1553:
1114:
1173:
907:
922:
2238:
503:
1548:{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {a}{p}}=_{b}\\&\Rightarrow {\frac {a}{p}}b^{\ell }=_{b}\\&\Rightarrow {\frac {a}{p}}b^{\ell }=N+_{b}=N+{\frac {a}{p}}\\&\Rightarrow {\frac {a}{p}}={\frac {N}{b^{\ell }-1}}\end{aligned}}}
213:
1109:{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{19}}=0.{\overline {076{\mathcal {E}}45}}_{12}\\&076_{12}+{\mathcal {E}}45_{12}={\mathcal {EEE}}_{12}\\&07_{12}+6{\mathcal {E}}_{12}+45_{12}={\mathcal {EE}}_{12}\end{aligned}}}
755:
2420:
439:
2606:
2513:
1178:
600:
927:
760:
370:
3208:
718:
1770:
1876:
2007:
3082:
2810:
2002:
644:
1940:
2697:
3118:
3017:
2982:
2893:
445:
2936:
275:
101:
902:{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{19}}=0.{\overline {032745}}_{8}\\&032_{8}+745_{8}=777_{8}\\&03_{8}+27_{8}+45_{8}=77_{8}.\end{aligned}}}
2289:
381:
2519:
2426:
562:
80:
281:
3126:
655:
1708:
728:
Midy's theorem and its extension do not depend on special properties of the decimal expansion, but work equally well in any
1821:
3361:
2233:{\displaystyle {\begin{aligned}N_{h-1}&=_{b}\\N_{h-2}&=_{b}\\&{}\ \ \vdots \\N_{0}&=_{b}\end{aligned}}}
3306:
E. Midy, "De
Quelques Propriétés des Nombres et des Fractions Décimales Périodiques". College of Nantes, France: 1836.
3024:
2741:
3366:
611:
1887:
219:
2650:
3090:
2989:
2945:
2839:
498:{\displaystyle {\frac {1}{17}}=0.{\overline {0588235294117647}}{\text{ and }}05882352+94117647=99999999.}
2909:
228:
3371:
605:
has a period of 18. Dividing the repeating portion into 6-digit numbers and summing them gives
39:
729:
208:{\displaystyle {\frac {a}{p}}=0.{\overline {a_{1}a_{2}a_{3}\dots a_{n}a_{n+1}\dots a_{2n}}}}
3320:
3301:
3262:
8:
649:
Similarly, dividing the repeating portion into 3-digit numbers and summing them gives
3250:
1133:
1129:
3334:
66:
35:
3242:
3337:
3276:
3317:
3309:
3298:
3258:
2415:{\displaystyle N=\sum _{i=0}^{h-1}N_{i}b^{ik}=\sum _{i=0}^{h-1}N_{i}(b^{k})^{i}}
434:{\displaystyle {\frac {1}{13}}=0.{\overline {076923}}{\text{ and }}076+923=999.}
16:
On decimal expansions of fractions with prime denominator and even repeat period
3230:
3355:
31:
2601:{\displaystyle \Rightarrow \sum _{i=0}^{h-1}N_{i}\equiv 0{\pmod {b^{k}-1}}}
2508:{\displaystyle \Rightarrow N\equiv \sum _{i=0}^{h-1}N_{i}{\pmod {b^{k}-1}}}
1125:
537:
is again a prime)), then Midy's theorem can be generalised as follows. The
218:
then the digits in the second half of the repeating decimal period are the
54:
3295:
The
Enjoyment of Mathematics: Selections from Mathematics for the Amateur
70:
20:
553:-digit numbers, then their sum is a multiple of 10 − 1.
3254:
913:
3342:
3297:. Princeton, NJ: Princeton University Press, pp. 158–160, 1957.
3246:
2618:
To prove the original Midy's theorem, take the special case where
595:{\displaystyle {\frac {1}{19}}=0.{\overline {052631578947368421}}}
525:
is the number of digits of the period of the decimal expansion of
541:
states that if the repeating portion of the decimal expansion of
916:(using inverted two and three for ten and eleven, respectively)
1124:
Short proofs of Midy's theorem can be given using results from
222:
of the corresponding digits in its first half. In other words,
28:
1091:
1023:
1020:
365:{\displaystyle a_{1}\dots a_{n}+a_{n+1}\dots a_{2n}=10^{n}-1.}
3203:{\displaystyle b^{2\ell /3}+b^{\ell /3}+1\equiv 0{\pmod {p}}}
1128:. However, it is also possible to prove Midy's theorem using
747:
3332:
75:
713:{\displaystyle 052+631+578+947+368+421=2997=3\times 999.}
1151:
be a fraction between 0 and 1. Suppose the expansion of
1765:{\displaystyle {\frac {a}{p}}={\frac {N}{m(b^{k}-1)}}.}
3129:
3093:
3027:
2992:
2948:
2912:
2842:
2744:
2653:
2522:
2429:
2292:
2005:
1890:
1824:
1711:
1176:
925:
758:
658:
614:
565:
448:
384:
284:
231:
104:
1871:{\displaystyle {\frac {am}{p}}={\frac {N}{b^{k}-1}}}
739: − 1 and carry out addition in base
3241:(6). Mathematical Association of America: 669–673.
3202:
3112:
3076:
3011:
2976:
2930:
2887:
2804:
2691:
2600:
2507:
2414:
2232:
1934:
1870:
1764:
1547:
1108:
901:
735:, provided we replace 10 − 1 with
712:
638:
594:
497:
433:
364:
269:
207:
83:). If the period of the decimal representation of
3353:
3077:{\displaystyle b^{\ell /2}+1\equiv 0{\pmod {p}}}
723:
1666: − 1. (To see this, substitute
2805:{\displaystyle 0<N_{0}+N_{1}<2(b^{k}-1)}
2611:which proves Midy's extended theorem in base
1631:, because otherwise the repeating period of
639:{\displaystyle 052631+578947+368421=999999.}
1935:{\displaystyle N\equiv 0{\pmod {b^{k}-1}}.}
1119:
508:
2243:To prove Midy's extended theorem in base
2692:{\displaystyle 0\leq N_{i}\leq b^{k}-1.}
3228:
1975:, and let these represent the integers
1562:is the integer whose expansion in base
3354:
3312:"Repeating decimals: a period piece".
2833: − 1, it follows that
1779: − 1 is a multiple of
1662: − 1 is a multiple of
1595: − 1 is a multiple of
3333:
3113:{\displaystyle k={\frac {\ell }{3}}}
3012:{\displaystyle k={\frac {\ell }{2}}}
2977:{\displaystyle m\equiv 0{\pmod {p}}}
2888:{\displaystyle N_{0}+N_{1}=b^{k}-1.}
1686: − 1 is a factor of
3192:
3066:
2966:
2636:are both represented by strings of
2577:
2484:
2279:will also be congruent to 1 modulo
2275: − 1, any power of
1908:
13:
1088:
1058:
1017:
996:
956:
34:E. Midy, is a statement about the
14:
3383:
3326:
3235:The American Mathematical Monthly
3231:"A Theorem on Repeating Decimals"
3229:Leavitt, William G. (June 1967).
2247:we must show that the sum of the
3293:Rademacher, H. and Toeplitz, O.
2727: − 1 (otherwise
3185:
3059:
2959:
2931:{\displaystyle {\frac {am}{p}}}
2715:cannot both equal 0 (otherwise
2570:
2477:
1901:
1881:is an integer. In other words,
270:{\displaystyle a_{i}+a_{i+n}=9}
3269:
3222:
3196:
3186:
3070:
3060:
2970:
2960:
2799:
2780:
2594:
2571:
2523:
2501:
2478:
2430:
2403:
2389:
2217:
2178:
2132:
2096:
2060:
2033:
1925:
1902:
1753:
1734:
1500:
1465:
1416:
1384:
1368:
1286:
1260:
1244:
1195:
1:
3287:
724:Midy's theorem in other bases
2898:
1694: − 1 =
1690: − 1. ) Say
1459:
1362:
1238:
965:
786:
587:
470:
406:
200:
7:
2723:= 0) and cannot both equal
10:
3388:
1702: − 1), so
3362:Theorems in number theory
3316:83 (2010), no. 1, 33–45.
2283: − 1. So
2271:is congruent to 1 modulo
3216:
1787: − 1 is
3367:Fractions (mathematics)
3278:Extended Midy's Theorem
1120:Proof of Midy's theorem
539:extended Midy's theorem
509:Extended Midy's theorem
3204:
3114:
3078:
3013:
2978:
2932:
2889:
2806:
2693:
2602:
2552:
2509:
2465:
2416:
2378:
2325:
2264: − 1.
2234:
1971:equal parts of length
1936:
1872:
1811:must be a multiple of
1766:
1549:
1110:
903:
714:
640:
596:
499:
435:
366:
271:
209:
3205:
3115:
3079:
3014:
2979:
2933:
2890:
2807:
2694:
2603:
2526:
2510:
2439:
2417:
2352:
2299:
2235:
1945:Now split the string
1937:
1873:
1767:
1603: − 1)
1550:
1111:
904:
715:
641:
597:
500:
436:
367:
272:
210:
3127:
3091:
3025:
2990:
2946:
2910:
2840:
2742:
2651:
2520:
2427:
2290:
2003:
1990: − 1
1888:
1822:
1709:
1611:is an integer. Also
1174:
923:
756:
656:
612:
563:
446:
382:
282:
229:
102:
3275:Bassam Abdul-Baki,
1643:would be less than
3335:Weisstein, Eric W.
3200:
3120:and is an integer
3110:
3074:
3009:
2974:
2928:
2885:
2802:
2689:
2598:
2505:
2412:
2230:
2228:
1932:
1868:
1762:
1545:
1543:
1134:modular arithmetic
1130:elementary algebra
1106:
1104:
899:
897:
710:
636:
592:
585:052631578947368421
517:is any divisor of
495:
431:
362:
267:
205:
69:expansion with an
3108:
3007:
2926:
2829:is a multiple of
2260:is a multiple of
2153:
2150:
1866:
1838:
1757:
1720:
1650:Now suppose that
1623:for any value of
1539:
1511:
1491:
1462:
1395:
1365:
1271:
1241:
1190:
968:
939:
789:
772:
590:
574:
478:
473:
457:
414:
409:
393:
203:
113:
73:period (sequence
67:repeating decimal
36:decimal expansion
3379:
3348:
3347:
3338:"Midy's Theorem"
3310:Ross, Kenneth A.
3282:
3273:
3267:
3266:
3226:
3209:
3207:
3206:
3201:
3199:
3171:
3170:
3166:
3150:
3149:
3145:
3119:
3117:
3116:
3111:
3109:
3101:
3083:
3081:
3080:
3075:
3073:
3045:
3044:
3040:
3018:
3016:
3015:
3010:
3008:
3000:
2983:
2981:
2980:
2975:
2973:
2937:
2935:
2934:
2929:
2927:
2922:
2914:
2903:From the above,
2894:
2892:
2891:
2886:
2878:
2877:
2865:
2864:
2852:
2851:
2811:
2809:
2808:
2803:
2792:
2791:
2773:
2772:
2760:
2759:
2698:
2696:
2695:
2690:
2682:
2681:
2669:
2668:
2644:so both satisfy
2607:
2605:
2604:
2599:
2597:
2587:
2586:
2562:
2561:
2551:
2540:
2514:
2512:
2511:
2506:
2504:
2494:
2493:
2475:
2474:
2464:
2453:
2421:
2419:
2418:
2413:
2411:
2410:
2401:
2400:
2388:
2387:
2377:
2366:
2348:
2347:
2335:
2334:
2324:
2313:
2239:
2237:
2236:
2231:
2229:
2225:
2224:
2215:
2214:
2202:
2201:
2170:
2169:
2151:
2148:
2147:
2144:
2140:
2139:
2130:
2129:
2114:
2113:
2088:
2087:
2068:
2067:
2058:
2057:
2045:
2044:
2025:
2024:
1941:
1939:
1938:
1933:
1928:
1918:
1917:
1877:
1875:
1874:
1869:
1867:
1865:
1858:
1857:
1844:
1839:
1834:
1826:
1771:
1769:
1768:
1763:
1758:
1756:
1746:
1745:
1726:
1721:
1713:
1554:
1552:
1551:
1546:
1544:
1540:
1538:
1531:
1530:
1517:
1512:
1504:
1496:
1492:
1484:
1473:
1472:
1463:
1458:
1457:
1456:
1444:
1443:
1434:
1433:
1423:
1406:
1405:
1396:
1388:
1380:
1376:
1375:
1366:
1361:
1360:
1359:
1347:
1346:
1337:
1336:
1326:
1321:
1320:
1308:
1307:
1298:
1297:
1282:
1281:
1272:
1264:
1256:
1252:
1251:
1242:
1237:
1236:
1235:
1223:
1222:
1213:
1212:
1202:
1191:
1183:
1180:
1163:has a period of
1115:
1113:
1112:
1107:
1105:
1101:
1100:
1095:
1094:
1081:
1080:
1068:
1067:
1062:
1061:
1048:
1047:
1037:
1033:
1032:
1027:
1026:
1010:
1009:
1000:
999:
990:
989:
979:
975:
974:
969:
964:
960:
959:
949:
940:
932:
929:
908:
906:
905:
900:
898:
891:
890:
878:
877:
865:
864:
852:
851:
841:
837:
836:
824:
823:
811:
810:
800:
796:
795:
790:
782:
773:
765:
762:
746:For example, in
719:
717:
716:
711:
645:
643:
642:
637:
601:
599:
598:
593:
591:
583:
575:
567:
556:For example,
549:is divided into
504:
502:
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