1720:
1324:
1715:{\displaystyle {\begin{aligned}T_{p}X&=\mathbb {R} {\Big \lbrace }{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}|_{p},\dots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}|_{p}{\Big \rbrace }\\T_{p}Y&=\mathbb {R} {\Big \lbrace }{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}|_{p},\dots ,{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}|_{p}{\Big \rbrace }\\{T_{X/Y}}_{p}&=\mathbb {R} {\Big \lbrace }{\frac {\partial }{\partial x_{k+1}}}|_{p},\dots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}|_{p}{\Big \rbrace }\\\end{aligned}}}
2435:
3285:
2113:
3048:
1880:
855:
574:
1017:
3085:
denotes the embedding. Notice that the constant rank condition ensures that these normal spaces fit together to form a bundle. Furthermore, any fibre inherits the structure of a symplectic vector space.
1964:
2325:
3138:
2196:
1329:
1316:
301:
196:
2453:
tangent bundle, but do not have a normal bundle: only an embedding (or immersion) of a manifold in another yields a normal bundle. However, since every manifold can be embedded in
1779:
1212:
2274:
2018:
389:
357:
3083:
2687:
2658:
2520:
2480:
900:
492:
1140:
2886:
2007:
128:
3130:
695:
633:
263:
941:
1238:
1043:
158:
98:
2753:
2812:
2622:
2239:
3308:
2906:
2851:
2318:
2294:
2216:
1258:
1160:
1106:
1086:
1065:
969:
512:
453:
433:
409:
321:
222:
2914:
1787:
659:. For a Riemannian manifold one can identify this quotient with the orthogonal complement, but in general one cannot (such a choice is equivalent to a
737:
3310:
implies that the symplectic normal bundle already determines the constant rank embedding locally. This feature is similar to the
Riemannian case.
4237:
3428:
2530:, and hence induce the same normal bundle. The resulting class of normal bundles (it is a class of bundles and not a specific bundle because
4232:
3519:
520:
3543:
974:
3738:
2430:{\displaystyle T_{X/\lbrace p\rbrace }^{*}\simeq (T_{p}X)^{\vee }\simeq {\frac {{\mathfrak {m}}_{p}}{{\mathfrak {m}}_{p}^{2}}}}
3280:{\displaystyle i^{*}(TM)\cong TX/\nu \oplus (TX)^{\omega }/\nu \oplus (\nu \oplus \nu ^{*}),\quad \nu =TX\cap (TX)^{\omega },}
3608:
3358:
3335:
1888:
3834:
3887:
3415:
2122:
4171:
3385:
3936:
3919:
3528:
648:
4290:
4285:
4131:
3538:
3369:
2297:
1263:
268:
163:
4116:
3839:
3613:
2108:{\displaystyle 0\to T_{X/Y}^{*}\rightarrowtail \Omega _{X}^{1}|_{Y}\twoheadrightarrow \Omega _{Y}^{1}\to 0}
1732:
1165:
4280:
4161:
2247:
4166:
4136:
3844:
3800:
3781:
3548:
3492:
362:
330:
3056:
2663:
2634:
2496:
2456:
3703:
3568:
2483:
863:
660:
4088:
3953:
3645:
3487:
472:
1119:
4295:
3785:
3755:
3679:
3669:
3625:
3455:
3408:
2859:
1972:
601:
52:
2908:. Then one can define the symplectic normal bundle to X as the vector bundle over X with fibres
107:
4126:
3745:
3640:
3553:
3460:
3096:
2818:
131:
666:
606:
227:
3775:
3770:
913:
324:
24:
1217:
1022:
137:
4106:
4044:
3892:
3596:
3586:
3558:
3533:
3443:
3090:
2535:
724:
71:
40:
2821:, and allows one to prove lower bounds on immersibility and embeddability of manifolds in
8:
4244:
3926:
3804:
3789:
3718:
3477:
3043:{\displaystyle (T_{i(x)}X)^{\omega }/(T_{i(x)}X\cap (T_{i(x)}X)^{\omega }),\quad x\in X,}
2854:
2696:
101:
4217:
2758:
2556:
2221:
4186:
4141:
4038:
3909:
3713:
3401:
3373:
3293:
2891:
2836:
2628:
2303:
2279:
2201:
1243:
1145:
1091:
1071:
1050:
954:
497:
438:
418:
394:
306:
207:
3723:
4121:
4101:
4096:
4003:
3914:
3728:
3708:
3563:
3502:
3381:
3354:
3331:
2446:
1875:{\displaystyle (I_{Y}/I_{Y}^{2})_{p}\times {T_{X/Y}}_{p}\longrightarrow \mathbb {R} }
4259:
4053:
4008:
3931:
3902:
3760:
3693:
3688:
3683:
3673:
3465:
3448:
2527:
589:
4202:
4111:
3941:
3897:
3663:
3346:
2822:
4068:
3993:
3963:
3861:
3854:
3794:
3765:
3635:
3630:
3591:
2690:
2450:
459:
44:
850:{\displaystyle 0\to TN\to TM\vert _{i(N)}\to T_{M/N}:=TM\vert _{i(N)}/TN\to 0}
4274:
4254:
4078:
4073:
4058:
3998:
3975:
3849:
3809:
3750:
3698:
3497:
463:
200:
36:
4181:
4176:
4018:
3985:
3958:
3866:
3507:
2276:
is a point, then the ideal sheaf is the sheaf of smooth germs vanishing at
588:
to the normal bundle. It can be realised naturally as a sub-bundle of the
4024:
4013:
3970:
3871:
3472:
1726:
585:
28:
17:
2198:, viz. the sections of the conormal bundle are the cotangent vectors to
4249:
4207:
4033:
3946:
3578:
3482:
3393:
704:
of the tangent bundle of the ambient space restricted to the subspace.
4063:
4028:
3733:
3620:
3330:, (1997) Springer-Verlag New York, Graduate Texts in Mathematics 176
2888:, such that the pullback of the symplectic form has constant rank on
48:
2489:
There is in general no natural choice of embedding, but for a given
4227:
4222:
4212:
3603:
3424:
2547:
2486:, every manifold admits a normal bundle, given such an embedding.
569:{\displaystyle \mathrm {N} S:=\coprod _{p\in S}\mathrm {N} _{p}S}
2546:
The normal bundle is dual to the tangent bundle in the sense of
3819:
635:(for instance an embedding), one can define a normal bundle of
1012:{\displaystyle T_{M/N}{\overset {\pi }{\twoheadrightarrow }}N}
2660:, the tangent bundle of the ambient space is trivial (since
3093:, the constant rank embedding is locally determined by
1959:{\displaystyle T_{X/Y}\simeq (I_{Y}/I_{Y}^{2})^{\vee }}
3296:
3141:
3099:
3059:
2917:
2894:
2862:
2839:
2761:
2699:
2666:
2637:
2559:
2499:
2459:
2328:
2306:
2282:
2250:
2224:
2204:
2125:
2021:
1975:
1891:
1790:
1735:
1327:
1266:
1246:
1220:
1168:
1148:
1122:
1094:
1074:
1053:
1025:
977:
957:
916:
866:
740:
669:
609:
523:
500:
475:
441:
421:
397:
365:
333:
309:
271:
230:
210:
166:
140:
110:
74:
2191:{\displaystyle T_{X/Y}^{*}\simeq (I_{Y}/I_{Y}^{2})}
1781:. Therefore we can define a non-degenerate pairing
3328:Riemannian Manifolds, An Introduction to Curvature
3302:
3279:
3124:
3077:
3042:
2900:
2880:
2845:
2806:
2747:
2681:
2652:
2616:
2514:
2474:
2429:
2312:
2288:
2268:
2233:
2210:
2190:
2107:
2001:
1958:
1874:
1773:
1714:
1310:
1252:
1232:
1206:
1154:
1134:
1100:
1080:
1059:
1037:
1011:
963:
935:
894:
849:
689:
627:
568:
506:
486:
447:
427:
403:
383:
351:
315:
295:
257:
216:
190:
152:
122:
92:
1703:
1613:
1563:
1479:
1443:
1359:
4272:
1966:. We can rephrase this fact by introducing the
719:is a quotient bundle of the tangent bundle on
16:For normal bundles in algebraic geometry, see
3409:
902:is the restriction of the tangent bundle on
2348:
2342:
2263:
2257:
874:
812:
763:
2828:
3416:
3402:
2541:
2300:in terms of germs of smooth functions on
1868:
1607:
1473:
1353:
3423:
466:to the manifold, the total space of the
2441:
1885:that induces an isomorphism of sheaves
1318:; then with this choice of coordinates
700:Thus the normal bundle is in general a
4273:
3353:, (2010) EMS Textbooks in Mathematics
2550:: by the above short exact sequence,
1311:{\displaystyle x_{k+1}=\dots =x_{n}=0}
1142:is a smooth submanifold of a manifold
462:to a manifold is constructed from all
296:{\displaystyle v\in \mathrm {T} _{p}S}
191:{\displaystyle n\in \mathrm {T} _{p}M}
63:
3397:
2817:This is useful in the computation of
595:
1774:{\displaystyle x_{k+1},\dots ,x_{n}}
1207:{\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})}
3380:, (1978) Benjamin-Cummings, London
2409:
2395:
2296:and the isomorphism reduces to the
2269:{\displaystyle Y=\lbrace p\rbrace }
13:
3290:of symplectic vector bundles over
2085:
2055:
1673:
1669:
1624:
1620:
1533:
1529:
1490:
1486:
1413:
1409:
1370:
1366:
1111:
971:). The fiber of the normal bundle
553:
525:
477:
368:
336:
280:
175:
14:
4307:
384:{\displaystyle \mathrm {N} _{p}S}
352:{\displaystyle \mathrm {T} _{p}S}
3078:{\displaystyle i:X\rightarrow M}
2682:{\displaystyle \mathbf {R} ^{N}}
2669:
2653:{\displaystyle \mathbf {R} ^{N}}
2640:
2515:{\displaystyle \mathbf {R} ^{N}}
2502:
2475:{\displaystyle \mathbf {R} ^{N}}
2462:
1162:, we can pick local coordinates
3239:
3027:
2298:definition of the tangent space
895:{\displaystyle TM\vert _{i(N)}}
458:Just as the total space of the
3456:Differentiable/Smooth manifold
3363:
3340:
3320:
3265:
3255:
3233:
3214:
3194:
3184:
3161:
3152:
3119:
3110:
3069:
3021:
3012:
3003:
2997:
2986:
2975:
2969:
2958:
2944:
2935:
2929:
2918:
2875:
2863:
2801:
2792:
2783:
2762:
2736:
2715:
2709:
2700:
2611:
2602:
2596:
2575:
2569:
2560:
2378:
2361:
2185:
2152:
2099:
2081:
2071:
2051:
2025:
1947:
1913:
1864:
1825:
1791:
1691:
1648:
1551:
1508:
1431:
1388:
1201:
1169:
998:
887:
881:
841:
825:
819:
781:
776:
770:
753:
744:
673:
619:
246:
234:
87:
75:
1:
3313:
2631:. In case of an immersion in
487:{\displaystyle \mathrm {N} S}
58:
1135:{\displaystyle Y\subseteq X}
7:
4162:Classification of manifolds
2881:{\displaystyle (M,\omega )}
2002:{\displaystyle T_{X/Y}^{*}}
10:
4312:
2534:could vary) is called the
600:More abstractly, given an
123:{\displaystyle S\subset M}
15:
4238:over commutative algebras
4195:
4154:
4087:
3984:
3880:
3827:
3818:
3654:
3577:
3516:
3436:
3125:{\displaystyle i^{*}(TM)}
2484:Whitney embedding theorem
943:of the tangent bundle on
3954:Riemann curvature tensor
3378:Foundations of Mechanics
2829:For symplectic manifolds
2493:, any two embeddings in
1729:is locally generated by
910:(properly, the pullback
690:{\displaystyle V\to V/W}
655:by the tangent space on
651:of the tangent space on
628:{\displaystyle i:N\to M}
258:{\displaystyle g(n,v)=0}
35:is a particular kind of
2689:is contractible, hence
2522:for sufficiently large
2011:conormal exact sequence
936:{\displaystyle i^{*}TM}
3746:Manifold with boundary
3461:Differential structure
3304:
3281:
3126:
3079:
3044:
2902:
2882:
2847:
2819:characteristic classes
2808:
2749:
2683:
2654:
2618:
2542:Dual to tangent bundle
2516:
2476:
2431:
2314:
2290:
2270:
2235:
2212:
2192:
2109:
2003:
1960:
1876:
1775:
1716:
1312:
1260:is locally defined by
1254:
1234:
1233:{\displaystyle p\in Y}
1208:
1156:
1136:
1102:
1082:
1061:
1045:is referred to as the
1039:
1038:{\displaystyle p\in N}
1013:
965:
947:to a vector bundle on
937:
896:
851:
691:
643:, by at each point of
629:
570:
508:
488:
449:
429:
405:
385:
353:
317:
297:
259:
218:
192:
154:
153:{\displaystyle p\in S}
134:. Define, for a given
132:Riemannian submanifold
124:
94:
4291:Differential topology
4286:Differential geometry
3305:
3282:
3127:
3080:
3045:
2903:
2883:
2848:
2809:
2750:
2684:
2655:
2619:
2517:
2477:
2432:
2315:
2291:
2271:
2236:
2213:
2193:
2110:
2004:
1961:
1877:
1776:
1717:
1313:
1255:
1235:
1209:
1157:
1137:
1103:
1083:
1062:
1040:
1014:
966:
938:
897:
852:
727:of vector bundles on
692:
630:
571:
509:
489:
450:
430:
406:
386:
354:
318:
298:
260:
219:
193:
155:
125:
95:
93:{\displaystyle (M,g)}
47:, and coming from an
25:differential geometry
3893:Covariant derivative
3444:Topological manifold
3294:
3139:
3097:
3057:
2915:
2892:
2860:
2853:is embedded in to a
2837:
2759:
2697:
2664:
2635:
2557:
2536:stable normal bundle
2497:
2457:
2442:Stable normal bundle
2326:
2304:
2280:
2248:
2222:
2202:
2123:
2019:
1973:
1889:
1788:
1733:
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