two functions
8578:{\displaystyle p=\infty ,}
7678:{\displaystyle p=\infty .}
7317:{\displaystyle \ell ^{2},}
5792:{\displaystyle \ell ^{1},}
4681:{\displaystyle \ell ^{2},}
4645:{\displaystyle \ell ^{1},}
4612:{\displaystyle \ell ^{p}.}
4589:), which yields the space
4558:
3821:{\displaystyle B_{n}^{1}.}
3786:{\displaystyle B_{n}^{p},}
834:-norm in finite dimensions
818:{\displaystyle \ell ^{2}.}
620:Square-integrable function
617:
547:Hausdorff–Young inequality
302:Hausdorff–Young inequality
242:Elastic net regularization
18:
39720:
39679:
39603:
39582:
39541:
39480:
39422:
39368:
39310:
39303:
39218:
38803:
38750:Algebraic interior (core)
38732:
38641:
38475:
38365:Cauchy–Schwarz inequality
38320:
38248:
38094:
38008:Function space Topologies
38007:
37921:
37804:
37727:
37705:Minkowski–Steiner formula
37675:
37635:
37628:
37528:
37520:Projection-valued measure
37421:
37314:
37083:
36956:
36897:
36794:
36772:Minkowski–Steiner formula
36742:
36704:
36648:
36597:
36531:
36475:
36444:
36380:
36260:Real and complex analysis
36060:Topological vector spaces
34353:{\displaystyle \mu (N)=0}
34233:{\displaystyle \mu (S)=0}
33516:Real and Complex Analysis
33365:10.1007/978-94-015-7758-8
33355:Rolewicz, Stefan (1987),
33165:Least absolute deviations
32653:projective tensor product
32516:{\displaystyle f\times e}
32497:where each simple tensor
27626:for a suitable choice of
27429:topological abelian group
27387:{\displaystyle \mu (S)=1}
27047:{\displaystyle \ell ^{p}}
26960:{\displaystyle \ell ^{p}}
26639:{\displaystyle \ell ^{p}}
26543:Adams & Fournier 2003
23681:there exist a closed set
22125:A continuous function in
21578:(more precisely, the map
19392:{\displaystyle t_{n+1}=0}
16408:{\displaystyle p,q,r\in }
15665:{\displaystyle \ell ^{p}}
15497:square-summable functions
15260:{\displaystyle \ell ^{p}}
13438:is constant and equal to
11401:is measurable and equals
10044:{\displaystyle p=\infty }
9657:{\displaystyle |f|:S\to }
9590:of a measurable function
9197:of the absolute value of
8832:{\displaystyle |f|\leq C}
7082:{\displaystyle \ell ^{p}}
7024:{\displaystyle \ell ^{p}}
6753:Unconditional convergence
6431:{\displaystyle \ell ^{p}}
6404:{\displaystyle \ell ^{p}}
6320:{\displaystyle \ell ^{p}}
6001:), but is convergent for
5819:{\displaystyle \ell ^{p}}
5673:{\displaystyle \ell ^{p}}
5603:{\displaystyle \ell ^{p}}
4254:{\displaystyle \ell _{0}}
4224:{\displaystyle \ell _{0}}
4060:{\displaystyle \ell _{0}}
4030:{\displaystyle \ell _{0}}
4003:{\displaystyle \ell _{0}}
3962:{\displaystyle \ell ^{p}}
3483:{\displaystyle B_{n}^{p}}
2781:This is a consequence of
2604:Cauchy–Schwarz inequality
2235:{\displaystyle \|x\|_{p}}
2169:This fact generalizes to
682:{\displaystyle \ell ^{2}}
452:{\displaystyle \ell ^{q}}
102:topological vector spaces
39559:Spectrum of a C*-algebra
37688:Isoperimetric inequality
37667:Vitali–Hahn–Saks theorem
36996:Carathéodory's criterion
36755:Isoperimetric inequality
36160:10.1017/CBO9780511662447
35781:The triangle inequality
35406:{\displaystyle |f|,|g|,}
33539:Schechter, Eric (1997),
33309:
33244:{\displaystyle L^{p}(G)}
32951:{\displaystyle \Omega ,}
32721:injective tensor product
32070:{\displaystyle L^{p}(M)}
31828:{\displaystyle \lambda }
31301:Radon–Nikodym derivative
28886:be a measure space, and
28801:{\displaystyle \lambda }
28498:{\displaystyle \lambda }
28228:Such a metric is called
28037:{\displaystyle \varphi }
27433:topological vector space
26876:{\displaystyle L^{p}();}
26690:{\displaystyle L^{p}(),}
26027:{\displaystyle p\geq 1.}
25184:{\displaystyle \lambda }
24927:is a closed subspace of
24505:in the following sense:
21901:") in which the dual of
21751:is subtler. Elements of
19565:is identically equal to
18724:holds) and then letting
17604:then every non-negative
17297:{\displaystyle (N,\nu )}
17265:{\displaystyle (M,\mu )}
16762:This inequality, called
15232:enabling such recovery.
14919:isometrically isomorphic
14838:) then the normed space
12285:by its vector subspace
11606:almost everywhere. When
8095:-space (defined below).
6984:-norm defined above. If
4744:) numbers are given by:
4322:{\displaystyle 0^{0}=0,}
4067:norm was established by
3828:The fact that for fixed
3675:{\displaystyle C_{p}(n)}
2407:{\displaystyle a\geq 0.}
1911:{\displaystyle p\geq 1,}
1337:{\displaystyle p\geq 1,}
39656:Noncommutative geometry
37693:Brunn–Minkowski theorem
37562:Decomposition theorems
36760:Brunn–Minkowski theorem
36293:The theory of functions
34059:), but it is only when
33995:can be extended to all
32958:when seminormed by any
32244:{\displaystyle \Omega }
32108:of the manifold, using
30922:{\displaystyle L^{p,w}}
30799:{\displaystyle p>1,}
30770:{\displaystyle L^{p,w}}
30502:{\displaystyle L^{p,w}}
29782:{\displaystyle L^{p,w}}
29556:{\displaystyle L^{p,w}}
29439:{\displaystyle t>0,}
29391:if there is a constant
28976:{\displaystyle t\geq 0}
27562:{\displaystyle \sigma }
26821:{\displaystyle L^{p}()}
26476:Clarkson's inequalities
26220:{\displaystyle r>0,}
25364:be a measure space. If
24983:is finite-dimensional (
24088:{\displaystyle (V_{n})}
23501:{\displaystyle \Sigma }
23404:By construction of the
23291:has finite measure and
23115:be a measure space. An
22495:in the first case, and
19647:{\displaystyle r_{n}=0}
19353:{\displaystyle t_{n}=0}
17240:is non-negative (where
15869:For example, the space
11929:(it does not depend on
11869:a.e.) does not mention
11175:seminormed vector space
10731:which establishes that
10070:{\displaystyle f\geq 0}
9907:{\displaystyle f\geq 0}
9610:and its absolute value
9395:almost everywhere then
7200:Euclidean inner product
6042:{\displaystyle \infty }
6020:{\displaystyle p>1.}
5848:{\displaystyle p>1,}
2897:{\displaystyle n>1,}
2465:{\displaystyle a\geq 0}
2381:{\displaystyle p\geq 1}
574:{\displaystyle p>2,}
52:for finite-dimensional
39712:Tomita–Takesaki theory
39687:Approximation property
39631:Calculus of variations
39205:
39129:
39078:
39039:
39002:
38912:
38846:
38015:Banach–Mazur compactum
37805:Types of Banach spaces
37740:Descriptive set theory
37640:Disintegration theorem
37075:Universally measurable
36615:Convergence in measure
36553:
35977:
35957:
35843:
35775:
35645:
35485:
35465:
35436:
35407:
35358:
35335:
35309:
35277:
35172:
35130:
35084:
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34917:
34867:
34841:
34818:
34759:
34739:
34698:These operations make
34692:
34669:
34610:
34469:
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34354:
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33739:
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33245:
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32205:
32181:
32158:
32126:Given a measure space
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31069:
31049:
30993:
30955:As before, consider a
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30800:
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28476:
28449:
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28388:{\displaystyle f(x)=x}
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28255:{\displaystyle L^{0}.}
28222:
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28143:
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27668:
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27620:
27563:
27543:
27505:
27467:
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27388:
27353:
27336:convergence in measure
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27293:
27245:
27190:
27189:{\displaystyle p<1}
27145:
27110:
27089:rather than work with
27083:
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27021:
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26319:
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23597:
23559:
23526:
23510:Borel 𝜎–algebra
23502:
23475:
23461:More can be said when
23453:
23398:
23357:
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23323:
23285:
23252:
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18358:while the supports of
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18267:(it is independent of
18261:
18241:
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17955:and for every integer
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15051:
14992:via the canonical map
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14562:
14523:
14481:
14459:(meaning that it is a
14453:
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11489:On the other hand, if
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8556:To define the set for
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7656:Now consider the case
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7546:which consists of all
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6411:is indeed a norm, and
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6384:-norm thus defined on
6378:
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5633:One can check that as
5624:
5604:
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5528:will have an infinite
5522:
5469:
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5251:
4722:
4692:sequences, which is a
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3682:the smallest constant
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3058:defines an absolutely
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706:
683:
656:
605:
604:{\displaystyle L^{q}.}
575:
535:
485:
459:) respectively, where
453:
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37316:Particular measures
36905:Absolute continuity
36696:Young's convolution
36635:Measurable function
36518:Pythagorean theorem
36508:Parseval's identity
36457:Integrable function
36338:spaces are complete
36225:Functional Analysis
35334:{\displaystyle x,y}
35074:
35050:
35005:
34866:{\displaystyle f+g}
33867:The definitions of
33623:, pp. 117–119.
33576:Amer. Math. Monthly
33198:
32037:spaces on manifolds
31704:Muckenhoupt theorem
30280:{\displaystyle 1/p}
30030:
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29662:
29417:such that, for all
29249:
29195:Markov's inequality
28908:measurable function
27628:probability measure
27162:Hahn–Banach theorem
26295:not being a norm.
25954:
24773:probability measure
24401:{\displaystyle d=2}
23158:is one of the form
23006:{\displaystyle f=1}
22602:Hölder's inequality
22152:might blow up near
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21506:, then the dual of
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21319:
20595:Hölder's inequality
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19969:
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17198:triangle inequality
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16764:Hölder's inequality
16361:Hölder's inequality
15546:von Neumann algebra
14487:is understood then
14297:normed vector space
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12157:for every positive
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11833:{\displaystyle f=0}
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11645:{\displaystyle p=1}
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11004:and every function
10916:, which means that
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9532:For every positive
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8264:, consider the set
8159:Lebesgue integrable
7888: for all
7204:, which means that
6473:"; in other words,
5990:{\displaystyle p=1}
5653:increases, the set
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4330:the zero "norm" of
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2783:Hölder's inequality
2262:does not grow with
2189:-norms in that the
2015:normed vector space
1958:triangle inequality
1942:), which are that:
879:based on different
633:stochastic calculus
98:functional analysis
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37030:Locally measurable
36817:Probability theory
36719:Plancherel theorem
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35651:which proves that
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8024:by giving it the
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6755:). With the norm
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2807:, unit circle in
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2255:{\displaystyle x}
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842:Illustrations of
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36884:
36877:
36870:
36861:
36860:
36807:Fourier analysis
36765:Milman's reverse
36748:
36746:Lebesgue measure
36740:
36739:
36724:Riemann–Lebesgue
36567:Bounded function
36558:
36556:
36555:
36550:
36548:
36547:
36467:Taxicab geometry
36422:Measurable space
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