2208:
199:
424:
77:
521:
769:
1254:
1344:
231:
1360:
260:
1702:
1375:
1280:
1193:
1167:
857:
701:
63:
1116:
1067:
968:
669:
561:
988:
581:
298:
194:{\displaystyle W(A)=\left\{{\frac {\mathbf {x} ^{*}A\mathbf {x} }{\mathbf {x} ^{*}\mathbf {x} }}\mid \mathbf {x} \in \mathbb {C} ^{n},\ \mathbf {x} \not =0\right\}}
1096:
1044:
892:
804:
636:
1365:
1136:
1011:
944:
828:
601:
541:
924:
1355:
2097:
1397:
1933:
1760:
1457:
Dirr, G.; Helmkel, U.; Kleinsteuber, M.; Schulte-HerbrĂŒggen, Th. (2006), "A new type of C-numerical range arising in quantum computing",
1923:
2050:
1905:
1881:
455:
1539:
1516:
1493:
1773:
1862:
1753:
1562:
2132:
1777:
1616:"Functional Characterizations of the Field of Values and the Convex Hull of the Spectrum", Charles R. Johnson,
709:
1200:
1928:
1410:
Choi, M.D.; Kribs, D.W.; ƻyczkowski (2006), "Quantum error correcting codes from the compression formalism",
266:
equal to the unit vectors along the coordinate axes) and the eigenvalues of the matrix (obtained by choosing
2211:
1984:
1918:
1746:
1291:
1948:
262:. The numerical range includes, in particular, the diagonal entries of the matrix (obtained by choosing
2193:
2147:
2071:
1953:
1594:
Keeler, Dennis S.; Rodman, Leiba; Spitkovsky, Ilya M. (1997), "The numerical range of 3 Ă 3 matrices",
1554:
1531:
1508:
1485:
207:
2188:
2004:
2242:
2237:
2040:
1938:
1841:
243:
2247:
2137:
1913:
1370:
1259:
2232:
2168:
2112:
2076:
1172:
1143:
836:
677:
419:{\displaystyle r(A)=\sup\{|\lambda |:\lambda \in W(A)\}=\sup _{\|x\|=1}|\langle Ax,x\rangle |.}
42:
1875:
1101:
1052:
953:
641:
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1871:
973:
566:
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1072:
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8:
2117:
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2009:
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1441:
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2045:
2014:
1994:
1979:
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1969:
1698:
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1603:
1580:
1466:
1437:
947:
703:
is the only function on the set of square matrices that satisfies (2), (3) and (4).
1806:
1585:
292:, which is the largest absolute value of the numbers in the numerical range, i.e.
1989:
1943:
1891:
1886:
1857:
1482:
Numerical Ranges of
Operators on Normed Spaces and of Elements of Normed Algebras
1387:
604:
25:
1816:
2178:
2030:
1831:
37:
21:
2226:
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2107:
1836:
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1663:
1643:
1283:
1014:
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2173:
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1796:
1471:
2102:
2092:
1999:
1801:
1456:
1424:
17:
2035:
1867:
807:
274:
1679:"Inequalities for numerical radius of complex Hilbert space operator"
281:. Recently, generalizations of the numerical range are used to study
1571:
Li, C.K. (1996), "A simple proof of the elliptical range theorem",
860:
273:
In engineering, numerical ranges are used as a rough estimate of
772:
1639:""well-known" inequality for numerical radius of an operator"
1768:
1703:"B4b hilbert spaces: extended synopses 9. Spectral theory"
638:
is a subset of the closed right half-plane if and only if
516:{\displaystyle W(\alpha A+\beta I)=\alpha W(A)+\{\beta \}}
1593:
1294:
1262:
1203:
1175:
1146:
1124:
1104:
1075:
1055:
1023:
999:
976:
956:
932:
900:
871:
839:
816:
783:
712:
680:
644:
615:
589:
569:
549:
529:
458:
301:
246:
210:
80:
45:
950:
with its smallest and the largest eigenvalues being
1409:
2098:Spectral theory of ordinary differential equations
1722:. This fails for non-self-adjoint operators, but w
1338:
1274:
1248:
1187:
1161:
1130:
1110:
1090:
1061:
1038:
1005:
982:
962:
938:
918:
886:
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822:
798:
763:
695:
663:
630:
595:
575:
555:
535:
515:
418:
254:
225:
193:
57:
771:, where the sum on the right-hand side denotes a
2224:
1659:"Upper bound for norm of Hilbert space operator"
1618:Proceedings of the American Mathematical Society
1398:Workshop on Numerical Ranges and Numerical Radii
364:
317:
1754:
1502:
1479:
1697:
1549:Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1990),
1526:Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1991),
1269:
1263:
1225:
1219:
510:
504:
450:) The numerical range is convex and compact.
405:
390:
374:
368:
357:
320:
1548:
1525:
1761:
1747:
1607:
1584:
1470:
1423:
764:{\displaystyle W(A+B)\subseteq W(A)+W(B)}
159:
2051:Group algebra of a locally compact group
1249:{\displaystyle r(A)\leq \|A\|\leq 2r(A)}
2225:
1046:is the convex hull of its eigenvalues.
1742:
1339:{\displaystyle r(A^{n})\leq r(A)^{n}}
1069:is a sharp point on the boundary of
1596:Linear Algebra and Its Applications
13:
1570:
1503:Bonsall, F.F.; Duncan, J. (1971),
1480:Bonsall, F.F.; Duncan, J. (1971),
1349:
14:
2259:
2207:
2206:
2133:Topological quantum field theory
248:
226:{\displaystyle \mathbf {x} ^{*}}
213:
176:
150:
139:
128:
120:
106:
1403:
1691:
1671:
1651:
1631:
1327:
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1311:
1298:
1243:
1237:
1213:
1207:
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1150:
1085:
1079:
1033:
1027:
913:
901:
881:
875:
793:
787:
758:
752:
743:
737:
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716:
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492:
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409:
386:
354:
348:
332:
324:
311:
305:
90:
84:
1:
1929:Uniform boundedness principle
1624:
1586:10.1090/S0002-9939-96-03307-2
1557:, Ch. 5.7, ex. 21,
1442:10.1016/S0034-4877(06)80041-8
429:
1609:10.1016/0024-3795(95)00674-5
270:equal to the eigenvectors).
255:{\displaystyle \mathbf {x} }
7:
1381:
1361:Higher-rank numerical range
435:The numerical range is the
10:
2264:
2072:Invariant subspace problem
1620:, 61(2):201-204, Dec 1976.
1555:Cambridge University Press
1532:Cambridge University Press
1509:Cambridge University Press
1486:Cambridge University Press
1275:{\displaystyle \|\cdot \|}
1169:is a norm on the space of
1118:is a normal eigenvalue of
448:HausdorffâToeplitz theorem
2202:
2161:
2085:
2064:
2023:
1962:
1904:
1850:
1792:
1785:
1528:Topics in Matrix Analysis
1376:Polynomial numerical hull
1188:{\displaystyle n\times n}
1162:{\displaystyle r(\cdot )}
852:{\displaystyle 2\times 2}
833:The numerical range of a
696:{\displaystyle W(\cdot )}
671:is positive semidefinite.
288:A related concept is the
58:{\displaystyle n\times n}
2041:Spectrum of a C*-algebra
2138:Noncommutative geometry
1459:Proc. Appl. Math. Mech.
1371:Product numerical range
1111:{\displaystyle \alpha }
1062:{\displaystyle \alpha }
963:{\displaystyle \alpha }
894:is a real line segment
664:{\displaystyle A+A^{*}}
556:{\displaystyle \alpha }
2194:TomitaâTakesaki theory
2169:Approximation property
2113:Calculus of variations
1472:10.1002/pamm.200610336
1340:
1276:
1250:
1189:
1163:
1132:
1112:
1092:
1063:
1040:
1007:
984:
983:{\displaystyle \beta }
964:
940:
920:
888:
853:
824:
800:
765:
697:
665:
632:
597:
577:
576:{\displaystyle \beta }
557:
537:
523:for all square matrix
517:
420:
256:
227:
195:
59:
2189:BanachâMazur distance
2152:Generalized functions
1710:In fact, âTâ = max(âm
1366:Joint numerical range
1341:
1277:
1251:
1190:
1164:
1133:
1113:
1093:
1064:
1041:
1008:
985:
965:
941:
921:
889:
854:
825:
801:
766:
698:
666:
633:
598:
578:
558:
538:
518:
421:
257:
228:
196:
60:
1934:Kakutani fixed-point
1919:Riesz representation
1730:in the complex case.
1573:Proc. Am. Math. Soc.
1292:
1260:
1201:
1173:
1144:
1122:
1102:
1091:{\displaystyle W(A)}
1073:
1053:
1039:{\displaystyle W(A)}
1021:
997:
974:
954:
930:
898:
887:{\displaystyle W(A)}
869:
837:
814:
799:{\displaystyle W(A)}
781:
710:
678:
674:The numerical range
642:
631:{\displaystyle W(A)}
613:
587:
567:
547:
543:and complex numbers
527:
456:
299:
244:
208:
78:
43:
2118:Functional calculus
2077:Mahler's conjecture
2056:Von Neumann algebra
1770:Functional analysis
1505:Numerical Ranges II
1434:2006RpMP...58...77C
859:matrix is a filled
235:conjugate transpose
2143:Riemann hypothesis
1842:Topological vector
1336:
1272:
1246:
1185:
1159:
1128:
1108:
1088:
1059:
1036:
1003:
980:
960:
936:
916:
884:
849:
820:
796:
761:
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661:
628:
593:
573:
553:
533:
513:
416:
384:
252:
223:
191:
55:
2220:
2219:
2123:Integral operator
1900:
1899:
1541:978-0-521-46713-1
1518:978-0-521-20227-5
1495:978-0-521-07988-4
1393:Rayleigh quotient
1356:C-numerical range
1131:{\displaystyle A}
1006:{\displaystyle A}
939:{\displaystyle A}
823:{\displaystyle A}
806:contains all the
596:{\displaystyle I}
536:{\displaystyle A}
441:Rayleigh quotient
363:
283:quantum computing
174:
144:
2255:
2210:
2209:
2128:Jones polynomial
2046:Operator algebra
1790:
1789:
1763:
1756:
1749:
1740:
1739:
1733:
1732:
1707:
1699:Hilary Priestley
1695:
1689:
1688:
1675:
1669:
1668:
1655:
1649:
1648:
1635:
1612:
1611:
1589:
1588:
1567:
1544:
1521:
1498:
1475:
1474:
1452:
1427:
1425:quant-ph/0511101
1412:Rep. Math. Phys.
1345:
1343:
1342:
1337:
1335:
1334:
1310:
1309:
1281:
1279:
1278:
1273:
1255:
1253:
1252:
1247:
1194:
1192:
1191:
1186:
1168:
1166:
1165:
1160:
1137:
1135:
1134:
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1097:
1095:
1094:
1089:
1068:
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1065:
1060:
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1042:
1037:
1012:
1010:
1009:
1004:
989:
987:
986:
981:
969:
967:
966:
961:
948:Hermitian matrix
945:
943:
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937:
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923:
922:
919:{\displaystyle }
917:
893:
891:
890:
885:
858:
856:
855:
850:
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827:
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797:
770:
768:
767:
762:
702:
700:
699:
694:
670:
668:
667:
662:
660:
659:
637:
635:
634:
629:
602:
600:
599:
594:
582:
580:
579:
574:
562:
560:
559:
554:
542:
540:
539:
534:
522:
520:
519:
514:
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423:
422:
417:
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389:
383:
335:
327:
290:numerical radius
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253:
251:
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200:
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197:
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137:
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123:
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109:
102:
64:
62:
61:
56:
2263:
2262:
2258:
2257:
2256:
2254:
2253:
2252:
2243:Operator theory
2238:Spectral theory
2223:
2222:
2221:
2216:
2198:
2162:Advanced topics
2157:
2081:
2060:
2019:
1985:HilbertâSchmidt
1958:
1949:GelfandâNaimark
1896:
1846:
1781:
1767:
1737:
1736:
1729:
1725:
1721:
1717:
1713:
1705:
1696:
1692:
1677:
1676:
1672:
1657:
1656:
1652:
1637:
1636:
1632:
1627:
1565:
1551:Matrix Analysis
1542:
1519:
1496:
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