2398:
2391:
557:
567:
573:
819:
39:—a natural transformation and a morphism that preserve monoidal multiplication and unit, respectively. Mathematicians require these coherence maps to satisfy additional properties depending on how strictly they want to preserve the monoidal structure; each of these properties gives rise to a slightly different definition of monoidal functors
2964:
1838:
940:
2717:
2158:
3054:
1635:
1527:
1974:
1370:
1276:
2397:
2317:
397:
2390:
1024:
2542:
2809:
453:
2269:
2218:
177:
126:
1715:
350:
1698:
1188:
2611:
272:
1090:
847:
633:
2616:
2446:
1979:
740:
810:
681:
657:
601:
549:
229:
205:
35:
which preserve the monoidal structure. More specifically, a monoidal functor between two monoidal categories consists of a functor between the categories, along with two
1050:
778:
2975:
1419:
2801:
2769:
1110:
3078:
2737:
2562:
2470:
1390:
1133:
525:
505:
485:
1532:
1424:
1849:
696:; it is a monoidal functor whose coherence maps are reversed. Comonoidal functors may also be called opmonoidal, colax monoidal, or oplax monoidal functors.
1281:
1193:
1708:-dimensional manifolds with tensor product given by disjoint union, and unit the empty manifold. A topological quantum field theory in dimension
3091:
Similarly, a right adjoint to a comonoidal functor is monoidal, and the right adjoint of a comonoidal adjunction is a strong monoidal functor.
2278:
358:
945:
2475:
2959:{\displaystyle m_{A,B}=\varepsilon _{FA\bullet FB}\circ Fn_{FA,FB}\circ F(\eta _{A}\otimes \eta _{B}):F(A\otimes B)\to FA\bullet FB}
1833:{\displaystyle F\colon (\mathbf {Bord} _{\langle n-1,n\rangle },\sqcup ,\emptyset )\rightarrow (\mathbf {kVect} ,\otimes _{k},k).}
405:
2223:
2172:
131:
80:
283:
3194:
3165:
1647:
1138:
935:{\displaystyle U\colon (\mathbf {Ab} ,\otimes _{\mathbf {Z} },\mathbf {Z} )\rightarrow (\mathbf {Set} ,\times ,\{\ast \})}
2576:
237:
3225:
1055:
1641:
3100:
3081:
3276:
2712:{\displaystyle (G,n):({\mathcal {D}},\bullet ,I_{\mathcal {D}})\to ({\mathcal {C}},\otimes ,I_{\mathcal {C}})}
831:
606:
3332:
65:
Although we distinguish between these different definitions here, authors may call any one of these simply
2153:{\displaystyle H_{\ast }(C_{1})\otimes H_{\ast }(C_{2})\to H_{\ast }(C_{1}\otimes C_{2}),\otimes \mapsto }
757:
2413:
3291:
2272:
706:
791:
662:
638:
582:
530:
210:
186:
1029:
3218:
3049:{\displaystyle m=\varepsilon _{I_{\mathcal {D}}}\circ Fn:FI_{\mathcal {C}}\to I_{\mathcal {D}}}
2364:
1843:
275:
3176:
3306:
3088:; conversely, the left adjoint of a monoidal adjunction is always a strong monoidal functor.
763:
1398:
3256:
2774:
2742:
1095:
8:
3085:
1630:{\displaystyle (R{\mathsf {-mod}},\otimes _{R},R)\to (S{\mathsf {-mod}},\otimes _{S},S)}
1522:{\displaystyle (S{\mathsf {-mod}},\otimes _{S},S)\to (R{\mathsf {-mod}},\otimes _{R},R)}
3063:
2722:
2547:
2455:
1375:
1118:
510:
490:
470:
1969:{\displaystyle (Ch(R{\mathsf {-mod}}),\otimes ,R)\to (grR{\mathsf {-mod}},\otimes ,R)}
3286:
3211:
3190:
3161:
1365:{\displaystyle ({\mathsf {Set}},\times ,\{\ast \})\to (R{\mathsf {-mod}},\otimes ,R)}
1271:{\displaystyle ({\mathsf {Set}},\sqcup ,\emptyset )\to (R{\mathsf {-mod}},\oplus ,0)}
32:
942:
from the category of abelian groups to the category of sets. In this case, the map
3271:
3266:
3251:
3246:
3182:
3153:
556:
1640:
An important example of a symmetric monoidal functor is the mathematical model of
566:
3296:
3261:
572:
20:
3311:
3186:
2319:(we drop the subscripts for readability), there is an alternative formulation
818:
3326:
3281:
2449:
3152:. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 420. Springer. pp. 257–280.
3157:
2312:{\displaystyle \Rightarrow _{\mathcal {C}},\Rightarrow _{\mathcal {D}}}
47:
satisfy no additional properties; they are not necessarily invertible.
1701:
1421:
is a homomorphism of commutative rings, then the restriction functor
780:) such that the following diagram commutes for every pair of objects
392:{\displaystyle {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}
1019:{\displaystyle \phi _{A,B}\colon U(A)\times U(B)\to U(A\otimes B)}
3234:
2537:{\displaystyle (FM,F\mu \circ \phi _{M,M},F\epsilon \circ \phi )}
232:
231:(which may also just be called a monoidal functor) consists of a
28:
3203:
603:. Above, the various natural transformations denoted using
830:
is a braided monoidal functor whose domain and codomain are
448:{\displaystyle \phi :I_{\mathcal {D}}\to FI_{\mathcal {C}}}
3080:
is strong, then the unit and counit of the adjunction are
2264:{\displaystyle ({\mathcal {D}},\bullet ,I_{\mathcal {D}})}
2213:{\displaystyle ({\mathcal {C}},\otimes ,I_{\mathcal {C}})}
749:
is a monoidal functor whose coherence maps are identities.
172:{\displaystyle ({\mathcal {D}},\bullet ,I_{\mathcal {D}})}
121:{\displaystyle ({\mathcal {C}},\otimes ,I_{\mathcal {C}})}
345:{\displaystyle \phi _{A,B}:FA\bullet FB\to F(A\otimes B)}
1693:{\displaystyle \mathbf {Bord} _{\langle n-1,n\rangle }}
2385:
is illustrated in the following commutative diagrams:
3066:
2978:
2812:
2777:
2745:
2725:
2619:
2579:
2550:
2478:
2458:
2416:
2281:
2226:
2175:
1982:
1852:
1718:
1650:
1535:
1427:
1401:
1378:
1284:
1196:
1183:{\displaystyle {\mathsf {Set}},\to R{\mathsf {-mod}}}
1141:
1121:
1098:
1058:
1032:
948:
850:
794:
766:
709:
665:
641:
609:
585:
533:
513:
493:
473:
408:
361:
286:
240:
213:
189:
134:
83:
2568:
3072:
3048:
2958:
2795:
2763:
2731:
2711:
2606:{\displaystyle F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}
2605:
2556:
2536:
2464:
2440:
2311:
2263:
2212:
2152:
1968:
1832:
1692:
1629:
1521:
1413:
1384:
1364:
1270:
1182:
1127:
1104:
1084:
1044:
1018:
934:
804:
772:
734:
675:
651:
627:
595:
543:
519:
499:
479:
447:
391:
344:
267:{\displaystyle F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}
266:
223:
199:
171:
120:
1085:{\displaystyle \phi \colon \{*\}\to \mathbb {Z} }
3324:
1135:is a (commutative) ring, then the free functor
3148:Kelly, G. Max (1974). "Doctrinal adjunction".
467:, which are such that for every three objects
3219:
1762:
1744:
1685:
1667:
1316:
1310:
1071:
1065:
926:
920:
703:is a monoidal functor whose coherence maps
3226:
3212:
1078:
3174:
3131:
3119:
1190:extends to a strongly monoidal functor
635:are parts of the monoidal structure on
3325:
1937:
1934:
1931:
1928:
1879:
1876:
1873:
1870:
1600:
1597:
1594:
1591:
1553:
1550:
1547:
1544:
1529:is monoidal and the induction functor
1492:
1489:
1486:
1483:
1445:
1442:
1439:
1436:
1342:
1339:
1336:
1333:
1296:
1293:
1290:
1248:
1245:
1242:
1239:
1208:
1205:
1202:
1175:
1172:
1169:
1166:
1150:
1147:
1144:
628:{\displaystyle \alpha ,\rho ,\lambda }
3207:
3147:
3084:, and the adjunction is said to be a
2164:
692:The dual of a monoidal functor is a
3106:
13:
3040:
3025:
2996:
2700:
2680:
2663:
2643:
2598:
2588:
2441:{\displaystyle (M,\mu ,\epsilon )}
2303:
2288:
2252:
2232:
2201:
2181:
1776:
1222:
797:
668:
644:
588:
536:
439:
421:
384:
374:
364:
259:
249:
216:
192:
160:
140:
109:
89:
14:
3344:
3233:
2569:Monoidal functors and adjunctions
735:{\displaystyle \phi _{A,B},\phi }
3082:monoidal natural transformations
2396:
2389:
1801:
1798:
1795:
1792:
1789:
1739:
1736:
1733:
1730:
1712:is a symmetric monoidal functor
1662:
1659:
1656:
1653:
1642:topological quantum field theory
907:
904:
901:
887:
877:
864:
861:
817:
571:
565:
555:
3101:Monoidal natural transformation
3125:
3113:
3031:
2938:
2935:
2923:
2914:
2888:
2790:
2778:
2758:
2746:
2706:
2675:
2672:
2669:
2638:
2632:
2620:
2613:is left adjoint to a monoidal
2593:
2531:
2479:
2435:
2417:
2298:
2283:
2258:
2227:
2207:
2176:
2147:
2121:
2118:
2115:
2102:
2096:
2083:
2077:
2051:
2038:
2035:
2022:
2006:
1993:
1963:
1960:
1954:
1914:
1911:
1908:
1905:
1899:
1884:
1862:
1853:
1824:
1785:
1782:
1779:
1725:
1624:
1583:
1580:
1577:
1536:
1516:
1475:
1472:
1469:
1428:
1405:
1359:
1325:
1322:
1319:
1285:
1265:
1231:
1228:
1225:
1197:
1158:
1074:
1013:
1001:
995:
992:
986:
977:
971:
929:
897:
894:
891:
857:
805:{\displaystyle {\mathcal {C}}}
756:is a monoidal functor between
676:{\displaystyle {\mathcal {D}}}
652:{\displaystyle {\mathcal {C}}}
596:{\displaystyle {\mathcal {D}}}
570: and
544:{\displaystyle {\mathcal {C}}}
427:
379:
339:
327:
321:
254:
224:{\displaystyle {\mathcal {D}}}
200:{\displaystyle {\mathcal {C}}}
166:
135:
115:
84:
1:
3141:
2404:
832:symmetric monoidal categories
72:
3060:If the induced structure on
7:
3094:
2739:has a comonoidal structure
2275:with internal hom-functors
838:
758:braided monoidal categories
686:
179:be monoidal categories. A
10:
3349:
3187:10.1142/9789811286018_0005
2273:closed monoidal categories
1045:{\displaystyle a\otimes b}
828:symmetric monoidal functor
16:Concept in category theory
3242:
3178:Starting Category Theory
760:(with braidings denoted
754:braided monoidal functor
579:commute in the category
59:strict monoidal functors
52:strong monoidal functors
3175:Perrone, Paolo (2024).
2573:Suppose that a functor
2367:. The relation between
1846:functor is monoidal as
844:The underlying functor
773:{\displaystyle \gamma }
747:strict monoidal functor
701:strong monoidal functor
3277:Essentially surjective
3074:
3050:
2960:
2797:
2765:
2733:
2713:
2607:
2558:
2544:is a monoid object in
2538:
2466:
2442:
2365:functional programming
2313:
2265:
2214:
2154:
1970:
1834:
1694:
1631:
1523:
1415:
1414:{\displaystyle R\to S}
1386:
1366:
1272:
1184:
1129:
1106:
1086:
1046:
1020:
936:
806:
774:
736:
677:
653:
629:
597:
545:
521:
501:
481:
449:
393:
346:
276:natural transformation
268:
225:
201:
173:
122:
57:The coherence maps of
50:The coherence maps of
43:The coherence maps of
3075:
3051:
2961:
2798:
2796:{\displaystyle (G,n)}
2766:
2764:{\displaystyle (F,m)}
2734:
2714:
2608:
2559:
2539:
2467:
2443:
2314:
2266:
2215:
2155:
1971:
1835:
1695:
1637:is strongly monoidal.
1632:
1524:
1416:
1387:
1367:
1273:
1185:
1130:
1107:
1105:{\displaystyle \ast }
1087:
1047:
1021:
937:
807:
775:
737:
678:
654:
630:
598:
546:
522:
502:
482:
450:
394:
347:
269:
226:
202:
174:
123:
45:lax monoidal functors
3181:. World Scientific.
3064:
2976:
2810:
2775:
2743:
2723:
2617:
2577:
2548:
2476:
2456:
2414:
2279:
2224:
2173:
1980:
1850:
1716:
1648:
1533:
1425:
1399:
1376:
1282:
1194:
1139:
1119:
1096:
1056:
1030:
946:
848:
792:
764:
707:
663:
639:
607:
583:
531:
511:
491:
471:
406:
359:
284:
238:
211:
187:
181:lax monoidal functor
132:
81:
3333:Monoidal categories
3086:monoidal adjunction
1700:be the category of
465:structure morphisms
33:monoidal categories
3158:10.1007/BFb0063105
3134:, pp. 367–368
3122:, pp. 360–364
3070:
3046:
2956:
2793:
2761:
2729:
2709:
2603:
2554:
2534:
2462:
2438:
2309:
2261:
2210:
2150:
1966:
1830:
1690:
1627:
1519:
1411:
1382:
1362:
1268:
1180:
1125:
1102:
1082:
1042:
1016:
932:
802:
770:
732:
694:comonoidal functor
673:
649:
625:
593:
541:
517:
497:
477:
445:
389:
342:
264:
221:
197:
169:
118:
61:are identity maps.
3320:
3319:
3292:Full and faithful
3196:978-981-12-8600-1
3167:978-3-540-37270-7
3073:{\displaystyle F}
2732:{\displaystyle F}
2557:{\displaystyle D}
2465:{\displaystyle C}
2363:commonly used in
2165:Alternate notions
1385:{\displaystyle R}
1128:{\displaystyle R}
520:{\displaystyle C}
500:{\displaystyle B}
480:{\displaystyle A}
355:between functors
67:monoidal functors
25:monoidal functors
3340:
3228:
3221:
3214:
3205:
3204:
3200:
3171:
3150:Category Seminar
3135:
3129:
3123:
3117:
3107:Inline citations
3079:
3077:
3076:
3071:
3055:
3053:
3052:
3047:
3045:
3044:
3043:
3030:
3029:
3028:
3003:
3002:
3001:
3000:
2999:
2965:
2963:
2962:
2957:
2913:
2912:
2900:
2899:
2881:
2880:
2853:
2852:
2828:
2827:
2802:
2800:
2799:
2794:
2770:
2768:
2767:
2762:
2738:
2736:
2735:
2730:
2718:
2716:
2715:
2710:
2705:
2704:
2703:
2684:
2683:
2668:
2667:
2666:
2647:
2646:
2612:
2610:
2609:
2604:
2602:
2601:
2592:
2591:
2563:
2561:
2560:
2555:
2543:
2541:
2540:
2535:
2515:
2514:
2471:
2469:
2468:
2463:
2447:
2445:
2444:
2439:
2400:
2393:
2318:
2316:
2315:
2310:
2308:
2307:
2306:
2293:
2292:
2291:
2270:
2268:
2267:
2262:
2257:
2256:
2255:
2236:
2235:
2219:
2217:
2216:
2211:
2206:
2205:
2204:
2185:
2184:
2159:
2157:
2156:
2151:
2146:
2145:
2133:
2132:
2114:
2113:
2095:
2094:
2076:
2075:
2063:
2062:
2050:
2049:
2034:
2033:
2021:
2020:
2005:
2004:
1992:
1991:
1975:
1973:
1972:
1967:
1941:
1940:
1883:
1882:
1839:
1837:
1836:
1831:
1817:
1816:
1804:
1766:
1765:
1742:
1699:
1697:
1696:
1691:
1689:
1688:
1665:
1636:
1634:
1633:
1628:
1617:
1616:
1604:
1603:
1570:
1569:
1557:
1556:
1528:
1526:
1525:
1520:
1509:
1508:
1496:
1495:
1462:
1461:
1449:
1448:
1420:
1418:
1417:
1412:
1392:is commutative).
1391:
1389:
1388:
1383:
1371:
1369:
1368:
1363:
1346:
1345:
1300:
1299:
1277:
1275:
1274:
1269:
1252:
1251:
1212:
1211:
1189:
1187:
1186:
1181:
1179:
1178:
1154:
1153:
1134:
1132:
1131:
1126:
1111:
1109:
1108:
1103:
1091:
1089:
1088:
1083:
1081:
1051:
1049:
1048:
1043:
1026:sends (a, b) to
1025:
1023:
1022:
1017:
964:
963:
941:
939:
938:
933:
910:
890:
882:
881:
880:
867:
821:
811:
809:
808:
803:
801:
800:
779:
777:
776:
771:
741:
739:
738:
733:
725:
724:
682:
680:
679:
674:
672:
671:
658:
656:
655:
650:
648:
647:
634:
632:
631:
626:
602:
600:
599:
594:
592:
591:
575:
569:
559:
550:
548:
547:
542:
540:
539:
526:
524:
523:
518:
506:
504:
503:
498:
486:
484:
483:
478:
454:
452:
451:
446:
444:
443:
442:
426:
425:
424:
398:
396:
395:
390:
388:
387:
378:
377:
368:
367:
351:
349:
348:
343:
302:
301:
274:together with a
273:
271:
270:
265:
263:
262:
253:
252:
230:
228:
227:
222:
220:
219:
206:
204:
203:
198:
196:
195:
178:
176:
175:
170:
165:
164:
163:
144:
143:
127:
125:
124:
119:
114:
113:
112:
93:
92:
3348:
3347:
3343:
3342:
3341:
3339:
3338:
3337:
3323:
3322:
3321:
3316:
3238:
3232:
3197:
3168:
3144:
3139:
3138:
3130:
3126:
3118:
3114:
3109:
3097:
3065:
3062:
3061:
3039:
3038:
3034:
3024:
3023:
3019:
2995:
2994:
2990:
2989:
2985:
2977:
2974:
2973:
2908:
2904:
2895:
2891:
2864:
2860:
2836:
2832:
2817:
2813:
2811:
2808:
2807:
2776:
2773:
2772:
2744:
2741:
2740:
2724:
2721:
2720:
2699:
2698:
2694:
2679:
2678:
2662:
2661:
2657:
2642:
2641:
2618:
2615:
2614:
2597:
2596:
2587:
2586:
2578:
2575:
2574:
2571:
2549:
2546:
2545:
2504:
2500:
2477:
2474:
2473:
2457:
2454:
2453:
2415:
2412:
2411:
2407:
2384:
2375:
2362:
2330:
2302:
2301:
2297:
2287:
2286:
2282:
2280:
2277:
2276:
2251:
2250:
2246:
2231:
2230:
2225:
2222:
2221:
2200:
2199:
2195:
2180:
2179:
2174:
2171:
2170:
2167:
2141:
2137:
2128:
2124:
2109:
2105:
2090:
2086:
2071:
2067:
2058:
2054:
2045:
2041:
2029:
2025:
2016:
2012:
2000:
1996:
1987:
1983:
1981:
1978:
1977:
1927:
1926:
1869:
1868:
1851:
1848:
1847:
1812:
1808:
1788:
1743:
1729:
1728:
1717:
1714:
1713:
1666:
1652:
1651:
1649:
1646:
1645:
1612:
1608:
1590:
1589:
1565:
1561:
1543:
1542:
1534:
1531:
1530:
1504:
1500:
1482:
1481:
1457:
1453:
1435:
1434:
1426:
1423:
1422:
1400:
1397:
1396:
1377:
1374:
1373:
1332:
1331:
1289:
1288:
1283:
1280:
1279:
1238:
1237:
1201:
1200:
1195:
1192:
1191:
1165:
1164:
1143:
1142:
1140:
1137:
1136:
1120:
1117:
1116:
1097:
1094:
1093:
1077:
1057:
1054:
1053:
1031:
1028:
1027:
953:
949:
947:
944:
943:
900:
886:
876:
875:
871:
860:
849:
846:
845:
841:
796:
795:
793:
790:
789:
765:
762:
761:
742:are invertible.
714:
710:
708:
705:
704:
689:
667:
666:
664:
661:
660:
643:
642:
640:
637:
636:
608:
605:
604:
587:
586:
584:
581:
580:
535:
534:
532:
529:
528:
512:
509:
508:
492:
489:
488:
472:
469:
468:
438:
437:
433:
420:
419:
415:
407:
404:
403:
399:and a morphism
383:
382:
373:
372:
363:
362:
360:
357:
356:
291:
287:
285:
282:
281:
258:
257:
248:
247:
239:
236:
235:
215:
214:
212:
209:
208:
191:
190:
188:
185:
184:
159:
158:
154:
139:
138:
133:
130:
129:
108:
107:
103:
88:
87:
82:
79:
78:
75:
54:are invertible.
21:category theory
17:
12:
11:
5:
3346:
3336:
3335:
3318:
3317:
3315:
3314:
3309:
3304:
3299:
3294:
3289:
3284:
3279:
3274:
3269:
3264:
3259:
3254:
3249:
3243:
3240:
3239:
3231:
3230:
3223:
3216:
3208:
3202:
3201:
3195:
3172:
3166:
3143:
3140:
3137:
3136:
3132:Perrone (2024)
3124:
3120:Perrone (2024)
3111:
3110:
3108:
3105:
3104:
3103:
3096:
3093:
3069:
3058:
3057:
3042:
3037:
3033:
3027:
3022:
3018:
3015:
3012:
3009:
3006:
2998:
2993:
2988:
2984:
2981:
2967:
2966:
2955:
2952:
2949:
2946:
2943:
2940:
2937:
2934:
2931:
2928:
2925:
2922:
2919:
2916:
2911:
2907:
2903:
2898:
2894:
2890:
2887:
2884:
2879:
2876:
2873:
2870:
2867:
2863:
2859:
2856:
2851:
2848:
2845:
2842:
2839:
2835:
2831:
2826:
2823:
2820:
2816:
2792:
2789:
2786:
2783:
2780:
2760:
2757:
2754:
2751:
2748:
2728:
2708:
2702:
2697:
2693:
2690:
2687:
2682:
2677:
2674:
2671:
2665:
2660:
2656:
2653:
2650:
2645:
2640:
2637:
2634:
2631:
2628:
2625:
2622:
2600:
2595:
2590:
2585:
2582:
2570:
2567:
2566:
2565:
2553:
2533:
2530:
2527:
2524:
2521:
2518:
2513:
2510:
2507:
2503:
2499:
2496:
2493:
2490:
2487:
2484:
2481:
2461:
2437:
2434:
2431:
2428:
2425:
2422:
2419:
2406:
2403:
2402:
2401:
2394:
2380:
2371:
2358:
2352:
2351:
2326:
2305:
2300:
2296:
2290:
2285:
2260:
2254:
2249:
2245:
2242:
2239:
2234:
2229:
2209:
2203:
2198:
2194:
2191:
2188:
2183:
2178:
2166:
2163:
2162:
2161:
2149:
2144:
2140:
2136:
2131:
2127:
2123:
2120:
2117:
2112:
2108:
2104:
2101:
2098:
2093:
2089:
2085:
2082:
2079:
2074:
2070:
2066:
2061:
2057:
2053:
2048:
2044:
2040:
2037:
2032:
2028:
2024:
2019:
2015:
2011:
2008:
2003:
1999:
1995:
1990:
1986:
1965:
1962:
1959:
1956:
1953:
1950:
1947:
1944:
1939:
1936:
1933:
1930:
1925:
1922:
1919:
1916:
1913:
1910:
1907:
1904:
1901:
1898:
1895:
1892:
1889:
1886:
1881:
1878:
1875:
1872:
1867:
1864:
1861:
1858:
1855:
1840:
1829:
1826:
1823:
1820:
1815:
1811:
1807:
1803:
1800:
1797:
1794:
1791:
1787:
1784:
1781:
1778:
1775:
1772:
1769:
1764:
1761:
1758:
1755:
1752:
1749:
1746:
1741:
1738:
1735:
1732:
1727:
1724:
1721:
1687:
1684:
1681:
1678:
1675:
1672:
1669:
1664:
1661:
1658:
1655:
1638:
1626:
1623:
1620:
1615:
1611:
1607:
1602:
1599:
1596:
1593:
1588:
1585:
1582:
1579:
1576:
1573:
1568:
1564:
1560:
1555:
1552:
1549:
1546:
1541:
1538:
1518:
1515:
1512:
1507:
1503:
1499:
1494:
1491:
1488:
1485:
1480:
1477:
1474:
1471:
1468:
1465:
1460:
1456:
1452:
1447:
1444:
1441:
1438:
1433:
1430:
1410:
1407:
1404:
1393:
1381:
1361:
1358:
1355:
1352:
1349:
1344:
1341:
1338:
1335:
1330:
1327:
1324:
1321:
1318:
1315:
1312:
1309:
1306:
1303:
1298:
1295:
1292:
1287:
1267:
1264:
1261:
1258:
1255:
1250:
1247:
1244:
1241:
1236:
1233:
1230:
1227:
1224:
1221:
1218:
1215:
1210:
1207:
1204:
1199:
1177:
1174:
1171:
1168:
1163:
1160:
1157:
1152:
1149:
1146:
1124:
1113:
1101:
1080:
1076:
1073:
1070:
1067:
1064:
1061:
1041:
1038:
1035:
1015:
1012:
1009:
1006:
1003:
1000:
997:
994:
991:
988:
985:
982:
979:
976:
973:
970:
967:
962:
959:
956:
952:
931:
928:
925:
922:
919:
916:
913:
909:
906:
903:
899:
896:
893:
889:
885:
879:
874:
870:
866:
863:
859:
856:
853:
840:
837:
836:
835:
823:
822:
814:
813:
799:
769:
750:
743:
731:
728:
723:
720:
717:
713:
697:
688:
685:
670:
646:
624:
621:
618:
615:
612:
590:
577:
576:
562:
561:
538:
516:
496:
476:
461:coherence maps
457:
456:
441:
436:
432:
429:
423:
418:
414:
411:
386:
381:
376:
371:
366:
353:
352:
341:
338:
335:
332:
329:
326:
323:
320:
317:
314:
311:
308:
305:
300:
297:
294:
290:
261:
256:
251:
246:
243:
218:
194:
168:
162:
157:
153:
150:
147:
142:
137:
117:
111:
106:
102:
99:
96:
91:
86:
74:
71:
63:
62:
55:
48:
37:coherence maps
15:
9:
6:
4:
3:
2:
3345:
3334:
3331:
3330:
3328:
3313:
3310:
3308:
3307:Representable
3305:
3303:
3300:
3298:
3295:
3293:
3290:
3288:
3285:
3283:
3280:
3278:
3275:
3273:
3270:
3268:
3265:
3263:
3260:
3258:
3255:
3253:
3250:
3248:
3245:
3244:
3241:
3236:
3229:
3224:
3222:
3217:
3215:
3210:
3209:
3206:
3198:
3192:
3188:
3184:
3180:
3179:
3173:
3169:
3163:
3159:
3155:
3151:
3146:
3145:
3133:
3128:
3121:
3116:
3112:
3102:
3099:
3098:
3092:
3089:
3087:
3083:
3067:
3035:
3020:
3016:
3013:
3010:
3007:
3004:
2991:
2986:
2982:
2979:
2972:
2971:
2970:
2953:
2950:
2947:
2944:
2941:
2932:
2929:
2926:
2920:
2917:
2909:
2905:
2901:
2896:
2892:
2885:
2882:
2877:
2874:
2871:
2868:
2865:
2861:
2857:
2854:
2849:
2846:
2843:
2840:
2837:
2833:
2829:
2824:
2821:
2818:
2814:
2806:
2805:
2804:
2803:, defined by
2787:
2784:
2781:
2755:
2752:
2749:
2726:
2695:
2691:
2688:
2685:
2658:
2654:
2651:
2648:
2635:
2629:
2626:
2623:
2583:
2580:
2551:
2528:
2525:
2522:
2519:
2516:
2511:
2508:
2505:
2501:
2497:
2494:
2491:
2488:
2485:
2482:
2459:
2451:
2450:monoid object
2432:
2429:
2426:
2423:
2420:
2409:
2408:
2399:
2395:
2392:
2388:
2387:
2386:
2383:
2379:
2374:
2370:
2366:
2361:
2357:
2350:
2346:
2342:
2338:
2334:
2329:
2325:
2322:
2321:
2320:
2294:
2274:
2247:
2243:
2240:
2237:
2196:
2192:
2189:
2186:
2142:
2138:
2134:
2129:
2125:
2110:
2106:
2099:
2091:
2087:
2080:
2072:
2068:
2064:
2059:
2055:
2046:
2042:
2030:
2026:
2017:
2013:
2009:
2001:
1997:
1988:
1984:
1957:
1951:
1948:
1945:
1942:
1923:
1920:
1917:
1902:
1896:
1893:
1890:
1887:
1865:
1859:
1856:
1845:
1841:
1827:
1821:
1818:
1813:
1809:
1805:
1773:
1770:
1767:
1759:
1756:
1753:
1750:
1747:
1722:
1719:
1711:
1707:
1703:
1682:
1679:
1676:
1673:
1670:
1643:
1639:
1621:
1618:
1613:
1609:
1605:
1586:
1574:
1571:
1566:
1562:
1558:
1539:
1513:
1510:
1505:
1501:
1497:
1478:
1466:
1463:
1458:
1454:
1450:
1431:
1408:
1402:
1394:
1379:
1356:
1353:
1350:
1347:
1328:
1313:
1307:
1304:
1301:
1262:
1259:
1256:
1253:
1234:
1219:
1216:
1213:
1161:
1155:
1122:
1114:
1099:
1068:
1062:
1059:
1039:
1036:
1033:
1010:
1007:
1004:
998:
989:
983:
980:
974:
968:
965:
960:
957:
954:
950:
923:
917:
914:
911:
883:
872:
868:
854:
851:
843:
842:
833:
829:
825:
824:
820:
816:
815:
787:
783:
767:
759:
755:
751:
748:
744:
729:
726:
721:
718:
715:
711:
702:
698:
695:
691:
690:
684:
622:
619:
616:
613:
610:
574:
568:
564:
563:
558:
554:
553:
552:
551:the diagrams
514:
494:
474:
466:
462:
434:
430:
416:
412:
409:
402:
401:
400:
369:
336:
333:
330:
324:
318:
315:
312:
309:
306:
303:
298:
295:
292:
288:
280:
279:
278:
277:
244:
241:
234:
182:
155:
151:
148:
145:
104:
100:
97:
94:
70:
68:
60:
56:
53:
49:
46:
42:
41:
40:
38:
34:
30:
26:
22:
3301:
3257:Conservative
3177:
3149:
3127:
3115:
3090:
3059:
2968:
2572:
2381:
2377:
2372:
2368:
2359:
2355:
2353:
2348:
2344:
2340:
2336:
2332:
2327:
2323:
2168:
1976:via the map
1709:
1705:
827:
785:
781:
753:
746:
700:
693:
578:
464:
460:
458:
354:
180:
76:
66:
64:
58:
51:
44:
36:
24:
18:
2771:induced by
459:called the
3142:References
2405:Properties
1702:cobordisms
1278:(and also
1052:; the map
73:Definition
3287:Forgetful
3032:→
3005:∘
2987:ε
2948:∙
2939:→
2930:⊗
2906:η
2902:⊗
2893:η
2883:∘
2855:∘
2844:∙
2834:ε
2689:⊗
2673:→
2652:∙
2594:→
2529:ϕ
2526:∘
2523:ϵ
2502:ϕ
2498:∘
2495:μ
2433:ϵ
2427:μ
2299:⇒
2284:⇒
2241:∙
2190:⊗
2135:⊗
2119:↦
2100:⊗
2065:⊗
2047:∗
2039:→
2018:∗
2010:⊗
1989:∗
1946:⊗
1929:−
1912:→
1891:⊗
1871:−
1810:⊗
1783:→
1777:∅
1771:⊔
1763:⟩
1751:−
1745:⟨
1723::
1686:⟩
1674:−
1668:⟨
1610:⊗
1592:−
1581:→
1563:⊗
1545:−
1502:⊗
1484:−
1473:→
1455:⊗
1437:−
1406:→
1351:⊗
1334:−
1323:→
1314:∗
1305:×
1257:⊕
1240:−
1229:→
1223:∅
1217:⊔
1167:−
1159:→
1100:∗
1075:→
1069:∗
1063::
1060:ϕ
1037:⊗
1008:⊗
996:→
981:×
966::
951:ϕ
924:∗
915:×
895:→
873:⊗
855::
768:γ
730:ϕ
712:ϕ
623:λ
617:ρ
611:α
428:→
410:ϕ
380:→
370:×
334:⊗
322:→
313:∙
289:ϕ
255:→
149:∙
98:⊗
3327:Category
3302:Monoidal
3272:Enriched
3267:Diagonal
3247:Additive
3095:See also
2331: :
1844:homology
839:Examples
687:Variants
31:between
29:functors
3297:Logical
3262:Derived
3252:Adjoint
3235:Functor
2719:. Then
2472:, then
812: :
233:functor
3312:Smooth
3193:
3164:
1644:. Let
1092:sends
3282:Exact
3237:types
2448:is a
1706:n-1,n
1112:to 1.
183:from
3191:ISBN
3162:ISBN
2969:and
2376:and
2343:) →
2271:are
2220:and
1842:The
659:and
507:and
128:and
77:Let
27:are
3183:doi
3154:doi
2452:in
2410:If
2354:of
2169:If
1704:of
1395:If
1372:if
1115:If
788:in
527:of
463:or
207:to
19:In
3329::
3189:.
3160:.
2382:AB
2373:AB
2360:AB
2349:FB
2347:⇒
2345:FA
2339:⇒
2328:AB
826:A
784:,
752:A
745:A
699:A
683:.
487:,
69:.
23:,
3227:e
3220:t
3213:v
3199:.
3185::
3170:.
3156::
3068:F
3056:.
3041:D
3036:I
3026:C
3021:I
3017:F
3014::
3011:n
3008:F
2997:D
2992:I
2983:=
2980:m
2954:B
2951:F
2945:A
2942:F
2936:)
2933:B
2927:A
2924:(
2921:F
2918::
2915:)
2910:B
2897:A
2889:(
2886:F
2878:B
2875:F
2872:,
2869:A
2866:F
2862:n
2858:F
2850:B
2847:F
2841:A
2838:F
2830:=
2825:B
2822:,
2819:A
2815:m
2791:)
2788:n
2785:,
2782:G
2779:(
2759:)
2756:m
2753:,
2750:F
2747:(
2727:F
2707:)
2701:C
2696:I
2692:,
2686:,
2681:C
2676:(
2670:)
2664:D
2659:I
2655:,
2649:,
2644:D
2639:(
2636::
2633:)
2630:n
2627:,
2624:G
2621:(
2599:D
2589:C
2584::
2581:F
2564:.
2552:D
2532:)
2520:F
2517:,
2512:M
2509:,
2506:M
2492:F
2489:,
2486:M
2483:F
2480:(
2460:C
2436:)
2430:,
2424:,
2421:M
2418:(
2378:φ
2369:ψ
2356:φ
2341:B
2337:A
2335:(
2333:F
2324:ψ
2304:D
2295:,
2289:C
2259:)
2253:D
2248:I
2244:,
2238:,
2233:D
2228:(
2208:)
2202:C
2197:I
2193:,
2187:,
2182:C
2177:(
2160:.
2148:]
2143:2
2139:x
2130:1
2126:x
2122:[
2116:]
2111:2
2107:x
2103:[
2097:]
2092:1
2088:x
2084:[
2081:,
2078:)
2073:2
2069:C
2060:1
2056:C
2052:(
2043:H
2036:)
2031:2
2027:C
2023:(
2014:H
2007:)
2002:1
1998:C
1994:(
1985:H
1964:)
1961:]
1958:0
1955:[
1952:R
1949:,
1943:,
1938:d
1935:o
1932:m
1924:R
1921:r
1918:g
1915:(
1909:)
1906:]
1903:0
1900:[
1897:R
1894:,
1888:,
1885:)
1880:d
1877:o
1874:m
1866:R
1863:(
1860:h
1857:C
1854:(
1828:.
1825:)
1822:k
1819:,
1814:k
1806:,
1802:t
1799:c
1796:e
1793:V
1790:k
1786:(
1780:)
1774:,
1768:,
1760:n
1757:,
1754:1
1748:n
1740:d
1737:r
1734:o
1731:B
1726:(
1720:F
1710:n
1683:n
1680:,
1677:1
1671:n
1663:d
1660:r
1657:o
1654:B
1625:)
1622:S
1619:,
1614:S
1606:,
1601:d
1598:o
1595:m
1587:S
1584:(
1578:)
1575:R
1572:,
1567:R
1559:,
1554:d
1551:o
1548:m
1540:R
1537:(
1517:)
1514:R
1511:,
1506:R
1498:,
1493:d
1490:o
1487:m
1479:R
1476:(
1470:)
1467:S
1464:,
1459:S
1451:,
1446:d
1443:o
1440:m
1432:S
1429:(
1409:S
1403:R
1380:R
1360:)
1357:R
1354:,
1348:,
1343:d
1340:o
1337:m
1329:R
1326:(
1320:)
1317:}
1311:{
1308:,
1302:,
1297:t
1294:e
1291:S
1286:(
1266:)
1263:0
1260:,
1254:,
1249:d
1246:o
1243:m
1235:R
1232:(
1226:)
1220:,
1214:,
1209:t
1206:e
1203:S
1198:(
1176:d
1173:o
1170:m
1162:R
1156:,
1151:t
1148:e
1145:S
1123:R
1079:Z
1072:}
1066:{
1040:b
1034:a
1014:)
1011:B
1005:A
1002:(
999:U
993:)
990:B
987:(
984:U
978:)
975:A
972:(
969:U
961:B
958:,
955:A
930:)
927:}
921:{
918:,
912:,
908:t
905:e
902:S
898:(
892:)
888:Z
884:,
878:Z
869:,
865:b
862:A
858:(
852:U
834:.
798:C
786:B
782:A
727:,
722:B
719:,
716:A
669:D
645:C
620:,
614:,
589:D
560:,
537:C
515:C
495:B
475:A
455:,
440:C
435:I
431:F
422:D
417:I
413::
385:D
375:C
365:C
340:)
337:B
331:A
328:(
325:F
319:B
316:F
310:A
307:F
304::
299:B
296:,
293:A
260:D
250:C
245::
242:F
217:D
193:C
167:)
161:D
156:I
152:,
146:,
141:D
136:(
116:)
110:C
105:I
101:,
95:,
90:C
85:(
Text is available under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License. Additional terms may apply.
