2010:
90:
1603:
2005:{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dy}{dt}}&=\left({\frac {\partial Y_{0}}{\partial t}}+{\frac {dt_{1}}{dt}}{\frac {\partial Y_{0}}{\partial t_{1}}}\right)+\varepsilon \left({\frac {\partial Y_{1}}{\partial t}}+{\frac {dt_{1}}{dt}}{\frac {\partial Y_{1}}{\partial t_{1}}}\right)+\cdots \\&={\frac {\partial Y_{0}}{\partial t}}+\varepsilon \left({\frac {\partial Y_{0}}{\partial t_{1}}}+{\frac {\partial Y_{1}}{\partial t}}\right)+{\mathcal {O}}(\varepsilon ^{2}),\end{aligned}}}
2260:
2495:
561:
62:. This is done by introducing fast-scale and slow-scale variables for an independent variable, and subsequently treating these variables, fast and slow, as if they are independent. In the solution process of the perturbation problem thereafter, the resulting additional freedom â introduced by the new independent variables â is used to remove (unwanted)
795:
2030:
3629:
2267:
359:
658:
3800:
1106:
3463:
3861:
More difficult examples are better treated using a time-dependent coordinate transform involving complex exponentials (as also invoked in the previous multiple time-scale approach). A web service will perform the analysis for a wide range of examples.
2255:{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}={\frac {\partial ^{2}Y_{0}}{\partial t^{2}}}+\varepsilon \left(2{\frac {\partial ^{2}Y_{0}}{\partial t\,\partial t_{1}}}+{\frac {\partial ^{2}Y_{1}}{\partial t^{2}}}\right)+{\mathcal {O}}(\varepsilon ^{2}).}
2490:{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}Y_{0}}{\partial t^{2}}}+Y_{0}&=0,\\{\frac {\partial ^{2}Y_{1}}{\partial t^{2}}}+Y_{1}&=-Y_{0}^{3}-2\,{\frac {\partial ^{2}Y_{0}}{\partial t\,\partial t_{1}}}.\end{aligned}}}
3674:
556:{\displaystyle {\frac {dp}{dt}}=-{\frac {\partial H}{\partial q}},\qquad {\frac {dq}{dt}}=+{\frac {\partial H}{\partial p}},\quad {\text{ with }}\quad H={\tfrac {1}{2}}p^{2}+{\tfrac {1}{2}}q^{2}+{\tfrac {1}{4}}\varepsilon q^{4},}
933:
1311:
908:
3055:
2639:
1596:
2953:
251:
3162:
790:{\displaystyle \left|y(t)\right|\leq {\sqrt {1+{\tfrac {1}{2}}\varepsilon }}\quad {\text{ and }}\quad \left|{\frac {dy}{dt}}\right|\leq {\sqrt {1+{\tfrac {1}{2}}\varepsilon }}\qquad {\text{ for all }}t.}
327:
2838:
2272:
1608:
938:
124:
157:
3624:{\displaystyle y=r\cos \theta +{\frac {1}{32}}\varepsilon r^{3}\cos 3\theta +{\frac {1}{1024}}\varepsilon ^{2}r^{5}(-21\cos 3\theta +\cos 5\theta )+{\mathcal {O}}(\varepsilon ^{3})}
3328:
1362:
3458:
3238:
1466:
1419:
1368:(1) and has the same order of magnitude as the leading-order term. Because the terms have become disordered, the series is no longer an asymptotic expansion of the solution.
73:
Mathematics research from about the 1980s proposes that coordinate transforms and invariant manifolds provide a sounder support for multiscale modelling (for example, see
3856:
3360:
3418:
928:
3669:
1113:
2978:
3389:
2507:
3822:
1490:
2869:
811:
174:
3062:
3795:{\displaystyle {\frac {d\theta }{dt}}=1+{\frac {3}{8}}\varepsilon r^{2}-{\frac {15}{256}}\varepsilon ^{2}r^{4}+{\mathcal {O}}(\varepsilon ^{3}).}
1101:{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}y_{0}}{dt^{2}}}+y_{0}&=0,\\{\frac {d^{2}y_{1}}{dt^{2}}}+y_{1}&=-y_{0}^{3}.\end{aligned}}}
255:
2685:
126:
approaches for both regular perturbation theory and multiple-scale analysis can be seen, and how they compare to the exact solution for
17:
3272:, etc. However, this introduces possible ambiguities in the perturbation series solution, which require a careful treatment (see
3871:
3886:
4079:
4058:
4033:
3240:. Higher-order solutions â using the method of multiple scales â require the introduction of additional slow scales, i.e.,
3925:
1435:
2264:
Then the zeroth- and first-order problems of the multiple-scales perturbation series for the
Duffing equation become:
3189:
3289:
330:
96:
4120:
129:
3298:
1322:
4130:
4125:
3933:
3423:
3198:
1379:
3288:
Alternatively, modern approaches derive these sorts of models using coordinate transforms, like in the
3926:"An upper bound for validity limits of asymptotic analytical approaches based on normal form theory"
2653:
28:
3976:
3827:
3333:
3394:
1315:
Note that the last term between the square braces is secular: it grows without bound for large |
4097:
913:
3998:
3634:
167:
As an example for the method of multiple-scale analysis, consider the undamped and unforced
89:
59:
3365:
8:
3881:
805:
55:
3958:
3807:
640:
353:
348:) is sought for small values of the (positive) nonlinearity parameter 0 <
4075:
4054:
4029:
3962:
3876:
2845:
63:
4046:
4000:
Construct centre manifolds of ordinary or delay differential equations (autonomous)
3950:
3942:
334:
168:
2957:
The solution to the solvability condition, also satisfying the initial conditions
2679:
74:
1306:{\displaystyle y(t)=\cos(t)+\varepsilon \left+{\mathcal {O}}(\varepsilon ^{2}).}
903:{\textstyle y(t)=y_{0}(t)+\varepsilon y_{1}(t)+{\mathcal {O}}(\varepsilon ^{2})}
4042:
3050:{\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}\,\exp \left({\tfrac {3}{8}}\,i\,t_{1}\right).}
3946:
4114:
4067:
910:
and substituting this into the undamped
Duffing equation. Matching powers of
78:
51:
66:. The latter puts constraints on the approximate solution, which are called
4102:
2634:{\displaystyle Y_{0}(t,t_{1})=A(t_{1})\,e^{+it}+A^{\ast }(t_{1})\,e^{-it},}
3059:
As a result, the approximate solution by the multiple-scales analysis is
35:
3631:
transforms
Duffing's equation into the pair that the radius is constant
1591:{\displaystyle y(t)=Y_{0}(t,t_{1})+\varepsilon Y_{1}(t,t_{1})+\cdots .}
337:
3954:
3185:
2678: = â1. Now, in the first-order problem the forcing in the
3283:
3905:
This example is treated in: Bender & Orszag (1999) pp. 545â551.
2948:{\displaystyle -3\,A^{2}\,A^{\ast }-2\,i\,{\frac {dA}{dt_{1}}}=0.}
39:
162:
799:
352: âȘ 1. The undamped Duffing equation is known to be a
246:{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+y+\varepsilon y^{3}=0,}
2852:
can be prevented by imposing on the â yet unknown â amplitude
3157:{\displaystyle y(t)=\cos \left+{\mathcal {O}}(\varepsilon ),}
4051:
Advanced mathematical methods for scientists and engineers
3804:
That is, Duffing's oscillations are of constant amplitude
50:) comprises techniques used to construct uniformly valid
3460:
Straightforward algebra finds the coordinate transform
1110:
Solving these subject to the initial conditions yields
3104:
3013:
2989:
1476:) is a perturbation-series solution dependent both on
1226:
1192:
1159:
916:
814:
759:
696:
526:
501:
476:
132:
99:
3830:
3810:
3677:
3637:
3466:
3426:
3397:
3368:
3336:
3301:
3201:
3065:
2981:
2872:
2688:
2510:
2270:
2033:
1606:
1493:
1438:
1382:
1325:
1116:
936:
661:
362:
258:
177:
84:
322:{\displaystyle y(0)=1,\qquad {\frac {dy}{dt}}(0)=0,}
3923:
2833:{\displaystyle \left\,e^{+it}-A^{3}\,e^{+3it}+c.c.}
2504:The zeroth-order problem has the general solution:
3850:
3816:
3794:
3663:
3623:
3452:
3412:
3383:
3354:
3322:
3232:
3156:
3049:
2947:
2832:
2633:
2489:
2254:
2004:
1590:
1460:
1413:
1356:
1305:
1100:
922:
902:
789:
555:
321:
245:
151:
118:
3284:Coordinate transform to amplitude/phase variables
4112:
4026:Multiple scale and singular perturbation methods
599:) is a conserved quantity, a constant, equal to
58:, both for small as well as large values of the
3924:Lamarque, C.-H.; Touze, C.; Thomas, O. (2012),
3978:Modelling emergent dynamics in complex systems
4023:
3273:
1376:To construct a solution that is valid beyond
163:Differential equation and energy conservation
4041:
3277:
1371:
800:Straightforward perturbation-series solution
4095:
3420:varies at an almost constant rate, namely
2848:of the preceding terms. The occurrence of
3115:
3028:
3024:
3000:
2911:
2907:
2890:
2879:
2795:
2765:
2732:
2728:
2711:
2700:
2611:
2565:
2463:
2431:
2157:
1241:
1237:
119:{\textstyle {\mathcal {O}}(\varepsilon )}
152:{\textstyle \varepsilon ={\frac {1}{4}}}
88:
3872:Method of matched asymptotic expansions
14:
4113:
4066:
3323:{\displaystyle y\approx r\cos \theta }
1357:{\displaystyle t=O(\varepsilon ^{-1})}
3453:{\displaystyle d\theta /dt\approx 1.}
4024:Kevorkian, J.; Cole, J. D. (1996),
3996:
3974:
3671:and the phase evolves according to
3233:{\displaystyle t=O(\epsilon ^{-2})}
1461:{\displaystyle t_{1}=\varepsilon t}
1414:{\displaystyle t=O(\epsilon ^{-1})}
808:to the problem proceeds by writing
24:
3914:Bender & Orszag (1999) p. 551.
3887:KrylovâBogoliubov averaging method
3768:
3600:
3137:
2464:
2457:
2436:
2371:
2350:
2300:
2279:
2228:
2202:
2181:
2158:
2151:
2130:
2096:
2075:
1974:
1955:
1940:
1918:
1903:
1880:
1865:
1825:
1810:
1768:
1753:
1718:
1703:
1661:
1646:
1425:is used. Introduce the slow scale
1279:
879:
450:
442:
400:
392:
102:
85:Example: undamped Duffing equation
25:
4142:
4089:
3195:This new solution is valid until
3184:. This agrees with the nonlinear
2682:of the differential equation is
587:. Consequently, the Hamiltonian
3824:but have different frequencies
3188:changes found by employing the
775:
718:
712:
468:
462:
412:
280:
4053:, Springer, pp. 544â568,
3990:
3968:
3917:
3908:
3899:
3858:depending upon the amplitude.
3786:
3773:
3618:
3605:
3592:
3556:
3407:
3401:
3378:
3372:
3349:
3337:
3227:
3211:
3148:
3142:
3075:
3069:
2608:
2595:
2562:
2549:
2540:
2521:
2246:
2233:
1992:
1979:
1576:
1557:
1538:
1519:
1503:
1497:
1408:
1392:
1351:
1335:
1297:
1284:
1254:
1248:
1215:
1209:
1185:
1176:
1144:
1138:
1126:
1120:
930:gives the system of equations
897:
884:
871:
865:
846:
840:
824:
818:
676:
670:
331:ordinary differential equation
307:
301:
268:
262:
113:
107:
13:
1:
4016:
3330:is sought in new coordinates
2656:to the zeroth-order solution
93:Here the differences between
3391:varies slowly and the phase
806:perturbation-series approach
7:
3865:
3851:{\displaystyle d\theta /dt}
3355:{\displaystyle (r,\theta )}
2499:
10:
4147:
3413:{\displaystyle \theta (t)}
26:
4098:"Multiple scale analysis"
3947:10.1007/s11071-012-0584-y
3274:Kevorkian & Cole 1996
3190:LindstedtâPoincarĂ© method
1372:Method of multiple scales
923:{\textstyle \varepsilon }
643:. This implies that both
48:method of multiple scales
18:Method of multiple scales
3892:
3278:Bender & Orszag 1999
2654:complex-valued amplitude
1468:and assume the solution
329:which is a second-order
29:Multiresolution analysis
27:Not to be confused with
3664:{\displaystyle dr/dt=0}
1423:multiple-scale analysis
44:multiple-scale analysis
4096:Carson C. Chow (ed.).
3852:
3818:
3796:
3665:
3625:
3454:
3414:
3385:
3356:
3324:
3290:method of normal forms
3234:
3158:
3051:
2949:
2834:
2635:
2491:
2256:
2006:
1592:
1462:
1415:
1358:
1319:|. In particular, for
1307:
1102:
924:
904:
791:
557:
323:
247:
159:
153:
120:
68:solvability conditions
3853:
3819:
3797:
3666:
3626:
3455:
3415:
3386:
3357:
3325:
3292:, as described next.
3235:
3159:
3052:
2950:
2865:solvability condition
2835:
2636:
2492:
2257:
2007:
1593:
1463:
1416:
1359:
1308:
1103:
925:
905:
792:
558:
324:
248:
154:
121:
92:
60:independent variables
56:perturbation problems
4121:Mathematical physics
4074:, WileyâVCH Verlag,
4072:Perturbation methods
3828:
3808:
3675:
3635:
3464:
3424:
3395:
3384:{\displaystyle r(t)}
3366:
3362:where the amplitude
3334:
3299:
3199:
3063:
2979:
2870:
2686:
2508:
2268:
2031:
1604:
1491:
1436:
1380:
1323:
1114:
934:
914:
812:
659:
655:have to be bounded:
360:
256:
175:
130:
97:
54:to the solutions of
4131:Perturbation theory
4126:Asymptotic analysis
3882:Method of averaging
2424:
1090:
778: for all
3934:Nonlinear Dynamics
3848:
3814:
3792:
3661:
3621:
3450:
3410:
3381:
3352:
3320:
3230:
3154:
3113:
3047:
3022:
2998:
2945:
2830:
2631:
2487:
2485:
2410:
2252:
2002:
2000:
1588:
1458:
1411:
1354:
1303:
1268:
1261:
1235:
1201:
1168:
1098:
1096:
1076:
920:
900:
787:
768:
705:
641:initial conditions
553:
535:
510:
485:
354:Hamiltonian system
319:
243:
160:
149:
116:
4081:978-0-471-39917-9
4060:978-0-387-98931-0
4035:978-0-387-94202-5
3877:WKB approximation
3817:{\displaystyle r}
3741:
3715:
3696:
3534:
3496:
3112:
3021:
2997:
2937:
2846:complex conjugate
2758:
2478:
2385:
2314:
2216:
2172:
2110:
2066:
1962:
1932:
1887:
1839:
1805:
1775:
1732:
1698:
1668:
1629:
1266:
1234:
1223:
1221:
1200:
1167:
1051:
980:
779:
773:
767:
741:
716:
710:
704:
534:
509:
484:
466:
457:
431:
407:
381:
299:
210:
147:
46:(also called the
16:(Redirected from
4138:
4107:
4084:
4063:
4038:
4010:
4009:
4008:
4007:
3994:
3988:
3987:
3986:
3985:
3972:
3966:
3965:
3941:(3): 1931â1949,
3930:
3921:
3915:
3912:
3906:
3903:
3857:
3855:
3854:
3849:
3841:
3823:
3821:
3820:
3815:
3801:
3799:
3798:
3793:
3785:
3784:
3772:
3771:
3762:
3761:
3752:
3751:
3742:
3734:
3729:
3728:
3716:
3708:
3697:
3695:
3687:
3679:
3670:
3668:
3667:
3662:
3648:
3630:
3628:
3627:
3622:
3617:
3616:
3604:
3603:
3555:
3554:
3545:
3544:
3535:
3527:
3510:
3509:
3497:
3489:
3459:
3457:
3456:
3451:
3437:
3419:
3417:
3416:
3411:
3390:
3388:
3387:
3382:
3361:
3359:
3358:
3353:
3329:
3327:
3326:
3321:
3271:
3255:
3239:
3237:
3236:
3231:
3226:
3225:
3183:
3176:
3163:
3161:
3160:
3155:
3141:
3140:
3131:
3127:
3123:
3119:
3114:
3105:
3056:
3054:
3053:
3048:
3043:
3039:
3038:
3037:
3023:
3014:
2999:
2990:
2974:
2963:
2954:
2952:
2951:
2946:
2938:
2936:
2935:
2934:
2921:
2913:
2900:
2899:
2889:
2888:
2839:
2837:
2836:
2831:
2814:
2813:
2794:
2793:
2781:
2780:
2764:
2760:
2759:
2757:
2756:
2755:
2742:
2734:
2721:
2720:
2710:
2709:
2640:
2638:
2637:
2632:
2627:
2626:
2607:
2606:
2594:
2593:
2581:
2580:
2561:
2560:
2539:
2538:
2520:
2519:
2496:
2494:
2493:
2488:
2486:
2479:
2477:
2476:
2475:
2455:
2454:
2453:
2444:
2443:
2433:
2423:
2418:
2399:
2398:
2386:
2384:
2383:
2382:
2369:
2368:
2367:
2358:
2357:
2347:
2328:
2327:
2315:
2313:
2312:
2311:
2298:
2297:
2296:
2287:
2286:
2276:
2261:
2259:
2258:
2253:
2245:
2244:
2232:
2231:
2222:
2218:
2217:
2215:
2214:
2213:
2200:
2199:
2198:
2189:
2188:
2178:
2173:
2171:
2170:
2169:
2149:
2148:
2147:
2138:
2137:
2127:
2111:
2109:
2108:
2107:
2094:
2093:
2092:
2083:
2082:
2072:
2067:
2065:
2064:
2063:
2050:
2046:
2045:
2035:
2011:
2009:
2008:
2003:
2001:
1991:
1990:
1978:
1977:
1968:
1964:
1963:
1961:
1953:
1952:
1951:
1938:
1933:
1931:
1930:
1929:
1916:
1915:
1914:
1901:
1888:
1886:
1878:
1877:
1876:
1863:
1855:
1845:
1841:
1840:
1838:
1837:
1836:
1823:
1822:
1821:
1808:
1806:
1804:
1796:
1795:
1794:
1781:
1776:
1774:
1766:
1765:
1764:
1751:
1738:
1734:
1733:
1731:
1730:
1729:
1716:
1715:
1714:
1701:
1699:
1697:
1689:
1688:
1687:
1674:
1669:
1667:
1659:
1658:
1657:
1644:
1630:
1628:
1620:
1612:
1597:
1595:
1594:
1589:
1575:
1574:
1556:
1555:
1537:
1536:
1518:
1517:
1467:
1465:
1464:
1459:
1448:
1447:
1421:, the method of
1420:
1418:
1417:
1412:
1407:
1406:
1363:
1361:
1360:
1355:
1350:
1349:
1312:
1310:
1309:
1304:
1296:
1295:
1283:
1282:
1273:
1269:
1267:
1264:
1262:
1257:
1236:
1227:
1202:
1193:
1169:
1160:
1107:
1105:
1104:
1099:
1097:
1089:
1084:
1065:
1064:
1052:
1050:
1049:
1048:
1035:
1034:
1033:
1024:
1023:
1013:
994:
993:
981:
979:
978:
977:
964:
963:
962:
953:
952:
942:
929:
927:
926:
921:
909:
907:
906:
901:
896:
895:
883:
882:
864:
863:
839:
838:
796:
794:
793:
788:
780:
777:
774:
769:
760:
751:
746:
742:
740:
732:
724:
717:
714:
711:
706:
697:
688:
683:
679:
634:
632:
631:
628:
625:
618:
616:
615:
612:
609:
562:
560:
559:
554:
549:
548:
536:
527:
521:
520:
511:
502:
496:
495:
486:
477:
467:
465: with
464:
458:
456:
448:
440:
432:
430:
422:
414:
408:
406:
398:
390:
382:
380:
372:
364:
328:
326:
325:
320:
300:
298:
290:
282:
252:
250:
249:
244:
233:
232:
211:
209:
208:
207:
194:
190:
189:
179:
169:Duffing equation
158:
156:
155:
150:
148:
140:
125:
123:
122:
117:
106:
105:
21:
4146:
4145:
4141:
4140:
4139:
4137:
4136:
4135:
4111:
4110:
4092:
4087:
4082:
4061:
4036:
4019:
4014:
4013:
4005:
4003:
3997:Roberts, A.J.,
3995:
3991:
3983:
3981:
3975:Roberts, A.J.,
3973:
3969:
3928:
3922:
3918:
3913:
3909:
3904:
3900:
3895:
3868:
3837:
3829:
3826:
3825:
3809:
3806:
3805:
3780:
3776:
3767:
3766:
3757:
3753:
3747:
3743:
3733:
3724:
3720:
3707:
3688:
3680:
3678:
3676:
3673:
3672:
3644:
3636:
3633:
3632:
3612:
3608:
3599:
3598:
3550:
3546:
3540:
3536:
3526:
3505:
3501:
3488:
3465:
3462:
3461:
3433:
3425:
3422:
3421:
3396:
3393:
3392:
3367:
3364:
3363:
3335:
3332:
3331:
3300:
3297:
3296:
3286:
3263:
3257:
3247:
3241:
3218:
3214:
3200:
3197:
3196:
3178:
3171:
3165:
3136:
3135:
3103:
3096:
3092:
3091:
3087:
3064:
3061:
3060:
3033:
3029:
3012:
3011:
3007:
2988:
2980:
2977:
2976:
2965:
2958:
2930:
2926:
2922:
2914:
2912:
2895:
2891:
2884:
2880:
2871:
2868:
2867:
2862:
2800:
2796:
2789:
2785:
2770:
2766:
2751:
2747:
2743:
2735:
2733:
2716:
2712:
2705:
2701:
2693:
2689:
2687:
2684:
2683:
2680:right hand side
2673:
2662:
2651:
2616:
2612:
2602:
2598:
2589:
2585:
2570:
2566:
2556:
2552:
2534:
2530:
2515:
2511:
2509:
2506:
2505:
2502:
2484:
2483:
2471:
2467:
2456:
2449:
2445:
2439:
2435:
2434:
2432:
2419:
2414:
2400:
2394:
2390:
2378:
2374:
2370:
2363:
2359:
2353:
2349:
2348:
2346:
2343:
2342:
2329:
2323:
2319:
2307:
2303:
2299:
2292:
2288:
2282:
2278:
2277:
2275:
2271:
2269:
2266:
2265:
2240:
2236:
2227:
2226:
2209:
2205:
2201:
2194:
2190:
2184:
2180:
2179:
2177:
2165:
2161:
2150:
2143:
2139:
2133:
2129:
2128:
2126:
2122:
2118:
2103:
2099:
2095:
2088:
2084:
2078:
2074:
2073:
2071:
2059:
2055:
2051:
2041:
2037:
2036:
2034:
2032:
2029:
2028:
2018:
1999:
1998:
1986:
1982:
1973:
1972:
1954:
1947:
1943:
1939:
1937:
1925:
1921:
1917:
1910:
1906:
1902:
1900:
1899:
1895:
1879:
1872:
1868:
1864:
1862:
1853:
1852:
1832:
1828:
1824:
1817:
1813:
1809:
1807:
1797:
1790:
1786:
1782:
1780:
1767:
1760:
1756:
1752:
1750:
1749:
1745:
1725:
1721:
1717:
1710:
1706:
1702:
1700:
1690:
1683:
1679:
1675:
1673:
1660:
1653:
1649:
1645:
1643:
1642:
1638:
1631:
1621:
1613:
1611:
1607:
1605:
1602:
1601:
1570:
1566:
1551:
1547:
1532:
1528:
1513:
1509:
1492:
1489:
1488:
1486:
1443:
1439:
1437:
1434:
1433:
1431:
1399:
1395:
1381:
1378:
1377:
1374:
1342:
1338:
1324:
1321:
1320:
1291:
1287:
1278:
1277:
1263:
1225:
1224:
1222:
1191:
1158:
1157:
1153:
1115:
1112:
1111:
1095:
1094:
1085:
1080:
1066:
1060:
1056:
1044:
1040:
1036:
1029:
1025:
1019:
1015:
1014:
1012:
1009:
1008:
995:
989:
985:
973:
969:
965:
958:
954:
948:
944:
943:
941:
937:
935:
932:
931:
915:
912:
911:
891:
887:
878:
877:
859:
855:
834:
830:
813:
810:
809:
802:
776:
758:
750:
733:
725:
723:
719:
715: and
713:
695:
687:
666:
662:
660:
657:
656:
629:
626:
623:
622:
620:
613:
610:
607:
606:
604:
544:
540:
525:
516:
512:
500:
491:
487:
475:
463:
449:
441:
439:
423:
415:
413:
399:
391:
389:
373:
365:
363:
361:
358:
357:
291:
283:
281:
257:
254:
253:
228:
224:
203:
199:
195:
185:
181:
180:
178:
176:
173:
172:
165:
139:
131:
128:
127:
101:
100:
98:
95:
94:
87:
75:center manifold
32:
23:
22:
15:
12:
11:
5:
4144:
4134:
4133:
4128:
4123:
4109:
4108:
4091:
4090:External links
4088:
4086:
4085:
4080:
4064:
4059:
4039:
4034:
4020:
4018:
4015:
4012:
4011:
3989:
3967:
3916:
3907:
3897:
3896:
3894:
3891:
3890:
3889:
3884:
3879:
3874:
3867:
3864:
3847:
3844:
3840:
3836:
3833:
3813:
3791:
3788:
3783:
3779:
3775:
3770:
3765:
3760:
3756:
3750:
3746:
3740:
3737:
3732:
3727:
3723:
3719:
3714:
3711:
3706:
3703:
3700:
3694:
3691:
3686:
3683:
3660:
3657:
3654:
3651:
3647:
3643:
3640:
3620:
3615:
3611:
3607:
3602:
3597:
3594:
3591:
3588:
3585:
3582:
3579:
3576:
3573:
3570:
3567:
3564:
3561:
3558:
3553:
3549:
3543:
3539:
3533:
3530:
3525:
3522:
3519:
3516:
3513:
3508:
3504:
3500:
3495:
3492:
3487:
3484:
3481:
3478:
3475:
3472:
3469:
3449:
3446:
3443:
3440:
3436:
3432:
3429:
3409:
3406:
3403:
3400:
3380:
3377:
3374:
3371:
3351:
3348:
3345:
3342:
3339:
3319:
3316:
3313:
3310:
3307:
3304:
3285:
3282:
3261:
3245:
3229:
3224:
3221:
3217:
3213:
3210:
3207:
3204:
3177:and valid for
3169:
3153:
3150:
3147:
3144:
3139:
3134:
3130:
3126:
3122:
3118:
3111:
3108:
3102:
3099:
3095:
3090:
3086:
3083:
3080:
3077:
3074:
3071:
3068:
3046:
3042:
3036:
3032:
3027:
3020:
3017:
3010:
3006:
3003:
2996:
2993:
2987:
2984:
2944:
2941:
2933:
2929:
2925:
2920:
2917:
2910:
2906:
2903:
2898:
2894:
2887:
2883:
2878:
2875:
2860:
2829:
2826:
2823:
2820:
2817:
2812:
2809:
2806:
2803:
2799:
2792:
2788:
2784:
2779:
2776:
2773:
2769:
2763:
2754:
2750:
2746:
2741:
2738:
2731:
2727:
2724:
2719:
2715:
2708:
2704:
2699:
2696:
2692:
2671:
2660:
2649:
2630:
2625:
2622:
2619:
2615:
2610:
2605:
2601:
2597:
2592:
2588:
2584:
2579:
2576:
2573:
2569:
2564:
2559:
2555:
2551:
2548:
2545:
2542:
2537:
2533:
2529:
2526:
2523:
2518:
2514:
2501:
2498:
2482:
2474:
2470:
2466:
2462:
2459:
2452:
2448:
2442:
2438:
2430:
2427:
2422:
2417:
2413:
2409:
2406:
2403:
2401:
2397:
2393:
2389:
2381:
2377:
2373:
2366:
2362:
2356:
2352:
2345:
2344:
2341:
2338:
2335:
2332:
2330:
2326:
2322:
2318:
2310:
2306:
2302:
2295:
2291:
2285:
2281:
2274:
2273:
2251:
2248:
2243:
2239:
2235:
2230:
2225:
2221:
2212:
2208:
2204:
2197:
2193:
2187:
2183:
2176:
2168:
2164:
2160:
2156:
2153:
2146:
2142:
2136:
2132:
2125:
2121:
2117:
2114:
2106:
2102:
2098:
2091:
2087:
2081:
2077:
2070:
2062:
2058:
2054:
2049:
2044:
2040:
2016:
1997:
1994:
1989:
1985:
1981:
1976:
1971:
1967:
1960:
1957:
1950:
1946:
1942:
1936:
1928:
1924:
1920:
1913:
1909:
1905:
1898:
1894:
1891:
1885:
1882:
1875:
1871:
1867:
1861:
1858:
1856:
1854:
1851:
1848:
1844:
1835:
1831:
1827:
1820:
1816:
1812:
1803:
1800:
1793:
1789:
1785:
1779:
1773:
1770:
1763:
1759:
1755:
1748:
1744:
1741:
1737:
1728:
1724:
1720:
1713:
1709:
1705:
1696:
1693:
1686:
1682:
1678:
1672:
1666:
1663:
1656:
1652:
1648:
1641:
1637:
1634:
1632:
1627:
1624:
1619:
1616:
1610:
1609:
1587:
1584:
1581:
1578:
1573:
1569:
1565:
1562:
1559:
1554:
1550:
1546:
1543:
1540:
1535:
1531:
1527:
1524:
1521:
1516:
1512:
1508:
1505:
1502:
1499:
1496:
1487:, treated as:
1484:
1457:
1454:
1451:
1446:
1442:
1429:
1410:
1405:
1402:
1398:
1394:
1391:
1388:
1385:
1373:
1370:
1353:
1348:
1345:
1341:
1337:
1334:
1331:
1328:
1302:
1299:
1294:
1290:
1286:
1281:
1276:
1272:
1260:
1256:
1253:
1250:
1247:
1244:
1240:
1233:
1230:
1220:
1217:
1214:
1211:
1208:
1205:
1199:
1196:
1190:
1187:
1184:
1181:
1178:
1175:
1172:
1166:
1163:
1156:
1152:
1149:
1146:
1143:
1140:
1137:
1134:
1131:
1128:
1125:
1122:
1119:
1093:
1088:
1083:
1079:
1075:
1072:
1069:
1067:
1063:
1059:
1055:
1047:
1043:
1039:
1032:
1028:
1022:
1018:
1011:
1010:
1007:
1004:
1001:
998:
996:
992:
988:
984:
976:
972:
968:
961:
957:
951:
947:
940:
939:
919:
899:
894:
890:
886:
881:
876:
873:
870:
867:
862:
858:
854:
851:
848:
845:
842:
837:
833:
829:
826:
823:
820:
817:
801:
798:
786:
783:
772:
766:
763:
757:
754:
749:
745:
739:
736:
731:
728:
722:
709:
703:
700:
694:
691:
686:
682:
678:
675:
672:
669:
665:
639:for the given
552:
547:
543:
539:
533:
530:
524:
519:
515:
508:
505:
499:
494:
490:
483:
480:
474:
471:
461:
455:
452:
447:
444:
438:
435:
429:
426:
421:
418:
411:
405:
402:
397:
394:
388:
385:
379:
376:
371:
368:
318:
315:
312:
309:
306:
303:
297:
294:
289:
286:
279:
276:
273:
270:
267:
264:
261:
242:
239:
236:
231:
227:
223:
220:
217:
214:
206:
202:
198:
193:
188:
184:
164:
161:
146:
143:
138:
135:
115:
112:
109:
104:
86:
83:
52:approximations
9:
6:
4:
3:
2:
4143:
4132:
4129:
4127:
4124:
4122:
4119:
4118:
4116:
4105:
4104:
4099:
4094:
4093:
4083:
4077:
4073:
4069:
4065:
4062:
4056:
4052:
4048:
4044:
4040:
4037:
4031:
4027:
4022:
4021:
4002:
4001:
3993:
3980:
3979:
3971:
3964:
3960:
3956:
3952:
3948:
3944:
3940:
3936:
3935:
3927:
3920:
3911:
3902:
3898:
3888:
3885:
3883:
3880:
3878:
3875:
3873:
3870:
3869:
3863:
3859:
3845:
3842:
3838:
3834:
3831:
3811:
3802:
3789:
3781:
3777:
3763:
3758:
3754:
3748:
3744:
3738:
3735:
3730:
3725:
3721:
3717:
3712:
3709:
3704:
3701:
3698:
3692:
3689:
3684:
3681:
3658:
3655:
3652:
3649:
3645:
3641:
3638:
3613:
3609:
3595:
3589:
3586:
3583:
3580:
3577:
3574:
3571:
3568:
3565:
3562:
3559:
3551:
3547:
3541:
3537:
3531:
3528:
3523:
3520:
3517:
3514:
3511:
3506:
3502:
3498:
3493:
3490:
3485:
3482:
3479:
3476:
3473:
3470:
3467:
3447:
3444:
3441:
3438:
3434:
3430:
3427:
3404:
3398:
3375:
3369:
3346:
3343:
3340:
3317:
3314:
3311:
3308:
3305:
3302:
3293:
3291:
3281:
3279:
3275:
3270:
3267:
3260:
3254:
3251:
3244:
3222:
3219:
3215:
3208:
3205:
3202:
3193:
3191:
3187:
3181:
3175:
3168:
3151:
3145:
3132:
3128:
3124:
3120:
3116:
3109:
3106:
3100:
3097:
3093:
3088:
3084:
3081:
3078:
3072:
3066:
3057:
3044:
3040:
3034:
3030:
3025:
3018:
3015:
3008:
3004:
3001:
2994:
2991:
2985:
2982:
2972:
2968:
2961:
2955:
2942:
2939:
2931:
2927:
2923:
2918:
2915:
2908:
2904:
2901:
2896:
2892:
2885:
2881:
2876:
2873:
2866:
2859:
2855:
2851:
2850:secular terms
2847:
2843:
2827:
2824:
2821:
2818:
2815:
2810:
2807:
2804:
2801:
2797:
2790:
2786:
2782:
2777:
2774:
2771:
2767:
2761:
2752:
2748:
2744:
2739:
2736:
2729:
2725:
2722:
2717:
2713:
2706:
2702:
2697:
2694:
2690:
2681:
2677:
2670:
2666:
2659:
2655:
2648:
2644:
2628:
2623:
2620:
2617:
2613:
2603:
2599:
2590:
2586:
2582:
2577:
2574:
2571:
2567:
2557:
2553:
2546:
2543:
2535:
2531:
2527:
2524:
2516:
2512:
2497:
2480:
2472:
2468:
2460:
2450:
2446:
2440:
2428:
2425:
2420:
2415:
2411:
2407:
2404:
2402:
2395:
2391:
2387:
2379:
2375:
2364:
2360:
2354:
2339:
2336:
2333:
2331:
2324:
2320:
2316:
2308:
2304:
2293:
2289:
2283:
2262:
2249:
2241:
2237:
2223:
2219:
2210:
2206:
2195:
2191:
2185:
2174:
2166:
2162:
2154:
2144:
2140:
2134:
2123:
2119:
2115:
2112:
2104:
2100:
2089:
2085:
2079:
2068:
2060:
2056:
2052:
2047:
2042:
2038:
2027:. Similarly:
2026:
2023: =
2022:
2015:
1995:
1987:
1983:
1969:
1965:
1958:
1948:
1944:
1934:
1926:
1922:
1911:
1907:
1896:
1892:
1889:
1883:
1873:
1869:
1859:
1857:
1849:
1846:
1842:
1833:
1829:
1818:
1814:
1801:
1798:
1791:
1787:
1783:
1777:
1771:
1761:
1757:
1746:
1742:
1739:
1735:
1726:
1722:
1711:
1707:
1694:
1691:
1684:
1680:
1676:
1670:
1664:
1654:
1650:
1639:
1635:
1633:
1625:
1622:
1617:
1614:
1598:
1585:
1582:
1579:
1571:
1567:
1563:
1560:
1552:
1548:
1544:
1541:
1533:
1529:
1525:
1522:
1514:
1510:
1506:
1500:
1494:
1483:
1479:
1475:
1471:
1455:
1452:
1449:
1444:
1440:
1428:
1424:
1403:
1400:
1396:
1389:
1386:
1383:
1369:
1367:
1364:this term is
1346:
1343:
1339:
1332:
1329:
1326:
1318:
1313:
1300:
1292:
1288:
1274:
1270:
1258:
1251:
1245:
1242:
1238:
1231:
1228:
1218:
1212:
1206:
1203:
1197:
1194:
1188:
1182:
1179:
1173:
1170:
1164:
1161:
1154:
1150:
1147:
1141:
1135:
1132:
1129:
1123:
1117:
1108:
1091:
1086:
1081:
1077:
1073:
1070:
1068:
1061:
1057:
1053:
1045:
1041:
1037:
1030:
1026:
1020:
1016:
1005:
1002:
999:
997:
990:
986:
982:
974:
970:
966:
959:
955:
949:
945:
917:
892:
888:
874:
868:
860:
856:
852:
849:
843:
835:
831:
827:
821:
815:
807:
797:
784:
781:
770:
764:
761:
755:
752:
747:
743:
737:
734:
729:
726:
720:
707:
701:
698:
692:
689:
684:
680:
673:
667:
663:
654:
650:
646:
642:
638:
619: +
603: =
602:
598:
594:
590:
586:
582:
579: =
578:
574:
570:
567: =
566:
550:
545:
541:
537:
531:
528:
522:
517:
513:
506:
503:
497:
492:
488:
481:
478:
472:
469:
459:
453:
445:
436:
433:
427:
424:
419:
416:
409:
403:
395:
386:
383:
377:
374:
369:
366:
355:
351:
347:
343:
340:. A solution
339:
336:
333:describing a
332:
316:
313:
310:
304:
295:
292:
287:
284:
277:
274:
271:
265:
259:
240:
237:
234:
229:
225:
221:
218:
215:
212:
204:
200:
196:
191:
186:
182:
170:
144:
141:
136:
133:
110:
91:
82:
80:
79:slow manifold
76:
71:
69:
65:
64:secular terms
61:
57:
53:
49:
45:
41:
37:
30:
19:
4103:Scholarpedia
4101:
4071:
4068:Nayfeh, A.H.
4050:
4047:Orszag, S.A.
4043:Bender, C.M.
4028:, Springer,
4025:
4004:, retrieved
3999:
3992:
3982:, retrieved
3977:
3970:
3938:
3932:
3919:
3910:
3901:
3860:
3803:
3294:
3287:
3268:
3265:
3258:
3252:
3249:
3242:
3194:
3179:
3173:
3166:
3058:
2970:
2966:
2959:
2956:
2864:
2857:
2853:
2849:
2844:denotes the
2841:
2675:
2668:
2664:
2657:
2646:
2642:
2503:
2263:
2024:
2020:
2013:
1599:
1481:
1477:
1473:
1469:
1426:
1422:
1375:
1365:
1316:
1314:
1109:
803:
652:
648:
644:
636:
600:
596:
592:
588:
584:
580:
576:
572:
568:
564:
349:
345:
341:
166:
72:
67:
47:
43:
33:
3295:A solution
36:mathematics
4115:Categories
4017:References
4006:2013-10-03
3984:2013-10-03
3955:10985/7473
804:A regular
338:oscillator
3963:254862552
3835:θ
3778:ε
3745:ε
3731:−
3718:ε
3685:θ
3610:ε
3590:θ
3584:
3575:θ
3569:
3560:−
3538:ε
3521:θ
3515:
3499:ε
3483:θ
3480:
3445:≈
3431:θ
3399:θ
3347:θ
3318:θ
3315:
3306:≈
3220:−
3216:ϵ
3186:frequency
3146:ε
3117:ε
3085:
3005:
2902:−
2897:∗
2874:−
2783:−
2723:−
2718:∗
2695:−
2618:−
2591:∗
2465:∂
2458:∂
2437:∂
2426:−
2408:−
2372:∂
2351:∂
2301:∂
2280:∂
2238:ε
2203:∂
2182:∂
2159:∂
2152:∂
2131:∂
2116:ε
2097:∂
2076:∂
1984:ε
1956:∂
1941:∂
1919:∂
1904:∂
1893:ε
1881:∂
1866:∂
1850:⋯
1826:∂
1811:∂
1769:∂
1754:∂
1743:ε
1719:∂
1704:∂
1662:∂
1647:∂
1583:⋯
1545:ε
1453:ε
1401:−
1397:ϵ
1344:−
1340:ε
1289:ε
1259:⏟
1246:
1219:−
1207:
1189:−
1174:
1151:ε
1136:
1074:−
918:ε
889:ε
853:ε
771:ε
748:≤
708:ε
685:≤
538:ε
451:∂
443:∂
401:∂
393:∂
387:−
335:nonlinear
222:ε
134:ε
111:ε
4070:(2004),
4049:(1999),
3866:See also
2500:Solution
2973:(0) = 0
2962:(0) = 1
2667:,
1265:secular
633:
621:
617:
605:
595:,
40:physics
4078:
4057:
4032:
3961:
3182:= O(1)
3164:using
2975:, is:
2863:) the
2840:where
2674:) and
2012:using
635:
575:) and
3959:S2CID
3929:(PDF)
3893:Notes
2641:with
563:with
4076:ISBN
4055:ISBN
4030:ISBN
3532:1024
2964:and
2842:c.c.
2652:) a
1600:So:
1480:and
647:and
77:and
38:and
3951:hdl
3943:doi
3739:256
3581:cos
3566:cos
3512:cos
3477:cos
3312:cos
3280:).
3082:cos
3002:exp
1243:sin
1204:cos
1171:cos
1133:cos
81:).
34:In
4117::
4100:.
4045:;
3957:,
3949:,
3939:70
3937:,
3931:,
3736:15
3563:21
3494:32
3448:1.
3276:;
3264:=
3256:,
3248:=
3192:.
3180:Δt
3174:Δt
3172:=
2971:dt
2967:dy
2943:0.
2021:dt
2014:dt
1432::
1198:32
1165:32
653:dt
649:dy
585:dt
581:dy
356::
171::
70:.
42:,
4106:.
3953::
3945::
3846:t
3843:d
3839:/
3832:d
3812:r
3790:.
3787:)
3782:3
3774:(
3769:O
3764:+
3759:4
3755:r
3749:2
3726:2
3722:r
3713:8
3710:3
3705:+
3702:1
3699:=
3693:t
3690:d
3682:d
3659:0
3656:=
3653:t
3650:d
3646:/
3642:r
3639:d
3619:)
3614:3
3606:(
3601:O
3596:+
3593:)
3587:5
3578:+
3572:3
3557:(
3552:5
3548:r
3542:2
3529:1
3524:+
3518:3
3507:3
3503:r
3491:1
3486:+
3474:r
3471:=
3468:y
3442:t
3439:d
3435:/
3428:d
3408:)
3405:t
3402:(
3379:)
3376:t
3373:(
3370:r
3350:)
3344:,
3341:r
3338:(
3309:r
3303:y
3269:t
3266:Δ
3262:3
3259:t
3253:t
3250:Δ
3246:2
3243:t
3228:)
3223:2
3212:(
3209:O
3206:=
3203:t
3170:1
3167:t
3152:,
3149:)
3143:(
3138:O
3133:+
3129:]
3125:t
3121:)
3110:8
3107:3
3101:+
3098:1
3094:(
3089:[
3079:=
3076:)
3073:t
3070:(
3067:y
3045:.
3041:)
3035:1
3031:t
3026:i
3019:8
3016:3
3009:(
2995:2
2992:1
2986:=
2983:A
2969:/
2960:y
2940:=
2932:1
2928:t
2924:d
2919:A
2916:d
2909:i
2905:2
2893:A
2886:2
2882:A
2877:3
2861:1
2858:t
2856:(
2854:A
2828:.
2825:c
2822:.
2819:c
2816:+
2811:t
2808:i
2805:3
2802:+
2798:e
2791:3
2787:A
2778:t
2775:i
2772:+
2768:e
2762:]
2753:1
2749:t
2745:d
2740:A
2737:d
2730:i
2726:2
2714:A
2707:2
2703:A
2698:3
2691:[
2676:i
2672:1
2669:t
2665:t
2663:(
2661:0
2658:Y
2650:1
2647:t
2645:(
2643:A
2629:,
2624:t
2621:i
2614:e
2609:)
2604:1
2600:t
2596:(
2587:A
2583:+
2578:t
2575:i
2572:+
2568:e
2563:)
2558:1
2554:t
2550:(
2547:A
2544:=
2541:)
2536:1
2532:t
2528:,
2525:t
2522:(
2517:0
2513:Y
2481:.
2473:1
2469:t
2461:t
2451:0
2447:Y
2441:2
2429:2
2421:3
2416:0
2412:Y
2405:=
2396:1
2392:Y
2388:+
2380:2
2376:t
2365:1
2361:Y
2355:2
2340:,
2337:0
2334:=
2325:0
2321:Y
2317:+
2309:2
2305:t
2294:0
2290:Y
2284:2
2250:.
2247:)
2242:2
2234:(
2229:O
2224:+
2220:)
2211:2
2207:t
2196:1
2192:Y
2186:2
2175:+
2167:1
2163:t
2155:t
2145:0
2141:Y
2135:2
2124:2
2120:(
2113:+
2105:2
2101:t
2090:0
2086:Y
2080:2
2069:=
2061:2
2057:t
2053:d
2048:y
2043:2
2039:d
2025:Δ
2019:/
2017:1
1996:,
1993:)
1988:2
1980:(
1975:O
1970:+
1966:)
1959:t
1949:1
1945:Y
1935:+
1927:1
1923:t
1912:0
1908:Y
1897:(
1890:+
1884:t
1874:0
1870:Y
1860:=
1847:+
1843:)
1834:1
1830:t
1819:1
1815:Y
1802:t
1799:d
1792:1
1788:t
1784:d
1778:+
1772:t
1762:1
1758:Y
1747:(
1740:+
1736:)
1727:1
1723:t
1712:0
1708:Y
1695:t
1692:d
1685:1
1681:t
1677:d
1671:+
1665:t
1655:0
1651:Y
1640:(
1636:=
1626:t
1623:d
1618:y
1615:d
1586:.
1580:+
1577:)
1572:1
1568:t
1564:,
1561:t
1558:(
1553:1
1549:Y
1542:+
1539:)
1534:1
1530:t
1526:,
1523:t
1520:(
1515:0
1511:Y
1507:=
1504:)
1501:t
1498:(
1495:y
1485:1
1482:t
1478:t
1474:t
1472:(
1470:y
1456:t
1450:=
1445:1
1441:t
1430:1
1427:t
1409:)
1404:1
1393:(
1390:O
1387:=
1384:t
1366:O
1352:)
1347:1
1336:(
1333:O
1330:=
1327:t
1317:t
1301:.
1298:)
1293:2
1285:(
1280:O
1275:+
1271:]
1255:)
1252:t
1249:(
1239:t
1232:8
1229:3
1216:)
1213:t
1210:(
1195:1
1186:)
1183:t
1180:3
1177:(
1162:1
1155:[
1148:+
1145:)
1142:t
1139:(
1130:=
1127:)
1124:t
1121:(
1118:y
1092:.
1087:3
1082:0
1078:y
1071:=
1062:1
1058:y
1054:+
1046:2
1042:t
1038:d
1031:1
1027:y
1021:2
1017:d
1006:,
1003:0
1000:=
991:0
987:y
983:+
975:2
971:t
967:d
960:0
956:y
950:2
946:d
898:)
893:2
885:(
880:O
875:+
872:)
869:t
866:(
861:1
857:y
850:+
847:)
844:t
841:(
836:0
832:y
828:=
825:)
822:t
819:(
816:y
785:.
782:t
765:2
762:1
756:+
753:1
744:|
738:t
735:d
730:y
727:d
721:|
702:2
699:1
693:+
690:1
681:|
677:)
674:t
671:(
668:y
664:|
651:/
645:y
637:Δ
630:4
627:/
624:1
614:2
611:/
608:1
601:H
597:q
593:p
591:(
589:H
583:/
577:p
573:t
571:(
569:y
565:q
551:,
546:4
542:q
532:4
529:1
523:+
518:2
514:q
507:2
504:1
498:+
493:2
489:p
482:2
479:1
473:=
470:H
460:,
454:p
446:H
437:+
434:=
428:t
425:d
420:q
417:d
410:,
404:q
396:H
384:=
378:t
375:d
370:p
367:d
350:Δ
346:t
344:(
342:y
317:,
314:0
311:=
308:)
305:0
302:(
296:t
293:d
288:y
285:d
278:,
275:1
272:=
269:)
266:0
263:(
260:y
241:,
238:0
235:=
230:3
226:y
219:+
216:y
213:+
205:2
201:t
197:d
192:y
187:2
183:d
145:4
142:1
137:=
114:)
108:(
103:O
31:.
20:)
Text is available under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License. Additional terms may apply.
