2320:
1979:
3209:
2315:{\displaystyle {\begin{aligned}AX+XA^{H}=&\int _{0}^{\infty }A{e}^{A\tau }Q\mathrm {e} ^{A^{H}\tau }+{e}^{A\tau }Q\mathrm {e} ^{A^{H}\tau }A^{H}d\tau \\=&\int _{0}^{\infty }{\frac {d}{d\tau }}{e}^{A\tau }Q\mathrm {e} ^{A^{H}\tau }d\tau \\=&{e}^{A\tau }Q\mathrm {e} ^{A^{H}\tau }{\bigg |}_{0}^{\infty }\\=&-Q.\end{aligned}}}
3042:
2784:
3033:
889:
However, specialized algorithms are available which can yield solutions much quicker owing to the specific structure of the
Lyapunov equation. For the discrete case, the Schur method of Kitagawa is often used. For the continuous Lyapunov equation the
3204:{\displaystyle (\mathbf {M} +\delta \mathbf {A} ^{T}\mathbf {M} )(\mathbf {I} +\delta \mathbf {A} )-\mathbf {M} =\delta (\mathbf {A} ^{T}\mathbf {M} +\mathbf {M} \mathbf {A} )+\delta ^{2}\mathbf {A} ^{T}\mathbf {M} \mathbf {A} =-\delta \mathbf {Q} }
1781:
2588:
2659:
1228:
2912:
3253:
go to zero brings us closer and closer to having continuous dynamics—and in the limit we achieve them. It stands to reason that we should also recover the continuous-time
Lyapunov equations in the limit as well. Dividing through by
3358:
1967:
1131:
2449:
2827:
1675:
2505:
2943:
1532:
1984:
316:
1402:
1350:
935:
884:
2652:
763:
714:
553:
515:
254:
118:
3298:
2936:
2849:
2617:
1692:
1584:
601:
2517:
1813:
1298:
981:
1265:
2779:{\displaystyle \mathbf {x} _{t+1}=\mathbf {x} _{t}+\delta \mathbf {A} \mathbf {x} _{t}=(\mathbf {I} +\delta \mathbf {A} )\mathbf {x} _{t}=\mathbf {B} \mathbf {x} _{t}}
3272:
3251:
3231:
796:
2358:
663:
637:
464:
438:
382:
1139:
172:
2856:
1880:
1856:
1833:
1449:
1425:
1370:
1318:
1045:
1025:
1005:
955:
844:
824:
402:
356:
336:
196:
141:
64:
2619:
indicates a small forward displacement in time. Substituting the bottom equation into the top and shuffling terms around, we get a discrete-time equation for
3305:
1888:
1058:
2366:
1027:, the continuous time and discrete time Lyapunov equations can be expressed as solutions of a matrix equation. Furthermore, if the matrix
2791:
1592:
3028:{\displaystyle (\mathbf {I} +\delta \mathbf {A} )^{T}\mathbf {M} (\mathbf {I} +\delta \mathbf {A} )-\mathbf {M} =-\delta \mathbf {Q} }
2466:
1047:
is "stable", the solution can also be expressed as an integral (continuous time case) or as an infinite sum (discrete time case).
1457:
268:
3562:
1375:
1323:
908:
891:
849:
903:
2622:
3377:
1686:
Using again the
Kronecker product notation and the vectorization operator, one has the matrix equation
1776:{\displaystyle (I_{n}\otimes A+{\bar {A}}\otimes I_{n})\operatorname {vec} X=-\operatorname {vec} Q,}
719:
2583:{\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}\approx {\frac {\mathbf {x} _{t+1}-\mathbf {x} _{t}}{\delta }}}
668:
520:
469:
405:
208:
72:
3277:
2919:
2832:
2596:
1541:
558:
3584:
32:
1789:
1274:
960:
1236:
1223:{\displaystyle (I_{n^{2}}-{\bar {A}}\otimes A)\operatorname {vec} (X)=\operatorname {vec} (Q)}
3257:
3236:
3216:
2325:
For comparison, consider the one-dimensional case, where this just says that the solution of
1538:
For comparison, consider the one-dimensional case, where this just says that the solution of
768:
2328:
642:
616:
443:
417:
361:
150:
2907:{\displaystyle \mathbf {B} ^{T}\mathbf {M} \mathbf {B} -\mathbf {M} =-\delta \mathbf {Q} }
8:
175:
3371:
1865:
1841:
1818:
1434:
1410:
1355:
1303:
1030:
1010:
990:
940:
829:
809:
387:
341:
321:
181:
126:
49:
28:
24:
3558:
3475:
3441:
3423:
1428:
984:
604:
3493:
Kitagawa, G. (1977). "An
Algorithm for Solving the Matrix Equation X = F X F' + S".
3533:
3502:
3465:
3457:
3415:
3353:{\displaystyle \mathbf {A} ^{T}\mathbf {M} +\mathbf {M} \mathbf {A} =-\mathbf {Q} }
144:
2455:
1962:{\displaystyle X=\int _{0}^{\infty }{e}^{A\tau }Q\mathrm {e} ^{A^{H}\tau }d\tau }
1126:{\displaystyle \operatorname {vec} (ABC)=(C^{T}\otimes A)\operatorname {vec} (B)}
3445:
1859:
3506:
3578:
3479:
3427:
3419:
3382:
3538:
3521:
2444:{\displaystyle x={\frac {-q}{2a}}=\int _{0}^{\infty }q{e}^{2a\tau }d\tau }
3403:
1268:
3470:
3461:
1431:, i.e., having eigenvalues with magnitude less than 1), the solution
2822:{\displaystyle \mathbf {B} \equiv \mathbf {I} +\delta \mathbf {A} }
1862:, i.e., having eigenvalues with negative real parts), the solution
1670:{\displaystyle x={\frac {q}{1-a^{2}}}=\sum _{k=0}^{\infty }qa^{2k}}
1815:
denotes the matrix obtained by complex conjugating the entries of
2456:
Relationship
Between Discrete and Continuous Lyapunov Equations
2500:{\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=\mathbf {A} \mathbf {x} }
3557:. Princeton University Press. Equations 10.2.13 and 10.2.18.
3522:"Algorithm 432: Solution of the matrix equation AX + XB = C"
3362:
which is the continuous-time
Lyapunov equation, as desired.
555:
is globally asymptotically stable. The quadratic function
2829:. Now we can use the discrete time Lyapunov equation for
1527:{\displaystyle X=\sum _{k=0}^{\infty }A^{k}Q(A^{H})^{k}}
1352:
by inverting or solving the linear equations. To get
3308:
3280:
3260:
3239:
3219:
3045:
2946:
2922:
2859:
2835:
2794:
2662:
2625:
2599:
2520:
2469:
2369:
2331:
1982:
1891:
1868:
1844:
1821:
1792:
1695:
1595:
1544:
1460:
1437:
1413:
1378:
1358:
1326:
1306:
1277:
1239:
1142:
1061:
1033:
1013:
993:
963:
943:
911:
852:
832:
812:
771:
722:
671:
645:
619:
561:
523:
472:
446:
420:
390:
364:
344:
324:
271:
211:
184:
153:
129:
75:
52:
801:
3446:"Computational Methods for Linear Matrix Equations"
3408:
2460:We start with the continuous-time linear dynamics:
3404:"A. M. Lyapunov's stability theory—100 years on *"
3352:
3292:
3266:
3245:
3225:
3203:
3027:
2930:
2906:
2843:
2821:
2778:
2646:
2611:
2582:
2499:
2443:
2352:
2314:
1961:
1874:
1850:
1827:
1807:
1775:
1669:
1578:
1526:
1443:
1419:
1396:
1364:
1344:
1312:
1292:
1259:
1222:
1125:
1039:
1019:
999:
975:
949:
929:
886:time using standard matrix factorization methods.
878:
838:
818:
790:
757:
708:
657:
631:
595:
547:
509:
458:
432:
396:
376:
350:
330:
310:
248:
190:
166:
135:
112:
58:
2272:
311:{\displaystyle A,P,Q\in \mathbb {R} ^{n\times n}}
3576:
806:The Lyapunov equation is linear; therefore, if
765:is globally asymptotically stable. As before,
3519:
260:
3537:
3469:
3440:
3374:, which generalizes the Lyapunov equation
3233:is a small displacement in time. Letting
1300:is the element-wise complex conjugate of
292:
3552:
3492:
23:, named after the Russian mathematician
3520:Bartels, R. H.; Stewart, G. W. (1972).
1397:{\displaystyle \operatorname {vec} (X)}
1345:{\displaystyle \operatorname {vec} (X)}
930:{\displaystyle \operatorname {vec} (A)}
846:entries, the equation can be solved in
3577:
3037:Expanding this expression out yields:
1838:Similar to the discrete-time case, if
607:that can be used to verify stability.
414:(continuous time version). Given any
3401:
879:{\displaystyle {\mathcal {O}}(n^{3})}
937:as stacking the columns of a matrix
897:
613:(discrete time version). Given any
2511:And then discretize it as follows:
27:, is a matrix equation used in the
13:
2647:{\displaystyle \mathbf {x} _{t+1}}
2409:
2283:
2249:
2194:
2154:
2097:
2054:
2026:
1933:
1908:
1681:
1646:
1483:
855:
14:
3596:
802:Computational aspects of solution
716:if and only if the linear system
517:if and only if the linear system
200:continuous-time Lyapunov equation
3495:International Journal of Control
3346:
3335:
3330:
3322:
3311:
3274:on both sides, and then letting
3197:
3183:
3178:
3167:
3145:
3140:
3132:
3121:
3106:
3095:
3084:
3073:
3062:
3050:
3021:
3007:
2996:
2985:
2977:
2962:
2951:
2924:
2900:
2886:
2878:
2873:
2862:
2837:
2815:
2804:
2796:
2766:
2760:
2746:
2737:
2726:
2709:
2703:
2686:
2665:
2628:
2564:
2543:
2525:
2493:
2488:
2474:
1050:
16:Equation from stability analysis
2916:Plugging in our definition for
40:discrete-time Lyapunov equation
3546:
3513:
3486:
3434:
3395:
3284:
3149:
3116:
3099:
3080:
3077:
3046:
3000:
2981:
2967:
2947:
2741:
2722:
1799:
1743:
1724:
1696:
1564:
1545:
1515:
1501:
1391:
1385:
1339:
1333:
1284:
1217:
1211:
1199:
1193:
1184:
1172:
1143:
1120:
1114:
1105:
1086:
1080:
1068:
924:
918:
873:
860:
758:{\displaystyle x_{t+1}=Ax_{t}}
571:
565:
1:
3388:
709:{\displaystyle A^{T}PA-P+Q=0}
548:{\displaystyle {\dot {x}}=Ax}
510:{\displaystyle A^{T}P+PA+Q=0}
249:{\displaystyle AX+XA^{H}+Q=0}
113:{\displaystyle AXA^{H}-X+Q=0}
3293:{\displaystyle \delta \to 0}
2931:{\displaystyle \mathbf {B} }
2844:{\displaystyle \mathbf {B} }
2612:{\displaystyle \delta >0}
1579:{\displaystyle (1-a^{2})x=q}
596:{\displaystyle V(x)=x^{T}Px}
358:are symmetric. The notation
7:
3402:Parks, P. C. (1992-01-01).
3365:
1858:is stable (in the sense of
1427:is stable (in the sense of
10:
3601:
3378:Algebraic Riccati equation
1808:{\displaystyle {\bar {A}}}
1293:{\displaystyle {\bar {A}}}
976:{\displaystyle A\otimes B}
265:In the following theorems
3507:10.1080/00207177708922266
1320:. One may then solve for
1260:{\displaystyle I_{n^{2}}}
892:Bartels–Stewart algorithm
1372:, one must just reshape
798:is a Lyapunov function.
639:, there exists a unique
440:, there exists a unique
261:Application to stability
33:linear dynamical systems
3267:{\displaystyle \delta }
3246:{\displaystyle \delta }
3226:{\displaystyle \delta }
1882:can also be written as
1451:can also be written as
791:{\displaystyle x^{T}Px}
3420:10.1093/imamci/9.4.275
3354:
3294:
3268:
3247:
3227:
3205:
3029:
2932:
2908:
2845:
2823:
2780:
2648:
2613:
2584:
2501:
2445:
2354:
2353:{\displaystyle 2ax=-q}
2316:
1963:
1876:
1852:
1829:
1809:
1777:
1671:
1650:
1580:
1528:
1487:
1445:
1421:
1398:
1366:
1346:
1314:
1294:
1261:
1224:
1127:
1055:Using the result that
1041:
1021:
1001:
977:
951:
931:
904:vectorization operator
880:
840:
820:
792:
759:
710:
659:
658:{\displaystyle P>0}
633:
632:{\displaystyle Q>0}
597:
549:
511:
460:
459:{\displaystyle P>0}
434:
433:{\displaystyle Q>0}
398:
384:means that the matrix
378:
377:{\displaystyle P>0}
352:
332:
312:
250:
192:
168:
137:
114:
60:
3553:Hamilton, J. (1994).
3539:10.1145/361573.361582
3355:
3295:
3269:
3248:
3228:
3206:
3030:
2933:
2909:
2846:
2824:
2781:
2649:
2614:
2585:
2502:
2446:
2355:
2317:
1964:
1877:
1853:
1830:
1810:
1778:
1672:
1630:
1581:
1529:
1467:
1446:
1422:
1399:
1367:
1347:
1315:
1295:
1262:
1225:
1128:
1042:
1022:
1002:
978:
952:
932:
881:
841:
821:
793:
760:
711:
660:
634:
598:
550:
512:
461:
435:
399:
379:
353:
333:
313:
251:
193:
169:
167:{\displaystyle A^{H}}
138:
115:
61:
3555:Time Series Analysis
3306:
3278:
3258:
3237:
3217:
3043:
2944:
2920:
2857:
2833:
2792:
2788:Where we've defined
2660:
2623:
2597:
2518:
2467:
2367:
2329:
1980:
1973:which holds because
1889:
1866:
1842:
1819:
1790:
1693:
1593:
1542:
1458:
1435:
1411:
1376:
1356:
1324:
1304:
1275:
1271:identity matrix and
1237:
1140:
1059:
1031:
1011:
991:
961:
941:
909:
850:
830:
810:
769:
720:
669:
643:
617:
559:
521:
470:
444:
418:
388:
362:
342:
322:
269:
209:
182:
151:
127:
73:
50:
2413:
2287:
2158:
2030:
1912:
176:conjugate transpose
38:In particular, the
3372:Sylvester equation
3350:
3290:
3264:
3243:
3223:
3201:
3025:
2928:
2904:
2841:
2819:
2776:
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2580:
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2441:
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2310:
2269:
2144:
2016:
1959:
1898:
1872:
1848:
1825:
1805:
1773:
1667:
1576:
1524:
1441:
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