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5683:
1460:
45:
124:
6383:
6077:
5093:
to a canonical
Boolean, ie. an integer with a value of either 0 or 1 and no other. Although any integer other than 0 is logically true in C and 1 is not special in this regard, it is sometimes important to ensure that a canonical value is used, for example for printing or if the number is
4912:" or the negative sign since this is equivalent to taking the arithmetic negative value of the number) as it basically creates the opposite (negative value equivalent) or mathematical complement of the value (where both values are added together they create a whole).
5081:
Inverting the condition and reversing the outcomes produces code that is logically equivalent to the original code, i.e. will have identical results for any input (depending on the compiler used, the actual instructions performed by the computer may differ).
3736:
3939:
4588:
is false (classically) or refutable (intuitionistically) or etc.). Negation elimination states that anything follows from an absurdity. Sometimes negation elimination is formulated using a primitive absurdity sign
4284:
4179:
4117:
1480:
3468:
3407:
2886:
3129:, a proposition implies its double negation, but not conversely. This marks one important difference between classical and intuitionistic negation. Algebraically, classical negation is called an
3813:
3585:
2824:
5458:
Tettamanti, Marco; Manenti, Rosa; Della Rosa, Pasquale A.; Falini, Andrea; Perani, Daniela; Cappa, Stefano F.; Moro, Andrea (2008). "Negation in the brain: Modulating action representation".
4003:
3176:
3289:
3257:
3590:
823:
1250:
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1765:
1698:
1678:
1581:
1561:
1541:
4652:
follows an absurdity. Together with double negation elimination one may infer our originally formulated rule, namely that anything follows from an absurdity.
1487:
306:
3320:
As a result, in the propositional case, a sentence is classically provable if its double negation is intuitionistically provable. This result is known as
7233:
1744:
6112:
2311:
is notated in different ways, in various contexts of discussion and fields of application. The following table documents some of these variants:
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3839:
5627:
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7991:
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7251:
8318:
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6105:
1473:
4304:
There are a number of equivalent ways to formulate rules for negation. One usual way to formulate classical negation in a
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6438:
5512:
3741:
3513:
2786:
292:
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7256:
7247:
8459:
5620:
5341:
2783:: ¬ has higher precedence than ∧, ∧ higher than ∨, and ∨ higher than →. So for example,
7801:
8556:
8300:
7125:
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3262:
7861:
7554:
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6098:
5358:
5249:
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4525:). One obtains the rules for intuitionistic negation the same way but by excluding double negation elimination.
3731:{\displaystyle f(b_{1},b_{2},\dots ,b_{n})=a_{0}\oplus (a_{1}\land b_{1})\oplus \dots \oplus (a_{n}\land b_{n})}
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6482:
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6272:
921:
5882:
3010:
2201:, where contradictions are not necessarily false. In classical logic, we also get a further identity,
8888:
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7616:
7261:
7004:
6954:
6716:
6605:
6415:
4881:, which allows sometimes, when the compiler/interpreter is not able to optimize it, faster programs.
4861:. Some languages (C++, Perl, etc.) provide more than one operator for negation. A few languages like
2534:
2284:
2197:
is false, and while these ideas work in both classical and intuitionistic logic, they do not work in
1636:
1521:
1010:
24:
7290:
4915:
To get the absolute (positive equivalent) value of a given integer the following would work as the "
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5977:
5948:
5929:
5729:
4724:. Then negation introduction and elimination are just special cases of implication introduction (
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5872:
5818:
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means "a person x in all humans is mortal" or "all humans are mortal". The negation of it is
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5748:
5658:
5303:
Richard E. Ladner (January 1975). "The circuit value problem is log space complete for P".
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to signify negation occasionally surfaces in ordinary written speech, as computer-related
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of the operation, or it never makes a difference. Negation is a linear logical operator.
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5467:
5436:
5422:
5312:
5197:
5126:
4873:
for negation. Most modern languages allow the above statement to be shortened from
4798:
4754:
3818:
Another way to express this is that each variable always makes a difference in the
1405:
1282:
4528:
Negation introduction states that if an absurdity can be drawn as conclusion from
8788:
8778:
8732:
8715:
8670:
8632:
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6791:
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6651:
5507:
5451:
5375:
5182:
4299:
3831:
3504:
3046:
2780:
2292:
1724:
1701:
1390:
4057:(means "there exists"). The negation of one quantifier is the other quantifier (
8773:
8752:
8710:
8690:
8585:
8440:
8038:
8028:
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6193:
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5905:
5694:
5503:
5177:
5130:
4290:
in all humans who is not mortal", or "there exists someone who lives forever".
1728:
1400:
643:
5224:
8872:
8747:
8425:
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6309:
6043:
6039:
5652:
5605:
2194:
2113:
1814:
1415:
2890:
Here is a table that shows a commonly used precedence of logical operators.
2779:
As a way of reducing the number of necessary parentheses, one may introduce
8647:
8494:
8395:
8387:
8267:
8215:
8124:
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7177:
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6560:
6292:
6288:
6159:
5843:
5479:
4730:
2019:
Negation can be defined in terms of other logical operations. For example,
1215:
5316:
3934:{\displaystyle f(a_{1},\dots ,a_{n})=\neg f(\neg a_{1},\dots ,\neg a_{n})}
3049:, double negation, that is, the negation of the negation of a proposition
8757:
8637:
7816:
7806:
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83:
5538:
4746:"!vote" redirects here. For use of !votes in Knowledge discussions, see
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6741:
6507:
6462:
6457:
6232:
5752:
5408:
4822:
1433:
117:
8839:
8742:
7795:
7712:
7672:
7636:
7572:
7384:
7374:
7347:
7110:
6893:
6711:
6636:
6615:
6545:
6497:
6477:
6147:
5876:
5698:
5542:
5162:
4748:
Knowledge:Polling is not a substitute for discussion § Not-votes
1173:
8824:
8622:
7775:
7369:
6806:
6256:
6006:
5923:
5847:
5192:
5085:
In C (and some other languages descended from C), double negation (
4838:
8420:
7212:
6305:
5781:
5457:
5157:
5281:. The basics (1. publ ed.). London: Routledge. p. 57.
4919:" changes it from negative to positive (it is negative because "
4845:, and languages with an ALGOL- or BASIC-inspired syntax such as
4189:
is mortal" and the domain of x as the collection of all humans,
6214:
5416:
4866:
4037:(means "for all") and the other is the existential quantifier
7964:
7310:
7155:
6671:
6181:
5102:
4858:
4842:
4814:
4741:
4017:, there are two quantifiers, one is the universal quantifier
1872:(pronounced "not P") would then be false; and conversely, if
1501:
5559:"Table of truth for a NOT clause applied to an END sentence"
2291:, and intuitionistic negation to pseudocomplementation in a
4862:
4826:
4279:{\displaystyle \neg \forall xP(x)\equiv \exists x\neg P(x)}
4174:{\displaystyle \neg \exists xP(x)\equiv \forall x\neg P(x)}
4112:{\displaystyle \neg \forall xP(x)\equiv \exists x\neg P(x)}
123:
5446:
Wansing, Heinrich, 2001, "Negation", in Goble, Lou, ed.,
5301:
Used as makeshift in early typewriter publications, e.g.
4830:
3500:
3463:{\displaystyle \neg (P\land Q)\equiv (\neg P\lor \neg Q)}
3402:{\displaystyle \neg (P\lor Q)\equiv (\neg P\land \neg Q)}
5117:
which is used as a synonym for "no-clue" or "clueless".
2881:{\displaystyle (P\vee (Q\wedge (\neg R)))\rightarrow S.}
6437:
3259:. Composing that last implication with triple negation
1767:
is the proposition whose proofs are the refutations of
4734:). In this case one must also add as a primitive rule
6052:
6015:
5986:
5961:
5932:
5885:
5856:
5827:
5790:
5761:
5732:
5707:
5661:
5329:
5250:"Logic and Mathematical Statements - Worked Examples"
4789:/*...statements executed when r does NOT equal t...*/
4704:
4684:
4661:
4635:
4615:
4595:
4574:
4554:
4534:
4511:
4485:
4457:
4434:
4414:
4381:
4358:
4338:
4318:
4230:
4195:
4125:
4063:
4043:
4023:
3947:
3842:
3744:
3593:
3516:
3485:
3417:
3356:
3297:
3265:
3233:
3207:
3184:
3146:
3099:
3079:
3055:
3013:
2987:
2961:
2935:
2909:
2832:
2789:
2736:
2695:
2675:
2641:
2590:
2537:
2486:
2452:
2415:
2374:
2333:
2262:
2233:
2207:
2175:
2142:
2122:
2098:
2074:
2048:
2025:
1979:
1958:
1928:
1901:
1878:
1855:
1835:
1773:
1753:
1686:
1666:
1639:
1612:
1589:
1569:
1549:
1529:
1344:
1318:
1292:
1258:
1225:
1183:
1149:
1123:
1097:
1071:
1040:
1013:
990:
967:
924:
898:
865:
831:
805:
779:
738:
712:
686:
653:
619:
593:
567:
533:
507:
481:
444:
418:
395:
369:
343:
212:
179:
146:
93:
60:
3178:
does hold. This is because in intuitionistic logic,
5330:O'Donnell, John; Hall, Cordelia; Page, Rex (2007),
5113:means "not voting". Another example is the phrase
4308:setting is to take as primitive rules of inference
3808:{\displaystyle b_{1},b_{2},\dots ,b_{n}\in \{0,1\}}
3580:{\displaystyle a_{0},a_{1},\dots ,a_{n}\in \{0,1\}}
2819:{\displaystyle P\vee Q\wedge {\neg R}\rightarrow S}
1660:. It is interpreted intuitively as being true when
6058:
6021:
5992:
5967:
5938:
5891:
5862:
5833:
5796:
5767:
5738:
5713:
5667:
5359:"Double Negation Operator Convert to Boolean in C"
5129:where the semantic values of formulae are sets of
4888:. This takes the value given and switches all the
4716:
4690:
4670:
4644:
4621:
4601:
4580:
4560:
4540:
4517:
4497:
4463:
4443:
4420:
4390:
4367:
4344:
4324:
4278:
4216:
4173:
4111:
4049:
4029:
3997:
3933:
3807:
3730:
3579:
3491:
3462:
3401:
3309:
3283:
3251:
3219:
3193:
3170:
3117:
3085:
3061:
3019:
2993:
2967:
2941:
2915:
2880:
2818:
2745:
2707:
2681:
2650:
2599:
2550:
2497:
2461:
2424:
2387:
2342:
2268:
2248:
2219:
2181:
2157:
2128:
2104:
2080:
2060:
2034:
1988:
1964:
1937:
1907:
1887:
1864:
1841:
1779:
1759:
1692:
1672:
1652:
1625:
1598:
1575:
1555:
1535:
1356:
1330:
1304:
1270:
1244:
1203:
1161:
1135:
1109:
1083:
1049:
1026:
999:
976:
945:
910:
884:
843:
817:
791:
759:
724:
698:
672:
631:
605:
579:
545:
519:
493:
459:
430:
404:
381:
355:
224:
190:
157:
105:
71:
5302:
4813:, and languages with a C-inspired syntax such as
2283:Algebraically, classical negation corresponds to
8870:
6904:Segmented discourse representation theory (SDRT)
3834:, a self dual function is a function such that:
5635:
2689:is also used to indicate 'not in the set of':
7126:
6423:
6106:
5621:
5094:subsequently used for arithmetic operations.
3998:{\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}\in \{0,1\}}
3171:{\displaystyle \neg \neg \neg P\equiv \neg P}
2775:Logical connective § Order of precedence
1829:when its operand is true. Thus if statement
1481:
300:
4005:. Negation is a self dual logical operator.
3992:
3980:
3802:
3790:
3574:
3562:
3284:{\displaystyle \neg \neg P\rightarrow \bot }
5395:, p. 148 (John Benjamins Publishing, 2007).
4008:
1727:, negation is normally identified with the
7318:
7133:
7119:
6430:
6416:
6120:
6113:
6099:
5628:
5614:
5448:The Blackwell Guide to Philosophical Logic
4742:Programming language and ordinary language
1825:when its operand is false, and a value of
1488:
1474:
307:
293:
1745:Brouwer–Heyting–Kolmogorov interpretation
3252:{\displaystyle P\rightarrow \neg \neg P}
2753:can be read as "it is not the case that
2299:for classical and intuitionistic logic.
5501:
5439:, 1953–59, "On the Logic of Negation",
4753:As in mathematics, negation is used in
4609:. In this case the rule says that from
1707:. It may be applied as an operation on
818:{\displaystyle A\not \Leftrightarrow B}
8871:
7140:
5502:Horn, Laurence R.; Wansing, Heinrich.
5441:Commentationes Physico-Mathematicae 22
4655:Typically the intuitionistic negation
3507:, a linear function is one such that:
1245:{\displaystyle A{\underline {\lor }}B}
760:{\displaystyle {\overline {A\cdot B}}}
673:{\displaystyle A{\overline {\land }}B}
7114:
6859:Discourse representation theory (DRT)
6411:
6094:
5863:{\displaystyle \not \leftrightarrow }
5609:
5589:from the original on 17 January 2000.
5411:, and Wansing, Heinrich, eds., 1999.
5393:Lexical Creativity, Texts and Context
5333:Discrete Mathematics Using a Computer
5276:
5272:
5270:
5222:
4293:
885:{\displaystyle A{\overline {\lor }}B}
546:{\displaystyle A\leftrightharpoons B}
8894:Formal semantics (natural language)
6772:Quantificational variability effect
6439:Formal semantics (natural language)
5595:"NOT clause of an IF...THEN period"
5513:Stanford Encyclopedia of Philosophy
5120:
4181:). For example, with the predicate
3118:{\displaystyle \neg \neg P\equiv P}
2388:{\displaystyle {\mathord {\sim }}p}
1626:{\displaystyle {\mathord {\sim }}P}
1204:{\displaystyle A\ {\text{XNOR}}\ B}
844:{\displaystyle A\nleftrightarrow B}
13:
6053:
5828:
5662:
5601:from the original on 1 March 2000.
5577:from the original on 1 March 2000.
5565:from the original on 1 March 2000.
5402:
5267:
4884:In computer science there is also
4717:{\displaystyle P\rightarrow \bot }
4711:
4662:
4636:
4596:
4489:
4486:
4435:
4382:
4359:
4261:
4255:
4234:
4231:
4196:
4156:
4150:
4129:
4126:
4094:
4088:
4067:
4064:
4044:
4024:
3915:
3893:
3884:
3451:
3442:
3418:
3390:
3381:
3357:
3310:{\displaystyle P\rightarrow \bot }
3304:
3278:
3269:
3266:
3243:
3240:
3220:{\displaystyle P\rightarrow \bot }
3214:
3185:
3162:
3153:
3150:
3147:
3103:
3100:
3040:
2910:
2854:
2803:
2761:", or usually more simply as "not
2737:
2334:
2234:
2149:
2123:
2099:
2061:{\displaystyle P\rightarrow \bot }
2055:
2026:
1980:
1929:
1879:
1856:
1590:
968:
520:{\displaystyle A\Leftrightarrow B}
451:
448:
422:
180:
147:
61:
14:
8905:
5495:
5089:) is used as an idiom to convert
4999:To demonstrate logical negation:
4757:to construct logical statements.
4286:, meaning "there exists a person
3327:
2699:
946:{\displaystyle {\overline {A+B}}}
19:For negation in linguistics, see
8852:
6392:
6381:
6075:
5892:{\displaystyle \leftrightarrow }
5681:
5472:10.1016/j.neuroimage.2008.08.004
5356:
5133:, negation can be taken to mean
4896:. This is often used to create
3093:. Expressed in symbolic terms,
3020:{\displaystyle \leftrightarrow }
2726:Regardless how it is notated or
1747:, the negation of a proposition
1459:
1458:
122:
43:
5571:"NOT clause of an END sentence"
2551:{\displaystyle {\overline {p}}}
1951:
1653:{\displaystyle {\overline {P}}}
1027:{\displaystyle {\overline {A}}}
6854:Combinatory categorial grammar
5933:
5886:
5762:
5733:
5708:
5583:"NOT clause of an OR sentence"
5385:
5369:
5350:
5323:
5295:
5242:
5216:
4708:
4471:; this rule also being called
4398:; this rule also being called
4273:
4267:
4249:
4243:
4211:
4205:
4168:
4162:
4144:
4138:
4106:
4100:
4082:
4076:
3928:
3890:
3878:
3846:
3725:
3699:
3687:
3661:
3642:
3597:
3457:
3439:
3433:
3421:
3396:
3378:
3372:
3360:
3301:
3275:
3237:
3211:
3014:
2988:
2869:
2866:
2863:
2860:
2851:
2842:
2833:
2810:
2307:The negation of a proposition
2220:{\displaystyle P\rightarrow Q}
2211:
2116:). Conversely, one can define
2075:
2052:
1790:An operand of a negation is a
1348:
1296:
902:
792:{\displaystyle A\not \equiv B}
690:
632:{\displaystyle A\rightarrow B}
623:
580:{\displaystyle A\Rightarrow B}
571:
537:
511:
460:{\displaystyle A\&\&B}
100:
94:
1:
8813:History of mathematical logic
6632:Antecedent-contained deletion
5968:{\displaystyle \nrightarrow }
5427:A Natural History of Negation
5209:
5135:set-theoretic complementation
4217:{\displaystyle \forall xP(x)}
3035:
2768:
2715:is the set of all members of
2193:). The idea here is that any
2158:{\displaystyle Q\land \neg Q}
1801:
1357:{\displaystyle A\leftarrow B}
1305:{\displaystyle A\Leftarrow B}
911:{\displaystyle A\downarrow B}
8738:Primitive recursive function
5993:{\displaystyle \nleftarrow }
5768:{\displaystyle \rightarrow }
4892:1s to 0s and 0s to 1s. See
3825:
3474:
2708:{\displaystyle U\setminus A}
2543:
2249:{\displaystyle \neg P\lor Q}
2081:{\displaystyle \rightarrow }
1700:is true. Negation is thus a
1645:
1543:to another proposition "not
1162:{\displaystyle A\parallel B}
1019:
938:
874:
752:
662:
7:
5939:{\displaystyle \downarrow }
5739:{\displaystyle \leftarrow }
5527:Encyclopedia of Mathematics
5431:University of Chicago Press
5380:The New Hacker's Dictionary
5144:
5109:. For example, the phrase
4805:" signifies logical NOT in
4568:must not be the case (i.e.
4498:{\displaystyle \neg \neg P}
4477:double negation elimination
2302:
2295:. These algebras provide a
1821:, that produces a value of
1817:, typically the value of a
699:{\displaystyle A\uparrow B}
10:
8910:
7802:Schröder–Bernstein theorem
7529:Monadic predicate calculus
7188:Foundations of mathematics
6513:Syntax–semantics interface
5277:Beall, Jeffrey C. (2010).
4837:" is the operator used in
4745:
4297:
2772:
2682:{\displaystyle \setminus }
1331:{\displaystyle A\subset B}
606:{\displaystyle A\supset B}
18:
8848:
8835:Philosophy of mathematics
8784:Automated theorem proving
8766:
8661:
8493:
8386:
8238:
7955:
7931:
7909:Von Neumann–Bernays–Gödel
7854:
7748:
7652:
7550:
7541:
7468:
7403:
7309:
7231:
7148:
7047:
7005:Question under discussion
6955:Conversational scoreboard
6932:
6836:
6829:
6732:Intersective modification
6717:Homogeneity (linguistics)
6624:
6533:
6526:
6445:
6378:
6129:
6072:
6035:
5915:
5810:
5714:{\displaystyle \uparrow }
5690:
5679:
5644:
5382:, p. 18 (MIT Press 1996).
5336:, Springer, p. 120,
3201:is just a shorthand for
3140:, the weaker equivalence
1680:is false, and false when
1271:{\displaystyle A\oplus B}
494:{\displaystyle A\equiv B}
288:
280:
270:
260:
252:
244:
235:
225:{\displaystyle 1\oplus x}
201:
191:{\displaystyle \lnot {x}}
168:
158:{\displaystyle \lnot {x}}
135:
130:
116:
82:
72:{\displaystyle \lnot {x}}
51:
42:
37:
25:Negation (disambiguation)
7065:Distributional semantics
5152:Affirmation and negation
5139:possible world semantics
5097:The convention of using
5001:
4925:
4759:
4050:{\displaystyle \exists }
4030:{\displaystyle \forall }
4009:Negations of quantifiers
2719:that are not members of
431:{\displaystyle A\&B}
382:{\displaystyle A\cdot B}
356:{\displaystyle A\land B}
21:Affirmation and negation
8485:Self-verifying theories
8306:Tarski's axiomatization
7257:Tarski's undefinability
7252:incompleteness theorems
7060:Computational semantics
6797:Subsective modification
6601:Propositional attitudes
5978:Converse nonimplication
3492:{\displaystyle \oplus }
1411:Functional completeness
1136:{\displaystyle A\mid B}
1084:{\displaystyle A\lor B}
725:{\displaystyle A\mid B}
8859:Mathematics portal
8470:Proof of impossibility
8118:propositional variable
7428:Propositional calculus
7090:Philosophy of language
6727:Inalienable possession
6707:Free choice inferences
6702:Faultless disagreement
6473:Generalized quantifier
6399:Mathematics portal
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23:. For other uses, see
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8373:Principia Mathematica
7433:Propositional formula
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6985:Plural quantification
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6082:Philosophy portal
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6824:
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6586:Lexical semantics
6405:
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6372:
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6087:
5413:What is Negation?
5288:978-0-203-85155-5
5279:Logic: the basics
5168:Binary opposition
4894:bitwise operation
4726:conditional proof
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4306:natural deduction
4015:first-order logic
3335:provide a way of
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1563:", standing for "
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8808:History of logic
8803:Category of sets
8696:Decision problem
8475:Ordinal analysis
8416:Sequent calculus
8314:Boolean algebras
8254:
8253:
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8199:logical/constant
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7952:
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7613:Set operations:
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7296:Löwenheim–Skolem
7183:Formal semantics
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