Newton's identities

14430: 13527: 14425:{\displaystyle {\begin{aligned}p_{n}={}&{\begin{vmatrix}1&0&\cdots &&e_{1}\\e_{1}&1&0&\cdots &2e_{2}\\e_{2}&e_{1}&1&&3e_{3}\\\vdots &&\ddots &\ddots &\vdots \\e_{n-1}&\cdots &e_{2}&e_{1}&ne_{n}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&0&\cdots &\\e_{1}&1&0&\cdots \\e_{2}&e_{1}&1&\\\vdots &&\ddots &\ddots \\e_{n-1}&\cdots &e_{2}&e_{1}&1\end{vmatrix}}^{-1}\\={(-1)^{n-1}}&{\begin{vmatrix}1&0&\cdots &&e_{1}\\e_{1}&1&0&\cdots &2e_{2}\\e_{2}&e_{1}&1&&3e_{3}\\\vdots &&\ddots &\ddots &\vdots \\e_{n-1}&\cdots &e_{2}&e_{1}&ne_{n}\end{vmatrix}}\\={}&{\begin{vmatrix}e_{1}&1&0&\cdots \\2e_{2}&e_{1}&1&0&\cdots \\3e_{3}&e_{2}&e_{1}&1\\\vdots &&&\ddots &\ddots \\ne_{n}&e_{n-1}&\cdots &&e_{1}\end{vmatrix}}.\end{aligned}}} 15290: 6704: 14496: 8020: 15285:{\displaystyle {\begin{aligned}e_{n}={\frac {1}{n!}}&{\begin{vmatrix}p_{1}&1&0&\cdots \\p_{2}&p_{1}&2&0&\cdots \\\vdots &&\ddots &\ddots \\p_{n-1}&p_{n-2}&\cdots &p_{1}&n-1\\p_{n}&p_{n-1}&\cdots &p_{2}&p_{1}\end{vmatrix}}\\p_{n}=(-1)^{n-1}&{\begin{vmatrix}h_{1}&1&0&\cdots \\2h_{2}&h_{1}&1&0&\cdots \\3h_{3}&h_{2}&h_{1}&1\\\vdots &&&\ddots &\ddots \\nh_{n}&h_{n-1}&\cdots &&h_{1}\end{vmatrix}}\\h_{n}={\frac {1}{n!}}&{\begin{vmatrix}p_{1}&-1&0&\cdots \\p_{2}&p_{1}&-2&0&\cdots \\\vdots &&\ddots &\ddots \\p_{n-1}&p_{n-2}&\cdots &p_{1}&1-n\\p_{n}&p_{n-1}&\cdots &p_{2}&p_{1}\end{vmatrix}}.\end{aligned}}} 5773: 7121: 6699:{\displaystyle {\begin{aligned}e_{1}&=p_{1},\\e_{2}&=\textstyle {\frac {1}{2}}p_{1}^{2}-{\frac {1}{2}}p_{2}&&=\textstyle {\frac {1}{2}}(p_{1}^{2}-p_{2}),\\e_{3}&=\textstyle {\frac {1}{6}}p_{1}^{3}-{\frac {1}{2}}p_{1}p_{2}+{\frac {1}{3}}p_{3}&&=\textstyle {\frac {1}{6}}(p_{1}^{3}-3p_{1}p_{2}+2p_{3}),\\e_{4}&=\textstyle {\frac {1}{24}}p_{1}^{4}-{\frac {1}{4}}p_{1}^{2}p_{2}+{\frac {1}{8}}p_{2}^{2}+{\frac {1}{3}}p_{1}p_{3}-{\frac {1}{4}}p_{4}&&=\textstyle {\frac {1}{24}}(p_{1}^{4}-6p_{1}^{2}p_{2}+3p_{2}^{2}+8p_{1}p_{3}-6p_{4}),\\&~~\vdots \\e_{n}&=(-1)^{n}\sum _{m_{1}+2m_{2}+\cdots +nm_{n}=n \atop m_{1}\geq 0,\ldots ,m_{n}\geq 0}\prod _{i=1}^{n}{\frac {(-p_{i})^{m_{i}}}{m_{i}!\,i^{m_{i}}}}\\\end{aligned}}} 8015:{\displaystyle {\begin{aligned}h_{1}&=p_{1},\\h_{2}&=\textstyle {\frac {1}{2}}p_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}p_{2}&&=\textstyle {\frac {1}{2}}(p_{1}^{2}+p_{2}),\\h_{3}&=\textstyle {\frac {1}{6}}p_{1}^{3}+{\frac {1}{2}}p_{1}p_{2}+{\frac {1}{3}}p_{3}&&=\textstyle {\frac {1}{6}}(p_{1}^{3}+3p_{1}p_{2}+2p_{3}),\\h_{4}&=\textstyle {\frac {1}{24}}p_{1}^{4}+{\frac {1}{4}}p_{1}^{2}p_{2}+{\frac {1}{8}}p_{2}^{2}+{\frac {1}{3}}p_{1}p_{3}+{\frac {1}{4}}p_{4}&&=\textstyle {\frac {1}{24}}(p_{1}^{4}+6p_{1}^{2}p_{2}+3p_{2}^{2}+8p_{1}p_{3}+6p_{4}),\\&~~\vdots \\h_{k}&=\sum _{m_{1}+2m_{2}+\cdots +km_{k}=k \atop m_{1}\geq 0,\ldots ,m_{k}\geq 0}\prod _{i=1}^{k}{\frac {p_{i}^{m_{i}}}{m_{i}!\,i^{m_{i}}}}\end{aligned}}} 11714: 12581: 9930: 10859: 11730: 9097: 1887: 2454: 832: 11709:{\displaystyle {\begin{aligned}f(m;\;r_{1},\ldots ,r_{n})={}&f(m-1;\;r_{1}-1,\cdots ,r_{n})+\cdots +f(m-n;\;r_{1},\ldots ,r_{n}-1)\\={}&{\frac {1}{(r_{1}-1)!\cdots r_{n}!}}(m-1)(r_{1}+\cdots +r_{n}-2)!+\cdots \\&\cdots +{\frac {1}{r_{1}!\cdots (r_{n}-1)!}}(m-n)(r_{1}+\cdots +r_{n}-2)!\\={}&{\frac {1}{r_{1}!\cdots r_{n}!}}\left\left!\\={}&{\frac {1}{r_{1}!\cdots r_{n}!}}\left\left!\\={}&{\frac {m(r_{1}+\cdots +r_{n}-1)!}{r_{1}!\cdots r_{n}!}}\end{aligned}}} 12576:{\displaystyle {\begin{aligned}p_{1}&=+h_{1},\\p_{2}&=-h_{1}^{2}+2h_{2},\\p_{3}&=+h_{1}^{3}-3h_{2}h_{1}+3h_{3},\\p_{4}&=-h_{1}^{4}+4h_{2}h_{1}^{2}-4h_{3}h_{1}-2h_{2}^{2}+4h_{4},\\p_{5}&=+h_{1}^{5}-5h_{2}h_{1}^{3}+5h_{2}^{2}h_{1}+5h_{3}h_{1}^{2}-5h_{3}h_{2}-5h_{4}h_{1}+5h_{5},\\p_{6}&=-h_{1}^{6}+6h_{2}h_{1}^{4}-9h_{2}^{2}h_{1}^{2}-6h_{3}h_{1}^{3}+2h_{2}^{3}+12h_{3}h_{2}h_{1}+6h_{4}h_{1}^{2}-3h_{3}^{2}-6h_{4}h_{2}-6h_{1}h_{5}+6h_{6},\\\end{aligned}}} 9925:{\displaystyle {\begin{aligned}p_{1}&=e_{1},\\p_{2}&=e_{1}^{2}-2e_{2},\\p_{3}&=e_{1}^{3}-3e_{2}e_{1}+3e_{3},\\p_{4}&=e_{1}^{4}-4e_{2}e_{1}^{2}+4e_{3}e_{1}+2e_{2}^{2}-4e_{4},\\p_{5}&=e_{1}^{5}-5e_{2}e_{1}^{3}+5e_{3}e_{1}^{2}+5e_{2}^{2}e_{1}-5e_{4}e_{1}-5e_{3}e_{2}+5e_{5},\\p_{6}&=e_{1}^{6}-6e_{2}e_{1}^{4}+6e_{3}e_{1}^{3}+9e_{2}^{2}e_{1}^{2}-6e_{4}e_{1}^{2}-12e_{3}e_{2}e_{1}+6e_{5}e_{1}-2e_{2}^{3}+3e_{3}^{2}+6e_{4}e_{2}-6e_{6}.\end{aligned}}} 1274: 3004: 8813: 10834: 1910: 359: 4345: 17427: 1882:{\displaystyle {\begin{aligned}e_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})&=p_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n}),\\2e_{2}(x_{1},\ldots ,x_{n})&=e_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})p_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})-p_{2}(x_{1},\ldots ,x_{n}),\\3e_{3}(x_{1},\ldots ,x_{n})&=e_{2}(x_{1},\ldots ,x_{n})p_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})-e_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})p_{2}(x_{1},\ldots ,x_{n})+p_{3}(x_{1},\ldots ,x_{n}).\end{aligned}}} 13389: 2483: 8392: 10461: 2449:{\displaystyle {\begin{aligned}e_{1}&=p_{1},\\2e_{2}&=e_{1}p_{1}-p_{2}=p_{1}^{2}-p_{2},\\3e_{3}&=e_{2}p_{1}-e_{1}p_{2}+p_{3}={\tfrac {1}{2}}p_{1}^{3}-{\tfrac {3}{2}}p_{1}p_{2}+p_{3},\\4e_{4}&=e_{3}p_{1}-e_{2}p_{2}+e_{1}p_{3}-p_{4}={\tfrac {1}{6}}p_{1}^{4}-p_{1}^{2}p_{2}+{\tfrac {4}{3}}p_{1}p_{3}+{\tfrac {1}{2}}p_{2}^{2}-p_{4},\\\end{aligned}}} 10272: 827:{\displaystyle {\begin{aligned}e_{0}(x_{1},\ldots ,x_{n})&=1,\\e_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})&=x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n},\\e_{2}(x_{1},\ldots ,x_{n})&=\sum _{1\leq i<j\leq n}x_{i}x_{j},\\&\;\;\vdots \\e_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n})&=x_{1}x_{2}\cdots x_{n},\\e_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})&=0,\quad {\text{for}}\ k>n.\\\end{aligned}}} 12978: 3952: 16672: 13003: 2999:{\displaystyle {\begin{aligned}p_{1}&=e_{1},\\p_{2}&=e_{1}p_{1}-2e_{2}=e_{1}^{2}-2e_{2},\\p_{3}&=e_{1}p_{2}-e_{2}p_{1}+3e_{3}=e_{1}^{3}-3e_{1}e_{2}+3e_{3},\\p_{4}&=e_{1}p_{3}-e_{2}p_{2}+e_{3}p_{1}-4e_{4}=e_{1}^{4}-4e_{1}^{2}e_{2}+4e_{1}e_{3}+2e_{2}^{2}-4e_{4},\\&{}\ \ \vdots \end{aligned}}} 3308: 8808:{\displaystyle {\begin{aligned}mf(m;m_{1},\ldots ,m_{n})&=f(m-1;m_{1}-1,\ldots ,m_{n})+\cdots +f(m-n;m_{1},\ldots ,m_{n}-1)\\m_{1}\prod _{i=1}^{n}{\frac {1}{i^{m_{i}}m_{i}!}}+\cdots +nm_{n}\prod _{i=1}^{n}{\frac {1}{i^{m_{i}}m_{i}!}}&=m\prod _{i=1}^{n}{\frac {1}{i^{m_{i}}m_{i}!}}\end{aligned}}} 10829:{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}p_{k}{\frac {t^{k}}{k}}&=\ln \left(1+e_{1}t+e_{2}t^{2}+e_{3}t^{3}+\cdots \right)\\&=e_{1}t-{\frac {1}{2}}\left(e_{1}^{2}-2e_{2}\right)t^{2}+{\frac {1}{3}}\left(e_{1}^{3}-3e_{1}e_{2}+3e_{3}\right)t^{3}+\cdots ,\end{aligned}}} 5589: 9952: 17803: 16044: 4340:{\displaystyle {\begin{aligned}e_{0}&=1,\\-e_{1}&=-p_{1},\\e_{2}&={\frac {1}{2}}(e_{1}p_{1}-p_{2}),\\-e_{3}&=-{\frac {1}{3}}(e_{2}p_{1}-e_{1}p_{2}+p_{3}),\\e_{4}&={\frac {1}{4}}(e_{3}p_{1}-e_{2}p_{2}+e_{1}p_{3}-p_{4}),\\&{}\ \ \vdots \end{aligned}}} 3553: 12677: 7066: 17422:{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}ke_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})t^{k}&=t\sum _{i=1}^{n}\left\\&=-\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}t}{1-x_{i}t}}\right)\prod \nolimits _{j=1}^{n}(1-x_{j}t)\\&=-\left\left\\&=\left\left,\\\end{aligned}}} 1051: 9003: 15796: 5747: 10446: 6892: 15617: 13384:{\displaystyle {\begin{aligned}e_{1}&=1p_{1},\\2e_{2}&=e_{1}p_{1}-1p_{2},\\3e_{3}&=e_{2}p_{1}-e_{1}p_{2}+1p_{3},\\&\,\,\,\vdots \\ne_{n}&=e_{n-1}p_{1}-e_{n-2}p_{2}+\cdots +(-1)^{n}e_{1}p_{n-1}+(-1)^{n-1}p_{n}\end{aligned}}} 1245: 16649: 311: 8178: 3015: 5243:

The Newton identities also permit expressing the elementary symmetric polynomials in terms of the power sum symmetric polynomials, showing that any symmetric polynomial can also be expressed in the power sums. In fact the first

10864: 3957: 3716: 16459: 16308: 12992:

of Newton's identities (or it counterparts for the complete homogeneous polynomials) as linear equations in which the elementary symmetric functions are known and the power sums are unknowns (or vice versa), and apply

5760:

As mentioned, Newton's identities can be used to recursively express elementary symmetric polynomials in terms of power sums. Doing so requires the introduction of integer denominators, so it can be done in the ring

18038: 5239:

as elements of a base field with roots in an extension field whose Galois group permutes them according to the full symmetric group, and the field fixed under all elements of the Galois group is the base field).

3895: 17543: 10267:{\displaystyle p_{m}=(-1)^{m}m\sum _{r_{1}+2r_{2}+\cdots +mr_{m}=m \atop r_{1}\geq 0,\ldots ,r_{m}\geq 0}{\frac {(r_{1}+r_{2}+\cdots +r_{m}-1)!}{r_{1}!\,r_{2}!\cdots r_{m}!}}\prod _{i=1}^{m}(-e_{i})^{r_{i}}.} 5396: 4862: 17570: 15811: 14501: 14489:

is similar, as the analogous computations for the complete homogeneous symmetric polynomials; in each case the details are slightly messier than the final results, which are (Macdonald 1979, p. 20):

13532: 13492: 12973:{\displaystyle p_{m}=-\sum _{r_{1}+2r_{2}+\cdots +mr_{m}=m \atop r_{1}\geq 0,\ldots ,r_{m}\geq 0}{\frac {m(r_{1}+r_{2}+\cdots +r_{m}-1)!}{r_{1}!\,r_{2}!\cdots r_{m}!}}\prod _{i=1}^{m}(-h_{i})^{r_{i}}} 3330: 5175: 6914: 16677: 13008: 11735: 10466: 9102: 8397: 7126: 5778: 5401: 5373: 2488: 1915: 1279: 843: 364: 8369: 19618: 12604:, the only change with respect to the previous family of identities is in the signs of the terms, which in this case depend just on the number of factors present: the sign of the monomial 9081: 17560:

sufficiently close to 0, for those more comfortable with that; in fact one is not interested in the function here, but only in the coefficients of the series.) Comparing coefficients of

5003:(1840), a fast parallel implementation of it is due to L. Csanky (1976). Its disadvantage is that it requires division by integers, so in general the field should have characteristic 0. 12662: 8878: 3784: 18308: 15641: 4917:. Using them in reverse to express the elementary symmetric polynomials in terms of the power sums, they can be used to find the characteristic polynomial by computing only the powers 18165: 3944: 5604: 4976: 4944: 4893: 4662: 4633: 4491: 10287: 19033: 6715: 4915: 4798: 4572: 4407: 4385: 15452: 1076: 4987: 16490: 4729: 4697: 4604: 4523: 170: 8379:

of the given cycle type. The expressions for the elementary symmetric functions have coefficients with the same absolute value, but a sign equal to the sign of

5077:

expression in those elementary symmetric polynomials, and this expression is unique up to equivalence of polynomial expressions. This is a general fact known as the

3303:{\displaystyle p_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})=(-1)^{k-1}ke_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})+\sum _{i=1}^{k-1}(-1)^{k-1+i}e_{k-i}(x_{1},\ldots ,x_{n})p_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n}),} 15405: 15374: 15347: 15320: 14487: 14460: 13519: 8870: 8843: 4776: 4550: 4438: 8288: 8031: 15349:, while the situation for the expanded form given earlier is opposite. As remarked in (Littlewood 1950, p. 84) one can alternatively obtain the formula for 4749: 4462: 18968: 15423:

Each of Newton's identities can easily be checked by elementary algebra; however, their validity in general needs a proof. Here are some possible derivations.

5285:), the power sum polynomials also satisfy identities similar to Newton's identities, but not involving any minus signs. Expressed as identities of in the 18723:. Oxford Mathematical Monographs (Second ed.). New York: Oxford Science Publications. The Clarendon Press, Oxford University Press. p. x+475. 19598: 5256:

There are a number of (families of) identities that, while they should be distinguished from Newton's identities, are very closely related to them.

5226:) in terms of its coefficients only, in other words without requiring knowledge of the roots. This fact also follows from general considerations in 4809: 3589: 18863: 16335: 16184: 11724:

Finally one may use the variant identities involving complete homogeneous symmetric polynomials similarly to express power sums in term of them:

9091:

One may also use Newton's identities to express power sums in terms of elementary symmetric polynomials, which does not introduce denominators:

4982:(solving a triangular system can be done by divide-and-conquer). Therefore, characteristic polynomial of a matrix can be computed in NC. By the 18936: 17943: 5078: 5584:{\displaystyle {\begin{aligned}h_{1}&=p_{1},\\2h_{2}&=h_{1}p_{1}+p_{2},\\3h_{3}&=h_{2}p_{1}+h_{1}p_{2}+p_{3}.\\\end{aligned}}} 3796: 17446: 16108:

variables, but its validity will be assured if the coefficients of any monomial match. Because no individual monomial involves more than

19025: 18646: 17798:{\displaystyle (-1)^{k}ke_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{j=1}^{k}(-1)^{k-j-1}p_{j}(x_{1},\ldots ,x_{n})e_{k-j}(x_{1},\ldots ,x_{n}),} 16039:{\displaystyle 0=(-1)^{k}ke_{k}(x_{1},\ldots ,x_{k})+\sum _{i=1}^{k}(-1)^{k-i}e_{k-i}(x_{1},\ldots ,x_{k})p_{i}(x_{1},\ldots ,x_{k}),} 5274: 18644:(2007). "Space-efficient straggler identification in round-trip data streams via Newton's identities and invertible Bloom filters". 5081:, and Newton's identities provide explicit formulae in the case of power sum symmetric polynomials. Applied to the monic polynomial 19148: 4350:

Formulating polynomials in this way is useful in using the method of Delves and Lyness to find the zeros of an analytic function.

19573: 19550: 19306: 19254: 3548:{\displaystyle p_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=k-n}^{k-1}(-1)^{k-1+i}e_{k-i}(x_{1},\ldots ,x_{n})p_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n}),} 17436:

in order to be able to factor out a product out of the summation, then the fraction in the summand was developed as a series in

13397: 19158: 18896: 18835: 18809: 18627: 18605: 18579: 18556: 18378: 7071:

Applied to a monic polynomial, these formulae express the coefficients in terms of the power sums of the roots: replace each

7061:{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }e_{k}\,t^{k}=\exp \left(\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}p_{k}\,t^{k}\right).} 5752:

Proofs of Newton's identities, like these given below, cannot be easily adapted to prove these variants of those identities.

1046:{\displaystyle ke_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{k}(-1)^{i-1}e_{k-i}(x_{1},\ldots ,x_{n})p_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n}),} 19185: 5084: 16152: 7115:

The analogous relations involving complete homogeneous symmetric polynomials can be similarly developed, giving equations

19284: 18995: 5295: 19197: 8293: 19175: 18987: 18787: 18728: 18701: 18682: 18480: 18317:-th Newton identity is now obtained by taking the alternating sum of these equations, in which all terms of the form 19678: 19583: 19408: 9015: 8998:{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }h_{k}\,t^{k}=\exp \left(\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {p_{k}}{k}}\,t^{k}\right).} 15791:{\displaystyle 0=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{k-i}e_{k-i}(x_{1},\ldots ,x_{k}){x_{j}}^{i}\quad {\text{for }}1\leq j\leq k} 19603: 19505: 19403: 19224: 18351: 12988:

One can obtain explicit formulas for the above expressions in the form of determinants, by considering the first

4999: 346: 40: 3727: 18439:

N.b., the coefficients of the weighted product terms in the sum given by the identity above are related to the

18346: 18236: 12607: 36: 12664:

is −(−1). In particular the above description of the absolute value of the coefficients applies here as well.

19668: 19488: 18589: 17865: 10278: 18868: 18369:, an article giving an application of Newton's identities to computing the characteristic polynomial of the 18102: 19673: 19398: 5742:{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }h_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})t^{k}=\prod _{i=1}^{n}{\frac {1}{1-x_{i}t}}.} 17908:, but this case was excluded since here monomials no longer have any distinguished variable. All products 19593: 19452: 19249: 17821: 5286: 4983: 3903: 1901: 19343: 10441:{\displaystyle p_{m}=(-1)^{m}m\sum _{k=1}^{m}{\frac {1}{k}}{\hat {B}}_{m,k}(-e_{1},\ldots ,-e_{m-k+1}),} 2459:

and so on; here the left-hand sides never become zero. These equations allow to recursively express the

19393: 19388: 19311: 19214: 19180: 19143: 19002: 18889: 6887:{\displaystyle e_{k}={\frac {(-1)^{k}}{k!}}B_{k}(-p_{1},-1!\,p_{2},-2!\,p_{3},\ldots ,-(k-1)!\,p_{k}),} 5382: ≥ 1. Contrary to Newton's identities, the left-hand sides do not become zero for large 4952: 4920: 4869: 4638: 4609: 4467: 19658: 19358: 19274: 18928: 18448: 4359: 15612:{\displaystyle \prod _{i=1}^{k}(t-x_{i})=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{k-i}e_{k-i}(x_{1},\ldots ,x_{k})t^{i}} 1240:{\displaystyle 0=\sum _{i=k-n}^{k}(-1)^{i-1}e_{k-i}(x_{1},\ldots ,x_{n})p_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n}),} 19229: 19170: 19153: 19138: 19083: 18356: 18696:. Oxford Mathematical Monographs. Oxford: The Clarendon Press, Oxford University Press. viii+180. 16644:{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}e_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})t^{k}=\prod _{i=1}^{n}(1-x_{i}t).} 16472:]; alternatively, the identity can be obtained simply by evaluating the product on the left side) 5594:

These relations can be justified by an argument analogous to the one by comparing coefficients in

4898: 4781: 4555: 4390: 4368: 19663: 19207: 18960: 15377: 12997:

to find the solution for the final unknown. For instance taking Newton's identities in the form

10853:

The multiple summation formula above can be proved by considering the following inductive step:

1896:

of variables (although the point where the left-hand side becomes 0 does, namely after the

306:{\displaystyle p_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{k}=x_{1}^{k}+\cdots +x_{n}^{k},} 19683: 19578: 19568: 19333: 19269: 19163: 11719: 9009: 7110: 4801: 4702: 4670: 4577: 4496: 18472: 19653: 19648: 19625: 19532: 19418: 19413: 19202: 19115: 19090: 18882: 18464: 8173:{\displaystyle h_{k}={\frac {1}{k!}}B_{k}(p_{1},1!\,p_{2},2!\,p_{3},\ldots ,(k-1)!\,p_{k}).} 8025:

and so forth, in which there are only plus signs. In terms of the complete Bell polynomial,

19539: 19259: 19016: 18738: 18711: 18661: 15383: 15352: 15325: 15298: 14465: 14438: 13497: 8848: 8821: 4754: 4528: 4416: 4363: 32: 18851: 8: 19348: 19328: 19244: 19234: 19095: 18641: 18500: 18334: 16137: 10452: 8265: 5386:, and the right-hand sides contain ever more non-zero terms. For the first few values of 59: 18665: 17556:

is a formal power series, but may alternatively be thought of as a series expansion for

19563: 19279: 19192: 18920: 18775: 18763: 18651: 18594: 18568: 18460: 18422: 18361: 16465: 10847: 4734: 4447: 95: 44: 16120:(other) variables, after which the equality of coefficients is one that arises in the 16068:

variables. Since this is an identity of symmetric polynomials (homogeneous) of degree

19522: 19494: 19376: 19353: 19301: 19219: 19105: 18831: 18824: 18805: 18783: 18724: 18697: 18678: 18623: 18601: 18575: 18552: 18534: 18497: 18476: 18465: 17433: 16655: 16112:

of the variables, the monomial will survive the substitution of zero for some set of

9086: 5755: 5186:

considered as free parameters, this means that every symmetric polynomial expression

18043:

since each product of terms on the left involving distinct variables contributes to

19482: 19458: 19434: 19264: 19010: 18755: 18530: 18412: 15408: 12994: 4978:

and solving a triangular system of equations. Both can be done in complexity class

4444:

of the matrix, counted with their algebraic multiplicity. For any positive integer

4410: 83: 17824:

for clarity (all identities are independent of the number of variables). Fix some

17820:

The following derivation, given essentially in (Mead, 1992), is formulated in the

19470: 19239: 19133: 18797: 18734: 18707: 18370: 10840: 8188: 6908:. This expression also leads to the following identity for generating functions: 6905: 4991: 4979: 5248:

power sums also form an algebraic basis for the space of symmetric polynomials.

19513: 19338: 19321: 19291: 19078: 18637: 18366: 18081: + 1), and all terms on the right are so obtained exactly once. For 3711:{\displaystyle \prod _{i=1}^{n}(x-x_{i})=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}e_{k}x^{n-k},} 19642: 19558: 19440: 19382: 18650:. Springer-Verlag, Lecture Notes in Computer Science 4619. pp. 637–648. 18374: 16454:{\displaystyle \prod _{i=1}^{n}(1-x_{i}t)=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}a_{k}t^{k}.} 16303:{\displaystyle \prod _{i=1}^{n}(t-x_{i})=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}a_{k}t^{n-k}} 9936: 5259: 5227: 91: 79: 75: 16104:

variables contains more terms on both sides of the equation than the one in

11720:

Expressing power sums in terms of complete homogeneous symmetric polynomials

7111:

Expressing complete homogeneous symmetric polynomials in terms of power sums

19446: 19316: 19125: 19100: 19063: 18905: 18615: 5595: 4353: 3722: 87: 71: 18521:

Zeilberger, Doron (1984). "A Combinatorial Proof of Newton's Identities".

16484:

as the elementary symmetric polynomials they stand for gives the identity

5073:

that is invariant under all permutations of those variables is given by a

1900:-th identity), which makes it possible to state them as identities in the 19464: 19073: 18952: 18819: 16072:, its validity for any number of variables follows from its validity for 8184: 20: 19588: 19476: 18857: 18767: 18614: 18426: 17815: 5074: 4441: 70:, without actually finding those roots. These identities were found by 48: 18647:

Algorithms and Data Structures, 10th International Workshop, WADS 2007

18033:{\displaystyle p_{i}e_{k-i}=r(i)+r(i+1)\quad {\text{for }}1<i<k} 18505: 17432:

where the polynomial on the right hand side was first rewritten as a

15407:

instead of the determinant, and more generally an expression for any

8375:

is the number permutations commuting with any given permutation

1892:

The form and validity of these equations do not depend on the number

18759: 18417: 18400: 5598:

given above, based in this case on the generating function identity

3890:{\displaystyle p_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{k},} 19110: 19051: 18874: 18675:

The theory of group characters and matrix representations of groups

17845: 17538:{\displaystyle {\frac {X}{1-X}}=X+X^{2}+X^{3}+X^{4}+X^{5}+\cdots ,} 15412: 6709:

and so forth. The general formula can be conveniently expressed as

5278: 5206:) in its roots can be expressed instead as a polynomial expression 18656: 18401:"A Numerical Method of Locating the Zeros of an Analytic Function" 16136:

Another derivation can be obtained by computations in the ring of

9087:

Expressing power sums in terms of elementary symmetric polynomials

5756:

Expressing elementary symmetric polynomials in terms of power sums

5048:

form an algebraic basis for the space of symmetric polynomials in

78:. They have applications in many areas of mathematics, including 66:(counted with their multiplicity) in terms of the coefficients of 19068: 19056: 18944: 18565: 18471:(Reprinted ed.). River Edge, NJ: World Scientific. pp. 8818:

By analogy with the derivation of the generating function of the

4997:

Rearranging the computations into an efficient form leads to the

94:, as well as further applications outside mathematics, including 4949:

This computation requires computing the traces of matrix powers

106: 19622: 17937:) with the first and last case being somewhat special. One has 74:

around 1666, apparently in ignorance of earlier work (1629) by

16:

Relations between power sums and elementary symmetric functions

17852:

obtained by multiplying one variable raised to the power

16060:

is (usually) not defined. This equation immediately gives the

8386:

It can be proved by considering the following inductive step:

4857:{\displaystyle p_{k}=\operatorname {tr} (\mathbf {A} ^{k})\,.} 18495: 18444: 15295:

Note that the use of determinants makes that the formula for

4986:, every matrix satisfies its characteristic polynomial, and 4635:. Then the coefficients of the characteristic polynomial of 18636: 3946:

may be expressed recursively in terms of the power sums as

3569: 18223:, since any one of the variables may come from the factor 13487:{\displaystyle p_{1},-p_{2},p_{3},\ldots ,(-1)^{n}p_{n-1}} 5260:

A variant using complete homogeneous symmetric polynomials

4866:

The Newton identities now relate the traces of the powers

17552: was collected, giving a power sum. (The series in 8200:

as indeterminates: the coefficient in the expression for

4895:

to the coefficients of the characteristic polynomial of

4354:

Application to the characteristic polynomial of a matrix

2477:; to be able to do the inverse, one may rewrite them as 4574:

contributes its multiplicity to that of the eigenvalue

3786:

are the symmetric polynomials defined above. Given the

54:

in one variable, they allow expressing the sums of the

18447:

and/or the coefficients involved in the expansions of

18337:

of Newton's Identities is given in (Zeilberger, 1984)

15047: 14810: 14539: 14217: 13986: 13778: 13557: 12610: 8296: 7655: 7498: 7399: 7308: 7238: 7180: 6307: 6150: 6051: 5960: 5890: 5832: 5170:{\textstyle t^{n}+\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k}a_{k}t^{n-k}} 5087: 2400: 2365: 2307: 2153: 2123: 18239: 18105: 17946: 17828: > 0, and define the symmetric function 17573: 17449: 16675: 16493: 16338: 16187: 15814: 15644: 15455: 15386: 15355: 15328: 15301: 14499: 14468: 14441: 13530: 13500: 13400: 13006: 12680: 11733: 10862: 10464: 10290: 9955: 9100: 9018: 8881: 8851: 8824: 8395: 8268: 8034: 7124: 6917: 6718: 5776: 5607: 5399: 5298: 4955: 4923: 4901: 4872: 4812: 4784: 4757: 4737: 4705: 4673: 4641: 4612: 4580: 4558: 4531: 4499: 4470: 4450: 4419: 4393: 4371: 3955: 3906: 3799: 3730: 3592: 3333: 3018: 2486: 1913: 1277: 1079: 846: 362: 173: 18060:

already occurs among the variables of the term from

17816:

As a telescopic sum of symmetric function identities

8845:, we can also obtain the generating function of the 18774: 18754:(8). Mathematical Association of America: 749–751. 18566:Bergeron, F.; Labelle, G. & Leroux, P. (1998). 18546: 16131: 15322:has additional minus signs compared to the one for 12667:The general formula (for all non-negative integers 5767:of symmetric functions with rational coefficients: 5368:{\displaystyle kh_{k}=\sum _{i=1}^{k}h_{k-i}p_{i},} 18823: 18593: 18567: 18302: 18159: 18032: 17797: 17537: 17421: 16643: 16464:(the above computation should be performed in the 16453: 16313:and "reversing the polynomials" by substituting 1/ 16302: 16038: 15790: 15611: 15399: 15368: 15341: 15314: 15284: 14481: 14454: 14424: 13513: 13486: 13383: 12972: 12656: 12575: 11708: 10828: 10440: 10266: 9924: 9075: 8997: 8864: 8837: 8807: 8364:{\textstyle N=\prod _{i=1}^{l}(m_{i}!\,i^{m_{i}})} 8363: 8282: 8172: 8014: 7060: 6886: 6698: 5741: 5583: 5367: 5169: 4970: 4938: 4909: 4887: 4856: 4792: 4770: 4743: 4723: 4691: 4664:are given by the elementary symmetric polynomials 4656: 4627: 4598: 4566: 4544: 4517: 4485: 4456: 4432: 4401: 4379: 4339: 3938: 3889: 3778: 3710: 3547: 3302: 2998: 2448: 1881: 1239: 1045: 826: 305: 19599:Statal Institute of Higher Education Isaac Newton 18672: 18588: 18392: 16053: = 0 were taken out of the sum because 13521:as unknowns, and solve for the final one, giving 8262:. Explicitly, this coefficient can be written as 4778:of the roots of the characteristic polynomial of 1264:Concretely, one gets for the first few values of 19640: 18796: 18718: 18691: 8231:is equal to the fraction of all permutations of 15418: 9942:The general formula (for all positive integers 18570:Combinatorial species and tree-like structures 18514: 15426: 12983: 12586:and so on. Apart from the replacement of each 5006: 3900:the coefficients of the polynomial with roots 349:(that is, the sum of all distinct products of 18890: 18677:. Oxford: Oxford University Press. viii+310. 9076:{\displaystyle p_{1}t=(x_{1}+\cdots +x_{n})t} 107:Formulation in terms of symmetric polynomials 18869:A Combinatorial Proof of Newton's Identities 17899:(1) the description would amount to that of 15411:can be obtained by taking the corresponding 10277:This can be conveniently stated in terms of 8183:These expressions correspond exactly to the 5079:fundamental theorem of symmetric polynomials 18618:; Little, John & O'Shea, Donal (1992). 16662:, and then (for convenience) multiplies by 18897: 18883: 18746:Mead, D.G. (1992). "Newton's Identities". 18745: 18520: 18210:, but the remaining contributions produce 12657:{\textstyle \prod _{i=1}^{l}h_{i}^{m_{i}}} 11003: 10937: 10879: 3779:{\displaystyle e_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})} 837:Then Newton's identities can be stated as 641: 640: 18655: 18600:. Cambridge: Cambridge University Press. 18574:. Cambridge: Cambridge University Press. 18416: 18377:, and similar articles on other types of 18303:{\displaystyle p_{1}e_{k-1}=ke_{k}+r(2).} 16076:variables. Concretely, the identities in 13202: 13201: 13200: 12883: 10174: 9935:The first four formulas were obtained by 8976: 8913: 8340: 8153: 8115: 8095: 7987: 7039: 6949: 6867: 6826: 6803: 6671: 5275:complete homogeneous symmetric polynomial 4850: 101: 18721:Symmetric functions and Hall polynomials 18694:Symmetric functions and Hall polynomials 3570:Application to the roots of a polynomial 18864:Application on the number of real roots 18051:), while those where the variable from 16178:Starting again from the basic relation 5015:, the elementary symmetric polynomials 19641: 18818: 18459: 18398: 18328: 18190: = 1 gives contributions to 18160:{\displaystyle p_{k}e_{0}=p_{k}=r(k).} 17864:distinct other variables (this is the 31:, give relations between two types of 19149:Newton's law of universal gravitation 18878: 18858:A Matrix Proof of Newton's Identities 18549:Galois' theory of algebraic equations 18496: 18467:Galois' theory of algebraic equations 18379:exact solutions in general relativity 9008:This generating function is thus the 5251: 5064:: every polynomial expression in the 19307:Newton's theorem of revolving orbits 18904: 17548:and finally the coefficient of each 16084:variables can be deduced by setting 19255:Leibniz–Newton calculus controversy 18996:standing on the shoulders of giants 16964: 16834: 16321:and then multiplying both sides by 8191:, if one interprets the power sums 3939:{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}} 13: 17236: 17064: 16475:Swapping sides and expressing the 12702: 10485: 9996: 8954: 8898: 8872:, in terms of the power sums, as: 8249:cycles of length 2, ..., and 7825: 6990: 6934: 6496: 5624: 14: 19695: 18845: 18830:(5/e ed.). New York: Wiley. 18780:Enumerative Combinatorics, Vol. 2 18748:The American Mathematical Monthly 18620:Ideals, Varieties, and Algorithms 18096: = 1, giving trivially 17929:can be expressed in terms of the 10846:generating function given in the 5000:Faddeev–LeVerrier algorithm 4358:When the polynomial above is the 19584:Isaac Newton Group of Telescopes 16132:Comparing coefficients in series 4971:{\displaystyle \mathbf {A} ^{k}} 4958: 4939:{\displaystyle \mathbf {A} ^{k}} 4926: 4903: 4888:{\displaystyle \mathbf {A} ^{k}} 4875: 4837: 4786: 4699:. In particular, the sum of the 4657:{\displaystyle \mathbf {A} ^{k}} 4644: 4628:{\displaystyle \mathbf {A} ^{k}} 4615: 4560: 4486:{\displaystyle \mathbf {A} ^{k}} 4473: 4395: 4373: 41:elementary symmetric polynomials 19604:Newton International Fellowship 19285:generalized Gauss–Newton method 19198:Newton's method in optimization 18551:. Singapore: World Scientific. 18443:numbers in Section 26.4 of the 18352:Elementary symmetric polynomial 18009: 15767: 15446:variables by substitution into 799: 347:elementary symmetric polynomial 18802:Algorithms in Invariant Theory 18782:. Cambridge University Press. 18489: 18453: 18433: 18347:Power sum symmetric polynomial 18294: 18288: 18151: 18145: 18006: 17994: 17985: 17979: 17789: 17757: 17738: 17706: 17675: 17665: 17638: 17606: 17584: 17574: 17394: 17362: 17337: 17327: 17283: 17251: 17187: 17155: 17136: 17126: 17086: 17069: 17006: 16984: 16871: 16849: 16830: 16814: 16765: 16733: 16711: 16701: 16635: 16613: 16576: 16544: 16525: 16515: 16419: 16409: 16382: 16360: 16265: 16255: 16228: 16209: 16030: 15998: 15985: 15953: 15922: 15912: 15885: 15853: 15831: 15821: 15745: 15713: 15682: 15672: 15596: 15564: 15533: 15523: 15496: 15477: 14788: 14778: 13963: 13953: 13459: 13449: 13352: 13342: 13304: 13294: 12954: 12937: 12862: 12811: 11662: 11624: 11545: 11513: 11400: 11388: 11366: 11354: 11284: 11246: 11243: 11231: 11222: 11203: 11156: 11118: 11115: 11103: 11078: 11059: 11039: 10988: 10973: 10922: 10909: 10870: 10500: 10490: 10432: 10382: 10364: 10314: 10304: 10245: 10228: 10153: 10102: 9979: 9969: 9939:in 1629 (thus before Newton). 9067: 9035: 8572: 8522: 8507: 8457: 8444: 8406: 8358: 8324: 8164: 8147: 8135: 8073: 7778: 7666: 7470: 7410: 7280: 7249: 7008: 6998: 6878: 6861: 6849: 6775: 6745: 6735: 6640: 6623: 6482: 6472: 6430: 6318: 6122: 6062: 5932: 5901: 5671: 5639: 5132: 5122: 4847: 4832: 4493:has as eigenvalues the powers 4413:of the polynomial), the roots 4311: 4229: 4192: 4133: 4090: 4054: 3842: 3810: 3773: 3741: 3670: 3660: 3633: 3614: 3539: 3507: 3494: 3462: 3425: 3415: 3376: 3344: 3294: 3262: 3249: 3217: 3180: 3170: 3137: 3105: 3077: 3067: 3061: 3029: 1869: 1837: 1821: 1789: 1776: 1744: 1728: 1696: 1683: 1651: 1631: 1599: 1576: 1544: 1528: 1496: 1483: 1451: 1431: 1399: 1376: 1344: 1324: 1292: 1231: 1199: 1186: 1154: 1123: 1113: 1037: 1005: 992: 960: 929: 919: 892: 860: 783: 751: 691: 659: 572: 540: 471: 439: 409: 377: 216: 184: 1: 18804:. New York: Springer-Verlag. 18622:. New York: Springer-Verlag. 18385: 16325:to remove negative powers of 16128:(suitably chosen) variables. 19225:Newton's theorem about ovals 18547:Tignol, Jean-Pierre (2001). 18535:10.1016/0012-365X(84)90171-7 18198: + 1) = 17878:,1,1,...,1)). In particular 15419:Derivation of the identities 6904:is the complete exponential 5378:valid for all n ≥ 4910:{\displaystyle \mathbf {A} } 4793:{\displaystyle \mathbf {A} } 4567:{\displaystyle \mathbf {A} } 4402:{\displaystyle \mathbf {A} } 4380:{\displaystyle \mathbf {A} } 7: 19594:Sir Isaac Newton Sixth Form 19250:Corpuscular theory of light 19176:Schrödinger–Newton equation 18340: 17866:monomial symmetric function 17844:as the sum of all distinct 17822:ring of symmetric functions 16658:both sides with respect to 12984:Expressions as determinants 5287:ring of symmetric functions 5007:Relation with Galois theory 1902:ring of symmetric functions 10: 19700: 19003:Notes on the Jewish Temple 18792:. (hardback). (paperback). 18673:Littlewood, D. E. (1950). 18405:Mathematics of Computation 18202:(2) like for other values 17564:on both sides one obtains 10839:which is analogous to the 3574:The polynomial with roots 19612: 19549: 19504: 19427: 19369: 19124: 19044: 18979: 18912: 18719:Macdonald, I. G. (1995). 18692:Macdonald, I. G. (1979). 17874:where γ is a hook shape ( 15622:as follows. Substituting 10279:ordinary Bell polynomials 5277:(that is, the sum of all 4724:{\displaystyle x_{i}^{k}} 4692:{\displaystyle x_{i}^{k}} 4599:{\displaystyle x_{i}^{k}} 4518:{\displaystyle x_{i}^{k}} 4360:characteristic polynomial 320: ≥ 0 denote by 127:be variables, denote for 19154:post-Newtonian expansion 19034:Corruptions of Scripture 19026:Ancient Kingdoms Amended 353:distinct variables), so 19679:Algebraic combinatorics 19344:Absolute space and time 19208:truncated Newton method 19181:Newton's laws of motion 19144:Newton's law of cooling 18860:in Mathematics Magazine 18214:times each monomial of 16656:formally differentiates 16124:-th Newton identity in 16096:-th Newton identity in 16092:variables to zero. The 16064:-th Newton identity in 15442:-th Newton identity in 10451:or equivalently as the 4988:a simple transformation 4984:Cayley–Hamilton theorem 1904:. In that ring one has 19579:Isaac Newton Telescope 19569:Isaac Newton Institute 19339:Newton–Puiseux theorem 19334:Parallelogram of force 19322:kissing number problem 19312:Newton–Euler equations 19215:Gauss–Newton algorithm 19164:gravitational constant 18852:Newton–Girard formulas 18501:"Symmetric Polynomial" 18449:Faa di Bruno's formula 18399:Delves, L. M. (1967). 18304: 18161: 18034: 17799: 17664: 17539: 17423: 17326: 17240: 17125: 17068: 17047: 16917: 16808: 16700: 16645: 16612: 16514: 16455: 16408: 16359: 16304: 16254: 16208: 16040: 15911: 15792: 15671: 15613: 15522: 15476: 15427:From the special case 15401: 15370: 15343: 15316: 15286: 14483: 14456: 14426: 13515: 13488: 13385: 12974: 12936: 12658: 12631: 12577: 11710: 10830: 10489: 10442: 10346: 10268: 10227: 9926: 9077: 9010:plethystic exponential 8999: 8958: 8902: 8866: 8839: 8809: 8761: 8691: 8609: 8365: 8323: 8284: 8174: 8016: 7948: 7062: 6994: 6938: 6888: 6700: 6619: 5743: 5707: 5628: 5585: 5369: 5335: 5177:with all coefficients 5171: 5121: 4972: 4940: 4911: 4889: 4858: 4794: 4772: 4745: 4725: 4693: 4658: 4629: 4600: 4568: 4546: 4525:, and each eigenvalue 4519: 4487: 4458: 4434: 4403: 4381: 4341: 3940: 3891: 3868: 3780: 3712: 3659: 3613: 3549: 3414: 3304: 3169: 3000: 2450: 1883: 1241: 1112: 1047: 918: 828: 307: 242: 102:Mathematical statement 29:Girard–Newton formulae 19533:Isaac Newton Gargoyle 19443: (nephew-in-law) 19419:Copernican Revolution 19414:Scientific Revolution 19275:Newton–Cotes formulas 19139:Newton's inequalities 19116:Structural coloration 18826:Applied Combinatorics 18357:Newton's inequalities 18305: 18162: 18035: 17812:-th Newton identity. 17800: 17644: 17540: 17424: 17306: 17220: 17105: 17048: 17027: 16897: 16788: 16680: 16646: 16592: 16494: 16456: 16388: 16339: 16305: 16234: 16188: 16041: 15891: 15793: 15651: 15614: 15502: 15456: 15402: 15400:{\displaystyle e_{n}} 15371: 15369:{\displaystyle h_{n}} 15344: 15342:{\displaystyle e_{n}} 15317: 15315:{\displaystyle h_{n}} 15287: 14484: 14482:{\displaystyle p_{n}} 14457: 14455:{\displaystyle e_{n}} 14427: 13516: 13514:{\displaystyle p_{n}} 13489: 13386: 12975: 12916: 12659: 12611: 12595:by the corresponding 12578: 11711: 10831: 10469: 10443: 10326: 10269: 10207: 9927: 9078: 9000: 8938: 8882: 8867: 8865:{\displaystyle h_{n}} 8840: 8838:{\displaystyle e_{n}} 8810: 8741: 8671: 8589: 8366: 8303: 8285: 8175: 8017: 7928: 7063: 6974: 6918: 6889: 6701: 6599: 5744: 5687: 5608: 5586: 5370: 5315: 5172: 5101: 4973: 4941: 4912: 4890: 4859: 4795: 4773: 4771:{\displaystyle p_{k}} 4746: 4726: 4694: 4659: 4630: 4601: 4569: 4547: 4545:{\displaystyle x_{i}} 4520: 4488: 4459: 4435: 4433:{\displaystyle x_{i}} 4404: 4382: 4342: 3941: 3892: 3848: 3781: 3713: 3639: 3593: 3550: 3382: 3305: 3143: 3001: 2451: 1884: 1242: 1086: 1048: 898: 829: 308: 222: 33:symmetric polynomials 19669:Algebraic identities 19540:Astronomers Monument 19230:Newton–Pepys problem 19203:Apollonius's problem 19171:Newton–Cartan theory 19084:Newton–Okounkov body 19017:hypotheses non fingo 19006: (c. 1680) 18523:Discrete Mathematics 18237: 18170:Finally the product 18103: 17944: 17836:) for 2 ≤ 17571: 17447: 17440:, using the formula 16673: 16491: 16336: 16185: 16049:where the terms for 15812: 15642: 15453: 15384: 15353: 15326: 15299: 14497: 14466: 14439: 13528: 13498: 13398: 13004: 12678: 12608: 11731: 10860: 10462: 10288: 9953: 9098: 9016: 8879: 8849: 8822: 8393: 8294: 8266: 8032: 7122: 6915: 6716: 5774: 5605: 5397: 5296: 5085: 5044: = 1,..., 4953: 4921: 4899: 4870: 4810: 4782: 4755: 4735: 4703: 4671: 4639: 4610: 4578: 4556: 4529: 4497: 4468: 4448: 4417: 4391: 4387:(in particular when 4369: 3953: 3904: 3797: 3728: 3590: 3331: 3016: 3009:In general, we have 2484: 1911: 1275: 1077: 844: 360: 171: 27:, also known as the 19674:Symmetric functions 19349:Luminiferous aether 19297:Newton's identities 19270:Newton's cannonball 19245:Classical mechanics 19235:Newtonian potential 19096:Newtonian telescope 18871:by Doron Zeilberger 18776:Stanley, Richard P. 18666:2007arXiv0704.3313E 18461:Tignol, Jean-Pierre 18335:combinatorial proof 18329:Combinatorial Proof 16983: 16175:over the integers. 16153:ring of polynomials 16138:formal power series 15438:One can obtain the 12653: 12497: 12476: 12409: 12388: 12357: 12342: 12321: 12290: 12180: 12139: 12118: 12087: 12029: 11982: 11951: 11867: 11809: 10848:previous subsection 10755: 10691: 10453:generating function 9872: 9851: 9768: 9737: 9722: 9701: 9670: 9639: 9522: 9501: 9470: 9439: 9384: 9337: 9306: 9225: 9170: 8283:{\displaystyle 1/N} 8187:polynomials of the 7972: 7735: 7704: 7683: 7589: 7551: 7523: 7427: 7333: 7266: 7205: 6387: 6356: 6335: 6241: 6203: 6175: 6079: 5985: 5918: 5857: 4990:allows to find the 4720: 4688: 4595: 4514: 3883: 3583:may be expanded as 2956: 2899: 2878: 2712: 2595: 2425: 2350: 2332: 2148: 2022: 299: 275: 257: 43:. Evaluated at the 25:Newton's identities 19574:Isaac Newton Medal 19379: (birthplace) 19193:Newtonian dynamics 19091:Newton's reflector 18596:Permutation Groups 18498:Weisstein, Eric W. 18362:Symmetric function 18300: 18157: 18089:one multiplies by 18030: 17795: 17535: 17419: 17417: 16963: 16641: 16466:field of fractions 16451: 16300: 16036: 15788: 15609: 15397: 15380:of the matrix for 15366: 15339: 15312: 15282: 15280: 15269: 15002: 14755: 14479: 14452: 14422: 14420: 14409: 14195: 13930: 13766: 13511: 13484: 13381: 13379: 12970: 12804: 12654: 12632: 12573: 12571: 12483: 12462: 12395: 12374: 12343: 12328: 12307: 12276: 12166: 12125: 12104: 12073: 12015: 11968: 11937: 11853: 11795: 11706: 11704: 10826: 10824: 10741: 10677: 10438: 10264: 10098: 9922: 9920: 9858: 9837: 9754: 9723: 9708: 9687: 9656: 9625: 9508: 9487: 9456: 9425: 9370: 9323: 9292: 9211: 9156: 9073: 8995: 8862: 8835: 8805: 8803: 8361: 8280: 8170: 8012: 8010: 7951: 7927: 7784: 7721: 7690: 7669: 7646: 7575: 7537: 7509: 7476: 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